Download Guía de contenidos y ejercitación matemática

LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
Liceos Bicentenario
Matemática
Números: Conjunto de los Racionales (Q)
Material complementario para Primeros Años Medios
- Conjunto Q, (Breve reseña)
- Operatoria en Q. (+, - , ∙ , : )
- Introducción a las potencias de base entera y exponente natural
- Ejercitación
Versión: Estudiante
1
Conjunto de los Racionales (
)
Los humanos necesitaron repartir objetos entre sí. Para poder realizar la operación de repartir se necesitó lo que conocemos como
división. Primeramente quizás en forma rudimentaria se dividieron los objetos en forma arbitraria. Pero luego las reparticiones debieron ser
más exactas, para lo cual se tuvo que inventar un sistema que nos permitiera la seguridad que la repartición sería correcta.
La problemática ahí se inicia, pues si dividimos un número Natural por otro natural, no necesariamente el resultado será un número
natural. Por ejemplo:
8
2
Notas del estudiante
=4
(el resultado sigue siendo un natural)
mientras que:
7
5
= 1,4 (el resultado ya no pertenece a los naturales, tampoco al conjunto de los enteros)
Esta problemática llevó a la necesidad de ampliar el ámbito numérico. A este conjunto que
Tiene incluido a los conjuntos ya estudiados en años anteriores (N, N0 y Z), se le conoce como
Racionales o también llamados Q.
Definiremos al conjunto de los Racionales o también llamado Q como:
a
  /a  b 
b

con b  0

2
Esto quiere decir que el conjunto está constituido por los números del tipo: fraccionario y su correspondiente notación decimal. Tanto
el numerador como el denominador son enteros y el denominador debe ser distinto de cero.
Veamos este conjunto en un diagrama:
Notas del estudiante
Resumiendo:
N
Z (Los naturales son subconjunto del conjunto Z),
también sabemos que:
N0
Z (Los cardinales son subconjunto del conjunto Z).
Y si vemos el diagrama conjuntista que aparece anteriormente, podemos ver que existe
un nuevo conjunto el que contiene a los conjuntos: N, N0, Z , al que llamamos conjunto Q.
Lo podemos escribir también de la siguiente forma:
Q = Q- U Q+
3
Donde:
2 8
Simbología
5
Q+ corresponde a los racionales positivos: ejemplos: 7 , 9 , 2 3 etc.
Q- corresponde a los racionales negativos: ejemplos:
−1
9
5
 : si y sólo si
6
, − 3 , −4 7 etc.
También podrás encontrar este
símbolo escrito de la forma:
Observación 1:
0
𝑎
= 0 𝑎 ≠0
“Podemos dividir siempre que el denominador sea distinto de cero”
Observación 2:
0
0
ssi
Notas del estudiante
se considera una indeterminación.
Observación 3:
“Cualquier entero puede escribirse como un racional. Bastará dividir por 1”
Veamos algunos ejemplos: −5 =
−5
1
;
0=
0
1
;
6=
6
1
Observación 4:
“ En el conjunto Q, nos encontramos con el concepto de Inverso multiplicativo o
también llamado recíproco”
Veamos algunos ejemplos: −5
=
1
−5
=
−1
5
;
6=
1
6
Un caso especial es el del número CERO, el cual no tiene inverso multiplicativo.
La razón es que la división por cero produce una indeterminación.
4
Notas del estudiante
Para Investigar: con la ayuda de tu profesor verifica que la división por cero no es válida.
Te sugerimos que inicies la división de un número por ejemplo:
i) 12: 1 = 12
v) 12:
1
100
=
1
ii) 12: =
2
vi) 12:
1
1.000
=
1
“Si te fijas cada vez que disminuyes el
divisor y tiende a Cero, el cuociente
tiende a aumentar. Entonces ¿qué
secedería si el divisor fuese cero, podría
haber un número conocido que
representará a este cuociente?”
iii) 12: 4=
1
iv) 12: =
8
1
vii) 12: 1.000.000 =
, si quieres puedes seguir verificando…
Actividad: Indique si es verdadero V o falso F en cada caso:
i)
ii)
“Todo racional es también un entero” ___
“Todo entero es también un racional” ___
5
Operatoria en Q
Notas del estudiante
En años anteriores ya trabajaste con la operatoria con fracciones y decimales, por lo que
en este cuadernillo sólo recordaremos algo de la operatoria en Q.
: Debemos si recordar que la prioridad de las operaciones es vital en ejercicios
combinados o que tengan paréntesis anidados.
Las operaciones de Simplificación y amplificación nos permiten encontrar fracciones
equivalentes, lo que generalmente facilitan los cálculos. Más adelante cuando estemos
estudiando expresiones algebraicas fraccionarias, será muy importante dominar tanto la
amplificación como la simplificación.
Amplificación
x x·n

