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VIBRACIONES Y ONDAS
Robert Hooke
1635 - 1703
Cristiaan Huygens
1629 - 1695
Willebrord Snell
(1591-1626
Alexander Graham Bell
1847 - 1922
1.MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1.1 Características generales
Antes de nada veamos una serie de definiciones necesarias
en el estudio de este movimiento:
Movimiento periódico: Un movimiento se dice periódico
cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables
del movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el
mismo valor.
Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en
los que la distancia del móvil al centro, pasa
alternativamente por un valor máximo y un mínimo.
Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio, de
trayectoria rectilínea que tiene su origen en el punto medio,
de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas
amplitudes, son iguales.
Movimiento vibratorio armónico simple (M.A.S.): es un
movimiento vibratorio con aceleración variable, producido
por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa
de su posición de equilibrio.
Un resorte cuando lo separamos de su posición de
equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un
movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza
recuperadora de ese resorte es la que genera una
aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén.
Observando el movimiento del resorte, vemos que se
desplaza entre dos puntos, desde la máxima
compresión hasta la máxima elongación, pasando por
un punto medio, de equilibrio.
La distancia desde el punto medio a cualquiera de los
extremos la llamamos amplitud y la representamos
por A.
La posición que ocupa la bola roja en cada momento con
respecto al punto central la conocemos como elongación, y.
El tiempo en realizar una oscilación completa es el período,
representado por T y medido en segundos.
La frecuencia es el número de oscilaciones por segundo que
realiza y la representamos por f.
Es la inversa del período:
:
Relación entre el M.A.S. y el M.C.U.
Cuando tenemos un punto que da vueltas uniformemente
alrededor de una circunferencia, la proyección sobre un
eje (una sola dimensión) de ese punto describe un m.a.s., lo
que nos va a permitir deducir sus ecuaciones a partir del
movimiento circular (un movimiento auxiliar, bidimensional,
que no es armónico simple). Puede verse el ejemplo en la
figura siguiente
El movimiento armónico es el del
punto que vemos moverse sobre el
eje vertical (sube y baja). El
movimiento circular es el de la
partícula que da vueltas alrededor
de la circunferencia, aunque es un
movimiento periódico, no es un
movimiento armónico.
Sin embargo, ambos movimientos están directamente
relacionados, puesto que uno genera el otro. Esta
circunstancia nos va a permitir encontrar fácilmente una
ecuación para el m.a.s., simplemente relacionándolo con el
movimiento circular auxiliar.
La figura , representa lo que hemos visto en el gráfico
animado anterior. En ella pueden verse lo que significa
cada una de las variables que hemos definido.
Y = elongación
A = amplitud
Φo = fase inicial
ω = pulsación
Φ = ω.t + Φo fase
Y0 = elongación inicial
Φo. Representa la posición angular de la partícula para t =
0 en el m.c.u. auxiliar.
ω. Representa la velocidad angular del m.c.u. auxiliar. Es
una constante del m.a.s.
Φ. Representa la posición angular de la partícula, en el
m.c.u. auxiliar, para tiempo t.
La elongación de la partícula para un tiempo t viene dada
por el seno del ángulo que nos da la posición de la partícula
del m.c.u.
y = A . sen (ω.t + φ0)
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general
del m.a.s.
La elongación es una función periódica del tiempo y el
máximo valor que puede tomar es A (la amplitud), ya que
el valor del seno oscila entre los valores +1 y -1.
Relación de la pulsación, ω, con el período, T, y con la
frecuencia, f.
Como en un m.c.u. Φ = ω.t, cuando t = T entonces Φ = 2π
radianes, entonces:
ω = 2π / T
Como f = 1/T entonces:
ω = 2π.f
1.2 Estudio cinemático, dinámico y energético del M.A.S.
•1.2.1 Magnitudes cinemáticas y ecuaciones:
-Posición. Viene dada por la ecuación general:
y = A . sen (ω.t + Φo)
-Velocidad. Mide la variación instantánea de la posición
con el tiempo. Su valor es la derivada de la elongación
respecto del tiempo:
v = dy/dt = A.ω cos (ω.t + Φo)
donde observamos que la velocidad es también función
periódica del tiempo y que, al aparecer un coseno, la
velocidad toma su máximo valor, A.ω, cuando la fase es
cero. Por otra parte cuando, la partícula se encuentre en los
extremos el ángulo de fase es 90º y 270º, la velocidad es
nula.
-Aceleración. Mide la variación instantánea de la velocidad
con el tiempo. Su valor es la derivada de la velocidad con
respecto al tiempo.
a = dv/dt = - A.ω2 sen (w.t + Φo)
que teniendo en cuenta el valor de la elongación, y, se
convierte en:
a = - y.ω2
En un m.a.s. la aceleración es proporcional a la
elongación, pero de sentido contrario.
Cuando la fase es cero, sen 0º = 0 y por tanto la
aceleración es nula. Para valores de 90º y 270º la
aceleración es máxima en valor absoluto, los valores son
-A.ω2 y +A.ω2 respectivamente.
En los tramos en los que la velocidad y la aceleración tienen
el mismo signo, el movimiento es acelerado y los que tienen
sentido contrario el movimiento es decelerado.
- Gráficas cinemáticas del m.a.s.
