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ÍNDICE
Primer trimestre
TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES ..................................................
8
1. Fracciones equivalentes. Número racional ............................................................................................
2. Reducción de fracciones a común denominador. Comparación ............................................................
3. Operaciones con fracciones .....................................................................................................................
4. La recta racional .....................................................................................................................................
5. Cómo pasar de fracción a decimal y de decimal a fracción ..................................................................
6. Unos nuevos decimales: los irracionales ...............................................................................................
7. La recta real: intervalos .........................................................................................................................
8. Aproximaciones: errores .........................................................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
10
11
12
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14
15
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18
20
25
TEMA 2. POTENCIAS Y RAÍCES ....................................................
26
1. Ponencias de exponente entero ..............................................................................................................
2. Operaciones con potencias ......................................................................................................................
3. Potencias de 10. Notación científica y de ingeniero ..............................................................................
4. La raíz cuadrada .....................................................................................................................................
5. Otras raíces .............................................................................................................................................
6. Operaciones .............................................................................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
28
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33
34
36
41
TEMA 3. LOS POLINOMIOS ........................................................
42
1. Monomios y polinomios...........................................................................................................................
2. Suma y resta de polinomios ...................................................................................................................
3. Multiplicación de polinomios ..................................................................................................................
4. Productos notables ..................................................................................................................................
5. División de polinomios ............................................................................................................................
6. Valor númerico y ceros de un polinomio ...............................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
44
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54
59
T E M A 4 . E C U AC I O N E S D E P R I M E R Y S E G U N D O G R A D O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1. Identidades y ecuaciones ........................................................................................................................
2. Ecuaciones equivalentes .........................................................................................................................
3. Ecuaciones de primer grado ...................................................................................................................
4. Ecuaciones de segundo grado .................................................................................................................
5. Resolución de problemas ........................................................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
62
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64
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74
76
81
T E M A 5 . S I S T E M A S D E E C U AC I O N E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
1. Sistemas de ecuaciones lineales.............................................................................................................
2. Transformaciones de equivalencia .........................................................................................................
3. Resolución por sustitución .....................................................................................................................
4. Resolución por reducción ........................................................................................................................
5. Resolución por igualación .......................................................................................................................
6. Sistemas sin solución única ...................................................................................................................
7. Sistemas con ecuaciones no lineales ......................................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
85
79
86
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89
91
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94
97
SOLUCIONARIO .......................................................................
F I C H A A U TO E VA L U AC I Ó N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
108
Segundo trimestre
TEMA 6. SUCESIONES NUMÉRICAS. PROGRESIONES .........................
116
1. Sucesiones numéricas .............................................................................................................................
2. Formas de definir una sucesión .............................................................................................................
3. Progresiones aritméticas ........................................................................................................................
4. Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética ............................................................
5. Progresiones geométricas .......................................................................................................................
6. Suma de términos consecutivos de una progresión geométrica ...........................................................
7. Suma de infinitos términos ....................................................................................................................
8. Ejercicios resueltos .................................................................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
118
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T E M A 7 . M OV I M I E N TO S E N E L P L A N O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
1. Vectores ....................................................................................................................................................
2. Componentes y módulos de un vector ...................................................................................................
3. Operaciones con vectores. Punto medio de un segmento .....................................................................
4. Traslaciones .............................................................................................................................................
5. Giros.........................................................................................................................................................
6. Simetría axial ..........................................................................................................................................
7. Simetria central ......................................................................................................................................
8. Composicion de simetrías .......................................................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
134
135
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153
T E M A 8 . E L T E O R E M A D E TA L E S . F I G U R A S S E M E J A N T E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
1. El teorema de Tales ................................................................................................................................
2. División de un segmento en partes iguales o proporcionales...............................................................
3. Construcción de un cuarto y un tercero proporcional...........................................................................
4. Figuras semejantes .................................................................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
156
158
159
160
162
164
167
TEMA 9. LUGARES GEOMÉTRICOS ................................................
168
1. Lugares geométricos ...............................................................................................................................
2. Otros lugares geométricos: las cónicas ..................................................................................................
3. La elipse ..................................................................................................................................................
4. La parábola .............................................................................................................................................
5. La hipérbola ............................................................................................................................................
6. Ángulos en la circunferencia ..................................................................................................................
7. Arco capaz................................................................................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
170
171
172
173
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178
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T E M A 1 0 . C U E R P O S E N E L E S PAC I O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
1. Unidades de superficie y de volumen ....................................................................................................
2. Figuras planas.........................................................................................................................................
3. Simetrías en el espacio ...........................................................................................................................
4. Prismas y cilindros .................................................................................................................................
5. Pirámides y conos ...................................................................................................................................
6. La esfera ..................................................................................................................................................
7. La tierra...................................................................................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
186
187
188
190
192
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195
198
200
203
SOLUCIONARIO .......................................................................
