Download Principio de superposición

Sr/rta. Alumno/a:
El material de esta presentación es SOLO una
guía para el estudio de la Unidad 3:
ONDAS MECANICAS.
Para presentarse a rendir el Examen Final de la
Asignatura Ud. DEBERÁ estudiar de la
bibliografía indicada al comienzo de la Unidad 3
(página 16 de la cartilla de Trabajos Prácticos)
Cátedra de Física Experimental I- Física II - 2012
MOVIMIENTO ONDULATORIO
El movimiento ondulatorio es un fenómeno muy
común: las olas en la superficie del agua, el
movimiento transversal a lo largo de una cuerda
tensa, la vibración de un resorte, el sonido.
Los físicos han extendido el concepto de onda a
un número mayor de fenómenos que no se
asemejan a los mencionados. Corresponden a
situaciones físicas descritas por un campo
dependiente del tiempo que se propaga en el
espacio y en el tiempo
Existen varios tipos de ondas. Nosotros
estudiaremos las ONDAS MECÁNICAS.
Se trata de situaciones físicas producidas en un
punto del espacio, que se propagan a través de
éste y se perciben más tarde en otro punto.
P
r
Q
r (t)
Sea un cuerpo en equilibrio, sin
deformación. Se golpea fuertemente
sobre la superficie, produciendo una
deformación instantánea en la región
del impacto (punto P). Se comprueba
experimentalmente que la
deformación no permanece localizada
en las vecindades de P, sino que se
propaga por todo el cuerpo.
Se comprueba que la deformación en
un punto Q distante comienza un
intervalo finito de tiempo después del
instante del golpe inicial. Indicando
esto que: la deformación se propaga
con una velocidad finita.
P
r
Q
r (t)
Este fenómeno representa la propagación de una onda, una onda
elástica. No hay transporte de materia: los puntos del cuerpo se
desplazan sólo muy poco de su posición de equilibrio inicial. “Lo
que llega” de P a Q no es materia, sino una señal. La propagación de
una onda no involucra transporte de materia, ella representa un
transporte de energía. El trabajo que realizan las fuerzas externas
durante la percusión inicial, se reparte en forma de energía elástica
por el cuerpo a medida que la onda avanza por el, ya que cuando
alcanza el punto Q debe realizar un trabajo en su entorno para
producir la deformación. Se puede realizar un trabaja “a distancia”.
Ondas elásticas: a) un
resorte; b) un gas; c) una
cuerda tensionada
Los diferentes tipos de ondas ilustrados en la figura son
básicamente ondas que resultan de una perturbación en algún
punto del medio cuando podemos ignorar su estructura
molecular y suponerlo continuo. Suposición valida siempre
que la variación espacial de la onda (determinada por su
longitud de onda, λ) sea grande comparada con la separación
intermolecular
Consideremos una función ξ = f (x), representada gráficamente
por la curva continua de la figura.
Si sustituimos x por (x-x0), obtenemos la función:
ξ = f ( x - x0)
La forma de la curva no cambia, se tiene el mismo valor de ξ para
valores de x aumentados en la cantidad x0.
De forma parecida, tenemos que ξ = f ( x + x0) corresponde a un