Como
ω
=
2π/T,
y
suponiendo Φ0 = 0, la
ecuación del m.a.s. toma la
forma:
y = A . Sen (2π/T . t)
Dando valores a t: t = 0,
t = T/4, t= T/2 … etc. Se
obtiene la gráfica: Y - t
Procediendo
de
forma
similar, la ecuación de la
velocidad toma la forma:
Y = A.ω . cos (2π/T . t) y
obtenemos la gráfica: v - t
La
ecuación
de
la
aceleración
tomaría
la
forma:
a = -A.ω2 . sen (2π/T . t) y
obtendríamos
la
representación
gráfica
situada a la izquierda: a -t
Analizando las gráficas podemos decir que:
 Las tres magnitudes, y, v y a, varían periódicamente,
pues vuelven a tener los mismos valores transcurrido un
período ya que como sabemos sen Φ = sen (Φ + 2π) y
cos Φ = cos (Φ + 2π).
 Están desfasadas entre si, pues ni se anulan a la vez ni
alcanzan sus valores máximos en el mismo instante. Así
cuando la elongación es máxima, la velocidad es nula y la
aceleración es mínima.
 La velocidad está adelantada en un cuarto de período
respecto a la elongación, y la aceleración está desfasada
medio período respecto a la elongación.
•1.2.2 Dinámica del m.a.s.
La ecuación dinámica de este movimiento se obtiene,
lógicamente, sustituyendo la ecuación de la aceleración en
la ley fundamental de la dinámica.
F = m . a = m . (-ω2 . y) = - m . ω2 . y = - k . y
Esta expresión nos dice que la fuerza necesaria para
producir un m.a.s. , en un cuerpo material, es directamente
proporcional al desplazamiento del cuerpo respecto a su
posición de equilibrio, pero de sentido contrario.
La constante k se mide en N/m.
Cuando se trata de un resorte elástico, en el que se
cumple la Ley de Hooke, F = ke . Δx.
La constante elástica coincide con la del oscilador
armónico: ke = m . ω2
Luego cada oscilador armónico se caracteriza por los
valores de su constante recuperadora, K, y de su masa de
oscilación, m. A partir de estos valores pueden calcularse,
ω, f y T:
ω = √k/m T = 2π/ ω = 2π . √m/k f = ω/ 2π = √k/m / 2π
•1.2.3 Estudio energético del m.a.s.
Un oscilador armónico tiene energía cinética por estar en
movimiento, y energía potencial porque la fuerza
recuperadora, que lo obliga a oscilar armónicamente es una
fuerza conservativa.
 Energía cinética:
Ec = ½ mv2 = ½ k/ω2 . A2 ω2 cos2 (ω t + Φ0) =
=½ k A2 cos2 (ω t + Φ0)
La expresión de la energía cinética suele expresarse
preferentemente en función de la posición del cuerpo.
Para ello veamos como es la relación entre la posición y la
velocidad:
Y = A sen (ω t + Φ0) y v = A.ω cos (ω.t + Φo) además
conocemos la expresión trigonométrica sen2Φ + cos2 Φ = 1
Elevando al cuadrado las expresiones de Y e v, despejando
de ellas los senos y cosenos cuadrados, obtendremos:
Y2 = A2 sen2 (ω t + Φ0) ; v2 = A2. ω2 cos2 (ω.t + Φo)
sen2 (ω t + Φ0) = Y2/ A2 ; cos2 (ω.t + Φo) = v2/ A2. ω2
Sustituyendo en la expresión trigonométrica:
Y2/ A2 + v2/ A2. ω2 = 1
v2 = ω2 (A2 – y2)
Entonces la expresión de la energía cinética será:
Ec = ½ m . ω2 (A2 – y2);
Ec= ½ k (A2 – y2)
La energía cinética varía periódicamente, y depende de la
elongación; es nula en los extremos y máxima en la posición
de equilibrio.
 Energía potencial)
Como la fuerza productora del m.a.s. es una fuerza
conservativa, el trabajo realizado por ella entre dos
posiciones A y B será igual a – ΔEp, es decir:
WA
B
B
= ∫ F. dr = ∫ -k . y dy = -[ ½ k . y2 ] =
A
-(½ k yB2 – ½ K yA2) = -(EpB – EpA)
Entonces: EpB = ½ k yB2 y EpA = ½ k yA2 y en general
tendremos que:
Ep = ½ k y2
La energía potencial que adquiere el oscilador
armónico varía periódicamente, y es proporcional al
cuadrado de la elongación.
Esta expresión puede también ponerse de otra forma:
Ep = ½ k A2 sen2 (ω t + Φ0)
La energía potencial es nula en la posición de equilibrio,
x = 0, y alcanza el valor máximo en los extremos, x = ± A.
 Energía mecánica
Es la suma de las energías cinética y potencias.
Em = Ec + Ep = ½ k v2 + ½ k y2
Si sustituimos las expresiones obtenidas anteriormente:
Em = ½ k A2 cos2 (ω t + Φ0) + ½ k A2 sen2 (ω t + Φ0)
Em = ½ k A2 [cos2 (ω t + Φ0) + sen2 (ω t + Φ0) ]
Y como sen2 Φ + cos2 Φ = 1, nos queda la expresión:
Em = ½ k A2
La energía mecánica de un oscilador armónico es siempre
constante y su valor es proporcional al cuadrado de la
amplitud de las oscilaciones.
Se cumple pues el principio de conservación de la energía.
