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Conjuntos numéricos
1. Números naturales
2. Números enteros
3. Números racionales
4. Números irracionales
5. Números reales
6. Potencias y radicales
7. Notación científica
8. Logaritmos
Índice del libro
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Conjuntos numéricos
1. Números naturales
Los números naturales los utilizamos para contar.
El conjunto de los números naturales se designa con la letra N y tiene
infinitos elementos:
N = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...)
Decimos que un número a es múltiplo de otro b si se cumple que a = n b,
donde n es otro número natural.
Decimos que un número a es divisor de b si se cumple que b : a es división
exacta.
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1. Números naturales
1.2. Factorización
Decimos que un número es primo si solamente es divisible entre 1 y
entre sí mismo.
Decimos que un número es compuesto si además del 1 y de sí mismo
tiene otros divisores.
Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir,
expresarlo como un producto de números primos.
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1. Números naturales
1.3. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los
múltiplos comunes.
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los
divisores comunes.
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2. Números enteros
Hay situaciones que no se pueden expresar con números naturales,
como temperaturas bajo cero, saldos negativos, etc.
Por este motivo surgen los números enteros, que están formados por
los números naturales y sus opuestos, es decir, los números
negativos.
El conjunto de los números enteros se designa con la letra Z.
Z = ( .... –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…)
Llamamos valor absoluto de un número a, que se representa |a|, al
valor del número natural sin tener en cuenta el signo.
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2. Números enteros
2.2. Jerarquía de las operaciones
Si existen operaciones combinadas, hay que realizarlas siempre en el
mismo orden.
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• Paréntesis
2
• Corchetes
3
• Potencias
4
• Multiplicaciones y divisiones
5
• Sumas y restas
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la
suma en producto extrayendo dicho factor.
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3. Números racionales
El conjunto de los números racionales se designa con la letra Q e
incluye los números naturales, los enteros y los fraccionarios.
Naturales (N)
Enteros (Z)
Fraccionarios
Racionales (Q)
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3. Números racionales
3.1. Fracciones
Una fracción es una expresión de la forma __
a donde a y b son números
enteros y b ≠ 0.
b
Una fracción se puede interpretar como:
a) Operación: He gastado 2/3 de los 60 litros del depósito.
b) Proporción: En mi casa, 2 de cada 3 bombillas dan luz blanca.
c) Porcentaje: Hay rebajas de un 30%.
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3. Números racionales
3.2. Fracciones equivalentes
Son fracciones equivalentes, aquellas que tienen el mismo valor.
En las fracciones equivalentes el producto de los extremos es igual al
producto de los medios.
a __
c
__
=
b
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d
a d = c b, donde a y d son los extremos; b y c son los medios.
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3. Números racionales
3.3. Fracción irreducible
Se llama fracción irreducible a aquella cuyo numerador y
denominador son números primos entre sí.
Simplificar una fracción es hallar su fracción equivalente irreducible.
Se puede obtener de tres formas:
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1.
Dividiendo numerador y denominador entre el mismo número
hasta que no haya más divisores comunes.
2.
Dividiendo numerador y denominador entre el mcd.
3.
Factorizando numerador y denominador y eliminando los factores
comunes.
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3. Números racionales
3.4. Reducción a común denominador
Reducir a común denominador es poner dos o más fracciones con el
mismo denominador. Para eso procedemos de la siguiente forma:
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1.
Hallamos el mcm de los denominadores. Este será el
denominador común.
2.
Dividimos el mcm entre el denominador de cada fracción y lo
multiplicamos por el numerador. Este será el numerador en cada
fracción.
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3. Números racionales
3.7. Operaciones con fracciones
Suma y resta de fracciones:
• Con el mismo denominador: el resultado es otra fracción cuyo numerador es
la suma o resta de los numeradores y el denominador es el mismo.
• Con distinto denominador: se reduce a común denominador, se suman o
restan los numeradores y el denominador es el común.
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3. Números racionales
3.7. Operaciones con fracciones
Multiplicación de fracciones
• Fracción y fracción: el resultado es otra fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y el denominador es el producto de los
denominadores.
• Fracción y número entero: se multiplica el numerador por el número entero
y se mantiene el denominador.
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3. Números racionales
3.7. Operaciones con fracciones
División de fracciones
• Fracción y fracción: el resultado es otra fracción cuyo numerador es el
producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda y el
denominador es el producto del denominador de la primera por el numerador
de la segunda.
• Fracción y número entero: se procede como en el caso anterior: se convierte
el número entero en fraccionario de denominador uno.
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3. Números racionales
3.8. Números decimales
Toda fracción puede expresarse como un número decimal realizando
el cociente del numerador entre el denominador.
