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I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
MOVIMIENTOS OSCILATORIOS. EL OSCILADOR ARMÓNICO - RESUMEN
1. Movimientos Oscilatorios.
2. Movimiento Armónico Simple.
Un movimiento es periódico cuando se
repiten cada cierto tiempo algunas de las
magnitudes que lo caracterizan, tales como la
posición del móvil y su velocidad. Dentro de
este tipo de movimientos está el mov. circular
uniforme.
Cuando la fuerza restauradora que
tiende a devolver al cuerpo a la posición de
equilibrio es proporcional a la distancia
respecto a la posición de equilibrio, el
movimiento oscilatorio se le llama movimiento
vibratorio armónico simple ( MVAS ).
Hay otros movimientos periódicos que
no son circulares como, por ejemplo, el de un
péndulo o el de un cuerpo unido a un muelle.
En estos casos, el movimiento de vaivén se
produce sobre la misma trayectoria, oscilando
el cuerpo de un lado a otro. A este tipo de mov.
Periódicos se les llama “ oscilatorios o
vibratorios “.
Estos movimientos se caracterizan por
las siguientes magnitudes:
• Período ( T ) : Tiempo que tarda en
producirse una oscilación completa (ida y
vuelta).
• Frecuencia ( f o < ) : Número de oscilaciones
que se realizan en la unidad de tiempo. Su
unidad en el S.I. es s-1 = Hertzio (Hz).
Ambas magnitudes está relacionada de
la forma:
T=
Estas fuerzas son del tipo F = - k x ,
como ocurre, por ejemplo, en cuerpos unidos a
muelles y en péndulos para pequeñas
amplitudes de oscilación, entre otros.
Se les llama armónicos porque la
posición del cuerpo es una función sinusoidal
del tiempo y a las funciones sinusoidales se les
suele llamar armónicas.
3. Ecuaciones del MVAS.
Si se representa gráficamente la
posición x, respecto a la posición de equilibrio,
de un cuerpo con MVAS en función del tiempo
nos aparece una gráfica que puede ser igual a
la del coseno o del seno en función de cuando
se comience a contar el tiempo.
1
f
Este tipo de movimientos se producen
cuando el cuerpo es separado de su posición
de equilibrio estable, tendiendo a recuperar
dicha posición oscilando alrededor de ella.
Las oscilaciones son “ libres “ si sobre
el cuerpo no actúan fuerzas disipativas y, por lo
tanto, oscilará indefinidamente.
Las oscilaciones son “ amortiguadas “
cuando actúan fuerzas disipativas, terminando
el cuerpo por quedar en reposo en la posición
de equilibrio.
Si el tiempo se empieza a contar ( t=0 )
desde el extremo positivo de la oscilación, la
posición en función del tiempo es del tipo del
coseno. En cambio, si comenzamos a contar el
tiempo cuando el cuerpo pasa por la posición
de equilibrio moviéndose hacia posiciones
positivas, la posición en función del tiempo es
del tipo del seno.
Ambas representaciones equivalen al
mismo tipo de movimiento y elegir una u otra
sólo depende de cuando empezamos a contar
el tiempo.
Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico
1
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
En general, y si utilizamos la primera
representación, la ecuación de un MVAS es de
la forma:
En el cuadro adjunto se representan
algunas ecuaciones en función de la posición
inicial del cuerpo.
Posición
Inicial
Ec. Función del
seno
Ec.
Función
del coseno
donde:
P. Equilibrio
hacia x > 0
x=A sen ωt
x=A cos(ω t-π/2)
• x : Representa la posición del móvil, con
respecto a la posición de equilibrio, y se le
llama “ elongación “. Sus valores son positivos
hacia la derecha de la posición de equilibrio y
negativos hacia la izquierda ( o positivos hacia
arriba y negativos hacia abajo ).
P. Equilibrio
hacia x < 0
x=A sen( ωt-π )
x=Acos(ω t+π/2)
Extremo
A>0
x=Asen( ωt+π/2 )
x=A cos ω t
Extremo
A<0
x=A sen( ωt-π/2 )
x=A cos(ω t-π)
x = A cs(ωt + δ )
• A : Es el máximo o mínimo valor posible de la
elongación y recibe el nombre de elongación
máxima o “ amplitud “.
• ω : Es la frecuencia angular o pulsación y
está relacionada con el período y la frecuencia
de la forma:
ω=
2π
= 2πf
T
• ( ω t + δ ) : Fase del movimiento.
• δ : Fase inicial o constante de fase. Su valor
se calcula de modo que, al hacer t = 0 , se
obtiene la posición inicial del oscilador. Es
decir:
¿Qué
⇒
ecuación
cos δ =
utilizar
La velocidad se obtendrá como la
derivada de la posición con respecto al tiempo
y la aceleración como derivada de la velocidad
con respecto al tiempo.
En función de si consideramos como
ecuación de la posición una función coseno o
seno así serán las expresiones de la velocidad
y aceleración:
Su unidad en el S.I. es el rad/s.
x 0 = A cos δ
3. Velocidad y Aceleración en el MVAS
x0
A
• Si x = A cos(ωt + δ ) , entonces:
v = − ωA sen(ωt + δ )
a = − ω 2 A cos (ωt + δ )
• Si x = A sen(ωt + δ ) , entonces:
para
el
MVAS?
Se puede utilizar tanto la función seno
o coseno. Sin embargo, suele escribirse:
• x = A cos ωt : cuando se empieza a contar el
tiempo cuando el cuerpo está situado en el
extremo de máxima elongación positiva.
• x = A sen ωt : cuando se empieza a contar el
tiempo cuando el cuerpo se encuentra en la
posición de equilibrio moviéndose hacia la
parte positiva de la elongación.
• En cualquier otro caso puede utilizarse la
función seno o coseno calculando previamente
la fase inicial δ , teniendo en cuenta el valor de
x para t = 0.
v = ωA cos(ωt + δ )
a = − ω 2 A sen (ωt + δ )
Sea cual sea la ecuación elegida para
la posición, podemos observar que tanto la
velocidad como la aceleración varían de forma
sinusoidal con el tiempo.
• Velocidad y aceleración en función de
la posición
Independientemente de la ecuación
elegida para la posición (seno o coseno) la
velocidad y la aceleración están relacionadas
con la posición de la forma:
v = ± ω A2 − x2
Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico
a = − ω2 x
2
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
En el caso de la velocidad, dado el
doble signo implícito en la raíz cuadrada se
obtienen siempre dos soluciones de velocidad
para cada valor de x, una positiva (de ida) y
otra negativa (de vuelta), ambas con el mismo
valor.
Dpto. Física y Química
Se puede ver que las tres varían de forma
armónica aunque van desfasadas unas con
respecto a otras.