;y  0
y y·n
3 3·5 15


Ejemplos: 4
4·5 20
18 18 : 9 2 1



36 36 : 9 4 2
Simplificación
x x :n

;y  0
y y :n
Sólo se puede realizar cuando el Numerador y el
denominador son múltiplos de n.
6
Notas del estudiante
Ejercicios propuestos:
Amplifique Escribe la solución en el recuadro:
1
2
3
3
6
1) 4 = { 8 ; 12 ; …}
9
2) 5 ={ 10 ; 15 ; …}
3)
4)
−2
7
0
={
−4 −6
;
14 21
0
; …}
0
={ 18 ; 27 ; …}
9
Observación: El conjunto de las fracciones que resulta al amplificar está constituido por
fracciones Equivalentes.
Observación 5:
- Siempre es conveniente simplificar si es posible antes de realizar las operaciones.
- Los resultados deben ser simplificados al máximo y cuando ya no podemos seguir
Simplificando, entonces se dice que hemos llegado a la Irreductible.
7
Notas del estudiante
Ejercicios propuestos:
Simplifique hasta llegar a la irreductible en cada caso. Escriba el resultado en el recuadro
correspondiente:
240
1) 450 =
48
2) 372 =
38
3) 13 =
68𝑎
4) 120𝑎 =
(Observación: a = 0)
Observaciones: - Es importante que recuerdes las reglas de divisibilidad para calcular en
forma rápida y correcta.
- Si tanto en el numerador como en el denominador tienes números distintos,
la fracción ya es irreductible.
8
Densidad en Q
Característica importante del conjunto de los racionales es ser DENSO.
Te recuerdo que los conjuntos N, N0 y Z son conjuntos discretos, es decir para pasar de un número a otro, debes “saltar”, pues no
existen números entre medio. Por ejemplo entre el 1 y el 2 no existen números si estamos en el conjunto de los naturales.
En cambio en el conjunto Q, podemos encontrar infinitos racionales entre dos racionales, a esta característica se le dice densidad en Q.
Notas del estudiante
Veamos la siguiente recta numérica:
Q
Observación 6:
- Como el conjunto de los racionales es denso, ya no funcionaran las definiciones vistas
para los enteros: sucesor, antecesor, par, impar y todo lo que se refiere a estos conceptos.
9
Orden en los racionales
Notas del estudiante
Los racionales son un conjunto ordenado, es decir:
i) Dos racionales son iguales si:
Ejemplo:
a
c

 ad  b c
b
d
2 24

son iguales ya que
6 72
2 · 72 = 6 · 24 => 144 = 144 (se cumple la propiedad)
ii) Para verificar si un racional es mayor que otro, podremos usar tres criterios de comparación:
Criterio 1:
“Si dos racionales tienen igual denominador entonces el mayor de ellos es aquel que
tiene mayor numerador.”
Ejemplo: Comparemos
3
5
4 y 12
Amplificaremos convenientemente, para que tengan igual denominador,
Quedando:
3 33
9


. Entonces, ahora podemos comparar:
4 4  3 12
3
5

.
4 12
10
Notas del estudiante
Criterio 2: “Si dos racionales tienen igual numerador, entonces
el mayor es aquel que tiene menor denominador.
Ejemplo: Comparemos
el mayor de ellos es
Criterio 3:
1 1
y , ambos racionales tienen igual numerador por tanto
3 6
1
, ya que tiene el menor denominador.
3
a c
  ad  b c
b d
2 4
Ejemplo: Comparemos
y
, si multiplicamos cruzado tenemos:
7 5
28 > 10, por lo tanto
4 2

