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TEMA 4: LAS FRACCIONES
Hasta ahora has trabajado con números naturales, enteros y decimales, pero sigue habiendo
situaciones que no podemos expresar con estos números, por ejemplo, cuando decimos: “Medio litro de
agua”, “Tres cuartos de kilo de carne”, “Un cuarto de hora”… Para poder expresar estas cantidades
necesitamos las fracciones.
1. EL SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES
Una fracción es una expresión de la forma
dicha expresión llamaremos:
a  numerador
b  denominado r
a
, en la que a y b son números enteros, con b  0. En
b
Para nombrar una fracción se lee primero el numerador y luego el denominador de la siguiente forma:
 El numerador se lee con el nombre del número.
 El denominador se lee así:
 Si es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, se lee: medio, tercio, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo y
noveno, respectivamente.
 Si es 10, se lee décimos, y si es mayor de 10, se lee el numero añadiendo la terminación -avo.
Ejemplo:
Fracción
Numerador
Denominador
Lectura
1
3
1
3
Un tercio
2
5
2
5
Dos quintos
7
15
Siete quinceavos
3
10
Tres décimos
5
2
Cinco medios
7
15
3
10
5
2
Ejemplo: Merche está pintando una puerta formada por 5 tablones iguales. Ya ha pintado 2 tablones. ¿Qué
fracción representa la parte de la puerta pintada?
2
5
1º ESPA
Pág. 1
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Una fracción se puede entender como una parte de la unidad, como un operador o como una división.
1.
La fracción como parte de la unidad
Las fracciones expresan las partes iguales en las que se divide un todo que llamamos unidad y
cuántas de esas partes se toman.
a
En la fracción sus términos representan
b
b número de partes iguales en que se divide la unidad o el todo
a número de partes que se toman de la unidad
Ejemplo:
En nuestro ejemplo el todo, el rectángulo, lo hemos dividido en doce partes iguales. De
estas partes iguales hemos coloreado cinco. La fracción que representa las partes
5
coloreadas es
.
12
Ejemplo:
Pinta los
9
de este triángulo.
16
Para poder hacerlo es necesario dividir
dicho triángulo (que en este ejemplo es
la unidad o el todo) en dieciséis partes
iguales, como muestra la siguiente
figura.
Ahora coloreamos de verde nueve triángulos pequeños.
La parte coloreada representa los
2.
9
de
16
La fracción como cociente
La fracción
a
,
b
expresa el cociente de dos números enteros a y b (a : b). Calculamos su valor
dividiendo el numerador entre el denominador.
Ejemplo: Tenemos 28 gominolas iguales para repartir entre 4 niños. ¿Cuántas gominolas le corresponden a
cada niño?
1º ESPA
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28
28 : 4 =7
A cada niño le corresponden 7 gominolas
4
Las fracciones que tienen el numerador igual que el denominador son iguales a la unidad, y
recíprocamente, el 1 se puede expresar como una fracción en la que coinciden numerador y denominador.
8
8
Ejemplo:  1 ,
3.
3
15
7
 1 , 1
,1 
3
15
7
La fracción como operador
Una fracción puede actuar como operador de un número: se multiplica el número por el numerador y
se divide entre el denominador (o se divide el número por el denominador y el resultado se multiplica por el
numerador).
(c  a):b
a
de c =
b
(c:b)·a
3
de 24, se lee, los tres cuartos de veinticuatro.
4
Para calcularlo tenemos que dividir 24 en 4 partes, 24:4, que salen 6 elementos en cada parte y tomamos 3
de esas partes, que harían un total de, 3  6, dieciocho.
Ejemplo:
3
3
de 24 → ·24 = (24:4)  3 = 6  3 = 18
4
4
3
de 24 = 18
4
También:
3
3
de 24 → ·24 = (24  3):4 = 72 : 4 = 18
4
4
Ejemplo:
2
2
de 100 → · 100 = (100 : 5)  2 = 20  2 = 40
5
5
Ejemplo: Un albañil, para iniciar una obra, cobra por adelantado los
asciende a 2 400 €. ¿Cuánto tenemos que pagarle por adelantado?
2
del presupuesto. Si la factura
3
2 · 2400
2
2
de 2400 :
· 2400 
 1600
3
3
3
Tenemos que pagarle 1 600 € por adelantado
1º ESPA
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2. FRACCIONES EQUIVALENTES
Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando expresan la misma parte de la unidad, es
decir, cuando tienen el mismo valor numérico.
Observa:
Las fracciones
1 2
 son equivalentes
4 8
Para saber si dos fracciones son equivalentes podemos hacerlo de varias formas:
 Realizar los cocientes que representan cada una de las fracciones y comprobando que obtenemos el
mismo resultado.
Por ejemplo:
3
12
y
(ambas valen 1,5)
2
8
 Multiplicando en cruz para ver si resulta el mismo número, es decir, si se cumple que el producto de
los extremos es igual al producto de los medios.
a c

