Download 1. Una onda transversal se propaga en el sentido negativo del eje X

M.A.S. Y MOV. ONDULATORIO
FCA 12
ANDALUCÍA
1. Una onda transversal se propaga en el sentido negativo del eje X. Su
longitud de onda es 3,75 m, su amplitud 2 m y su velocidad de propagación
3 m s-1.
a) Escriba la ecuación de la onda suponiendo que en el punto x = 0 la
perturbación es nula en t = 0.
b) Determine la velocidad y la aceleración máximas de un punto del medio.
2. Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación:
1
y (x, t) = 5 cos ( π x)·sen (40 t) (S. I.)
3
a) Indique qué tipo de onda es y cuáles son su amplitud y frecuencia. ¿Cuál
es la velocidad de propagación de las ondas que por superposición dan lugar
a la anterior?
b) Calcule la distancia entre dos nodos consecutivos y la velocidad de un
punto de la cuerda situado en x =1,5 m, en el instante t = 2 s.
3. Un radar emite una onda de radio de 6·107 Hz.
a) Explique las diferencias entre esa onda y una onda sonora de la misma
longitud de onda y determine la frecuencia de esta última.
b) La onda emitida por el radar tarda 3·10-6 s en volver al detector después
de reflejarse en un obstáculo. Calcule la distancia entre el obstáculo y el
radar.
c = 3·108 m s-1 ; vsonido = 340 m s-1
4. a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique cómo
varían con el tiempo la velocidad y la aceleración de la partícula.
b) Comente la siguiente afirmación: “si la aceleración de una partícula es
proporcional a su desplazamiento respecto de un punto y de sentido
opuesto, su movimiento es armónico simple”.
5. En una cuerda tensa de 16 m de longitud con sus extremos fijos se ha
generado una onda de ecuación:
y (x, t) = 0,02 sen (π x) · cos (8π t) (S. I.)
a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría producirse. Calcule
su longitud de onda y su frecuencia.
b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que
se encuentran a 4 m y 4,5 m, respectivamente, de uno de los extremos y
comente los resultados.
6. La ecuación de una onda en la superficie de un lago es:
y (x, t) = 5·10-2 cos (0,5 t - 0,1 x) (S. I.)
a) Explique qué tipo de onda es y cuáles son sus características y determine
su velocidad de propagación.
b) Analice qué tipo de movimiento realizan las moléculas de agua de la
superficie del lago y determine su velocidad máxima.
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7. a) Energía mecánica de un oscilador armónico simple. Utilice una
representación gráfica para explicar la variación de las energías cinética,
potencial y mecánica en función de la posición.
b) Dos partículas de masas m1 y m2 (m2 > m1), unidas a resortes de la misma
constante k, describen movimientos armónicos simples de igual amplitud.
¿Cuál de las dos partículas tiene mayor energía cinética al pasar por su
posición de equilibrio? ¿Cuál de las dos pasa por esa posición a mayor
velocidad? Razone las respuestas.
8. Una onda en una cuerda viene descrita por:
y (x, t) = 0,5 cos x · sen (30 t) (S. I.)
a) Explique qué tipo de movimiento describen los puntos de la cuerda y
calcule la máxima velocidad del punto situado en x = 3,5 m.
b) Determine la velocidad de propagación y la amplitud de las ondas cuya
superposición darían origen a la onda indicada.
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1.- a) A = 2 m λ = 3,75 m
v = 3 ms-1
Escogemos la ecuación del seno sin fase inicial, ya que para x = 0 y t = 0, y = 0. El
signo en el argumento es positivo porque se desplaza hacia la izquierda
y ( x, t )  A sen( Kx   t )
K
2