5 7
11
Redondeo y truncamiento
Con los decimales infinitos no se puede operar, por lo que es muy necesario recordar formas de aproximar un número para poder usarlo
fácilmente:
Notas del estudiante
Primera forma de aproximación:
Redondeo
“Es la aproximación en la cual, la cifra a la que se quiere aproximar se mantendrá si la
cifra que está inmediatamente a la derecha es inferior a 5 y aumenta en 1 si la cifra de
la derecha es mayor o igual a 5”
.
Ejemplo:
El decimal 48,4567389 entonces si lo redondeamos a la cifra de las centésimas
haremos lo siguiente:
i)
Nos posicionamos en la cifra de la centésima que es el número 5
ii)
Miramos a la derecha, a la cifra que está al lado del 5, en este caso es el número 6
iii)
Como el 6 es mayor que 5 entonces se aumenta en 1 la centésima quedando
de la siguiente forma:
iv)
Si el número fuese el
48,46
48,4537389; mira que sucede con la cifra que está a la derecha del 5 (es el 3 posicionado en las
milésimas)
Es el número 3 y éste es menor que 5, por lo tanto queda la aproximación de la siguiente forma:
48,45
12
Potencias
Notas del estudiante
Propiedades de las potencias:
i)
a1 = a
ii)
1n = 1
iii)
an · bn = (ab)n
iv)
an · am = an+m
v)
a-n =
vi)
an : bn = (a:b)n
1
an
; si a ≠ 0
vii) an : am = an-m
viii) (an)m = an·m
ix)
a0 = 1, si a  0
x)
0n = 0, si n >0
13
Ejercicios IV
1.
Amplifica los siguientes racionales por el número entre paréntesis.
2
3
Ejemplo
2.
(5) =
2  5 10

3  5 15
1)
4
5
(6) =
2)
1
7
3)
5
6
(8) =
4)
5
11
5)
11
12
(3) =
6)
7
8
7)
2
9
(10) =
8)
13
15
(4) =
9)
17
(5)=
19
10)
16
23
(3) =
11)
14
17
12)
9
10
(9) =
(7) =
(7) =
(9) =
(6) =
Notas del estudiante
Simplifica al máximo las siguientes fracciones, hasta llegar a la fracción
14
irreductible.
1)
3
12
=
2)
15
20
=
3)
4)
54
72
=
5)
48
72
=
6)
7)
64
96
=
8)
40
140
=
9)
192
320
=
10)
125
100
11)
77
132
=
12)
115
75
=
=
3
51
=
15
60
=
Notas del estudiante
3.
Forma las duplas de las fracciones que son equivalentes.
a)
3
5
b)
d)
28
21
e)
4
14
15
25
c)
f)
2
7
4
3
15
4.
Escribe en el recuadro el número que falta para que las fracciones
sean equivalentes.
1)
2)
5.
7

Resp.
6
18


21
126
Resp.
Representa en una recta numérica los siguientes racionales.
1)
6.
2
1



6 12
15
2 7 4 8
, , ,
5 3 7 3
Ordena los siguientes racionales de manera creciente y decreciente.
Notas del estudiante
Crec.
1)
1 1 1 1
, , ,
2 5 4 6
Dec.
16
Crec.
2)
7.
5 3 2 5 7
, , , ,
8 4 3 6 9
Dec.
Resuelve las siguientes operaciones combinadas y simplifica al máximo el resultado.
1)
1 1

2 4
2)
2 1

3 2
3)
1 3 5
 
2 4 6
=
4)
8 13 2


10 15 30
5)
2 2 7
 
3 5 4
=
6)
12 3 4
 
6 5 7
=
7)
4 3 2 1
 

7 8  3 3 
8)

2 3 5
 
3 7 8
=
9)
2 5

3 7
=
10)
2
11)
5 4

7 8
=
=
=
12)
3 1
:
5 2
3
8
=
=
Notas del estudiante
=
=
17
13)
3
1
2:
7
5
=
14)
2 4 4
7 : 5  7


15)
12 24

51 36
=
16)
3 4

=
4 5
17)
3 4 1
2  3: 3


18)
1 1
3 :3 =
   
19)
 5   5 
 4  : 4  =

 