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204
214
Tercer Trimestre
TEMA 11. FUNCIONES. GENERALIDADES ........................................
224
1. Concepto de función. Vocabulario...........................................................................................................
2. Gráfica de una función ...........................................................................................................................
3. Dominio de una función..........................................................................................................................
4. Características de las gráficas ...............................................................................................................
5. Crecimiento y decrecimiento ..................................................................................................................
6. Extremos de una función ........................................................................................................................
226
227
228
229
231
232
7. Funciones continuas ...............................................................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
233
234
236
239
TEMA 12. FUNCIONES LINEALES Y AFINES ......................................
224
1. Función lineal..........................................................................................................................................
2. Representación gráfica de una función lineal .......................................................................................
3. Función afín ............................................................................................................................................
4. Rectas paralelas ......................................................................................................................................
5. Resolución de sistemas por el método gráfico .......................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
242
244
248
251
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256
261
T E M A 1 3 . TA B L A S D E F R E C U E N C I A S Y G R Á F I C O S E S TA D Í S T I C O S . . . . . . . . . . .
262
1. Población y muestra. Elección de la muestra. Representatividad .......................................................
2. Construcción de una tabla de frecuencias .............................................................................................
3. Representaciones gráficas ......................................................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
264
267
271
276
278
281
T E M A 1 4 . PA R Á M E T R O S D E C E N T R A L I Z AC I Ó N Y D I S P E R S I Ó N . . . . . . . . . . . . . . .
282
1. Utilidad de los parámetros estadísticos ................................................................................................
2. Parámetros de centralización .................................................................................................................
3. Parámetros de dispersión .......................................................................................................................
4. Uso de la calculadora. Los paquetes estadísticos .................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
284
285
292
297
298
300
303
T E M A 1 5 . E X P E R I M E N TO S A L E ATO R I O S . P R O B A B I L I D A D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304
1. Fenómenos y experimentos aleatorios ...................................................................................................
2. Espacio muestral y sucesos ....................................................................................................................
3. Frecuencia y probabilidad de un suceso ................................................................................................
4. Probabilidad de Laplace .........................................................................................................................
5. Experimentos compuestos. Diagramas en árbol ...................................................................................
En resumen ...............................................................................................................................................
Ejercicios ...................................................................................................................................................
Autoevaluación ........................................................................................................................................
306
308
311
313
316
318
320
323
SOLUCIONARIO .......................................................................
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324
336
TEMA 1
LOS NÚMEROS REALES
El ábaco es considerado
tradicionalmente como
la primera máquina
calculadora. Las
cuentas utilizadas en los
primeros modelos fueron
probablemente piedras
(calculus en latín) y de
ello se deduce nuestra
palabra “calcular”.
Instrumento presente en
prácticamente todas las culturas, sigue todavía usándose en la actualidad.
Hasta llegar a nuestros actuales ordenadores, el ser humano siempre se
ha procurado la ayuda de máquinas para facilitarle el trabajo de calcular.
La Pascalina, creada por Blaise Pascal en 1645, disponía de una serie de
ruedas dentadas que giran como lo pueden hacer los cuentakilómetros
de los coches. La posición de cada rueda es la correspondiente a unidades,
decenas, centenas, etc
Posteriormente, entre 1833 y 1842, Charles Babbage creó la máquina
analítica, precursora de los primeros computadores que utilizaba tarjetas
perforadas como dispositivo de entrada de datos.
Pascalina
Máquina analítica de Charles Babbage
8
7
6
1 2
DE 2 º A 3 º
3
RECUERDA: M.C.D. y M.C.M.
Sabes que estas siglas corresponden al máximo común divisor y mínimo común múltiplo, respectivamente, de dos o más números.
EJEMPLO
12 = 22 3
590
48
y 30 = 2 3 5. Por tanto:
m.c.d (12, 30) = 2 3 = 6 (producto de los factores comunes elevados al menor exponente)
m.c.m (12, 30) = 22 3 5 = 60 (producto de los factores comunes, y no comunes, elevados al
mayor exponente)
PRACTICA
Halla el m.c.d y el m.c.m de:
a) 15 y 25;
b) 10 y 30;
c) 3, 6 y 8 ;
d) 24; 40 y 60
lAS FRACCIONES
Completa las igualdades siguientes:
e)
h)
3
5
3
5
4
5
=
+
×
3…
5…
8
5
7
2
=
=
=
12
b)
…
…+…
…
…×…
…×…
…
=
=
…
…
…
;
f)
;
i)
7
3
9
5
=
−
7×…
3×…
2
5
=
=
…
15
…−…
…
=
;
c)
…
…
;
6 2 …×… …
: =
= ;
5 3 …×… …
54
42
=
54 : …
42 : …
=
…
7
;
d)
5
9
=
…
45
=
30
…
;
g) 3 + 1 = 3 + 1× … = 3 + … = … ;
4 2 4 2 ×… 4 4 4
j) 2 ×
7
3
=
…×…
…
=
…
RE
…
P
A
LOS DECIMALES
S O
1 Escribe la fracción y el decimal que representa el 30%.
2 Continúa la serie: 2,5 ; 0 ; –2,5; –5;
RE
…; …; …
3 Completa:
...