4. Dinámica del MVAS.
La fuerza recuperadora es de la forma
F = - K x , que producirá una aceleración al
cuerpo de masa m dada por:
ma = − kx
⇒
a=−
k
x
m
y como a = - ω2 x , tendremos que:
ω2 =
• La velocidad es cero cuando x = A, es decir,
en los extremos.
• La velocidad es máxima cuando x = 0, este
valor es v max = ± ωA teniendo en cuenta el
doble signo de la raíz cuadrada.
• La aceleración es nula en la posición de
equilibrio (x=0) ya que lo es también la fuerza
restauradora.
• La aceleración es máxima en los extremos, ya
que también lo es la fuerza restauradora, y su
valor es a max = − ω 2 A .
k
m
⇒
ω=
k
m
por lo tanto, la frecuencia angular ω será una
característica del oscilador ya que depende de
k y m, magnitudes físicas que dependen del
oscilador.
El período y la frecuencia del oscilador
se pueden expresar también en función de las
características del oscilador k y m de la forma:
T = 2π
m
k
f = 2π
k
m
Por lo tanto, el período y la frecuencia
de un oscilador armónico dependen de la masa
del oscilador y de la constante restauradora del
sistema pero es independiente de la amplitud.
• el sentido de la aceleración es siempre
opuesto al de la posición x.
5. Energía en el MVAS.
La representación gráfica de las
variaciones
de
posición,
velocidad
y
aceleración, suponiendo que consideramos
x = A cos(ωt + δ ) son:
Las
fuerzas
restauradoras
que
obedecen a la ley de Hooke son “
conservativas “, por lo tanto, podemos definir
una función de Energía potencial que es de la
forma Ep = ½ k x2 considerando que el nivel
cero de Ep está en la posición de equilibrio (
x=0 ).
Un cuerpo con MVAS tendrá en
determinado instante una Ep y una Ec que, si
tenemos en cuenta que x = A cos(ωt + δ ) y
que ω2 = k/m vendrá dada por:
1 2
kA cos 2 (ωt + δ )
2
1
E c = kA 2 sen 2 (ωt + δ )
2
Ep =
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3
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Ambas energías
periódica siendo:
Dpto. Física y Química
varían
de
forma
Energía Potencial
• Valor mínimo Ep = 0 para la posición de
equilibrio x = 0.
• Valor máximo Epmax = ½ kA2 en los extremosEnergía Cinética
• Valor mínimo Ec = 0 en los extremos.
6. El péndulo simple.
En un péndulo simple la fuerza restauradora
que hace que oscile es la componente
tangencial del peso de valor: F = mg sen θ
Para
ángulos
pequeños, el arco de
circunferencia descrito por
el cuerpo es casi una
recta,
y
la
fuerza
restauradora se puede
expresar como:
• Valor máximo Ecmax = ½ kA2 en la posición de
equilibrio x= 0.
Por lo tanto, un oscilador armónico ( si
sólo existe la fuerza restauradora y no hay
fuerzas disipativas ) irá transformando la Ep en
Ec y viceversa, permaneciendo constante su
energía mecánica cuyo valor será:
Em = ½ kA2
Las variaciones de Ep y Ec con
respecto a la posición serán:
F = − mg
x
L
donde x es la separación horizontal con
respecto a la posición de equilibrio y L la
longitud del péndulo.
Por lo tanto, la fuerza restauradora es
directamente proporcional a la separación de la
posición de equilibrio y de signo contrario a
ella, luego un péndulo, para pequeños ángulos,
llevará un MVAS.
La aceleración será:
ma = − mg
a=−
x
L
⇒
g
x
L
y como a = - ω2 x ,
tendremos que:
En la gráfica siguiente se representan
las variaciones de la Ec y Ep y posición en
función del tiempo.
ω=
g
L
y
T = 2π
L
g
Luego, el período de oscilación de un
péndulo simple, para pequeños ángulos de
separación, depende de la longitud del péndulo
y del valor de la aceleración de la gravedad,
pero es independiente de la masa que tenga.
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Dpto. Física y Química
MOVIMIENTOS OSCILATORIOS. EL OSCILADOR ARMÓNICO - CUESTIONES Y EJERCICIOS
CUESTIONES
--------------- 000 --------------1. En la primera de las dos gráficas se
representa la variación con el tiempo del
desplazamiento
(elongación)
que
experimenta una partícula que se mueve
con un movimiento armónico simple.
2.
La ecuación de un MAS cualquiera
cumple la expresión x = A sen(ωt + ϕ 0 )
.
Determinar el valor de la fase inicial φ0 si el
movimiento comienza: a) en el centro de la
oscilación, b) en el punto extremo de las
elongaciones positivas, c) en el punto
extremo de las elongaciones negativas.
a) En este caso para t = 0 x = 0, luego:
0 = A sen(ϕ0 ) ⇒
sen(ϕ0 ) = 0
⇒
ϕ0 = 0 rad
b) En este caso para t = 0 x = A, luego:
A = A sen(ϕ0 ) ⇒
a) ¿Cuál de las curvas numeradas, en la
segunda gráfica, puede representar la
variación de la aceleración con el tiempo del
citado m.a.s.?.
b) Representa gráficamente las energías
cinética, potencial y total del anterior m.a.s.
en función del tiempo utilizando los mismos
ejes para las tres curvas.
Nota:
Las
respuestas
deberán
ser
razonadas.
PAU - Cantabria.
a)
La
ecuación
de
la
elongación
correspondiente a la gráfica es del tipo:
x = A sen(ωt )
Por lo tanto, la velocidad y la aceleración en
función del tiempo vendrán dadas por:
v=
dx
= Aω cos(ωt ) ⇒
dt
a=
dv
= − Aω2 sen(ωt )
dt
Por lo tanto, la aceleración es una función seno
negativa luego su representación gráfica
corresponderá a la curva número 4.
b) Ver libro de texto.
sen(ϕ0 ) = 1 ⇒
ϕ0 =
π
rad
2
c) En este caso para t = 0 x = -A, luego:
− A = A sen(ϕ 0 )
⇒
sen(ϕ 0 ) = −1 ⇒
π
ϕ 0 = − rad
2
--------------- 000 ---------------
3. Tenemos un sistema formado por un
resorte del que cuelga una masa m. Si
estiramos de la masa y, a continuación, la
soltamos, el sistema comienza a oscilar.
Explica si, al cambiar la masa que cuelga
del resorte cambia el período.
El período del movimiento viene dado por la
expresión:
T = 2π
m
k
Donde se puede observar que depende de la
masa que oscila, luego si se aumenta la masa
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Dpto. Física y Química
el período aumenta y viceversa, variando con la
raíz cuadrada de la masa.
(
v = ω A2 − x2
)
El valor máximo de esta velocidad corresponde
a x=0, luego:
--------------- 000 ---------------
v max = ωA
4. Determinar los puntos de la trayectoria
de un oscilador con MAS en el que son
iguales la energía cinética y la energía
potencial.
