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TEMA 5: POTENCIA Y RAIZ CUADRADA.
5.1. POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL.
Potencias de números naturales
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios
factores iguales.
4
EXPONENTE
5·5·5·5=5
BASE
La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este
caso el 5.
El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la
base, en el ejemplo es el 4.
¿Cómo se calcula una potencia?
Para calcular potencias multiplicamos la base por sí misma tantas veces como indica el
exponente. Ejemplos:
4³ = 4x4x4 = 64
5² = 5 x 5 = 25
74 = 7x7x7x7 = 2401
En caso de que el exponente sea 1 no lo escribimos y la potencia toma el valor de la
base.
Así, por ejemplo: 51 = 5
¿Cómo se lee una potencia?
• Las potencias de exponente 2 se denominan cuadrados. 72 se lee 7 elevado al
cuadrado.
• Las potencias de exponente 3 se denominan cubos. 53 se lee 5 elevado al cubo.
• Si el exponente es mayor que 3, las potencias se leen de esta manera: 6 8 se lee seis
elevado a ocho o seis elevado a la octava potencia.
Potencias y raíces
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Propiedades de la potencias de números naturales
1. a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los
exponentes.
am · an = am+n
25 · 22 = 25+2 = 27
4. División de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los
exponentes.
am : an = am - n
25 : 22 = 25 - 2 = 23
5. Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los
exponentes.
(am)n = am · n
(25)3 = 215
6. Producto de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
an · b n = (a · b) n
23 · 43 = 83
7. Cociente de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
an : bn = (a : b)n
63 : 33 = 23
Potencias y raíces
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Descomposición polinómica de un número
Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10.
El numero 3 658 podemos descomponerlo del siguiente modo:
3 658 = 3 ·103 + 6 ·102 + 5 ·101 + 8
5.2. RAÍCES CUADRADAS.
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados
dos números, llamados radicando e índice , hallar un tercero, llamado
raíz , tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar
un número conocido su cuadrado.
; Radicando= Raízíndice
La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que
elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a.
5²=25
Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0. Y se cumple:
Radicando = (Raíz exacta)2
5.3. CUADRADOS PERFECTOS.
Cuadrados perfectos
Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,
Raíz cuadrada entera
Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.
Y se cumple:
Radicando = (Raíz entera)2 + Resto
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5.4. CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA.
Para explicar el método, vamos a calcular la raíz cuadrada de 98765.
PRIMER PASO
Dibujamos el símbolo de la raíz y colocamos el número
SEGUNDO PASO
Dividimos nuestro número en grupos de dos cifras, empezando por la derecha. No importa si el
primer número se queda sin compañero.
Estos puntos sólo sirven para recordarte que en las raíces se trabaja con los números de dos en
dos.
Potencias y raíces
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TERCER PASO
Nos fijamos en el primer grupo de números (en nuestro ejemplo sólo el 9). Debemos encontrar
un número que multiplicado por sí mismo nos dé ese resultado o lo más cerca de él. Luego
escribimos este número en la zona de soluciones y hacemos una resta como cuando operamos
una división.
Restamos el primer número del radicando menos el cuadrado de nuestro número de soluciones.
CUARTO PASO
Este quizás es el paso que se hace más raro, así que atención. Bajamos el siguiente grupo de
dos números. Luego colocamos en la zona de operaciones el doble de lo que tengamos escrito
en la zona de soluciones, de esta manera:
En los huecos que nos quedan debemos colocar un número, el mismo en los dos (por ejemplo,
62 por 2, 65 por 5, etc.). La operación que nos forme debe ser igual a 87 o lo más cerca a este
número.
Cuando lo encontremos, escribimos el número en la zona de soluciones y hacemos la resta.
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QUINTO PASO
Repetimos el cuarto paso mientras nos queden grupos de números por bajar.
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El resultado es 314, y el resto, 169.
PRUEBA DE LA RAÍZ
La raíz también tiene prueba, como la división. Se hace multiplicando por sí mismo el radical (la
solución) y sumándole el resto. Si nos da como resultado el radicando, lo hemos hecho bien:
314 x 314 = 98596
98596 + 169 = 98765
¿Y SE PUEDEN SACAR DECIMALES CON LAS RAÍCES?
Si te acuerdas de cómo se hacía con las divisiones, se colocaba una coma en el cociente, se
bajaba un cero, y se seguía de forma normal. Con las raíces es igual, sólo que los ceros se bajan
de dos en dos:
Potencias y raíces
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Y así podríamos seguir hasta que el resto dé cero o tengamos los decimales que necesitemos.
5.5.OPERACIONES COMBINADAS.
Operaciones combinadas con números naturales
Prioridad de las operaciones
1. Efectuar las operaciones entre paréntesis y corchetes.
1º Potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
2º Sumas y restas de los paréntesis Calcular las potencias y raíces.
2. Efectuar los productos y cocientes.
3. Realizar las sumas y restas.
Ejemplo:
[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Efectuar las operaciones entre paréntesis y corchetes.
1º Potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
2º Sumas y restas de los paréntesis
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos en los corchetes.
= 12 · 7 − 3 + 2 Multiplicamos.
= 84 − 3 + 2=
Restamos y sumamos.
= 83
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