100
;
b) 7 +
3
1000
= $;
c)
49
10000
= 0, … ;
d) 5 × 100 + 2 × 10 +
1
P
4
+
=…,…
100 1000
A
a) 1, 02 = 1+
S
9
R
P
O
E
A
a)
S
LO S NÚ MERO S RE ALE S
1 Fracciones equivalentes. Número racional
a
es una fracb
ción que representa el cociente de a y b (b ≠ 0) siendo a el numeSi a y b son dos números enteros, la expresión
rador y b el denominador.
Puedes obtener una fracción equivalente a otra multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por un
mismo número no nulo.
SABÍAS QUE...
La palabra fracción procede de la
palabra latina fractio que
significa romper.
a a× k
=
;
b b× k
Cuando
a a: m
=
con k ≠ 0, m ≠ 0 y b ≠ 0
b b: m
a c
=
entonces a d = b c y recíprocamente.
b d
EJEMPLO
1
Observa:
5 5 × 3 15
=
=
. Se cumple que 5 21 = 7 15 = 105
7 7 × 3 21
30 30 : 2 15 15 : 3 5
=
=
=
=
42 42 : 2 21 21 : 3 7
Esta fracción es irreducible o canónica
Todas las fracciones equivalentes a una dada representan
un mismo número que se llama número racional.
SABÍAS QUE...
2 6 10 −4
,
,
,
3 9 15 −6
Las fracciones:
Q es la inicial de la palabra latina
quotiens, cociente.
representan el número
“dos tercios”.
El conjunto de los números racionales se representa por Q.
EJERCICIOS
10
1
Encuentra tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes: a)
2
Completa: a)
–6
5
=
35
;
b)
3
8
=
– 18
;
c)
–1
=
8
– 32
;
d)
6
3
4
=
; b) –
–2
5
2
; c)
408
72
; d)
117
45
T E M A 1
2 Reducción de fracciones a común denominador. Comparación
Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener fracciones equivalentes a las dadas pero con el mismo denominador. Aunque el denominador común buscado puede ser un
múltiplo cualquiera de los denominadores, es deseable que sea el
mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos.
EJEMPLO
2
Reducir a común denominador las fracciones:
Como m.c.m (3, 5, 12) = 60 escribimos fracciones equivalentes a las dadas con este denominador.
Como regla práctica para obtener el nuevo numerador, dividimos 60 entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador y el denominador.
Por tanto, las fracciones
y
son equivalentes a
40 −36
35
,
y
respectivamente.
60 60
60
Comparación de fracciones
Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor es la
que tiene mayor numerador.
Si a > b entonces
a b
>
k k
con k > 0
Para comparar fracciones con distinto denominador, deberás
reducirlas previamente a común denominador.
EJERCICIOS
3
Reduce a común denominador las fracciones:
a)
5
7
y
;
3 12
b)
3
5
y ;
16 8
c)
2
1
y ;
3
4
d)
−5
7
y
;
3
16
4
Reduce a común denominador y luego ordena de menor a mayor las fracciones:
5
Mismo ejercicio con las fracciones:
y
11
LO S NÚ MER O S RE ALE S
3 Operaciones con fracciones
A) Adición y sustracción
Para sumar o restar dos fracciones:
· Se reducen ambas a común denominador.
· Se suman o restan los numeradores y se deja el mismo
denominador.
;
;
(d ≠ 0)
EJEMPLO
3
Efectúa la operación:
Como m.c.m (3, 4, 5) = 60 entonces:
B) Multiplicación y división
Multiplicación
División
EJEMPLO
4
Calcula:
;
EJERCICIOS
12
6
Calcula: a)
;
b)
7
Calcula y simplifica el resultado:
;
c)
;
d)
T E M A 1
4 La recta racional
Al igual que los números naturales y los números enteros se
podían representar en la recta natural y la recta entera, también
es posible representar en una recta a los números racionales
creando así la recta racional.
La representación de los números racionales se basa en el
teorema de Tales.
Observa cómo representar, por ejemplo, el número
4
.
5
En una recta r sea OU = 1.
Se traza la recta s que pasa por O y sobre ella representamos tantos segmentos iguales como indique el
denominador (cinco en este caso).
Se une B con U y trazando paralelas a BU, desde los
extremos de los segmentos de s, se consigue dividir la
unidad OU en 5 partes iguales.
El punto P es el que representa al número
4
.
5
Si el numerador de la fracción es mayor que el denominador,
la fracción se llama impropia y siempre es posible transformarla
en suma de un entero más una fracción con numerador menor
que el denominador (fracción propia) (ver ejercicio 27).
