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Formación Básica
de Personas Adultas
Graduado en Educación Secundaria
PROCESOS E
INSTRUMENTOS
MATEMÁTICOS
GENERALITAT VALENCIANA
CONSELLERIA DE CULTURA I EDUCACIÓ
DIRECCIÓ GENERAL D’ORDENACIÓ I INNOVACIÓ EDUCATIVA I POLÍTICA LINGÜÍSTICA
© Consuelo Clemente Díaz
© José Antonio Moraño Fernández
© Mª Dolores Ortells González
© de esta edición: Generalitat Valenciana
Conselleria de Cultura i Educació
Direcció General d'Ordenació i Innovació Educativa
i Política Lingüística
I.S.B.N.: 84-482-3204-6
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e-mail: [email protected]
Tema 1: Números
La principal diferencia entre unos sistemas y otros se encuentra
en:
Numeración babilónica
”cuneiforme”
Signo
•
La grafía de los signos, símbolos o cifras y su valor.
•
Su carácter:
Valor
¾Aditivo o sumativo si la expresión de la cantidad total se
consigue por adición o acumulación de símbolos.
1
¾Posicional si los símbolos adquieren valores diferentes
según su posición.
10
60
Ejemplo. 193
Reglas de combinación.
Nos centraremos en los sistemas de numeración romana y
decimal por ser ambos los sistemas de uso en la actualidad.
Numeración egipcia
jeroglífica
Signo
•
Sistema de numeración romana
•
Símbolos y valor:
Valor
I
1
1
10
•
El sistema decimal es
más “económico” que
la numeración romana
pues permite escribir
las mismas cantidades
utilizando
menos
cifras.
L
50
C
D
M
100 500 1.000
Para expresar trescientos escribían CCC.
•
1000
X
10
Carácter: aditivo o sumativo.
100
Ejemplo 1.213
V
5
Reglas:
¾Toda cifra igual o menor colocada a la derecha de otra,
suma su valor con ella.
XX = 20
XXI = 21
¾Toda cifra menor colocada a la izquierda de otra resta su
valor con ella.
IX = 9
XL = 40
¾Si entre dos cifras existe otra de menor valor, se combina
con la siguiente para disminuirla.
XIX = 19
¾Ninguna cifra puede escribirse más de tres veces
seguidas. La I, la X, La C y la M pueden escribirse hasta
tres veces seguidas; la V, la L y la D, no pueden
escribirse seguidas.
¾Las unidades simples pueden convertirse en millares
poniéndoles una raya horizontal encima.
IVDCXXI = 4.621 .
15
Tema 1: Números
El número 235’724 se
puede leer como:
•
•
•
•
•
•
•
235 unidades 724
milésimas.
235’724 unidades.
23’5724 decenas.
2’35724 centenas.
2.357’24 décimas.
23.572’4 centésimas.
235.724 milésimas
¾Los números decimales constan de una parte entera y una
parte decimal, la parte entera es la que preceda a la coma
y la parte decimal es la que se obtiene sustituyendo la
parte entera por cero y añadiendo a la derecha de la coma
las cifras decimales.
Parte entera ’ Parte decimal
Para leer un número decimal se lee primero la parte
entera, si la hay, y luego la parte decimal como si fuera
entera, añadiendo el nombre de la unidad decimal que
expresa su última cifra.
28’62
0’3186
2’0005
se lee
se lee
se lee
28 unidades 62 centésimas
3.168 diezmilésimas
2 unidades 5 diezmilésimas.
$SUHQGDPRV
VSSUDFWLFDQGRž
1. Toma
un libro y fíjate en la numeración que contiene:
capítulos, páginas,..
Si miras el índice verás algo similar a esto:
ÍNDICE:
Capítulo I............... 4
Capítulo II ............ 25
Capítulo III ........... 36
Capítulo IV........... 78
Capítulo V ........... 102
Capítulo VI.......... 125
Capítulo VII ........ 143
Capítulo VIII ....... 171
Capítulo IX.......... 194
Capítulo X ........... 220
Numeración romana referida a
las sucesivas convocatorias de
un concurso matemático.
Generalmente se utilizan números romanos para los capítulos,
los tomos, las ediciones,… , y se reservan los arábigos para la
paginación.
17
Tema 1: Números
2. Pensemos ahora en la cronología.
Para los hechos que
ocurrieron antes del
nacimiento de Cristo
se utiliza la
siguiente
abreviatura:
a. C.
En este caso la numeración romana se usa para indicar siglos y,
en ocasiones, los meses, mientras que la arábiga se utiliza para
años y días.
Para indicar el día 7 de Agosto del año 2001 lo podemos
escribir
7 / VIII / 2001
y decimos que pertenece al siglo XXI.
El año 0 no existió
El motivo de que no coincida el número de centenas del año con
el siglo, en este caso 20 centenas de 2001 con siglo XXI, se debe
a que la cronología parte del año del nacimiento de Cristo, año
1, y hasta el año 100 se considera el siglo I, del 101 al 200 el
siglo II y así sucesivamente.
Este es también el
motivo por el que el
siglo XXI comenzó el
1-I-2001 y no el día
1-I-2000.
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 1 al 8
propuestos en el libro de actividades.
18
Tema 1: Números
•
La propiedad conmutativa tiene un enunciado muy popular y se
aplica en situaciones
cotidianas. Si el orden
en que se mezclan los
ingredientes de una
receta no importa y nos
preguntan por él
seguramente
contestaremos:
“Da igual, el orden de
los factores no altera el
producto”
Asociativa de la suma: Si tenemos que sumar tres o más
sumandos podemos sumar dos cualesquiera de ellos
(asociarlos) y sustituirlos por el resultado de su suma.
Podemos escribir:
(a + b) + c = a + (b + c).
Si queremos calcular el resultado de 56 + 70 + 30
podemos respetar el orden y sumar antes 56 + 70
56 + 70 + 30 = 126 + 30 = 156
o sumar antes 70 + 30
56 + 70 + 30 = 56 + 100 = 156.
•
Asociativa del producto: Si tenemos que multiplicar
tres o más factores podemos multiplicar dos cualesquiera
de ellos (asociarlos) y sustituirlos por el resultado de su
producto.
Podemos escribir:
(a · b)· c = a · (b · c).
Si queremos calcular el resultado de 6 · 50 · 3 podemos
respetar el orden y multiplicar antes 6 · 50
6 · 50 · 3 = 300 · 3 = 900
o multiplicar antes 50 · 3
6 · 50 · 3 = 6 · 150 = 900.
Propiedad conmutativa
• 12 + 54 = 54 + 12 = 74
• 5 · 42 = 42 · 5 = 210
•
Conmutativa de la suma: El orden de los sumandos no
altera el resultado de la suma.
Podemos escribir:
a + b = b + a.
•
Conmutativa del producto: El orden de los factores no
altera el resultado del producto.
Podemos escribir:
a· b=b· a
Otra propiedad de la suma y del producto es la existencia del
elemento neutro.
•
•
Elemento neutro
120 + 0 = 10
534 · 1 = 534
Para realizar restas y
divisiones
encadenadas hay que
respetar el orden en el
que aparecen.
Para alterar este orden
hacemos uso de los
paréntesis.
•
Elemento neutro de la suma: Es el 0 y se llama neutro
porque al sumar 0 a cualquier número éste no varía.
Podemos escribir:
a + 0 = a.
•
Elemento neutro del producto: Es el 1 ya que al
multiplicar cualquier número por 1 éste no varía.
Podemos escribir:
a · 1 = a.
En el caso de la resta y en el de la división, no presenta estas
propiedades teniendo que respetar el orden en que aparecen.
El resultado de 20 – 5 – 3 no es el mismo si realizamos las
operaciones en orden (20 – 5 – 3 = 15 – 3 = 12), que si
calculamos antes 5 – 3, cuyo resultado es 18.
Igualmente, el resultado de 40 : 8 : 2 no es el mismo si
hacemos las operaciones en orden (40 : 8 : 2 = 5 : 2 = 2’5 ),
que si calculamos antes 8 : 2, cuyo resultado es 10.
21
Tema 1: Números
De una suma se obtienen dos restas relacionadas con ella y
de una multiplicación dos divisiones.
Estas propiedades las
utilizaremos más
adelante para
resolver ecuaciones:
12 – 7 = 5
5 + 7 = 12
12 – 5 = 7
32 : 4 = 8
3 + x = 24 ;
x = 24 – 3
x = 21
8 · 4 = 32
32 : 8 = 4
Por tanto, conociendo dos de los elementos de cualquiera de
estas operaciones, podemos calcular el tercero.
Si 3 + a = 24 ; a = 24 – 3 = 21
Si b : 3 = 18 ; b = 18 · 3
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 11 y 12
propuestos en el libro de actividades.
Cuando aparecen encadenadas varias operaciones, e incluso
paréntesis, hay que seguir ciertas reglas:
Si traduces al lenguaje
coloquial las
operaciones indicadas
verás la lógica de las
reglas enunciadas: “
cinco más tres menos
cuatro veces el
resultado de restarle
tres a cinco”.
1. En primer lugar hay que calcular la expresión que
aparece entre paréntesis.
2. Después se
divisiones.
efectúan
las
multiplicaciones
y
3. Se acaba realizando las sumas y las restas.
5 + 3 – 4 ( 5 – 3 ) = (Primero el paréntesis)
5 + 3 – 4 · 2=
(Después la multiplicación)
5 + 3 – 8 = 0 (Finalmente sumas y restas)
Si solo aparecen sumas y restas se pueden agrupar las
cantidades a sumar por un lado y las cantidades a restar por
otro y realizar al final una resta.
5 + 6 – 7 + 4 – 2 + 6 – 1 = 21 – 10 = 11.
22
Tema 1: Números
Es importante diferenciar los diferentes “significados” que
puede tener un signo negativo.
La temperatura en una
ciudad del interior de
la Comunidad
Valenciana en Enero
es de –3ºC a las 11 h.
de la mañana. Si hasta
las 24 horas baja tres
grados la variación
será de –3ºC,
alcanzándose a esta
hora una temperatura
de –6ºC.
•
Acompañando a un número indica que su valor es
inferior a cero y como ejemplos servirían los que hemos
citado anteriormente. Los números mayores de cero no
llevarán ningún signo o el signo positivo.
•
Como operación tiene el significado de una variación
negativa frente al signo + que implica una variación
positiva.
Un submarino que baja 40 metros respecto a su posición
original tiene una variación de – 40 m.
Un coche que baja dos sótanos más abajo del que se
encontraba tiene una variación de – 2 plantas.
Un cliente que realiza un reintegro de 50 ¼ de su cuenta de
ahorro tiene una variación en su saldo de – 50 ¼
No sólo los números enteros pueden ser positivos o negativos,
los números decimales también pueden serlo.
-1’3
Comparamos las
siguientes temperaturas
registradas en un mismo
momento en cuatro
ciudades diferentes:
Ciudad A:..............-4º C
Ciudad B:..............10º C
Ciudad C:.............. 0º C
Ciudad D:..............-7º C
…
2’6
-3 - 2 -1
0
0
2
3
…
Observa la recta sobre la que hemos representado los números
enteros. Los números crecen de izquierda a derecha y
disminuyen de derecha a izquierda.
Las situamos sobre la
recta numérica:
-7 –4
1
CRECEN
0
10
Ordenamos:
DISMINUYEN
-7 < -4 < 0 < 10
Aplicando este criterio podemos ordenar los números enteros:
•
El mayor de dos números enteros se sitúa más a la
derecha en la recta numérica.
29
Tema 1: Números
•
Cualquier número positivo es mayor que cualquier
número negativo.
•
El cero es mayor que cualquier número negativo y menor
que cualquier número positivo.
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 17 propuesto
en el libro de actividades.
Operaciones
Vamos a analizar las operaciones que incluyen números
negativos a partir de ejemplos concretos.
Es importante aclarar que nunca pueden ir juntos dos signos.
En la cartilla lo que
se registran son las
variaciones.
Los reintegros son
variaciones negativas
y por eso van
acompañadas
del
signo , mientras que
los ingresos son
variaciones positivas
aunque generalmente
prescinden del signo.
Cuando hemos de sumar o restar (variación positiva o negativa)
un número negativo tenemos dos opciones:
•
Separarlos incluyendo el del número junto con la
cifra dentro de un paréntesis.
5 + (–3)
•
5 – (– 3)
Traducir el conjunto de ambos signos en una
variación.
+ (–3) = – 3
– (– 3) = + 3
5–3
5+3
Es conveniente imaginar alguna situación “real” para entender
las operaciones con números negativos. Una que puede ser útil
es asociar las siguientes ideas:
•
•
•
•
Al no poder ir
juntos los signos
se han de separar
mediante un
paréntesis.
30
Sumar = Dar
Restar = Quitar
Num. positivo = Dinero efectivo
Num. negativo = Deuda
+ (±3) = ± 3 se interpreta como que “dar una deuda de 3 ¼
es igual a quitar 3 ¼ ”.
± (±3) = +3 se interpreta como que “quitar una deuda de
3 ¼ es igual a dar 3 ¼ ”.
Tema 1: Números
•
Suma
15 + 25 = 40
15 + (–25) = 15 – 25 = –10
–15 + 25 = 10
–15 + (–25) = –15 –25 = – 40
Con la asociación sugerida quedaría:
Tengo
(Sit. Inicial)
+ (– ) = –
– (– ) = +
15
15
deuda de 15
deuda de 15
Me dan
(Variación)
Acabo con
(Sit. Final)
25
deuda de 25
25
deuda de 25
40
deuda de 10
10
deuda de 40
Al igual que ocurre con los números naturales, la suma de
números enteros también cumple las propiedades asociativa,
conmutativa y elemento neutro.
[3 + (− 2)]+ (− 5) = 3 + [(− 2) + (− 5)] = −4
5 + (–7) = (–7) + 5 = – 2
(–3) + 0 = (–3).
•
Resta
15 – 25 = –10
15 – (–25) = 15 + 25 = 40
– 15 – 25 = – 40
– 15 – (–25) = –15 + 25 = 10
Con la asociación sugerida quedaría:
Tengo
(Sit. Inicial)
15
15
deuda de 15
deuda de 15
Me quitan
(Variación)
Acabo con
(Sit. Final)
25
deuda de 25
25
deuda de 25
deuda de 10
40
deuda de 40
10
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 18, 19 y 20
propuestos en el libro de actividades.
31
Tema 1: Números
•
Producto
Una multiplicación es la expresión de una suma de
sumandos repetidos.
3 · 4 = 4 + 4+ 4
(3 · 4 es tres veces cuatro)
Podemos considerar que un producto que incluye números
negativos expresa, de una manera simplificada, variaciones
repetidas del mismo valor y sentido.
3 · 4 = 12; 3 · (–4) = –12; –3 · 4 = –12;
–3 · (–4) = 12.
Si seguimos haciendo la asociación como antes quedaría:
Reglas de los signos
(+) · (+) = (+)
(+) · (–) = (–)
(–)· + = (–)
(–) · (–) = (+)
Variación
Me dan 3 veces 4
Me dan tres veces una deuda de 4
Me quitan tres veces 4
Me quitan tres veces una deuda de 4
Para multiplicar números enteros se multiplican sus valores
absolutos y el resultado se acompaña del signo + o – según
el signo de los factores. Para calcular ese signo aplicaremos
las reglas de los signos que aparece en el margen.
3 · (– 5) = – 15;
Nº signos
negativos Resultado
Par
Impar
+
-
Resultado
Me dan 12
Me quitan 12
Me quitan 12
Me dan 12
(– 3) · (– 5) = 15.
Al aplicar las reglas de los signos para multiplicar más de
dos números enteros podemos observar lo siguiente:
•
Si el número de signos negativos que aparece es par
se compensan dos a dos y el resultado es positivo.
3 · (– 5) · ( – 4) = – 15 · (– 4) = 60.
•
Si el número de signos negativos que aparece es
impar el resultado es negativo.
(– 3) · (– 5) · (– 4) = 15 · (– 4) = – 60.
Al igual que ocurre con los números naturales, el producto
de números enteros también cumple las propiedades
asociativa, conmutativa y elemento neutro.
7~
~P
PLVPR
· − 5)] = 30
Asociativa Æ [3·(− 2 )]·(− 5) = 3·[(− 2 )(
Conmutativa Æ
5 · (– 7) = (– 7) · 5 = – 35
Elemento neutro
Æ
(– 3) · 1 = (– 3).
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 21 y 22
propuestos en el libro de actividades.
32
Tema 1: Números
•
Calcular la raíz cuadrada de 16 es valorar el dato que
falta en esta expresión
[ ]2 = 16
Hay que calcular la base que será el número cuyo
cuadrado es 16. Podemos optar por poner el número 4 o
el número –4.
16
Gráficamente corresponde al cálculo del lado de un
cuadrado de área 16.
4
Se expresa:
16 = 4
También es válida
2
porque 4 = 16.
16 = − 4
2
porque (- 4) = 16.
Las raíces cuadradas de números negativos no existen.
Observa que la raíz cuadrada de -16 no existe porque
no encontramos ningún número que elevado al cuadrado
resulte –16.
42 = 16
y
(– 4)2 = 16.
• Calcular la raíz cúbica de 8 es calcular el dato que falta
en esta expresión
[ ]3 = 8
Hay que calcular la base cuyo cubo es 8. Está claro que
se trata del número 2.
Gráficamente corresponde al cálculo del lado de un cubo
de volumen 8.
8
Se expresaría:
2
3
8=2
3
porque 2 = 8.
Observa que la raíz cúbica de – 8 es – 2 porque
(– 2)3 = – 8
Así pues las raíces cúbicas de números negativos
también son de signo negativo.
Esquema raíz.
índice
n
[ ]n = b
raíz
b =a
radicando
38
• En general, calcular la raíz de índice n de un número
cualquiera b es calcular el dato que falta en la expresión
Se trata de calcular la base que elevada a n nos de b.
Se expresaría:
n
b =a
n
porque a = b.
Tema 1: Números
8WLOL]DPRV
VOOD
DFFDOFXODGRUD
Las calculadoras que vas a utilizar más frecuentemente a partir
de ahora son las llamadas calculadoras científicas.
•
En la calculadora
no científica se
tendría que hacer
esta operación:
Al calcular 2 + 4 · 3 el resultado sería:
En una calculadora científica
En otro tipo de calculadora
4· 3+2
•
En la calculadora no
científica se tendrían
que
hacer
estas
operaciónes:
8:2=4
2–4+3
Teclas de paréntesis. [(…
14
18
…)]
Al calcular 3 + ( 2 – 8 : 2 ) , al darle a la tecla de cerrar
paréntesis después del 2 aparece en pantalla – 2 , que es
el resultado del paréntesis, y al darle al igual aparece el
resultado total 1.
•
Tecla
+/-
Introduce o quita el signo negativo al número. Debemos
incorporar el signo después de haber escrito el número.
No debemos confundir con la operación de restar. Para
calcular – 8 – 7 se teclea:
Otras teclas.
Borra el último dato
introducido
C
Borra todo lo que no
está guardado en
memoria
AC
Estas calculadoras priorizan las operaciones, es decir,
cuando tecleas en orden expresiones que contienen
operaciones combinadas, respetan el orden en el que se han
de realizar, aunque no coincida con el de introducción de los
datos.
8 +/- – 7 = .
•
Teclas
y
xy
Calcula directamente la raíz cuadrada de un número.
Para calcular
4 , tecleamos: 4
XY Para calcular 53, tecleamos 5
42
XY 3 = .
Tema 1: Números
1RR
RROOYLGHV
•
A lo largo de la historia han ido cambiando los sistemas de numeración, tanto símbolos
como reglas de combinación. Actualmente utilizamos los sistemas de numeración romano
y decimal.
•
Los números se utilizan para identificar, ordenar, expresar cantidades y realizar
operaciones.
•
Una suma se relaciona con dos restas y una multiplicación con dos divisiones.
•
Redondear un número muy grande o un número decimal consiste en “eliminar” las cifras
no significativas. Normalmente suelen interesar las cuatro primeras.
•
El orden de las operaciones cuando aparecen combinadas es el siguiente:
™Paréntesis.
™Multiplicaciones y divisiones.
™Sumas y restas.
•
El signo negativo puede tener los significados:
™Valor menor que el 0 que se toma como referencia.
™Variación negativa.
•
Una potencia es la expresión simplificada de un producto de varios factores todos iguales.
™Base. Indica el factor.
™Exponente. Indica las veces que se multiplica por sí mismo.
•
La raíces son las operaciones contrarias a las potencias.
43
Tema 2: Fracciones y porcentajes
MÚLTIPLOS Y DIVISORES.
Recuerda las siguientes relaciones:
Múltiplo / Divisor
es una relación similar a
Padre / Hijo
Múltiplo
Divisor
Padre
Hijo
6:2=3
2· 3=6
6:3=2
Las relaciones que existen entre estos tres números son las
siguientes:
•
•
Si a es múltiplo de b,
entonces b es divisor de
a y a es divisible por b.
•
•
•
•
•
5
10
15
…
65
…
1500
….
•
•
•
48
Un nº es divisible por
2 si termina en 0 o
cifra par (ej. 80 ó 94).
Un nº es divisible por
3 si la suma de los
valores de sus cifras
es 3 o múltiplo de 3
(ej. 258, 2+5+8 = 15).
Un nº es divisible por
5 si termina en 0 ó 5.
(ej. 285 ó 280).
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando éste
por cualquier otro número natural no nulo.
Múltiplos de 5
Los múltiplos de un
número son infinitos y
son mayores o iguales
que el número.
•
6 es múltiplo de 3
6 es múltiplo de 2
2 es divisor de 6
3 es divisor de 6
6 es divisible por 3
6 es divisible por 2
(5 ·
(5 ·
(5 ·
…
(5 ·
…
(5 ·
…
1 = 5)
2 = 10)
3 = 15)
13 = 65)
300 = 1500)
Los divisores de un número son los números que lo dividen
exactamente (el resto de la división es cero).
Divisores de 12:
1
2
3
4
6
12
(12 : 1 = 12)
(12 : 2 = 6)
(12 : 3 = 4)
(12 : 4 = 3)
(12 : 6 = 2)
(12 : 12 = 1)
Divisores de 11:
1
(11 : 1 = 11)
11
(11 : 11 = 1)
Los divisores de
un número son
menores o igual
al número.
Tema 2: Fracciones y porcentajes
Para calcular estos valores se pueden utilizar diferentes
procedimientos:
Otra posibilidad para
hallar el máximo común
divisor es tomar el
número menor, si es
divisor de los otros, él es
el número buscado. En
caso contrario se prueba
con sus sucesivos divisores en orden decreciente
hasta encontrar uno que lo
sea de todos.
m.c.d.(15,9,6) = 3,
porque 3 es el mayor
divisor de 6 que lo es
también de 9 y de 15.
Otra forma de obtener el
mínimo común múltiplo
es:
Considerar el número
mayor, si es múltiplo de
los otros él es el número
buscado. En otro caso
seguimos probando con
sus sucesivos múltiplos
hasta encontrar uno que
lo sea de todos.
Para el
m.c.m.(30,40),
probamos con los múltiplos sucesivos de 40:
40 no es múltiplo de 30.
80 tampoco, pero 120 sí.
1. Para encontrar el máximo común divisor de dos números
escribimos todos los divisores de cada uno y subrayamos
los comunes a ambos, siendo el máximo común divisor
el mayor de estos.
En el caso de la parcela queremos un número que divida
a 56 y a 32 para que la separación sea siempre la misma
habiendo un poste en cada esquina. Además la distancia
deseada será la mayor de estas separaciones. Es decir,
el máximo común divisor de 56 y 32.
Divisores del 56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
Divisores del 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
m.c.d.(56,32) = 8.
Colocaremos un poste cada 8 m, y como en total hay
2 · 56 + 2 · 32 = 176 m.
Deberemos colocar 176 : 8 = 22 postes.
En algunas ocasiones puede que no exista ningún divisor
común a los dos números que sea distinto al 1. Se dice
entonces que los números son primos entre sí.
Por ejemplo si hallamos el m.c.d.(8,15) observamos que:
Los divisores de 8 son: 1, 2, 4, 8.
Comprobamos que 8 no es divisor de 15 y que 4 y 2
tampoco lo son.
El 1 evidentemente divide a 15, por tanto m.c.d.(8,15)=1.
Los números 8 y 15 son primos entre sí aunque ellos no
son números primos.
2. Para el mínimo común múltiplo debemos escribir una
serie de múltiplos de cada uno de los números, subrayar
los que sean comunes a ambas listas y elegir el más
pequeño de éstos.
En el problema del camionero necesitamos múltiplos de
30 para que haya gasolinera y de 40 para que haya
restaurante. Como queremos ambas cosas buscamos un
múltiplo común, y de entre ellos el primero (menor). Es
decir, buscamos el m.c.m.(30,40).
Múltiplos de 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180,…
Múltiplos de 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240,…
m.c.m.(30,40) = 120.
Por tanto cada 120 km habrá una gasolinera con
restaurante.
77~
~P
PLVPR
Para reforzar lo aprendido realiza los ejercicios 4
y 5 propuestos en el libro de actividades.
50
Tema 2: Fracciones y porcentajes
•
Para comparar números fraccionarios o para realizar
algunas operaciones con ellos, un sistema sencillo es
expresarlos previamente en forma decimal.
3 7
<
porque 0'75 < 1'4.
4 5
3 7
+ = 0'75 + 1'4 = 2'15.
4 5
1 2
− = 0'5 − 0 '22 = 0'28. (Aproximando 2 hasta las centésimas)
2 9
9
7 1
⋅ = 1'75 ⋅ 0'2 = 0'35.
4 5
21 1
: ⋅ = 4'2 ⋅ 0'5 = 8'4.
5 2
En Matemáticas
“de” pasa a “
·
”.
3
3
de 120 = ⋅ 120 = 0'75 ⋅ 120 = 90.
4
4
50% de 12 =
50
de 12 = 0'5 ⋅ 12 = 6
100
Los resultados pueden expresarse en forma de fracción.
215 43
.
=
100 20
35
7
.
0'35 =
=
100 20
28
7
= .
100 25
21
2'1 = .
10
2'15 =
0'28 =
También se puede operar directamente con las fracciones
sin recurrir a su expresión decimal. Vamos a ver algunas
operaciones.
SUMA
1/3
+
4/3
Sumas y restas. Si las fracciones tienen el mismo
denominador basta sumar o restar los numeradores.
1 4 5
+ = .
3 3 3
5/3
6 4 3
− = .
7 7 7
Pero en el caso de que tengan distinto denominador
buscaremos fracciones equivalentes que tengan el mismo
denominador. Como denominador elegimos un múltiplo
común, normalmente el mínimo común múltiplo, de todos
los denominadores que tenemos que sumar o restar.
•
1 2 3
6
9
+ =
+
= .
3 4 12 12 12
Expresamos las dos fracciones con el mismo denominador,
en este caso el m.c.m.(3,4) que es 12.
Buscamos una fracción a que sea equivalente a 1 , por
1 4
=
3 12
2
6
=
4
12
3
12
tanto a es 4 porque 12 es obtenido multiplicando 3 por 4 y
debemos multiplicar nuestro numerador 1 por 4 obteniendo
4 · 1 = 4.
Fíjate en el esquema del margen: al ser cada una de las
“partes” cuatro veces más pequeñas hemos de “coger”
cuatro veces más para que la cantidad sea la misma y las
fracciones sean equivalentes.
Lo mismo ocurre con
2.
4
Si
b 2,
=
12 4
b tiene que ser 6 porque
12 resulta de multiplicar 4 por 3 y el numerador 2 debe
multiplicarse también por 3, obteniendo
3 · 2 = 6.
56
Tema 2: Fracciones y porcentajes
En ocasiones es posible
ordenar a simple vista las
fracciones sin necesidad de
pasarlas a la forma decimal o
a común denominador.
• De dos fracciones con el
mismo denominador es
mayor la de mayor
numerador, ya que indica
mayor
número
de
unidades
fraccionarias
iguales:
6 2
>
3 3
•
De dos fracciones con el
mismo numerador es
mayor la de menor
denominador, ya que
indica igual cantidad
pero
de
unidades
fraccionarias mayores:
Ordenación. Para comparar u ordenar varias fracciones,
además de mediante la expresión decimal, podemos hacerlo
escribiendo una fracción equivalente a cada una pero con el
mismo denominador todas.
Por ejemplo para ordenar de menor a mayor las fracciones
10 27 17 13
, , ,
14 35 28 20
es conveniente hallar en primer lugar un múltiplo común de
todos los denominadores. El número más alto es el 35 por
lo que iremos probando con sus múltiplos:
35 ·
35 ·
35 ·
35 ·
1 = 35 pero 35 no es múltiplo de 14,
2 = 70 que sí es múltiplo de 14 pero no de 28,
3 = 105 que no es múltiplo de 14,
4 = 140 que es múltiplo de todos.
Dividiendo 140 de cada denominadores obtenemos 10, 4, 5
y 7, que son las cantidades por las que se multiplican los
respectivos numeradores para obtener las fracciones
equivalentes
10 ·10 100
,
=
14 ·10 140
27 ·4 108
,
=
35 ·4 140
17 ·5 85
,
=
28 ·5 140
13 ·7 91
.
=
20 ·7 140
por tanto las fracciones ordenadas son:
7 7
<
8 3
17 13 10 27
<
<
< .
28 20 14 35
Multiplicaciones. No necesitamos el mismo denominador.
PRODUCTO
1 2 1
2
⋅ = de .
2 3 2
3
2
3
1
2
de
2
3
•
1 2 2
⋅ = .
2 3 6
Al multiplicar fracciones se obtiene otra fracción cuyo
numerador es el producto de los numeradores de los
factores y cuyo denominador se consigue también
multiplicando los denominadores de las fracciones que
multiplicamos.
Divisiones. Tampoco es necesario el mismo denominador.
COCIENTE
•
1
2
1
1 1
de = .
2
2 4
1
1
es hacer dos partes de
2
2
1
resultando de cada una.
4
7~
~P
PLVPR
1
1 2 1
:2 = : = .
2
2 1 4
Al dividir fracciones se obtiene otra fracción cuyo
numerador es el producto del numerador del dividendo por
el denominador del divisor y cuyo denominador es el
producto del denominador del dividendo por el numerador
del divisor.
•
2 4 2 ⋅ 5 10 5
: =
= = .
3 5 3 ⋅ 4 12 6
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 21 y 22
propuestos en el libro de actividades.
57
Tema 2: Fracciones y porcentajes
Cantidad inicial × Decimal que indica el % = Cantidad final
CI · Decimal % = CF
La clave está en el cálculo o interpretación del decimal que
indica el porcentaje. Si es una cantidad entre 0 y 1 la
cantidad final es menor al 100% y se puede interpretar
como el cálculo directo de un porcentaje o como una bajada
de la diferencia hasta el 100%.
Decimal
correspondiente
al porcentaje
Si multiplicamos por 0’6 se puede interpretar como cálculo
de un 60% o también como una bajada de un 40%, pues
100% – 60% = 40%.
Entre 0 y 1
Menos de 100%
0’7 ≅ 70 %
Si es una cantidad mayor que 1 la cantidad final es mayor al
100% y se puede interpretar como el cálculo directo de un
porcentaje o como una subida de la diferencia desde el
100%.
Mayor que 1
Más de 100%
1’2 ≅ 120 %
Si multiplicamos por 1’3 se puede interpretar como cálculo
de un 130% o también como una subida de un 30%, pues
130% – 100% = 30%.
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 26 y 27
propuestos en el libro de actividades.
•
Frecuentemente lo que tenemos que calcular no es la
cantidad final sino, la cantidad inicial o el porcentaje
aplicado. En estos casos usaremos las siguientes divisiones:
CI = CF : Decimal %
Una multiplicación
se relaciona con dos
divisiones
o
Decimal % = CF : CI
Para saber cuál era el precio de un artículo que tras
aplicarle una rebaja del 30% cuesta 45’60 ¼
procederemos:
1.
El decimal correspondiente al cálculo directo de
una bajada del 30% es 0’7 pues calcu la
directamente el 70% resultante de la rebaja.
2.
Aplicamos la fórmula en la forma
CI = CF : Decimal %
3.
60
CI = 45’60 : 0’7 = 65’14 ¼
Tema 2: Fracciones y porcentajes
8WLOL]DPRV
VOOD
DFFDOFXODGRUD
•
Tecla SHIFT
Aparece en algunas calculadoras para activar las funciones u
operaciones que no aparecen sobre la tecla, sino en el
exterior y normalmente con otro color.
Si nuestra calculadora
tiene la función xy sobre la
tecla × , para calcular el
valor de 57, teclearemos:
Si encima de la tecla
aparece la función x2, para activar
esta segunda es necesario oprimir esta tecla con antelación.
5 SHIFT × 7
•
Tecla ab/c
Permite utilizar fracciones en la calculadora. Es una tecla
que no aparece en todas las calculadoras.
La pantalla
muestra:
4 ↵5
Para introducir en la calculadora 4/5 tecleamos:
4 a b/c 5
•
Tecla %
Ayuda a calcular porcentajes en algunas calculadoras.
Junto con las teclas + y - aumenta o disminuye el
porcentaje a la cantidad inicial.
Otra opción:
multiplicar por el
decimal
correspondiente.
En el ejemplo
0’12, 1’12 y 0’88
respectivamente.
•
Calculamos 12% de 50
5 0 × 1 2 %
Aumento del 12% a 50
5 0 × 1 2 % +
Bajada del 12% a 50
5 0 × 1 2 % -
Tecla º ´ ”
Convierte las horas minutos y segundos sexagesimales en
horas con decimales.
Para pasar a decimal 12h 30’ 45”usaremos la secuencia:
12 º ´ ” 30 º ´ ” 45 º ´ ”
La calculadora devolverá en su pantalla:
12.5125, que es la expresión en horas con decimales.
Podemos utilizarla después de la tecla SHIFT para hacer el
cambio recíproco, de horas con decimales a horas, minutos
y segundos sexagesimales.
Si ahora sobre el número anterior seleccionamos
SHIFT º ´ ”
La calculadora muestra:
12 º 30 º 45, expresión en forma sexagesimal.
68
Tema 2: Fracciones y porcentajes
1RR
RROOYLGHV
•
El euro es la moneda del sistema monetario europeo.
