Download LOS NUMEROS RACIONALES: • Definición de número racional

LOS NUMEROS RACIONALES:
• Definición de número racional.
• Representación de racionales en la recta.
• Racionales equivalentes.
• Amplificar y simplificar un racional.
• Números mixtos.
• Orden en los racionales.
Los Números Racionales:
Son los elementos del conjunto Q ; números de la
a
forma
con a , b ∈ Z y b ≠0.
b
Q={
a
/a , b ∈ Z ∧ b ≠ 0}
b
a
está indeterminado o indefinido; luego
0
el cero puede estar como numerador, pero nunca como
Se tiene que
denominador.
Ejemplos:
Los números: 3 ; -5 ; 8 ; - 2 ; 0 ; 2 ; -7 ; ...... etc.
7
-9
4
3
3
son racionales.
Se define:
Q+ = { a ∈ Q / a ⋅ b > 0 } Racionales positivos.
b
a
Q ={
∈ Q / a ⋅ b < 0 } Racionales negativos.
b
Ejemplos:
a)
2 ∈ Q+
3
-3
b)
∈ Q+
-5
c) -7 ∈ Q
4
d)
3
∈ Q
-8
Se tiene además que Z ⊆ Q ; ya que todo a ∈ Z se puede
escribir como número racional, incluso de varias formas
equivalentes.
Ejemplos:
2
a) 2 =
1
=
-3
b) -3 =
1
-9
-15
-6
-12
=
=
=
= ..........
=
2
3
4
5
4
6
=
3
2
=
8
= 10 = ..........
4
5
Más aún, se cumple que IN ⊆ INo ⊆ Z ⊆ Q.
Racionales equivalentes:
a c
Si ,
∈ Q ; se define :
b d
c
a
E

 ⇔
d
b
(a ⋅ d
= b ⋅c)
Ejemplos:
c
a
E

 ⇔
d
b
6
3
E
a) 

4
8


ya que:
 −4
−8 
E
b) 

12 
 6
ya que:
24
-4 · 12 = 6 · -8
-48
ya que:
= b ⋅c)
3·8 = 4·6
24
c)  −5 E −15  ya que:
24 
 8
d)  4 E 6 
7
5
(a ⋅ d
-48
-5 ·24 = 8 ·-15
-120
-120
4·7 ≠ 5·6
28
30
Si amplificamos un racional a sucesivamente por los
b
números naturales obtenemos el conjunto de todos los
racionales equivalentes a a llamado clase de
b
equivalencia; luego todo número racional representa
una clase de equivalencia.
Ejemplo:
1
1 2 3 4

,
,
,
,......
= 

2
2 4 6 8

conjunto de todos los racionales equivalentes a 1
2
1
clase de equivalencia de
.
2
o
Ejercicio:
Escriba el conjunto de todos los racionales equivalentes
o clase de equivalencia de
a)
2
 2 4 6 8 10 12