desplazamiento de la curva hacia la izquierda una longitud x0.
ξ
ξ = f (x + x0)
x0
0
ξ = f (x)
x0
ξ = f (x - x0)
x
Si x0 = v t, donde t es el tiempo, obtenemos una curva viajera;
esto es ξ = f (x – v t), representa una curva que se mueve hacia la
derecha con velocidad v, conocida como velocidad de fase.
De igual manera ξ = f (x + v t), representa una curva que se
desplaza hacia la izquierda con velocidad v.
Por lo tanto:
ξ
(x , t) = f ( x ± v t )
Describe una situación física que “viaja” o se “propaga” sin sufrir
deformación a lo largo del eje x positivo o negativo.
ξ (x , t), representa una diversidad de situaciones físicas, como la
deformación de un sólido, la presión de un gas, el desplazamiento
transversal en una cuerda.
ONDAS ARMONICAS
Caso interesante es cuando la función de onda, y (x , t) es una
función armónica. Por ejemplo una función seno que avanza en la
dirección de + x,
y (x , t) = A sen k (x – v t +)
La magnitud k, tiene un significado especial. Si se reemplaza x por
x + 2/k, se puede probar que:
y (x + 2/k , t) = y (x , t)
Entonces la magnitud λ= 2/k , se conoce como longitud de onda,
es el “periodo espacial ” de la curva que se repite cada longitud de
onda λ.
La magnitud k = 2/ λ , representa el número de longitudes de onda
que hay en la distancia 2 y se conoce como número de onda.
Por lo tanto la función de onda y ( x, t), armónica que se propaga
hacia la derecha a lo largo del eje x, puede escribirse también como:
y (x , t) = A sen k (x – v t +)
y (x , t) = A sen 2/ λ (x – v t +)
y (x , t) = A sen (k x – ω t +2)
donde ω, es la frecuencia angular de la onda, igual a ω = 2 f, donde
f es la frecuencia con que la situación física varia en cada punto x.
ω = k v = 2  v/ λ = 2 f
v=λf
Relación entre la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de
propagación.
Si ( = 0)
y
A
Si T es el periodo de oscilación en cada punto, dado por
T = 2 /ω = 1/f, la función de onda puede tomar la forma:
y (x , t) = A sen 2 (x/ λ – t /T+)
Onda armónica que se
propaga hacia la derecha.
Recorre una distancia λ en
un tiempo T.
A medida que la situación
física se propaga hacia la
derecha, esta se repite
después de un tiempo igual a
un periodo T.
y
T/4
T/2
3T/4
T
Combinando λ f = v y T=1/f,
se obtiene: λ = v/f.
Lo que muestra que:
La longitud de onda, λ, es la distancia que recorre el movimiento
ondulatorio en un periodo, T.
En el movimiento ondulatorio armónico tenemos
dos periodicidades: una en el tiempo, dada por el
periodo T, y la otra en el espacio, dada por la
longitud de onda, λ.
λ=vT
ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL
MOVIMIENTO ONDULATORIO
Considerando la función de onda que avanza en la dirección de + x,
y (x , t) = A sen (k x –  t)
( = 0)
la velocidad de la partícula en x, se obtiene derivando y (x , t)
respecto a t y manteniendo x constante,
vy (x , t) = - A cos (k x –  t)
y la aceleración de la misma en función del tiempo es:
ay (x , t) = - 2A sen (k x –  t) = - 2 y (x , t)
Las derivadas de y (x , t) respecto a x, manteniendo t constante
d 2 y ( x, t )
2
2


