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Números racionales e irracionales
Conoce, analiza, aplica...
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Números racionales
e irracionales
Cada una dee las lettras mayúsculass y min
núsculaas y loss signos dee puntuacióón los podeemos identi
tificar con un
núm
mero dee dos cifr
fras mediante un códig
go. De este moodo, cualqu
uier libro, coomo el Quuijijote, por ejjemplo, podría
redu
ducirse a una lilista muy larga,
a, pero finita, de núm
meros. Inclluso las ilusstraciones las podríam
mos identificar
tam
mbién con unaa serie de núm
meros, coomo hacen laas cámaras digitales.
Si consiiderásem
mos el númeroo real deel interrvalo [0,, 1], cuya exxpresión deecimal es un cero, unaa coma, y después
la seriee de nú
úmeros que rep
presenta
tan tod
das las letras del Quijote, tend
ndríamos id
dentificadoo este libro con un
solo punto. Así pues, podríaamos de
decir qu
ue, en efecto, “el sa
saber no ocu
upa lugar”.”.
0
1
1. Los conj
njunto
os numé
mérico
os
2. Los númer
eros dec
ecimalles
2.1. Expresi
sió
ón dec
ecimal de núm
meros ra
racional
ale
es
2.2
2.
2. Exp
presión
n decim
mal de nú
número
ros irraci
cio
onales
3. Fra
racció
ón gene
neratrizz
3..1. Fracc
cción ge
generatr
triiz de un núm
mero deci
cim
ci
mal exxacto
3.2. Fra
racció
ón gene
eratriz de un número de
decimall periódic
ico
puro
o
3.3. Fra
racción
n gene
era
ratriz de
e un núm
mero de
eci
cimal pe
periódicco
mixtto
4. Ope
peracion
ones con núm
meros rac
aciionale
ac
es
4.1.. Sumaa y restaa de núm
meros rac
aciionaless
4.2. Mul
ulttiplicac
ación de
e números
os raciona
nales
4.3.. Divisió
ón de núm
úm
meros rac
acionale
es
4.4
4.
4. Ope
eraciones
es combi
bin
nadas
5. Cif
ifras siignificat
attivas.
iv Pr
Pre
ecisión
n y exac
actitud
6. Redon
ondeo y trunca
tr
amiento
o
7. Not
otación
n científi
ci
ficca
8.. Resoluc
uciión de
uc
e problem
emas con númer
ero
os concrret
etos
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OBSERVA Y DESCUBRE
Recuerda
„ Recuerda el sistema métrico decimal respondiendo a estas preguntas:
a) ¿Cuántos metros son 1.234,5 kilómetros?
b) ¿Cuántos milímetros son 0,34 metros?
c) ¿Cuántos milímetros son 0,0061 kilómetros?
„ Practica las operaciones con fracciones:
a) Calcula: ( 3 – 1 ) · ( 2 + 1)
5 4
3
b) Juan se bebió la mitad de una botella de tres cuartos de litro de agua y su hermana se bebió la cuarta parte de una
botella de un litro. ¿Cuánta agua bebieron entre los dos?
2 cm
„ Haz con lápiz y papel las siguientes operaciones con números decimales (luego comprueba los resultados usando la calculadora):
a) 2,56 + 278,01 – 75,59
b) 0,0023 · 18,2
c) 58,2 : 0,071
„ Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la diagonal de un rectángulo que mide 3 cm
de base y 2 cm de altura.
3 cm
Aplica las TIC
„ Las calculadoras tienen tres modos de mostrar los números en la pantalla: FIX, SCI y NORM. Busca
en tu calculadora cómo se puede cambiar de un modo a otro. Investiga cuál es la diferencia de estos
modos de funcionamiento haciendo el tercer ejercicio del apartado anterior.