En el instante en que la velocidad toma un
valor mitad de su valor máximo, se deberá
cumplir que:
Las energías potencial y cinética vienen dadas
por:
(
)
ω A2 − x2 =
ωA
2
⇒
A2 − x2 =
A2
4
⇒
x = 0,866 A
1 2
1
kx
; Ec = mv 2
2
2
Ahora bien teniendo en cuenta que la velocidad
se puede expresar en función de la posición de
la forma:
Ep =
v = ω A2 − x2
con
ω=
k
m
Tendremos que la energía cinética se puede
expresar como:
(
)
(
1
1
1
E c = mv 2 = m ω 2 A 2 − x 2 = k A 2 − x 2
2
2
2
)
--------------- 000 ---------------
6. Determina la relación entre los períodos
de dos péndulos con la misma masa y que
oscilan en el mismo sitio, si uno de ellos
tiene el doble de longitud que el segundo.
El período de oscilación de un péndulo viene
dado por:
T = 2π
Si la energía potencial y cinética son iguales
tendremos que:
(
)
1 2 1
kx = k A 2 − x 2 ⇒
2
2
A
⇒ x=±
= ±0,707 A
2
x2 = A 2 − x2
⇒
Luego los puntos x = 0,707 A y x = -0,707 A
son aquellos en los que la energía potencia y
cinética toman valores iguales.
L
g
La masa no influye en el período y si oscilan en
el mismo sitio significa que “ g “ es igual para
los dos, por lo tanto:
L
g
T1 = 2π
;
T2 = 2π
2L
L
= 2π
⋅ 2=
g
g
= 2 ⋅ T1
--------------- 000 ----------------------------- 000 --------------PROBLEMAS
5. Determina el valor de la elongación de un
MAS en el instante en que su velocidad
tiene la mitad de su valor máximo. Expresa
el resultado en función de la amplitud, A.
El valor de la velocidad en cualquier instante
viene dado en función de la posición de la
forma:
1. Una masa de 0,05 kg realiza un m.a.s.
según la ecuación x = A cos ωt + ϕ . Sus
(
)
velocidades son 1 y 2 m/s cuando sus
elongaciones son, respectivamente, 0,04 y
0,02 metros. Calcula:
a) El período y la amplitud del movimiento.
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b) La energía del movimiento oscilatorio y
las energías cinética y potencial cuando
x=0,03 m.
PAU - Galicia
1 2 1
2
kx = ⋅ 148,78 kg ⋅ s −2 (0,03 m) =
2
2
= 0,067 J
Ep =
Y la energía cinética será:
a) La velocidad en función de la posición viene
dada por la ecuación:
Ec = Em − Ep = 0,144 J − 0,067 J = 0,077 J
v = ω A 2 − x2
--------------- 000 ---------------
Por lo tanto, a partir de los datos tendremos las
dos ecuaciones siguientes:
1 = ω A 2 − 0,04 2
2 = ω A 2 − 0,022
;
Dividiendo miembro a miembro la segunda
ecuación entre la primera tendremos:
A 2 − 0,02 2
2=
2
A − 0,04
⇒
2
4=
A 2 − 0,0004
A 2 − 0,0016
⇒
2. Una partícula de masa m=10 g oscila
armónicamente en torno al origen de un eje
OX, con una frecuencia de 5 Hz y una
amplitud de 5 cm.
Calcula la velocidad y la energía cinética de
la partícula cuando pasa por el origen.
La velocidad en función de la posición viene
dada por la ecuación:
A = 0,044 m
v = ω A 2 − x2
Y sustituyendo este valor en, por ejemplo, la
primera de las ecuaciones anteriores
tendremos que:
2
(
2
1 = ω 0,044 − 0,04
T=
2
)
⇒
ω = 54,55
rad ⋅ s
−1
2π
2π
=
= 0,115 s
ω 54,55 rad ⋅ s−1
b) La energía mecánica del movimiento viene
dada por:
Em =
1
kA 2
2
(
= 148,78 kg ⋅ s
A = 0,05 m
;
= 31,41 rad ⋅ s
x=0
ω = 2πf = 2π ⋅ 5 Hz =
;
−1
Luego:
v = ω A 2 − x 2 = 31,41 rad ⋅ s −1 (0,05 m) − 0 2 =
2
= 1,57 ms −1
Ec =
Donde la constante k vale:
k = mω2 = 0,05 kg ⋅ 54,55 rad ⋅ s
Donde:
(
)
2
1
1
mv 2 = 0,01kg ⋅ 1,57 ms −1 = 0,0123 J
2
2
--------------- 000 ---------------
)
−1 2
=
−2
Luego:
1 2 1
2
kA = ⋅ 148,78 kg ⋅ s −2 (0,044 m) =
2
2
= 0,144 J
Em =
La energía potencial cuando x = 0,03 m será:
3. Una partícula describe un movimiento
armónico simple, entre dos puntos A y B
que distan 20 cm, con un período de 2 s.
a) Escriba la ecuación de dicho movimiento
armónico simple, sabiendo que para t=0 la
partícula se encuentra en el punto medio del
segmento AB.
b) Explique cómo varían las energías
cinética y potencial durante una oscilación
completa.
PAU - Universidades Andaluzas.
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a) Como para t = 0 , x = 0, la ecuación más
simple que representa dicho movimiento es:
x = A ⋅ sen(ωt )
Donde:
A = 0,1 m ;
ω=
2π 2π
=
= π rad ⋅ s−1
T
2s
Luego la ecuación sería:
x = 0,1 ⋅ sen(πt ) S.I.
b) Ver libro de texto.
--------------- 000 ---------------
Dpto. Física y Química
a) La energía potencial será:
Ep =
1 2 1
2
kx = 65 Nm−1(0,3 m) = 2,92 J
2
2
b) La energía potencial inicial corresponde a su
valor máximo ya que está situado en uno de los
extremos. Al soltarlo va perdiendo esta energía
potencial que se va convirtiendo en cinética.
Cuando pase por la posición de equilibrio toda
la energía potencial se habrá transformado en
cinética, alcanzando ésta su valor máximo.