k
Asen
(
kx


t
)


k
y ( x, t )
2
dx
d 2 y( x, t ) / dt 2  2
2


v
d 2 y( x, t ) / dx 2 k 2
d 2 y ( x, t )
1 d 2 y ( x, t ) , ecuación de onda
 2
2
dx
v
dt 2
v

k
VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN
Ondas longitudinales a lo largo de una varilla
Cuando se produce una perturbación en un extremo de una varilla sólida,
la perturbación se propaga con una velocidad v, a lo largo de la varilla y
finalmente llega al otro extremo. La velocidad v depende de las
propiedades físicas de la varilla.
Si la varilla tiene sección
S
transversal S y esta sujeta a un
esfuerzo a la largo del eje,
S
indicado por la fuerza F. En cada
sección transversal existen 2
fuerzas iguales y opuestas: una
es la fuerza de tracción ejercida
sobre la parte izquierda debida
S
a la parte derecha y la otra sobre la
parte derecha ejercida por la
izquierda.
Bajo la acción de estas fuerzas, cada sección de la varilla sufre un
desplazamiento paralelo al eje. En el caso en que haya una deformación,
el desplazamiento varia a lo largo de la varilla, para lo cual la fuerza F
también debe tener una variación similar.
Supongamos que la varilla esta sujeta por el extremo izquierdo y que
estiramos el otro, de manera que la varilla tenga un alargamiento.
La separación entre S y S’ en el estado deformado es dx + dy. Por
consiguiente la deformación longitudinal será:
ε = dy/dx
S
S’
dy
S
S’
S
S’
dy
S
S’
Por la ley de Hooke, σ = E ε , y por definición de esfuerzo, σ = F/S
entonces F, toma la forma: F= E S dy/dx (donde E es el Modulo de
Young del material de la varilla).
Cuando la varilla no esta en equilibrio, la fuerza sobre cada sección no
es la misma a lo largo de la varilla. Como resultado de ello, la sección de
la varilla de grosor dx está sometida a una fuerza neta o resultante. Así el
lado S’ de la sección esta sometida a la fuerza F’ que apunta hacia la
derecha y el lado S esta sometido a la fuerza F que apunta a la izquierda.
S
S’
dy
S
S’
La fuerza neta hacia la derecha sobre la sección será F’- F, que produce
un movimiento acelerado de la sección de la varilla.
Aplicando las leyes de Newton de la dinámica a la sección se obtiene que
el desplazamiento satisface la ecuación diferencial de la onda si la
velocidad de propagación tiene la forma:
d 2 y ( x, t )
1 d 2 y ( x, t )
 2
2
dx
v
dt 2
E
vl 

ρ es la densidad del
material de la varilla
F’– F = dF
si ρ = dm/dV, entonces dm = ρ dV= ρ S dx
2
La aceleración de dm es: d y ( x, t )
dt 2


y si aplicamos la 2da ley de Newton de la dinámica, FR  ma
d 2 y ( x, t )
d 2 y ( x, t )
Entonces, dF  dm
 Sdx
2
dt
dt 2
Reordenando,
dF
d 2 y ( x, t )
 S
dx
dt 2
Vimos que F = ES dy/dx. Si deriva ambos miembros respecto a x, se
obtiene:
2
dF
d y ( x, t )
 ES
dx
dx 2
Como los primeros miembros son iguales los segundos deben serlo.
Por lo cual tenemos:
d 2 y ( x, t )
d 2 y ( x, t )
ES
 S
2
dx
dt 2
Simplificando S y reordenando se obtiene:
d 2 y ( x, t )  d 2 y ( x, t )

2
dx
E
dt 2
d 2 y ( x, t )
1 d 2 y ( x, t )
 2
2
dx
v
dt 2
VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN
 una onda longitudinal en la varilla
 una onda transversal en la varilla
(esfuerzo corte)
 una onda transversal en una cuerda
(no posee elasticidad natural),
si F es la fuerza aplicada y  la densidad
lineal (la masa por unidad de longitud)
 en un fluido, una onda longitudinal tiene
E
vl 

vt 
G

F
vt 

vl 
B

Equilibrio
Onda transversal en
cuerda bajo tensión
Onda longitudinal en un fluido
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Cuando varias ondas se combinan en un punto, el desplazamiento de una
partícula cualquiera del medio, en determinado momento, es simplemente la
suma de los desplazamientos que podrían producir las ondas que actúan de
manera individual. Supongamos, por ejemplo, que dos ondas se desplazan
simultáneamente a través de una misma cuerda estirada. Sean y1 (x,t) y y2
(x,t), los desplazamientos que experimentaría si cada onda operara por su
cuenta . Entonces el desplazamiento de la cuerda cuando actuan ambas ondas
será:
y (x,t) = y1 (x,t) + y2 (x,t)
En las ondas mecánicas de medios elásticos se cumple el principio de
superposición, siempre que la fuerza restauradora varíe en forma lineal con
el desplazamiento.
Dos pulsos de onda que viajan en
sentidos opuestos.
Los pulsos tan solo se mueven uno
a través de otro, desplazándose
como si no existiera el otro.
IMPORTANTE:
El Principio de superposición parece demasiado obvio, pero hay
casos en que no se cumple. Por ejemplo, si una de las ondas
tiene una amplitud tan grande que excede el limite elástico del
medio. La fuerza de restauración deja de ser directamente
proporcional al desplazamiento de una partícula del medio.
Entonces, sin importar la amplitud de la segunda onda, su efecto
en un punto no es una función lineal de su amplitud.
INTERFERENCIA DE ONDAS
Cuando dos o mas ondas se combinan en un punto determinado,
se dice que interfieren, y a este fenómeno se le conoce como
interferencia.
Dos trenes de ondas:
rizos circulares debidos
a dos perturbaciones
interfieren en
determinados puntos
Interferencia
Constructiva
(se refuerzan)
Interferencia
Destructiva
(se cancelan)
Como ejemplo, consideremos 2 trenes de ondas cuyas
ecuaciones son:
y1 = A sen (kx - t +1) ; y2 = A sen (kx - t +2), entonces
y = y1 + y 2
Usando la trigonometría, convertimos la suma de estas 2
funciones en productos de senos y cosenos
1   2
1   2 