•
Las relaciones “ser múltiplo”/”ser divisor” son recíprocas.
cUn múltiplo de un número se obtiene multiplicando este número por cualquier otro
que no sea cero.
cUn número es divisor de otro si lo divide exactamente.
•
Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes formas de expresar cantidades,
incluyendo las que no sean exactas.
•
Las operaciones con fracciones se pueden reducir al cálculo con decimales o se pueden
realizar de forma fraccionaria.
•
Fracciones equivalentes son las que expresan la misma cantidad.
•
Se puede simplificar una fracción dividiendo numerador y denominador por el mismo
número hasta obtener una fracción irreducible equivalente.
•
Los cálculos que implican porcentajes se simplifican utilizando el decimal o “tanto por
uno” correspondiente.
CI · Decimal % = CF
•
Los divisores de la unidad de tiempo “hora” se pueden expresar en el sistema sexagesimal
( h ’”) o en el sistema decim al ( ´ ) .
c1’= 60’’
c1 h = 60’
•
Existen otras unidades de tiempo.
69
Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
En el ejemplo 5 = 2'5 o bien 5 = 12 . En ambos casos
12
x
2'5
x
5 ⋅ x = 12 ⋅ 2 ' 5 ⇒ 5 ⋅ x = 30.
Dividimos ambos lados de la igualdad por 5 con lo que
ambos términos seguirán siendo iguales
5 ⋅ x 30
= ⇒ x = 6 ¼
5
5
4. Para resolver problemas de proporcionalidad inversa también
Si para llenar un depósito
de combustible hemos
utilizado 32 veces un
recipiente de 12 litros
¿Cuántas veces usaremos
uno de 48 litros?
El nº de veces y el tamaño
de los recipientes son
magnitudes inversamente
proporcionales.
podemos utilizar cualquiera de los dos métodos anteriores.
Si un coche viaja a 30 km/h y tarda 45 minutos en recorrer
una distancia, ¿cuánto tardará en recorrer la misma
distancia a 20 km/h?
Una vez reconocida la proporcionalidad inversa viendo que al
disminuir a la mitad una magnitud la otra pasa a ser el doble
resolvemos:
Reducción a la unidad. Calculamos lo que corresponde a una
unidad de la magnitud que tenemos como dato, y luego
multiplicar por el número de unidades que nos está pidiendo.
Cuando las magnitudes son
inversamente
proporcionales se debe
mantener constante el
producto de las
magnitudes.
En el ejemplo, si el coche viajase a 1 km/h tardaría
45 · 30 = 1.350 minutos.
Ahora yendo a 20 km/h deberá tardar 20 veces menos,
1.350: 20 = 67'5 minutos.
45 ⋅ 30 = 1.350 → 20 ⋅ x = 1.350
↓
1.350
= 67'5.
x=
20
Regla de tres inversa. Construimos la proporción a = c
b
x
sabiendo que una de las razones debe estar invertida.
En el ejemplo, la primera razón corresponde a la
velocidad, 30 , y la segunda será el tiempo, 45 . Como son
En el ejemplo del depósito
deberá conservarse el producto, por tanto:
32 ⋅ 12 = 384 → x ⋅ 48 = 384
↓
384
= 8.
x=
48
20
x
magnitudes inversamente proporcionales debemos invertir
una de las fracciones para formar la proporción:
20 45
= .
30 x
Aislando la x como hicimos anteriormente,
20 x = 1.350 ⇒ x =
1.350
= 67'5 minutos.
20
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios del 1 al 9
propuestos en el libro de actividades.
77
Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
3. El tanto por mil es el número de unidades de la primera
magnitud que corresponden a 1.000 unidades de la otra.
La razón 2 de cada 5 anterior expresada en tanto por mil
es:
El crecimiento vegetativo
de un país es la diferencia
entre la tasa de natalidad y
la de mortalidad durante un
año. Normalmente es una
cantidad muy pequeña para
expresarse en tantos por
cien y se utilizan los tantos
por mil.
En 1997 España tuvo un
crecimiento vegetativo de
2
×1.000 = 400 ‰.
5
En el mundo real nos encontramos frecuentemente con
cualquiera de estas tres expresiones, y debemos saber como
utilizar cualquiera de ellas y como cambiar de unas a otras.
Porcentaje
Proporción
Fracción
25%
25 de 100
80%
80 de 100
25 1
=
100 4
80
4
=
100 5
33 1
≈
100 3
20 1
=
100 5
0’05% = 0’5‰
33%
20%
33 de 100
20 de 100
Tanto por
Uno
0’25
0’8
0’33
0’20
Tanto por
mil
250 0
00
800 0
330 0
200 0
00
00
00
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 10, 11, 12 y
13 propuestos en el libro de actividades.
3. HACEMOS REPARTOS
En ocasiones en la vida real debemos repartir cantidades en función de las inversiones
realizadas por cada una de las personas que invierten en un negocio, sorteo o cualquier otro
tipo de actividad que necesite una asociación. Estos problemas se resuelven utilizando la
proporcionalidad.
$SUHQGDPRV
VSSUDFWLFDQGR
1. Otro
problema de proporcionalidad que aparece con
frecuencia en nuestras vidas es el hacer repartos
proporcionales o prorrateos. Estas situaciones aparecen
cuando hay que repartir adecuadamente una cantidad
teniendo en cuenta las cantidades inicialmente impuestas
por cada uno de los que reciben el reparto.
79
Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
Para aprender a hacer estos repartos veamos un ejemplo.
Cuatro amigos rellenan un boleto de lotería pero cada
uno pone una cantidad diferente:
Alejandro
Ainhoa
Marta
Paula
9¼
6¼
18 ¼
12 ¼
El día del sorteo tienen la fortuna de recibir un premio
de 90.000 ¼ que deben repartir de manera justa. Es
decir, teniendo en cuenta la inversión inicial que cada
uno de ellos realizó.
Para hacer estos prorrateos tenemos dos posibles métodos
de trabajo:
• Hallando inicialmente la razón de cada uno respecto al
total en las cantidades inicialmente impuestas.
Las peñas de quinielas
reúnen el dinero de
varios clientes para poder
hacer una quiniela con
muchas combinaciones.
De salir premiada debe
ser repartido el premio
proporcionalmente a la
inversión de cada uno de
los apostantes.
Total inicial = 9 + 6 + 18 + 12 = 45
Razones iniciales de cada uno:
Alejandro Æ
Ainhoa Æ
Marta
Paula
9
45
6
45
Æ 18
45
Æ 12 .
45
A continuación aplicamos que el reparto debe ser para
cada uno directamente proporcional a la razón inicial.
9
x
=
⇒
Alejandro Æ 45 90.000
45 ⋅ x = 9 ⋅ 90.000
x=
Ainhoa Æ 6 =
45
6 ⋅ 90.000
x
⇒x=
= 12.000 ¼
90.000
45
Marta Æ 18 =
18⋅ 90.000
x
⇒x=
= 36.000 ¼
90.000
45
Paula Æ 12 =
12 ⋅ 90.000
x
⇒x=
= 24.000 ¼
90.000
45
45
45
80
9 ⋅ 90.000
= 18.000 ∈
45
Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
4. TRABAJAMOS CON ESCALAS
Una aplicación muy importante de la proporcionalidad es el uso de escalas en planos y
mapas. Se utilizan para expresar cuantas veces ha sido reducida o ampliada la realidad para
ser representada sobre un plano o un mapa.
1RFLRQHV
VEEiVLFDV
VGGHH
HHVVFDODV...
•
La escala realmente es la razón entre el dibujo y la realidad
expresando ambas magnitudes en las mismas unidades.
E=
Plano
Re alidad
$SUHQGDPRV
VSSUDFWLFDQGR
1. Con este plano que está a escala vamos a calcular algunas
distancias y las vamos a transformar en sus correspondientes
en la realidad
Plano a escala 1:100
82
Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
a) Justifica que 1 cm. del plano equivale a 100 cm. de la
realidad.
b) Averigua las dimensiones reales del salón y de la
habitación de matrimonio.
En ocasiones se utiliza
otro
método
para
indicar cual es la escala
E = 1 : 100.
Consiste
en
dar
directamente sobre el
plano la longitud que
tendría un metro:
1 m.
c) Calcula las dimensiones del sofá y de la cama.
Compáralas con las dimensiones de los que tienes en
tu casa o piensas poner.
d) Encuentra el tamaño que tendrán en el plano una
alfombra y una cama que te han gustado y de las que
conoces sus medidas.
Largo
Ancho
Alfombra
2’3 m.
2 m.
Cama
2’1 m.
1’5 m.
Por tanto para convertir cualquier medida del plano en su
correspondiente real aplicamos que la escala y el cociente
entre la medida del plano y su correspondiente real son
forman una proporción directa.
a) En nuestro ejemplo esto significa que cada cm. del
plano son 100 cm reales lo que equivale a 1 m.
Plano Æ Realidad
LReal =LPlano × DEscala
Para hallar el resto de medidas podemos seguir aplicando
esa relación de proporcionalidad pero el proceso será ahora
más sencillo: Tomamos cada una de las medidas sobre el
plano y dividimos por la escala. En realidad si el numerador
de la escala es 1, esto es equivalente a multiplicar por el
1
y las longitudes
denominador, ya que si la escala es E =
D
de un objeto sobre el plano y en la realidad son LP y LR
respectivamente, tendremos que:
1 L ⋅D
= LP ⋅ D.
L R = LR : = P
1
D
b) En nuestro ejemplo las dimensiones del salón y de la
habitación medidas sobre el plano son:
Largo
Ancho
Salón Habitación
6 cm.
2’6 cm.
3’5 cm.
3’4 cm.
Por tanto las medidas reales se obtendrán dividiéndolas
por la escala ( 1 ) o multiplicando por 100.
100
Largo
Ancho
Salón
600 cm.
350 cm.
Habitación
260 cm.
340 cm.
83
Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
m.
dm.
cm.
mm.
Normalmente estas medidas las usamos en metros para
no tener números tan grandes:
Subir 2 lugares
Æ Dividir por 100.
Largo
Ancho
Salón
6 m.
3’5 m.
Habitación
2’6 m.
3’4 m.
2. Ocasionalmente
podemos encontrarnos con planos
donde los objetos están ‘desproporcionados’ con el fin
de aparentar que el salón o el dormitorio son más
amplios de lo que son realmente. Estas situaciones
debemos reconocerlas y lo haremos aplicando la escala
a las dimensiones de estos objetos para comparar con
las de los que queremos colocar.
Tanto el sofá como la
cama son pequeños
por lo que resultará
más cómodo tomar
sus medidas en
milímetros que en
centímetros.
c) Si medimos las dimensiones del sofá y de la cama
que hay en el plano obtenemos:
Plano
Largo
Ancho
Sofá
17 mm.
7 mm.
Cama
18 mm.
13’5 mm.
Multiplicando por 100 (denominador de E) para tener
las medidas reales resultan:
Realidad
Largo
Ancho
Sofá
1.700 mm.
700 mm.
Cama
1.800 mm.
1.350 mm.
Medidas que usualmente pasaremos a metros (:1.000)
Realidad
Largo
Ancho
Sofá
1’7 m.
0’7 m.
Cama
1’8 m.
1’35 m.
Ahora podemos comparar con los objetos que tenemos.
3. Otras veces antes de comprar algunas cosas nos interesa
saber si encajarán bien en nuestra casa. En estos casos
disponemos de medidas reales de las cosas y debemos
trasladarlas al plano. Este proceso podemos hacerlo
nuevamente aplicando proporciones o bien:
Realidad Æ Plano
LPlano = LReal : DEscala
A las medidas reales debemos aplicar la escala
(multiplicar por E) o dividir por el denominador de la
escala si su numerador es 1.
d) Considerando las medidas reales de nuestros objetos
Realidad
Largo
Ancho
84
Alfombra
2’3 m.
2 m.
Cama
2’1 m.
1’5 m.
Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
0
E=
86
1
25.000
100 km
Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
En ocasiones la escala no viene expresada en forma
numérica, sino gráficamente, lo que puede resultar muy
cómodo. Para hallar la distancia real entre dos puntos del
mapa basta ver cuántas unidades de la escala hay entre ellos.
100 m
E=
2'5 cm
2'5 cm
1
=
=
100 m 10.000 cm 40.000
0
500
1.000
También podemos convertir la escala gráfica en numérica
midiendo la longitud de cada unidad gráfica en centímetros
y estableciendo nosotros el cociente,
Medida en cm.
E=
.
Medida en Realidad
a) Midiendo con una regla pero teniendo en cuenta las
unidades de la escala gráfica vemos que:
≈
210 km.
Distancia Florencia-Venecia ≈
310 km.
Distancia Roma-Florencia
Una señal que viaja a la velocidad de la luz, 300.000 km/s y
que debe hacer un recorrido determinado forma una
proporción directa considerando las razones entre la
distancia recorrida y el tiempo empleado en cada ocasión.
b) En nuestro caso como al duplicar los kms. se
duplicarían los segundos que tarda podemos afirmar que
estas magnitudes están en proporción directa. Por tanto,
como la distancia total es 210 + 310 = 560 km tendremos
300.000 km 560 km
560 × 1
=
⇒x=
= 0'001866... ≈ 0'002 s .
xs
1s
300.000
Habitualmente
se
llaman Mapas a las
representaciones de la
realidad con mucha
reducción, es decir con
escalas inferiores a
1:10.000.
En cambio si la
reducción no es tan
grande, escalas superiores a 1:10.000 se
suelen llamar Planos.
7~
~P
PLVPR
Cuando tenemos el plano de una ciudad también puede ser
útil la escala para hallar las distancias reales entre lugares
que nos parezcan interesantes.
c) Para saber si determinados desplazamientos podemos
hacerlos andando o vamos a necesitar un medio de
transporte es conveniente hallar las distancias entre los
lugares que nos interesa visitar. Midiendo en el plano la
distancia entre esos lugares obtenemos
Coliseo-Fontana
Fontana-Vaticano
Plano
E =1:25.000
6 cm.
10 cm.
Æ × 25.000 150.000 cm = 1’5 km
Æ × 25.000 250.000 cm = 2’5 km
Realidad
Ahora cada uno decide según sus posibilidades o ganas el
medio de transporte que va a utilizar.
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 17 a 21
propuestos en el libro de actividades.
87
Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
8WLOL]DPRV
VOOD
DFFDOFXODGRUD
A veces en trabajos científicos o cuando trabajamos con escalas
aparecen números muy grandes o muy pequeños. Tanto que
incluso pueden llegar a no caber en la calculadora.
Algunas calculadoras sólo admiten 8 dígitos y otras 10.
¿Qué ocurre si una medida sobre un dibujo es de 149 mm y
su escala es 1:1.000.000.000.000? ¿cómo podemos escribir
ese número en la calculadora?
Para permitirnos escribir estos números tan grandes las
calculadoras disponen de una tecla específica:
EXP.
Las medidas muy pequeñas
también se expresan con
notación científica pero
utilizando potencias de 10
con exponente negativo.
Estas potencias de 10
indican que la coma debe
moverse hacia la izquierda
tantas posiciones como
indica el exponente, por lo
que, el número será cada
vez más pequeño.
−
−
−
−
−
Pulgas ≈ 10-3 m.
Células ≈ 10-5 m.
Virus ≈ 10-7 m.
Moléculas ≈ 10-9 m.
Átomos ≈ 10-11 m.
Una célula normal mide
1×10-5 m de diámetro. El
“-5” indica que hay que
mover la coma hacia la
izquierda 5 posiciones
resultando
0’00001 m.
Esta tecla utiliza lo que en Matemáticas se llama notación
científica de números.
Se trata de escribir los números con todas las cifras menos la
primera como decimales y multiplicarlos por una potencia de 10
que indica las posiciones que debería moverse la coma.
Por ejemplo 1.000.000.000.000 = 1×1012.
En la calculadora para escribir 1×1012 pulsamos 1 EXP 12.
(La tecla EXP abrevia la escritura del × y del 10).
Para resolver el ejemplo inicial introducimos en la
calculadora:
149 × 1 EXP 12 =.
La calculadora mostrará en pantalla el siguiente resultado:
1.49
14
lo que equivale al número 1’49 ×1014 o, lo que es lo mismo,
149 seguido de 12 ceros (catorce menos los dos lugares que
ocupan el 4 y el 9), es decir
149.000.000.000.000
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 22 y 23
propuestos en el libro de actividades.
88
Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
1RR
RROOYLGHV
•
Dos figuras decimos que son semejantes si los lados correspondientes de ambas están
siempre en la misma proporción.
•
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por una
cantidad determinada la otra magnitud debe multiplicarse por la misma cantidad.
•
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por una
cantidad determinada la otra magnitud debe dividirse por la misma cantidad.
•
En una proporción siempre el producto de medios es igual al producto de los extremos.
•
Para resolver problemas de proporcionalidad directa o inversa podemos hacerlo de
dos maneras:
™Reduciendo a la unidad, es decir, hallando la cantidad que corresponde a una unidad
de la otra magnitud y luego multiplicando o dividiendo por el número de unidades.
™Construyendo una regla de tres, dando lugar a una proporción que se resuelve
multiplicando en cruz.
•
Los porcentajes, los tantos por mil y los tantos por uno son razones cuyos
denominadores son 100, 1.000 y 1 respectivamente. Pueden hallarse utilizando la
proporcionalidad de estas razones con la que necesitemos.
•
Para repartir una cantidad entre varias personas también podemos hacerlo de dos formas:
™Hallando las razones iniciales de cada inversor con el total y luego establecer
proporciones directas con las cantidades finales de cada uno.
™Calculando el tanto por uno de cada inversión inicial y multiplicando esos valores
por el total a repartir.
•
La escala de un plano es la razón entre cualquiera de sus medidas y la correspondiente real.
™Para pasar medidas del plano a la realidad dividimos por la escala, aunque si ésta
tiene numerador 1, esto equivale a multiplicar por el denominador.
™Para pasar medidas reales a un plano multiplicamos cada medida por la escala o
dividimos por su denominador si el numerador es 1.
•
La notación científica permite expresar cómodamente números grandes y pequeños:
™Para expresar un número en notación científica dejamos una única cifra delante de
la coma y ponemos como exponente de 10 el número de lugares que debe desplazarse
la coma para expresar dicho número en forma decimal. Si el desplazamiento de la
coma debe ser hacia la derecha el exponente será positivo y si debe ser hacia la
izquierda será negativo.
™Para expresar en forma decimal un número de notación científica desplazamos la
coma tantos lugares como señala el exponente, siendo este desplazamiento hacia la
izquierda si el exponente es negativo y hacia la derecha si es positivo.
89
Tema 4: Gráficas
1. CONSTRUIMOS GRÁFICAS...
Antes de comenzar has de conocer el vocabulario básico del tema.
1RFLRQHV
VEEiVLFDV
VGGH
HJJUiILFDV
Dos
rectas
son
perpendiculares cuando
los ángulos que forman
entre sí son rectos.
ordenada
3
2
-3
-2
-1
1
0 1
Al representar los ejes destacan:
•
Origen de coordenadas que es el punto donde se cortan
ambos ejes y se representa por O.
3
•
El eje horizontal se llama eje de abscisas y frecuentemente
se representa por OX.
abscisa
•
El eje vertical se llama eje de ordenadas y suele
representarse como eje OY.
•
A cada punto P del plano le corresponden dos números (x,y)
a los que se llama coordenadas cartesianas de P. Esta
asignación es lo que llamamos sistema de coordenadas. La
primera coordenada de P, x, se llama abscisa e indica el
desplazamiento horizontal respecto al origen. La segunda
coordenada, y, se le llama ordenada e indica el
desplazamiento vertical respecto al origen .
•
Cada cuadrante tiene los puntos caracterizados por los signos
de sus coordenadas:
Origen de
coordenadas
2
Para representar datos o resultados relativos al estudio de dos
medidas o magnitudes se utilizan frecuentemente lo que
llamamos ejes coordenados o cartesianos. Estos son dos rectas
numéricas perpendiculares entre sí que se cortan en el valor 0 y
sobre las que se especifica una graduación o escala cuyos
valores aumentan de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba.
El plano sobre el que se sitúan los ejes queda así dividido en 4
zonas llamadas cuadrantes.
-1
-2
-3
Cuadrante II
(-,+)
Cuadrante III
(-,-)
92
Cuadrante I
(+,+)
•
Primer cuadrante: ambas coordenadas son positivas.
•
Segundo cuadrante: la primera coordenada es
negativa y la segunda positiva.
•
Tercer cuadrante: ambas coordenadas son negativas.
•
Cuarto cuadrante: la abscisa es positiva y la
ordenada negativa.
Cuadrante IV
(+,-)
Tema 4: Gráficas
Vodafone,
Vodafone,
Movistar,
Movistar,
Amena,……
Amena,
Dibujando los ejes quedan
Coste(¼
2
1’5
1
0’5
O
1
2
3
4
5
6
7
8
10 T(min)
9
A continuación deberemos trasladar los puntos (dos
coordenadas) a los ejes, asignando a la abscisa, primera
coordenada, la posición correspondiente sobre el eje OX y a la
ordenada o segunda coordenada la posición correspondiente
sobre el eje OY.
En el ejemplo anterior
tenemos:
1ºaño 541 Æ(1,541)
2ºaño
721 Æ (2,721)
María (M) tiene por coordenadas Æ (5,1)
Aitana (A) Æ (5,0’5)
Isabel (I) Æ (8,1’5)
Sergio (S) Æ (10,1)
Raúl (R) Æ (10,2)
Al representar sobre los ejes obtenemos
3ºaño 1.080 Æ (3,1.080)
4ºaño 1.320 Æ (4,1.320)
Coste(¼
5ºaño 1.563 Æ (5,1.763)
2
2.000
1.600
1.200
1’5
800
400
0’5
R(10,2)
I(8,1’5)
1
O
1 2 3 4 5
M(5,1)
S(10,1)
A(5,0’5)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 T(min)
Muchas veces la situación que se nos presenta es la inversa, los
datos aparecen representados en una gráfica y necesitamos
saber sus coordenadas.
94
Tema 4: Gráficas
Éstas se pueden obtener proyectando perpendicularmente sobre
los ejes y observando la posición que ocupa.
Si en el ejemplo anterior aparecen dos nuevos puntos Paula
(P) y Laura (L), podemos conocer sus coordenadas
proyectándolos sobre los ejes:
Laura (L) marca en el
eje de abscisas 7 y en el
de ordenadas 2. Por
tanto sus coordenadas
son (7,2).
Las coordenadas de
Paula (P) son (3,0’5).
Coste(¼
2
R(10,2)
L
1’5
I(8,1’5)
1
M(5,1)
0’5
O
A(5,0’5)
P
1
2
3
S(10,1)
4
5
6
7
8
9 10 T(min)
En algunas ocasiones aparecen valores negativos para alguna de
las dos variables, elemento que debemos tener en cuenta a la
hora de representar los ejes y elegir su escala.
En la comarca de Els Ports han tomado las temperaturas a
lo largo de un día del mes de Febrero obteniendo
Hora
0
T(º C) - 6º C
6
2
t (h)
-6
12
16
20
- 4º C
- 1º C
6º C
4º C
- 3º C
En cambio la temperatura va variando a medida que
cambiamos la hora del día y por esta razón la
consideramos como la variable dependiente.
4
-4
8
Para representar la gráfica de esta tabla consideraremos el
tiempo como variable independiente puesto que va
cambiando por sí mismo independientemente de que la
temperatura suba o baje. Además elegimos que la escala de
ese eje aumente de 4 en 4 horas.
T (º C)
-2
4
0 4 8 12 16 20
Por otra parte el valor más alto es 6ºC y el más bajo es
–6ºC por lo que el eje vertical debe alcanzar valores
negativos. Si decidimos tener 3 tramos en este eje la
escala debe ser 6 : 3 = 2ºC.
La gráfica tiene cuatro puntos en el cuarto cuadrante y sólo
dos en el primero.
95
Tema 4: Gráficas
$SUHQGDPRVSUDFWLFDQGR
1. Vamos a hacer representaciones gráficas a partir de tablas de
valores que emparejan números.
En una ciudad de la comarca del Baix Vinalopó se miden las
temperaturas máximas durante 14 días de Mayo y se anotan
cada día.
?
Los resultados obtenidos son los siguientes
Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
T(ºC) 25 26 25 22 21 20 20 20 20 18 17 19 20 20
Para representar la gráfica de esta tabla consideraremos el
tiempo como variable independiente puesto que va
cambiando por sí mismo. Además elegimos la escala de ese
eje con las catorce marcas, es decir de uno en uno.
En cambio la temperatura va variando a medida que
cambiamos de día.
Con el ejemplo de los
sueldos podíamos poner
en el eje de abscisas los
años 98 hasta 02.
2.000
1.600
1.200
800
En ocasiones las cantidades de una variable están agrupadas
en torno a una cantidad muy alejada del origen de
coordenadas. En estos casos suele indicarse
en el gráfico esta situación haciendo una
marca de rotura en el eje correspondiente y
hallando la escala con los valores más alto y
más bajo de la variable correspondiente.
400
98
99 00 01 02
En nuestro ejemplo todas las temperaturas oscilan entre
17º C y 26º C por lo que va a ser adecuado hacer una
fractura del eje de ordenadas para que los valores de éste
comiencen cerca del 17º C.
Si aceptamos que el eje de ordenadas tenga 5 divisiones
como la diferencia entre la medida más alta y más baja es de
26 – 17 = 9º C, la escala a utilizar debe ser 9 : 5 = 1’8.
Por aproximación consideraremos cada tramo de 2º y
colocaremos como primera marca en el eje la de 16º .
96
Tema 4: Gráficas
T(º )
La escala para el eje de abscisas se toma
de día en día entre 1 y 7, mientras que la
del eje de ordenadas varía de grado en
grado, pero como la temperatura del
cuerpo humano sólo puede oscilar entre
36º C y 40º C haremos un corte en ese eje.
40
39
38
37
36
O
1
2
3
4
5
6
7
t(días)
Este tipo de representaciones arrancan desde el primer punto
y vamos subiendo o bajando la línea de la gráfica en función
de lo indicado en el texto.
Inicialmente y durante lo dos primeros días se
mantienen los 40º C, por tanto en todos los instantes
hasta el día 2 la segunda coordenada será 40º C (primer
tramo rojo).
El tercer día disminuye 2ºC
la temperatura (tramo azul),
el cuarto día subió 1ºC
(tramo rojo), el quinto bajó
1º C (verde) y el sexto bajó
otro grado (rosa) permaneciendo así la temperatura el
séptimo día (gris).
T(º )
40
39
38
37
Podemos ver en la gráfica
que el paciente fue dado de
alta con 37º C.
36
O
1
2
3
4
5
6
7 t(días)
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 1 a 6
propuestos en el libro de actividades.
99
Tema 4: Gráficas
•
Si el IPC fuese 0% la
evolución del precio de
las cosas podría venir
representado por una
gráfica como la siguiente
¼
Por último decimos que una gráfica es constante mientras
mantenga el mismo valor de ordenada (ni sube ni baja).
La gráfica que representa el coste de utilizar ‘Internet’
con tarifa plana respecto del tiempo es constante porque
cuesta lo mismo utilicemos el tiempo que utilicemos.
Coste
(¼
Las gráficas
constantes son
horizontales, es
decir, paralelas al
eje de abscisas.
30
tiempo
O
tiempo(h)
$SUHQGDPRV
VSSUDFWLFDQGR
1. Observando una gráfica podemos deducir muchas cosas de
una forma rápida e intuitiva.
Un ave vuela para
alimentar a sus crías que
están en el nido.
La gráfica muestra la
altura a la que se
encuentra
en
cada
instante
durante
20
minutos.
Alt (m.)
40
30
20
10
Tiempo(min)
O
5
10
15
20
a) ¿A qué altura está el nido? (mientras está él la altura no
varía? ¿Cuántos minutos está en él?
b) ¿En qué instante tiene la altura máxima y cuál es ésta? ¿Y
la mínima?
c) ¿Cuántos metros baja para recoger la comida y cuánto
tiempo emplea para ello? ¿Podrías saber su velocidad de
descenso?
d) ¿Cuánto tiempo está subiendo? ¿Y bajando?
e) ¿Tiene algún salto brusco la gráfica?
Con las nociones básicas estudiadas hasta ahora podemos
analizar este tipo de gráfica.
Al mayor de todos los
máximos se le llama
máximo absoluto y
al menor de los
mínimos, mínimo
absoluto.
a) La gráfica es horizontal o constante a 40 m. de altura,
entre los minutos 13 y 18. Por tanto ésta la altitud del
nido en el que permanece durante 5 minutos.
Son máximos de la gráfica aquellos puntos en los que su
ordenada es superior a las de los puntos que le rodean, y son
mínimos los que a su alrededor las ordenadas son mayores.
103
Tema 4: Gráficas
El precio de un coche va
disminuyendo con el
paso del tiempo. Su
gráfica será decreciente.
b) A los 8 minutos está a 50 m de altura que es la
ordenada más alta. Por tanto es un máximo.
Mínimos hay dos, uno al principio cuando t = 0 min. de
ordenada 30 m y otro a los 12 minutos de 0 m de altura.
Éste último además se dice que es el mínimo absoluto
porque es el más bajo de todos ellos.
Si recordamos que una gráfica es decreciente cuando al avanzar
las abscisas sus correspondientes ordenadas van decreciendo
podremos contestar al apartado c).
c) Baja desde los 50 m hasta el suelo (0 m) entre los 8 y
los 12 minutos, es decir, tarda 4 minutos. Por tanto entre
los 8 y los 12 minutos la gráfica es decreciente. También
lo es en el último tramo desde los 18 hasta los 20
minutos.
Suponiendo que un móvil lleva
velocidad constante (v) en su
desplazamiento (e) y que tarda un
determinado tiempo (t), se cumple:
v=
Podemos calcular la velocidad de descenso hasta
el suelo tarda 4 minutos en hacer 50 m. Por tanto
50 m ÷ 4 min = 12’5 m/min.
e
t
Todos los periodos de tiempo en los que la gráfica sube al
avanzar hacia la derecha decimos que son tramos crecientes.
La altura de un niño va
aumentando con el paso
del tiempo. Su gráfica es
creciente.
d) Sube desde el instante inicial hasta los 8 minutos y
vuelve a subir entre los 12 y los 13 minutos. En esos
tramos la gráfica es creciente, en total durante 9
minutos. Análogamente deducimos que es decreciente
desde los 8 hasta los 12 y de los 18 hasta los 20, es decir,
un total de 6 minutos.
La gráfica tiene saltos si hay cambios bruscos de la variable
dependiente para instantes muy próximos.
e) En este ejemplo no hay ningún salto puesto que este
indicaría un cambio instantáneo de la altura, cosa que
no es posible.
104
Tema 4: Gráficas
2. En
la vida real un gráfico muestra casi a simple vista
posibles situaciones anómalas
Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones se
inspira todo lo posible y después se espira tan rápido
como se pueda en un “espirómetro”. Al realizar una
espirometría se obtiene la gráfica:
a) ¿Cuál es el volumen inicial?
Vol (l.)
b) ¿Cuál es la capacidad máxima de los
pulmones?
4
3
c) ¿Cuánto tiempo dura la inspiración?
¿Y la espiración? ¿Cómo es (creciente o
decreciente) la gráfica en cada una de
esas situaciones?
2
1
O
2
4
6
8
10
12
t (s.)
d) ¿Considerarías normal que una
persona tenga el gráfico de su espirometría más
achatada? ¿Y más pequeña pero con la misma forma?
Utilizando nuevamente las nociones básicas de esta sección
podemos analizar cualquier gráfica.
En
la
siguiente
gráfica el primer y el
último tramo son
crecientes, el segundo
es decreciente y el
tercero es constante.
a) Inicialmente podemos ver que el volumen de aire
contenido en los pulmones es casi de 1’5 l.
b) El máximo es de 4 litros y se alcanza a los 5 segundos
de la espirometría.
c) El periodo de inspiración es el periodo de tiempo en el
que el volumen de aire en los pulmones se incrementa, es
decir cuando la gráfica es creciente; entre los 0 y los 5
segundos. Recíprocamente la espiración es cuando el
volumen disminuye y por tanto entre los 5 y los 12
segundos en los que la gráfica es decreciente.
d) Una espirometría más achatada indicaría poca
capacidad de inspiración y debería ser revisada por un
médico.
En cambio más pequeña significaría pulmones más
pequeños que no tiene porqué ir directamente relacionado
con un mal funcionamiento.
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 7 a 15
propuestos en el libro de actividades.
105
Tema 4: Gráficas
En nuestro caso cuando seleccionemos el tipo de gráfico ‘Líneas’ podemos
marcar la opción de ‘líneas y puntos’ que aparece en cuarta posición.
A continuación marcamos ‘Terminar’ y aparecerá el gráfico:
3000
2500
2000
1500
S erie1
1000
500
0
1
2
3
4
5
6
Podemos observar:
¾Presenta un mínimo en el cuarto mes.
¾Es decreciente hasta el cuarto mes y creciente a partir de él.
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 22
del libro de actividades.
109
Tema 4: Gráficas
1RR
RROOYLGHV
•
Los ejes coordenados son perpendiculares entre sí y el horizontal se llama eje de abscisas
y el de ordenadas es el vertical.
•
Cada punto tiene dos coordenadas, la primera indica la abscisa y la segunda la ordenada.
•
La variable independiente se representa en el eje OX y son los valores que no son
modificados por los valores de la otra magnitud.
•
Los valores que varían al cambiar la otra magnitud se dice que son de la variable
dependiente y se representan en el eje de ordenadas.
•
La escala de cada eje debe elegirse de forma que quepan todos los valores en el eje y que
la separación entre cada marca sea la misma.
•
Los máximos y los mínimos de una gráfica son los valores donde a su alrededor la gráfica
está por debajo o por encima respectivamente.
•
Si al avanzar en el eje de abscisas la gráfica también sube en ordenadas se dice que es
creciente, y si baja es decreciente. Si no sube ni baja se dice que es constante.
•
Podemos analizar gráficas simultáneas. Para ello normalmente lo más importante es ver la
evolución de una frente a la otra.
•
Las hojas de cálculo en los ordenadores personales permiten hacer con gran rapidez
representaciones gráficas.
110
Tema 5: Estadística y Probabilidad
El segundo tema que vas a estudiar en esta unidad, es la Probabilidad, que va ligado al azar y
a la incertidumbre y pretende cuantificar o medir la posibilidad de que sucedan cada uno de
los posibles resultados de una
experiencia concreta y, en
consecuencia, tomar unas
decisiones u otras.