Luego, la energía cinética máxima será
también de 2,92 J y la velocidad máxima
correspondiente será:
v max =
2 Ec max
=
m
2 ⋅ 2,92 J
= 1,7 ms −1
2 kg
--------------- 000 --------------4. Cierto resorte tiene sujeto un cuerpo de
2,0 kg en su extremo libre y se requiere de
8,0 N para mantenerlo a 20 cm del punto de
equilibrio. Si el cuerpo realiza un MAS al
soltarlo, halla:
a) la constante recuperadora del resorte.
b) el período de su oscilación.
a) Aplicando la ley de Hooke y teniendo en
cuenta que es necesaria una fuerza de 8 N
para producirle un alargamiento de 0,2 m,
tendremos:
k=
F
8N
=
= 40 Nm−1
ΔL 0,2 m
6. Disponemos de un muelle que se alarga
5 cm cuando se cuelga de él una masa de
1,0 kg. Colocamos este muelle unido a una
masa de 500 g sobre una mesa horizontal
sin rozamiento. La masa se separa 3 cm de
su posición de equilibrio y se deja vibrar
sobre el eje horizontal. Calcula:
a) La constante de recuperación del resorte.
b) la energía potencial en el punto de
máxima deformación.
c) la energía potencial y la cinética cuando
x=2 cm.
d) la velocidad en este punto.
b) El período de oscilación viene dado por:
m
2 kg
T = 2π
= 2π
= 1,4 s
k
40 Nm−1
--------------- 000 ---------------
5. Un cuerpo de 2 kg colocado en el
extremo de un muelle de constante
recuperadora 65 N/m se estira 0,3 m desde
suposición de equilibrio y se suelta desde el
reposo.
a) ¿cuánto vale la energía potencial inicial
del cuerpo?.
b) ¿Qué velocidad máxima alcanzará éste?.
a) Aplicando la ley de Hooke tendremos:
k=
F
mg 1kg ⋅ 9,8 ms −2
=
=
= 196 Nm−1
ΔL ΔL
0,05 m
b) La energía potencial máxima será:
Ep max =
1 2 1
2
kx = 196 Nm−1(0,03 m) = 0,088 J
2
2
c) La energía potencial será:
Ep =
1 2 1
2
kx = 196 Nm−1(0,02 m ) = 0,0392 J
2
2
La energía mecánica total del cuerpo es igual a
0,088 J, por lo tanto:
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8
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
Ec = Em − Ep = 0,088 J − 0,0392 J = 0,0488 J
π
π⎞
⎛π
cos⎜ t − ⎟ ⇒
8
8
4
⎝
⎠
π
π⎞
⎛π
4 = A ⋅ cos⎜ 4 − ⎟ ⇒
8
4⎠
⎝8
v = A⋅
d) La velocidad cuado x=2 cm será:
v =
2 Ec
=
m
2 ⋅ 0,0488 J
= 0,44 ms −1
0,5 kg
⇒
π
⎛π⎞
cos⎜ ⎟
8
⎝4⎠
⇒
A = 14,4 m
Por lo tanto, la ecuación del movimiento nos
quedará de la forma:
--------------- 000 ---------------
7. Una partícula de masa m se mueve a lo
largo del eje X bajo la acción de una fuerza
elástica F = -kx. Cuando t=2 s, la partícula
pasa por el punto de equilibrio con
velocidad positiva y cuando t=4 s, su
velocidad es de +4 m/s. Si el período de la
oscilación es de 16 s, calcula:
a) la amplitud del movimiento.
b) su aceleración en t= 2 s.
c) su velocidad máxima
d) escribe las expresiones de la elongación,
la velocidad y la aceleración en función del
tiempo.
a) El movimiento de la partícula es armónico
simple ya que está sometida a una fuerza del
tipo F=-kx.
A partir del período podemos calcular ω de la
forma:
π⎞
⎛π
x = 14,4 ⋅ sen⎜ t − ⎟
4⎠
⎝8
S.I.
Y su velocidad será:
v = 14,4 ⋅
π
π⎞
π⎞
⎛π
⎛π
cos⎜ t − ⎟ = 5,65 cos⎜ t − ⎟
8
8
4
8
4
⎝
⎠
⎝
⎠
b) La aceleración la obtendremos derivando la
velocidad con respecto al tiempo, luego:
a = −5,65 ⋅
π
π⎞
π⎞
⎛π
⎛π
sen⎜ t − ⎟ = −2,21 sen⎜ t − ⎟
8
8
4
8
4
⎝
⎠
⎝
⎠
Y en el instante en que t = 2 s valdrá
π⎞
⎛π
a = −2,21 sen⎜ 2 − ⎟ = −2,21 sen(0 ) = 0
4⎠
⎝8
Lo cual es lógico ya que cunado t = 2 s la
partícula está en la posición de equilibrio en la
cual la fuerza es nula y, consiguientemente, la
aceleración también lo será.
2π
2π
π
ω=
=
= rad ⋅ s−1
T 16 s 8
La ecuación del movimiento de forma general
sería:
x = A sen(ωt + δ )
Para calcular la fase inicial δ aplicamos la
condición de que cuando t = 2 s, x = 0, luego:
⎛π
⎞
⎛π
⎞
0 = A sen⎜ 2 + δ ⎟ ⇒ 0 = sen⎜ + δ ⎟
8
4
⎝
⎠
⎝
⎠
π
π
+δ=0 ⇒ δ= −
4
4
4 = A⋅
⇒
Por lo tanto la ecuación del movimiento será:
π⎞
⎛π
x = A sen⎜ t − ⎟
8
4
⎝
⎠
Si aplicamos la segunda condición, v = 4 ms
cuando t = 4 s, tendremos que:
-1
c) la velocidad máxima corresponderá a una
valor del coseno igual a uno, por lo tanto, su
valor será de 5,65 ms-1.
d) Estas ecuaciones serán:
π⎞
⎛π
x = 14,4 ⋅ sen⎜ t − ⎟
4⎠
⎝8
S.I.
π⎞
⎛π
v = 5,65 cos⎜ t − ⎟
8
4
⎝
⎠
S.I.
π⎞
⎛π
a = −2,21 sen⎜ t − ⎟
4⎠
⎝8
S.I.
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico
9
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Dpto. Física y Química
8. Un oscilador armónico simple se
encuentra en x=3,36 m con una velocidad de
0,216 m/s cuando t=5 s. Si su pulsación es
ω=0,1 rad/s, determinar:
a) su frecuencia, b) su amplitud, c) la fase
inicial, d) la aceleración en t=5 s, e) la
posición, la velocidad y la aceleración en
t=0 s, f) escribe las expresiones de la
elongación, la velocidad y la aceleración en
función del tiempo.
f) Serían:
a) La frecuencia será:
9. Conectamos un cuerpo de 0,6 kg de
masa
a
un
resorte
de
constante
recuperadora k=10 N/m. El sistema oscila
sobre una superficie horizontal sin
rozamiento. Si la amplitud del movimiento
es de 5 cm, calcula:
a) la energía mecánica total del sistema,
b) la velocidad máxima del cuerpo,
c) la energía cinética y potencial del cuerpo
si x=2 cm.