Mejora tus competencias
„ El nonio es un dispositivo que se utiliza para afinar las medidas de una escala. El sistema
consiste en una escala principal A, que es la que sirve para medir, dividida en unidades y décimas, y una escala B que mide una unidad de la escala A dividida en nueve partes. Cuando
la escala A se hace una medida no exacta, gracias al nonio se puede medir con una precisión
más fina. Investiga sobre el tema y aprende a medir usando un calibrador o pie de rey.
0
0
escala fija
escala de nonio
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Analiza
Una escala es una recta en la que se ha fijado
un punto de origen (el 0 de la escala) y se ha
determinado una unidad de medida.
Las escalas sirven para medir algunas magnitudes físicas. Por ejemplo, la longitud, la
temperatura, la intensidad eléctrica, etc.
1. LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Como sabes, en matemáticas se consideran varios conjuntos numéricos.
Los números naturales son los que resultan de la operación de contar.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4...}
Los números enteros son los números naturales con signo (positivo o negativo).
ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3...}
0
1
Los números racionales son las fracciones (con signo positivo o negativo) que resultan de comparar dos números enteros.
ℚ = { a , donde a y b son números enteros y b ≠ 0} = { –10 , 1 , 3 , 7 ...}
b
3 2 5 4
Para ser más precisos, un número racional es la clase de todas las fracciones equivalentes;
o, dicho de otra manera, todas las fracciones equivalentes son distintas representaciones
del mismo número racional. Por ejemplo, para el mismo número racional “tres quintos”,
tenemos como distintas representaciones todas sus fracciones equivalentes posibles:
{..., 3 , 6 , 9 ...}
5 10 15
Recuerda
Dos fraccioness son equivvallentes si ell
producto de meedios ess iguaal all prooducto de
extremos:
a = c ⇔ a·d=b·c
b
d
Los números reales se identifican con los puntos de una escala. Son el resultado de
una medida con una precisión ideal.
Los números reales son todos los números decimales, con períodos o sin períodos, con
signo positivo o negativo.
ℝ = {√2,
√ 2, 1 , π, –6, e...}
4
Los números reales que no son racionales (fracciones) son números irracionales.
Cada uno de los conjuntos numéricos puede considerarse un subconjunto del siguiente, es decir, los números naturales son un caso particular de los enteros; los números
enteros lo son de los racionales; y éstos, de los números reales.
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ
El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado. Dados dos números reales, es mayor el que está más a la derecha en su representación en la escala:
EJERCICIOS RESUELTOS
1. ¿Qué númeross están repressentaadoss en
n essta
t escala?
Observa
B
1
A
2
Solución:
ℝ
A = 1 + 4 = 9 = 1,88
5 5
ℚ
ℤ
B = 3 = 0,75
4
EJERCICIOS PROPUESTOS
ℕ
12
0
1. Indica a qué conjunto numérico pertenecen los siguientes números y represéntalos en la recta real:
a) –8
b) 5/3
c) 4
d) 0
e) –1/2
f) √
√5
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2. LOS NÚMEROS DECIMALES
decena
unidad
6
1
0
5
7
millonésima
centena
8
cienmilésima
,
diezmilésima
2
milésima
1
centésima
9
PARTE DECIMAL FRACCIONARIA
décima
PARTE ENTERA
COMA
Se llaman números decimales aquellos que se identifican con el resultado de efectuar
una medida. Un número decimal se representa mediante un número natural seguido
de una coma y, a la derecha de ésta, una sucesión de cifras decimales. Cada cifra representa un orden de magnitud distinto, según su posición, siguiendo las potencias de 10:
Analiza
Para hallar la expresión decimal de una fracción hay que efectuar la división indicada. Por
ejemplo:
11 = 1,83333...
6
Observa que, al dividir por 6, en cada división
parcial sólo se pueden obtener seis posibles
restos: 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Por consiguiente, antes de siete pasos, algún resto se repite y, por
tanto, en el cociente aparece un período.
...
1
1,
0
5
0
2
0
6
0
1,
8
3
3
3
0
2
0
2
2.1. EXPRESIÓN DECIMAL DE NÚMEROS RACIONALES
Analiza
Las fracciones, que representan un número de partes iguales de la unidad, también
se pueden representar por números decimales al dividir numerador y denominador.