4
Por ejemplo, si se desea representar el número , solo hay
3
1
4
= 1 + y en el margen tienes su
que tener en cuenta que
3
3
representación.
De esta forma se pueden representar todos los números racionales sobre la recta, obteniendo la recta racional.
EJERCICIO
8
En una recta de origen O y unidad de medida OU, siendo la longitud de OU la que estimes oportuna,
representa los números.
a)
3
;
4
b)
1
;
6
c)
3
;
5
d)
8
3
13
LO S NÚ MER O S RE ALE S
5 Cómo pasar de fracción a decimal y de decimal a fracción
A) De fracción a decimal
a
efectúas la división de a entre b, obtienes
b
su expresión decimal.
Si en la fracción
Cómo saber qué decimal genera una
fracción
Si
a
es una fracción irreducible, el
b
La expresión decimal puede ser:
Exacta
tipo de decimal que genera depende
de la descomposición factorial del
denominador b.
Periódica pura
parte decimal
período
período
11
= 3, 666... = 3, 6
3
43
= 1, 72
25
a) Si ésta sólo tiene doses, cincos o
doses y cincos, resulta un decimal exacto.
b) Si no hay ningún factor dos o
cinco, resulta un decimal periódico puro.
c) Si contiene otros factores primos,
además de doses o cincos, resulta
un decimal periódico mixto.
Periódica mixta
parte entera
parte entera
11
= 1, 833... = 1, 83
6
parte entera anteperíodo
El cociente de dos números enteros es un decimal exacto,
periódico puro o periódico mixto.
B) De decimal a fracción
Veamos en la siguiente tabla cómo escribir un número decimal exacto o periódico como una fracción.
Decimal exacto
Decimal
periódico puro
Decimal
periódico mixto
El numerador es todo el número
prescindiendo de la coma, y el
denominador es la unidad seguida
de tantos ceros como cifras tenga
la parte decimal.
El numerador es la diferencia entre
el número decimal sin la coma y la
parte entera, y el denominador son
tantos nueves como cifras decimales
tenga el período.
El numerador es la diferencia entre el
número decimal sin la coma y la parte no
periódica, también sin la coma, y el denominador lo forman tantos nueves como cifras
tenga el período seguidos de tantos ceros
como cifras tenga el anteperíodo.
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
325
13
0,325 =
=
1000
40
314 − 3 311
3, 1q4 =
=
99
99
q = 5024 − 50 = 4974 = 829
5, 024
990
990 165
EJERCICIO
Obtén de cada fracción su expresión decimal y de cada decimal su expresión fraccionaria:
8
;
5
d) 0,85;
14
b)
−1
;
15
e) 0, 7 ;
c)
809
;
9
)
a)
)
9
f) 0,306 3
T E M A 1
6 Unos nuevos decimales: los irracionales
Acabas de aprender que:
1) A toda fracción le corresponde un decimal que puede ser
exacto o periódico.
Números decimales ni exactos ni
periódicos
2) A todo número decimal exacto o periódico le corresponde
una única fracción.
1, 23456789101112 ….
0,1020304050607080
Sin embargo, es evidente que existen decimales que no son ni
exactos ni periódicos. Por ejemplo, los del margen.
1,01001000100001 …..
Estos números se llaman números irracionales.
Los números decimales con infinitas cifras no periódicas se
llaman números irracionales y el conjunto de todos ellos se
representa por I.
Los números racionales junto con los irracionales forman el
conjunto de los números reales y se representa por R.
EJEMPLO
5
Hay un número irracional especialmente famoso, el número π = 3,141592654……. que expresa la relación
entre la longitud de una circunferencia y su diámetro; pero hay infinitos números irracionales, y uno de
ellos es 2 , que corresponde a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1.
2
1
1
Este número, cuyo valor aproximado es 2 = 1, 414213562 ... ya fue estudiado por los
griegos en el siglo VI a.C. al comprobar que la diagonal de un cuadrado no era comparable con el lado.
Otros irracionales son
y en general también lo son las raíces no enteras de
los números naturales así como el resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir un
número irracional con uno racional.
Dado que los números irracionales no son ni exactos ni periódicos, los números irracionales no pueden escribirse como
una fracción, es decir, la división de dos números enteros
no genera nunca un número irracional.
N
Z
Q
R
El esquema del margen refleja las sucesivas ampliaciones
de los conjuntos numéricos.
EJERCICIO
10
Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales:
a)
7
;
9
b) 3,45;
c)
7;
d) 1,23232323…..;
e) –7 ;
f) 2,30300300030000 ….
15
LO S NÚ MER O S RE ALE S
7 La recta real: intervalos
Observa en el margen cómo obtener segmento de longitud
2 y 5 por aplicación del teorema de Pitágoras.