f=
ω 0,1 rad ⋅ s−1
=
= 0,0159 Hz
2π
2π
b) y c) Supongamos que su ecuación general
sea de la forma:
x = A sen(ωt + δ ) = A sen(0,1 t + δ )
Su velocidad será:
x = 4 sen(0,1 t + 0,5 )
v = 0,4 cos(0,1 t + 0,5 )
a = −0,04 sen(0,1 t + 0,5 )
--------------- 000 ---------------
a) La energía mecánica será:
v = 0,1 A cos(0,1 t + δ )
Em =
Si aplicamos las condiciones
tendremos dos ecuaciones:
3,36 = A sen(0,5 + δ )
Resolviendo el
tendremos que:
δ = 0,5 rad
iniciales
0,216 = 0,1 A cos(0,5 + δ )
sistema
y
de
1 2 1
2
kA = 10 Nm−1 ⋅ (0,05 m) = 0,0125 J
2
2
ecuaciones
A =4m
d) La aceleración la obtendremos derivando la
velocidad luego:
v = 0,4 cos(0,1t + 0,5 ) ⇒
a = −0,04 sen(0,1t + 0,5 )
Y para t = 5 s valdrá:
a = −0,04 sen(0,1⋅ 5 + 0,5 ) = −0,033 ms −2
e) Para t = 0 s, tendremos:
b) La velocidad máxima del cuerpo
corresponde a la posición de equilibrio, donde
la energía potencial es nula y la energía
cinética es máxima cuyo valor corresponde a la
energía mecánica. Luego:
v max =
2 Ec max
m
=
2 ⋅ 0,0125 J
= 0,2 ms −1
0,6 kg
c) Cuando x = 0,02 m, la energía potencial
valdrá:
Ep =
1 2 1
2
kx = ⋅ 10 Nm−1(0,02 m) = 0,002 J
2
2
En esa posición, la energía cinética será:
Ec = Em − Ep = 0,0125 J − 0,002 J = 0,0105 J
--------------- 000 ---------------
x = 4 sen(0,1 t + 0,5 ) = 4 sen(0,5 ) = 1,91 m
v = 0,4 cos (0,1 t + 0,5 ) = 0,4 cos (0,5 ) = 0,35 ms −1
a = −0,04 sen(0,1t + 0,5 ) = −0,04 sen(0,5 ) =
= −0,019 ms −2
10. A un muelle, fijo por uno de sus
extremos y situado en una superficie
horizontal sin rozamiento, se le sujeta por el
otro extremo un cuerpo de m=0,5 kg. Al tirar
del cuerpo, alargar el muelle 10 cm y
soltarlo, el sistema empieza a oscilar con un
período de 2 s. Determinar:
Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico
10
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Dpto. Física y Química
a) la energía cinética y la potencial
máximas,
b) la velocidad máxima del cuerpo,
c) explica cómo cambiarían las energías si
m=2 kg.
a) A partir del período de oscilación podemos
calcular la constante K del movimiento.
T = 2π
m
k
= 4,93 Nm
⇒
k=
4π 2 m
T
2
=
4π 2 ⋅ 0,5 kg
(2 s)
2
=
−1
La energía potencial máxima y la cinética
máximas corresponden a la energía mecánica,
luego:
E c max = E p max =
1 2 1
2
kA = ⋅ 4,93 Nm −1 ⋅ (0,1 m) =
2
2
Donde a podemos obtenerla como:
cos 10 º =
a
L
⇒
a = L ⋅ cos 10º = 0,984 m
h = L − a = 1 m − 0,984 m = 0,016 m
E p max = mgh = 0,1 kg ⋅ 9,8 ms −2 ⋅ 0,016 m =
= 0,015 J
b) La velocidad máxima será cuando pasa por
la posición de equilibrio con energía cinética
máxima e igual a la potencial máxima, por lo
tanto:
2 Ec max
v max =
= 0,024 J
m
=
2 ⋅ 0,015 J
= 0,54 ms −1
0,1 kg
--------------- 000 ---------------
b) La velocidad máxima será:
v max =
2 Ec max
m
=
2 ⋅ 0,024 J
= 0,3 ms −1
0,5 kg
c) Si la masa es de 2 kg, la constante k sería
cuatro veces mayor ya que depende
directamente proporcional a la masa y, por lo
tanto, las energías cinética y potencial máximas
serían también cuatro veces mayor.
--------------- 000 --------------11. Un péndulo simple consta de una esfera
puntual de 0,1 kg de masa suspendida de un
hilo de 1 m de longitud. Si oscila con una
amplitud de 10º en un lugar con g=9,8 m/s2,
determinar: a) su energía potencial máxima,
b) su velocidad máxima.
a
L
10º
L
h
h=L−a
a) La energía
potencial
máxima será la
correspondient
e a la altura h.
Esta
altura
podemos
calcular
la
como:
12. La longitud de un péndulo simple es de
0,248 m y tarda 1 s en efectuar una
oscilación completa de 18º. Determina: a) g
en ese punto, b) la velocidad máxima, c) la
fuerza máxima que tiende a llevarlo a la
posición de equilibrio si m=5 g.
a) A partir del período podemos obtener g de la
forma:
T = 2π
L
g
⇒
g=
4 π 2L
T2
=
4π 2 ⋅ 0,248 m
(1 s)2
=
= 9,79 ms −2
b) Para calcular la velocidad máxima
obtendremos primero la energía cinética
máxima a partir de la energía potencial máxima
de igual forma que en el ejercicio anterior. Es
decir:
a
⇒
L
a = L ⋅ cos 18º = 0,235 m
cos 18º =
L
18º
x
h = L − a = 0,248 m − 0,235 m =
= 0,013 m
E p max = mgh = m ⋅ 9,79 ms −2 ⋅ 0,013 m =
= 0,127 ⋅ m J = E c max
Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico
11
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Ecmx = 0,127 ⋅ m =
1
2
m(v max )
2
Dpto. Física y Química
⇒
b) A partir de la frecuencia se puede calcular la
pulsación:
v max = 2 ⋅ 0,127 = 0,5 ms −1
⇒
ω = 2πf = 2π ⋅ 5 Hz = 31,41 rad ⋅ s −1
c) La fuerza restauradora que tiende a llevar al
péndulo a la posición de equilibrio viene dada
por:
x
F = −mg
L
Para ángulos pequeños, tal como el de 18º,
podemos poner que:
x
⇒ x = L ⋅ sen 18 º =
L
= 0,248 m ⋅ sen 18º = 0,076 m
sen 18º =
x
0,076 m
= 0,005 kg ⋅ 9,79 ms −2
=
L
0,248 m
= 0,015 N
--------------- 000 ---------------
13. Lee las características de los siguientes
MAS y determina lo que se pide:
a) la pulsación y el período si a=-90 m/s2
cuando x=0,1 m
b) la aceleración cuando x=-0,01 m si su
frecuencia es de 5 Hz
c) el período y la ecuación de la elongación
si la expresión de la aceleración es a=-2x y
la amplitud vale 0,01 m.
a) La aceleración en función de la posición
viene dada por:
a = −ω2 x
ω=
90 ms − 2
= 30 rad ⋅ s −1
0,1m
⋅ (− 0,01 m) =
−2
c) A partir de la ecuación de la aceleración se
deduce que ω = 1,41 rad·s-2, por lo tanto el
período será:
T=
2π
2π
=
= 4,45 s
ω 1,41 rad ⋅ s−1
--------------- 000 --------------14. La aceleración de un MAS vale a=-16
π2x. Si la la máxima elongación es de 0,04 m
y se ha comenzado a contar el tiempo
cuando la aceleración tiene su máximo valor
absoluto
en
el
sentido
de
los
desplazamientos positivos, calcula los
valores absolutos máximos de la velocidad
y de la aceleración.