Así, si sabemos que la probabilidad de que llueva
el martes en Mallorca es mayor que la de que lo
haga el lunes, planificaré mi excursión para este
último.
Con sólo un vistazo al
gráfico del recibo de
la luz podemos saber
si en una casa se usa
calefacción de gas o
eléctrica, y cual es el
consumo medio de
una familia.
(Q
3H0V8W9H
0W9H0P
2D
,Y;D,V
8DD
,,S5U7H0Q3G/H0U7
• A identificar e interpretar informaciones
estadísticas que
encuentres en medios de comunicación, en facturas
(compañía hidroeléctrica, de telefonía,…), o en otros
aspectos de tu vida cotidiana.
•
A diferenciar lo seguro y cierto (un objeto cae al suelo si
nada lo sujeta) de lo imprevisible (cuando un día está
nublado puede que llueva, pero no es seguro) y a cuantificar
la inseguridad o incertidumbre de la ocurrencia de los
hechos imprevisibles.
$QWHV
VGGH
HFFRPHQ]DU
...revisa las siguientes cuestiones que tendrás que utilizar:
•
•
•
•
112
Porcentajes y proporcionalidad.
Representación de datos en el plano y ejes
coordenados.
Redondeo de números decimales.
Operaciones con números enteros, decimales y
fraccionarios. Valor absoluto.
Tema 5: Estadística y Probabilidad
Si en una determinada
zona queremos realizar
una encuesta de opinión
pública, la elección de la
muestra no se podría
realizar:
- Entre los padres de un
centro
escolar:
se
restringe al estrato social
de los mismos.
- Visitando domicilios al
azar por la mañana: se
marginaría
a
la
población trabajadora.
- Llamando a
elegidos al
marginaría
abonados que
en la lista,…
teléfonos
azar: se
a
los
no figuren
Variable estadística
Cuantitativa Cualitativa
Continua Discreta
La fiabilidad de las conclusiones dependerá en gran parte de la
muestra considerada. La manera ideal de tomar una muestra es
al azar, a partir de una lista numerada de toda la población,
respetando su composición.
En nuestro caso los 50 alumnos han sido seleccionados
al azar teniendo en cuenta que no fueran todos del
mismo centro, ni del mismo nivel, sexo, edad,…
Es frecuente la utilización de encuestas para la recogida de
información. Se trata de un proceso estadístico muy vulnerable
a los factores de sesgo sobre todos si los datos a recoger no son
objetivos sino de opinión.
Es importante considerar dónde, cómo y cuándo se realiza
una encuesta:
• La entrevista personal, aunque permite realizar
aclaraciones, puede coartar la sinceridad de las respuestas.
• Los entrevistadores de calle se dejan influir por el aspecto a
la hora de elegir a los entrevistados.
• El entorno que rodea al encuestado (en solitario, rodeado de
gente, en el trabajo, en familia,…) puede influir en las
respuestas.
• El momento también influye (la respuesta a una cuestión
sobre terrorismo puede variar si se realiza inmediata-mente
después de un atentado).
Otro elemento importante es la forma que se dé a las
preguntas, debiendo ser claras, precisas, no tendenciosas,…
Se llama intervalo al
conjunto
de
valores
comprendidos entre dos
extremos.
• Variable. Es la característica de la población que queremos
estudiar que puede ser de los siguientes tipos:
a) Cualitativa: no puede tomar valores numéricos, no
medible.
El color de los coches es
una variable cualitativa.
El número de hijos de un
número de familias es
cuantitativa discreta.
La inversión mensual
realizada en euros por
una biblioteca a lo largo
de 5 años es una variable
cuantitativa continua,
pues, al menos en teoría,
puede tomar cualquier
valor y no solo valores
aislados como en el
ejemplo anterior.
114
En nuestro estudio el curso que les interesa no puede
ser expresado con un valor numérico.
b) Cuantitativa o numérica: medible. Si sólo puede tomar
valores aislados es discreta y si puede tomar todos los
valores de un intervalo se llama continua.
En nuestro caso el tiempo semanal dedicado a la
formación y contabilizado en horas completas es una
variable cuantitativa discreta y las edades de los
alumnos es cuantitativa continua pues pueden tomar
cualquier valor comprendido entre la edad más
pequeña y la mayor.
Tema 5: Estadística y Probabilidad
•
Fi
Xi
fi
%
Frecuencia absoluta de un valor o simplemente
frecuencia. ( Fi ) de un valor es el número de veces que se
presenta en el total de observaciones.
• Frecuencia relativa. ( fi ) Es el cociente entre la frecuencia
absoluta y el número total de individuos (N). Se
corresponde con el tanto por uno.
• Frecuencia porcentual o porcentaje. Se obtiene
multiplicando la frecuencia relativa por cien. Se
corresponde con la expresión de la frecuencia relativa en
tantos por cien.
$SUHQGDPRV
VSSUDFWLFDQGR
Word, Access,
Excel, Internet ?
1. Ante una determinada situación, de la que hay que obtener
información, se decide realizar un estudio estadístico.
2. Se elabora una encuesta con la que se recogerán los datos.
Las cuestiones que se han formulado en nuestro estudio
han sido las siguientes:
1. Edad.
2. Si tuvieses la posibilidad de realizar un curso formativo
de Informática, te interesaría que tratase sobre:
a) Procesador de textos-WORD.
b) Base de datos-ACCESS.
c) Hoja de cálculo-EXCEL.
d) Introducción a Internet.
1 hora, 2
horas...!!!
3.
Horas semanales que podrías dedicar a esta
formación
3. Recogida de resultados.
Los nuestros han sido los siguientes:
2.
Edad: variable
cuantitativa continua.
3.
Tipos de cursos:
variable cualitativa.
4.
Tiempo semanal:
variable cuantitativa
discreta.
1. 24, 18, 35, 20, 25, 18, 30, 21, 19, 18, 20, 35, 28, 33, 20,
18, 21, 24, 18, 19, 18, 20,20, 25, 27, 18, 29, 18, 40, 41,
33, 30, 31, 35, 20, 21, 18, 19, 47, 21,35, 22, 18, 30, 41,
20, 18, 25, 18, 18.
2. d), c), d), d), a), d), b), a), d), d), d), c), b), b), d), c), d),
d), d), d), b), a), a), d), c), b), b), d), a), c), c), a), d), d),
c), b), a), a), d), b), a), c), a), b), a), d), a), a), b), c).
3. 3, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2,
2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 1,
3, 1, 1, 3, 2, 2.
W
A
E
I
13
10
9
18
4. Confección de tablas estadísticas.
Realizamos el recuento del número que aparece cada uno de
los valores de la variable o frecuencia absoluta.
115
Tema 5: Estadística y Probabilidad
Identificaremos a los posibles valores de la variable como
Xi y a los posibles valores de la frecuencia con Fi.
Elaboraremos una tabla donde la variable aparezca en orden
creciente.
Dependiendo del tipo
y cantidad de los
datos, los valores en
las tablas podrán
aparecer como:
Datos aislados. Se
utilizan cuando el
número de valores
que puede tomar la
variable es pequeño o
si se trata de una
variable cualitativa.
Datos agrupados en
tramos o intervalos.
Cuando el número
de valores que puede
tomar la variable es
muy elevado o se
trata de una variable
continua se agrupan
en tramos o intervalos.
El valor 24 está incluido
en el segundo tramo
pero no en el primero, el
30 en el tercero y no en
el segundo y así
sucesivamente.
En nuestro caso, afectan a los datos sobre el tiempo y
el curso.
La tabla del tiempo quedaría
Tiempo (Xi)
Frecuencia (Fi)
1
22
2
18
3
9
4
1
Del mismo modo la tabla del curso sería
Curso (Xi)
Frecuencia (Fi)
WORD
13
ACCESS
10
EXCEL
9
INTERNET
18
En nuestro estudio la tabla de las edades es de datos
agrupados por tramos porque los valores pueden
variar desde 18 años hasta 47 años y 364 días
Edades (Xi)
Frecuencia (Fi)
[18 - 24[
28
[24 - 30[
8
[30 - 36[
10
[36 - 42[
3
[42 - 48[
1
La frecuencia relativa de
cada valor se calcula:
fi = F i / N
La frecuencia porcentual
se halla
(%) i = fi x 100
116
A continuación completamos las tablas con el cálculo, para
cada valor de la variable, de la frecuencia relativa (fi) y la
porcentual (%)i.
Además, añadiremos una última fila con la suma total de
cada una de las columnas.
Tema 5: Estadística y Probabilidad
En nuestro estudio las tablas completas quedarán así:
Como N es el número
total de datos debe
coincidir con la suma
de las frecuencias.
Esto se puede expresar
así:
n
∑F
= N
i
Tiempo
(Xi)
Frecuencia
(Fi)
F. Relativa
(fi)
%
1
22
0’44
44
2
18
0’36
2
3
9
0’18
18
4
1
0’02
2
TOTALES
N=50
1
100
Curso
(Xi)
Frecuencia
(Fi)
F. Relativa
(fi)
%
WORD
13
0’26
26
ACCESS
10
0’20
20
EXCEL
9
0’18
18
INTERNET
18
0’36
36
TOTALES
N= 50
1
100
Edades
(Xi)
Frecuencia
(Fi)
F. Relativa
(fi)
%
[18-24[
28
0’56
56
[24-30[
8
0’16
16
[30-36[
10
0‘2
20
[36-42[
3
0’06
6
[42-48[
1
0’02
2
TOTALES
50
1
100
i =1
El signo sumatorio)
expresa que se ha de
realizar la suma de
todos los valores que
se indican con el
subíndice, desde 1
hasta n.
Observa que la suma
de las frecuencias
relativas da uno.
n
∑f
i
=1
i =1
Por la misma razón la
suma de todas las
frecuencias porcentuales da 100.
n
∑%
i
= 100
i =1
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 1 propuesto en
el libro de actividades.
117
Tema 5: Estadística y Probabilidad
Æ13
Æ
• Pictogramas. Se representan los datos mediante dibujos
alusivos el tema estudiado. Se pueden realizar:
Æ10
Æ
Æ9
Æ
Æ18
Æ
* Utilizando un dibujo de un tamaño y valor concreto,
repitiéndolo las veces necesarias, hasta representar el valor
de cada frecuencia.
* Utilizando un solo dibujo para cada valor de la variable,
modificando el tamaño proporcionalmente según la
frecuencia.
Cuando el valor de la
variable se duplica, si
duplicamos todas las
dimensiones del dibujo
que la representa, el
volumen de éste queda
multiplicado por 8 y el
efecto óptico de crecimiento que transmite es
mayor que el real.
Obsérvalo con los dibujos
correspondientes a los
valores de la variable 9 y
18.
En nuestro estudio podemos representar las preferencias
por los cursos así:
13
WORD
10
9
18
ACCESS
EXCEL
INTERNET
Otros tipos de gráficos estadísticos que no son utilizables en
nuestro estudio pero son frecuentemente empleados en
Ciencias Sociales son:
• Cartogramas. Se utilizan cuando los datos vienen referidos
al estudio de áreas geográficas. En estos casos, sobre el
mapa de la zona estudiada, se representan los datos
utilizando diferentes colores o rellenos, de modo que a cada
uno le corresponde un intervalo de valores.
Comarcas
productoras de
uva de mesa
Comarcas
productoras de
uva de vino
Comarcas con poca
producción de uva
120
Tema 5: Estadística y Probabilidad
6. Una
vez completa la tabla debemos calcular medidas o
parámetros estadísticos que nos den una información
resumida y global del conjunto de todos los datos. Esta
información puede estar referida a dos aspectos distintos y
da lugar a dos tipos de parámetros estadísticos:
Si los gastos de agua
de este trimestre
ascienden a 57 euros,
sabemos que todos
los meses no hemos
gastado la misma
cantidad de agua,
pero diremos que la
media de cada mes es
de 19 euros
57
= 19 ¼
3
•
Parámetros o medidas centrales.
•
Parámetros o medidas de dispersión.
Pasamos al estudio de cada una de estas medidas.
MEDIDAS CENTRALES
Números que intentan agrupar en uno solo a todos los que se
han obtenido del estudio estadístico, son: media, mediana y
moda.
• Media o media aritmética. Seguro que la has calculado
alguna vez para sacar la media de tus gastos (tratas de
utilizar un solo número que sea representativo de tus gastos)
o calcular lo que le corresponde pagar en una cena con tus
amigos a cada uno, si decidís pagar entre todos y a partes
iguales.
Para calcular la media se suman todos los datos y se divide
por el número total de éstos. Se representa por x .
Si consideramos el
intervalo [1’85 - 1’95[,
la marca de clase es la
media de los extremos:
1 ' 85 + 1 ' 95
= 1 ' 90.
2
Al utilizar operaciones aritméticas únicamente se puede
aplicar a estudios de variable cuantitativa.
En el caso de valores agrupados en intervalos, se tomará
para el cálculo el valor central del intervalo llamado marca
de clase.
En nuestro ejercicio deberemos utilizar este recurso en el
apartado de las edades para no encontrarnos con
excesivas filas de datos:
Calculemos la media
de la siguiente serie:
1,1,1,2,2,3,3
Podremos proceder así:
1+1+1+ 2 + 2 + 3 + 3
7
o bien así:
[18-24[ Æ (24+18) / 2 = 21
[24-30[ Æ (24+30) / 2 = 27
[30-36[ Æ (30+36) / 2 = 33
[36-42[ Æ (36+42) / 2 = 39
[42-48[ Æ (42+48) / 2 = 45
x=
x=
122
1× 3 + 2 × 2 + 3 × 2
7
Si tienes muchos datos agrupados por sus frecuencias la
primera parte del cálculo de la media se simplifica
multiplicando cada dato por su frecuencia y luego sumando
el resultado. Para facilitar este trabajo se suele añadir una
nueva columna a la tabla estadística.
Tema 5: Estadística y Probabilidad
Calculamos la media para las variables cuantitativas
de nuestro estudio. Añadimos la columna con los
productos Xi · Fi .
1’7 8 no se corresponde
con ningún valor de la
variable ¡así es la
media!
Tiempo
(Xi)
Frecuencia
(Fi)
Xi · Fi
1
2
3
4
TOTALES
22
18
9
1
N=50
22
36
27
4
x =
Σxi=89
89
= 178
'
50
Pasemos al estudio de las edades. En este caso
añadiremos dos columnas, una con las marcas de clase
y otra con los productos Xi · Fi.
Fíjate que son mucho más
numerosos los alumnos
jóvenes (28 alumnos de
21 años), pero como en el
cálculo de la media
intervienen todos los
la media se
datos,
dispara a 25’92
Edades (Xi) Marca de
clase
[18-24[
21
[24-30[
27
[30-36[
33
[36-42[
39
[42-48[
45
TOTALES
x =
Frecuencia
(Fi)
28
8
10
3
1
N=50
Xi · Fi
588
216
330
117
45
Σxi=1296
1296
= 25 '92
50
• Mediana. Es el valor que ocupa la posición central después
de haber ordenado todos los valores, por esto sólo se puede
aplicar, igual que la media, en variables cuantitativas. Si el
número de valores es par se tomará como mediana a la
media de los dos valores centrales. Suele representarse por
Me.
123
Tema 5: Estadística y Probabilidad
En una oficina los
sueldos de 5 empleados
son:
700 ¼
700 ¼
800 ¼
1.000 ¼
7.500 €
La media es:
x =
10700
= 2 .140
5
Calculemos la mediana en nuestro estudio, en los datos
referidos a tiempos y a edades.
Al ser en ambos casos 50 valores, número par, habrá que
calcular la media de los valores que ocupen el 25º y 26º
lugar (24 datos a la derecha, 25 y 26 centrales, 24 datos a
la izquierda).
En el caso de los tiempos los primeros 22 valores son 1 y
del puesto 22 al 40 tienen valor 2, luego las posiciones
25ª y 26ª que nos interesan tienen ambas un valor de 2. La
mediana será la media de ambos valores
La mediana es:
Me = 800 ¼
Es evidente que en este
caso la mediana es más
representativa.
Si los sueldos son:
700 ¼
800 ¼
1.000 ¼
7.500 ¼
La media es:
x =
10 .000
= 2 .000 ¼
5
Tiempo
(Xi)
1
2
Frecuencia
(Fi)
22
18
3
4
9
1
Me =
2+2
=2
2
En el caso de los tiempos, tras un razonamiento similar,
concluiremos que la mediana toma un valor de 21, pues
los valores que ocupan los puestos 25º y 26º están en el
primer grupo de frecuencias. Me= [18-24[.
La mediana será la media
de los dos valores
centrales:
Edades
(Xi)
[18-24[
[24-30[
Marca de
clase
21
27
Frecuencia
(Fi)
28
8
800 + 1 .000
= 900 ¼
2
[30-36[
[36-42[
33
39
10
3
[42-48[
TOTALES
45
1
N=50
Me =
Media:
*V. Cuantitativas.
*Tiene en cuenta todos
los datos.
*Si hay datos extremos la
media no será muy
representativa.
*Si no se puede calcular
la marca de clase,
tampoco
se
podrá
calcular la media.
124
• Moda. Es el dato que más se repite. Se puede aplicar en
todos los tipos de variables y es la única medida central que
se puede calcular si la variable es cualitativa. Se representa
como Mo.
Puede existir más de una moda en un mismo estudio.
Si los datos están agrupados por sus frecuencias se
corresponde con el dato que presenta mayor frecuencia.
Tema 5: Estadística y Probabilidad
Una vez calculadas las desviaciones hay que calcular la media aritmética de todas
ellas. Para esto añadimos la columna del producto de las desviaciones (Di) por las
frecuencias (Fi), o sea, Di · Fi y la suma de todos estos productos en la casilla
inferior:
Tiempo (Xi) Frecuencia (Fi)
Di = | Xi - x |
Di ·
Fi
1
22
0’78
17’16
2
18
0’22
3’96
3
9
1’22
10’98
4
1
2’22
2’22
TOTALES
N=50
Σ |xi - x | = 34’32
DM =
34 ' 32
= 0 ' 69
50
Esto significa que los valores de los tiempos se separan una media de 0’69 horas de la
media obtenida para todos los datos.
De igual modo procedemos en el caso del estudio de las edades:
Edades (Xi)
Frec. (Fi)
Di
[18-24[
Marcas de
clase
21
28
4’92
137’76
[24-30[
27
8
1’08
8’64
[30-36[
33
10
7’08
70’80
[36-42[
39
3
13’08
39’24
[42-48[
45
1
19’08
19’08
TOTALES
N=50
DM =
Di ·
Fi
Σ |xi - x | = 275’52
275 ´52
= 5 '5104
50
Esto significa que los valores de las edades se separan una media de 5’5104 años de
la media obtenida para todos los datos.
σ
(sigma)
• Varianza y Desviación típica. Son valores que también
aportan información sobre el grado de separación de los
datos respecto a la media.
La desviación de cada dato a la media también se puede
medir utilizando el cuadrado de la distancia (xi -- x )2. La
media de todas estas desviaciones es la varianza.
127
Tema 5: Estadística y Probabilidad
n
2
Varianza =
2
2
( x1 − x ) + ( x2 − x ) + ... + ( xi − x )
=
N
∑ (( x − x )
i
2
fi
i =1
N
Esta fórmula, mediante adecuadas transformaciones se
convierte en esta otra que simplifica mucho los cálculos:
n
Varianza =
∑x
2
i
⋅ fi
i =1
N
− x2
En el cálculo de la varianza las unidades quedan elevadas al
cuadrado (m2 si se trata de longitudes, s2 si se trata de
tiempo, …).Para evitar esto se calcula la raíz cuadrada de la
varianza con lo que obtenemos otro parámetro llamado
desviación típica.
Des.típica = Varianza
En nuestro estudio, la tabla para el cálculo de la desviación típica de los tiempos
aplicando la segunda fórmula necesitaría incorporar dos nuevas columnas y,
teniendo en cuenta que x = 1'78 y que x 2 = 3'1684 , quedaría:
Tiempo Frecuenci
(Xi)
a (Fi)
Xi· Fi
Xi2· Fi
1
22
22
22
2
18
36
72
3
9
27
81
4
1
4
16
TOTAL
ES
N=50
Varianza =
191
191
− 3'1684 = 0'6516
50
Des.típica = 0'6516 = 0'8972 ≈ 0'9
De igual modo procederíamos en el caso del estudio de las edades.
La ventaja es que se puede obtener directamente con la
calculadora científica. Este procedimiento te lo vamos a
explicar a continuación en el siguiente apartado.
128
Tema 5: Estadística y Probabilidad
8WLOL]DPRV
VOOD
DFFDOFXODGRUD
En algunas calculadoras para
usar determinadas teclas
como x es necesario pulsar
antes la tecla SHIFT o INV.
Para introducir los datos
debemos teclear cada uno de
ellos y pulsar la tecla X o
DATA, que también suele
coincidir con la tecla = o M+.
7~
~P
PLVPR
No todas las calculadoras científicas funcionan de la misma
forma. Aquí te vamos a indicar los pasos que hay que seguir
con la mayoría de ellas para trabajar la estadística. Si tu
calculadora no responde a estas órdenes debes consultar su
manual de funcionamiento o al profesor.
Para empezar debemos saber poner la calculadora en
Modo Estadístico. Para ello debemos pulsar la tecla SD o
STAT, según modelos.
Modo Estadística: SD
Introducción de datos:
1 x 22 DATA Æ 1
2 x 18 DATA Æ 2
3 x 9 DATA Æ 3
4 x 1 DATA Æ 4
Resultados: Número de datos: n Æ 50
Media: x Æ 1’78
Desviación típica: σn Æ 0’8
No de datos introducidos. n_
σn
Desviación típica..….
Media aritmética:… x
Suma de los valores Σxi
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 7 y 8
propuestos en el libro de actividades.
7. Conclusiones y toma de decisiones
Concluimos pues, que la inversión podría hacerse impartiendo en los centros de FPA
cursos semanales de dos horas de duración sobre los siguientes temas: WORD,
ACCESS, EXCEL e INTERNET.
Las conclusiones que se obtienen del estudio son:
1. El 96% de los alumnos tienen una edad inferior a los 38 años, con una edad media de
25’92 años y con una desviación media de 5’5104 no muy elevada, por lo cual la
rentabilidad educativa estaría prácticamente garantizada.
2. Las gráficas de las preferencias por un tipo u otro de curso no están muy claras y,
aunque la moda sea a favor de INTERNET las frecuencias están muy repartidas en
todos los valores de la variable.
3. En cuanto al número de horas la media se sitúa en 1’78 horas con una desviación
media de solo 0’67.
129
Tema 5: Estadística y Probabilidad
2. HACEMOS PROBABILIDAD
Los orígenes de la Probabilidad datan del siglo XVII y están ligados a los juegos de azar. Tras
el desarrollo matemático de la teoría, desde finales del siglo XVIII, se viene aplicando a otras
ciencias y a campos como la sanidad, los seguros, los negocios,…
La probabilidad se encarga de analizar la facilidad que hay de obtener un resultado concreto
en determinadas situaciones, siendo su uso frecuente en la vida real. Las compañías
aseguradoras hacen probabilidad cuando estiman el riesgo de accidente teniendo en cuenta
aspectos como la edad, el sexo.
Inicialmente debemos decidir sobre qué cosas pueden hacerse estudios probabilísticos y sobre
cuáles no. Con posterioridad tendremos que saber calcular las posibilidades de cada resultado.
Antes de comenzar, como ya hemos mencionado, debes conocer algunas palabras que nos
permitan comunicarnos en este tema.
1RFLRQHV
VEEiVLFDV
VGGH
HSSUREDELOLGDG
Gana el primero
que obtenga un
número par
Cuando realizamos un experimento, éste puede ser, aleatorio
si el resultado no puede ser previsto, como por ejemplo lanzar
una moneda y observar si sale cara o cruz, o lanzar un dado y
anotar el número que se obtiene.
También podemos tener un experimento determinista si el
resultado podía haber sido previsto, como por ejemplo medir
una habitación, o soltar una pelota desde 10 m. de altura y
anotar el tiempo que tarda en caer.
Cuando realizamos un experimento aleatorio cada uno de los
resultados que podemos obtener se llama suceso elemental.
Por ejemplo ‘salir cara’ en el lanzamiento de una moneda.
Otro ejemplo puede ser el lanzamiento de un dado en el que
tenemos 6 sucesos elementales diferentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
¡Apunta!
2 m ancho 2´ 5 largo
Llamamos suceso compuesto o simplemente suceso al grupo
de varios sucesos elementales, como por ejemplo ‘salir
par’(2,4,6) es un suceso del lanzamiento de un dado, o ‘salir
un número primo’(1,2,3,5) .
Otros tipos de sucesos que deberíamos conocer son:
Ganas si te
sale un 7
• El suceso contrario como por ejemplo ‘no salir par’ es el
contrario de ‘salir par’.
• El suceso imposible que es el que nunca puede ocurrir
como por ejemplo ‘obtener un 7’ en el dado.
• Por último el suceso seguro que engloba todos los sucesos
elementales y por tanto sucederá con toda certeza.
130
Tema 5: Estadística y Probabilidad
$SUHQGDPRV
VSSUDFWLFDQGR
¿Quién
anota?
1. Lanzamos una moneda 100 veces y anotamos cuántas
ocasiones se obtiene ‘cara’ y cuántas ‘cruz’. Estas
anotaciones debemos hacerlas en una tabla de
frecuencias como la siguiente:
Frec. Abs. (Fi)
Frecuencia absoluta de
` cara´ es el número d
veces que te saldrá ` cara´
Frecuencia absoluta de
` cruz´ , el número de vece
que te saldrá ` cruz´ .
Frecuencia relativa es el
tanto por uno.

F
 fi = i 
N
Frec. Rel. 
Cara (C)
Cruz (X)
Suma
N=100
Si seguimos lanzando la moneda hasta 500 veces
observamos que las frecuencias absolutas de ‘C’ se
acercan a 250 mientras que las relativas a 0’5.
Este fenómeno de acercamiento al efectuar un elevado
número de experimentos y observar como la frecuencia
relativa de cada uno de los sucesos se va acercando a un valor
se llama Ley de los Grandes Números o Estabilidad de la
Frecuencia.
El número al que se aproxima la frecuencia relativa de un
suceso se le llama Probabilidad de ese suceso
En nuestro ejercicio la probabilidad del suceso ‘cara’
debe estabilizarse entorno al valor:
P (C ) =
250 1
= = 0 ' 5.
500 2
2. Calcula
la probabilidad de cada uno de los sucesos
elementales posibles al efectuar el lanzamiento de un
dado de 6 caras y halla la probabilidad de obtener
‘número primo’.
Inicialmente podemos pensar en hacer todos los cálculos
como en la actividad anterior efectuando gran cantidad de
lanzamientos y hallando la frecuencia relativa de cada
posibilidad. Pero en determinados casos donde todos los
sucesos elementales tienen las mismas posibilidades (sucesos
equiprobables) se puede aplicar la Regla de Laplace que
afirma que en estas situaciones la probabilidad de un suceso
131
Tema 5: Estadística y Probabilidad
es el cociente entre el número de casos favorables y el
número de posibles, es decir
P(S) =
Casos Favorables
.
Casos Posibles
Utilizando este criterio podemos concluir que:
P (1) = P ( 2) = P ( 3) = P ( 4) = P ( 5) = P ( 6) =
También podemos
hacerlo así:
Cuando deseamos calcular la probabilidad de un suceso
compuesto, ésta es igual a la suma de los sucesos
elementales que lo componen.
Casos posibles:
1, 2, 3, 5
Casos favorables:
1, 2, 3, 4, 5, 6
P(nº primo)= 4 = 2 .
6
1
.
6
3
De este modo podemos calcular la probabilidad de obtener un número primo en un dado, siendo ésta:
P ( n º primo) = P (1) + P ( 2) + P ( 3) + P ( 5) = 4 •
La
suma
de
las
probabilidades de un
suceso y de su contrario
es 1.
1 4 2
= = .
6 6 3
En ocasiones podemos utilizar la probabilidad del suceso
contrario.
P ( NO primo) = P (Todos excepto los n os primos ) = P (4) + P (6) =
()
2 1.
=
6 3
P(S ) + P S = 1 .
Por tanto
()
P (S ) = 1 − P S .
Observa que la suma de la probabilidad de un suceso y la de
su contrario es 1. Por tanto para calcular la probabilidad de
un suceso podemos utilizar la de su contrario si su cálculo es
más sencillo.
La Regla de Laplace no es aplicable, tal y como hemos visto
antes, a situaciones donde los sucesos elementales no son
equiprobables y para mostrar un caso en el que aparece esta
situación proponemos la siguiente actividad:
3. Si lanzamos una chincheta sobre una mesa tenemos dos
posibles posiciones de caída:
• Con la punta hacia arriba (⊥)
• Con la punta hacia abajo (∇).
¿Cuál es la probabilidad de que caiga en cada una de las
posiciones?
Cuando inicialmente la probabilidad de los sucesos no es
conocida y por tanto no equiprobable para aplicar la Regla de
Laplace podemos calcular la probabilidad de cada
posibilidad elaborando un trabajo empírico (probar muchas
veces):
132
Tema 5: Estadística y Probabilidad
De la relación existente
entre frecuencia relativa y
probabilidad
podemos
afirmar:
1. La probabilidad de un
suceso se encuentra
entre 0 y 1.
2. La suma de las
probabilidades
de
todos los sucesos es
igual a 1.
3. La probabilidad de un
suceso es 1 menos la
probabilidad
del
suceso contrario.
Efectuamos 100 lanzamientos (o más) y anotamos el
número de veces que cae de cada posición la chincheta
en una tabla de frecuencias (absolutas y relativas)
Frec. Abs.
(Fi)

F
 fi = i 

N
Frec. Rel.
N=100
Σ fi = 1
(⊥)
(∇)
TOTAL
Si consideramos que el número de lanzamientos ya es
suficiente para hacer una estimación, por la Ley de los
Grandes Números, aproximaremos cada una de las
probabilidades por la frecuencia relativa de cada
posición. Por tanto
P ( ⊥) =
P ( ∇) =
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 9 a 14
propuestos en el libro de actividades.
133
Tema 5: Estadística y Probabilidad
1RR
RROOYLGHV
•
La Estadística es útil cuando queremos obtener datos de un conjunto de elementos, sean
o no personas.
™Se llama variable a la característica que queremos estudiar.
™Si la variable se puede expresar con números la llamaremos cuantitativa y si no se
puede expresar con números la llamaremos cualitativa.
™Al conjunto de elementos que vamos a estudiar se le llama población. Si éste conjunto
es muy grande utilizaremos un grupo extraído de la población que sea representativo
de ésta al que llamaremos muestra.
™Para recoger los datos se elabora una encuesta.
™Una vez recogidos los datos se deben seguir los siguientes pasos:
o Recuento.
o Elaboración de tablas de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales.
o Selección y elaboración de la gráfica adecuada.
o Cálculo de parámetros centrales y de dispersión.
o Análisis de los resultados, conclusiones y tomas de decisiones.
™Los errores en la construcción de las gráficas, a veces intencionados, pueden llevar a
interpretaciones equivocadas.
•
La Probabilidad es factible aplicarla siempre que estemos ante experimentos aleatorios.
Los experimentos deterministas deben ser evaluados o investigados.
™La Regla de Laplace se puede aplicar si los sucesos son equiprobables.
™La Ley de los Grandes Números afirma que la frecuencia relativa de un suceso en
un gran número de pruebas aproxima a la probabilidad de ese suceso.
™Debemos tener presente que los sucesos aleatorios no tienen memoria y la
probabilidad de que algo suceda en un experimento no depende nunca del resultado de
la prueba anterior.
134
Tema 6: Álgebra
La relación matemática que existe entre los datos del problema es:
Consumo mes 1 + Consumo mes 2 + Consumo mes 3 = Consumo total
Lo podremos expresar utilizando el lenguaje algebraico de la siguiente forma:
2 (x +309) + (x +309) + x = 12927
Este lenguaje, simbólico y universal, ha contribuido al desarrollo posterior de otras ramas de
las Matemáticas y de otras ramas del saber científico. Las fórmulas que utilizamos en áreas
como la Geometría o en ciencias como la Física o la Química no son más que
generalizaciones de comportamientos de algunos fenómenos expresados mediante lenguaje
algebraico.
(Q
3H0V8W9H
0W9H0P
2D
,Y;D,V
8DD
,,S5U7H0Q3G/H0U7
•
A “traducir” situaciones cotidianas problemáticas al lenguaje
algebraico, después de haberte familiarizado con él.
•
A resolver estas situaciones con la aplicación de ecuaciones
de primer grado.
•
A reconocer en las fórmulas geométricas,
químicas,…expresiones algebraicas.
físicas,
$QWHV
VGGH
HFFRPHQ]DU
...revisa las siguientes cuestiones que tendrás que utilizar:
•
Operaciones básicas con números positivos, negativos
fraccionarios y decimales.
•
Relaciones que se establecen entre los elementos de
una suma y de una multiplicación.
•
Prioridad de las operaciones encadenadas y utilización
de los paréntesis para alterar el orden.
•
Conceptos de doble, mitad, triple, tercera parte,…
1. HACEMOS ÁLGEBRA
La resolución matemática de situaciones problemáticas puede
tener diferentes enfoques:
•
136
Por tanteo probando posibles soluciones hasta dar con la
verdadera.
Tema 6: Álgebra
Las ecuaciones que tienen la misma solución se llaman
ecuaciones equivalentes.
• Cada uno de los lados
de una igualdad se
llama miembro y cada
uno de los sumandos se
denomina término.
• Los términos en los que
aparece la incógnita se
llaman términos en x y
al
resto
términos
independientes.
números
que
• Los
multiplican
a
la
incógnita se llaman
coeficientes. Cuando
no aparece ningún
coeficiente se entiende
que éste es 1.
Las ecuaciones
7a = 4’97
y
14a = 9’94
tienen la misma solución a = 0’71, luego son equi valentes.
Para resolver una ecuación consideraremos que, al tratarse de
una igualdad, funciona como una balanza en equilibrio donde
los platillos de la balanza se corresponden con los miembros de
la ecuación. Para que el equilibrio de la balanza se mantenga el
peso a ambos lados ha de ser el mismo.