2
8
  m 1
3, 75 m 15
  2 f  2
8 
8
y ( x, t )  2sen   x   t 
5 
 15
v
8
  s 1
 5
S.I.
b) Calculamos la velocidad y la aceleración de vibración de la partícula solicitada
v
a
dy
8
8  16
8 
8
8
 2    cos   x   t     cos   x   t  ms 1
dt
5
5  5
5 
 15
 15
dv
16 8
8 
128 2
8 
8
8
      sen   x   t   
  sen   x   t  ms 2
dt
5
5
5 
25
5 
 15
 15
La velocidad y aceleración máximas se producen cuando los valores del seno o del
coseno son la unidad, en consecuencia:
vmax 
16
 ms 1
5
amax 
128 2 2
 ms
5
1
π x)·sen (40 t) (S. I.)
3
Es una onda estacionaria porque su ecuación es del tipo y ( x, t )  (2 A cos Kx) sen  t .
La amplitud, A´ , de una onda estacionaria depende de la posición (x) de cada punto y
viene dada por la expresión A´ 2 A cos Kx , donde A es la amplitud de las ondas
armónicas que por superposición forman la onda la onda estacionaria, comparando
ambas ecuaciones obtenemos:
2.- a)
y (x, t) = 5 cos (
1 
A´ 5cos   x  m
3 
Como ω = 40 rad s-1, la frecuencia será
f 
 40 20 1


s
2 2 
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2.- a) (continuación) Calculamos la longitud de onda

2
2

 6m
K 1/ 3 
Calculamos la velocidad de propagación de las ondas armónicas que por superposición
forman la onda la onda estacionaria
v   f  6
20


120

ms 1
b) Si representamos una cuerda atada por los dos extremos, en la que se forma una onda
estacionaria
vemos que la distancia existente entre dos nodos es
x

2

6m
 3m
2
Para calcular la velocidad de vibración de un punto de la cuerda, derivamos con
respecto al tiempo la ecuación de posición y sustituimos x =1,5 m y t = 2 s
v
dy
1 
 5cos   x   40  cos(40t )  0
dt
3 
3.- a) La onda emitida por el radar es una onda electromagnética, no necesita medio
material para su propagación ya que la propiedad perturbada es un campo magnético y
uno eléctrico y es además una onda transversal que se propaga en el aire a la velocidad
de la luz c.
La onda sonora es una onda material que necesita un medio material para su
propagación porque la propiedad perturbada es la presión y es una onda longitudinal
que se propaga en el aire a 340 ms1.
Calculamos la longitud de la onda electromagnética en el aire

c 3·108 ms 1

 5m
f
6·107 s 1
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3.- a) (continuación) Calculamos la frecuencia de una onda sonora de la misma longitud
de onda
340 ms 1
f  
 68 s 1

5m
v
b) Las ondas electromagnéticas se mueven con velocidad constante c, el tiempo que
tardan en llegar al objeto es la mitad del total, 1,5·10-6 s, por lo tanto, la distancia
recorrida es
d  c  t  3 108 ms 1 1,5 106 s  450 m
4.- a) La ecuación de un movimiento armónico simple es del tipo
x (t) = A sen (ω t + δ)
La velocidad se obtiene derivando la posición con respecto al tiempo
v
dx
  A cos  t   
dt
la aceleración, derivando la velocidad
dv d 2 x
a
 2   2 Asen  t   
dt dt
puesto que
x  Asen  t   
a   2 x
A lo largo de una oscilación la velocidad es máxima ( vmax   A ) en el centro y cero en
los extremos donde cambia de sentido. La aceleración ( a   2 x ) es cero en el centro
y máxima en los extremos ( amax   2 A )
b) La afirmación es verdadera, si a  cte  x y F  m  a sustituyendo,
F   m  cte  x como el producto de la masa por la constante es también constante (le
llamamos K), nos quedaría la siguiente ecuación:
F  K  x
que es la expresión de una fuerza elástica recuperadora que implica un movimiento
armónico simple.
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5.- a) Si observamos la ecuación que nos da el ejercicio
y ( x, t )  0, 02sen  x  cos  8 t 
y la ecuación de las ondas estacionarias
y ( x, t )  2 A  sen k x  cos  t
advertimos que se trata de una onda estacionaria, fenómeno que se produce por
superposición entre ondas idénticas que se propagan en el mismo medio en sentidos
opuestos.
Comparando ambas ecuaciones obtenemos:
k
2


