Download 0702 VARIACIONES

Variaciones
Trabajo a realizar de este tema:
En Excel 2003 hoja 1, prepara un(os) cuadro(s) sinópticos o mapas
conceptuales o mapas mentales que sinteticen los capítulos: 0701 Análisis
combinatorio, 0702 Variaciones, 0703 Permutaciones y 0704 Combinaciones
que se entregará dos días después de terminar el tema 0704 Combinaciones.
El nombre del archivo deberá ser:
071234 ANALISIS APELLIDO NOMBRE
A mano, realizarás los problemas # y # de este tema, el cual se entregará de
acuerdo al protocolo indicado al principio de este periodo.
Se calificará de la siguiente manera:
+ Ortografía (2 puntos)
Protocolo de envío:
+ Asunto: mal anotado el 100% del trabajo
+ Nombre (1 punto)
+ Comentario (2 punto)
+ Nombre del archivo (1 punto)
+ Versión diferente a 2003 (7 puntos)
En el trabajo solución, tanto en Excel como el trabajo escrito:
Comentario o conclusión del trabajo
(2 punto)
Ortografía: (1 punto)
Nombre
Universidad
Carrera
Materia
Tema
Fecha
(La ausencia total o de alguna parte
restará 1 punto)
A continuación, y sin dejar hoja en blanco, el desarrollo del trabajo (1 punto
menos de no cumplirlo). Se calificará la realización de las síntesis.
VARIACIONES
0702 VARIACIONES.doc
1
Variaciones
¿Que son las Variaciones?
Factorial
Variaciones sin repetición
Variaciones con repetición
¿Que son las variaciones?
Dado una conjunto de m objetos a1, a2, . . . , am − 1, am distintos y un número entero
positivo n ≤ m, llamaremos variación de orden n a cualquier subconjunto, a1, a2, .
. . , an de n objetos del conjunto dado.
Notar que dos variaciones serán diferentes cuando difieran en algún o algunos
elementos o bien cuando teniendo los mismos elementos difieran en el orden de
colocación de los mismos.
Ejemplo:
Encontrar el número de formas en que se pueden ordenar las letras a, b, c en
arreglos de dos letras
Hay seis diferentes formas de ordenar tres letras en arreglos de dos letras y son
las siguientes:
a b
a c
b a
b c
c b
c a
La operación arriba realizada se denota V3,2 y se lee "tres variaciones de dos"
VARIACIONES
0702 VARIACIONES.doc
2
Factorial
[
=FACT(número)]
Para entender las fórmulas de las variaciones, es necesario manejar el concepto
de factorial
El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los
números naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n!, y se lee "n factorial".
Ejemplo:
5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120
3! = 3 • 2 • 1 = 6
7! = 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720
0! = 1( Por definición )
Variaciones sin repetición
El número de variaciones sin repetición de n elementos arreglados en grupos de r
elementos está dado por la siguiente fórmula:
Vn,r =
n!
( n − r )!
Donde:
Vn,r es el número de variaciones sin repetición de n objetos en arreglos de r
elementos
n es el número total elementos para seleccionar
r es el número de elementos del arreglo
VARIACIONES
0702 VARIACIONES.doc
3
Ejemplo:
Con las letras de la palabra CINEMA
a. ¿Cuántas palabras distintas, de tres letras , tengan sentido o no, se pueden
formar sin repetir las letras?.
b. ¿Cuántas terminan en A?.
c. ¿Cuántas empiezan con C y terminan en I?.
d. ¿Cuántas empiezan con vocal?.
e. ¿Cuántas tienen vocal y consonante alternadas?.
Solución:
a. ¿Cuántas palabras distintas, de tres letras , tengan sentido o no, se pueden
formar sin repetir las letras?.
n Seis letras se ordenan en grupos de r tres letras
6!
V6,3 =
6!
=
( 6 − 3 )!
= 120
3!
b. ¿Cuántas terminan en A?.
La letra A ya tiene asignado lugar, solo resta arreglar n 5 letras en r 2
lugares
5!
V5,2 =
5!
=
( 5 − 2 )!