y  y1  y2  2 A cos
sen kx  t 

2
2 

El producto 2 A cos (1 - 2 /2) = B es la amplitud de la suma.
1   2 

y  y1  y2  B sen  kx  t 

2


BATIDO O PULSACIÓN
Consideremos el caso de 2 ondas sonoras armónicas de
frecuencias poco diferentes: 1 , 2. Sea 1 > 2.
y1 = A sen (k1x - 1 t +1)
y2 = A sen (k2x - 2t +2)
Como el oído no percibe diferencias de fase podemos
omitir 1 y 2 en la escritura. Por otro lado, nos conviene
escribir las ecuaciones pasadas, de la forma siguiente:
 x
 x
y1  A sen 2f1  t  , y2  A sen 2f 2  t  
 v
 v
Podemos simplificar aún más si anclamos el referencial ( x = 0) en
el tímpano, y analizamos la oscilación resultante:
f1  f 2
f1  f 2
y  y1  y2  2 A cos 2
t sen 2
t
2
2
Interpretamos este resultado como una onda senoidal de frecuencia
(f1 + f2)/2, cuya amplitud es variable con el tiempo y está modulada
por una función coseno de frecuencia (f1 - f2)/2.
La intensidad del sonido es proporcional al cuadrado de la amplitud
A, por lo cual y al tratarse de la combinación de 2 ondas sonoras, el
oído percibe una frecuencia dada por (f1 + f2)/2, con una intensidad
variable con una frecuencia f1 - f2, que se llama pulsación sonora o
batido. El oído percibe pulsaciones si f1 - f2 < 10 Hz
f1 = 401 Hz, f2 = 400 Hz
Representa una onda viajera cuya amplitud varía en el tiempo
f1 = 400,5 Hz, f2 = 400 Hz
f1 = 440 Hz, f2 = 400Hz
f1 = 410 Hz, f2 = 400Hz
¿Qué se propaga en el movimiento ondulatorio?
Se propaga o transfiere energía y momentum
ENERGIA DE LA ONDA
Supongamos tener una onda armónica simple longitudinal que se propaga a lo
largo del eje x por un medio sólido
y (x , t) = A sen (k x –  t) (1)
Una porción del medio en la que se propaga esta onda posee energía cinética
y energía potencial elástica debida a la deformación que experimenta el medio
perturbado por la onda. La energía cinética de la porción del medio, de
volumen , es Ec = ½ m vy2 , donde m es la masa del elemento de volumen
considerado, y vy la velocidad con que se están desplazando sus partículas.
Como vy = dy/dt , por (1) tenemos que, vy = dy/dt = -A cos (kx - t), lo
que permite escribir la energía cinética como:
Ec = ½   A22 cos2 (kx - t)
(2)
La energía potencial de un sólido elástico, sometido a esfuerzos de
compresión y tracción por lo que experimenta deformaciones relativas L/L,
puede escribirse en función del módulo de elasticidad E.
La energía potencial elástica de una porción de longitud L y sección S es
Ep = ½ (ES/L) L2. Multiplicando y dividiendo por L queda,
Ep = ½ (ESL)( L/L)2 , pero SL es el volumen  , de modo que podemos
escribir la energía potencial como
Ep = ½ E  ( L/L)2
Pero L/L puede escribirse, en el caso de la deformación producida por la
onda, como dy/dx, de modo que derivando (1) con respecto a x, y
reemplazando, podemos escribir finalmente la Ep como sigue:
Ep = ½ (E A2 2 /v2 ) cos2 (kx - t) (3)
donde v es la velocidad de propagación de la onda
Ec = ½   A22 cos2 (kx - t)
Ep = ½ (E A2 2 /v2 ) cos2 (kx - t)
(2)
(3)
Observando las expresiones (2) y (3) obtenidas, comprobamos que la
energía cinética y la energía potencial varían en fase, alcanzando
simultáneamente sus valores máximos y mínimos.
Esta es una diferencia fundamental con lo que ocurre para el caso de
una partícula aislada que oscila con MAS, para la cual la energía mecánica
se mantiene constante, alternándose los valores máximos y mínimos de la
Ec y de la Ep. En el caso de un medio continuo, como vemos, la energía de
una porción del medio no se mantiene constante y se traslada a otra parte
vecina, explicándose así el transporte de energía que caracteriza a los
fenómenos ondulatorios.
La energía mecánica de la porción del medio considerada resulta ser,
EM = Ec + Ep
EM = ½   A22 cos2 (kx - t) + ½ (E  /v2 ) A22 cos2 (kx - t)
Pero como la velocidad de propagación v es igual a
E