En el gráfico se observa la representación del
comportamiento de la energía en el proceso del
movimiento armónico simple.
La energía total se encuentra representada por la recta
roja, que es horizontal, dado que se conserva.
Dicha energía total como se ve en la figura coincide con el
valor de la energía potencial máxima en los extremos del
desplazamiento de la partícula y con la energía cinética
máxima en el punto de equilibrio del movimiento
1.2.4 El resorte elástico. Cálculo de la constante
elástica.
• Método estático
Cuando se cuelgan pesas del
extremo inferior de un muelle
metálico helicoidal sujeto por su
extremo
superior,
se
puede
observar
que
experimenta
un
alargamiento. Dicho alargamiento es
proporcional
a
la
fuerza
recuperadora
del
muelle
que
equilibra la fuerza de las pesas
(peso), siempre que no se sobrepase
el límite elástico del muelle, ley de
Hooke.
Si l0 es la longitud antes de cargar ninguna pesa y l la
longitud cuando lo sometemos a una determinada carga,
el alargamiento viene dado por Δl = l – l0. Según la ley
de Hooke dicho alargamiento es proporcional a la fuerza
de tracción a la que lo somete la carga: F = -k Δl. La
constante k es la que llamamos constante elástica o
recuperadora del muelle.
Colgando del muelle diferentes pesas y determinando los
alargamientos correspondientes a ellas, podemos
determinar el valor de la constate k de forma gráfica si
representamos las fuerzas colocadas frente a los
alargamientos (elongaciones) sufridos por el muelle.
Debemos obtener una línea recta. K es la pendiente de
la recta.
y
x
tag φ = y / x = k
Método dinámico
En la determinación de la constante elástica de
un resorte por el método dinámico, lo que
hacemos es dejar oscilar el resorte y medir su
periodo de oscilación.
Si colgamos distintas masas de un resorte y
tiramos de ellas separándolas de su posición de
equilibrio, al soltarlas oscilan con distintos
periodos.
Medimos los periodos del resorte para distintas masas
oscilantes (teniendo en cuenta la masa del porta pesas).
No importa si estiramos más o menos antes de soltarlas.
A partir de la relación de la masa y del periodo de
oscilación podemos hallar la constante del resorte.
T = 2π . √m/k T2 =4π2 . m/k
k = 4π2m/T2
1.2.5 El péndulo simple
Un péndulo simple se define como una partícula de masa
m suspendida del punto O por un hilo inextensible de
longitud l y de masa despreciable.
Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo que
hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo
comienza a oscilar.
El péndulo describe un arco de
una circunferencia de radio l.
Estudiaremos su movimiento en
la dirección tangencial y en la
dirección normal.
Las fuerzas que actúan sobre la
partícula de masa m son dos:
θ
•el peso: p = mg
•la tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos
componentes, mg.senθ en la dirección tangencial y
mg·cosθ en la dirección radial.
• Ecuación del movimiento en la dirección radial
La aceleración centrípeta de la partícula es an=v2/l
dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria
circular.
Aplicando la segunda ley de Newton se escribe
m.an=T-mg·cosθ ; m.v2/l = T – mg.cosθ
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular
θ podemos determinar la tensión T del hilo.
• Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
La aceleración de la partícula es at=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe:
mat=-mg·senθ
Esta componente tangencial es la que actúa como fuerza
restauradora.
El signo menos indica que la fuerza es siempre de sentido
contrario al desplazamiento.
Si θ no es demasiado grande ≤ 15º entonces sen θ es
aproximadamente θ si lo expresamos en radianes.
sen θ ≈ θ
(rad)
Para estos pequeños ángulos puede
considerarse que el movimiento del
péndulo es un m.a.s.
La expresión del movimiento en la
dirección tangencial toma la forma:
mat = - mgθ
Y teniendo en cuenta que: θ = x/l entonces mat =-mg.x/l
at = -g.x/l
Comparando la expresión de la fuerza con la ley de Hooke:
F = -k.x k = m.g/l = m.ω2
ω2 =g/l
ω = √g/l
Teniendo en cuenta la relación entre la frecuencia
angular y el período: T = 2π/ω
Sustituyendo, nos queda:
T = 2π/ √g/l = 2π . √l/g
El período depende de g y de l pero no de la masa m del
péndulo.
2. ONDAS ARMÓNICAS PLANAS.
2.1. Propagación de
materiales elásticos.
perturbaciones
en
medios
Los medios materiales reales son deformables, y por
tanto, dentro de determinados rangos son elásticos. Es
esta propiedad la que permite explicar que a través de
ellos se propaguen ondas mecánicas.
Podemos observar ejemplos de movimiento ondulatorio en
la vida diaria: el sonido producido en la laringe de los
animales y de los hombres que permite la comunicación
entre los individuos de la misma especie, las ondas
producidas cuando se lanza una piedra a un estanque, las
ondas electromagnéticas producidas por emisoras de
radio y televisión, etc.
Supongamos que arrojamos un
objeto a un estanque. Cuando el
objeto entra en contacto con la
superficie del agua se produce
una perturbación de su estado
físico. Se forman ondas que se
propagan de manera uniforme a
partir del punto en el que se
produjo la perturbación.
Si ponemos un corcho veremos que se mueve hacia arriba
y hacia abajo pero que no se traslada en la dirección
que vemos se trasladan las ondas.
