Download La Lección de hoy es sobre Comunicar Problemas del

Communicate Real World Problems in Multiple Ways
NLF.4.A1.5 - Tara Walker.
La Lección de hoy es sobre Comunicar Problemas del Mundo Real en múltiples
maneras.
El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante NLF.4.A1.5
Veremos esta pregunta:
¿Un objeto fue lanzado hacia arriba desde una altura de 200 metros? La
siguiente ecuación representa la altura del objeto después de “t” (segundos).
H (t)= -16t2 + 45t +200
Ahora, tenemos dos preguntas que necesitamos responder.
1. ¿Después de cuantos segundos el objeto llego al suelo?
2. ¿Después de cuánto tiempo el objeto alcanza su altura máxima, y cuál es
la altura máxima del objeto?
Veremos nuestra primera pregunta:
¿Después de cuantos segundos el objeto llego al suelo? Desarrollamos esto por
prueba y error, sustituyendo números en nuestra ecuación, por ejemplo:
H (t)= -16t2 + 45t + 200
donde h de 3.
H (3)= 16(3)2 + 45(3) +200
= 191
que es igual a, ciento noventa y uno.
Ahora, sustituiremos h de 4.
H (4)= -16(4)2 +45(4) + 200 = 124
H (5)= -16(5)2 + 45(5) + 200 = 25 Recuerda el suelo es 0 metros, y no tenemos
cero todavía. Con este 25 estamos cerca.
Ahora sustituiremos por h de 6, a ver qué pasa:
H (6)= -16(6)2 +45(6) + 200 = - 106 ahora tenemos negativo 106, este negativo
nos dice que, estamos debajo de la superficie, definitivamente llegamos al suelo.
¿Cuándo esta ha ocurrido? Cuando fuimos de un positivo, a un negativo. Que
fue en el “h de 5 “, al seis. Notaras en el cinco estuvimos en 25 metros, que es
solo 25 unidades para llegar al cero. En el seis estuvimos -106 unidades por el
cero. La respuesta tendría que ser muy cerca del 5 que del 6.
Entonces, nuestra respuesta seria, aproximadamente unos 5 segundos.
Sabemos que es un poco más de cinco segundo, pero estamos más cerca de 5,
que si fuera del tres, o, cuatro, o, seis. Esta es nuestra mejor respuesta por
prueba y error.
Veremos la pregunta dos:
¿Después de cuánto tiempo el objeto alcanza su altura máxima, y cuál es la
altura máxima del objeto?
De nuevo, sustituimos algunos valores en nuestra formula, a ver qué pasa:
Sustituiremos Uno de H (t), tendremos
H (1)= -16(1)2 + 45(1) + 200 = 229 Recuerda que comenzamos en 200 metros,
entonces, vemos que estamos yendo hacia arriba. El próximo valor seria, h (2)
H (2)= -16(2)2 + 45(2) + 200 = 226 Después de dos segundos estamos en 226,
notaras, que estamos yendo hacia abajo.
Vamos a tratar con h de 1.5
H (1.5)= -16(1.5)2 + 45(1.5)+ 200 = 231.5 estamos yendo hacia arriba de las dos
respuestas anterior. Entonces, esta es nuestra mejor respuesta de uno o dos.
Podemos decir que es aproximadamente 1.5 segundos. Y nuestra altura es
aproximadamente 230 metros. Recuerda, estos son solo un estimado. Aquí no
siempre tendremos las mismas respuestas pero estamos muy cerca. Esta es mi
respuesta.
Hagamos el mismo problema pero lo resolveremos diferente:
Lo resolveremos gráficamente, y necesitaremos usar nuestra calculadora el “los 1”
Y entonces escribimos en nuestra calculadora la ecuación h (t) que quiere decir
el
-16t2 + 45t + 200 y graficar en tu calculadora.
Después de establecer tu Windows te dará algo así
250
Ht
200
(m)
150
100
50
1 2 3 4 5
Time (s)
Al ver esta grafica, podemos responder que está cerca del cero, en el eje X. En la
grafica notaremos que está un poquito pasando el cinco. Entonces, podemos
decir el objeto cayó al suelo a o metros un poco después de 5 segundos. Esta es
la respuesta gráficamente para la pregunta uno.
La segunda pregunta es ¿Después de cuánto tiempo el objeto alcanza su altura
máxima? Y ¿Cual es la altura máxima del objeto? De nuevo, veremos la misma
grafica, vemos el punto más alto, aquí, y ahora, veremos el orden de pares,
buscaremos nuestro valores en “Y” y nuestros valores en “X”, y estimaremos
donde será.
A este punto máximo lo llamaremos el vértice en la parábola que hemos
encontrado. Estimamos que el vértice seria de aproximadamente 1.5 y 230.
Esta es mi máximo, 230 metros y el tiempo que ocurrió es 1.5 segundos. A si es
que obtenemos nuestros resultados gráficamente.
Ahora, en vez de usar una grafica, vamos a darle valores, y usaremos Algebra.