De la ecuación de la aceleración deducimos
que ω=4π rad·s-1. La amplitud vale A = 0,04 m.
Por lo tanto, la ecuación del movimiento podría
ser de la forma:
x = 0,04 ⋅ cos(4πt + δ )
Para calcular la fase inicial δ tenemos en
cuenta que cuando t = 0 x = 0,04 m, ya que el
punto de máxima aceleración corresponde a
los extremos del movimiento. Por lo tanto:
0,04 = 0,04 ⋅ cos(δ ) ⇒
cos δ = 1 ⇒
δ=0
Luego la ecuación del movimiento quedaría de
la forma:
Por lo tanto, la pulsación ω será:
⇒
2
x = A ⋅ sen(ωt + δ ) = 0,01 ⋅ sen(1,41 t + δ )
F = mg
− 90 ms −2 = −ω2 ⋅ 0,1m
)
La ecuación del movimiento podría ser:
Por lo tanto, el valor máximo de la fuerza
restauradora, que corresponde al valor máximo
de x, cuando el ángulo es de 18º, será:
⇒
(
a = −ω2 x = − 31,41 rad ⋅ s −1
= 9,86 ms
Donde x es la separación horizontal con
respecto a la posición de equilibrio (ver figura)
a = −ω2 x
Y la aceleración será:
⇒
x = 0,04 ⋅ cos(4πt )
La velocidad en cada instante sería:
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12
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v=
Dpto. Física y Química
La ecuación de la velocidad en función de la
posición viene dada por:
dx
= −0,04 ⋅ 4π ⋅ sen(4πt )
dt
v = ω A 2 − x2
Cuyo valor máximo absoluto correspondería a
un valor del seno igual a 1, es decir:
v max = 0,16 π ms
La pulsación podemos obtenerla mediante:
−1
ω=
La aceleración en cada instante será:
a=
dv
2
= −0,04 ⋅ (4π) ⋅ cos(4πt )
dt
Cuyo valor máximo absoluto corresponde a un
valor del coseno igual a uno, es decir:
amax = 0,04 ⋅ (4π) = 0,64 π ms
2
2
−2
k
=
m
20 Nm −1
= 3,33 rad ⋅ s −1
1,8 kg
Por lo tanto, como A = 0,3 m, la velocidad en la
posición de equilibrio ( x = 0 ) será:
v = ω A 2 − x 2 = 3,33
rad ⋅ s −1 (0,3 m) − 0 =
2
= 1 ms −1
La energía cinética en la posición de equilibrio
será:
--------------- 000 --------------Ec =
15. Un resorte cuya constante recuperadora
vale k=20 N/m está fijo por su extremo
superior. Si le colgamos un cuerpo de 300 g
de su extremo libre y lo dejamos oscilar: a)
¿cuál es la posición más baja que alcanza,
b) ¿cuánto vale el período del movimiento?.
Sol: a) -0,15 m, b) 0,77 s.
Aplicando la ley de Hooke tendremos que:
x=
F mg 0,3 kg ⋅ 9,8 ms −2
=
=
= 0,147 m
k
K
20 Nm−1
(
)
2
1
1
mv 2 = ⋅ 1,8 kg 1 ms −1 = 0,9 J
2
2
--------------- 000 ---------------
17. Una partícula de masa m se mueve con
MAS. Cuando t=0,75 s, la partícula pasa por
x=2 m y cuando t=3,75 s, su velocidad se
anula. Si el período de la oscilación es de 6
s, calcula:
a) la amplitud del movimiento, b) su
aceleración en t=3,75 s, c) su velocidad
máxima, d) escribe las expresiones de la
elongación, la velocidad y la aceleración en
función del tiempo.
El periodo del movimiento viene dado por:
m
0,3 kg
= 2π
= 0,769 s
T = 2π
k
20 Nm−1
--------------- 000 ---------------
16. Se fija un cuerpo de 1,8 kg al extremo
libre de un muelle de constante k=20 N/m,
se alarga el muelle hasta una distancia de
30 cm de su posición de equilibrio y se deja
libre. Determina la Ec y la velocidad en la
posición de equilibrio.
a) La pulsación será:
ω=
2π 2π π
=
= rad ⋅ s−1
T 6s 3
La ecuación de la posición sería:
⎛π
⎞
x = A ⋅ sen⎜ t + δ ⎟
3
⎝
⎠
Y su velocidad será:
v=
π
dx
⎛π
⎞
= A ⋅ ⋅ cos⎜ t + δ ⎟
dt
3
⎝3
⎠
Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico
13
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Dpto. Física y Química
Si aplicamos las dos condiciones que nos dan
tendremos que:
⎛π
⎞
2 = A ⋅ sen⎜ 0,75 + δ ⎟ = A ⋅ sen(0,25 π + δ )
3
⎝
⎠
0=A⋅
ω=
b) La ecuación de la velocidad sería:
v =2⋅
π
⎛π
⎞
⋅ cos⎜ t − 0,75 π ⎟
3
⎝3
⎠
Luego la aceleración en cada instante valdrá:
a=
500 Nm−1
= 10 rad ⋅ s −1
5 kg
La ecuación de la posición en función del
coseno sería:
x = 0,1 ⋅ cos(10t + δ )
π
π
⎛π
⎞
⋅ cos⎜ 3,75 + δ ⎟ = A cos(1,25 π + δ )
3
3
⎝3
⎠
La resolución de este sistema de ecuaciones
nos da como soluciones δ = -0,75 π rad y A = 2
m.
k
=
m
Ahora bien, como cuando t = 0 s, x = A = 0,1 m
tendremos que:
0,1 = 0,1 ⋅ cos(δ ) ⇒
cos(δ ) = 1 ⇒
δ=0
Por lo tanto, la ecuación de la posición sería:
x = 0,1 ⋅ cos(10 t )
b) La aceleración es nula cuando lo es la fuerza
recuperadora y esto ocurre en la posición de
equilibrio, es decir, para x = 0.
dv
π2
⎞
⎛π
= −2 ⋅
sen⎜ t − 0,75 π ⎟
dt
9
3
⎠
⎝
--------------- 000 ---------------
Cuyo valor para t = 3,75 s será:
a = −2 ⋅
π2
⎛π
⎞ 2 π2
sen⎜ 0,75 − 0,75 π ⎟ =
=
9
9
⎝3
⎠
= 2,19 ms −2
c) La velocidad máxima será:
v max =
2π
= 2,09 ms −1
3
19. Una partícula vibra en el instante inicial
con su máxima velocidad de 20 m/s y con
una amplitud de 0,1 m.
a) determina las constantes del movimiento,
b) escribe las expresiones generales de la
elongación, velocidad y aceleración,
c) calcula la aceleración máxima de la
partícula,
d) determina la posición, velocidad y
aceleración en el instante 1 s.
d) Estas ecuaciones están representadas en
los apartados anteriores.