De esta forma la ecuación x + 2 = 7 la podremos representar
como:
x
3x Coeficiente 3
-4x Coeficiente –4
x
Coeficiente 1
7
2
En una balanza al poner o quitar peso de un lado se
desequilibra, pero se vuelve a alcanzar el equilibrio si la misma
operación (quitar o poner el mismo peso) se realiza en el lado
contrario.
Para resolver una
ecuación nuestro objetivo
ha de ser calcular el valor
de la incógnita x. Esto se
consigue pasando por
varias situaciones de
equilibrio hasta dejar sola
la incógnita a un lado de la
balanza.
x
7
2
Al quitar la pesa de valor 2 del primer platillo la balanza
se desequilibra.
x
2
5
x
5
2
Observa:
7=5+ 2
Al quitar la pesa de valor 2 del segundo platillo la balanza
se vuelve a equilibrar.
139
Tema 6: Álgebra
Expresamos las operaciones realizadas en la ecuación:
x+2=7
x+2–2 =7–2
x=5
El proceso por el cual dejamos sola a la incógnita en un
miembro de la ecuación se conoce como despejar la incógnita.
Si a la incógnita le faltara una parte para estar completa el
proceso sería similar.
Sea la ecuación:
x – 5 = 37
x
37
x
x-5
x
Completamos x añadiendo el trozo de valor 5, y para
mantener en equilibrio la balanza, añadimos un valor igual
en el otro platillo:
5
5
x
37
+
=
5
37
5
Finalmente quedaría:
42
x
42
Expresamos las operaciones realizadas en la ecuación:
x – 5 = 37
x – 5 + 5 = 37 + 5
x = 42.
140
Tema 6: Álgebra
Resolver una ecuación consiste en despejar la incógnita pasando
por
diferentes
ecuaciones
equivalentes
aplicando
convenientemente las reglas anteriores.
•
Resolvamos las ecuaciones de nuestros
ejemplos:
1.
7 a = 4'97
En el ejemplo 3 se realizan
las siguientes operaciones:
• Se quitan los paréntesis
aplicando la propiedad
distributiva:
7 a 4'97
=
7
7
a = 0'71
2.
a + 0’12 = 0’83
a + 12 – 12 = 0’83 – 0’12
a = 0’71
3(a + 0’12) = 3a + 0’36
• Se agrupan los términos
con a en un lado del igual:
7a + 3a + 0’36 = 7’46
10a + 0’36 = 7’46
• Se omiten las operaciones
0’36 – 0’36 y
10a
10
cuyo cálculo se realiza
mentalmente.
3.
7a + 3(a + 0’12) = 7’46
7a + 3a + 0’36 = 7’46
10a + 0’36 = 7’46
10a = 7’46 – 0’36
10a = 7’1
a = 7’1 : 10 = 0’71
Para simplificar la resolución de ecuaciones se siguen los
siguientes pasos con los que resolveremos otro ejemplo:
3x – 4 (x – 2 ) = 5x + 4
1. Quitar paréntesis.
3x – 4x + 8 = 5x + 4
2. Agrupar términos que contengan la incógnita y términos
independientes a ambos lados del igual.
Las operaciones en gris
se suelen omitir y se
realizan mentalmente.
3x – 4x + 8 – 8 – 5x = 5x + 4 – 8 – 5x
3x – 4x – 5x = 4 – 8
3. Despejar la incógnita dejándola sola a un lado del igual.
- 6x = - 4
− 6x − 4
=
−6
−6
4 2
x= =
6 3
142
Tema 6: Álgebra
En ocasiones las relaciones que se establecen son más
complejas e incluyen denominadores. Veamos un ejemplo y el
proceso a seguir para su resolución que incluirá la eliminación
de los denominadores.
2 − x x +1
−
=4
2
3
Otra forma de resolver las
ecuaciones con denominadores
es pasar a la forma decimal.
2 − x x +1
−
=4
2
3
1 − 0'5 x − (0'33x + 0'33) = 4
1 − 0'5 x − 0'33 x − 0'33 = 4
− 0'5 x − 0'33 x = 4 − 1 + 0'33
− 0'83 x = 3'33
3'33
x=
= −4'001
− 0'83
Observa que los resultados son
aproximados pero no
exactamente iguales. Esto es
debido al redondeo que hemos
realizado en el paso a decimales
cuando no es exacto.
a. Multiplicamos los dos miembros de la
ecuación por un múltiplo común a todos los
denominadores, siendo muy práctico el mínimo
común múltiplo. En nuestro caso m..c.m.(2, 3,
1) = 6.
 2 - x x +1 
6·
 = 6·4
3 
 2
6(2 − x) 6( x + 1)
−
= 6·4
2
3
b. Quitamos denominadores realizando los
cocientes del número por el que hemos
multiplicado
ambos
términos
y
los
denominadores. Siempre dará valores enteros
pues nos hemos asegurado de que fuera un
múltiplo común. En este caso las divisiones
6
6
son: = 3 y = 2 y la ecuación queda
2
3
3(2 − x) − 2( x + 1) = 24
c. Queda reducida a una ecuación del mismo tipo
que las anteriores y la resolvemos de la misma
forma.
La
segunda
ecuación
podríamos haberla calculado
mentalmente y haber pasado
directamente a la tercera.
7~
~P
PLVPR
6 − 3 x − 2 x − 1 = 24
6 − 3 x − 2 x − 1 + 3 x + 2 x − 6 + 1 = 24 + 3 x + 2 x − 6 + 1
− 3 x − 2 x = 24 − 6 + 1
− 5 x = 19
− 5 x 19
=
−5 −5
19
= −19 / 5
x=
−5
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 4 a 7
propuestos en el libro de actividades.
143
Tema 6: Álgebra
Datos e incógnita.
Dani
Sergio
Relación entre las edades
de los hermanos a lo largo
del tiempo:
Edades
1y6
2y7
3y8
4y9
5 y 10
6 y 11
7 y 12
8 y 13
9 y 15
10 y 16
11 y 17
12 y 18
…..
Edad actual
Hace 8 años
x+5
x+5–8=x-3
x
x-8
Hace 8 años la edad de Dani era el doble que la
de Sergio.
Relación
Seis veces
5 años más
5 años más
5 años más
Doble
5 años más
5 años más
5 años más
5/3
5 años más
5 años más
3/2
…..
Ecuación y resolución.
Podemos relacionar los datos igualando las
edades hace 8 años. Para poder igualarlas
tendremos que multiplicar la de Sergio por dos.
x – 3 = 2(x – 8)
x – 3 = 2x – 16
x – 2x = -16 + 3
-x = -13
x = -13/-1 = 13
Solución.
Sergio tiene 13 años y Dani 18 años.
2.
Problemas de recorridos.
En estos problemas se hace referencia a móviles que
realizan los mismos recorridos, bien en el mismo sentido o
en sentido contrario, con diferentes velocidades y momentos
de salida, e interesa el lugar y momento de encuentro.
e=v· t
Fórmula que relaciona
espacio, velocidad y
tiempo en el movimiento
uniforme.
Veamos un ejemplo:
Un padre y un hijo, aficionados al ciclismo, quieren hacer
el mismo recorrido sobre un carril bici. El padre es más
lento que el hijo y decide salir 30 minutos antes del punto
de partida. Interesa saber a qué distancia de la salida lo
alcanzará el hijo si los velocímetros marcan velocidades
de 20 Km/h y 32 Km/h respectivamente y suponemos que
la velocidad de ambos es constante.
Para resolverlo aplicamos la fórmula e = v · t y
expresamos adecuadamente los tres datos para cada uno
de los móviles, en este caso padre e hijo.
151
Tema 6: Álgebra
Gráfico. Siendo A el punto de partida y B donde se
produce el alcance:
Padre
A
t=x
e = 20x
B
e = 32(x - 0’5)
t = x - 0’5
Hijo
Datos e incógnita.
Padre
Hijo
Velocidad
20
32
Tiempo
x
x - 0’5
Espacio
20x
32(x - 0’5)
Ecuación y resolución.
Podemos relacionar los datos igualando los
espacios recorridos, ya que si han salido del
mismo punto, en el momento en que se encuentran
han recorrido el mismo espacio.
20x = 32(x –0’5)
20x = 32x – 16
20x - 32x = -16
-12x = -16
x = -16 / -12 = 4 / 3
El carril-bici es una
buena solución para que
los
aficionados
al
ciclismo disfruten de este
deporte
sin
correr
riesgos.
Solución.
Se encuentran a los 4/3 de hora de haber salido el
padre y a 60/3 de km (20 km) del punto de salida.
Si el problema plantease que los ciclistas salen al
mismo tiempo de dos puntos separados entre sí por 104
km y con sentido opuesto y siguiese interesando el
momento y el lugar donde se encuentran la resolución
sería:
Gráfico. Siendo A y B los puntos de partida
respectivamente y C el punto donde se produce el
encuentro:
152
Tema 6: Álgebra
A
B
104 km
e = 20x
e = 32x
C
Padre
Hijo
t=x
e = 20x
t=x
e = 32x
Datos e incógnita.
Padre
Hijo
Velocidad
20
32
Tiempo
x
x
Espacio
20x
32x
Ecuación y resolución.
Podemos relacionar teniendo en cuenta que la
suma de los espacios recorridos es de 104 km.
20x + 32x =104
52x = 104
x = 104/52 = 2
Solución.
Se encontrarán a las dos horas, a una distancia de 40
km del padre y 64 del hijo.
3.
Problemas de números.
En estos problemas se hace referencia a relaciones
establecidas entre los números. Es necesario conocer el
significado de números pares (múltiplos de dos), números
consecutivos (números enteros sucesivos),…
Veamos un ejemplo:
La suma de dos números enteros consecutivos es 37. ¿De
qué números se trata?.
Para resolverlo hemos de tener presente que dos números
consecutivos son un número y su siguiente.
Datos e incógnita.
1er nº
2º nº
x
x+1
153
Tema 6: Álgebra
Ecuación y resolución.
Podemos relacionar los
enunciado del problema.
x + x + 1 = 37
2x = 37 – 1
2x = 36
x = 36/2 = 18
números
según
el
Solución.
El primer número es el 18 y el segundo el 19.
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 15 a 27
propuestos en el libro de actividades.
8WLOL]DPRV
VOOD
DFFDOFXODGRUD
•
Se obtienen
series a partir
de la suma
Tecla +
Además de ser la tecla que se utiliza para sumar, si se oprime
dos veces, cada ver que oprimamos la tecla = sumará al número
que aparezca en pantalla el que hallamos indicado.
3 + + 2 = = =
En pantalla aparecerá: 5, 7, 9, …
•
Se obtienen
series a partir
del producto
Tecla X
Además de ser la tecla que se utiliza para multiplicar, si se
oprime dos veces, cada vez que oprimamos la tecla =
multiplicará al número que aparezca en pantalla el que hayamos
indicado.
3 x x 2 = = =
En pantalla aparecerá: 6, 12, 24, …
154
Tema 6: Álgebra
1RR
RROOYLGHV
•
El Álgebra va a permitirnos una nueva forma de resolución de problemas mediante el uso
del lenguaje algebraico y las ecuaciones.
•
El lenguaje algebraico permite expresar situaciones cotidianas de manera simplificada y
reducida, utilizando números, letras y los signos de las operaciones. Las letras van a
simbolizar cantidades desconocidas.
•
Cuando las expresiones se relacionan mediante el signo = fijando determinadas
condiciones obtenemos una ecuación.
•
Resolver una ecuación es hallar el valor de la letra o incógnita para que se cumplan las
condiciones que determina la igualdad.
•
Los pasos para resolver un problema mediante una ecuación de primer grado son:
a) Datos del problema.
b) Identificamos la incógnita.
c) Establecemos la ecuación que relaciona los datos y la incógnita con la información
del texto.
d) Resolvemos la ecuación.
e) Comprobamos la solución de la ecuación y la interpretamos como solución del
problema.
•
Las fórmulas son expresiones algebraicas que expresan las relaciones que se dan entre
determinadas magnitudes y medidas.
155
Tema 7: Geometría plana
1. HACEMOS GEOMETRÍA
La Geometría surge por la necesidad de medir la tierra y construir (edificios, puentes,...)
utilizando como base figuras lo más sencillas posibles; fíjate en las caras de los ladrillos o
bloques de construcción, en las paredes, en las ventanas, qué forma tienen las escuadras, los
libros, los folios, el gato de un coche , las ruedas ,...
Nos hemos comprado el siguiente terreno y queremos construir todo lo que en él vemos
dibujado A lo largo del tema conoceremos el nombre de todos los elementos (piscina, garaje,
paellero, ...) que aparecen en el plano, mediremos longitudes, bien para vallar el terreno, bien
para comprar el zócalo de algún recinto; también calcularemos superficies, pues vamos a
embaldosar el suelo del paellero, vamos a cubrir la piscina,…
40 m
20 m
Casa
20 m
6m
10 m
Garaje
29 m
3´25 m
6m
3´25 m
8m
10 m
14 m
Perro
Paellero
33´75 m
10 m
4m
2m
11 m
3m
3´16 m
Antes de comenzar has de conocer el vocabulario de este tema:
159
Tema 7 : Geometría plana
• Unidades de superficie
1cm2
1 cm
1 cm2 (un centímetro cuadrado) es la superficie de un
cuadrado de lado 1 cm y es la que vamos a utilizar como
patrón.
1cm2 1cm2 = 2 cm2
Trataremos de rellenar todas las superficies con la medida
que tenemos como patrón, es decir, cuántas veces podemos
poner 1 cm2 en nuestra superficie.
1 cm
Se lee:
Un centímetro cuadrado.
Dos centímetros cuadra dos.
1cm2 1cm2 1cm2
1cm2 1cm2 1cm2
2 cm2 es la superficie de 2 cuadrados de lado 1 cm.
¿Cuánto serán 12 cm2?.
Para ello construimos una figura en la que poder contar con
facilidad usando nuestra unidad patrón .
1 dm2 será la superficie de un cuadrado de lado 1 dm.
Sabemos que 1 dm = 10 cm. Si construimos un cuadrado de
lado 1 dm, obtenemos que su superficie es de 100 cm2.
1cm2 1cm2 1cm2
1cm2 1cm2
1 dm = 10 cm
1cm2
1 dm = 10 cm
Si lo construyes
de 20 cm x 5 cm
también tienes
100 cm2
¡la forma no es
importante!
Repite el razonamiento para obtener 1 m2, o sea, un cuadrado
de lado 1 m.
Recuerda 1 m = 10 dm.
1 m2 = 1 m × 1 m = 10 dm × 10 dm = 100 dm2.
1 m2 = 1 m × 1 m = 100 cm × 100 cm = 10.000 cm2.
168
Tema 7 : Geometría plana
1RR
RROOYLGHV
• De la Geometría plana o euclídea hemos estudiado el nombre de las figuras planas más
usuales, el perímetro y el área.
• Las principales figuras planas son:
cPolígonos.
o Cóncavos.
o Convexos.
STriángulos: polígonos de 3 lados.
Ángulos.
Lados.
Acutángulo.
Rectángulo.
Obtusángulo.
Escaleno.
Isósceles.
Equilátero.
SCuadriláteros: polígonos de 4 lados.
Paralelogramo (dos lados paralelos dos a dos).
Rectángulo.
Cuadrado.
Rombo.
Romboide.
Trapecio (dos lados paralelos).
Trapezoide (ningún lado paralelo).
S(Penta, hexa, hepta,…) – gono: polígonos de 5, 6, 7,…lados.
cCircunferencia y círculo.
•
El teorema de Pitágoras afirma: en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de
los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:
cateto2 + cateto2 = hipotenusa2
• El perímetro de cualquier polígono es la suma de sus lados.
cLa unidad de longitud en el S.M.D. es el metro.
• El área es la medida de la superficie de una figura plana.
cLa unidad de superficie en el S.M.D. es el metro cuadrado.
cPara medidas agrarias se utiliza el área.
• Cualquier figura plana podemos dividirla en figuras conocidas y calcular así su área.
•
FIGURAS
ÁREAS
Triángulo
(base x altura) / 2
Cuadrado
lado x lado = lado2
Rectángulo
base x altura
Rombo
(diagonal mayor x diagonal menor) / 2
Romboide
base x altura
Polígono regular
(Perímetro x apotema) / 2
de “n”lados.
Círculo
π · r2
Circunferencia
176
PERÍMETROS
Suma de los lados
4 · lado
2· a+2· b
4 · lado
Suma de los lados
n · lado
2· π· r
Tema 8: Geometría del espacio
•
Poliedro. Es el espacio cerrado limitado por polígonos.
Elementos de un poliedro.
diagonal
arista
¾Caras. Cada uno de los polígonos que delimitan el
poliedro.
¾Aristas. Son los lados de las caras, dos caras contiguas
comparten una misma arista.
¾Vértices. Punto en el que concurren tres o más caras.
Son los vértices de los ángulos poliedros.
cara
vértice
¾Diagonales. Segmentos que une dos vértices de caras
distintas.
Tipos de poliedros.
¾Poliedros regulares. Cuando todas sus caras son
polígonos regulares y en cada vértice concurren el
mismo número de caras.
Tetraedro
Icosaedro
Octoedro
Veamos cuántos podemos formar:
- Si en cada vértice concurren tres triángulos
equiláteros tenemos ángulos poliedros de 3 · 60 =
180º (recuerda que un triángulo equilátero tiene tres
ángulos de 60º). Este poliedro se llama tetraedro,
pues tiene cuatro caras.
-
Si ponemos cuatro triángulos equiláteros tenemos
ángulos poliedros de 4 · 60 =240º. Este poliedro es un
octoedro, tiene ocho caras.
-
Si colocamos cinco tenemos 5 · 60 = 300º. Se llama
icosaedro y tiene 20 caras.
Hexaedro
Dodecaedro
Ya no podemos poner más triángulos equiláteros en el
mismo vértice, pues con 6, tendríamos 6 · 60 =360º,
formaríamos un plano, no habría volumen.
-
Ángulos de un polígono
regular.
En un pentágono podemos
dibujar 5 triángulos iguales,
los ángulos de un triángulo
suman 180º Æ 180 · 5 = 900º
Si eliminamos los ángulos del
centro Æ 900 – 360 = 540º .
Si ahora los repartimos entre los
5 vértices del pentágono 540 : 5
= 108º . Los ángulos de un
pentágono regular miden 108º .
Si tomamos cuadrados, tenemos 3 · 90 = 270º.
Resulta un poliedro de 6 caras, es un hexaedro o
cubo.
Si intentasemos poner cuatro cuadrados 4 · 90 = 360º,
imposible, luego con cuadrados sólo exixte el hexaedro.
-
Cada ángulo de un pentágono mide 108º, con tres
tenemos 3 · 108 = 324º, este poliedro se llama
dodecaedro y tiene 12 caras.
El hexágono ya tiene ángulos de 120º, luego no podemos
juntar tres hexágonos, pues obtenemos 360º, después del
hexágono los ángulos son aún mayores y como mínimo
necesitamos tres caras para formar un ángulo poliedro,
luego no existen más poliedros regulares.
Sólo exixten cinco poliedros regulares.
180
Tema 8: Geometría del espacio
$SUHQGDPRV
VSSUDFWLFDQGR
1. Repasemos
los elementos de nuestra nevera, ésta es una
especie de caja. Tenemos los cajones del congelador, unas
parillas para organizar la nevera e incluso cajones para la
verdura. En la puerta solemos encontrarnos compartimentos
para las bebidas, los huevos, los botes pequeños, …
La nevera es un poliedro, cuya base y tapa son
rectángulos y las caras laterales también, así como la
puerta y el fondo. Ya sabes que es un prisma
rectangular, también se llama ortoedro.
Los cajones del congelador, así como los de la verdura
tienen 5 caras y todas ellas son rectángulos, se trata
también de un prisma rectangular u ortoedro.
los prismas cuyas caras son todas paralelogramos se
llaman paralelepípedos.
Los compartimentos de la puerta de la nevera son
paralelepípedos, pero por razones estéticas, ergonómicas, … ¡han redondeado los cantos!.
¡Poliedro regular!
Recuerda que si todas las caras son cuadrados, se llama
hexaedro o cubo
2. Veamos qué encontramos en el interior de la nevera.
Un trozo de queso, un trozo de tarta, son prismas
triangulares, la base y la parte de arriba son triángulos
paralelos, las caras laterales son rectángulos.
El bote de tomate, la lata de sardinas son cilindros.
La botella de leche es un cilindro, sino fuera por el
cuello de la botella.
El tetrabrik es un prisma rectangular, también hay
prismas octogonales, la base y la tapa son octógonos, y
las caras laterales siguen siendo rectángulos.
Si tenemos helados, éstos tienen formas curiosas, en
concreto los cucuruchos, tienen forma de conos, y las
bolas de helado esferas.
182
Tema 8: Geometría del espacio
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Dividir por
1000
Una caja de cerillas mide 40 mm de largo, 30 mm de ancho
y 10 mm de altura.
Su volumen será 40 · 30 · 10 = 12.000 mm3 = 12 cm3.
Subir 1 lugar
Bajar 1 lugar
Multiplicar
por 1000
• 1m3 es el espacio que ocupa un cubo de 1 m de arista.
1 m3 = 10 dm · 10 dm · 10 dm = 1000 dm3
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los
ejercicios 3 y 4 propuestos en el libro de actividades.
Trabajemos ahora las unidades de capacidad.
1 litro
UNIDADES DE CAPACIDAD
• 1 litro ( l ) es la capacidad de un cubo de 1 dm de arista.
1 litro = 1 dm3
Los múltiplos del litro son: Los submúltiplos del litro son:
1 dm
1 kl (kilolitro) = 10 hl
1 hl (hectolitro) = 10 dal
1 dal (decalitro) = 10 l
1 l = 10 dl (decilitro)
1 dl = 10 cl (centilitro)
1 cl =10 ml (mililitro)
Un bidón de gasolina
tiene 250 l de capacidad.
Pasamos de una unidad
multiplicando por 10.
¿Cuántos ml son?
250 · 1000 = 250.000 ml
Pasamos de una unidad a la inmediata superior dividiendo
por 10.
¿Cuántos hl son?
250 : 100 = 2´ 5 hl
a
la
inmediata
La capacidad de un bote de bebida refrescante es de
33cl.
33 cl = 33 · 10 = 330 ml
33 cl = 33 : 10 =3´ 3 dl = 3´ 3 : 10 = 0´ 33 l.
inferior
33 cl
: 100
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 5 y 6 propuestos
en el libro de actividades.
186
Tema 8: Geometría del espacio
• Queda claro que dos cuerpos con el mismo volumen tienen
la misma capacidad, aunque tengan distintas formas.
1 l = 1 dm3
3
1 kl = 1 m
1 ml = 1 cm3
Veamos que tenemos varias relaciones para pasar de
unidades de volumen a unidades de capacidad.
Hemos visto que : 1 l = 1 dm3.
Podemos deducir:
1 l. = 1000 ml
1 dm3 = 1000 cm3
1.000 l = 1 m3
1 ml = 1 cm3
1 kl = 1000 l = 1000 dm3 = 1 m3 Æ 1 kl = 1 m3
Ejemplo:
Si tenemos una piscina de 80 m3 y el grifo es capaz de
llenar 15 litros por minuto. ¿Cuánto tiempo necesitamos
para llenar la piscina?.
1 día = 24 horas
1 horas = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
80 m3 = 80 · 1000 = 80.000 l.
80.000 : 15 =5.333´ 33 minutos.
5.333´ 33 minutos = 3 días 16 horas 53 minutos 20
segundos.
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicio 7 y 8
propuestos en el libro de actividades.
• Otras unidades
EL SÍNDICO: era un
concejal del Ayuntamiento
(tercera
persona
en
importancia en el Ayto, 1º
el Alcalde, 2º el Tte.
Alcalde y 3º el Síndico)
que guardaba las medidas
oficiales
El síndico servía para
REFERIR, es decir, tenía
las referencias o las
medidas oficiales cuando
había una disputa de
medidas entre vecinos.
Los sistemas de medida han ido variando a lo largo del
tiempo, siendo incluso distintas dentro del mismo país.
Aquí tienes algunas medidas que se usaban en la Rioja:
9CÁNTARA = 16 litros (para vino y aceite)..
9CUARTILLA = 4 l.
9AZUMBRE = 2 l. (para aceite vino y leche).
9CUARTILLO = medio litro (para leche).
9MEDIA LIBRA = 1/4 de l.
9PIE DE OLIVA = 38 l.
9TINAJA = 8 Cántaras, normalmente. También había
de 10, 16 y 20 cántaras.
187
Tema 8: Geometría del espacio
8WLOL]DPRV
VOOD
DFFDOFXODGRUDž
Recuerda que no todas las calculadoras funcionan de la misma
manera. Si tu calculadora no responde a éstas órdenes consulta
su manual de funcionamiento.
3x
3x
es la operación
inversa de x3 .
Esta tecla calcula la raíz cúbica de cualquier número.
Calculemos 3 1000 y 3 − 343
1000 3 x
= 10
343 +/- 3 x
= -7
Æ
103 = 1000
Æ
(-7)3 = - 343
¿Cuánto debe medir la arista de un cubo, para que su capacidad
sea de 2 l.?
2 l = 2000 cm3
x
índice
volumen del cubo = arista3 Æ 2000 = a3
a = 3 2000
con la calculadora Æ a = 2000 3 x =12´ 6 cm
7~
~P
PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 29 propuesto en
el libro de actividades.
197
Tema 8: Geometría del espacio
1RR
RROOYLGHV
Vžž
•
Un poliedro es un espacio cerrado limitado por polígonos. Los principales poliedros son:
™Poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro
™Prismas: las base son polígonos paralelos y las cara laterales son paralelogramos.
™Pirámides: la base es un polígono cualquiera y las caras laterales son triángulos que
acaban todos en un vértice común.
•
Un cuerpo de revolución se genera al hacer girar una figura plana 360º sobre uno de sus
lados. Los principales cuerpos de revolución son:
™Cilindros: se genera al girar 360º un paralelogramo sobre una de sus lados.
™Conos: se genera al girar 360º un triángulo rectángulos sobre uno de los catetos.
™Esferas: se genera al girar 360º medio círculo sobre el eje de su diámetro.
•
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.
™1dm3 es el espacio que ocupa un cubo de un 1dm de arista.
™1 l. es la capacidad de un cubo de volumen 1dm3.
•
FIGURAS
VOLÚMENES
AREAS
Prisma
área de la base x altura
2 · área de la base + área de las caras laterales.
Pirámide
área de la base ⋅ altura
3
Cilindro
Cono
Esfera
198
π·
r2 · h
π ⋅r2 ⋅h
3
4
⋅π ⋅ r3
3
área de la base +
2· π·
Perímetro x apotema
2
r2 + 2 ·
π · r · altura
4 · π · r2
Formación Básica
de Personas Adultas
Graduado en Educación Secundaria
PROCESOS E
INSTRUMENTOS
MATEMÁTICOS
Cuaderno de Actividades
Unidades 1 a 4
Actividades Tema 1
3. Escribe los números decimales formados por:
a)
b)
c)
d)
Dos decenas, una unidad, cinco centésimas.
Tres centenas, dos décimas y tres milésimas.
Tres unidades de millar, cinco centenas y veintitrés centésimas.
Una unidad de millón, una unidad y una milésima.
Operaciones básicas con números decimales.
1. Para sumar y restar números decimales tenemos que colocar la coma debajo de la
coma .
32’56 + 4’756 = 37’316
32’56
+ 4’756
37’316
2. Para multiplicar números decimales se multiplica como si no se tratara de números
decimales y en el resultado se separa un número de cifras decimales igual a la suma
de los decimales de los factores.
24’6· 2’5 = 6´ 150
24’6
x 1’25
1230
492
6´ 150
Si multiplicamos un decimal por la unidad seguida de ceros se desplaza la coma
hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el número. Observa que al
multiplicar el número crece.
32’5 · 1000 = 32500
3. Para dividir un número decimal entre un entero se procede como si fuera un número
decimal, colocando la coma en el cociente cuando lleguemos a ella en el dividendo.
653’4 : 2 = 326’2
653’2 2
05
326’6
13
12
0
Si el divisor fuera un número decimal, multiplicamos dividendo y divisor por la
unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor número de forma
que este pierde todos los decimales. Luego dividimos como en el caso anterior.
78’24 : 2’5 = 782’4 : 25
Si dividimos un decimal por la unidad seguida de ceros se desplaza la coma hacia
la izquierda tantos lugares como ceros tenga el número. Observa que al dividir el
número disminuye.
32’5 : 1000 = 0’0325
202
Actividades tema 1
4. Calcula el resultado de estas expresiones:
a)
b)
c)
d)
e)
Suma cuarenta y dos enteros, tres décimas a cuatro enteros, veintidós milésimas.
Resta setenta y dos centésimas a una unidad.
El triple de ocho unidades, siete décimas.
El número 100 veces mayor que 2’5.
La décima parte de 2’5.
5. Completa:
En 9 unidades hay _____ décimas.
En 16 centenas hay _____ unidades.
En 18 decenas hay _____ décimas.
En 130 décimas hay _____ unidades.
En 1000 centésimas hay _____ unidades.
En 170 milésimas hay _____ décimas.
6. Calcula el resultado de estas operaciones:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
32’7 · 0’004
0’04 · 1000
2’1 · 100
245’4 : 6
245’2 : 0’4
3’05 : 100
589’06 : 10
203
Actividades Tema 1
El significado de estos signos.
< … menor que … ;
> … mayor que …
7. Compara estas cantidades utilizando los signos =, >, <:
a.
b.
c.
d.
3’5 y 3’05
0’1 y 0’110
0’1 y 0’100
21’02 y 21’2
•
Un cheque es una orden de pago a una entidad bancaria, por la persona que lo
extiende, con cargo a la cuenta corriente que tenga abierta en ella.
•
Los cheques pueden ser:
• Nominativo. Solo lo puede cobrar la persona a favor de la que se
extiende
• Al portador. Lo podrá cobrar la persona que lo posea. Puede dar
problemas en caso de extravío.
• Cruzado. Solo se puede pagar abonándolo en una cuenta de la persona o
personas indicadas.
• Conformado. El banco emisor ha de indicar de forma explícita que se
trata de un documento auténtico y de la existencia de fondos, los cuales
mantendrá bloqueados hasta que se efectúe el pago.
Tanto la fecha como la cantidad han de ir en letra.
•
8. Aquí tienes un cheque. Has de rellenarlo, al portador, con los siguientes datos:
Cantidad: 1327’3 ¼
Fecha:
17/9/2002
204
Actividades tema 1
BANCO”TAL”
C/ Valencia s/n
Valencia
CÓDIGO CUENTA
ENTIDAD OFICINA CONTROL CUENTA
1111
1111
11
1111111111
Euros_________________________
PÁGUESE PO ESTE CHEQUE A _______________________________________________________
EUROS _____________________________________________________________________________
______________________________________________ de ____________________ de ____________
Serie Z 1111111-1
Firma del titular de la cuenta
2. HACEMOS MÁS NÚMEROS
9. Observa los siguientes posibles titulares de prensa asociados a la misma noticia y
publicados por diferentes diarios e indica la cifra a la que han realizado cada uno de ellos
el redondeo.
a.
$OD
$O
DP
PDQLIHVWDFLyQ
QDDVLVWLHURQ
Q
SSHUVRQDV
$OOD
$
DP
PDQLIHVWDFLyQ
QDDVLVWLHURQ
Q
SSHUVRQDV
$OOD
$
DP
PDQLIHVWDFLyQ
QDDVLVWLHURQ
Q
SSHUVRQDV
b.
(OOSSRUFHQWDMH
HGGH
HP
PXMHUHV
VYYtFWLPDV
VGGH
HOOD
DYYLROHQFLD
DGGRPpVWLFD
DIU
IUHHQWH
HDDOOGGH
HKKRPEUHV
HV
VGGHOO
(OOSSRUFHQWDMH
HGGH
HP
PXMHUHV
VYYtFWLPDV
VGGH
HOOD
DYYLROHQFLD
DGGRPpVWLFD
DIU
IUHHQWH
HDDOOGGH
HKKRPEUHV
HV
VGGHOO
(OOSSRUFHQWDMH
HGGH
HP
PXMHUHV
VYYtFWLPDV
VGGH
HOOD
DYYLROHQFLD
DGGRPpVWLFD
DIU
IUHHQWH
HDDOOGGH
HKKRPEUHV
HV
VGGHOO
205
Actividades Tema 1
10. Cálculo mental. Estima los resultados de las siguientes operaciones y explica cómo lo has
hecho.
a) 14’67 x 4’02
b) 2532 : 53
11. Cálculo mental. Calcula el resultado de la siguiente expresión:
a) 20 x 4’53 x 5 x 10 =
b) 25 + 130 + 75 + 70
Orden para realizar operaciones combinadas:
1º. paréntesis
2º. multiplicaciones y divisiones
3º. Sumas y restas.
12. Calcula el valor de la letra en estas expresiones.
a) (3 + a) : 2 = 4
b) b · 5 – 4 = 26
c) 7 + 10 : c = 12
206
Actividades Tema 1
16. La ecotasa balear.
a. Calcula el importe que supone a una familia de
4 miembros la ecotasa si durante sus
vacaciones se alojan 8 días en un hotel de 2
estrellas y otros 8 días en un camping.
b. Fíjate en quién la paga y cuál es el destino de la
recaudación. ¿Cuál es tu opinión al respecto?.
3. HACEMOS NÚMEROS NEGATIVOS
17. Observa los siguientes datos del padrón de Enero del año 2000 publicados el 4 de Agosto
de 2001 y contesta a las siguientes cuestiones
a) Observa la variación de Asturias, Castilla y León, Extremadura, Galicia y La Rioja.
¿Qué significa el signo – que aparece junto a los datos de la última columna?.
b) Ordena las variaciones de estas comunidades con respecto al padrón de 1996 de menor
a mayor.
c) Entre la mayor y la menor variación, ¿cuál es la diferencia?.
d) Calcula el número de habitantes que se registraron en el padrón de 1996 en las
siguientes comunidades: Andalucía, Asturias, Cantabria, Castilla y León, Murcia.
