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1.1. Movimiento oscilatorio
1.1.5. Energía de un oscilador armónico.
La energía mecánica total E de una masa m que oscila es la suma de la energía cinética T debida a su
velocidad y de la energía potencial U debido a su posición en el campo elástico del resorte:
=
+
Hallamos ahora la expresión de la energía cinética T y de la energía potencial U de la masa m que oscila
armónicamente.

La energía cinética.
La expresión general de la energía cinética T es
=
1
2
La velocidad de un objeto que se mueve sobre el eje x (como suponemos que ocurre con la masa que
oscila) es
=
Pero en nuestro caso, la relación entre x y t viene dada por
MAS, de modo que se obtiene para la velocidad
sin(
=−
=
(
∙
+
), como corresponde a un
)
+
de modo que
=
Recordando la relación trigonométrica
1
2
(
=1−
=
+
, que
(
−
)
(
+
) = / , podemos escribir
)
Que define la relación funcional entre la energía cinética T de un MAS y la deformación x.

Energía potencial.
Para deducir la energía potencial hallamos el trabajo que debemos realizar mediante una fuerza exterior
Fext para desplazar la masa sujeta por un resorte desde la posción de equilibrio x = 0 hasta una elongación
cualquiera x:
=
La fuerza exterior que alarga el resorte es, al menos, de igual intensidad pero opuesta a la fuerza F
recuperadora del resorte, Fext = - F, siendo F = -kx según la ley de Hooke; de este modo el trabajo es
=
=−
=
=
1
2
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Sabemos que, en general, dicho trabajo es igual a la energía potencial U almacenada en el resorte:
W=U
De este modo, la energía potencial elástica, cuando un resorte ha sido deformado una longitud x es
=
La energía mecánica E total del oscilador armónico es
=
y puesto que
=
1
2
(
−
)+
1
2
(ver punto 4 del tema 1),
=
que es constante y pone de manifiesto el carácter conservativo del campo de fuerzas elástico.
La expresión anterior se puede expresar de otras formas:
-
si la pulsación  se sustituye por
=2
, se obtiene
=
-
Si la pulsación  se sustituye por
=
/ , se obtiene
=
En cualquiera de las tres formas en las que se puede expresar la energía mecánica total de un oscilador
armónico queda de manifiesto que depende del cuadrado de la amplitud, que es lo característico del MAS.
La siguiente figura muestra las gráficas de la energía cinética T (rojo), la energía potencial U (verde) y la
energía mecánca total E (negro); corresponde a un MAS de amplitud 2 metros y energía total 4 julios. Para
cada valor de x la suma de las abcisas de U y T en dicho valor de x es constante e igual al valor señalado por
el segmento horizontal para E, 4 julios.
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