Si fijamos el extremo de una cuerda y movemos el otro
extremo hacia arriba y hacia abajo, vemos como a lo largo
de la cuerda se mueve una onda. Sin embargo los puntos
que forman la cuerda no se desplazan a lo largo de ella, lo
que se propaga es, como en el caso del estanque, la
perturbación producida.
Según esto decimos que: En el movimiento ondulatorio
hay un transporte de energía y de cantidad de
movimiento de un punto a otro del espacio, sin existir
transporte de materia.
En los dos casos indicados, las partículas del medio
oscilan alrededor de su posición de equilibrio, debido a la
acción de las fuerzas elásticas.
2.2. Tipos de ondas: longitudinales y transversales;
materiales y electromagnéticas.
Para facilitar su estudio, las ondas se pueden clasificar
atendiendo a diversos criterios.
-Según la dirección de propagación:
• Unidimensionales, como las que se propagan por una
cuerda tensa.
• Bidimensionales, como las que se propagan por la
superficie de un estanque.
• Tridimensionales, como las ondas acústicas.
-Según la naturaleza:
• Mecánicas, necesitan de un medio material para
propagarse.
• Electromagnéticas, no necesitan de ningún medio
materia para propagarse. Se propagan por el vacío.
-Según la forma de transmisión:
• Longitudinales, cuando la dirección de propagación de
la onda coincide con la dirección de vibración de las
partículas del medio. Por ejemplo el sonido.
• Transversales, cuando la dirección de propagación de
la onda es perpendicular a la dirección de vibración de
las partículas del medio. Por ejemplo las ondas de una
cuerda o las electromagnéticas.
2.3. Magnitudes características: longitud de onda,
frecuencia, amplitud y número de ondas.
En la figura se representa
una
onda
armónica
transversal. Se producen
alternativamente
una
serie de "crestas" y de
"valles".
Para describir a la onda se definen las siguientes
magnitudes:
• La longitud de onda, λ, es la distancia entre los centros
de dos crestas o dos valles consecutivos.
• El periodo, T, que es el tiempo que tarda la perturbación
en avanzar una longitud de onda.
• La velocidad de propagación de la onda, c, que es la
rapidez con la que avanza la perturbación.
Estas tres magnitudes cumplen la siguiente relación:
c = λ/T
• La amplitud, A, es la máxima separación que alcanza
cada partícula vibrante respecto de su posición de
equilibrio.
• La frecuencia, f, número de oscilaciones que realiza por
unidad de tiempo.
• La pulsación, ω, equivalente a la frecuencia, pero
expresada en radianes por segundo
• El número de ondas, k, es una magnitud de frecuencia
que es el cociente que indica cuantas longitudes de onda
existen en una distancia 2π. Es entonces:
k = 2π /λ
2.4. Velocidad de propagación. Factores de los que
depende.
La velocidad de propagación de las ondas mecánicas
depende del tipo de onda concreto, pero, en general, se
cumplen las siguientes reglas:
• Depende de las propiedades mecánicas del medio de
propagación.
• En los sólidos, que propagan ondas mecánicas
transversales y longitudinales, su velocidad de propagación
aumenta con la rigidez del medio y disminuye con la
densidad. Así las espiras de un muelle muy rígido y ligero
propagan ondas mas rápidamente que las de un muelle
blando y pesado.
• En los fluidos ( líquidos y gases), solo se propagan ondas
longitudinales, la velocidad de propagación aumenta con la
compresibilidad y disminuye con la densidad del fluido
3.ECUACIÓNES DE ONDAS ARMÓNICAS
3.1 Ecuación de ondas unidimensionales.
Propagación de la onda
x
.
y
P
Sea una onda transversal que
se propaga con velocidad
constante
en
una
sola
dimensión, sentido positivo
del eje X. Si no hay perdida
de energía en la propagación
Todos sus puntos vibran con igual amplitud y frecuencia.
Para obtener la ecuación de la onda tendremos en cuenta
que todos los puntos repiten el movimiento y vibran
siguiendo un m.a.s. según el eje Y:
y = A . sen (ωt + Φ0) = A . sen (2π/T . t + Φ0)
Siendo A la amplitud de la onda; ω, la pulsación o
frecuencia angular del m.a.s. y Φ0, la fase inicial del
m.a.s.
Un punto P, distante del origen una distancia x,
comenzará a vibrar con cierto retraso, t’, con respecto a
la vibración del punto O. La ecuación que describe el
estado de vibración del punto P será:
y (x,t) = A . sen [2π/T . (t-t’) + Φ0]
Si expresamos t’ en función de la velocidad de
propagación, v, y de la distancia recorrida, x. Nos queda:
y (x,t) = A . sen [2π/T . (t-x/v) + Φ0]
y (x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/Tv) + Φ0]
Sabiendo que λ = v . T, llegamos a la ecuación general
del movimiento armónico de una onda transversal
unidimensional:
y (x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/λ) + Φ0]
3.1.1 Doble periodicidad de la ecuación de onda.
• Periodicidad respecto al tiempo
Supongamos una onda armónica que se propaga en el
sentido positivo del eje X y queremos determinar el
valor de la elongación y de un punto situado a una
distancia x del origen de la perturbación, en función del
tiempo.