  2m
  2 f  8
f  4 s 1
b) La velocidad de vibración de los puntos de la cuerda viene dada por la expresión:
v
dy
 0,16 sen  x  sen  8 t 
dt
Para x  4 m , como sen 4  0 , v  0 por lo tanto se trata de un nodo, punto que no
oscila en ningún instante. Para x  4,5 m , como sen 4,5  1 ,
v  0,16 sen(8 t ) ms 1
Podemos comprobar que este punto se trata de un vientre (máxima amplitud de
oscilación).
6.y (x, t) = 5·10-2 cos (0,5 t - 0,1 x)
a) Se trata de una onda armónica transversal de ecuación
(S. I.)
y  A cos(t  kx )
para calcular la velocidad de propagación, comparamos ambas ecuaciones y obtenemos
  0,5 rad s 1

vp 

k
2
K

k  0,1 m 1
f 

2
0,5 rad s 1
 5 ms 1
0,1 m 1
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6.- b) Calculamos la velocidad de vibración de las moléculas de la superficie derivando
la ecuación de posición con respecto al tiempo
v
dy
 5 102  0,5  sen(0,5t  0,1x)  2,5 102  sen(0,5t  0,1x )
dt
La velocidad máxima se cumple cuando el seno toma el valor de uno, por lo tanto
vmax  2,5 102 ms 1
7.- a) Teniendo en cuenta que la fuerza elástica recuperadora es conservativa, se puede
definir una energía potencial elástica asociada a dicha fuerza que viene dada por la
expresión
Ep 
1 2
Kx
2
Donde K es la constante elástica del oscilador y x es la posición con respecto al punto
de equilibrio llamada elongación.
La energía mecánica de un oscilador armónico (suma de la cinética y la potencial),
permanece constante si no actúan fuerzas disipativas, se puede demostrar que su valor
es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud
Em 
1
KA2
2
Representamos gráficamente las tres energías en función de la posición
La energía cinética y la potencial varían de forma conjunta, mientras que la mecánica
permanece constante.
La energía cinética es nula en los extremos de la trayectoria y máxima en el punto de
equilibrio.
La energía potencial es máxima en los extremos de la trayectoria y nula en el punto de
equilibrio.
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7.- b) En la posición de equilibrio (x = 0) la energía potencial es cero y la energía
cinética es máxima e igual a la energía mecánica
Ec  Em 
1
KA2
2
Observamos que no depende de la masa y como ambos osciladores tienen la misma
constante elástica y la misma amplitud, la energía cinética será igual en los dos.
La expresión general de la energía cinética es
Ec 
1 2
mv
2
Al tener la misma energía cinética, tendrá mayor velocidad el que tenga menor masa, es
decir, m1.
8.- a) Los puntos de la cuerda describen un movimiento oscilatorio en dirección
perpendicular a la de propagación, es decir, en el eje y. Al tratarse de una onda
estacionaria, habrá puntos cuya amplitud de oscilación sea máxima (vientres) y puntos
cuya amplitud de oscilación sea cero, es decir, que no se mueven (nodos).
La velocidad de oscilación de los puntos de la cuerda es la derivada de y con respecto
al tiempo
v
dy
 0,5  cos x  30  cos (30t ) ms 1  15  cos x  cos(30t ) ms 1
dt
la velocidad máxima del punto x = 3,5 m será cuando cos (30t )  1 (valor máximo)
vmax  15  cos (3,5)  14 ms 1
b) La amplitud de la onda estacionaria es función de la posición y viene dada por la
expresión
A´ 2 A cos k x
A´max  2 A
(cos k x  1)
y como A´max = 0,5 m, la amplitud de las ondas que se superponen es A = 0,25 m.
Comparando la ecuación de nuestra onda con la ecuación general de la onda
estacionaria obtenemos:
k
2

1
  2 m
  2 f  30 s 1
f 
30 15 1
 s
2 
calculamos la velocidad de propagación de las ondas que se superponen
v   f  30 ms 1
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