De esta forma a todo número real se le puede asociar un
punto de una recta. Dicha recta se llama recta real.
2
1
1
0
Recíprocamente, a todo punto de la recta real se le puede
asociar un número real.
2
-8
-2
-1
0
1
1
2
5
5
5
-3
2
2
3 π
6
1
0
2
Dos números reales cualesquiera a y b (siendo a < b) determinan un intervalo de extremos a y b.
5
Un intervalo es por tanto un trozo de recta real en el que
están todos los números comprendidos entre a y b y, según si a
o b pertenecen o no, pueden ser:
Abierto
]a, b[
x
1
]1, 4[
Abierto por la
izquierda
]a, b]
Cerrado
[a, b]
4
1<x<4
x
1
[1, 4]
4
x
1
1≤x≤4
]1, 4]
Abierto por la derecha
[a, b[
4
1<x≤4
1
x
4
[1, 4[
1≤x<4
• Semirrectas
El conjunto de todos los números mayores o menores que un
número dado se representa por una semirrecta.
]–∞, a[
x
] –∞, 1 [
]–∞, a]
0
x 0
1
x<1
] –∞, 1 ]
[a, +∞[
1
x≤1
0 1
]a, +∞[
x
[ 1, +∞ [
0 1
x≥1
] 1, +∞ [
EJERCICIO
11
16
Representa como un intervalo y sobre la recta real los números x definidos como:
a) –2 < x < 3;
b) 1 ≤ x < 5;
c) x ≥ –1 ;
d) 2 ≤ x ≤ 4;
e) 0 < x ≤ 5;
f) x < –2;
g) x ≤ 4 ;
h) x > –3
x
x>1
T E M A 1
8 Aproximaciones: errores
Según tu calculadora: π = 3.141592654
La imposibilidad de manejar las infinitas cifras decimales
que tienen muchos números (racionales e irracionales), nos
obliga a tomar aproximaciones de dichos números.
π = 3.141592654...
Orden de
aproximación
Aproximación por
defecto
Aproximación por
exceso
entera
3
4
a décimas
3,1
3,2
a centésimas
3,14
3,15
Al trabajar con aproximaciones de un número se comete un
cierto error. De las dos aproximaciones decimales, la que menor
error produce se llama redondeo. Una vez fijado el orden de
aproximación, la regla del redondeo decimal es:
• Si la primera cifra que no se toma es menor que 5, las
cifras se dejan como están.
• Si la primera cifra que no se toma es mayor o igual que 5,
la última cifra del número se aumenta una unidad.
Redondeos del número
7 2,645751311
7:
Entero
Décimas
Centésimas
Milésimas
3
2,6
2,65
2,646
Si un número N se sustituye por otro N’, la diferencia
|N – N’| se llama error absoluto.
El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el
número.
REGLA
DEL REDONDEO
RECUERDA QUE...
El error absoluto por sí solo no
nos permite hacernos una idea
del grado de aproximación de
una medida. Un error de dos
centímetros en la medición de
un tramo de carretera de 200
km es despreciable; en cambio,
no lo es al medir la longitud
de un lápiz.
EJEMPLO
6
Si un lápiz mide 16 cm y nosotros medimos 16,5 cm. Los errores cometidos son:
0, 5
= 0, 03125 = 3,125%
Error absoluto E = |16 – 15,5|= 0,5 cm ; Error relativo: e =
16
17
7
6
1 2L O S N Ú M E R O S R E A L E S
3
590
48
EN RESUMEN
Fracciones equivalentes
Para toda fracción
a
se cumple:
b
•
;
Esta fracción es irreducible
o canónica
Comparación de fracciones
Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor es la que tiene mayor numerador.
Si a > b entonces
a b
> con k > 0
k k
Para comparar fracciones con distinto denominador, deberás reducirlas previamente a común denominador, que es el m.c.m. de los denominadores.
• Para comparar
Operaciones con fracciones
1. Adición y sustracción
Para sumar o restar dos fracciones:
· Se reducen ambas a común denominador
· Se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador
RE
U
S
M
E
NR
(d ≠ 0)
•
2. Multiplicación y división.
Multiplicación
S
E
U
U
M
E 18
R
N
R
O
•
División
7
6
T E M A 11 2
3
EN RESUMEN
590
Expresión decimal de un número racional
Si en la fracción
48
a
efectúas la división de a entre b, obtienes su expresión decimal.
b
El cociente de dos números enteros es un decimal exacto, periódico puro o periódico mixto.
Periódico mixto
4,28
2,888… = 2,8 el período es 8
)
Periódico puro
)
Exacto
5,2666…. = 5,26 es el anteperíodo y 6 es el período
Cómo convertir un decimal exacto o periódico en fracción
Todo decimal exacto o periódico puede escribirse como una fracción.