Las ecuaciones para t y t + n.T son:
y (x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/λ)]
y (x,t) = A . sen [2π . (t + nT/T-x/λ)] =
= A.sen [2π . (t/T-x/λ) + 2πn]
Recordando que sen α = sen (α + 2πn), entonces:
y(x,t) = y(x,t + nT)
Una onda armónica es periódica en el tiempo porque el
valor de la elongación de una partícula toma el mismo valor
en los instantes t, t + T; t + 2T etc.
• Periodicidad respecto a la posición
Supongamos ahora la vibración de dos partículas, en el
mismo tiempo, t, y en las posiciones x y x + n.λ
Las ecuaciones respectivas son:
y(x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/λ)
y(x + n.λ, t) = A . sen[2π . (t /T-x + n.λ /λ)] =
= A . sen [2π . (t /T-x/λ) - 2πn]
Y como sen α = sen (α - 2πn)
y(x,t) = y(x + nλ, t)
Una onda armónica es periódica en el espacio porque en
cualquier instante coincide el valor de la elongación de las
partículas situadas en las posiciones x, x + λ, x + 2λ etc.
3.2 Distintas expresiones de la ecuación de ondas
La ecuación de una onda armónica transversal puede
escribirse de varias formas equivalentes.
Velocidad de
Forma de la ecuación de ondas
propagación
En
función
de T y λ
En
función
de f y λ
En
función
de ω y k
y(x,t)=A.sen[2π.(t/T±x/λ)+θ0]
v = λ/T
y(x,t)=A.sen[2π.(f.t±x/λ)+θ0]
v = λ.f
y(x,t)=A.sen(ωt±xk+θ0)
v = ω/k
El signo ± expresa los dos posibles sentidos de la velocidad,
negativo si se propaga en el sentido positivo del eje X y
positivo si se propaga en el sentido negativo de dicho eje.
4.
ENERGÍA
E
INTENSIDAD
DEL
MOVIMIENTO ONDULATORIO. ATENUACIÓN
E ABSORCIÓN POR EL MEDIO.
Como ya se ha dicho, cuando una onda avanza se propaga
energía sin que halla transporte de materia. Esta energía es
una energía mecánica, suma de sus energías cinética y
potencial elástica.
Vamos a calcular la energía de la partícula en el caso mas
sencillo, cuando pasa por la posición de equilibrio, donde
toda la energía es energía cinética.
Obtenemos la velocidad de la partícula por medio de dy/dt
v = dy/dt = A. ω cos(ωt±kx + θ0), en la posición de
equilibrio, la velocidad es máxima:
Vmáx = A. ω = 2π.f. A
Ec = ½ m.v2 = ½ m 4π2f2. A2 = 2 m π2f2. A2
Este valor máximo es el valor de la energía mecánica
total, pues se cumple el principio de conservación de la
energía.
Si dividimos esta energía por el tiempo, t, durante el cual
tiene lugar el proceso de transferencia, obtenemos el
valor de la potencia que la onda transmite a la partícula.
P = Em/t = 2 m π2f2. A2/t
De estas expresiones deducimos que la energía y la
potencia transmitidas por una onda son directamente
proporcionales al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado
de su amplitud.
Se define la intensidad de una onda, I, como la
cantidad de energía que se propaga por unidad de tiempo
a través de la unidad de superficie colocada de forma
perpendicular a la dirección de propagación de la onda.
I = E/S.t = P/S = 2 m π2f2. A2/t. S
P es la potencia de la onda y S la superficie
perpendicular a la dirección de propagación de la onda.
La unidad de intensidad en el S.I. es J. s-1. m-2 = W . m-2.
También la intensidad de una onda es proporcional a los
cuadrados de la frecuencia y de la amplitud.
La intensidad de una onda puede disminuir al alejarse del
foco emisor, aunque no exista absorción de energía por
parte del medio, esta disminución se conoce con el
nombre de atenuación de onda.
Este fenómeno ocurre en los frentes de ondas
esféricas.
A medida que la onda se desplaza, se va extendiendo y va
alcanzando mayor número de puntos del
medio, aumentando así la superficie de
la onda pero no la energía total, que se
r2
conserva, entonces se produce la
disminución de la intensidad de la onda.
r1
Así para dos frentes de ondas
esféricas, situadas a distancias r1 y r2
del foco, las intensidades respectivas
son:
I1 = E/4πr12 t = P/4πr12 ; I2 = E/4πr22 t = P/4πr22
Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones:
I1/I2 = r22/r12
La intensidad de un movimiento ondulatorio de frentes de
ondas esféricas es inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia a la que se encuentre el foco.
Muchos
movimientos
ondulatorios
presentan
una
disminución de la intensidad de la onda mayor que la que
prevé la atenuación. La causa de esta menor intensidad es
que las partículas gastan parte de la energía en fenómenos
de absorción por parte del medio.
En este proceso si hay una disminución de la energía y
por tanto de la amplitud de la onda.
En las ondas materiales, el efecto principal se debe al
rozamiento, la energía mecánica se transforma en calor. En
las ondas electromagnéticas no hay adsorción en el vacío
pero si cuando hay interacción con la materia.
Para deducir la ley que rige esta
absorción de energía imaginamos
la incidencia de una onda plana
sobre una lámina de grosor dx.