¿Cómo lo haremos? Recuerda que h(t) es mi altura, y cuando el objeto cayó al
suelo es cero, ahora, sustituye en la ecuación el cero. Tendremos,
0= -16t2 + 45t + 200 Esta ecuación es la cuadrática y resolveremos por la
ecuación cuadrática, que es:
-b ± √b2 – 4ac
opuesto de b, más o menos, la raíz cuadrada de b al
Cuadrado, menos cuatro ac, dividido entre dos a.
Recuerda “a” es el valor enfrente de t2 que es -16, “b” es el valor enfrente de t
que es 45 y “c” es nuestra constante en este caso es 200. Si conectamos todos los
valores en nuestra ecuación cuadrática tendremos,
-45 ± √(45)2 – 4(-16) (200)
29 (-16)
Necesitamos simplificar esta respuesta, primeramente simplificaremos los
números dentro del radical el (45)2 – 4(16) (200), seria,
-45 ± √14825
-32
Ahora, usaremos nuestra calculadora y buscaremos la raíz cuadrada. Tendremos
121.758
Tienes que tener cuidado, porque tendríamos dos respuestas, por el signo de más
o menos, seria:
-45 + 121.758
-32
“o”
-45 – 121.578
-32
Tenemos el positivo 121.758, y el negativo 121.758 simplificaremos estos dos
números de nuevo, usando nuestra calculadora. En el primero, si hacemos esto,
tenemos, -2 x 4 esta es multiplicación y multiplicación no puede ser negativo.
El -2 . 4 no es una respuesta válida.
La otra respuesta seria, al simplificar tendríamos, 5.2 esta respuesta si tiene
sentido, quiere decir, 5.2 segundos después de comenzar, es cuando cayó al suelo,
5.2 es nuestra respuesta.
La segunda pregunta dice,
¿Después de cuánto tiempo el objeto alcanza su velocidad máxima y cuál es la
altura máxima del objeto?
De nuevo, usaremos Algebra para resolver este:
H(t) = -16t2 + 45t + 2oo
a
-b , H
b
c
Nuestra máxima es nuestro vértice, y esta es
opuesto de b, dividido entre 2ª, (coma), hache. Seria
2ª
-45
2(-16)
-45
-32
1.4 Quiere decir, después de 1.4 segundo sumamos nuestra
sumamos nuestra altura máxima.
¿Cuál sería la altura máxima? Ahora, sustituye en t, 1.4 en tu ecuación,
¿Recuerdas?
H(t) = -16t2 + 45t + 200 = sera
H(1.4)= -16I1.4)2 + 45(1.4) + 200 nos daría = 231.6
Ahora, este es el máximo de nuestra vértice, entonces la vértice es 1.4 y 231.6
Quiere decir, 1.4 por segundo en nuestro experimento alcanzamos la altura
máxima de 231.6 metros.
A si es que lo haremos algebraicamente y de nuevo, la altura es precisa, cuando
buscamos por valores, o gráficamente estos fueron solamente aproximaciones.
Veremos otro ejemplo, algunas veces tiene sentido hacer nuestros problemas
numéricamente, solo sustituir valores y ver si nos da una respuesta válida. O tras
veces necesitamos usar algebra, porque, Algebra nos permite darle sentido a
números grandes.
Vamos a ver este ejemplo:
Una bacteria tiene una población que se duplica cada día. El científico inicio con
dos bacteria. ¿Cuántas bacterias hay después de 4 días? Y ¿Después de 50 días?
Veremos 4 días primero, pensaremos numéricamente, pero recuerda, que la
población dobla seria 2.2 = 4 bacterias, que sería nuestro primer día. Ahora,
Día dos, doblamos 4.2 = 8 bacterias.
Día tres, doblamos 8.2 = 16 bacterias. Y el
Día cuatro, seria 16.2 si doblamos esta cifra nos daría = 32 bacterias. Esta es la
respuesta después de 4 días.
Ahora, veremos después de 50 días, pero hacerlo a sí, nos tomaría mucho
tiempo. Después de 50 días tendríamos que usar la ecuación que va con
población que es:
Y= abx
ye, es igual a, ab, elevada a la x.
Que sería la “a”, “b”, y la “x”.
Donde “a” es lo que tenemos, “b” es el valor que aumenta, y “x” es el tiempo.
(y) es nuestra respuesta final, Recuerda, en este problema estamos buscando
después de 50 días y quiere decir, que empezaremos con las 2 bacterias iniciales,
y doblaremos, seria:
Y= 2 (2)50 quiere decir, que “b” es dos, y “x” es después de 50 días.
Usando nuestra calculadora tendríamos = 2.252 . 1015 bacterias, este es un
número muy grande y probablemente no podríamos hacerlo como el primer
problema, multiplicando por dos hasta llegar a 50. Nos tomaría mucho tiempo
y nuestra calculadora no puede darnos una cantidad de este tamaño. Tiene
sentido que se escriba en Notación Científica. A si es que desarrollamos estos
problemas, pueden ser con aproximación, o buscando una respuesta pequeña, o
si realmente tendrás que usar Algebra para buscar una respuesta precisa, o un
valor más grade. Todos estos métodos son muy importantes que recuerdes para
poder desarrollar cualquier problema que se te presente.