20)
 2  2 
  
 3  
21)
5 3 4
 
3 7 5
22)
3 2 3 2 1
 :  
2 3 4 5 2
23)
5  3 1  10  1 3 





2  4 2  6  2 5 
24)
5 2 4 4 1 1 3
:    

3 3 5 6 3  2 5 
=
3
2
=
3
=
=
2
2
=
=
Notas del estudiante
=
18
25)
1 1

   1
3 2

=
3
1
2
26)
2 1
2  
5 3
2 1 =
3   
3 5
27)
2 1
2   =
3 6
28)
1 1
3   =
2 3
29)
3
1
1
2 =
3
2
30)
1
31)
2
1
1
3
2
1 1 =

4 2
1
1
2 =
2
3
1
1
3
3
1
1
2
3
2
32)
=
Notas del estudiante
33)
35 7  4 52


4  2 3 1 7 1
6 2 7 3 2 1 =


54 62 33
2
34)
2
2 1

1

 3  6  1   3  2  =




19
1
35)
3 1
6  2


37)
 5 2  7
 4  5 :2


2  5 4  =

:
9  6 3 

1
3 1 1
 : =
2 4 2
36)
3 1
1 1
 4  3 2  6  3




38)
1 2 15
 
3 5 3
=
1 2

2 3
1
=
Notas del estudiante
1
1
1
3
41)
2
1
39)
=
1
11
2
3 2
2 5 =
   
40)
2
2
2
42)  
5
2
3
1
2
=
2
4
3
 5   5  
   :   
 2    2  
=
20
8.
Resuelve los siguientes problemas
1)
¿Qué cantidad queda después de gastar los
2)
Se han vendido los
3
5
3
7
de $ 490?
de una pieza de género de 200 metros, más tarde se vendió
1
4
de lo que quedaba. ¿Cuántos metros de
género quedan?
1
3)
Si se tienen 5 piezas de género y cada pieza tiene 202 metros de largo. ¿Cuántos metros de género hay en total?
4)
Un obrero debe abrir una zanja de 65 metros de largo. Si ya ha hecho los
2
,
13
y luego hace el doble que lo que ya hizo.
¿Cuántos metros le restan para terminar el trabajo?
2
5
5)
Una deuda más
de la misma deuda, corresponde a $ 14.000. ¿A cuánto haciende la deuda?
6)
Una modista emplea 3
1
4
metros para hacer un vestido. ¿Cuántos de estos vestidos podrá hacer con 52 metros?
21
7)
Una persona en un juego, pierde los
3
5
del dinero que tenía. Luego pierde
3
4
de lo que le restaba, quedándose aún con $ 900.
¿Cuánto dinero tenía al comienza
8)
Un terreno se vende dividido en 16 partes iguales. Si solamente se presentaron 3 interesados: el primero interesado adquirió
1
4
9)
del terreno total, el segundo
Si un pantalón se encoje
1
13
1
2
y el otro
1
.
8
¿Cuántas partes quedan aún?
de su longitud después de cada lavado. ¿Cuánto medirá un pantalón de 130 cm después del
primer lavado?
10)
Una comuna de una ciudad vende
1
3
de un terreno a una empresa constructora y los
3
4
del resto a otra empresa, quedando aún
5 hectáreas sin vender. ¿Qué superficie tiene el terreno inicialmente?
11)
¿Cuántos litros de bebida hay en una caja que tiene 24 botellas de bebidas de tres cuartos litros cada una?
22
12)
Los
2
5
de los
6
de
7
las naranjas recolectadas en una parcela se destinan a elaborar jugo de naranjas. ¿Qué fracción de las
naranjas recolectadas no se destinan a hacer jugo de naranjas?
13)
Con el agua de un estanque, se llenan 630 botellas de
5
2
de litro cada una. ¿Cuántas botellas de
3
4
de litro se llenan con el
agua del estanque?
14)
Pedro bebe diariamente un litro de leche. Si la leche se compra en botellas de un cuarto de litro. ¿Cuántas botellas debe
comprar para 14 días?
15)
Camila ha utilizado
7
8
del dinero que tiene en pagarse las clases de guitarra, y un medio de lo que restaba en un regalo para
su hermana. Si le quedan $ 5.000. Entonces, ¿cuánto dinero tenía al inicio?
23
24