Número formado por la parte
entera y la parte decimal
2,3 =
Parte entera seguida
de la parte decimal
Parte entera seguida de
la parte decimal
Parte entera
Parte entera seguida
del anteperíodo
23
10
Tantos nueves como cifras
tiene el período.
La unidad seguida de tantos
ceros como cifras tiene la
parte decimal
Tantos nueves como cifras
tiene el período y tantos ceros
como cifras tiene el anteperíodo
Intervalos
Dos números cualesquiera a y b (con a < b) determinan un intervalo de extremos a y b.
]1, 4[
1<x<4
]–∞, a[
x
]–∞, 1 [
x
1
[1, 4]
4
1≤x≤4
x
1
]1, 4]
]–∞, a]
0
x 0
1
x<1
]–∞, 1 ]
4
1<x≤4
x
4
[1, 4[
1≤x<4
1
[a, +∞[
1
x≤1
0 1
[1, +∞]
]a, +∞[
x
0 1
x≥1
]1, +∞]
RE
S
U
4
Abierto por la derecha
[a, b[
M
E
NR
E
x
x>1
S
x
1
Abierto por la
izquierda
]a, b]
Cerrado
[a, b]
U
U
M
19 N E
R
Abierto
]a, b[
R
O
LO S NÚ MER O S RE ALE S
EJERCICIOS
NATURALES Y ENTEROS
18 ¿Qué fracción del área del triángulo ABC representa el
área coloreada?
C
12 Calcula:
a 32 + 4 (8 – 16) – (5 – 3 + 6)
b 9 – [12 – (10 – 3 + 7) ] + 4 2 – 20
c 12 2 + 3 – (15 : 5 + 6) – (8 3 + 2)
d 8 – 12 3 + 120 : 10 – (7 6 – 4 8)
A
13 Calcula:
a 16 + 8 – [3 12 – (6 – 15 4) + 80]
b 24 : 12 + 1 – [10 + 4 (12 – 15)] – (3 + 5 8)
c 3 (–10 + 2 4) + 35 – (1 – (10 + 3 (–8)))
d 10 – (12 + 14 – 16) – [18 + 20 – (22 + 24) –26]
14 Escribe el siguiente cálculo en una línea:
B
19 Hallar la fracción irreducible de:
a 14 ;
e
b – 8 ;
c 14 ;
d
4
;
44
f 18 ;
g 240 ;
h
900
1 500
72
4
18
;
126
42
54
300
20 Halla:
a los 2 de 60;
b los
c los 6 de 308;
d los 5 de 440
3
11
15 Representa en un esquema como el anterior los siguientes
cálculos y obtén en cada caso el resultado de la operación:
a (5 3 – 7) + (15 – (4 2) + 6)
b 4 – 6 (7 + 5) + 8 – 3 (2 + 5)
c 10 3 + 4 + (1 – 3 + 5)
d (5 + 10) 7 – 21 + (–6) 2
3
de 420;
5
8
1
de ellos están en
15
4
del alumnado de
primer curso. Sabiendo que los
11
primero son chicos. ¿Cuántas chicas hay en este curso?
21 En un instituto hay 660 alumnos,
22 Completa:
a
;
b
;
c
e
;
f
;
Números racionales
d
;
16 Clasifica las siguientes fracciones según el criterio «ser
equivalentes»
23 Simplifica las fracciones:
a
17 Escribe todas las fracciones equivalentes a
denominador sea menor que 40.
20
8
, cuyo
10
e
8
;
12
b 18 ;
4
;
–6
f
33
–10
;
–12
c 32 ;
96
g
–
25
;
125
d –2 ;
4
h –81
90
T E M A 1
24 Realiza los cálculos siguientes:
28 Escribe las siguientes fracciones impropias como suma de
un entero y una fracción:
a 2 – 1+ 1 ;
b –5 + 5 ;
c 4+2– 1;
d –3+ 2 –1;
3
8
2
3
5
5
2
e 2 –3+ 4 – 1 ;
5
3
f
6
10
2
–4 3 4 3
– + –
7 2 5 10
; b
c 2 – 5+2– 1 ;
d
e 5 : 5 – 4× 6 +5 ;
f
3
6
2
2 3
b
c
d
e
f
29 Completa la tabla:
25 Mismo ejercicio:
a
a
;
a
b
3
4
a+b
;
5
26 ¿Qué signos faltan? Usa solo +, – , ⫻ y :
a 3 2 = –1 ;
5
15
3 5 9
=
;
2 3 10
8 9 36
=
;
7 2 7
d
4 1 13
=
;
5 2 10
e 72= 7 ;
f
2 7 –31
=
5 2 10
c
4
27
3
b
5
La tecla
10
30 Completa los muros de Leibniz. Cada número es igual a
la suma de los dos que tiene debajo.