Pueden darse tres casos:
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1.
Decimal exacto: número finito de cifras decimales (1,27).
2.
Decimal periódico puro: infinitas cifras decimales que se repiten
periódicamente. Las cifras que se repiten forman el periodo
(2,131313…).
3.
Decimal periódico mixto: infinitas cifras decimales, pero solo
algunas se repiten de forma periódica. Estas forman el periodo y
las que no se repiten, el anteperiodo (1,2343434…).
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4. Números irracionales
El conjunto de los números irracionales se designa con la letra I. Está
formado por números decimales con infinitas cifras decimales no
periódicas.
Son números irracionales cualquier raíz no exacta, el número pi, el
número e, el número áureo...
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5. Números reales
El conjunto de los números reales se designa con la letra R e incluye
todos los conjuntos numéricos que hemos visto hasta ahora,
racionales e irracionales.
Los números irracionales se pueden representar de forma aproximada
o exacta.
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5. Números reales
5.1. Intervalos
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre
otros dos dados: a y b, que se llaman extremos del intervalo.
Los intervalos pueden ser:
• Abierto: (a, b) es el conjunto de todos los números reales mayores que a y
menores que b.
• Cerrado: [a, b] es el conjunto de todos los números reales mayores o
iguales que a y menores o iguales que b.
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5. Números reales
5.1. Intervalos
• Semiabierto por la izquierda: (a, b] es el conjunto de todos los números
reales mayores que a y menores o iguales que b.
• Semiabierto por la derecha: [a, b) es el conjunto de todos los números
reales mayores o iguales que a y menores que b.
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6. Potencias y radicales
6.1. Potencias de exponente natural
Una potencia es un producto de factores iguales.
2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25
• La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo.
En este caso es el 2.
• El exponente de la potencia es el número de veces que lo
multiplicamos. En este caso es el 5.
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6. Potencias y radicales
6.2. Propiedades de las potencias de números naturales
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6. Potencias y radicales
6.2. Propiedades de las potencias de números naturales
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6. Potencias y radicales
6.3. Radicales (raíces)
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
• Las raíces de índice par solo existen para los números positivos y
tienen dos soluciones (una positiva y otra negativa).
• Las raíces de índice impar existen para todos los números y tienen
una única solución que es siempre negativa.
Se llama radicales equivalentes a los que tienen la misma raíz. Se
obtienen multiplicando o dividiendo el índice y el exponente del
radicando por el mismo número.
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6. Potencias y radicales
6.4. Forma exponencial de los radicales
Todo radical se puede escribir como potencia de exponente
fraccionario.
La base es el radicando, el numerador del exponente es la potencia del
radicando y el denominador del exponente es el índice de la raíz. Esto
se hace para simplificar radicales o para operar con ellos.
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6. Potencias y radicales
6.5. Propiedades de los radicales
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6. Potencias y radicales
6.6. Operaciones con radicales
La suma y resta de radicales solo puede realizarse si estos son
semejantes.
Se suman o restan los números que multiplican a los radicales y
dejamos el radical semejante.
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6. Potencias y radicales
6.6. Operaciones con radicales
En el producto y en la división se pueden dar dos casos:
a) Mismo índice: se mantiene el radical y se multiplican o dividen los
radicandos.
b) Diferente índice: se reduce a índice común. El índice común será el mcm
de los índices. El radicando se calcula usando:
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6. Potencias y radicales
6.8. Racionalización
La racionalización consiste en hacer desaparecer los radicales del
denominador de una fracción.
• Fracción con raíz cuadrada en el denominador: multiplicamos
numerador y denominador por la raíz cuadrada del denominador
y operamos.
• Fracción con raíz enésima en el denominador
: multiplicamos
numerador y denominador por
y operamos.
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6. Potencias y radicales
6.8. Racionalización
• Fracción con un binomio en el denominador: multiplicamos
numerador y denominador por el conjugado y operamos.
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7. Notación científica
La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o
muy pequeños.
Para expresar un número en notación científica escribimos la coma
detrás de la primera cifra diferente de cero y una potencia de diez cuyo
exponente será igual al número de lugares que hemos movido la coma.
Este exponente será:
• Negativo: si movemos la coma a la derecha.
• Positivo: si movemos la coma a la izquierda.
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8. Logaritmos
El logaritmo en base a de un número x es el exponente al que hay que
elevar la base para que resulte dicho número: Loga x = b . El número x
debe ser siempre positivo.
Loga x = b
ab = x
Aunque la base puede ser cualquier número, en este curso solo vamos
a estudiar logaritmos decimales, es decir, en base 10.
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Conjuntos numéricos
8. Logaritmos
8.1. Propiedades de los logaritmos