Al dividir dos números enteros podemos obtener:
• Números decimales exactos, si la división nos da un número finito de cifras decimales que no son ceros.
Ejemplo: 3 = 0,6
5
• Números decimales periódicos, si la división nos da un número infinito de cifras
decimales que se va repitiendo sucesivamente (las cifras que se repiten constituyen el período).
)
)
Hay dos tipos de números decimales periódicos:
ƒ Números decimales periódicos puros: aquellos en que el período comienza
tras la coma.
224 = 2,2626262626... = 2,26
Ejemplos: 5 = 1,6666666... = 1,6
3
99
ƒ Números decimales periódicos mixtos: aquellos en que el período no empieza justo detrás de la coma y hay un anteperíodo.
Q
P
M
N
B
A
Para dividir el segmento AB en cuatro partes iguales, se traza una recta auxiliar AQ.
Sobre ella, partiendo de A, se toman cuatro
segmentos iguales usando el compás hasta
llegar al punto Q. Se traza la recta QB y luego
las paralelas a ella, como se ve en la figura.
Estas paralelas dividen el segmento AB en
partes iguales.
)
Ejemplo: 3.533 = 3,5686868686... = 3,568
990
Los números decimales con períodos proceden de efectuar la división indicada en una
fracción. Esta fracción se llama fracción generatriz.
Basándose en el teorema de Tales, se puede
dividir un segmento en partes iguales usando la regla y el compás. Este procedimiento
permite construir números racionales en una
escala:
Observa
Números irracionales:
41
59
2..
.
√2
3,1
=
Un par de ejemplos de números irracionales son los siguientes:
π
También existen números decimales con infinitas cifras decimales que no se pueden
representar como una fracción; es decir, sus cifras decimales no presentan períodos.
Estos números, por tanto, no pertenecen al conjunto de los números racionales pero
sí al de los números reales. Se conocen con el nombre de números irracionales y se
representan por medio de la letra 𝕀.
=
1,4
14
21
3..
.
2.2. EXPRESIÓN DECIMAL DE NÚMEROS IRRACIONALES
• La diagonal de un cuadrado cuyo lado mide la unidad es √
√2 = 1,414213562...
• La longitud de una circunferencia de diámetro la unidad es π = 3,141592654...
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3. FRACCIÓN GENERATRIZ
Recuerda
Lectura de númeross deecim
malees:
• El número 0,068 repreesentaa 68 miléési-mas.
• El número 23,7 sonn 233 uniddades y 7 décimas.
• El número 1,85 sonn una uniidad y 85 ceentésimas.
La fracción generatriz es la expresión de un número decimal con períodos en forma de fracción. La fracción generatriz se suele considerar la fracción irreducible, una
vez simplificada.
Calcular el número decimal a partir de la fracción generatriz es muy sencillo: basta con
dividir numerador entre denominador. En cambio, el proceso contrario, calcular la fracción generatriz a partir del número decimal con períodos conlleva un proceso que hay
que conocer.
3.1. FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO
Para calcular la fracción generatriz de un número decimal exacto, se coloca en el numerador el número sin la coma y en el denominador un 1 seguido de tantos ceros como
cifras tenga la parte decimal. Si es posible, se debe simplificar la fracción obtenida hasta
conseguir una fracción irreducible.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcula la fracción ge
generatriz
iz de loos siguie
ient
n es núm
úmeros:
a) 0,0668
b) 23,7
c) 1,885
Solución:
a) Siguiendo lass indicacioness anteriores, colocamoos en el numeerador el núm
mero
sin tener en cuenta la comaa; en este caaso, el 68, ya que los cerros a laa izquieerda
carecen de vaalor. Y en el deenominador pondríaamos el númeero 1.000, ya que
es la unidad seguida de trees ceros (núm
mero de cifras deccimalees de 0,068). Así,
68
la fracción seería
, perro esta fraccción se pu
uede sim
mplificaar:
1.000
68 = 17
1.000 250
La fracción geeneratriz de 0,068 es 17 .