 ad  bc
b d
Por ejemplo:
?
12 ? 3
12 3
 ; 12·2  3·8 ; 24  24   Son equivalentes
8 2
8 2
?
?
4 12
4 12
 ; 4 · 20  5·12 ; 80  60   No son equivalentes
5 20
5 20
 Comprobando que hemos obtenido una de ellas multiplicando (o dividiendo) el numerador y
denominador de la otra por la misma cantidad.
Por ejemplo:
:4
12
8
3
 Son equivalentes;
2
:4
1º ESPA
·3
4
5
12
 No son equivalentes
20
·4
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2.1. Cómo obtener fracciones equivalentes:
Para obtener fracciones equivalentes a una dada podemos utilizar uno de los métodos siguientes:
amplificación y simplificación.
 Amplificación: Consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción dada por un
mismo número
Multiplicamos el numerador y
3
Ejemplo: Calcula tres fracciones equivalentes a
el denominador por 7.
·3
2
3 3  5 15


2 2  5 10
33 9

23 6
3

2
·3
3 3  7 21


2 2  7 14
Multiplicamos el numerador y el
denominador por 5.
3 9 15 21
  
2 6 10 14
Por lo tanto,
 Simplificación: Consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción dada entre un
divisor común a ambos.
42
por simplificación.
28
Los divisores comunes a 42 y 28 son 2, 7 y 14, obtendremos fracciones equivalentes a la
dada dividiendo numerador y denominador por dichos números.
Dividimos el numerador y el
Ejemplo: Busca fracciones equivalentes a
:2
42

28
denominador por14.
42 42 : 7 6


28 28 : 7 4
42 : 2 21

28 : 2 14
42 42 : 14 3


28 28 : 14 2
:2
Por tanto,
42 21 6 3

 
28 14 4 2
Dividimos el numerador y el
denominador por 7.
Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar. El máximo común divisor del numerador
3
y del denominador es uno, es decir, son primos entre sí. La fracción es irreducible.
2
Para calcular la fracción irreducible equivalente a una fracción dada, se dividen numerador y
denominador por su máximo común denominador o se van realizando sucesivas divisiones al numerador y
denominador por el mismo número hasta llegar a la fracción irreducible.
Ejemplo: Halla la fracción irreducible equivalente a
42 = 2 · 3 · 7
28 = 22 · 7
42
28
m.c.d. (42, 28) = 2 · 7 = 14
42 3
=
28 2
Dividimos el numerador y el
denominador por 14.
1º ESPA
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También podemos calcular esta fracción irreducible del siguiente modo:
Dividimos el numerador y el
denominador por 7.
42 21 3
 
28 14 2
Dividimos el numerador y el
denominador por 2.
La fracción inversa de una fracción dada es otra fracción que tiene por numerador el denominador
a
b
de la primera fracción, y por denominador, el numerador. Fracción inversa de 
b
a
Ejemplo: Fracción
Fracción inversa
5
3
1
4
7=

3
5
4
4
1
1
7
7
1
9
5

5
9
2.2. Reducción de fracciones a mínimo común denominador
Para realizar algunas operaciones con fracciones (sumar, restar, comparar…) es necesario
transformar las fracciones dadas en otras equivalentes con el mismo denominador. Reducir a común
denominador dos o más fracciones consiste en obtener fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo
denominador. La forma más sencilla de calcular el denominador común es hacer el mínimo común múltiplo de
los denominadores.
Para reducir fracciones a común denominador:
1º Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º Se amplifican todas las fracciones utilizando como denominador el mínimo común múltiplo. Dividimos el
denominador común entre el denominador inicial y multiplicamos el cociente obtenido por el numerador.
Ejemplo: Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
8 = 23
12 = 22· 3
7 21

8 24
m.c.m. (8, 12, 3) = 23.3 = 8 · 3 = 24
2 16

3 24
5 10

12 24
24 : 8 = 3
3 · 7 = 21
1º ESPA
3=3
7 5 2
, y
8 12 3
24 : 12 = 2
5 · 2 = 10
Pág. 6
24 : 3 = 8
8 · 2 = 16
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3. ORDENACIÓN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES
Puesto que las fracciones son números podemos ordenarlas o compararlas, decir cuál es mayor o
cuál es menor. Nos encontramos tres casos distintos: que las fracciones tengan el mismo denominador, que
tengan el mismo numerador o que tengan distinto numerador y denominador
 Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.
Ejemplo:
4 3 1
> >
8 8 8
 Si dos fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador.
4 4 4
Ejemplo: > >
3 5 7
 Para comparar fracciones con distinto numerador y denominador, se reducen primero a común
denominador. La fracción mayor es la que tiene mayor numerador
5 7
y
4 6
Como tienen distinto denominador, calculamos el m.c.m. de 4 y 6:
Ejemplo: Compara las fracciones
4 = 22
6=2·3
m.c.m. (4, 6) = 22 · 3 = 4 · 3 = 12
5 15