, la energía mecánica
del elemento de volumen  es proporcional a , A2 y 2 , e igual a :
EM =   A22 cos2 (kx - t) = f (, A2, 2)
(4)
La rapidez con que se transmite la energía mecánica por el
medio es la POTENCIA: P = dEM/dt.
Si se considera una cuerda tensionada, la potencia transmitida a
traves de un elemento de la misma en la posicion x es:
P = A2 k  F cos2 (kx - t)
La potencia no es constante, varia con la posicion en la cuerda y
tambien con el tiempo.
Por otro lado, la potencia sumistrada a la cuerda se considera a
menudo como la media en un periodo del movimiento.
1
Pmedia 
T
t T
 Pdt
t
Donde T es el periodo. Usando el hecho de que el valor
promedio del sen 2 θ, o de cos 2 θ, en un ciclo es ½, obtenemos
en el caso de la cuerda,
Pmedia 
1 2
F
A kF  2 2 A2 f 2
2
v
Es un resultado que no depende ni de la posición x, ni de t.
F
La velocidad v en una cuerda es
media es:

, entonces la potencia
Pmedia  2 A f v
2
2
2
El hecho de que la potencia depende del cuadrado de la amplitud
de la onda y del cuadrado de su frecuencia es generalmente
valido, y se cumple en todos los tipos de ondas.
La onda transporta potencia en la dirección de su propagación.
INTENSIDAD DE LA ONDA
Intensidad de la onda
I = 2  2 f2 A 2  v
a)
b)
es la energía que fluye
por unidad de tiempo a
través de un área
perpendicular a la
dirección de
propagación.
a) Onda plana. Los planos
representan frentes de
onda separados por una
longitud de onda, las
flechas representan los
rayos.
b) Onda esférica. Los
frentes de ondas
separados por una
longitud de onda son
superficies esféricas.
El movimiento de los frentes de
ondas se pueden representar
mediante rayos perpendiculares a los
f. de onda
Variación de I con la distancia a la fuente
Si un foco puntual emite ondas uniformemente en
todas direcciones, la energía a una distancia r del
mismo estará distribuida uniformemente sobre una
corteza esférica de radio r y superficie 4r2. Si la
potencia media emitida por el foco es P, la potencia
por unidad de área a una distancia r del foco será
P/ (4r2), que es la intensidad I de la onda.
Potenciamedia
I
S
Pmedia
I
2
4r
Frentes de onda
circulares que
divergen a partir
de un foco
puntual en una
cubeta de ondas
Reflexión de ondas
Fenómeno de la reflexión: Tiene lugar cuando una onda que se
propaga en un medio incide en la superficie de separación con
otro medio diferente.
 Reflexión de ondas mecánicas que se propagan en cuerdas,
membranas, columnas de aire,...
 Reflexión de una onda transversal que se propaga en una
cuerda tensa
Reflexión depende de las condiciones de borde o de contorno,
y de las características físicas y mecánicas del medio.
Anclaje fijo
Anclaje móvil
extremo fijo
extremo libre
Extremo fijo: onda
reflejada que viaja en la
dirección opuesta a la
onda incidente. Inversión
de fase de π.
Extremo libre: onda
reflejada con
desplazamiento en la
misma dirección de la
onda incidente. No hay
inversión de fase.
ONDAS ESTACIONARIAS
Cuando las ondas están confinadas en el espacio (cuerda de
piano, ondas sonoras en un tubo de órgano, o luminosas en un
laser) se producen reflexiones en ambos extremos, por lo cual