3
5
de tu calculadora:
b
Introduce la fracción a + pulsando 23
6. Si luego
c
te aparecerá la expresión 3 5 6 que en
pulsas
5
realidad indica 3 + . Para volver a la expresión anterior,
6
.
como una fracción, sólo tienen que hacer
3
5
-4
-1
5
-5
6
7
4
49
12
31 Mismo ejercicio. Cada número es el producto de los dos
que tiene debajo.
Cuando la fracción es impropia, la calculadora siempre
ofrece el resultado como un número mixto a b c que
b
representa la suma a + .
c
Ahora tú: Haz la división entera de 45 entre 8 y utiliza
el resultado para completar la igualdad
45
...
= ... +
8
8
comprueba estos cálculos con tu calculadora.
13
30
5
8
3
5
3
4
-3
2
9
4
5
28
1
2
1
8
24
21
LO S NÚ MER O S RE ALE S
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
32 Efectúa los cálculos siguientes:
a
d
;
;
42 En una recta con origen 0 y unidad de medida OU (OU
segmento de longitud 8 cm), representa los números:
b
c
e
;
;
a
2
;
3
b
5
;
7
c
3
;
8
e
–2
;
7
f
–3
;
5
g
3
;
2
f
;
1
– ;
3
d
h 13
5
33 Mismo ejercicio:
a
;
d
;
PROBLEMAS
b
;
e
;
43 Ana está ahorrando para comprarse una bicicleta de
c
;
f
montaña que cuesta 270 euros. Ya ha ahorrado
precio. ¿Cuánto le falta todavía?
5
de su
8
Del 34 al 41. Calcula y da el resultado simplificado
44 La
34
velocidad
del
sonido en el aire es,
35
aproximadamente,
1
de km por
3
segundo. Durante
36
una tormenta se oye
el trueno después de 16 segundos de haber visto el relám-
37
pago. ¿A qué distancia está la tormenta? (aproxima el
resultado hasta las milésimas).
38
6
de hora cada día. ¿Cuántos minu15
tos se atrasa cada hora?
45 Un reloj se atrasa
39
ATRASADO OTRA
VEZ… ¡TODOS LOS
DÍAS LO MISMO!
40
41
22
3
de litro se necesitarán para
4
embotellar 360 litros de agua? ¿Cuántas se necesitarán de
1
de litro?
3
46 ¿Cuántas botellas de
T E M A 1
47 Dos ciudades distan entre sí 126 km. Una locomotora ha
recorrido los
cidad lleva?
2
3
de dicha distancia en de hora. ¿Qué velo3
4
Expresión decimal
de un número racional
55 Completa la tabla:
48 ¿Por qué número se ha de dividir
Número
2
8
para que resulte
?
5
15
1
3
kg de carne,
kg de embutido,
2
4
3
de sal, 2 kg de manzanas. La cesta de la compra vacía
4
pesa 500 g. ¿Cuántos kg pesa la cesta llena?
Anteperíodo
-5
3
67
45
3
de kg. ¿Qué fracción de kg
5
3
partes?
de miel hay en el tarro si está lleno en sus
8
7
51 Una clase dura 50 minutos y ya han pasado
de ella.
10
¿Será posible realizar un trabajo en equipo que dura 20
43
25
-15
13
56 Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones
de año: 1 mes, 2 meses, ..., 11 meses, 12 meses. Indica
cuáles son exactas y cuáles son periódicas.
52 Escribe como fracción de hora:
b 32 min.;
e 16 min. 40 s.;
c 36 s.;
e 5 min.
2
53 Un triángulo ABC es tal que A = 30°, B =
C. Calcula
3
la medida, en grados, de los tres ángulos.
54
Período
-13
6
50 En un tarro de miel caben
a 6 min.;
d 48 s.;
Tipo de decimal
3
8
49 Hemos comprado
minutos?
Expresión decimal
La escalada del caracol
Un caracol quiere subir un muro. Durante tres cuartos de
5
de metro; para a descansar de hora y se
hora sube
12
1
de metro. La segunda hora sube
desliza descendiendo
6
2
1
1
metro y desciende m; la tercera, sube m y des3
2
4
1
5
1
m; la cuarta, sube m y desciende
m;
ciende
3
12
12
durante la quinta, el caracol termina de subir el cuarto de
metro que le queda de muro.
a ¿A qué distancia del pie del muro se encuentra el cara-
col al final de una hora, dos horas, tres horas, cuatro
horas?
b ¿Cuál es la altura del muro?
57 Expresa en forma decimal las fracciones:
a 17 ;
b − 4 ;
7
c 27 ;
33
12
e
;
7
7 ;
30
g 13 ;
8
d
2
1001
f
;
77
i 12
5
h 11 ;
6
58 Hallar la expresión fraccionaria de los siguientes números
decimales:
a 6,25; 0,306; 5,7;
b 0,0102; 0,13; 67,2;
c 2,3; 0,602; 3,75;
d 0,06; 1,69; 0,175;
e 0,193; 3,68; 0,096; f 36,76; 9,115; 0,362.