208
Actividades tema 1
209
Actividades Tema 1
18. Calcula mentalmente:
a)
b)
c)
d)
23 + 17
23 + ( - 17)
23 + ( - 17)
23 + 27
Asociación sugerida en el tema para facilitar la comprensión de las operaciones con
números enteros:
Sumar = dar
Restar = quitar
Número positivo = dinero en efectivo
Número negativo = deuda
19. Calcula realizando la asociación sugerida en el libro de texto:
a)
b)
c)
d)
23 – 17
23 - ( - 17)
23 - ( - 17)
23 – 27
20. Continúa las series hasta que cada una de ellas tenga 7 números.
a) 9, 6, …
b) 7, 4, …
c) –4, -7, …
21. Calcula y completa el cuadro:
VARIACIÓN
a)
b)
c)
d)
210
5·
5·
5·
5·
3
(- 3 )
3
(- 3 )
Me dan 5 veces 3
_______________
_______________
_______________
RESULTADO
_________________
_________________
_________________
_________________
Actividades tema 1
22. Calcula:
a)
b)
c)
d)
(-5) · 3
(-6) · ( - 3 )
-5 · 8
4 · (- 2 )
23. Calcula siguiendo las reglas conocidas.
a)
b)
c)
d)
5 · 4 + 8 (5 – 12 )
3 ( 6 + 2 ) – 25
8–4(3–5)+4· 2
(3 5 + 8)· (7-10+1)
24. Observa una parte de una libreta de ahorro.
FECHA
6/4/02
10/4/02
15/4/02
20/4/02
CONCEPTO
Saldo anterior
Factura luz
Ingreso efectivo
Cheque caja
INGRESO/REINTEGRO
- 10’25 ¼
20 ¼
- 18’3 ¼
SALDO
13’7 ¼
Calcula el saldo del día 20.
25. La temperatura de un lugar era de –4º C a las 6 de la mañana, a las 3 de la tarde había
aumentado en 11º C y a las 8 de la noche había descendido otros 9º C más. ¿Qué
temperatura hacía a esta última hora?.
26. A continuación te presentamos las fechas de nacimiento y muerte de tres emperadores
romanos:
Octavio Augusto ( desde 63 a. C. al 14 d. C.);
Tiberio ( desde 42 a. C. al 37 d. C.)
Claudio ( desde 5 a. C. al 69 d. C.)
211
Actividades tema 1
31. Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
(-6)2 =
(-3)5 =
(-5)0 =
(-2)8 =
(-2)5 =
32. Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
(2’1) 2 =
(0’001) 3 =
(0’75) 0 =
(0’2) 8 =
(0’02) 4 =
33. Una empresa de transporte cuenta con una flota de 10 camiones. Cada uno de ellos tiene
capacidad para transportar 10 contenedores con una capacidad, a su vez, de 10 toneladas.
Si un cliente le pregunta por los kilogramos que puede transportar su flota, ¿cuál será su
respuesta?. Exprésala utilizando potencias.
La raíz cuadrada es la operación contraria al cálculo del cuadrado de un número.
34. Completa esta tabla:
Valor
Raíz cuadrada
1
___
16
___
25
___
64
___
100
___
121
___
144
___
169
___
1.000.000
___
35. Calcula:
a)
3
b)
4
c)
d)
e)
f)
g)
125
16
− 25
3
− 125
1'44
3
0'008
4
0'00000001
213
Actividades tema 1
6. Las divisiones relacionadas con la operación 3 · 4 = 12 son:
a) 12 : 3 = 4 y 3 = 12 : 4
b) 3 = 4 : 12 y 4 = 3 : 12
c) 43 = 12 y 34 = 12 d) Ninguna de las anteriores.
7. El número que falta para que se cumpla esta igualdad
a) 16
b) 8
3
= 64 es:
c) 4
d) 32
c) 16
d) No existe
8. La raíz cuadrada de - 144 es:
a) 72
b) 12
9. Si el lado de un cuadrado mide 4 unidades, su perímetro es:
a) 4+4+4+4
b) 4 · 4
c) 16
d) Todas las respuestas son buenas
10. Si el área de un cuadrado es de 36 unidades cuadradas, la medida del lado es:
a) Raíz de 36
b) Raíz cuadrada de 36
c) 362
d) 36 : 4
11.La expresión en números romanos del número 2.472 es:
a)
b)
c)
d)
MMCCCCXXXXXXXII
MMCCCCLXXII
MMCDLXXII
MMCDXXXCII
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
Y
Adquirir una idea de la evolución de los sistemas de numeración hasta nuestros días.
Y
Expresar cantidades en la numeración romana y reflexionar sobre el uso actual de esta
numeración.
Y
Analizar las relaciones que se dan entre los términos de una suma y una multiplicación.
Y
Aprender a redondear cantidades muy grandes o con muchas cifras decimales.
Y
Realizar operaciones encadenadas respetando las prioridades establecidas.
Y
Calcular potencias y raíces cuadradas y aplicarlas a la resolución de problemas sencillos.
“Aún tengo dificultades en …”
“TENGO DUDAS EN”
Y
.................................................................................................................................
Y
.................................................................................................................................
Y
.................................................................................................................................
Y
.................................................................................................................................
215
Actividades Tema 1
“En cuanto a las actividades…”
Mi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
Y
Tengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
Y
Me ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
Y
tema puedo realizar las actividades de ampliación.
$5*7*%"%&4
"
4%
%&
&3
3&'6&3;0
Un millón de millones es un billón. Un millón de billones es un trillón. Así sucesivamente.
1. Escribe en el sistema decimal las siguientes cantidades:
a)
b)
c)
d)
Mil cuarenta enteros y cuatro centésimas. ……………………
.
Setenta enteros y veinticinco milésimas. ……………………
.
Tres millones seiscientas mil.
………………………
.
Dos billones y medio
……………………
2. Escribe un número comprendido entre:
a) 3’5 y 3’6
b) 35 y 36
c) 3’05 y 3’6
……………………
..
…………………
..
……………………
..
3. Siguiendo el estudio realizado en el apartado
HACEMOS MÁS NÚMEROS, Aprendemos
practicando del libro de texto, calcula tu
capacidad de ahorro mensual redondeando el
resultado a las decenas de euro.
Una potencia es la expresión simplificada de un producto de varios factores iguales y la
multiplicación es la expresión simplificada de una suma de varios sumandos iguales.
4. Simplifica estas expresiones utilizando potencias o productos:
a) 3 + 2 · 2 · 2 · 2
b) 4 · 4 · 4 · 4 + 4 + 4 + 4 + 4
c) 5 + 5+5 – 3 + 7 · 7 · 7
216
Actividades tema 1
$5*7*%"%&4
"
4%
%&
&"
".1-*"$*0/
1. Busca e indica situaciones en las que se utilicen números romanos.
2. Si las actuales matrículas de vehículos constan de 4 números y 3 letras, en las que no se
incluyen las vocales, calcula el número de vehículos que se podrán matricular mediante
este procedimiento.
3. Como sabes, el resto de una división ha de ser menor que el divisor. Y, como también
sabes, el NIF o Número de Identificación Fiscal está compuesto por el número del DNI al
que se le añade una letra.
Tras descartar algunas de las letras (I, Ñ, O, U) han quedado 23 válidas, pero, ¿cuál es el
criterio para asignarlas?.
Se acordó asociar, aleatoriamente, un número del 0 al 22 a cada una de las letras. Según el
resto que resultase de la división del número del DNI entre 23, que sería un número
comprendido entre 0 y 22, se otorgaba la letra correspondiente.
Según esto, calcula:
a) El resto que le corresponde a tu letra del NIF
b) Calcula otros dos números que compartan la misma letra que tu.
4. Calcula de dos formas diferentes el resultado de estas expresiones:
a) 3(4 + 7)
b) 8(5 – 2)
c) 15– 2(7 – 4)
217
Actividades Tema 1
El signo negativo puede tener varios significados. Puede indicar que un número es menor
que el “cero” que hemos fijado como referencia o una variación negativa.
5. Observa la siguiente información que, sobre siniestralidad laboral, se publicó en prensa.
a) Compara los datos referidos al año 2000 y al 2001.
b) ¿Qué comunidades han contribuido negativamente al crecimiento de la siniestralidad
laboral?
c) ¿Se puede afirmar, a la vista de los datos que en Murcia ha habido menos accidentes
que en Navarra?. Explica tu respuesta.
6. Las bacterias se reproducen por bipartición. Imagina que el periodo de reproducción de
una especie de bacterias es de dos horas. Si en un momento determinado se recuenta en un
cultivo una colonia de 1.000 bacterias, ¿cuántas habrá al día siguiente a la misma hora?.
Expresa las operaciones utilizando potencias de 10.
7. Un atleta entrena alrededor de un parque cuadrado de 10.000 m2 de superficie. Para poder
correr un kilómetro, ¿cuántas vueltas tendrá que dar al parque?.
218
Soluciones tema 1
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1.
2.
Aplicando las reglas seguidas en la escritura de números romanos: XCVII = 97; MMMCCLXXIV = 3274;
MCDVI = 1406; DLXXIV = 574; MLXXVII = 1077; XXVII = 27; DXLIV = 544; VII DCXII = 7612
Teniendo en cuenta que no existió el siglo 0 ni el siglo 0 a. C.:
HECHO HISTÓRICO Y AÑO
Descubrimiento de América (1492)
Revolución francesa (1789)
Fundación de Roma (753 a. C.)
Nacimiento del emperador Tiberio (42 a. C.)
SIGLO
XV
XVIII
VIII a C
I a C.
3.
4.
a) 21’05; b) 300’23; c) 3500’23; d) 1000001’001.
a) 42’3
b) 1
c) 8’7
+ 4’022
- 0’72
x3
46’322
0’28
26’1
5.
En 9 unidades hay 90 décimas.
En 16 centenas hay 1600 unidades.
En 18 decenas hay 1800 décimas.
En 130 décimas hay 13 unidades.
En 1000 centésimas hay 10 unidades.
En 170 milésimas hay 1’7 décimas.
a) 0’1308; b) 40; c) 210; d) 40’9; e) 2452 : 4 = 613; f) 0’0305; g) 58’906.
Hemos de considerar que una unidad de un orden cualquiera es diez veces superior a la inmediatamente
anterior. Así: a) >; b) <; c) =; d) <
Cantidad: Mil trescientos veintisiete euros y tres décimos.
Fecha: Diecisiete de Septiembre de dos mil dos.
a) En 34.000 personas se redondea a la unidad de millar, en 33.600 personas se redondea a la centena y en
30.000 personas se redondea a la decena de millar.
b) En 98% se redondea a la unidad, en 97' 76% se redondea a la centésima y en 97' 8% se redondea a la
décima.
a) Redondeando: 15 · 4 = 60
b) Redondeando: 2500 : 50 = 50
a) Alterando el orden de los productos de manera conveniente para facilitar el cálculo: 20 · 5 · 10 · 4’53 =
100 · 10 · 4’53 = 1000 · 4’53 = 4530
b) Alterando el orden de las sumas: 25 + 75 + 130 + 70 = 100 + 200 = 300
Seleccionando la operación adecuada en cada momento, considerando las relaciones existentes entre sumas
y restas por un lado y productos y divisiones por otro.
a) 3 + a = 4 · 2;
a=4· 2–3=5
b) b · 5 = 26 + 4;
b = (26 + 4) : 5 = 6
c) 10 : c = 12 – 7 ;
c = 10 : (12 – 7) = 2
a) Triple del resultado de restar 2 a 6 menos el triple de 2 más la mitad de 8
3 · 4- 3 · 2 + 8 : 2 = 12 – 6 + 4 = 8
b) 7 menos la mitad de 6 más el cuádruplo del resultado de sumar 3 y 5.
7 – 6 :2 + 4 · 8 = 7 – 3 + 32 = 36
c) 2 mas el triple de 4 menos la mitad del resultado de sumar 3 a 5.
2 + 3· 4 – (5 + 3): 2 = 2 + 12 – 8 : 2 = 1 + 12 – 4 = 13 – 4 = 9
d) cinco veces el resultado de sumarle a 6 la mitad de 4, menos 3 más cinco veces 4.
5(6 + 4:2) – 3 + 5· 4 = 5(6 + 2) – 3 + 20 = 5 · 8 –3 + 20 = 40 +20 –3 = 60 – 3 = 57
a) 3· 2 + 3· 5 = 3(2 + 5)
b) 4· 5 + 6· 4 – 3· 4 = 4(5 + 6 – 3)
c) 12+9+27= 3· 4 + 3· 3 + 3· 9 = 3(4 + 3 + 9)
d) 45 – 15 = 15· 3 – 15· 1 = 15(3 – 1)
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
d) 2’5 · 100 = 250
e) 2’5 : 10 = 0’25
219
Soluciones tema 1
28. a) 81
b) 125
c)1
d)4106
29. a) 2’5 · 1000000 = 2’5 · 10 6
b) 34’7 · 10 12, pues un billón es un millón de millones.
c) 25 · 10000 = 25 · 104
d) 0’5 · 10 18 = 5 · 1017, pues un trillón es un millón de billones.
30. a) 32 = 9.................... 3 · 3
b) 33 = 27 ................. 3 · 3 · 3
c) 54 = 625 ................ 5 · 5 · 5 · 5
d) 62 = 36 .................. 36 = 6 · 6
e) 33 = 27 .................. 27 = 3 · 3 · 3
f) 53 = 125 ................ 125 = 5 · 5 · 5
31. a) 36
b) –243
c) 1
d) 256
e) –32
32. a) 2’31
b) 0’000000001
c) 1
d) 0’00000256
e) 0’00000016
33. 10camiones · 10 conten. · 10 toneladas · 1000Kg = 1.000.000 = 106 Kg. Recuerda 1Tn = 1000 Kg = 103 Kg.
34.
Valor 1
16
25
64
100
121
144
169
1000000
Raíz
1
4
5
8
10
11
12
13
1000
Porque 12 = 1; 42 = 16; 52 = 25; 82 = 64; 102 = 100; 112 = 121; 122 = 144; 132 = 169; 10002 = 1000000
35. a) 5
b) 2
c) No existe
d) –5
e) 1’2
f) 0’2
g) 0’01
36. Si para calcular la superficie del cuadrado multiplicamos la medida del lado por sí misma, utilizando el
cuadrado, en este caso tendremos que utilizar la operación contraria, la raíz cuadrada.
1024 = 32 baldosas de lado.
Soluciones autoevaluación
1.
2.
b ( se calculan antes la multiplicación y la división: 10 + 12 – 8 = 14).
a (52’7 = 11’2 + 0’07 · x, siendo x el número de minutos. Calculamos: 0’07 · x = 52’7 – 11’2 = 41 ‘ 5; x =
41’5 : 0’07 = 592’86).
3. a .
4. a.
5. b (al redondear a la centésima tenemos que dejar dos cifras decimales teniendo en cuenta la tercera que, en
este caso, el ser mayor que 5 añadimos 1 a la cifra de las centésimas) .
6. a.
7. c ( pues 64 = 4 · 4 · 4).
8. d ( pues no existe la raíz cuadrada de un número negativo).
9. d ( el perímetro es la medida total de todos sus lados. Al ser todos iguales se puede expresar en forma de
suma o de multiplicación y en ambos casos el resultado es 16).
10. b ( si para calcular el área elevamos al cuadrado la medida del lado, tenemos que calcular el número que al
elevarlo al cuadrado nos de 36 y esto equivale a calcular la raíz cuadrada).
11. c (única expresión que sigue las reglas de la numeración romana).
221
Soluciones tema 1
Soluciones actividades de refuerzo
1.
2.
3.
4.
Teniendo en cuenta las reglas de la numeración decimal, el valor de las cifras de cada orden, y el “recuerda”
del libro de actividades.
a) 1040’04
b) 70’025
c) 3.600.000
h) 2.500.000.000.000
Existen infinitos para cada caso. Ejemplos:
a) 3’51
b) 35’3
c) 3’2
Seguir el estudio realizado en el apartado indicado del libro de texto.
Una multiplicación es una suma de sumandos repetidos y una potencia es un producto de factores repetidos.
a) 3 + 24
b) 44 +42
c)3 · 5 – 3 + 73
Soluciones a las actividades de ampliación:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
222
a) Tomos de libros, carreteras nacionales, jornadas, reyes, siglos, capítulos, festivales,…
Si tenemos en cuenta que sólo se consideran 22 letras válidas al eliminar las vocales, tendremos 10000
números diferentes incluyendo el 0000 y, por cada uno de ellos un total de 22 · 22 · 22 letras. En
total 22 · 22 · 22 · 10000 = 106. 480.000.
a) Lo calcularemos con un ejemplo. Sabemos que al número de DNI 05171299 le corresponde la letra W.
Calculamos el resto de dividir 5171299 entre 23 y vemos que es 21, luego al resto 21 le corresponde la letra
W.
b) Para calcular otros números a los que les corresponda la misma letra multiplicaremos un número
cualquiera (cociente) por 23 y le sumaremos 21.
Priorizando operaciones
Quitando paréntesis
a)
3· 11 = 33
12 + 21 = 33
b)
8· 3 = 24
40 – 16 = 24
c)
15 – 2· 3 = 15 – 6 = 9
15 – 14 + 8 = 9
a) Han aumentado tanto los accidentes en general como los accidentes mortales en itinerario. En 13
autonomías han aumentado y en 4 han disminuido los accidentes, aunque en general, en España, han
aumentado un 5’8%.
b) Navarra, Aragón, La Rioja, Murcia.
c) Ha bajado un 5’5%, pero podía partir de una cantidad mayor.
Se habrán reproducido 12 veces en 24 horas. Cada bacteria habrá dado lugar a 212 bacterias, luego el número
de bacterias será de 1000 · 212, o sea, 4096000 de individuos.
El lado del parque será 10000 = 100 metros de lado.
El perímetro será de 100 · 4 = 400 metros.
Para recorrer 1000 metros (1 km), tendrá que dar 1000 : 400 = 2’5 vueltas.
Actividades tema 2
Otro método para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor
utiliza la descomposición en factores primos.
a. Para el cálculo del máximo común divisor, una vez descompuesto los números que
nos interesan en factores primos, el máximo divisor común será el número formado
por los factores primos comunes con el menor exponente.
Ejemplo:
m.c.d. (180, 24)
1º . Descomponemos en factores primos:
180 = 22· · 32· 5 y
24 = 23· 3
2
2º . Elegimos los factores primos comunes: 2 y 3
3º . Los multiplicamos consiguiendo así el m.c.d. de los números propuestos:
m.c.d. (180, 24) = 22· 3 = 12
b. Para el cálculo del mínimo común múltiplo, una vez descompuesto los números que
nos interesan en factores primos, el mínimo múltiplo común será el número
formado por los factores primos comunes y los no comunes de mayor exponente.
Ejemplo:
m.c.m. (180, 24).
24 = 23· 3
1º . Descomponemos en factores primos:
180 = 22· · 32· 5 y
3
2
2º . Elegimos los factores primos comunes y los no comunes: 2 , 3 y 5
3º . Los multiplicamos consiguiendo así el m.c.m. de los números propuestos:
m.c.m. (180, 24) = 22· 32· 5 = 180
4. Imagina que mañana es tu cumpleaños y quieres celebrarlo cenando con tus dos mejores
amigos. Ambos trabajan a turnos y libran de noche el primero cada 12 días y el segundo
cada 20 días. Si hoy han coincidido con la noche libre, ¿cuándo podréis celebrar tu
cumpleaños según tus planes?. ¿Y si librasen cada 3 y 5 días respectivamente?.
5. Calcula el máximo común divisor de los siguientes grupos de números utilizando en cada
caso un método diferente:
a) 15 y 50
b) 12 y 20
c) 4 y 7
224
Actividades tema 2
6. Juan puede acceder a su trabajo utilizando tres líneas de metro distintas: la límea 5, la 7 y
la 11. La primera pasa por la estación cada 5 minutos, la segunda cada 6 y la tercera cada
8. El servicio empieza a funcionar a las 5 de la mañana y parten las tres líneas al mismo
tiempo. ¿Con qué frecuencia vuelven a coincidir las tres líneas?. ¿Y la segunda y tercera
líneas?.
7. Un fabricante de sillas tiene una tirada de 60 sillas a la hora. Ha comprado una máquina
empaquetadora. ¿De cuántas piezas puede ser cada lote si los empaqueta cada hora y
quiere que todos los lotes sean iguales?.
8. Quiero instalar en mi casa una depuradora individual de las aguas residuales con el
objetivo de reutilizarlas para regar el jardín. He comprado los materiales necesarios y el
repartidor del centro pasa por la zona donde se encuentra mi domicilio todos los viernes.
Si el fontanero que me lo tiene que instalar quiere aprovechar el día libre que le da la
empresa, uno cada cuatro días de trabajo, y no quiero tener los materiales almacenados en
casa ,¿cuándo podré realizar la instalación si he comprado los materiales un viernes y
coincide que ese día lo ha tenido libre el fontanero?.
225
Actividades tema 2
b) En una ciudad turística de la costa levantina, de cada 10 turistas que recibe, 5 son
europeos, 2 son procedentes del resto del mundo y 3 son turistas nacionales. Expresa
estas cantidades en forma de fracción.
13. Expresa en forma decimal y en forma porcentual las siguientes cantidades:
a) 4/5
b) 6/10
c) 13/25
14. Escribe tres fracciones que sean propias y otras tres que sean impropias.
15. Expresa en forma de fracción una cantidad que sea superior al 100% y exprésala luego en
forma decimal y porcentual.
16.
Este es el famoso cubo de Rubik. Cada una
de sus caras está formada por cuadrados
que, al finalizar el juego serán todos del
mismo color y diferentes de los cuadrados
de otras caras.
a) Expresa, mediante una fracción que
utilice como denominador el número
total de cuadrados, la cantidad de
superficie del cubo de color blanco.
b) Expresa, mediante una fracción que
utilice como denominador el número
total de caras, la cantidad de superficie
del cubo de color blanco.
227
Actividades tema 2
c) ¿Cómo son estas fracciones entre sí?.
17. Obtén la fracción irreducible de las siguientes fracciones:
53 3 5 2 30 50
, , , ,
,
106 9 10 8 120 150
Después identifica las que sean equivalentes entre sí.
Una misma cantidad puede ser expresada en forma de fracción, decimal o
porcentual. Existen diferentes procedimientos para pasar de una forma a la
otra. Los puedes repasar en este apartado del libro de texto.
18. Escribe en forma de decimal los siguientes porcentajes:
a)
b)
c)
d)
16%
34%
80%
120%
19. Cálculo mental. Expresa en forma de fracción:
a)
b)
c)
d)
e)
228
25%
50%
75%
20%
150%
Actividades tema 2
20. Observa la siguiente tabla en la que figura el marcador final de un partido de baloncesto
entre el Real Madrid y el Tau Vitoria y las puntuaciones individuales conseguidas por
cada uno de los jugadores para su equipo.
a) Expresa en forma de fracción y porcentual la
puntuación conseguida por Herreros.
b) Expresa en forma de fracción y porcentual la
puntuación total obtenida por Djordjevic.
c) Expresa en forma de fracción y porcentual la
puntuación conseguida por cada uno de los jugadores
del Tau Vitoria.
21. Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor:
3 3 1 4 8
, , , ,
5 10 5 10 50
22. Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2 4
+ =
5 5
2 1
+ =
3 5
3 5 1
+ − =
2 2 2
2 1
− =
5 7
12
· =
34
2 3
: =
3 5
11  2 1 
 + =
2  4 5
1 26
+ · =
3 57
229
Actividades tema 2
23. Resuelve:
a) Calcula el número de botellas de vino de ¾ de litro se podrán llenar con los 50 litros
de un tonel.
b) En la recogida de fruta de un terreno cada remolque que se llena supone los 3/14 del
total. Si los 2/3 de cada remolque son frutas que han de madurar en cámaras, expresa
en forma de fracción la cantidad de fruta que se puede consumir directamente de cada
remolque.
c) La venta de cerveza sin alcohol se realiza en envases de 1/5 o de 1/3 de litro. Calcula
cuándo se adquiere más bebida, al comprar 6 botellas de 1/5 de litro o al comprar 4
botellas de 1/3 de litro.
24. Resuelve:
a) Una máquina fabrica 30 piezas en 3/4 de hora. ¿cuántas piezas fabricará al cabo de 60
horas?
b) Calcula la fracción de balsa de riego que queda si un regante utiliza 3/7 del total y otro
1/3 de lo que queda.
25. Las necesidades calóricas aproximadas por persona y día son:
Hombres
Mujeres
Adultos
2500 a 4000
2100 a 3000
Adolescentes
3000 a 3500
2900 a 3200
El 15% deben ser aportadas por proteínas, el 55% por hidratos de carbono y el 30% por
grasas.
Calcula las calorías que deben aportar cada uno de los principios básicos en el caso de los
adultos.
230
Actividades tema 2
30. Calcula la ganancia, en términos de porcentaje, que obtiene un comerciante en los
artículos vendidos en el periodo de rebajas si carga un 70% sobre el precio de coste en
temporada y aplica después una rebaja general del 30% a sus artículos.
31. Observa la siguiente información que sobre las reservas de agua de una zona se publicó en
prensa:
a) Calcula la capacidad total de las reservas acuíferas.
b) Calcula el porcentaje “perdido” en el último día
con respecto al que había el 15/8/01
c) Calcula el porcentaje en que han aumentado las
reservas con respecto a la misma fecha del año
anterior.
32. En la fabricación de un kilo de papel reciclado se utiliza papel usado, 2000 l de agua y 2’5
kw de energía. Si el papel no es reciclado se necesita 2’1 k de madera, 150000 l de agua y
6200 kw de energía. Calcula el ahorro de las tres materias primas si se fabrica papel
reciclado y exprésalo en porcentajes.
232
Actividades tema 2
36. La dueña de una tienda de confección carga el precio de los artículos que ha adquirido en
el mayorista con el 50%.
En rebajas, con el objeto de vender todos los artículos de la temporada, rebaja el 50% a
las piezas que no ha vendido, con la idea de no perder ni ganar nada con respecto al
precio de compra. ¿Crees que es acertada esta medida?
2. MEDIMOS EL TIEMPO
37. Si A = 3 h 25’32’’, B= 2h 30’45’’, calcula:
a)
b)
c)
d)
A+B
A–B
3· A
B:3
38. Una ONG quiere realizar un envío de medicamentos a un campamento que ha instalado en
un país del tercer mundo. Quiere calcular la duración del vuelo que lo transportará para
tomar las medidas oportunas para la conservación de las medicinas. En la agencia le
indican que el avión sale a las 13h 15’y llega a las 14h 10’.
234
Actividades tema 2
39. Una persona quiere grabar en una cinta de VHS de cuatro horas, de la que ya ha utilizado
2horas y 45 minutos, un programa de 43 minutos. Calcula el espacio que le quedará libre
en la cinta.
40. A un paciente le han recomendado que practique diariamente la natación para ayudar a su
rehabilitación. Su trabajo le permite dedicarle 2 horas y 40 minutos al día. Calcula el
tiempo que dedica a la natación semanalmente si los domingos la piscina permanece
cerrada.
41. Durante el viaje de fin de curso a Sevilla, los alumnos de un centro de FPA realizan el
siguiente recorrido: toman el tren en Valencia a las 3:45 y llegan a Córdoba a las 11:15.
Después de visitar la ciudad vuelven a coger el tren a las 17:05 llegando a Sevilla a las
19:50. Calcula el tiempo que han permanecido en el tren en los dos viajes.
235
Actividades tema 2
En el libro de texto se realiza un estudio comparativo del precio de las
llamadas telefónicas entre varias compañías. Lo puedes repasar en este
apartado del libro de texto.
42. Una persona que realiza solamente llamadas provinciales quiere realizar un estudio para
ver con qué compañía contrata sus servicios de telefonía fija.
Para ello decide calcular cuál habría sido el coste de un mes aplicando las tarifas de dos
de las compañías que le parecen más competitivas.
Tarifas
Compañía A
Llamadas provinciales
8h a 20h (L–V)
20h a 8h (L–D)
Consumos
236
Euros/min.
Compañía
Euros/min.
0’06
0’03
0’03
0’03
Notas La compañía A no cobra establecimiento de llamada.
La compañía B cobra 0’09 euros por est ablecimiento de llamada.
Actividades tema 2
Realiza el estudio y extrae conclusiones.
43. Observa la programación de los cinco canales públicos y privados nacionales y contesta:
a) Duración del programa “Cartelera” que se emit e por TVE-1
b) Sistema en el que se expresan las horas.
c) Expresa en ambos sistemas el horario de comienzo de “Informe semanal”.
237
Actividades tema 2
650&7"-6"$*0/
"
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:
a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la que
aparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una idea de tu
aprendizaje.
c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de refuerzo o
ampliación, o no es necesario.
Cuestiones de autoevaluación.
1. Contesta verdadero o falso:
a) 3 es múltiplo de 27
b) 3 es divisor de 27
c) 3 es divisible entre 27
d) 27 es divisible entre 3.
2. La descomposición en factores primos de 60 es:
a) 6 · 10
b) 22 · 5 · 3
c) 22 · 52 · 3
d) 6 · 5 · 2
3. La afirmación verdadera es:
a) 30% = 30
b) 3% = 3:100
c) 3% = 0’3
d) 3% = 3 · 100
238
Actividades tema 2
4.
Los ¾ de 120 son:
a) 90
b) 160
c) 75%
d) No se puede calcular
5. El resultado de
a)
b)
c)
d)
2 1
+ es:
3 4
3/7
2/12
1
11/12
6. La afirmación verdadera es:
a)
2/4 = 3/5
b)
2/4 = 50 · 100
c)
2/4 = 50%
d)
2/4 = 0’2
7. La fracción equivalente a 3/5 es:
a)
8/10
b)
6/10
c)
1/15
d)
5/3
8. El cálculo del 3% de 600 se realiza con la expresión:
a)
600 · 0’3
b)
600 : 3
c)
600 · 0’03
d)
600 : 0’3
9. Una subida del 20% a 500 se calcula mediante la expresión:
a)
500 + 0’20
b)
500 : 1’2
c)
500 + 1’2
d)
500 · 1’2
10. Una subida del 10% y una bajada posterior del 50% a una cantidad es equivalente a:
a)
Una subida del 40%.
b)
Una bajada del 45%.
c)
Una subida del 55%.
d)
Una bajada del 55%.
11. La expresión decimal en minutos de 3 minutos y 40 segundos es:
a)
3’4
b)
3’67
c)
4’3
d)
Ninguna es verdadera.
239
Actividades tema 2
12. La expresión sexagesimal en minutos de 6’2 minutos es:
a)
6’12’’
b)
6’2’’
c)
2’6’’
d)
Ninguna es verdadera.
13. Si un número lo multiplicamos por 0’3, en términos de porcentajes, podemos interpretar
que:
a) Le calculamos el 30%.
b) Le calculamos una bajada del 70%.
c) a y b son correctas.
d) Le calculamos una subida del 30%.
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
Y
Identificar y calcular múltiplos y divisores de un número.
Y
Descomponer un número en factores o en factores primos.
Y
Buscar múltiplos y divisores comunes a varios números.
Y
Comprender el significado de una fracción y su relación
con los decimales y los
porcentajes.
Y
Aprender el significado y calcular fracciones equivalentes.
Y
Realizar operaciones con fracciones en cálculos sencillos.
Y
Realizar cálculos que impliquen porcentajes utilizando
el
número
decimal
correspondiente.
“Aún tengo dificultades en …”
“TENGO DUDAS EN”
Y
.................................................................................................................................
Y
.................................................................................................................................
Y
.................................................................................................................................
Y
.................................................................................................................................
“En cuanto a las actividades…”
Y
Mi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
Y
Tengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
Y
Me ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
tema puedo realizar las actividades de ampliación.
240
Soluciones tema 2
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1.
a)
Múltiplos de 15.Calcularemos los 6 primeros ya que son infinitos. Se obtienen multiplicando el 15 por,
1, 2, 3, …Æ 15 (15 · 1 ), 30 (15 · 2), 45 (15 · 3), 60 (15 · 4) , 75 (15 · 5 ), …
Divisores. Son los números que dividen a 15 exactamente Æ 1, 2, 3, 5, 15.
b) Si procedemos igual para el resto de apartados obtenemos estos resultados:
Múltiplos: 20, 40, 60, 80, 100, …
Divisores: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
c) Múltiplos: 36, 72, 108, 144, …
Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
d) Múltiplos: 17, 34, 51, 68, 85, …
Divisores: 1, 17 (Se trata de un número primo).
2.
a)
2
100
2
50
5
100 = 2· 2· 5· 5 = 22· 52
25
5
3
b)
12
12 = 3· 2· 2 = 3· 22
2
4
2
3
c)
6
36
6
36 = 3· 2· 3· 2 = 32· 22
2
3
2
3
d)
12
120
4
10
2
2
120 = 3· 2· 2· 2· 5 = 3· 23· 5
2
5
3.
Tenemos en cuenta que cada 0 al final de la cantidad se descompone en dos factores primos, un dos y un
cinco
a) 10 · 10 · 10 = 2 · 5 · 2· 5 · 2· 5 = 23 · 53
b) 12· 100 = 3 · 22 · 22 · 52 = 3 · 24 · 52
c) 36· 10 = 22 · 32 · 2 · 5 = 2 3· 32 · 5
d) 35· 10000 = 5 · 7 · 24 · 54 = 24 · 55 · 7
4.
Hemos de buscar el primer día que sea múltiplo de 12 y de 20 al mismo tiempo, luego hemos de calcular el
m.c.m.(12, 20)
Múltiplos de 12
12, 24, 36, 48, 60, 72, …
Múltiplos de 20
20, 40, 60, 80, …
El mínimo de los múltiplos comunes es el 60. Dentro de 60 días lo podré celebrar.
Procedemos de la misma forma en el caso de 3 y 5, pero utilizando otro método para calcular el mínimo
común múltiplo: tomamos el mayor, el 5, y comprobamos si es múltiplo de 3. Como no lo es probamos con
el 10, como tampoco lo es, con el 15,…Resulta que el 15 si es múltiplo de 3, luego ése es el mínimo común
múltiplo de ambos números. Dentro de 15 días lo podré celebrar.
243
Soluciones tema 2
17. Obtenemos las fracciones equivalentes:
53
1 3
1 5
1 2
1 30
1 50
1
= (: 53) ; = (: 3) ; = (: 5) ; = (: 2) ;
= (: 30) ;
= (: 50)
106
2 9
3 10
2 8
4 120
4 150
3
Fracciones equivalentes entre sí son pues:
53
5 3 50 30 2
;
= ; =
=
106 10 9 150 120 8
Las fracciones equivalentes indican la misma cantidad y por eso se pueden relacionar mediante el signo
igual.