--------------- 000 ---------------
18. Colgamos una masa puntual de 5 kg de
un resorte elástico cuya constante elástica
tiene un valor k=500 N/m. Una vez el
conjunto está en equilibrio, desplazamos la
masa 10 cm y la dejamos oscilar libremente.
Determinar:
a) la ecuación del MAS que describe el
movimiento de la masa puntual,
b) las posiciones de la masa en las que su
aceleración es nula,
a) La amplitud será A = 0,1 m y la pulsación:
a) Si vibra con la máxima velocidad cuando t =
0 s en porque está en la posición de equilibrio,
x = 0, ya que en esta posición es cuando la
velocidad es máxima. Como la velocidad en
función de la posición viene dada por:
v = ω A 2 − x2
⇒
⇒
ω = 200 rad ⋅ s
20 ms −1 = ω ⋅ 0,1 m
⇒
−1
La ecuación de la posición sería:
x = A ⋅ sen(ωt + δ )
Y como cuando t = 0 s, x = 0 m, tendremos
que:
0 = 0,1 ⋅ sen(δ ) ⇒
sen(δ ) = 0
Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico
⇒
δ=0
14
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Por lo tanto la ecuación de la posición quedará
de la forma:
x = 0,1 ⋅ sen(200 t ) S.I.
El período del movimiento sería:
T=
Dpto. Física y Química
a) Si aplicamos la ley de Hooke tendremos que:
k=
La pulsación sería:
2π
2π
π
s
=
=
ω 200 rad ⋅ s−1 100
Y la frecuencia:
f=
1 100
=
Hz
π
T
dx
= 20 ⋅ cos(200t ) S.I.
dt
4900 Nm−1
= 15,65 rad ⋅ s −1
20 kg
Y, por lo tanto, el período y la frecuencia
serían:
2π
2π
= 0,4 s
=
ω 15,65 rad ⋅ s −1
1
f = = 2,5 Hz
T
T=
x = 0,1 ⋅ sen(200 t ) S.I.
v=
k
=
m
ω=
b) La ecuación de la elongación hemos visto ya
que sería:
La velocidad será:
F
mg 10 kg ⋅ 9,8 ms −2
=
=
= 4900 Nm−1
Δx Δx
0,02 m
;
b) Si el sistema comienza a oscilar desde abajo
la ecuación más simple de su elongación es:
x = A cos(ωt ) ⇒
x = 0,03 cos(15,65 t ) S.I.
Y a los 0,5 s su posición será:
Y la aceleración:
x (0,5 s ) = 0,03 cos(15,65 ⋅ 0,5 ) =
dv
a=
= −4000 ⋅ sen(200t ) S.I.
dt
d) Para t = 1 s, tendremos:
= 8,69 ⋅ 10 − 4 m
La velocidad será:
dx
= −0,47 ⋅ sen(15,65 t ) ⇒ v (0,5 s) =
dt
x = 0,1 ⋅ sen(200 ) = −0,087 m
v=
v = 20 ⋅ cos (200 ) = 9,74 ms −1
= −0,47 ms −1
a = −4000 ⋅ sen(200 ) = 3493,18 ms −2
La aceleración será:
a=
--------------- 000 ---------------
dv
= −7,35 ⋅ cos(15,65 t )
dt
⇒
a(0,5 s) =
= −0,21 ms −2
La fuerza recuperadora será:
20. A un resorte cuando se le cuelga un
cuerpo de 10 kg de masa alarga 2 cm. A
continuación se le añade una masa de otros
10 kg y se le da al conjunto un tirón hacia
abajo, de forma que el sistema se pone a
oscilar con una amplitud de 3 cm.
Determina:
a) el período y la frecuencia del movimiento,
b) la posición, velocidad, aceleración y
fuerza recuperadora a los 0,5 s de iniciado
el mismo,
F = −kx
⇒
F = −4900 Nm −1 ⋅ 8,69 ⋅ 10 −4 m =
= −4,25 N
--------------- 000 ---------------
21. Una masa puntual de 10 g está sujeta a
un muelle que vibra con una frecuencia de 3
Hz. En el instante inicial pasa por el centro
de la vibración con una velocidad de 5 cm/s
en sentido negativo. Determina:
Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico
15
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
a) el tiempo que debe transcurrir hasta que
alcance la velocidad cero,
b) la ecuación del movimiento,
c) la expresión de la energía cinética en
función del tiempo,
d) la aceleración en el instante en el que se
anula la velocidad.
a) La velocidad cero se produce cuando el
cuerpo está en uno de los extremos. Luego, si
al inicio está en la posición de equilibrio tardará
un cuarto de período en alcanzar el extremo.
Ahora bien:
T=
1 1
= s
f 3
0 = A ⋅ sen(δ ) ⇒
sen(δ ) = 0
⇒
δ = 0 , π rad
Ahora bien, como se mueve hacia la izquierda
debe de ser δ = π rad. Por lo tanto, la ecuación
del movimiento será:
x = 0,00265 ⋅ sen(6πt + π )
S.I.
b) La energía cinética viene dada en función de
la velocidad, luego obtendremos primero esta
derivando la posición, es decir:
dx
= 0,00265 ⋅ 6π ⋅ cos(6πt + π) =
dt
= 0,05 ⋅ cos(6πt + π)
v=
Por lo tanto, el tiempo pedido será:
t=
La fase inicial δ la calcularemos con las
condiciones iniciales, es decir: t = 0 , x = 0
moviéndose hacia la izquierda. Por lo tanto:
T
1
=
s
4 12
Y la expresión de la energía cinética en función
del tiempo será:
b) La ecuación en función del seno debe ser de
la forma:
x = A ⋅ sen(ωt + δ )
1
1
2
mv 2 = 0,01 kg ⋅ [0,05 ⋅ cos(6πt + π)] =
2
2
= 1,25 ⋅ 10 −5 ⋅ cos2 (6πt + π ) J
Ec =
d) La aceleración en función de la posición
viene dada por:
A partir de la frecuencia tendremos que:
ω = 2πf = 6 π rad ⋅ s −1
a = −ω2 x
Y como la velocidad en función de la posición
viene dada por:
La velocidad se anula en los extremos, tanto en
+A como en –A. Por lo tanto, el valor absoluto
de la aceleración en estas posiciones será:
v = ω A 2 − x2
(
)
2
a = ω2 A = 6π rad ⋅ s−1 ⋅ 0,00265 m = 0,94 ms − 2
Y teniendo en cuenta que cuando x = 0 , v =
0,05 m/s, tendremos que:
--------------- 000 ---------------
0,045
Ep
0,005
X
0,01
0,05 = 6πA
⇒
A=
0,03
0,05
= 0,00265 m
6π
22. Un cuerpo de 1 kg realiza un m.a.s. de
amplitud 0,03 m. La gráfica Ep es la de la
figura (las unidades están el el S.I.).