4 12
7 14

6 12
Como
15 14

entonces
12 12
5 7

4 6
4. OPERACIONES CON FRACCIONES
 Suma y resta:
 Mismo denominador. Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o restan
los numeradores, dejando el mismo denominador.
Ejemplo:
5 7 1 5  7 1 11
  

6 6 6
6
6
 Distinto denominador. Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, reduciremos las
fracciones a común denominador (mediante el mínimo común múltiplo de los denominadores) y
transformaremos los numeradores correspondientes para proceder después como en el apartado
anterior.
Ejemplo:
5 7 1 45 42 2 45  42  2 85
     

2 3 9 18 18 18
18
18
m.c.m.(2,3,9) =18
5 45
7 42


2 18
3 18
1º ESPA
Pág. 7
1
9

2
18
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Ejemplo:
5 15 15 15 15  15 0
   
 0
2 4 4 4
4
4
Recuerda:
0
0
a
 Producto:
Para multiplicar fracciones se multiplican el numerador por el numerador y el denominador por el
a c ac
denominador:  
b d bd
Ejemplo:
5 2 5 · 2 10 5
 
 
6 3 6 · 3 18 9
El producto de una fracción y su inversa es uno:
5 3 5 · 3 15
 
 1
3 5 3 · 5 15
4
1 4
 1
4 4
1
7
7  1
7
7
9  5  45
   
1
5  9  45
 Cociente:
Para dividir fracciones se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el
a c ad
denominador de la primera por el numerador de la segunda: : 
b d bc
Ejemplo:
5 2 5  3 15 5
: 
 
6 3 6  2 12 4
Operaciones combinadas con fracciones:
Cuando en un ejercicio de operaciones con fracciones se mezclan distintos tipos de operaciones hay
que seguir las siguientes reglas de prioridad:
1.- Se calculan los paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera.
2.- Se calculan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
3.- Se calculan las sumas y restas de izquierda a derecha.
3 2  7 5  3 2  21 5  3 2  16  3 2 8
Ejemplo:                    
4 5 2 6 4 5  6 6 4 5  6  4 5 3
1ºCalculamos la resta

Simplificamos,
16
6

8
3
3 2 8 3 16 3 16 45 64 109
       

4 5 3 4 15 4 15 60 60 60
3ºEfectuamos la suma
2ºEfectuamos el producto
1º ESPA
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PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
Distributiva
Si se cambia el orden de los
sumandos, la suma no varía:
Los sumandos se pueden
agrupar de diferentes formas sin
que varíe el resultado:
El 0 es el elemento neutro de
la suma, pues, al sumarlo, el
resultado no varía:
(a + b) + c = a + (b + c)
a+0=a
El producto de un número
por una suma es la suma
de los productos de dicho
número por cada uno de
los sumandos:
SUMA
a+b=b+a
Ejemplo:
1

2
1

3
1 5

3 6  1  1  1  1
1 5 2 3 3 2
 
2 6
Ejemplo:
Ejemplo:
 5 7  3 29 3 38 19
      
3
2 3 2 6 2 6
0
a  (b + c) = a  b + a  c
5 5
5
 0
4 4
4
2 5
 
3 2
5  7 3  5 23 38 19
      
2 3 2 2 6
6
3
MULTIPLICACIÓN
Si se cambia el orden de los
factores, el producto no varía:
ab=ba
Los factores se pueden agrupar
de diferentes formas sin que
varíe el resultado:
(a  b)  c = a  (b  c)
El 1 es el elemento identidad
de la multiplicación, pues, al
multiplicar por él, el resultado
no varía:
Ejemplo:
1 1 1
 
2 3 6  1  1  1  1
1 1 1 2 3 3 2
  
3 2 6
a1=a
Ejemplo:
4
 2 1  6 2 6 12

     
 3 5  7 15 7 105 35
Ejemplo:
3
3 3
 1  1 
4
4 4
2 1 6 2 6
12
4
     

3  5 7  3 35 105 35
1º ESPA
Pág. 9
Ejemplo:
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7  2 29 29
  
3 3 6
9
2 5 2 7 5 14 29
     
3 2 3 3 3 9 4
5. PROBLEMAS CON FRACCIONES
Ejemplo: Tenemos dos botellas de agua. La primera contiene 1/3 de litro de agua y la segunda 1/2 de litro de
agua. ¿Qué cantidad de agua tenemos?
1 1 23 5
 

3 2
6
6
Tenemos
5
litros de agua
6
Ejemplo: Se quieren envasar 600 litros de vino Rioja en botellas de 3/4 de litro. ¿Cuántas se necesitarán?
600 :
3 2400

 800
4
3
Se necesitarán 800 botellas
Ejemplo: En un centro escolar hay 657 estudiantes. Si el número de chicos es 4/9 del total, ¿cuántos chicos y
cuántas chicas hay en el centro?
4
4  657 2628
657 

 292
9
9
9
657 – 292 = 365
1º ESPA
En el centro hay 292 chicos y 365 chicas
Pág. 10
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