18. Tenemos en cuenta que el 16% indica 16 de cada 100 y que 16 = 0'16 . Igualmente en el resto de los
100
apartados.
a) 0’16
b) 0’34
c) 0’8
d) 1’2
19. Tenemos en cuenta que el 25% indica 25 de cada 100 y que 25 = 1 .
100 4
a) ¼
b) ½
c) 3/4
25 25 25
d) 1/5
25
20 20 20 20
50
20
25 25 25
50
e) 3/2
50
50
25
50
50
20.
a) 13 de 63 son 13/63 =0’2063 = 20’63%.
b) 9/63 = 1/7 = 0’14285= 14’29%.
c) Bennett y Nocioni: 9/71 = 12’68%
Foirest: 23/71 = 32’39%
Tornasevi: 10/71 = 14’08%
Oberto: 4/71 = 5’63%
Corchiani: 3/71= 4’23%
Vidal: 7/71 = 9’86%
Socia: 6/71 = 8’45%.
30 15 10 20 8
, , , , .
50 50 50 50 50
3 4
3 1
8
3 1
3 3
>
> >
< .
Ahora está claro que >
. A simple vista se observa que >
y que
5 5
10 5
5 10 10 5 50
21. Expresamos las fracciones con el mismo denominador, el mcm(50,10,5) = 50
22.
a) Como tienen igual denominador sumamos los numeradores: 2 + 4 = 6
5 5 5
b) Al no tener igual denominador tenemos que buscar fracciones equivalentes con el denominador
coincidente: 2 + 1 = 10 + 3 = 13
3 5 15 15 15
c) Como tienen igual denominador operamos los numeradores: 3 + 5 − 1 = 3 + 5 − 1 = 7
2
2
2
2
2
d) Al no tener igual denominador tenemos que buscar fracciones equivalentes con el denominador
coincidente: 2 − 1 = 14 − 5 = 9
5 7 35 35 35
e) Al ser un producto no necesitan tener el mismo denominador. Multiplicaremos los numeradores, para
obtener el numerador de la fracción producto, y los denominadores, para obtener el denominador de la
fracción producto. Simplificamos el resultado dividiendo numerador y denominador entre 2:
12 2 1
=
· =
3 4 12 6
245
Soluciones tema 2
Soluciones actividades de refuerzo
1.
a) 1/7
b) 7/30
c) 2 días y 6 h = 54 h y 1 semana = 168 h. La fracción es 54/168 = 27/84 = 9/28.
2.
Calculamos los incrementos del 4% multiplicando cada cantidad por 1’04.
Calefacción ......................... 4300’5 ¼........................... 4472’52 ¼
Limpieza ............................. 902’32 ¼........................... 938’41 ¼
Ascensor ............................. 1005 ¼.............................. 1045’2 ¼
Otros ................................... 832’6 ¼............................. 865’9 ¼
TOTAL ........................... 7322’03 ¼
Corresponde a cada vecino (:10) .................................. 732’20 ¼
Corresponde a cada recibo (:12)................................... 61’02 ¼
3.
a)
Mayor: España, Italia, Portugal
Menor: Grecia, Bélgica, Luxemburgo
b) En España, Italia y Portugal. En Alemania no ha variado.
4.
10’5 minutos son 630 segundos.
630 : 50 = 12.
Se podrán emitir 12 anuncios y sobrarán 30 segundos.
630
130
30
50
12
Soluciones a las actividades de ampliación
1.
Calculamos el IVA(16%): 25’7 • 0’16 = 4’11. Por lo tanto, no está bien calculado.
Veamos qué porcentaje es 5’25 de 4’11: 5’25 : 4’11 = 1’2773. Se ha cobrado un 27’73% de más.
2. Interés simple: 1250 • (1+0’0425 • 3) = 1250 • 1’1275 = 1409’375 ¼
Interés compuesto: 1250 • (1’0425) 3 = 1416’24 ¼
3. Cada semestre producirá: 3000 • 0’05 = 150 ¼
Calculemos los semestres en que producirá 600 ¼ Tardará 4 semestres o, lo que es lo mismo, 2 años.
4. Aplicamos el cálculo correspondiente: 200 · (1’04) 3 = 224’97 ¼
249
Actividades tema 3
3.
En la tabla siguiente aparecen los datos de superficies y población de cada continente
Sup. (millones de km2)
10’5
30’3
8’5
44’4
42
Europa
África
Oceanía
Asia
América
Población (millones de hab.)
686
452
24
2.580
586
La densidad de población de una zona es la razón entre la población total de esa zona y
su área.
a)
Halla la densidad de cada uno de los continentes.
b)
Señala que continente tiene la densidad más alta.
4.
Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 10 cm.
a) ¿Cuánto miden los lados de otro
semejante cuyo perímetro es de 240
cm.? Ayuda.- El perímetro es la suma de
todos los lados.
b)
El área del primer triángulo es:
2
6×8
= 24 cm .
2
Halla el área del segundo multiplicando
la base por la altura y dividiendo por 2.
252
c)
Halla la razón que existe entre cada lado
y su correspondiente, entre los perímetros de los dos triángulos y la que hay entre las dos áreas.
d)
¿Podemos afirmar que los lados y
el perímetro están en proporción directa?
e)
¿Y las áreas?
6 cm
10 cm
8 cm
Actividades tema 3
5.
Estos dos triángulos son semejantes ¿Cuánto miden ‘a’y ‘b’?
7 cm
a cm
9 cm
3 cm
b cm
18 cm
6.
Los fabricantes de T.V. indican que la mejor distancia para ver estos aparatos es aquella
que guarda con la diagonal de la pantalla la razón ‘2 /11’.
Observa que esto significa que si ‘p’ es la medida de la diagonal
de la pantalla y ‘d’ es la distancia idónea entonces podemos
formar una proporción igualando las dos razones:
p 2
= .
d 11
a)
¿A qué distancia debemos situarnos para ver de forma ideal
un televisor de 25”? ¿Y de 28”?
b)
Expresa los resultados en cm.
La pulgada (”) es una
medida inglesa que tiene
su equivalencia
en el
Sistema Métrico Decimal:
1" = 2 '54 cm.
7.
En una urbanización el precio de los pisos depende de los m2 que tenga. Nos enseñan un
piso de 90 m2 que vale 180.000 euros.
a)
¿Cuánto vale el apartamento de 35 m2 que vende la urbanización?
b) ¿Y la residencia de 200 m2?
Ayuda.- Reduce a la unidad calculando el precio de cada m2.
253
Actividades tema 3
8.
En España para hacer el reparto de escaños al Congreso se utiliza el método D’Hont,
método NO proporcional, para premiar a los partidos grandes intentando conseguir con
ello una mayor estabilidad política. En las elecciones de marzo de 2000 los resultados
fueron aproximadamente:
PP
PSOE
CIU
IU
PNV
CC
BNG
EA
ERC
C.A
PA
IC-V
Escaños (D’Hont)
183
125
15
8
7
4
3
1
1
1
1
1
350
Votos (miles)
10.000
7.500
900
1.200
350
200
300
100
200
50
200
100
21.100
Escaños (proporc.)
10.000 × 0 ' 0166 = 166
7.500 × 0 ' 0166 =
Si el total de votos ha sido de 21’1 millones, es decir 21.100.000. ¿cuál sería el reparto
con un sistema proporcional?. Hazlo completando la tabla y sabiendo cuántos escaños
corresponden a cada millar de votos, esto es 350 = 0 ' 0166 .
21100
.
9.
254
En una nave espacial caben víveres para que 8 cosmonautas puedan alimentarse durante
15 días.
a)
Si finalmente viajan 6 cosmonautas, ¿para cuántos días disponen de alimentos?
b)
Si se va a realizar una expedición que durará 40 días, ¿cuántos cosmonautas
pueden incorporarse a esa expedición?
Actividades tema 3
2. HACEMOS PORCENTAJES
10.
En un centro de Educación de personas adultas con 86 estudiantes encontramos que 50
piensan seguir estudiando en la escuela algún seminario.
a)
Forma la razón de personas que piensan seguir frente al total.
b)
Expresa esa razón en forma de porcentaje.
11.
El 80% de los españoles dice no ser racista. Si consideramos que la población total es de
40 millones de habitantes ¿Cuántos millones de personas han mostrado esa opinión?
12.
En el dibujo siguiente está representado un conocido juego geométrico, “El Tangram”.
Calcula:
a) ¿Qué razón o fracción representa el área de cada porción con respecto al área
total?
b)
Expresa los resultados del apartado anterior en forma de porcentajes.
c)
Exprésalos también en tantos por mil.
255
Actividades tema 3
13.
En una fotocopiadora reproducimos una foto de tamaño 10 × 15 cm.
a)
Si hacemos una reducción
del 80% ¿qué tamaño tendrá
esta copia?
b)
Si de esta copia hacemos
otra ampliando al 120%
¿Cuál será el nuevo tamaño
obtenido? ¿Qué proporción
guarda con la original?
c)
Saca una conclusión que
confirme o niegue si al
aumentar o disminuir al 80%
y 120% respectivamente se
obtiene el tamaño original o
no.
d)
Calcula cuánto aumenta (en
%) o disminuye la foto
original
si
inicialmente
aumentamos al 120% y
posteriormente reducimos al
80%.
3. HACEMOS REPARTOS
14.
15.
256
Dos urbanizaciones deciden instalar una piscina compartida cuyo coste es de 15.600
euros. Si la primera comunidad tiene 75 vecinos y la segunda 55 y deciden pagar
proporcionalmente al número de vecinos
a)
¿Cuántos euros debe pagar la primera comunidad?
b)
¿Cuánto debe pagar cada vecino?
El testamento de un matemático dice “Deseo que mi capital, 700.000 euros, sea
repartido entre los tres herederos proporcionalmente a la edad de cada uno”. Si las
edades de los tres son 40, 60 y 75 años ¿Cuánto corresponde a cada uno?
Actividades tema 3
16.
Al escribir un libro de Matemáticas tres autores cobraron 13.440 euros. Desean repartir
el dinero según el número de temas que ha escrito cada uno. El primer autor escribió 14
temas, el segundo 18 y el tercero 24. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
4. TRABAJAMOS CON ESCALAS
17.
¿Cuál será la distancia en el terreno entre dos lugares separados 33 mm. en un mapa si
la escala de éste es 1:300.000?
18.
a) Construye la escala gráfica correspondiente a E = 1:300. Para ello sólo necesitas
pensar que cada cm. de dibujo deben ser 300 cm en la realidad.
b) Haz lo mismo con la escala 1:400.000.
19.
Al dibujar un edificio de 50 m. de altura lo representamos con una altura de 25 cm. en el
papel.
a)
¿Qué razón forman la medida del dibujo y la altura real del edificio?
b)
Si una ventana mide 80 x 120 cm. ¿qué medidas debo utilizar en dibujo?
257
Actividades tema 3
20.
Observa las figuras siguientes:
21 cm
15 cm
40 cm
21.
a)
¿Son semejantes?
b)
Halla las áreas de las caras laterales
sombreadas y la razón existente
entre ellas. ¿Están en proporción
directa con la razón de las aristas?
c)
El volumen de un prisma recto es
igual al área de la base por la altura.
Es decir, el volumen de la primera
caja es
V = 20 · 40 · 15 = 12.000 cm3.
Halla el volumen de la segunda caja
y la razón existente entre los
volúmenes.
20 cm
56 cm
28 cm
Una motocicleta recorre 16 km. en 12 minutos con una velocidad constante. ¿Cuánto
tardará en recorrer la distancia de 50 km?
5. UTILIZAMOS LA CALCULADORA
22.
Un año-luz es la distancia que recorre la luz en un año. Sabiendo que la luz se desplaza
en el vacío a 300.000 km/s, ¿cuántos km. tiene un año-luz?
23.
Conociendo la velocidad de la luz por el ejercicio anterior y sabiendo que la distancia
media de la Tierra al Sol son 150 millones de km. ¿Cuánto tarda en llegar la luz del Sol
desde su superficie hasta la nuestra?
258
Actividades tema 3
650&7"-6"$*0/
"
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:
a)
Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la que
aparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b)
Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una idea
de tu aprendizaje.
c)
Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de
refuerzo o ampliación, o no es necesario.
Cuestiones de autoevaluación.
1. Completa las siguientes frases:
a) Dos figuras que tienen la misma forma pero el tamaño diferente son ....................
b) Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una
magnitud, la otra ……………
c) 0’05 = ..........%
y
17 ‰ = ......... % = ...... ...... unidades.
d) Un plano hecho a escala E=1:5.000 muestra (más/menos) ............... detalles que
otro a escala E=1:500.
e) El número 5’42 · 10 17 tiene ........... cifras.
2. Contesta verdadero (V) o falso (F):
a) La proporción entre el diámetro de una rueda y el número
de vueltas que da es directa.
b) Las figuras semejantes sólo se diferencian en el tamaño.
c) El porcentaje es el tanto por uno multiplicado por 100.
d) En los repartos proporcionales podemos comprobar el
resultado.
e) Al aumentar la escala se reduce el dibujo.
f) La tecla EXP permite que escribamos números de 100
cifras.
3. Si 300 g. de jamón cuestan 6 euros ¿cuánto costará un kg.?
a) 18 euros
b) 5 euros
c) 20 euros
d) 20 gramos
4. Completa la tabla siguiente con valores directamente proporcionales
20
40
75
100
60
125
259
Actividades tema 3
5. El precio de 3 metros de tela es de 12 euros ¿Cuántos cuestan 50 m.?
a) 600 euros
b) 200 euros
c) 150 euros
d) 300 euros
6. Un coche gasta 7 litros de gasóleo cada 100 km. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido si ha
gastado 25 l.?
a) 227’14 km.
b) 28 km.
c) 250 km.
d) 357’14 km.
7. Un grifo vierte 12 l/min. En una bañera tardando en llenarla 2 horas. ¿Cuánto tardaría si
su caudal fuese 15 l/min.?
a) 150 min.
b) 2’5 h.
c) 96 min.
d) a y b son ciertas
8. El 40% de 175 es:
a) 100
b) 80
c) 70
d) 35
9. Observa el plano del salón que ves en la figura.
Halla las dimensiones de éste, si la escala es E=1:300.
a) 102 m x 66 m b) 10’2 m x 6’6 m
c) 12 cm x 6’6 cm
d) 102 cm x 660 cm.
10. Dos compañeros de piso compran una colección de CDs. por 126 euros. El primero de los
amigos eligió 12 CDs y el 2º sólo 9. ¿Cuánto pagará cada uno?
a) 72 y 54 euros
b) 54 y 36 euros
c) 63 euros cada uno d) 108 y 72 euros
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
Y
Comprender el vocabulario propio de la Proporcionalidad: razón, proporción, porcentaje,
tantos por mil y por uno, prorrateo o reparto proporcional, semejanza, escala.
Y
Reconocer cuando dos magnitudes son directa e inversamente proporcionales.
Y
Reconocer dos figuras semejantes y hallar su constante de proporcionalidad.
Y
Resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa.
Y
Calcular porcentajes y tantos por mil.
Y
Resolver problemas de reparto proporcional.
Y
Hallar medidas reales sobre un mapa.
Y
Calcular las medidas en un dibujo a escala de los elementos con medidas reales.
Y
Operar con números muy grandes usando la calculadora.
260
Soluciones tema 3
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1.
En las recetas las raciones y los ingredientes están siempre en proporción directa. Así tenemos
Nº de productos
Filetes (gr.)
a)
6 12
=
⇒ 6x = 12 ⋅ 2 ⇒ x = 4
2
x
b)
c)
d)
16
8
20
Mantequilla (gr.)
40
160
80
200
Vino
(cucharadas)
1
4
2
5
Papel (hojas)
2
8
4
10
Jamón (gr.)
60
240
120
300
2. 3 huevos son para 135 gr.
a) 1 huevo será 135 : 3 =45 gr.
b) 6 huevos serán 45 × 6 = 270 gr.
c) 4 huevos serán 45 × 4 = 180 gr.
3.
a) El cálculo de la densidad se hace efectuando la división
Densidad (hab./km2)
Europa
D=
Pob.
km2
=
686.000.000
= 65 ' 3 hab. km 2
10.500.000
África
14’9
Australia
2’8
Asia
58’1
América
14
b) Europa con diferencia sobre Asia y mucha diferencia sobre los demás.
4.
El perímetro de nuestro triángulo es 6 + 8 + 10 = 24 cm. Por tanto la razón es
240
= 10.
24
a) El correspondiente a 6 cm será 6 × 10 = 60 cm.
El correspondiente a 8 cm será 8 × 10 = 80 cm.
El correspondiente a 10 cm será 10 × 10 = 100 cm.
b) 80 × 60 = 2400 cm 2 .
2
80
240
2.400
c) Para los lados
= 10. Para el perímetro
= 10. Para las áreas
= 100.
24
8
24
d) Sí.
e) No.
5.
Al ser semejantes los lados serán directamente proporcionales y por tanto:
7 18
54
=
⇒ 7b = 54 ⇒ b =
= 7 ' 7.
b
3
7
63
7 a
= ⇒ 63 = a • 3 ⇒ a =
= 21.
3
3 9
265
Soluciones tema 3
6.
a)
2 25
275
=
⇒ 2·d = 25·11 ⇒ d =
= 137'5 | |
11 d
2
2 28
308
=
⇒ 2·d = 28·11 ⇒ d =
= 154 | |
11 d
2
b)
137 '5 | | · 2'54 = 349'25 cm ≈ 3'5 m.
154 | | · 2'54 = 391'16 cm ≈ 3'9 m.
7.
El tanto por uno es lo que vale cada m2. Es decir 180.000∈ = 2.000 ∈ .
m
90m 2
a) 35 × 2.000 = 70.000 ¼
b) 200 × 2.000 = 400.000 ¼
8.
Si completamos la tabla tal y como nos muestran los dos primeros ejemplos tendremos:
2
PP
PSOE
CIU
IU
PNV
CC
BNG
EA
ERC
C.A
PA
IC-V
9.
Escaños (D’Hont)
183
125
15
8
7
4
3
1
1
1
1
1
350
Votos (miles)
10.000
7.500
900
1.200
350
200
300
100
200
50
200
100
21.100
Escaños (proporc.)
166
124
15
20
6
3
5
2
3
1
3
2
350
a) La razón de los cosmonautas es 8 y la de los días 15 , como vemos si hubiese la mitad de viajeros
6
x
durarían el doble de tiempo los víveres por lo que las magnitudes son inversas y a la hora de establecer la
proporción debemos invertir una de las dos razones quedando
6 15
120
=
⇒ 6· x = 8·15 ⇒ x =
= 20 días.
8
6
x
b) Podemos resolverlo igual que antes estableciendo x = 15 ⇒ x = 3 astronautas. También podemos
8 40
hacerlo reduciendo a la unidad. Si 8 pasajeros tienen para 15 días uno solo tendrá para 15 · 8 = 120 días. Por
tanto como 40 son la tercera parte de 120 días podrán viajar el triple de cosmonautas. Es decir, 1 · 3 = 3
personas.
10. a)
50
= 0 ' 581
86
b) 0’581 × 100 =58’1 %
11. 80% = 80 = 0 ' 8 ⇒ 0 ' 8 × 40.000.000 = 32.000.000 hab.
100
12. a)
b)
c) 25 % = 250 o/oo.
4
1
=
16 4
4
1
=
16 4
1
16
2
1
=
16 8
1
16
2
1
=
16 8
25 %
25 %
12 ' 5 %
6 ' 25 %
2
1
=
16 8
12 ' 5 %
266
6' 25 %
12 ' 5 %
6’25 % = 62’5 o/oo.
12’5 % = 125 o/oo.
Soluciones tema 3
13. a)
b)
Ancho: 80% de 10 = 8 
 ⇒ 8 × 12
Largo: 80% de 15 = 12
Ancho: 120% de 8 = 9 ' 6 
 ⇒ 9 ' 6 × 14 ' 4
Largo: 80% de 12 = 14 ' 4
c)
Reduciendo una cantidad un 20% y aumentando el resultado posteriormente el 20%, la cantidad inicial
se reduce a un 96%, es decir un 4% de reducción.
d)
Aumento: 120% de 10 = 12; → disminución: 80% de 12 = 9 ' 6} ⇒ Reducción del 4% también.
14. a)
El total de vecinos es 75 + 55 = 130. Por tanto las razones de cada urbanización son:
75
= 0 ' 58 ⇒ 0 ' 58 × 15.600 = 9.000
130
55
= 0 ' 42 ⇒ 0 ' 42 × 15.600 = 6.600
La 2ª comunidad:
130
La 1ª comunidad:
b) 15.600 ÷ 130 = 120 ¼
15. El total de años para hacer las razones iniciales es 40 + 60 + 75 = 175.
40
= 0 ' 23 ⇒ 0 ' 23 × 700.000 = 160.000 ∈.
175
60
El 20 heredero:
= 0 ' 34 ⇒ 0 ' 34 × 700.000 = 240.000 ∈.
175
75
= 0 ' 43 ⇒ 0 ' 43 × 700.000 = 300.000 ∈.
El 3 er heredero:
175
El 1er heredero:
16. El total de temas para hallar las razones iniciales es 14 + 18 + 24 = 56.
14
= 0 ' 25 ⇒ 0 ' 25 × 13.440 = 3.360 ∈.
56
18
= 0 ' 32 ⇒ 0 ' 32 × 13.440 = 4.320 ∈.
El 20 autor:
56
24
El 3 er autor:
= 0 ' 43 ⇒ 0 ' 43 × 13.440 = 5.760 ∈.
56
El 1er autor:
17. 33 mm. × 300.000 = 9.900.000 mm. ⇒ 9’9 km.
18. a) Cada 100 cm es un m, por tanto:
3m
b) Como 1 km tiene 100.000 cm:
4 km
19. a) E = 25 cm = 25 cm = 1 .
50 m
5.000 cm
200
b) 80 cm : 200 = 0’4 cm = 4 mm
120 cm:200 = 0’6 cm = 6 mm.
20. a)
Sí, porque
40 20 15
=
=
= 0 ' 714 .
56 28 21
b) Las áreas del primer y segundo rectángulos respectivamente son: 20 · 15 = 300 cm2; 28 · 21 = 588 cm2.
20 15 300
No están en proporción directa con sus lados puesto que: 0 ' 71 =
=
≠
== 0 ' 51.
28 21 588
c)
El área de la base de la 2ª caja es 56· 28 = 1568 cm2. Por tanto el volumen es
V =1568 · 21= 32.928 cm3.
Tampoco están en proporción directa porque la razón entre volúmenes es:
12.000
= 0 ' 36 ≠.0 ' 71.
32.928
21. La velocidad de un móvil y la distancia que recorre son directamente proporcionales (la velocidad con el
tiempo son inversamente proporcionales) por tanto
16 km 50 km
600
=
⇒ 16 ⋅ x = 50 ⋅ 12 ⇒ x =
= 37 ' 5 min.
12 min x min
16
267
Actividades tema 4
3. La depreciación anual del valor de un coche es del 20%.
a) Completa la tabla de depreciación de un coche en de 5 años si se compró por 12.300 ¼
AÑOS
VALOR
1
0’8 x 12.300 = 9.840
2
3
4
5
b) Representa los resultados gráficamente.
c) Comenta los resultados.
4. En el prospecto de cualquier medicamento encontramos cuál es la dosis adecuada en
función de unos parámetros. Vamos a tomar un jarabe del que sabemos que por cada kilo
de peso del enfermo debemos administrar 1 ml del jarabe, pero la dosis nunca puede
exceder de 62 ml y tampoco debe ser suministrada si el paciente pesa menos de 10 kilos.
a) Completa la tabla que indica la dosis de jarabe según el peso del paciente.
PESO
DOSIS
10
10
15
30
45
60
61
62
75
b) Elige una escala adecuada y traza la gráfica que indica la dosis según el peso.
c) Tiene alguna curiosidad esta gráfica.
272
80
Actividades tema 4
5. Un atleta realiza todas las tardes el siguiente recorrido:
a) Sale andando hacia el garaje, que está a 500 metros de distancia, para recoger la moto.
Tarda en este trayecto 10 minutos.
b) Permanece en el garaje 5 minutos, tiempo que emplea en arrancar y abrir y cerrar la
puerta.
c) Con la moto se dirige a las pistas, a las que llega en 10 minutos y que se encuentran a
5.000 metros del garaje (es muy prudente y no le gusta correr).
d) Entrena durante hora y media.
e) Vuelve tranquilamente hasta su casa en moto empleando un tiempo de 20 minutos.
f) Merienda durante media hora.
g) Se acerca hasta el garaje con la moto en 5 minutos.
h) Dejar la moto bien colocada y abrir y cerrar la puerta le lleva otros 5 minutos.
i) Regresa a casa a pie para lo que necesita 10 minutos más.
Realiza una gráfica que recoja los desplazamientos descritos del atleta.
6. Vamos de senderismo y nuestra ruta tiene el siguiente perfil.
E
A
B
F
C
D
Necesitamos construir un gráfico que represente
esta situación:
Representa el tiempo que transcurre desde que
empiezas en el punto A, hasta que finaliza la
excursión en el punto F , dependiendo de los Km
que vayas recorriendo y teniendo en cuenta:
- Tramo A-B son 3 km y se sube a 3 km/h.
- Tramo B-C son 10 km caminando a 5 km/h.
- Tramo C-D son 5 km bajando a 10 km/h.
- En el punto D descansamos media hora y
decidimos volver por otro sitio.
- Tramo D-E tiene 12 km y vamos a 4 km/h
- El tramo E-F tiene 6 km y lo hacemos a 4 km/h.
273
Actividades tema 4
2. ANALIZAMOS GRÁFICAS
7. Aquí tienes una tabla de datos que relaciona a cuatro personas con su edad y su altura, y la
gráfica correspondiente. Asocia a cada uno de los puntos de la gráfica el nombre de la
persona a la que representa.
EDAD
14
35
26
43
ALTURA
160
155
170
165
Altura
175
NOMBRE
Juan
Jaime
Ana
Sonia
170
165
160
155
150
b
c
a
d
0
10
20
30
40
Edad
8. El crecimiento de una persona viene expresado en la siguiente gráfica:
a) Indica cuáles son las variables
que se relacionan.
Estatura (cm.)
200
b) ¿Qué significa que la gráfica
pase por los puntos (8,125) y
(16,170)?.
150
100
50
0
c) ¿A qué edad alcanza 150 cm.?
d) ¿Qué altura tendrá a los 25
años?.
Edad (años)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
274
e) Realiza un breve informe que
describa el crecimiento de esta
persona.
50
Actividades tema 4
9. Elige la gráfica que mejor se ajusta a cada una de las situaciones siguientes.
1
3
2
6
5
4
7
a) La inflación sigue creciendo y cada vez más rápidamente en estos últimos meses.
b) El estudio sobre el precio que ha de tener un artículo indica que si es muy barato o
demasiado caro se perderá dinero.
c) Cuanto más barato sea un artículo más unidades podré adquirir.
d) Se venden mucho las naranjas de pequeño calibre (para zumos) y de gran calibre (para
postre) pero apenas se venden las de calibre intermedio.
e) El precio del petróleo sigue bajando pero cada vez menos.
f) El banco europeo sigue aumentando el precio del dinero, pero cada vez más
lentamente.
10. Describe una situación que se pueda hacer corresponder con la siguiente gráfica:
200
Dist. (m.)
150
100
50
0
0
50
100Tiempo (min.)150
11. La gráfica que expresa la altura que alcanza una piedra desde que ha sido lanzada hasta
que vuelve al suelo según va transcurriendo el tiempo es:
Altura (m)
a) ¿Durante cuánto tiempo está
aumentando la altura? ¿Cómo
interpretas que sea creciente?
400
300
b) ¿Qué ocurre a partir del segundo 9?
c) ¿Dónde se encuentra el máximo?
¿Qué significado tiene? ¿Qué pasa
con la velocidad en ese instante?
200
100
2
4
6
8
10 12
14 16
18 20
Tiempo (s)
275
Actividades tema 4
12. Las siguientes gráficas representan las excursiones al campo que realizamos los
domingos. Podrías contar en qué consistió la excursión de cada domingo. Ayúdate de las
preguntas que están a la derecha de cada gráfica.
a)
distancia (km)
20
•
¿Qué ocurre entre la 2ª y 3ª
hora?
15
•
¿Qué velocidad llevamos en la
1ª hora?.
•
¿Y en la última?
•
¿Cómo podríamos justificar ese
cambio en la velocidad?.
•
¿Cuántos km hemos recorrido en
la primera hora?. ¿Y en la
segunda?
•
Calcula la velocidad en los dos
tramos anteriores. ¿Por qué
motivo hemos cambiado la
velocidad?
•
¿Qué pasa entre la segunda y la
tercera hora?.
•
¿Cuántos km hemos andado en
todo el trayecto?
10
5
0
1
2
3
tiempo (h)
b)
14 distancia (km)
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
tiempo (horas)
276
4
5
•
¿Desde dónde salimos?. ¿Qué explicación le podríamos dar?.
•
Si por el camino nos encontramos marcas que nos indican a qué distancia estamos
¿Qué distancia es la máxima que veremos?.
Actividades tema 4
19. La siguiente tabla refleja el peso y la altura entre las niñas de 2 a 18 años
Edad
2
Peso (kg)
11
Altura (cm) 85
a)
b)
c)
d)
4
15
100
6
19
105
8
23
125
10
30
138
12
39
149
14
48
158
16
52
162
18
52
162
Elabora una gráfica que te permita saber el peso y la altura conociendo la edad.
¿A qué edad se detiene el crecimiento de las chicas?
¿Qué dirías a una chica de 13 años que pesa 30 kg?
De los 10 a las 12 años, ¿cuánto aumenta el peso?, ¿cuánto la altura?. ¿Aumentan en
la misma proporción?
20. La variación que experimenta el peso y el tamaño del feto durante los meses de gestación
vienen expresados en la siguiente tabla:
Meses
1
Tamaño (mm) 8
Peso (g)
0´ 5
a)
b)
c)
d)
280
2
40
5
3
90
40
4
200
200
5
300
500
6
350
1000
7
400
1500
Representa en una gráfica la evolución del peso y el tamaño
¿En qué período es más rápido el crecimiento?
¿A partir de qué mes el crecimiento es más lento?
¿Cuánto mediría y pesaría un feto si naciera a las 30 semanas?
8
450
2500
9
500
3200
Actividades tema 4
21. Cada mes nos hacemos un análisis de sangre para controlarnos el nivel de glucosa, ésta se
mide en mg por cada 100 ml. Simultáneamente se mide la cantidad de plaquetas por mm3.
La tabla muestra los resultados en los últimos 8 meses.
Meses
Glucosa
Plaquetas(miles)
E
90
200
F
98
210
M
120
220
A
100
200
M
90
205
J
75
300
J
95
215
A
130
200
Teniendo en cuenta que:
Los valores normales de glucosa oscilan entre 75 y 105 y que las plaquetas aumentan en
los procesos infecciosos.
a) Haz una representación gráfica de la situación.
b) ¿Dónde se alcanzan los máximos de glucosa. ¿A qué crees que es debido?
c) ¿Y el mínimo de glucosa?. ¿Qué mes presenta más cantidad de plaquetas? ¿Encuentras
alguna relación entre la disminución de glucosa y el aumento de plaquetas?
4. UTILIZAMOS EL ORDENADOR
22. Haz la gráfica de la glucosa y las plaquetas del ejercicio 21 con la hoja de cálculo.
Introduce en las dos primeras filas los valores de estos dos componentes y utiliza el icono
adecuado.
281
Actividades tema 4
650&7"-6"$*0/
"
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:
a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la
que aparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una idea
de tu aprendizaje.
c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de
refuerzo o ampliación, o no es necesario.
Cuestiones de autoevaluación.
1. Completa las siguientes frases:
a) La coordenada de la variable independiente se llama ……………y se señala sobre
el eje ………………
b) Cuando en una gráfica todas las marcas de alrededor de un punto están por encima
de éste decimos que en ese punto tiene un…………..
c) Si en una gráfica al desplazarnos hacia la derecha la gráfica sube decimos que es
……………..
d) Si una gráfica es ………… no puede haber cambios bruscos de ordenada.
e) Cuando hay representadas dos gráficas simultáneamente sobre unos ejes, los
puntos en que se cortan las gráficas indican que los valores de ambas expresiones
son……………en esos puntos.
2. Contesta verdadero (V) o falso (F):
a) La magnitud que es independiente se representa en el eje
de ordenadas.
b) Una gráfica que no tiene máximos tampoco tiene
mínimos.
c) Si una gráfica antes de un punto es creciente y luego
decreciente tiene un máximo.
d) Las gráficas sin saltos son constantes.
e) La escala de los dos ejes no tiene que ser necesariamente
la misma.
f) El icono que debes utilizar para hacer un gráfico con la
hoja de cálculo es
282
.
Actividades tema 4
3. La representación gráfica de la tabla siguiente
X
Y
20
50
30
75
40
100
50
80
60
80
es:
a)
b)
Y
d)
c)
Y
Y
Y
X
X
X
X
4. En la noria cada coche sube y baja periódicamente ¿Cuál de las siguientes gráficas es la
que representa la altura respecto al suelo según varía el tiempo?
5. Elige la gráfica que se representa la siguiente situación: “Juan va de su casa al trabajo. Al
salir del trabajo va a un restaurante que está a medio camino entre su casa y el trabajo.
Al acabar de comer se va a casa”.
a)
b)
c)
d)
6. En la gráfica siguiente se muestra la temperatura de la atmósfera dependiendo de la altura
a la que se tome la medida. ¿Qué texto es el más adaptado a ella?
a) La temperatura inicialmente es creciente y luego va cambiando.
Temperatura atmósférica
T(ºC)
40
20
0
-20
0
10
20
30
40
50
60
-40
70
80
90
100
b) La temperatura tiene un tramo donde es
creciente entre los 15 y los 50 km y otro
entre los 85 y los 100.
c) La temperatura es decreciente con la
altura.
-60
-80
-100
altura(km)
d) La temperatura mínima en la atmósfera
se alcanza a los 15 km.
283
Actividades tema 4
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
Y
Comprender el vocabulario propio de gráficas: Magnitudes independientes o dependientes
continuidad, discontinuidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, abscisas,
ordenadas.