La intensidad de la onda que sale
después de atravesar dicha lámina es menor que la
incidente y la disminución que se ha producido en la
intensidad dI es mayor cuanto mayor es el grosor dx y
diferente según cual sea el material de la lámina, que
caracterizamos mediante un coeficiente β. Es decir,
escribimos a modo de hipótesis la siguiente expresión
para la disminución de intensidad durante la penetración
de la onda: dI = - I β·dx. Integrando esta expresión
diferencial, se obtiene la ley de absorción:
∫dI/I = - β. ∫dx
ln I – ln I0 = - β x
ln I/I0 = - β x
I = I0 e- β x
Entre los muchos ejemplos de
aplicación de esta ley mencionamos la
pérdida de intensidad que
experimentan las ondas sonoras al
atravesar paredes y ventanas de
diferentes materiales y grosores, y en
el interés práctico que tiene el estudio de este fenómeno
para poder aislar acústicamente viviendas, salas de
música, etc.
5. PRINCIPIO DE HUYGENS.
Mucho antes de conocerse la ecuación del movimiento
ondulatorio, Huygens describió, de forma geométrica,
como se propagan las ondas en el espacio.
Cada punto de un frente de ondas puede considerarse
como un foco emisor de nuevas ondas que se propagan con
la misma velocidad y frecuencia que la onda inicial. Al cabo
de un tiempo se crea un nuevo frente de ondas.
6. PROPIEDADES DE LAS ONDAS:
6.1. Reflexión.
La reflexión se produce cuando las ondas que viajan en un
medio alcanzan la superficie de separación con otro
medio, cambiando la dirección de propagación en el primer
medio.
La reflexión cumple dos
leyes:
• El rayo incidente, la
normal
y
el
rayo
reflejado están en el
mismo plano.
• El ángulo de incidencia
i es igual al ángulo de
reflexión r; i = r
6.2 Refracción
Es el cambio de dirección y velocidad que experimenta
una onda al pasar de un medio a otro
Leyes de la refracción:
– 1ª ley. La dirección de las ondas
incidente y refractada y la normal
están en el mismo plano.
- 2ª ley. La relación entre los
senos de los ángulos de incidencia
y refracción es la misma que entre
las velocidades respectivas
sen i / sen r = v1 / v2
Es la denominada ley de Snell
6.3 Difracción
Este fenómeno se produce cuando un obstáculo impide el
avance de una parte de un frente de onda. Según el
principio de Huygens, cada punto alcanzado por la onda se
comporta como un nuevo punto emisor de ondas, de esta
forma se explica que las ondas logran bordear el
obstáculo y propagarse detrás.
Para que se aprecie bien este fenómeno el tamaño del
obstáculo debe ser del orden de la longitud de onda.
6.4 Polarización
En las ondas transversales
es posible que todas las
partículas alcanzadas por
la onda vibren en la misma
dirección, entonces se
dice que la onda esta
polarizada y se llama
plano de polarización al
plano formado por la
dirección de vibración y la
dirección de propagación.
En el caso de que las partículas alcanzadas por la onda
tengan varias direcciones de vibración, es posible que al
pasar por un filtro determinado solo se propaguen las
vibraciones de determinada dirección, es decir la onda se
polariza.
6.1 Interferencias
Una característica muy importante del movimiento
ondulatorio es el fenómeno de interferencia. Ocurre
cuando dos o más ondas coinciden en el espacio y en el
tiempo.
6.4.1.
Principio
de
superposición.
Interferencia
constructiva e destructiva: descripción cualitativa
Cuando dos ondas se encuentran en un punto o una región
del espacio, el resultado es una nueva onda cuya
perturbación es la suma de las perturbaciones de las dos
ondas originales.
Principio de Superposición
"La elongación resultante de la interacción de dos ondas es
la suma algebraica de las elongaciones correspondientes a
las ondas individuales".
Resultados de aplicar el principio de superposición a dos
ondas en fase, primer dibujo, y a dos ondas desfasadas
π radianes, segundo dibujo.
El caso mas sencillo de interferencia de ondas que
podemos estudiar es cuando interfieren dos ondas
armónicas
coherentes,
es
decir,
ondas
de
características similares que están en fase, o en
diferencia de fase que se mantiene constante con el
tiempo.
Consideremos
dos
fuentes
puntuales S1 y S2 que oscilan en
fase con la misma frecuencia
angular ω , y que emiten ondas
armónicas.
Las
dos
ondas
interfieren en el punto P, distante
r1 y r2, respectivamente, de los
focos S1 y S2.
Si las dos ondas tienen la misma amplitud, A, sus
ecuaciones serán:
y1 (r1,t) = A sen (ωt – kr1)
y2 (r2,t) = A sen (ωt – kr2)
Según el principio de superposición, la onda resultante será:
y = y1 + y2 = A [sen (ωt – kr1) + sen (ωt – kr2)]
Y recordando la relación trigonométrica
sen α + sen β = 2 sen α + β/2 . cos α – β/2
Obtenemos la expresión
Y= 2 A sen[(ωt–kr1)+(ωt–kr2)/2] . cos[(ωt–kr1) - (ωt–kr2)/2]
y = 2 A cos [k ( r2 – r1)/2] . sen [ ωt – k (r1 + r2)/2]
Los factores que no dependen del tiempo, son por tanto
constantes y se pueden agrupar en nuevo factor, Ar,
denominado amplitud resultante,
Ar = 2 A cos k (r2 – r1)/2
La expresión de la interferencia de las dos ondas es ahora:
y = Ar sen [ ωt – k (r1 + r2)/2]
El punto P vibra armónicamente con la misma frecuencia
que los focos y con amplitud Ar.