=  , , , , , ,...............
3
 3 6 9 12 15 18

b) −5 =
3
c)
 −5 −10 −15 −20 −25

,
,
,
,....
 ,
6
9 12 15
 3

2
=  2 , 4 , 6 , 8 ,10 , 12 ,..........
7
 7 14 21 28 35 42

d) -5 =  −5 , −10 , −15 , −20 , −25 ,....
2
3
4
5
 1

Notar que:
i) La unión de todas las clases de equivalencia da por
resultado el conjunto Q de los números racionales.
ii) Equivalencia es sinónimo de igualdad;
por ejemplo 3 E 6 ; donde 3 = 0,75 y 6 = 0,75 ;
4
8
4
8
entonces se deduce que 3 = 6 .
4
8
3
4
6
8
Amplificar un racional:
Consiste en multiplicar el numerador y denominador
del racional por un mismo número entero, distinto de
cero; donde el valor del racional no cambia.
Ejemplo:
El racional 4 amplificado por 3 es: 4 = 4 ·3 = 12
5
5
5 ·3
15
Ejercicios:
1) Amplificar el racional dado por el número que se
indica en cada caso:
a)
4 por 3 ; luego 4
4 ·3
12
=
=
7
7
7 ·3
21
b) -3 por 5 ; luego -3 = -3 ·5 = -15
10
10 10 ·5
50
c)
7 por -2 ; luego 7
7 ·-2 = -14
=
9
9 ·-2
9
-18
d) -8 por 4 ; luego -8 = -8 ·4 = -32
15
15 15 ·4
60
e)
3 por 7 ; luego 3
3 ·7
21
=
=
11
11 11 ·7
77
f)
-5 por -6 ; luego -5
-5 ·-6
30
=
=
8
8 ·-6
8
-48
2) Escribir los siguientes racionales con denominador 24:
a) 3 =
4
3 ·6 = 18
4 ·6
24
(Amplificando por 6)
b) 5 =
6
5 ·4
20
=
6 ·4
24
(Amplificando por 4)
c) 3 =
8
3 ·3
9
=
8 ·3
24
(Amplificando por 3)
d) 7 = 7 ·2 = 14
12
12 ·2
24
(Amplificando por 2)
Simplificar un racional:
Consiste en dividir el numerador y denominador del
racional por un mismo número entero, distinto de cero;
donde el valor del racional no cambia.
Ejemplo:
El racional 15 simplificado por 3 es: 15 = 15 : 3 = 5
21 21 : 3 7
21
Nota:
Si un racional no se puede simplificar más se dice que
es irreductible.
Ejercicios:
1) Simplificar el racional dado por el número que se
indica en cada caso:
3
15 = 15 : 5
a) 15 por 5 ; luego :
= 5
25 25 : 5
25
b)
c)
33 por 11 ; luego :
77
-60 por 5 ; luego :
125
33 33 : 11
3
=
=
77 77 : 11 7
-60 = -60 : 5 -12
125 125 : 5 = 25
d)
72 por 9 ; luego :
63
e)
-75 por 15 ; luego :
120
72 = 72 : 9
=
63
63 : 9
-75 = -75 : 15 =
120 120 : 15
8
7
f)
200 por 100; luego :
300
200 = 200 : 100 = 2
300 300 : 100 3
-5
8
2) Expresar en forma irreductible los siguientes racionales:
a)
2
14 : 7
14
= 2 :2 =1
=
=
42
6
42 : 7
3
6:2
(simplificando por 7 y 2)
b)
-48 = -48 : 6 = -8 = -8 : 2 = -4
60
5
60 : 6
10 10 : 2
(simplificando por 6 y 2)
c)
72 = 72 : 12 = 6 = 6 : 2
= 3
120
120 : 12 10
5
10 : 2
(simplificando por 12 y 2)
d)
125
125 : 25 = 5
=
6
150
150 : 25
(simplificando por 25)
Números Mixtos:
Todo racional a donde a > b ; es decir cuyo numerador
b
sea mayor que el denominador, puede ser transformado
en número mixto.
Ejemplo:
19
4
19 : 4 = 4
3
19
3
luego
= 4
4
4
Ejercicios:
Convertir a número mixto los siguientes números
racionales:
a) 15 = 2 3 = 2 1
6
6
2
15 : 6 = 2
3
26
2
= 8
3
3
26 : 3 = 8
2
c) 11 = 3 2
3
3
11 : 3 = 3
2
b)
1 -17 : 2 = 8
17
d) −
= −8
1
2
2
e) −
f)
18
3
= −3
5
5
47
= 65
7
7
-18 : 5 = 3
3
47 : 7 = 6
5
En el sentido contrario, todo número mixto puede ser
transformado a racional.
Ejemplo:
2
45 + 2 47
5⋅9+2
5 =
=
=
9
9
9
9
Ejercicios:
1) Convertir a racional:
a) 7 1 = 22
3
3
7 ⋅ 3 +1
3
1
b) −4 = − 9
2
2
4 ⋅ 2 +1
−
2
1
31
=
c) 3
10
10
3
35
d) −8 = −