= 20
3!
c. ¿Cuántas empiezan con C y terminan en I?.
Dos letras ya tienen asignado lugar, solo resta arreglar n 4 letras en r un
lugar
4!
V4,1 =
=
( 4 − 1 )!
VARIACIONES
4!
=4
3!
0702 VARIACIONES.doc
4
d. ¿Cuántas empiezan con vocal?.
La primer letra se selecciona de tres posibilidades n (I, E, A), las otras r 2
de las n cinco posibilidades restantes. Por el principio multiplicativo, se
obtiene el producto
3!
5!
V3,1 • V5,2 =
•
( 3 − 1 )!
3!
=
( 5 − 2 )!
5!
•
2!
= 3 • 20 = 60
3!
e. ¿Cuántas tienen vocal y consonante alternadas?.
Hay dos formas en las que puede quedar este arreglo, vocal − consonante
− vocal o consonante − vocal − consonante, por lo cual se utiliza el
principio aditivo.
3!
V3,1 • V3,2 + V3,2 • V3,1 = 2 • V3,2
• V3,1 = 2 •
3!
•
(3−2)!
3!
=2•
(3−1)!
3!
•
1!
=2•6•3=
36
2!
Variaciones con repetición
El número de variaciones con repetición de n elementos arreglados en grupos de r
elementos está dado por la siguiente fórmula:
VRn,r = nr
Donde:
VRn,r es el número de variaciones con repetición de n objetos en arreglos de r
elementos
n es el número total elementos para seleccionar
r es el número de elementos del arreglo
VARIACIONES
0702 VARIACIONES.doc
5
Como demostración resolvamos la siguiente pregunta, ¿cuantos números
diferentes de dos cifras se pueden escribir con los los dígitos 1, 2 y 3?
11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33
El resultado es nueve números diferentes, como las cifras de los números se
pueden repetir podemos calcular el número de variaciones con la fórmula:
VR3,2 = 32 = 9
Ejemplo:
Con las letras de la palabra CINEMA, calcular cuántas palabras de tres letras,
tengan sentido o no, pueden formarse en los siguientes casos:
a. Comienzan por A.
b. No contienen la letra A.
c. Contienen la letra A.
Solución:
a. Cuantas palabras comienzan por A.
La letra A ya tiene asignado lugar, solo resta arreglar las n 6 letras en r 2
lugares.
VR6,2 = 62 = 36
b. Cuantas no contienen la letra A.
En este caso, basta con calcular el número de palabras de r tres letras que
pueden formarse con n C, I, N, E y M.
VR5,3 = 53 = 125
c. Veamos cuántas palabras contienen la letra A.
Se resta del número total de palabras de tres letras menos el número de
palabras que no contienen la letra A calculado anteriormente.
VR6,3 − VR5,3 = 63 − 53 = 216 − 125 = 91
VARIACIONES
0702 VARIACIONES.doc
6
Problemas
1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.
2.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos:
1, 2, 3, 4, 5 ?
m=5
n=3
m≥n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean
diferentes.
3.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los
dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?
m=6
n=3
m≥n
Tenemos que separar el número en dos bloques:
El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos
porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de
la lotería y otros casos particulares),
m=5
VARIACIONES
n=1
0702 VARIACIONES.doc
7
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.
m=6
n=2
4. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El
cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit1. ¿Cuántos
cuadros de honor se pueden formar?
(1. m. En certámenes científicos, literarios o artísticos, recompensa inferior inmediata al
premio.)
m = 10
n=3
No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.
Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.
No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta
una sola obra.
5. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4,
5?
m=5
n=3
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
Sí se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean
diferentes.
6. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3,
4, 5 ?
VARIACIONES
0702 VARIACIONES.doc
8
m=6
n=3
Tenemos que separar el número en dos bloques:
El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos
porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de
la lotería y otros casos particulares),
m=5
n=1
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.
m=6
n=2
7. ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el
acierto de los 15 resultados?
m=3
n = 15
m<n
Sí entran todos los elementos. En este caso el número de orden es
mayor que el número de elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
VARIACIONES
0702 VARIACIONES.doc
9