Y
Construir una gráfica a partir de una tabla de valores.
Y
Construir gráficas a partir de un texto donde se indican las variaciones que se producen.
Y
Analizar gráficas estudiando los tramos de crecimiento, decrecimiento, los puntos donde
la gráfica alcanza máximos y mínimos y reconocer cuando una gráfica tiene o no saltos.
Y
Comparar dos gráficas trazadas sobre los mismos ejes y reconocer el significado de los
puntos donde se cortan.
Y
Introducir los valores de la variable dependiente en las celdas de la hoja de cálculo Excel
y trazar con ayuda de este programa el gráfico.
“Aún tengo dificultades en …”
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
“En cuanto a las actividades…”
Y
Mi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
Y
Tengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
Y
Me ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
tema puedo realizar las actividades de ampliación
285
Actividades tema 4
5. Se ha hecho un estudio de la evolución del turismo en España y se quiere comparar como
se desarrolla a lo largo del año en tres destinos turísticos por excelencia, la gráfica
resultante es la siguiente
E v o lu c ió n p o r c e n tu a l d e l n ú m e r o d e v is ita n te s
e x tr a n je r o s e n E s p a ñ a
%
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
e
f
m
a
B a le a re s
m
j
j
L e v a n te
a
s
o
n
d
C a n a ria s
a) ¿Cuál de las tres zonas tiene más visitantes en verano?
b) ¿Cuándo tienen las tres zonas los mismos visitantes?
c) ¿En que periodo es creciente el turismo en Baleares?
d) ¿Qué zona tiene un turismo más regular (el número de turistas es constante?
e) ¿En qué periodo tiene más turismo Levante que Canarias?
288
Actividades tema 4
"$5*7*%"%&4
4%
%&".1-*"$*0/
1.
Los cestillos de una noria suben y bajan mientras gira la distracción. La gráfica que
muestra la distancia de uno de ellos al suelo según varía el tiempo es la siguiente:
altura (m)
16
14
12
Algunas gráficas como
ésta tienen un tramo que
se repite sucesivamente.
Estas gráficas se dice que
son periódicas y a la
distancia
entre
dos
puntos que ocupan la
misma situación se le
llama periodo.
10
8
6
4
2
0
0
2.
•
•
•
•
20
40
tiempo (s)
60
80
a)
¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa?
b)
¿Cuántos máximos tiene y cuál es la altura máxima?
c)
¿Y la mínima?
d)
Podrías calcular la altura a los 120, 130 y 140 segundos (no es necesario que
amplíes la gráfica).
El perímetro del cráneo de un niño presenta el siguiente crecimiento:
Durante los 3 primeros meses de vida alcanza los 40 cm.
En los 6 meses siguientes el perímetro ha aumentado 4 cm.
En los siguientes 6 sólo aumenta 2 cm.
En los 18 meses siguientes aumenta 3 cm.
a) Completa la siguiente tabla
MESES
PERÍMETRO
3
40
9
44
15
33
b) Elige la escala adecuada y representa la gráfica.
c) Fijándote en la gráfica, contesta:
¿Cuál será el perímetro a los 6 meses?, ¿y a los 12 meses?
¿Cuánto mide el cráneo a los 21meses, y a los 27?
289
Actividades tema 4
3.
a) Completa la tabla que relaciona la base de un rectángulo cuya área es de 240 cm2.
Base (cm)
Altura (cm)
5
240
= 48
5
10
240
=
10
15
20
25
30
b) Representa gráficamente la tabla.
c) ¿Es creciente o decreciente esta gráfica?
El área de un rectángulo
es igual al producto de la
base por la altura.
A = B×h
290
Actividades tema 4
4.
La gráfica adjunta muestra la evolución de la población en una ciudad según los censos
que se han ido haciendo
60000
a) ¿En qué años hay aumento de la
población? ¿Y cuándo disminuyó?
Habitantes
45000
b) ¿Cuál fue el año que tuvo el
máximo de habitantes? ¿Y el
mínimo?
30000
c) ¿Se te ocurren algunas razones
para los descensos de la población?
15000
0
Año
1800 1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975 2000
Esta gráfica nos muestra las concentraciones de dióxido de carbono (CO2) en la
atmósfera. ¿Qué comentarios te sugiere la gráfica?
Concentración (ppm)
5.
360
340
320
300
280
260
1700
1750
1800
1850
1900
1950
2000
291
Actividades tema 4
6.
Estas gráficas describen aproximadamente el comportamiento de tres atletas durante una
carrera de 400 m lisos.
400
distancia (m )
A
C
300
a) ¿Cuál de los tres salió a más
velocidad?
b) ¿Quién ganó la carrera?
B
c) Describe
que
posición
ocupaba cada uno de los
corredores a lo largo de la
carrera.
200
100
tiem po (s)
0
0
7.
10
20
30
40
50
60
Observa las siguientes gráficas que relacionan el aumento salarial y el IPC interanual
desde 1994 hasta 2000.
Aume nto salarial/IPC inte ranual
a) Analiza la primera gráfica.
4
3
2
1
3,8
3,4 3,7
2,9 2,6
2,3
b) Analiza la segunda gráfica.
1,8
c) Compara ambos análisis y comenta
los resultados.
0
51992
1994
1996
1998
2000
2002
1994
1996
1998
2000
2002
4
3
2
1
0
1992
292
d) Elabora una tabla de datos donde
figura la variación del poder
adquisitivo de los trabajadores a lo
largo de los años estudiados.
Actividades tema 4
A veces la relación entre dos magnitudes se puede expresar mediante una fórmula que nos
indica las operaciones que debemos realizar sobre la variable independiente para ir obteniendo
los correspondientes valores de la dependiente.
Por ejemplo la fórmula f(x) = 5· x expresa que la ordenada de cada abscisa se obtiene
multiplicando ésta por 5.
Para representar estos gráficos podemos ayudarnos con la elaboración de una tabla eligiendo
arbitrariamente los valores de las abscisas y calculando mediante la fórmula los valores de las
ordenadas.
En nuestro caso por ejemplo
Su representación será:
X
2
4 6 8 ...
f(X) 5 · 2 = 10 20 30 40 ...
40
30
20
10
O
2
4
6
8
La fórmula anterior se puede utilizar para el estudio de diferentes situaciones reales como por
ejemplo: la representación del espacio recorrido por una persona en función del tiempo
transcurrido si camina a una velocidad de 5 km/h (e = v · t), la representación del coste de
varios artículos cuyo precio por unidad es de 5 ¼ coste = precio unidad × nº unidades), etc.
8.
Representa gráficamente las fórmulas
a)
y=x
b)
y = 2x
c)
¿Qué forma tienen las dos?
d)
¿Qué punto tienen en común?
e)
¿Qué ocurre cuando el número que multiplica a la x se hace más grande?
f)
Investiga que ocurrirá cuando ese número sea negativo
293
Soluciones tema 4
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1.
Cotización euro/dólar
V. Independiente: semanas. V.
Dependiente: cotización.
cotización
a)
b) Escala de los ejes. Por ejemplo de
0’0050 en 0’0200.
c) Empieza en 0’8400.
0,89
0,88
0,87
0,86
0,85
0,84
0,83
d) Æ
Como el tiempo varía de forma
gradual la gráfica será continua si no
hay ningún instante en el que se
produzca algún cambio brusco de
cotización como ocurrió por ejemplo
el pasado 11-Sept-02.
cotización
e)
0
2
a)
6
8
6
8
Cotización euro/dólar
0,89
0,88
0,87
0,86
0,85
0,84
0,83
0
2.
4
semana
2
4
semana
b)
CONSUMO (m3) COSTE (¼
0
8’33
5
9’93
10
11’53
15
13’13
20
14’73
25
15’33
cosumos/precios
precios ( ¼
20
15
10
5
0
0
10
20consumos (m3)30
c) Sí, pues el consumo de agua puede tomar cualquier valor entre 0 y 25 aunque en la tabla no este
expresado.
a) y b)
AÑOS
1
2
3
4
5
VALOR
9.840
7.872
6.297’6
5.038’08
4.030’46
VALOR
3.
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
2
AÑOS
4
6
c) Observa cómo en 5 años pierde más de la mitad de su valor original.
4. a)
PESO
DOSIS
294
10
10
15
15
30
30
45
45
60
60
61
61
62
62
75
62
80
62
7.
Una persona hace todas las mañanas el siguiente recorrido:
• En primer lugar baja a por el pan a una panadería que se encuentra a 50 metros
de su casa, utilizando 8 minutos para realizar el trayecto.
• Normalmente lo atienden en cuatro minutos.
• Después se acerca a por el diario a un quiosco que se encuentra situado a 20
metros más allá de la panadería.
• Son muy rápidos y en dos minutos ha terminado.
• Vuelve a casa a desayunar, trayecto en el que tarda 12 minutos más.
Representa una gráfica que recoja este desplazamiento diario.
8.
Estas gráficas representan la evolución de los precios del petróleo producido por la OPEP
(Organización de Países Exportadores de Petróleo) y de la producción de petróleo de esta
organización en tanto por ciento respecto de la producción mundial.
% del total mundial
$/ Barril
Evolución precio barril/producción de
petróleo en la OPEP
40
30
20
10
0
1970
28
34
20
11,6
9,31
1975
1980
1985
1990
1995
1975
1980
1985
1990
1995
70
60
50
40
30
20
1970
a. Describe ambas gráficas indicando si tienen saltos o no, tramos de crecimiento y de
decrecimiento, existencia de máximos y mínimos, …
b. Relaciona ambas gráficas y comenta los resultados.
302
Formación Básica
de Personas Adultas
Graduado en Educación Secundaria
PROCESOS E
INSTRUMENTOS
MATEMÁTICOS
Cuaderno de Actividades
Unidades 5 a 8
Actividades tema 5
c) Contribución al cambio climático por regiones del planeta
a) ¿De qué tipo de gráficas se trata?
b) ¿Qué estudia cada gráfica?
c) ¿Qué conclusiones sacas de cada una de ellas acerca del objeto de estudio?
304
Actividades tema 5
6. La media de las notas obtenidas en las tres pruebas realizadas en unas oposiciones ha sido
6. Sé que dos de las notas eran 7 y 4, pero he olvidado la tercera. ¿Podrías ayudarme a
calcularla?.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Tablas de frecuencias: Han de tener esta forma
Calific. (Xi)
Frecuencia (Fi)
Cálculo de la media: Se suman todos los datos y se divide por el número total de
éstos. Se representa como x .
Cálculo de la mediana: Es el valor que ocupa la posición central después de haber
ordenado todos los valores.
Cálculo de la moda: Valor que más se repite.
307
Actividades tema 5
Cálculo de la desviación media: Una vez calculadas las desviaciones (Di) hay
que calcular la media aritmética de todas ellas. Para esto añadimos la columna del
producto de las desviaciones (Di) por las frecuencias (Fi), o sea, Di · Fi.
Calificaciones (Xi) Frecuencia (Fi)
TOTALES
Di = | Xi - x |
N=50
DM =
Di ·
Fi
Σ |xi - x |· Fi =
∑
x i − x · Fi
N
Cálculo de la desviación típica: El cálculo se realiza aplicando las siguientes
n
fórmulas:
x2i ⋅ fi
∑
− x 2 ; DesviaciónTípica = Varianza
Varianza = i =1
N
Para simplificar el cálculo recuerda que es conveniente rellenar la siguiente tabla:
Tiempo Frecuenci
(Xi)
a (Fi)
TOTAL
ES
Xi2· Fi
Xi· Fi
N=50
191
También se puede calcular utilizando la calculadora según se explica en el
apartado correspondiente del libro de texto.
7. Se ha hecho un estudio sobre el número de hijos de las parejas de una ciudad. Para ello
hemos encuestado a una muestra de 60 parejas elegidas al azar y los resultados han sido:
Nº de hijos 0
Frecuencia 11
1
12
2
25
3
5
4
3
5
2
6
0
7
1
8
0
a) Elabora un gráfico que se adapte a las características de la variable.
b) Calcula las medidas centrales que consideres oportunas.
c) Calcula el recorrido, la desviación media y la desviación típica.
308
9
0
10
0
11
1
Actividades tema 5
2. HACEMOS PROBABILIDAD
Experimento aleatorio: El resultado no se puede prever.
Experimento determinista: El resultado es previsible.
9. Clasifica los siguientes experimentos en aleatorios o deterministas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Extraer una carta de una baraja. ………………………………..
La duración real de la clase de matemáticas. ………………………………..
Los horarios de los trenes un día laborable. ………………………………..
Lanzar una piedra al aire y observar si cae o no………………………………..
La cantidad de electricidad que se consume a diario en tu casa. …………………..
¿Quién va a ganar en el partido de baloncesto de mañana?. ………………………..
En determinados casos donde todos los sucesos elementales tienen las mismas
posibilidades (sucesos equiprobables) se aplica la Regla de Laplace que afirma que en
estas situaciones la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de casos
favorables y el número de posibles, es decir
P(S) =
Casos Favorables
.
Casos Posibles
10. En la lotería, la gente habla de números bonitos y dicen que tocan más. Los más populares
son los capicúas, como 35.753 (un número es capicúa si se lee igual comenzando por el
final). En cambio hay números que nunca compraría, como el 00.002 o el 66.665. ¿Qué
opinas tú, tiene más probabilidad de tocar un número que otro?
11. En una prueba de control de calidad
resultaron defectuosas,
probamos 1.000 bombillas, de las cuales 36
a) si elegimos una bombilla al azar, ¿cúal es la probabilidad de que funcione?
b) si el encargado ha enviado 45.000 bombillas a un cliente, ¿cuántas espera que le
devuelvan?
310
Actividades tema 5
Cuando deseamos calcular la probabilidad de un suceso, ésta es igual a la suma de los
sucesos elementales que lo componen.
12. Un estudio sobre la duración de pilas de distintas marcas arroja los siguientes resultados:
Nº de horas de duración
Nº de marcas
[0,2[
2
[2,4[
4
[4,6[
5
[6,8[
3
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla escogida al azar dure entre 6 y 8
horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla dure más de 2 horas?
13. Observando durante varios días una máquina tragaperras se han observado los siguientes
resultados:
Premio en euros
Nº de veces
0
700
1
120
1´5
15
3
10
6
3
a) ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener algún premio?
c) ¿Y de no obtener ninguno?
311
Actividades tema 5
14. Antes de lanzar al mercado un fármaco, se ha experimentado con él en ratones,
obteniéndose los siguientes resultados:
Trastornos
Nº de ratones
Parálisis muscular
Aumento de peso
Taquicardia
15
100
5
Si el fármaco se suministró a 500 ratones
a) Calcula la probabilidad de que un ratón sufra aumento de peso.
b) Sufra taquicardia o parálisis muscular.
c) No tenga ningún trastorno.
312
Actividades tema 5
650&7"-6"$*0/
"
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:
a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la que
aparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una idea de tu
aprendizaje.
c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de refuerzo o
ampliación, o no es necesario.
Cuestiones de autoevaluación.
1. Completa las siguientes frases:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Cuando la variable no puede tomar valores numéricos se denomina ……
La frecuencia relativa se obtiene …..
La media no se puede calcular si la variable es ……
Se llama marca de clase ……
.
Las medidas que resumen el conjunto de los datos de un estudio estadístico se
denominan medidas ………
Las medidas de dispersión informan sobre ….
Al conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio se llama ….............
En el experimento lanzar un dado, obtener el número 3 es un suceso............. y
obtener un número par es un suceso..........................
Un suceso que siempre sucede se llama suceso............... , y si no puede ocurrir
suceso .....................
2. Contesta verdadero (V) o falso (F):
a)
b)
c)
d)
e)
La frecuencia relativa puede tomar el valor 2.
Las variables estadísticas siempre toman valores numéricos.
La moda se puede calcular cuando la variable es cualitativa.
La probabilidad de un suceso es un número mayor que uno.
En cualquier experimento aleatorio todos los sucesos elementales son
equiprobables.
f) El suceso contrario de “obtener al menos una cara” al lanzar dos monedas es:
“obtener dos cruces”.
g) La suma de las probabilidades de todos los sucesos de un espacio muestral es
siempre uno.
3. En un estudio sobre los sueldos de 130 empleados de una empresa, 55 cobran menos de
60 euros mensuales. La frecuencia absoluta de ‘menos de 60’es:
a) 75
b) 0’42
c) 55
d) 42%
313
Actividades tema 5
4. En un estudio en el que los resultados son: 3, 5, 4, 4, 6, 4, 7, 3
a) 4
b) 4’5
c) 8
la moda es:
d) 3
5. En un centro de FPA hay matriculados 450 hombres y 630 mujeres. Para seleccionar la
muestra de un estudio donde influye el sexo de los entrevistados, elegiremos:
a)
b)
c)
d)
45 hombres y 63 mujeres.
63 hombres y 45 mujeres.
El doble de mujeres que de hombres.
Es indiferente el número de hombres y de mujeres que seleccionemos.
0,75
1,00
0,69
0,75
PRECIO
PRECIO
6. Observa estas gráficas sobre la subida del precio del gasoil. Podemos deducir:
0,63
0,56
0,50
0,25
0,50
0,00
1999
2000
2001
1999
AÑOS
a)
b)
c)
d)
2000
2001
AÑOS
El crecimiento es mayor en el primero.
El crecimiento es mayor en el segundo.
El crecimiento es igual en ambos.
No se puede saber cuál ha sido el crecimiento.
7. En un estudio cuyos datos se ajusten a los de esta tabla,
Metros cuadrados
Frecuencia
80
20
100
36
120
16
podemos decir que la media es:
a) 100 b) 36 c) 24
d) 98’9
8. Si tenemos un experimento aleatorio con 50 sucesos elementales equiprobables todos
ellos. La probabilidad de un suceso será:
a) 1 / 50
b) No lo puedo saber
c) 50%
9. ¿Qué probabilidad tiene un suceso que se satisface 2 veces de cada 7?
a) 7 / 2
b) 2 / 7
c) 29%
10. ¿Qué es más probable?
a) Que 5 de cada 10 adultos adultos/as obtengan el GES.
b) Que 50 de cada 100 adultos/as obtengan el GES.
c) Ambos casos son igual de probables
11. En una urna tienes 3 bolas rojas y 2 azules. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola y
que ésta sea azul?
a) 0’5
b) 0’4
c) 0’2
12. Si lanzamos un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor de 6?
a) 0’5
314
b) 1 / 3
c) 5 / 6
Actividades tema 5
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
Y
Comprender el vocabulario estadístico y probabilístico: Población, muestra, variable,
frecuencia relativa, espacio muestral, sucesos, probabilidad de un suceso.
Y
A partir de los datos,
hacer el recuento y presentar la información en una tabla, es decir,
organizar la información.
Y
Elegir la representación gráfica más adecuada, (diagrama de barras, polígono de
frecuencias, diagrama de sectores,....) en función de los datos.
Y
Razonar sobre
la información ofrecida en prensa, televisión, ...relacionada con mensajes
estadísticos y probabilísticos.
Y
Detectar errores o “falsas ideas” en las representaciones estadísticas.
Y
Conocer las medidas de centralización, eligiendo la más adecuada dependiendo del tipo
de variable.
Y
Interpretar
las medidas de dispersión, junto con las de centralización para sacar
conclusiones.
Y
Utilizar la calculadora para obtener la media y la desviación.
Y
Reconocer fenómenos aleatorios en la vida diaria.
Y
Distinguir situaciones en las que los sucesos nos son equiprobables.
Y
Utilizar la Ley de los grandes números y la regla de Laplace para calcular probabilidades.
“Aún tengo dificultades en …”
“TENGO DU DAS EN”
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
“En cuanto a las actividades…”
Y
Mi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
Y
Tengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
Y
Me ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
tema puedo realizar las actividades de ampliación.
315
Actividades tema 5
$5*7*%"%&4
"
4%
%&
&3
3&'6&3;0
1. Escribe un ejemplo de cada tipo de variables:
a) Cuantitativa
b) Cualitativa
2. Las notas sacadas por los 20 alumnos del 2º nivel del ciclo II de un centro de FPA en el
módulo “Ciencia y tecnología” han sido las siguientes:
3, 5, 7, 4, 5, 8, 8, 4, 5, 6, 6, 9, 4, 5, 6, 6, 5, 7, 3, 8.
a) Completa la tabla de frecuencias y porcentajes:
Nota (Xi)
Frecuencia(Fi)
%
3
4
5
6
7
8
9
8
9
2
10
b) Dibuja el diagrama de barras
c) Calcula la mediana y la moda.
d) Añade la columna nota(Xi) · frecuencia(Fi)
Nota (Xi)
Frecuencia(Fi)
%
Xi · Fi
3
4
5
6
7
2
10
6
e) Calcula la media. Para ello antes has de calcular el total de las frecuencias y de los
productos de la última fila.
3. Si extraemos una carta de una baraja española (48 cartas) calcula la probabilidad de los
siguientes sucesos:
a)
b)
c)
d)
e)
Sacar el rey de oros.
Extraer un rey.
Obtener una carta de copas.
Sacar una figura.
Sacar un número inferior a 5.
4. La siguiente tabla refleja diferencias entre los países desarrollados y los países del tercer
mundo:
Población (en millones)
Población sin agua potable
Población adulta analfabeta
Población de niños escolarizados
Población sin control médico
a)
b)
c)
d)
316
Tercer Mundo Desarrollados
4.400
1.600
50%
1,5%
26%
5%
46%
93%
27%
0,5%
¿Cuál es la probabilidad de que un niño/a del Tercer Mundo esté escolarizado?
¿Cuántas personas adultas son analfabetas en los países desarrollados?
¿Cuántas son analfabetas en el Tercer Mundo?
¿Cuál es la probabilidad de nacer en un país del Tercer Mundo?
Actividades tema 5
$5*7*%"%&4
"
4%
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".1-*"$*0/
1. Una empresa fabrica tornillos de una longitud teórica de 35 mm. Para realizar un control
de precisión sobre el funcionamiento de una máquina nueva se mide la longitud de 100
tornillos realizados por esta máquina. Los resultados son:
Diámetro(mm)
Frecuencia
[33’5, 34[
12
[34, 34’5[
18
[34’5, 35[
26
[35, 35’5[
20
[35’5, 36[
14
[36, 36’5[
10
a) Representa estos datos en un histograma.
b) Calcula la media y la desviación típica.
2. Otra empresa fabrica barras de acero de 3’5 metros de longitud. Para realizar un estudio
de calidad se seleccionan al azar 50 de estas barras y se miden. Los resultados, en
centímetros, son:
356, 359, 352, 350, 355, 350, 347, 338, 363, 347, 351, 351, 354, 343, 345,
349, 348, 350, 351, 350, 351, 357, 350, 343, 349, 350, 346, 353, 362, 336, 359,
350, 345, 341, 338, 345, 352, 349, 353, 353, 362, 355, 342, 350, 349, 346, 337,
347, 343, 352.
a) Agrupa los datos en clases de 5 en 5 centímetros y elabora una tabla de frecuencias
donde figuren también las marcas de clase.
b) Elabora un histograma para estos datos.
c) Calcula media, desviación media y desviación típica.
3. Los cupones de la ONCE están numerados del 00.000 al 99.999
a) ¿Cuál es la probabilidad de qué mi cupón salga premiado?
b) ¿Y si juego todas las semanas tres cupones diferentes?
4. La siguiente tabla muestra la incidencia del tabaco en los accidentes laborales, la muestra
ha sido de 300 personas.
Hombres Mujeres
Fuman
No fuman
Total
Total
164
50
178
300
Completa la tabla y calcula la probabilidad de:
a) Si elegimos al azar una de las personas sea mujer no fumadora.
b) Si elegimos un hombre, éste sea fumador.
c) Una persona al azar sea fumador/fumadora.
317
Soluciones tema 5
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1.
Nº de productos
Menos de 5
De 5 a 10
Más de 10
2.
F. absoluta
30
40
10
N=80
F. relativa
0’375
0’5
0’13
%
37’5
50
13
Gráfica a):
a) Polígono de frecuencias.
b) La evolución e las sentencias de divorcios y separaciones desde 1981 hasta 1999.
c) El número de divorcios y separaciones han ido en aumento.
Gráfica b)
a) Diagrama de barras.
b) Estudia la proporción de la población europea que habla como segunda lengua cada
uno de los idiomas estudiados.
c) El Inglés es el idioma más elegido como segunda lengua.
3.
Beneficios
Miles de euros
6
Miles de euros
7
6
5
4
3
2
1
0
5
4
3
2
Beneficios
1996 1997 1998 1999 2000 2001
1996 1997 1998 1999 2000 2001
Años
Años
Se modifica la escala del eje vertical obteniendo un aplanamiento del polígono de frecuencias.
4.
a)
Valoración
Mala
Aceptable
Buena
NS/NC
Frecuencia
45
73
26
6
Fr. Relativa
0’3
0’49
0’17
0’04
%
30
49
17
4
b)
Gestión del gobierno
Buena
17%
NS/NC
4%
c) La moda por tratarse de una variable cualitativa: la
moda es “Aceptable”.
Mala
30%
Aceptable
49%
5.
a)
0’5, 0’5, 1,1,1,1’5, 1’5, 1’5, 1’5, 2, 2, 2, 2, 2, 2’5, 2’5, 2’5, 2’5, 2’5, 3, 3, 3, 3, 3, 3’5, 4, 4, 4, 4, 5.
b)
Tiempo (horas)
Frecuencia(Fi)
318
De 0 a 1 De 1 a 2 De 2 a 3 De 3 a 4 De 4 a 5 De 5 a 6
2
7
10
6
4
1
Soluciones tema 5
c)
Tiempo en horas
De 0 o 1
De1 a 2
De 2 a 3
De 3 a 4
De 4 a 5
De 5 a 6
Marca de clase(Xi)
0’5
1’5
2’5
3’5
4’5
5’5
x=
d)
6.
81
= 2 '7.
30
El alumno puede opinar sobre la idoneidad de dedicar una media de 2’7 horas semanales de su
tiempo libre al trabajo de ONG.
Si X es la nota que falta la media será:
(7+4+X)/3=6 Æ
11+X=18 Æ
X=18-11 =>
X=7
a)
Nº de parejas
7.
Frecuencia(Fi) Xi · Fi
2
1
7
10’5
10
25
6
21
4
18
1
5’5
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
Nº de hijos
b)
Nº hijos
0
Fr. (Fi)
11
Xi · Fi
0
Di
1’95
Di · Fi 21’45
Xi2· Fi
0
1
12
12
0’95
11’4
12
2
25
50
0’05
1’25
100
3
5
15
1’05
5’25
45
x=
c) Recorrido es 11;
DM =
4
3
12
2’05
6’15
48
5
2
10
3’05
6’1
50
6
0
0
4’05
0
0
117
' ;
= 195
60
65 '7
;
'
= 1095
60
σ=
7
1
7
5’05
5’05
49
Me = 2;
8
0
0
6’05
0
0
9
0
0
7’05
0
0
10
0
0
8’05
0
0
11
1
11
9’05
9’05
121
suma
60
117
65’7
425
Mo = 2.
423
− 1'95 2 = 1'81
60
8.
a) Profesor A:
Nota
Frecuencia
0
10
1
8
2
6
3
2
4
1
5
0
6
1
7
3
8
5
9
7
10
9
1
2
2
3
3
5
4
8
5
12
6
6
7
4
8
3
9
2
10
1
Profesor B:
Nota
Frecuencia
0
0
b) Profesor A:
x=
250
= 4 '8,
52
Me =
3+ 4
= 3'5,
2
x=
231
= 5'02,
46
Me =
5+5
= 5,
2
Mo = 0.
Profesor B:
Mo = 5.
319
Soluciones tema 5
12. a)Hemos probado 2 + 4 + 5 + 3 = 14 pilas, P(dure entre 6 y 8 horas) = 3 / 14 = 0’21
b)Casos favorables: entre 2 y 4 horas: --4-- entre 4 y 6 horas:--5-- entre 6 y 8 horas:--3--, total 4 + 5 + 3= 12
P(dure más de 2 horas) = 12 / 14 = 0’86
13. Número total de veces jugada = 700 + 120 + 15 + 10 + 3 = 848
a) P(0 euros) = 700 / 848 = 0’83
P(1 euro) = 120 / 848 = 0’14
P(1,5 euros) = 15 / 848 = 0’02
P(3 euros) = 10 / 848 = 0’01
P(6 euros) = 3 / 848 = 0’004
b) como no específica que tipo de premio, nos valdrán todos,
P(obtener algún premio) = (120 + 15 + 10 + 3) / 848 = 0’17
c) No obtener ningún premio es el suceso contrario de obtener algún premio
P(no obtener premio) = 1 - P(obtener algún premio) = 1 - 0’17 = 0’83
14. a) P(aumento de peso) = 100 / 500 = 0’20
b) P(taquicardia o parálisis muscular) = (15 + 5) / 500 = 0’04
c) Ratones que no sufren ningún trastorno hay 500 - (15 + 100 + 5) = 380
P(no sufrir trastornos) = 380 / 500 = 0’76
Soluciones autoevaluación
1.
a) cualitativa; b) dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de la muestra; c) cualitativa; d) al valor
medio de un intervalo; e) centrales; f) la separación de los valores de la media; g) espacio muestral;
h) elemental, compuesto; i) seguro, imposible.
2. a) F (la frecuencia relativa es un valor entre 0 y 1)
b) F (también pueden ser cualitativas)
c) V
d) F (es un valor entre 0 y 1)
e) F (un dado trucado)
f) V
g) V.
3. (c) por definición.
4. (a) por ser la que más se repite.
5. (a) por mantener las proporciones.
6. (c) están alteradas las escalas del eje vertical.
7. (d) aplicando la fórmula del cálculo de la media.
8. (a)
9. (b) aplicando la regla de Laplace.
10. (c) porque se mantienen las proporciones.
11. (b)
2
= 0 ' 4.
5
12. (b) Los números pares menores de 6 son 2 y 4.
Soluciones actividades de refuerzo
1.
2.
Cuantitativa: por ejemplo la edad, el sueldo, …
Cualitativa: por ejemplo preferencias de estudios, color ojos, …
a)
Nota (Xi)
Frecuencia (Fi)
%
3
2
10
4
3
15
5
5
25
6
4
20
7
2
10
8
3
15
9
1
5
b)
6
5
5
4
3
2
1
0
4
3
3
2
c) Mo = 5; Me =
2
5+6
= 5 '5
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
321
Soluciones tema 5
c)
Longitud
335 a 340
340 a 345
345 a 350
350 a 355
355 a 360
360 a 365
Totales
Marca de clase
337’5
342’5
347’5
352’5
357’5
362’5
x=
Frecuencia
4
5
13
19
6
3
50
17510
= 350 '2;
50
DM =
Xi · Fi Xi -X o X -Xi Fi · (X-Xi)
1350
12’7
50’8
1712’5
7’7
38’5
4517’5
2’7
35’1
6697´ 5
2’3
43’7
2145
7’3
43’8
1087’5
12’3
36’9
17510
248’8
248 ''8
= 4 '976;
50
σ = 6 '18 .
3.
a)hay 100.000 números estos serán los casos posibles y favorable sólo uno que es el mío.
P(obtener premio) = 1 / 100000 = 0’00001
b) P(obtener premio con 3 cupones) = 3 / 100.000 = 0’00003
4.
Tabla completada
Fuman
No fuman
Total
Hombres
92
86
178
Mujeres
72
50
122
Total
164
136
300
a)
Mujeres no fumadoras tenemos 50, pero como hay que escogerla al azar, la escogeremos de entre las
300 personas
P(mujer no fumadora) =50 / 300 = 0’17.
b)
Hombres fumadores hay 92, pero como sabemos que es hombre hay que escogerlo entre los 178
hombres
P(fumador , sabiendo que es hombre) = 92 / 178.
c)
Personas que fuman tenemos 164, como es al azar tendremos 300 casos posibles
P(fumar) = 164 / 300.
323
Actividades tema 6
3. Inventa situaciones que se correspondan con estas expresiones algebraicas:
a) 2x – 3, si x es la edad de Juan
b) 3(x – 1000), si x son mis ahorros
c) (x + 6) : 3, si x son piezas fabricadas
• Para realizar la operación 5 x + x se puede interpretar como 5 de x más 1 de x.
• Para realizar la operación –2 x – x, se puede interpretar como que debo 2 de x y debo
1 de x .
• Para realizar la operación 2 · 3 x, se puede interpretar como el doble de 3 x.
4. Cálculo mental.
a)
b)
c)
d)
e)
2x + 5x
5x + x
8 x – 6x
6x – 8x
–2 x – x
5. Cálculo mental.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2· 3x
–2· 3x
2(- 3 x)
–2 ( - 3 x)
6 (-2x)
–3 · 4x
–5 (-3x)
La operación existente entre un número y un paréntesis, si no se indica, es la
multiplicación. Si lo que hay es un signo negativo se puede interpretar como multiplicar
por –1.
326
Actividades tema 6
6. Quita el paréntesis en las siguientes expresiones:
a)
b)
c)
d)
e)
2 (3 x – 7)
– (5 x – 4)
– 2 (x + 6)
– (8x +4)
3 (-4x – 7)
7. Resuelve estas ecuaciones de primer grado.
a)
b)
c)
d)
e)
2x + 23 = 366
3 = 4x + 2
2 (x –5) = 3
2x – 2 = 3x – 6
2x – 4 (x – 7) = x
x x +1
−
= −5
f)
2
3
x 3x
=1
g) x − −
5 4
3x 4( x − 2) 3 x
+
=
+7
h)
5
2
2
Los pasos a seguir en la resolución de problemas mediante métodos algebraicos son:
a. Analizar los datos que ofrece el enunciado.
b. Identificar la incógnita.
c. Establecer la ecuación que relaciona los datos y la incógnita a partir de la
información del texto.
d. Resolución de la ecuación
e. Solución al problema y comprobación de los resultados.
8. Resuelve el problema con el que introducíamos la unidad utilizando este método:
En una familia se controla el consumo de agua durante tres
meses consecutivos. Se sabe que el consumo del primer mes ha
sido el doble que el del segundo y en éste el consumo ha sido de
309 litros más que en el tercer mes. Si en total se han
consumido 12.927 litros de agua, calcula el consumo en cada
uno de los meses analizados.
327
Actividades tema 6
FÓRMULAS
Las fórmulas son expresiones algebraicas que expresan las relaciones que se dan entre
determinadas magnitudes y medidas.