4
4
4
34
= −
5
5
e) 12 3 = 51
4
4
e) −6
3 ⋅ 10 + 1
10
−
8⋅4+3
4
6⋅5 + 4
−
5
12 ⋅ 4 + 3
4
2) Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
a)
1 9
4 =
2 2
33
3
= −3
b) −
10
10
V
V
1
9
=−
2
2
F
1 28
9 =
3
3
V
c) −3
d)
3
20
=−
e) −1
17
17
f)
1 23
7 =
3
3
1
7
−3 = −
2
2
V
F
1 22
7 =
3
3
Representación y lectura de racionales:
Ejemplos:
a)
b)
“Un entero: 1 ”
“Un medio:
c)
1
”
2
“Tres cuartos:
3
”
4
En toda fracción a , el denominador “b” indica las
b
partes iguales en que se ha dividido el entero y el
numerador “a” el número de partes iguales que se
toman.
Ejemplo:
Al identificar el racional:
3
5
Ejercicio:
1) Indique el racional representado en cada caso:
5
8
1
4
7
12
7
4
o bien: 1
3 7
4= 4
2) Completar el siguiente cuadro:
Región
Fracción
Nombre
3
8
Tres Octavos
3
8
5
8
Cinco Octavos
5
8
Siete doceavos
7
12
11
6
7
12
11
6
Once sextos
Num.
Denom.
Representación gráfica de racionales:
Todo
número
racional
se
puede
representar
gráficamente por un punto sobre la recta numérica,
aplicando el siguiente procedimiento:
i) Si el racional es menor que la unidad; es decir el
numerador es menor que el denominador, se divide la
unidad en tantas partes iguales como lo indica el
denominador del racional y se cuentan desde cero,
tantas de esas partes como lo indica el numerador
del racional.
Ejemplo:
La ubicación de 3 es
4
0
3
4
1
Ejercicios:
1) Ubique en la recta los siguientes racionales:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2
5
5
9
0
7
8
0
2
−
3
5
−
8
7
−
12
0
-1
1
2
5
1
5
9
7
8
- 23
1
0
-1
- 58
0
-1
7
- 12
0
2) Identificar los racionales marcados:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
0
1
0
1
3
4
5
8
1
7
9
0
-1
-1
-1
0
0
0
−
5
6
−
5
8
−
5
11
ii) Si el racional es mayor que la unidad; es decir el
numerador es mayor que el denominador, se saca
parte entera para ver entre que enteros se encuentra
el racional, luego la parte fraccionaria, la que se ubica
del mismo modo del caso anterior indica el punto que
representa al racional inicial.
Ejemplo:
La ubicación de 5 = 1 2 es:
3
3
1
5
2
= 13
3
2
Ejercicios:
1) Ubique en la recta los siguientes racionales:
(a)
(b)
9
1
=2
4
4
25
1
=3
8
8
53
8
=5
9
9
20
2
(d) −
= −6
3
3
45
3
(e) −
= −6
7
7
(c)
35
8
(f) −
= −3
9
9
2
3
3
9
4
25
8
4
5
53
9
- 20
3
-7
-6
- 45
7
-7
-4 - 35
9
6
-6
-3
2) Identificar los racionales marcados:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
3
5
6
3
4
-2
-1
-5
-4
-7
-6
3
2 =
5
1
5 =
4
13
5
21
4
7
3 =
8
7
−1 =
9
5
−4 =
6
2
−6 =
5
31
8
16
−
9
29
−
6
32
−
5
Notar que no todo punto de la recta numérica
representa a un número racional.
Ejemplo:
A 2 le corresponde un
punto sobre la recta
numérica; sin embargo
2∉Q
1
2
2
Orden en Q:
Si a , c ∈ Q ; para comparar estos racionales se debe
b d
apoyarse en los productos cruzados a ⋅ d y b ⋅ c ; de
acuerdo con las siguientes definiciones.
a
b
a
<
ii) (a ⋅ d
b ⋅ c) ⇔ (
b
a
iii) (a ⋅ d ≥ b ⋅ c) ⇔ (
b
a
iv) (a ⋅ d ≤ b ⋅ c) ⇔ (
b
i) (a ⋅ d > b ⋅ c) ⇔ (
>
<
≥
≤
c
)
d
c
)
d
c
)
d
c
)
d
Recuerde que para a con c si a ⋅ d = b ⋅ c ; luego estos
b
d
racionales son equivalentes o iguales ; es decir a = c .
b
d
Ejercicio:
Al comparar los siguientes racionales; se tiene que:
4
(a) 5 >
;
5⋅7 > 6⋅4
6
7
35
24
(b)
(c)
(d)