existen ondas que se mueven en ambos sentidos.
Cuerda fija en su extremo izquierdo y el extremo derecho se
coloca un dispositivo que genere un M.A.S.
Según el Principio de Superposición, el movimiento resultante
de la combinación de ambas ondas que viajan en sentidos
opuestos es una onda estacionaria.
Onda viajera: - amplitud constante
- configuración de la onda se mueve con una
rapidez igual al de la onda
Onda estacionaria: - amplitud varia
- configuración de la onda permanece en
la misma posición en la cuerda
Si aumenta la frecuencia f de la oscilación, disminuye
la longitud de onda, λ
Nodos: Desplazamiento resultante cero.
Interferencia Destructiva
Antinodos o vientres: Máximo desplazamiento.
Interferencia Constructiva
Consideremos el eje x coincidente con la posición de
equilibrio de la cuerda, los desplazamientos se miden en el
eje y. Las ondas incidente y reflejada son de la forma
siguiente:
y1 (x , t) = A sen (k x +  t)
y2 (x , t) = A sen (k x -  t)
y1 onda que viaja hacia la izquierda, o. incidente
y2 onda que viaja hacia la derecha, o. reflejada
Sumando ambas expresiones y aplicando las relaciones
trigonométricas necesarias, obtenemos:
y (x , t) = 2A sen k x cos  t
ONDA ESTACIONARIA en una cuerda con extremo fijo
La amplitud de la onda estacionaria es 2 veces la amplitud
A de cualquiera de las ondas viajeras. Otra forma de
escribirla es:
y (x , t) = 2A sen (2/) x cos (2/T) t
Esta expresión tiene 2 factores: una función de x y una
función de t. El factor 2A sen k x indica que en cada
instante la forma de la cuerda es una curva senoidal y
permanece en la misma posición, oscilando verticalmente
según el factor cos  t.
Cada punto de la cuerda oscila con un M.A.S., pero todos
los puntos que están entre cualquier par sucesivo de nodos
oscilan en fase, a diferencia en una onda viajera en que
hay una diferencia de fase entre las oscilaciones de puntos
adyacentes.
Para determinar las posiciones de los nodos, son los
puntos en que sen k x = 0, de modo que el
desplazamiento es siempre cero. Esto se da para:
kx = 0, , 2 , 3 , etc, entonces:
x = 0, /k, 2/k, 3/k, etc, o
x = 0, /2, 2/2, 3/2, etc.
Hay un nodo en x =0, como debía ser ya que es un
punto fijo.
Dos nodos adyacentes están separados /2, así que la
longitud L de la cuerda debe ser:
L = /2; 2 /2; 3 /2; 4 /2; ó
Ln
n
2
2L
n 
n
n = 1, 2, 3,…
n = 1, 2, 3,…
Existen ondas con distribución estable de nodos y vientres
Si λ ≠ λn también pueden existir ondas, pero no con distribución
estable de nodos y vientres.
Por lo tanto, la frecuencia del enésimo armónico es:
v
fn  n
 nf1
2L
n = 1, 2, 3,...
Relación entre frecuencias de
resonancia con la velocidad de onda
en la cuerda y la longitud de la misma
v
fn  n
 nf1
2L
n = 1, 2, 3,...
Por consiguiente a ciertas
frecuencias se obtienen patrones
de ondas estacionarias. Las
frecuencias que producen estos
patrones se denominan
frecuencias de resonancia del
sistema de la cuerda. Cada una
de estas frecuencias y la función
de onda que la acompaña se
llama modo de vibración.
La f. más baja se llama
frecuencia fundamental f1