59 Hallar las expresiones fraccionarias irreducibles de los
siguientes números decimales:
a 1,45;
b 1,325;
c 2,8;
d 6,02;
0,012;
0,00072;
–3,749;
1,62;
0,07;
1,61;
0,328;
1,23
23
LO S NÚ MER O S RE ALE S
CONJUNTOS NUMÉRICOS
67 Encuentra un número x, sabiendo que:
a Su aproximación por defecto es 5,24.
60 ¿A qué conjuntos [N, Z, Q, I], pertenecen los siguientes
b Su parte decimal tiene cuatro cifras.
números:
a 2,00;
b 7,06;
d 2,494494449…; e 3,162162216222…; f −4 ;
2
g –3,000;
c Su redondeo a milésimas es 5,25.
c 6,010101…;
h –6,09;
PROBLEMAS
i 3,6101102103…
61 Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son
68 Una tela, después de lavada, se reduce 1 de su longitud
21
y 1 de su anchura. ¿Qué longitud debe comprarse de
12
una pieza de 0,60 m de ancho para tener después de
verdaderas o falsas.
a – 63 ∈ Z;
b 3,05 ∈ Q;
d 0,06 ∈ Q;
a 4 ∈ I;
c 1,414235… ∈ I;
b 2,6457513 ∈ ;
3
c 6,0303... ∈ I; d –1,622... ∈ Q; d –3 ∈ Ν
lavada 55 metros cuadrados de tela?
69 Se sirvieron 50 litros de aceite pero se ha comprobado
que la medida de litro con que se ha medido tenía
4,5 cl menos de los que debía. ¿Qué cantidad de
aceite se
sirvió?
INTERVALOS
62 Indica el intervalo que corresponde a cada desigualdad:
a –1 ≤ x < 7;
b –5 < x < 0;
c 3 < x ≤ 14;
d 0≤x≤8
63 Indica qué desigualdad cumplen los puntos que pertene-
cen a los intervalos siguientes. Haz su representación en
la recta real.
a ]–1, 4[ ;
b [2, 7];
c ]4, 23];
d [–8, –1[
valores aproximados. errores
70 Si se suprime la coma de un número decimal expresado
en centésimas se aumenta dicho número en 6714,18.
¿Cuál es ese número?
71
De un «viejo libro»:
Carlos Lindbergh fue el primero en hacer la travesía del
Atlántico sin escala, partiendo de Nueva York con
2 000 litros de combustible en su avió Spirit of St.
Louis. Después de recorrer 5 836 km en 33 horas llegó
a París, quedándole aún 80 litros de combustible. Calcula:
a La velocidad media del aparato.
b El gasto de combustible por hora.
c ¿Cuántos kilómetros hubiera podido volar aún con la
64 Dado el número 56,23456781, cuál es su error absoluto
si se toma como valor aproximado:
a 56, 23;
b 56, 2345;
c 56,23456
65 Calcula el error relativo en cada uno de los casos del ejer-
cicio anterior.
66 Se emplea a menudo el valor 3,14 como una aproxima-
ción de π. ¿Qué tipo de aproximación es? ¿es un redondeo a centésimas?
24
gasolina que le quedó?
T E M A 1
AUTOEVALUACIÓN
1
En las fracciones siguientes:
a
2
3
–7
b
3 metros
1,83
c –1
d
Nada de lo anterior
d
Nada de lo anterior
d
Nada de lo anterior
7
4 1 1
+ : es:
5 3 5
46
15
c
5
12
3
de litro se necesitarán para embotellar 150 litros de agua?
2
c 300
b 100
4
de metro de base y 1 de metro de altura, su perímetro será:
3
6
b
13
de metro
12
c
4
de metro
12
d
Nada de lo anterior
b
–1,83
c
–1,083
d
Nada de lo anterior
d
Nada de lo anterior
La expresión fraccionaria de 0,35 es:
99
b
7
20
c 35
90
Para obtener la expresión fraccionaria de 0,18, ponemos en el numerador 18 y en el denominador:
a
9
Nada de lo anterior
6
a 35
8
d
La expresión decimal de la fracción −11 es:
a
7
150
b
Si un rectángulo mide
a
6
2
3
¿Cuántas botellas de
a
5
25
7
El resultado de la operación 3 – 2 ×
a –
–3
9
c
es:
b
7
4
–9
21
El resultado de la operación
a 17
3
, hay una que no es equivalente a las demás, ¿cuál es?
99
b
100
c
90
d
Nada de lo anterior
c
[–7, –3]
d
Nada de lo anterior
c
]0, –3[
d
Nada de lo anterior
La desigualdad –7 ≤ x ≤ –3 corresponde al intervalo:
a
[–7, –3[
b
]–7, –3[
10 La desigualdad –3 < x ≤ 0 corresponde al intervalo:
a
]–3, 0]
b
[0, –3]
25