8
9
<
4
5
;
−7
−5
>
8
4
;
−9
−3
<
7
8
;
8⋅4
<
5⋅9
-7 ⋅ 4
>
8 ⋅ -5
32
-28
-9 ⋅ 8 <
-72
45
-40
7 ⋅ -3
-21
11
(e)
≥
9
8
7
;
−5
−8
≤
5
6
;
6
9
≥
10
15
;
−3
−6
(h)
≤
8
4
;
(f)
(g)
11 ⋅ 7 >
77
9⋅8
72
-8 ⋅ 6 <
5 ⋅ -5
6 ⋅ 15 =
10 ⋅ 9
-48
90
-3 ⋅ 8
-24
-25
90
=
4 ⋅ -6
-24
Otra forma de comparar racionales consiste en apoyarnos
en su expresión decimal calculada preferentemente
con igual número de cifras decimales:
Ejemplo:
Al ordenar en forma creciente los racionales:
3 3 : 4 = 0,75
=
4
5
6 = 5 : 6 = 0,83
4
⇒ 0,71 < 0,75 < 0,80 < 0,83 < 0,87
= 4 : 5 = 0,80
5
5
3 < 4 < 5 < 7
5
<
0,71
=
7
4
6
8
5
7 5:7=
7
= 7 : 8 = 0,87
8
Ejercicios Complementarios:
1) Dados los racionales a, b, c, d:
0
a
b
1
c
d
2
¿Cuál de ellos es equivalente con el racional
A) a
B) b
C) c
D) d
E) Ninguno.
18
?
15
2
a=
5
2
18
; 2·15 ≠ 5·18
E
15
5
90
30
4
b=
5
4
18
; 4·15 ≠ 5·18
E
90
5
60
15
6
c=
5
6
18
E
; 6·15 = 5·18
5
15
90
90
8
d=
5
18
8
; 8·15 ≠ 5·18
E
90
15
120
5
+
2) Si a ∈ Q−; b ∈ Q y c ∈ Q ; de las siguientes
proposiciones es (son) verdadera(s):
l) -a ∈ Q+ (V)
A) Sólo l
B) Sólo ll
C) Sólo lll
D) Sólo l y ll
E) Todas
ll) -b ∈ Q− (V)
lll) -c ∈ Q− (F)
l) Si a es negativo; su opuesto -a es positivo.
ll) Si b es positivo; su opuesto -b es negativo.
lll) Si c es un racional cualquiera; su opuesto
-c no tiene por que ser siempre negativo.
3) ¿Cuántos 18 avos hay en 2/3 ?
A) 6
B) 12
0
2
3
1
0
12
18
1
C) 18
D) 24
⇒ 2 = 12
18
3
E) 36
Luego hay 12 dieciocho avos en dos tercios.
3
5
4) Si < x < ; luego “x” puede ser:
7
8
A) 2/3 = 0,66
B) 2/5 = 0,40
C) 3/5 = 0,60
D) 3/4 = 0,75
E) 5/6 = 0,83
3
= 3 : 7 = 0,42..
7
5
= 5 : 8 = 0,62..
8
⇒ 0,42 < x < 0,62
7
2
3
−
5) Si a = − ; b = − ; c =
; luego
3
11
5
A) a > b > c
B) a > c > b
3
a = − = -3 : 5 = -0,60
5
C) b > a > c
2
b = − = -2 : 3 = -0,66
3
D) b > c > a
7
c =−
= -7 : 11 = -0,63
11
E) c > a > b
-0,60 > -0,63 > -0,66
a
>
c
>
b
6) Si de un estanque lleno que contiene 120 litros se
sacan 72 litros. ¿Qué parte del estanque queda aún
llena?
A) 2/3
de 120 litros se sacan 72 litros:
B) 2/5
⇒ quedan 120 - 72 = 48 litros.
C) 3/4
⇒ quedan 48 de 120 litros
D) 3/5
⇒ la parte que queda llena es:
E) 5/6
48 = 48:12 = 4:2 = 2
120 120:12 10:2 5
7) El racional a es un número entero si:
b
(1) “a” es múltiplo de “b” Si “a” contiene a “b” un número
entero de veces.
Ej: 15 = 3
5
(2) “b” es divisor de “a” Si “b” está contenido en “a” un
número entero de veces.
Ej: 35 = 5
A) (1) por sí sola
7
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por si sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
8) El racional
a ⋅b
c
es positivo si y sólo si:
; depende de “c”.
(1) “a” y “b” poseen distinto signo. No
c
+
−
=+ ;
=+
(2) El signo de “c” es igual al de “a·b”. Si
+
−
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por si sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-05
1)
Nº IN
(a) 1 ∈
(b) –5 ∉
(c) 0 ∉
(d) 2/5 ∉
(e) 9/3 ∈
(f) -5/8 ∉
(g) –6/3 ∉
(h) 64 ∈
(i) 3 −8 ∉
INo Z
∈ ∈
∉ ∈
∈ ∈
∉ ∉
∈ ∈
∉ ∉
∉ ∈
∈ ∈
∉ ∈
Q
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
2) a = 2 ; b =-1 ; c = -3 ;
3 7
1
= ; e=
4 4
2
1 9
1
5
f = 2 = ; g = −1 = −
4 4
4
4
3
11
−
2
=
−
h=
4
4
d =1
3) A
6) D
9) A
12) C
4) A
7) D
10) C
13) B
5) E
8) E
11) C
14) C
15) D