(modo fundamental o 1er
armónico), la 2da. más baja f2,
tiene una frecuencia que es el
doble de f1, y se denomina 2do
armónico.
 El conjunto de todas las frecuencias resonantes de la
cuerda se denomina espectro de frecuencias de
resonancia.
 No todas las frecuencias reciben la denominación de
armónicos sino únicamente aquellas del espectro de
frecuencias resonantes que son un múltiplo entero de la
frecuencia fundamental (Si λ ≠ λn también pueden
existir ondas, pero no con distribución estable de nodos
y vientres)
Un oscilador armónico simple con fuerza impulsora
armónica, posee sólo una frecuencia natural, mientras que
una cuerda vibrante posee una serie armónica.
Las frecuencias de
resonancia también
se denominan
frecuencias naturales
de la cuerda.
Cuando la frecuencia
del dispositivo que
genera el M.A.S., no
coincide con ninguna
frecuencia de las
frecuencias naturales
de la cuerda vibrante,
no se producen ondas
estacionarias
El viento produjo ondas estacionarias en el
puente de Tacoma Narrows. Nov 1940.
Una onda estacionaria a diferencia de
una onda viajera, no transfiere energía
de un extremo a otro. No hay flujo de
energía de un punto a uno vecino.
EFECTO DOPPLER
Cuando la fuente de una onda y el observador están en
movimiento relativo con respecto al medio en que se
propaga la onda, la frecuencia de las ondas observadas
es diferente de la frecuencia de la fuente. Este
fenómeno se denomina efecto Doppler, en honor a
Christian Doppler (1803-1853), quien fue el primero en
observarlo en ondas sonoras.
Ej.: cambio de tono de la bocina de un auto cuando éste
se acerca o se aleja de nosotros.
Efecto Doppler debido a una fuente en movimiento. La foto ilustra el efecto en una
superficie líquida.
Los frentes de onda se encuentran más próximos delante de la fuente o
foco y más separados detrás de él. En (b), los frentes de onda sucesivos
emitidos por un foco puntual que se mueve hacia la derecha con una
velocidad uf. Los f. de onda numerados fue emitido cuando el foco estaba en la posición a la que corresponde el mismo número.
Si todos los movimientos se consideran relativos al medio, se puede
probar que la frecuencia f´ que percibe el observador, si se encuentra
en reposo (fuente en movimiento, con velocidad uf) está dada por :
v
f 
f
v uf
´
En el caso en que el observador se encuentra en movimiento, con
velocidad vo, pero la fuente está en reposo, se puede probar que la
frecuencia f´ que percibe el observador está dada por :
v  vo
f 
f
v
´
relativo al medio.
En el caso general en el que
observador y la fuente están
ambos en movimiento la
frecuencia f´ que percibe el
observador es:
v  vo
f 
f
v uf
´
Signos:
La elección correcta del signo se determina recordando que
la frecuencia tiende a aumentar cuando el foco se mueve
hacia el observador o cuando éste se mueve hacia el foco.
Ej.: Si el observador se mueve hacia el foco en el numerador se
selecciona el signo positivo, lo cual tiende a incrementar la frecuencia
recibida. Si el foco se aleja del observador se aplica al denominador el
signo positivo, lo cual induce que la frecuencia recibida sea menor.