Interferencias constructivas y destructivas
Al superponerse la ondas en el punto P puede producirse un
aumento en la amplitud de la onda resultante o una
disminución. Los dos casos extremos corresponden a
amplitud máxima o amplitud mínima.
La diferencia de fase que corresponde a las ondas en P es:
Δθ = θ1 – θ2 = (ωt – kr1) – (ωt – kr2) = k (r2 – r1)
Δθ = 2π (r2 – r1)/λ
Sustituyendo en la expresión de Ar
Ar = 2 A cos (Δθ/2)
De esta expresión se deduce que la amplitud resultante es:
- máxima si:
cos (Δθ/2) = ± 1
Δθ/2 = n π
Δθ = 2 π n = 2 π (r2 – r1)/λ
r2 – r1 = n λ donde n = 0, 1, 2. 3,…
Se produce una interferencia constructiva en aquellos
puntos del medio en los cuales la diferencia entre las
distancias a cada foco es un número entero de longitudes
de onda. Las ondas llegan a estos puntos en concordancia
de fase. A los puntos donde se producen interferencias
constructivas se les denominan vientres.
- Es mínima si: cos (Δθ/2) = 0
Δθ/2 = n π + π/2
Δθ = 2 n π + π = π (2n + 1) = 2 π (r2 – r1)/λ
r2 - r1 = (2n + 1) λ /2 siendo n = 0, 1, 2, 3,…
Se produce una interferencia destructiva en aquellos
puntos del medio en los cuales la diferencia entre las
distancias a los focos es un número impar de
semilongitudes de onda. La ondas llegan a estos puntos en
oposición de fase. Estos puntos se denominan nodos.
Las ondas de las figuras anteriores corresponde a estos
dos tipos de interferencias, constructiva y destructiva,
respectivamente.
6.4.2 Ondas estacionarias
Se llaman ondas estacionarias a las que resultan de la
interferencia de dos ondas armónicas de igual amplitud y
frecuencia que se propagan en la misma dirección pero en
sentido contrario.
Es el caso de una onda que
se encuentra con su onda
reflejada.
Las ecuaciones de ambas
ondas, considerando el
origen en la pared y
teniendo en cuenta que las
ondas se propagan en
sentidos opuestos, son:
y1 = A sen (ωt - k x)
y2 = A sen (ωt + k x + π) = -A sen (ωt + k x)
La ecuación de ondas resultante se obtiene sumando las
dos ecuaciones.
y = y1 + y2 = 2 A sen (-k x) . cos (ω t)
Agrupando los factores que no dependen del tiempo
y = Ar cos (ω t)
siendo Ar = 2 A sen (k x)
La amplitud resultante, Ar, con que oscila cada punto de la
onda estacionaria depende de la posición, x.
Habrá puntos donde la Ar será máxima, vientres, y puntos
donde Ar se anule, nodos.
- El valor máximo de Ar será cuando sen (k x) = ± 1
k x = π/2 + n π ; x = 1/k ( π/2 + n π )
x = (2 n +1) λ/4
para valores de n = 0, 1, 2, 3, …
La amplitud máxima se produce en aquellos puntos cuya
distancia al origen es un número impar de cuartos de
longitudes de onda.
- El valor cero de Ar será cuando sen (k x) = 0
k x = n π ; x = n π/4 =( n π/2 π ) . λ ; x = 2 n λ/4 ;
n = 0, 1, 2, 3, …
La amplitud Ar se anula en los puntos cuya distancia al
origen en un número par de cuartos de longitud de onda.
En la primera figura se muestra la interferencia de una
onda azul que viaja hacia la derecha con otra onda verde
que viaja hacia la izquierda. El resultado de la
superposición de estas ondas es la onda estacionaria
negra.
En la segunda figura se muestra la onda estacionaria
resultado de la interferencia. Observar como el punto A
del medio se mueve de arriba hacia abajo y viceversa al
transcurrir el tiempo mientras que el punto B nunca se
mueve.
La distancia entre dos vientres consecutivos será:
xn+1 – xn = [2 (n + 1) + 1] λ/4 – (2 n + 1) λ/4 = λ /2
Y la distancia entre dos nodos será:
xn+1 – xn = 2 (n + 1) λ/4 - 2 n λ/4 = λ /2
7. EL SONIDO
7.1 Propagación del sonido. Velocidad de propagación.
El sonido es el ejemplo mas
representativo
de
ondas
longitudinales, se desplaza por
cualquier medio material elástico,
sólido, líquido o gaseoso, con una
velocidad que depende de las
características del medio.
La velocidad de una onda depende de la elasticidad del
medio y de la inercia de sus partículas. Los materiales
más elásticos permiten mayores velocidades de onda,
mientras que los materiales más densos retardan el
movimiento ondulatoria.
Velocidad del sonido en los sólidos
Para las ondas sonoras longitudinales en un alambre o
varilla, la velocidad de onda está dada por:
donde Y es el módulo de Young para el sólido y ρ es su
densidad.
El módulo de Young es una constante propia de cada
material que mide su elasticidad y que se expresa en
N.m-2
Velocidad del sonido en los líquidos
Las ondas longitudinales transmitidas en un fluido tienen
una velocidad que se determina a partir de:
Donde B es el módulo de volumen para el fluido y ρ es su
densidad.