12. Escribe la fórmula que se explica en cada una de las siguientes frases:
a) El área de un círculo es igual a π por el cuadrado de su radio.
b) El precio de un artículo está rebajado un 30% respecto de su precio inicial
c) El precio que debe figurar en la factura de un restaurante ha de incluir el 16% de IVA.
13. La fórmula que permite calcular el área de un triángulo es A = (b · a) / 2. Calcula la
altura de un triángulo cuya base es de 4 cm y el área de 10 cm2.
14. La velocidad del sonido es de 344 m/s. ¿A qué distancia habrá explotado un cohete si
desde que se ha visto la luz hasta que se ha oído el ruido han pasado 7 segundos?.
Considera que debido a la elevada velocidad de la luz (300.000 km/s), vemos el
resplandor en el mismo instante en que explota el cohete.
OTROS PROBLEMAS
15. Completa:
Expresión coloquial
'Edad de Marisa.
'La edad de Ángel es triple que la de Marisa
'Luis tiene 2 años más que Marisa
Expresión algebraica
x
__________
__________
329
Actividades tema 6
'
'
'
'
'
'
'
'
'
Edad de Ángel hace 5 años
Edad de Luis dentro de 6 años
Edad de Marisa hace 10 años
Dos números consecutivos
Un número par.
Dos números pares consecutivos
La mitad de un número
El cuádruple de un número más su cuarta parte
Espacio recorrido por un coche a 26Km/h en t horas.
__________
__________
__________
__________
__________
__________
__________
__________
__________
16. La suma de las edades de tres hermanos es de 219 años. La diferencia entre el menor y el
mediano es de dos años y entre el mediano y el mayor la diferencia es de 5 años. Calcula
la edad de los tres hermanos.
17. Un padre tuvo a su hijo a los 25 años. Si hace tres años la edad del padre era el doble que
la del hijo, calcula las edades actuales de ambos.
18. El empleado de una empresa de reparto sale a las 9 h. de la mañana con los paquetes que
tiene que distribuir a una velocidad de 100 km/h, pero se olvida uno de ellos. Media hora
más tarde sale un compañero tras él para entregarle el paquete olvidado a 140 km/h.
¿Cuándo y a qué distancia lo alcanzará?.
19. Dos coches salen a la misma hora de dos ciudades distantes entre sí 520 km, en la misma
dirección y sentidos opuestos. Uno de ellos circula a 120 km/h y el otro a 140 km/h.
¿Dónde y cuándo se producirá el cruce?.
330
Actividades tema 6
650&7"-6"$*0/
"
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:
a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la
que aparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una idea
de tu aprendizaje.
c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de
refuerzo o ampliación, o no es necesario.
Cuestiones de autoevaluación.
1. La expresión algebraica correspondiente a “la edad de un padre es el doble que la de su
hijo” es:
a) Padre x +2
Hijo 2 x.
b) Padre 2 a
Hijo a.
c) Padre a
Hijo 2 a.
d) Padre a : 2
Hijo a.
2. La expresión algebraica 3 (x – 1), se corresponde con la frase:
a) Al triple de un número le restamos 1.
b) A la tercera parte de un número le restamos 1.
c) A un número le restamos su triple.
d) Al resultado de restarle 1 a un número le calculamos el triple.
3. La solución de la ecuación 3 x + 2 = 5 es:
a) 1
b) – 1
c) 0
d) 2
4. Si la fórmula para calcular la densidad de una materia es d = M/V (densidad = masa/
volumen), halla la masa correspondiente a una densidad de 0’4 kg/l y un volumen de 10 l.
a) 4 kg
b) 40 kg
c) 1’4 kg
d) 0’6 kg
5. La solución de la ecuación 2 x – 5 = x + 10, es:
a) 5
b) – 5
c) – 15
d) 15
334
Actividades tema 6
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
Traducir situaciones cotidianas problemáticas al lenguaje algebraico después de haberme
Y
familiarizado con él.
Plantear ecuaciones de primer grado adecuadas a la situación planteada en los problemas.
Y
Resolver las ecuaciones de primer grado y adaptar su solución a la del problema.
Y
A interpretar las fórmulas de las diferentes ciencias como expresiones algebraicas y a
Y
utilizarlas en la resolución de problemas.
“Aún tengo dificul tades en …”
.................................................................................................................................
Y
.................................................................................................................................
Y
.................................................................................................................................
Y
.................................................................................................................................
Y
.................................................................................................................................
Y
“En cuanto a las actividades…”
Mi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
Y
Tengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
Y
Me ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
Y
tema puedo realizar las actividades de ampliación.
336
Actividades tema 6
$5*7*%"%&4
"
4%
%&
&3
3&'6&3;0
1. Traduce al lenguaje algebraico:
a) El doble de un número más tres unidades.
b) Tres números consecutivos suman once.
c) Edad de una persona hace cuatro años.
d) Edades de un padre y su hijo si la edad
del primero es el triple que la del
segundo.
e) Espacio recorrido por un coche que se
mueve a velocidad constante de 90
Km/h en t horas.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2x + 5 = x – 6
b) 3 (x - 5) = x – 15
c) 5 - (2x + 6) = -x + 10
3. Si al doble de un número le sumamos 10 el resultado es el mismo que si restamos el
número a 43. ¿De qué número se trata?.
4. Si al doble de los años que tengo le restas el doble de los que tenía hace cinco años
resultará mi edad actual.
5. Teniendo la misma cantidad de monedas de 50 céntimos, de
20 céntimos y de 2 céntimos, tengo una cantidad total de
2’88 ¼ ¿Cuántas monedas tengo de cada tipo?.
337
Actividades tema 6
$5*7*%"%&4
"
4%
%&
&"
".1-*"$*0/
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
x +1 x + 3
−
= −1
6
4
x+2
b) 2 x +
= x+7
8
2x + 1 x + 2
c)
−
=0
15
9
a)
Aleación es la mezcla de dos o más metales.
Oro de ley 0’750 significa que por cada 1000 gramos de aleación, 750 son de oro puro.
2. En una joyería se trabaja con lingotes de oro de ley 0’750 y de ley 0’950. Si quieren
realizar un diseño para el que necesitan 3’6 gramos de oro de ley de 0’9, ¿qué cantidad de
oro de cada lingote tendrán que alear?.
3. La noticia acerca del aborto en España hasta 1999 se completaba con la información que
presenta este diagrama de barras.
338
Actividades tema 6
Calcula el número de nacimientos que se dieron en mujeres de edades comprendidas
entre los 15 y los 19 años.
Algunos conceptos relacionados con la ingesta de alcohol son:
• Tasa de alcoholemia o de alcohol en sangre:
c Hombres.
g . alcohol
· 0'7
k . peso
c Mujeres
g . alcohol
· 0'6
k . peso
• Gramos de alcohol puro:
G º · 0'8
· ml. bebida
100
• Grado alcohólico (Gº ): Es el porcentaje del volumen de alcohol puro.
4. Sabiendo que la tasa de alcoholemia permitida para conducir no puede sobrepasar los
0’3g/dl:
a) Calcula los gramos de alcohol puro que puede consumir una mujer que pesa 52 kg, si
tiene la intención de conducir después.
b) Si la bebida que va a tomar es cerveza de Gº = 4, calcula el volumen máximo que
podrá ingerir.
339
Soluciones tema 6
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1.
a. Tanteamos o probamos con diferentes valores aproximándonos a la solución:
5000+10000 =15000
5200+10400 =15600
5250+10500 =15750
b. Gráficamente y utilizando las operaciones adecuadas:
15750
¿
¿
1750:3=5250. 1ª parte 5250; 2ª parte 5250· 2=10500
2.
a. 2x (siendo x el sueldo de mi marido).
b. 3x (siendo x la edad del hijo pequeño).
c. x/4(siendo x mis ahorros).
c. 2x+x/3 (siendo x el precio de un bocadillo).
3.
a. Doble de la edad de Juan menos tres.
b. El triple de lo que queda al quitarle 100 a mis ahorros.
c. La tercera parte de las piezas fabricadas más seis.
4.
a. 7x
b. 6x
c. 2x
d. –2x
e. –3x
5.
a. 6x
b. –6x
c. –6x
d. 6x
e. –12x
f. –12x
g. 40x
6.
a. 6x-14
b. –5x+4
c. –2x-12
d. –8x – 4
e. –12x + 21
7.
a. 2x=366-23
2x=343
x=343/2
b. –4x=2-3
-4x=-1
x=-1/-4=1/4
c. 2x-10=3
2x=3+10
2x=13
x=13/2
d. 2x-3x=-6+2
-x=-4
x=4
340
Soluciones tema 6
e. 3x – 4x + 28 = x
3x - 4x - x =-28
-2x = -28
x= -28/-2 =14
f.
6·  x − x + 1  = 6·(−5)
3 
2
x
x +1
6· − 6·
= −30
2
3
3x-2(x+1)=-30
3x-2x-2=-30
3x-2x=-30+2
x=-28
g.
x 3x 

20 x − −  = 20·1
5 4

20 x 20 x
−
= 20
20 x −
5
4
20 x − 4 x − 15 x = 20
x = 20
h.
 3 x 4( x − 2) 
 3x

+ 7
10 +
 = 10
2
 5

 2

10·3 x 10·4( x − 2) 10·3 x
+
=
+ 10·7
5
2
2
2·3 x + 5·4( x − 2) = 5·3 x + 70
6 x + 20( x − 2) = 15 x + 70
6 x + 20 x − 40 = 15 x + 70
6 x + 20 x − 15 x = 7 + 40
11x = 47
x=
47
11
8.
Incógnita: unidades a producir, x
Ecuación: 100000+0’56x=135000
0’56x=135000-100000
0’56x=35000
x=35000/0’56=625000.
Solución: Se pueden fabricas 625000 unidades.
9.
Datos e incógnita:
Almendras: x
Cacaos: 15-x
Precio almendras: 7’8x
Precio cacaos: 3’2(15-x)
Ecuación : 7’8x+3’2(15-x)=5· 15
7’8x+48-3’2x=75
4’6x=27
x=27/4’6=5’87
Solución: 5’87 kg. de almendras y 9’13 kg. de cacaos.
10. Ecuación: 7’5x+7’5· 3’2=15· 6
7’5x=-24+90
7’5x=66
x=66/7’5=8’80¼
Solución: de 8’80 ¼NJ
11. Ecuación: 3’20x+4(100 -x)=3’5· 100
3’20x+400 -4x=350
-0’8x= -50
x=-50/-0’8=62’5.
Solución: 62’5 kg y 37’5 kg.
341
Soluciones tema 6
12. a. A=Œr2.
b. PF=PI· 0’7. Siendo PF y PI los precios rebajado y sin rebajar respectivamente.
c. PT=PI· 1’16. Siendo PF y PI los precios con IVA y sin IVA respectivamente.
13. Sustituimos en la fórmula los valores conocidos.
10= 4a
2
10·2 20
=
=5
a=
4
4
Solución: 5 cm
14. Aplicamos la fórmula que calcula la velocidad: e=v· t
E= 344· 7=2408 m=2’408 km.
15. Expresión coloquial
Expresión algebraica
'Edad de Marisa
'La edad de Ángel es triple que la de Marisa
'Luis tiene 2 años más que Marisa
'Edad de Ángel hace 5 años
'Edad de Luis dentro de 6 años
'Edad de Marisa hace 10 años
'Dos números consecutivos
'Un número par
'Dos números pares consecutivos
'La mitad de un número
'El cuádruple de un número más su cuarta parte
'Espacio recorrido por un coche a 26 km/h en t horas.
x
3x
x+2
3x-5
x+2+6=x+8
x-10
x; x+1
2x
2x; 2x+2
x/2
4x+x/4
26t
16. Edad mediano: x. Edad menos: x-2. Edad mayor: x+5.
Ecuación: x+x-2+x+5=219
3x=219-5+2
3x=216
x=216/3=72
Solución: 70, 72 y 77
17.
Padre
E. actual x+25
E. hace 3 x+22
Ecuación: x+22=2(x-3)
x+22=2x-6
-x=-28
x=28
Solución: 28 y 53 años.
Hijo
x
x-3
18.
Emp.1
A
Emp.2
t=x
e = 100x
B
e = 140(x -0’5)
t = x - 0’5
Hijo
Velocidad
Tiempo
Espacio
Empleado 1
100
x
100x
Empleado 2
140
x-0’5
140(x-0’5)
Ecuación: 100x=140(x-0’5)
100x=140x-70
100x-140x=-70
-40x=-70
x=-70/-40=1’75 h.=1 h y 45’
Solución: a 1’75 h. y a una distancia de 175 km (1’75· 100).
342
Soluciones tema 6
25. Datos: abortos en 1999=>58339
% de abortos en 1999 totales =>13’72%
Incógnita: número de embarazos: x
Ecuación: x· 0’1327=58339
x=58339/0.1327=439555
Solución: 439555 embarazos.
26. Altura: x
Base: x+3
Perímetro: 2x+2(x+3)
Ecuación: 2x+2(x+3)=46
2x+2x+6=46
4x=40
x=40/4=10
Solución: 10 y 13 cm.
27. Incógnitas: precio jersey =>x
Precio pantalón =>x+6
Ecuación: 3x+x+6=54
4x+6=54
4x=48
x=48/4=12
Solución: 12 y 48 euros.
Soluciones autoevaluación
1b
2d
3a(3x = x; x = 3/3 = 1)
4a (0’4 = M/10; M = 0’4· 10 = 4 kg.)
5d (2x -x = 10 + 5; x = 15)
6c.
7c (2x + x = 573; 3x = 573; x = 573 / 3 = 191. 2x = 382) .
8a
9d ( 0’05x = 42’51 - 11’32; 0’05x = 31’19; x = 31’19 / 0’05 = 625’8).
10a ( 500 = v· 20; v = 500 / 20 = 25 m/s).
Soluciones actividades de refuerzo
1.
a. 2x+3
b. x + x + 1+ x + 2 = 11;
c. x-4
d. Padre 3x; hijo x
e. 90t
3x + 3 = 11
2.
a. 2x – x = -6 - 5
x = -11
b. 3x – 15 = x - 15
3x – x = -15 + 15
2x = 0
x=0
c. 5 - 2x – 6 = -x + 10
-2x + x = 10 + 6 - 5
-x = 11
x = -11
3.
Incógnita: x
Ecuación: 2x + 10 = 43 - x
2x + x = 43 - 10
3x = 33
x = 33 / 3 = 11
Solución: el número es 11.
344
Soluciones tema 6
3.
Obtenemos el porcentaje de abortos del problema 26: 43’23
Embarazos = abortos + nacimientos.
Abortos =>8669
Embarazos => x
8669
= 0.4323
8669 + x
8669 = 0.4323(8669 + x)
Ecuación:
8669 = 3746.6 + 0.4323 x
4922.4 = 0.4323 x
x = 4922.4 / 0.4323 = 11386
4.
a) gramos alcohol: x
x
·0.6 = 0.3
Ecuación: 52
0.3·5.2
x=
= 2. 6
0.6
Solución: 2.6 g
4·0.8
· x = 2.6
b) Ecuación: 100
2.6·100 260
x=
=
= 81'5
4·0.8
3.2
Solución: 81’5 ml.
346
Actividades tema 7
3.
¿A qué horas forman las manecillas del reloj, un ángulo recto?, ¿y un ángulo llano?.
POLÍGONOS CONVEXOS
MÁS FRECUENTES
4.
Busca en el periódico objetos cuyas caras sean triángulos y clasifícalos atendiendo a sus
lados y a sus ángulos.
Teorema de Pitágoras:
c
En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado
de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2 + b2 = c2
5.
b
Ayudándote de los dibujos y usando el teorema de Pitágoras calcula:
a)La diagonal de un rectángulo de lados 3 cm y 5 cm.
b)Perímetro de un rombo de diagonal mayor 8 cm y
diagonal menor 6 cm.
348
a
¿?
¿?
Actividades tema 7
¿?
c) La altura de un triángulo equilátero de lado 6 cm
6.
La antena de nuestra casa oscila mucho en los días de aire, vamos a
sujetar la antena de televisión con tres cables, cada cable lo vamos a fijar
a un tensor que está a 3 m del pie de la antena, la antena mide 5 m.
¿Cuánto cable necesito? (la antena, el cable y el tensor forman un
triángulo rectángulo).
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
7.
1 km2 = 100 hm2
1 m2 = 100 dm2
1 ha = 100 áreas
1 hm2 = 100 dam2
1 dm2 = 100 cm2
1 área = 1 dam2
1 dam2 = 100 m2
1 cm2 = 100 mm2
1 área =100 ca
Expresa las siguientes unidades
construir una figura que te
en la unidad inmediatamente superior: (intenta
permita compararla con la unidad patrón
Ejemplo: 144 cm2 es un cuadrado de lado 12 cm (12 · 12 = 144), o un rectángulo de 18
cm de largo y 8 cm de ancho (18 · 8 = 144).
100 cm2 =.............................. dm2
625 mm2 =............................. cm2
8.
10.000 cm2 =....................... dm2.
1.024 dm2 =......................... m2.
Transforma las siguientes unidades de superficie:
5.500 áreas =......................... km2
125 dam2 = ............................ hm2
3 km2 =.................................. áreas
3500 cm2 =.......................... ca
25 mm2 = ............................ cm2
3.456.000 cm2 =.................. áreas
349
Actividades tema 7
15.
Calcula el área de esta parcela si has anotado las siguientes medidas:
60 m
50 m
80 m
20 m
60 m
90 m
352
25 m
Actividades tema 7
650&7"-6"$*0/
"
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:
a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la que
aparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una idea de tu
aprendizaje.
c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de refuerzo o
ampliación, o no es necesario.
Cuestiones de autoevaluación.
1. Completa las siguientes frases:
a) Un ángulo que mide 90º se denomina ángulo………………..
b) Dos rectas que no tienen ningún punto en común, son rectas…………………….
c) Si dos rectas se cortan en un punto y además forman 90º, se llaman……………..
d) Cada una de las 360 partes en que se divide la circunferencia se llama.....................
e) Con el teorema de Pitágoras podemos calcular si un triángulo es……………….
2. Contesta verdadero (V) o falso (F):
a) Un minuto son 60º…………
b) 1´ 5º son 1º 30´ …………..
c) Si un polígono tiene todos sus lados iguales es un polígono regular………
d) Un triángulo puede tener dos ángulos obtusos……….
e) Los ángulos de un cuadrilátero suman 360º…………
3. Un triángulo cuyos catetos miden 4 y 6 cm, y la hipotenusa 8 cm, ¿es un triángulo
rectángulo?.
a) si
b) no
c) no existe ese triángulo.
4. El área del siguiente triángulo rectángulo es:
4´ 2 cm
2 cm
a) Me falta la base
b) 4´ 2 cm2
c) 8´ 4 cm2
353
Actividades tema 7
5. Calcula el área del paralelogramo
10 mm
15 mm
a) 525 mm2
b) 350 mm2
c) 150 mm2
35 mm
6. Una moneda de 5 pts tiene un diámetro de 1´ 3 cm, calcula las monedas que se pueden
obtener de una lámina de 30 cm por 15 cm.
a)250
b)338
c)85
7. Una centiárea equivale a:
a)10 m2
b)1 cm2
c)1 m2
8. 354m2 equivalen a:
a)3 áreas
b)3´ 54 dm2
c)3´ 54 dam2
b)25º 45´
c)25º 7´ 5´´
9. 25,75º son:
a)25º 75´
10. 67º 20´ son:
a)67,0º
b)67º 2´ 0´´ c)67,33´
11. Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura.
9 cm
2 cm
12’5 cm
2 cm
354
a) P = 21´ 5 cm
b) P = 43 cm
c) P = 51 cm
A = 90 cm2
A = 96´ 5 cm2
A = 100 cm2
Actividades tema 7
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
Y
Comprender el vocabulario propio de la Geometría: punto, recta, segmento, plano, ángulo
polígono, perímetro, áreas.
Y
Clasificar los triángulos según sus lados y sus ángulos.
Y
Conocer las variedades de cuadriláteros.
Y
Diferenciar la circunferencia del círculo.
Y
Reconocer la variedad de figuras geométricas existentes en la Naturaleza.
Y
Calcular el perímetro.
Y
Utilizar las unidades de medidas de superficies.
Y
Utilizar las unidades de ángulos.
Y
Calcular superficies de triángulos, cuadriláteros y circunferencia.
Y
Calcular áreas descomponiendo la figura en otras figuras conocidas.
Y
Recuperar datos almacenados en la memoria de la calculadora.
Y
Operar con ángulos usando la calculadora.
“Aún tengo dificultades en …”
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
Y
..................................................................................................................................
“En cuanto a las actividades…”
Y
Mi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
Y
Tengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
Y
Me ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
tema puedo realizar las actividades de ampliación.
355
Actividades tema 7
$5*7*%"%&4
"
4%
%&
&3
3 & '6 & 3 ; 0 1.
Fíjate en las siguientes rectas y contesta:
a) A y B son rectas………………
.
b) A y C son rectas………………
.
c) B y C son rectas………………
C
A
B
2.
¿Cuántas rectas pasan por el punto A?, ¿y por el punto A y B al mismo tiempo?.
A
B
3.
Clasifica los siguientes triángulos dependiendo de sus ángulos y sus lados:
(1)
a
(2)
b
(3)
a
a
a
a
a
Nombra a los siguientes cuadriláteros:
a)
356
a
b
a
c
4.
(4)
c
b)
c)
d)
e)
f)
Actividades tema 7
"$5*7*%"%&4
4%
%&".1-*"$*0/
1.
Observa las recta y los ángulos de esta figura:
a) ¿Que relación hay entre los
ángulos A y C? ¿y B con D?
b) ¿Y entre A con 1, B con 2, C
con 3, D con 4?
Dos ángulos son suplementarios si suman 180º , A + B = 180º .
Dos ángulos como A y C se llaman opuestos por el vértice.
2.
Intenta dibujar un triángulo de lados 3 cm, 1 cm, 1 cm.
Con tres medidas cualesquiera no siempre se puede construir un triángulo, es
necesario que el lado mayor sea menor que la suma de los otros dos lados. Si a, b, c,
son los lados del triángulo y a es el lado mayor, se cumple a < b + c
Dibuja éste: a = 4 cm, b = 2 cm, c = 3 cm.
358
Actividades tema 7
Una circunferencia se dice que está circunscrita en un polígono,
cuando los lados de éste son cuerdas de la circunferencia.
Una circunferencia será inscrita
a un polígono, si cada lado (no el vértice)
sólo toca a la circunferencia en un punto.
El área de un polígono regular es
Área = (perímetro x apotema) / 2.
Siendo la apotema la perpendicular al lado desde
el centro de la circunferencia circunscrita al polígono.
3.
La superficie de un balón de fútbol
está recubierta por 12 pentágonos y
20 hexágonos, el hexágono y el
pentágono tienen 8 cm de lado, la
circunferencia circunscrita al
hexágono es de 8 cm de radio y la
del pentágono es de 5 cm. Calcula la
superficie del balón.
359
Actividades tema 7
4.
Calcula el perímetro de la siguiente figura:
R= 2’25 cm
30º
Arco de
circunferencia
Sector circular
Elementos notables de un triángulo:
•
Altura: es el segmento perpendicular
a un lado que pasa por el vértice opuesto.
El punto de intersección de las tres alturas
se llama ortocentro.
•
Mediana: es el segmento que une el
punto medio de un lado con el vértice
opuesto.
El punto de intersección de las tres
medianas se llama baricentro
y es el centro de gravedad del triángulo.
360
Soluciones tema 7
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1.
Respuesta abierta.
2.
40º
3.
Ángulo recto: algunas horas serían, 15: 00, 21: 00, sin embargo a las 12 : 15, 1 : 20, 2 : 25, 3 : 30,…
forman menos de 90º pues la aguja horaria se desplaza hacia la siguiente hora.
135º
Ángulo llano: 18 : 00, otras ángulos casi de 180º serían las 12 : 30, 21 : 15, 3 : 45, …
4.
Las posibles soluciones serán:
equilátero
5.
acutángulo , Isósceles
Obtusángulo
Acutángulo
Rectángulo
, Escaleno
Obtusángulo
Rectángulo
Acutángulo.
a)La diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3 y 5 cm
32 + 52 = 9 + 25 = 34 = ¿?2
¿? = √34 = 5´83
b)Necesitamos el lado, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 4 y 3 cm.
¿? = √25 = 5
Perímetro =5 · 4 = 20 cm
42 + 32 = 16 + 9 = 25 = ¿?2
c)La altura es elcateto del triángulo rectángulo de lados 3 y 6 cm.
¿?2 = 36 - 9 = 27
¿?= √27 = 5´2 cm.
32 + ¿?2 = 9 + ¿?2 = 36
6.
El cable es la diagonal de un triángulo rectángulo de lados 3 y 5 m
5m
¿?
32 + 52 = 9 + 25 = 34
34 = ¿?2
¿?=√34 = 5´83
Como hay tres tensores,
Cable =3 · 5´83 = 17´49 = 17´5 m
3m
7.
100 cm2 = 1 dm2 (un cuadrado de lado 10 cm)
625 mm2 = 6´25 cm2(un cuadrado de lado 25 mm)
10.000 cm2 = 100 dm2(un cuadrado de lado 100 cm )
1.024 dm2 = 10´24 m2(un cuadrado de lado 32 dm).
8.
5.500 áreas = 55 km2
125 dam2 = 1´25 hm2
3 km2 = 300 áreas
3500 cm2 = 0´35 ca
25 mm2 = 0´25 cm2
3.456.000 cm2
= 3´456 áreas
9.
Superficie del terreno = 300 · 600 = 180.000 m2
180.000 : 2´25 = 80.000 naranjos
10.
Si l = 2 cm
área = 22 = 4 cm2
Si l = 3 cm
área = 32 = 9 cm2
Si l = 4 cm
área = 42 =16 m2
Si l = 6 cm
área = 62 = 36 cm2
16 / 4 = 4
36 / 9 = 4
Al duplicar el lado, el área ha aumentado 22 = 4 veces.
362
Actividades tema 8
2. HACEMOS MEDIDAS DE ENVASES
1 km3 = 1000 hm3
1 m3 = 1000 dm3
1 hm3 = 1000 dam3
1 dm3 = 1000 cm3
1 dam3 = 1000 m3
1 cm3 = 1000 mm3
3.
Practica las unidades de volumen y de capacidad, completando las siguientes
igualdades:
3 m3 =............................dm3
50.000 dm3 = .................m3
3
3
1250 cm = ....................dm
24´3 dam3 = ...................dm3.
4.
a)Si un bidón con forma de cubo tiene 1000 dm3 de volumen, ¿qué dimensiones puede
tener ese depósito?.
b)Y si tiene 125 cm3 de volumen, ¿cuáles pueden ser sus medidas?
1 kl = 10 hl
1 l = 10 dl
1 l = 1 dm3
1 hl = 10 dal
1 dl = 10 cl
1kl = 1m3
1 dal = 10 l
1 cl = 10 ml
1ml = 1cm3
1.000 l = 1 m3
5.
Expresa las siguientes unidades en la unidad que está a continuación:
100 l = ...................................dal
10.000 cl = ..........................ml.
625 ml = ................................cl
1.024 dl = ............................l..
6.
Si decimos que un recipiente contiene 23´54 l, queremos decir que su capacidad es de 2
dal, 3 l, 5 dl, y 4 cl. Expresa de esta forma las siguientes capacidades:
a) 25´5 dal = ..............................................................
b) 456´34 dl =............................................................
c) 44´23 kl =..............................................................
368
Actividades tema 8
7.
Transforma las siguientes unidades de volumen en unidades de capacidad y viceversa:
5.500 l =................................ m3
3500 cm3 =.......................... l.
3
125 dm =.............................. l.
25 mm3 = ............................ ml
3
3 km =.................................. l.
3.456.000 cm3 =.................. kl
8.
Tenemos un grifo que gotea, comprobamos que cada segundo cae una gota, si
recogemos las gotas comprobamos que cada 10 gotas tenemos 1 ml. ¿cuántos litros de
agua perderemos al cabo del día?.
Volumen prisma = área de la base x altura
Volumen cilindro = área del círculo x altura = π· r2 · h
área de la base ⋅ altura
Volumen pirámide =
3
2
área del círculo ⋅ altura π ⋅ r ⋅ h
Volumen cono =
=
3
3
4
3
Volumen esfera = ⋅ π ⋅ r
3
Estamos buscando radiadores, éstos calientan adecuadamente una habitación de unos 60
m3. Si nuestro comedor tiene 6 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de altura. ¿cuántos
necesitamos comprar para que el comedor esté caldeado?.
10.
¿Cuánta agua consume semanalmente una familia de 3 personas en las siguientes tareas:
a) La cisterna es usada 7 veces al día por cada miembro de la familia.
34 cm
9.
15 cm
36 cm
369
Actividades tema 8
b) En la ducha, el grifo arroja uno 15 l por minuto, si están aproximadamente 3 minutos
cada uno, ¿hasta qué altura llegaría el agua en la bañera después de ducharse los tres?
(aproximamos la bañera por un prisma rectangular).
38 cm
54 cm
140 cm
La diagonal de un poliedro es el segmento que une dos vértices que no están en el
mismo plano.
11.
Me han regalado una caja de 5 dm de larga, 3 dm de ancha y 2 dm de alta. ¿Puedo
guardar en ella una flauta que tengo de 60 cm de larga?.
Ayuda: fíjate en el dibujo y utiliza el teorema de Pitágoras,
para calcular la diagonal del prisma.
12.
¿Cuál es la capacidad de los siguientes elementos:
a)un vaso de agua
b)Una taza de leche
7 cm
7´ 5 cm
370
7´ 5 cm
9 cm
Actividades tema 8
22.
¿Cuánto cm2 de cartón necesitas para forrar, por dentro y por fuera, una caja de 6 cm x
15 cm x 5 cm, sin tapa?.
5 cm
6 cm
15 cm
23.
Tenemos un cubo de 3 cm de arista y construimos uno semejante de razón 2
a) Calcula el volumen de cada uno de los cubos. ¿Mantienen la misma razón de
semejanza.? ¿Sabrías decir cuál es la nueva razón de semejanza para los volúmenes?.
b) Calcula el área total de cada uno. ¿Qué relación guardan entre ellos?.
24.
Tengo un mueble que es una pirámide cuadrada de lado 60 cm y de altura 2 m . Voy a
pintarla (excepto la base) utilizando una técnica que requiere tapar el mueble con un
papel secante después de darle la primera mano de tinte. ¿Cuántos m2 de papel necesito
comprar?.
25.
El tejado de un campanario tiene forma de pirámide. Halla los m2 de teja para ponerlas
en las caras laterales de un campanario si la base es un hexágono de lado 10 m y la
altura del tejado es de 24 m.
374
Actividades tema 8
El radio de la Luna es de unos 1750 km y el radio de la Tierra es de 6400 km. ¿Cuántas
veces es mayor el volumen de la Tierra respecto al de la Luna?.
27.
Cada 20 minutos unas bacterias cubren una superficie de 1 mm2. ¿Cuánto tiempo
tardarán en cubrir un gajo de naranja si la naranja tiene 12 gajos y el diámetro de ésta es
de 8 cm?.
4 cm
28.
8 cm
26.
Calcula la superficie esférica de un huso horario (recuerda que los husos abarcan 15º y
que el radio e la Tierra es de unos 6.400 km).
r 15 º
29.
Utiliza la calculadora para calcular las siguientes raíces:
8
=
a )3 − 8 =
b )3
27
c )3 125 =
d )3 678 =
e )3 0´ 001 =
f )3 0´ 000008 =
375
Actividades tema 8
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
Reconocer la variedad de figuras geométricas existentes en la Naturaleza.
‰
Reconocer las principales figuras espaciales: poliedros y cuerpos de revolución.
‰
Diferenciar un prisma de una pirámide.
‰
Generar cilindros, conos y esferas a partir de figuras planas.
‰
Calcular áreas de figuras espaciales.
‰
Calcular el volumen de prismas, pirámides y cuerpos de revolución.
‰
Conocer las unidades de capacidad y de volumen.
‰
“Aún tengo dif icultades en …”
.................................................................................................................................
‰
.................................................................................................................................
‰
.................................................................................................................................
‰
.................................................................................................................................
‰
.................................................................................................................................
‰
“En cuanto a las actividades…”
Mi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
‰
Tengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
‰
Me ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
‰
tema puedo realizar las actividades de ampliación.
378
Actividades tema 8
3. Una comparsa nos ha encargado la fabricación de 500 gorros con forma de cono , si éstos
deben medir 40 cm de alto y 20 cm de diámetro en la base, ¿cuántos m2 de cartón
necesitamos comprar a nuestro proveedor para satisfacer el pedido?.
g
g
r
altura
r
4. Halla el volumen de los siguientes cuerpos.
381
Actividades tema 8
x
y ó
y
x
Calcula la raíz de números con cualquier índice.
Esta tecla suele estar encima de la tecla yx o xy , si es así ya sabes que debes utilizar la tecla
shift o inv o and F .
6 15625
15625
5 − 7776
7776 +/-
x
y 6 =5
x
Æ 56 = 3125
y 5 = - 6 Æ (-6)5 = -7776
Otras calculadoras utilizan otra tecla para calculara raíces:
x1 y ó y 1 x
x
y = y1/x
2
25 = 251 2
4
81 = 811 4
=
y ó
x
y
x
Son dos formas de expresar lo mismo, ya que las raíces se pueden expresar
como una potencia de exponente fraccionario, el índice pasa a ser el denominador de la
fracción del exponente.
6 15625
15625 y1/x 6 = 5
Æ 56 = 3125
5 − 7776
7776 +/- y1/x 5 = - 6
Æ (-6)5 = -7776
5. Calcula usando la calculadora:
a )5 3125 =
b )7 − 2187 =
d )4 0´ 0001 =
382
e )6 0´ 000064 =
c )5 248832 =
f )3 − 3375 =
8.
Calcula el volumen en litros de una bombona de oxígeno que tiene la siguiente forma y las
siguientes dimensiones
20cm
50cm
9.
Calcula el peso de contenedor que está fabricado con una chapa de hierro de 8 mm de
espesor. El contenedor es un prisma rectangular cuya base mide 1×1´ 5 m y cuya altura
es de 2 m.
El hierro pesa 7´ 85 kg/m3
2m
1m
1´ 5m
390