a) Hallar la energía total del cuerpo y
calcular tanto la constante recuperadora del
movimiento como el período del mismo,
b) hallar el valor de la energía cinética en la
posición x=0,01 m, así como la velocidad
que alcanza en esta posición.
Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico
16
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Dpto. Física y Química
a) Como puede observarse en la figura la
energía potencial máxima que adquiere el
cuerpo es de 0,045 J que corresponde a los
extremos de la oscilación donde la energía
cinética es nula. Por lo tanto, la energía
mecánica del cuerpo será también de 0,045 J.
Como la energía mecánica tiene la expresión:
Em =
1 2
kA
2
= 100 Nm
⇒
k=
2E m
A
2
=
2 ⋅ 0,045 J
(0,03 m)
2
K=
b) La amplitud será 0,075 m.
c) El período viene dado por:
T = 2π
=
m
5 kg
= 2π
= 0,85 s
k
272,22 Nm−1
−1
d) La energía
elongación será:
El período sería:
m
1 kg
T = 2π
= 2π
= 0,628 s
k
100 Nm−1
Ep =
1 2 1
2
kx = 100 Nm−1 ⋅ (0,01 m) = 0,005 J
2
2
Tal y como se puede observar en la gráfica.
Luego la energía cinética en esa posición será:
potencial
en
la
máxima
1 2 1
2
kA = 272,22 Nm−1 ⋅ (0,075 m ) = 0,765 J
2
2
--------------- 000 ---------------
b) La energía potencial en x = 0,01 m será:
Ep =
F
5 kg ⋅ 9,8 ms −2
=
= 272,22 Nm−1
ΔL
0,18 m
24. Un cuerpo vibra con MAS. Cuando se
encuentra en la mitad de la amplitud, ¿qué
porcentaje de energía es cinética y qué
potencial? ¿en qué punto las dos energías
son iguales?.
Ec = Em − Ep = 0,045 J − 0,005 J = 0,04 J
Y la velocidad correspondiente a esa posición
será:
v=
2Ec
=
m
2 ⋅ 0,04 J
= 0,28 ms −1
1 kg
La energía potencial en esa posición será:
2
Ep =
Y como la energía total es:
Em =
--------------- 000 ---------------
23. De un muelle se ha colgado un bloque
de 5 kg, produciendo un alargamiento de 18
cm. Mas tarde el bloque se estira 7,5 cm
más y se suelta. Calcular:
a) la constante elástica del muelle, b) la
amplitud del movimiento, c) el período, d) la
energía potencial elástica del muelle en el
instante en que se deja el bloque en
libertad.
a) Aplicando la ley de Hooke tendremos que:
1 2 1 ⎛A⎞
1
kx = k ⎜ ⎟ = kA 2
2
2 ⎝2⎠
8
1 2
kA
2
⇒
Ep
Em
=
2
= 0,25
8
Luego el porcentaje de energía potencial será
del 25 % y, por lo tanto, el de energía cinética
será del 75 %.
Serán iguales cuando el porcentaje
potencial y cinética sea del 50 %, luego:
Ep
Em
= 0,5
1
= 0,5 kA 2
2
⇒
E p = 0,5E m
⇒
de
1 2
kx =
2
⇒ x = 0,5 A = 0,707 A
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico
17
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
25. Cuando una masa de 1 kg se cuelga de
un muelle vertical de masa despreciable, el
período de las oscilaciones es de 1,43 s.
Cuando una masa desconocida reemplaza a
la masa de 1 kg, el período es de 1,85 s.
Calcular:
a) la masa desconocida, b) la constante
elástica del muelle.
a) El período de oscilación del muelle viene
dado por:
T = 2π
m
k
1
k
; 1,85 = 2π
Dividiendo miembro a
expresiones tendremos:
⇒
miembro
las
dos
⎛ 1,85 ⎞
m=⎜
⎟ = 1,67 kg
⎝ 1,43 ⎠
b) La constante elástica k será:
k=
4π2m
T2
=
4π2 ⋅ 1 kg
(1,43 s)2
La expresión de la velocidad será:
v = Aω ⋅ cos(ωt + δ )
Si aplicamos las condiciones iniciales, es decir,
cuando t = 0 s , x = 0,15 m y v =0,45 m/s
tendremos que:
0,15 = A ⋅ sen(δ )
;
0,45 = A ⋅ 9,12 ⋅ cos(δ )
las
dos
0,15 ⋅ 9,12
0,15
sen(δ )
=
⇒ tag(δ ) =
=
0,45
0,45 9,12 ⋅ cos(δ )
= 3,04 ⇒ δ = 1,25 rad
Y sustituyendo en una de las ecuaciones
anteriores tendremos que:
m
k
2
1,43
1
=
1,85
m
200 Nm −1
= 9,12 rad ⋅ s −1
2,4 kg
k
=
m
Dividiendo miembro a miembro
ecuaciones tendremos que:
Donde m es la masa del cuerpo y k la
constante elástica del muelle característica del
mismo. Si aplicamos esta expresión a las dos
situaciones tendremos que:
1,43 = 2π
ω=
= 19,3 Nm−1
A=
0,15
= 0,15 m
sen(1,25 )
Luego la ecuación de la posición en función del
tiempo quedará de la forma:
x = 0,15 ⋅ sen(9,12 ⋅ t + 1,25 ) S.I.
Y la posición para t = 3 s será:
x (3 s ) = 0,15 ⋅ sen(9,12 ⋅ 3 + 1,25 ) = −0,049 m
--------------- 000 ----------------------------- 000 ---------------
26. Un oscilador está formado por una
masa de 2,4 kg colgada de un resorte de
masa despreciable y k=200 N/m. Las
condiciones iniciales son x0 = 0,15 m y Vx0 =
0,45 m/s. Calcular la posición del bloque
para t=3 s.
La ecuación de la posición podemos expresarla
como:
x = A ⋅ sen(ωt + δ )
Donde:
Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico
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