Velocidad del sonido en los gases
Las ondas sonoras e propagan en los gases de forma
adiabática, es decir, sin que exista cambio de calor con
el contorno, para un gas ideal la velocidad de
propagación viene dada por:
Donde γ = 1,4 es el coeficiente adiabático del gas.
Para el aire queda: vaire = 20,1 √T
Las ondas sonaras pueden clasificarse en:
Ondas audibles. Son las que están
dentro del intervalo de frecuencia que
generan una sensación sonora en el oído
humano. Está comprendidas entre 16
Hz y 20.000 Hz.
Ondas no audibles. Son las que no son
percibidas por el oído humano. Si su
frecuencia es inferior a 20 Hz se
llaman infrasónicas, si su frecuencia es superior a
20.000 Hz se llaman ultrasónicas.
7.1 Cualidades del sonido
La onda sonora al propagarse sufre cambios de presión
que son percibidos por el oído humano y que los
caracteriza y distingue unos de otros por una serie de
cualidades: intensidad, tono y timbre.
• Intensidad. Esta cualidad es lo que llamamos comúnmente
volumen sonoro, es decir, un sonido fuerte o un sonido
débil.
Se define como la energía que se transporta a través de
una unidad de superficie en la unidad de tiempo. Se mide en
W . m-2. El intervalo que puede percibir el oído humano,
depende de la frecuencia, y va desde 1,0 .10-12 W . m-2
hasta 1 W . m-2 que produce sensación de dolor.
La intensidad se asocia a la
amplitud de la onda sonora. La
figura muestra dos ondas sonoras;
una fuerte y otra débil.
• Tono: Es la cualidad de los sonidos que permite distinguir
entre sonidos graves (o bajos) y agudos (o altos)
Los sonidos graves son los de frecuencia baja y los
sonidos agudos son los de gran frecuencia.
•Timbre. Es la cualidad qe nos permite distinguir dos
sonidos de la misma intensidad y la misma frecuencia
procedentes de dos fuentes sonoras distintas. Por
ejemplo nos permite distinguir el sonido de una
trompeta y un violín aunque emitan la misma nota con la
misma intensidad.
En general, los sonidos no son puros, de una sola
frecuencia, los sonidos suelen tener una onda principal
que va acompañada de otras ondas de menor amplitud
llamadas armónicos cuya frecuencia es múltiplo de la
onda principal.
la suma de esas ondas da lugar a una onda que tiene una
forma determinada. El timbre está relacionado con la
forma de la onda.
A continuación puedes ver dos representaciones de
ondas de la misma frecuencia principal pero que se
diferencian por su forma, es decir se diferencian en los
armónicos y por ello si los escucháramos podríamos
distinguir los dos sonidos, pues tienen distinto timbre.
7.3 Percepción del sonido
La sonoridad o percepción fisiológica que percibe el oído,
varía con la frecuencia y no es proporcional a su
intensidad.
Así un sonido con una frecuencia de 100 Hz no se oye si
su intensidad es inferior a 10-8 W . m-2 y si es audible un
sonido con mayor frecuencia y menor intensidad de onda.
Por tanto como la intensidad sonora en el limite de
audición es distinta para cada frecuencia, se define una
nueva magnitud llamada sensación sonora, S, que
relaciona la intensidad de cada sonido con la intensidad
limite de referencia para la cual la sensación sonora del
sonido de la misma frecuencia es cero, S0 = 0
S = log I/I0
La unidad de sensación sonora es el belio, B. Un sonido
tiene la sensación sonora de 1 B cuando su intensidad es
diez veces superior a la intensidad limite.
Es habitual tomar como intensidad limite de referencia,
I0, la que corresponde a 1000 Hz, I0 = 1 . 10-12 W . m-2.
Se suele usar como unidad de medida de la sensación
sonora un submúltiplo del belio, el decibelio, es la décima
parte del belio.
8. RESONANCIA: CONCEPTO Y DESCRIPCIÓN
CUALITATIVA MEDIANTE EJEMPLOS.
Es el fenómeno que se produce cuando los cuerpos vibran
con la misma frecuencia, uno de los cuales se puso a vibrar
al recibir las frecuencias del otro.
Supongamos un tubo con agua y muy cerca de él colocamos
un diapasón, si golpeamos el diapasón con un metal,
mientras echamos agua en el tubo, cuando el agua alcance
determinada altura el sonido será mas fuerte; esto se debe
a que la columna de agua contenida en el tubo se pone a
vibrar con la misma frecuencia que la que tiene el diapasón,
lo que evidencia por qué las frecuencias se refuerzan y en
consecuencia aumenta la intensidad del sonido.
Muchos instrumentos musicales se diseñan con cavidades
resonantes para producir una variedad de sonidos.
http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?ti
tle=Cajas_de_resonancia:_Instrumentos_musicales
http://www.youtube.com/watch?v=sxAqNMLH9Qc
http://web.educastur.princast.es/proyectos/jimena/pj_f
ranciscga/cualison.htm
La resonancia eléctrica en los receptores de radio
permite al oyente percibir con claridad las señales
débiles. Cuando se sintoniza la frecuencia de la estación
elegida, la señal se amplifica por resonancia eléctrica.
En auditorios mal diseñados o enormes salas de concierto,
la música y las voces pueden tener un sonido profundo que
resulta desagradable al oído.
Se sabe que los puentes se destruyen debido a
vibraciones resonantes de gran amplitud producidas por
ráfagas de viento.