2500
b) Procediendo igual que anttes, obtenem
mos la fracción 2337 . En
n este caso yaa es
10
una fracción irreducible, assí que la fraccción gen
neratriz de 23,,7 es 237 .
10
c) Repetimos ell mismo proceeso y simplifificamos:
185 = 37
100 20
La fracción geeneratriz de 1,85 es 37 .
20
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcula la fracción generatriz de estos números decimales:
a) 2,37
b) 48,09
c) 0,00247
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3.2. FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO
Para calcular la fracción generatriz de un número decimal periódico puro, se multiplica
el número por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el período y al resultado se le resta el propio número. De este modo se obtiene un número entero sin parte
decimal, y solamente queda despejar para obtener la fracción generatriz.
EJERCICIOS RESUELTOS
)
a) 0,7
b) 5,24
La fracción generatriz de un número decimal periódico puro tiene:
• Por numerador, la diferencia entre ese
número decimal (incluyendo el período
y sin la coma) y la parte entera.
• Por denominador, un número formado
por tantos nueves como cifras tenga el
período.
)
)
1. Calcula la fracción gen
e eratri
rizz de
d los
os siguiien
entes nú
úme
m ros:
Observa
Por ejemplo, la fracción generatriz de 65,82
tiene:
• Por numerador: 6.582 – 65 = 6.517
)
Solución:
a) Llamamos N a nuestro número: N = 0,7. Comoo sólo ten
nemoos una cifra en el
período, mulltiplicamos poor 10, y nos queda 100 N = 7,77, de tal forrma que al
restarlos queeda:
10 N = 7,7777...
– N = 0,7777...
9N=7
Ahora, simplemente se deespeja N de la ecuacióón:
9N
N=7⇒N= 7
9
7
Así, la fraccióón generatriz de 0,7 es .
9
b) En este caso,, N = 5,2424224... Se multtiplica el número dadoo por 100 y see le
resta el númeero para obtener así un número en
ntero:
1000 N = 524,2242424244...
–
N = 5,2242424244...
99 N = 519
Por tanto, N = 519 = 1733 .
99
33
)
)
• Por denominador: 99
EJERCICIOS PROPUESTOS
)
1. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos
puros:
)
a) 4,7
)
b) 5,61
)
c) 200,100
2. Calcula la fracción generatriz de 0,9 y comenta el resultado. ¿Cuál será la fracción
generatriz de 6,999999...?
3. Sabiendo que N = 7,22222... y que M = 2,8888..., calcula la fracción generatriz de:
a) N
b) M
c) N + M
d) N – M
¿Qué observas?
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3.3. FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO
La fracción generatriz de un número decimal periódico mixto tiene:
• Por numerador, la diferencia entre ese
número decimal (incluyendo el anteperíodo y el período sin la coma) y la parte
entera junto con el anteperíodo.
)
• Por denominador, un número formado
por tantos nueves como cifras tenga el
período y tantos ceros como cifras tenga
el anteperíodo.
Por ejemplo, la fracción generatriz de 4,383
tiene:
• Por numerador: 4.383 – 438 = 3.945
• Por denominador: 900
Para calcular la fracción generatriz de un número decimal periódico mixto, se puede
conseguir un número decimal periódico puro multiplicándolo por una potencia de diez
adecuada y después se procede como en el caso anterior.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcula la fracción ge
generatriz
iz de loos siguie
ient
n es núm
úmeros:
)
Observa
)
1
a) 4,57727
b) 0,00348
48
Solución:
a) Observamos que 100 N = 457,272727 es un número deecimall perióódico pu
uro.
Aplicando a 100N el proceedimiento exxplicado en el ap
partad
do anteerior teenemos:
100 · 100 N = 45.727,272772727...
–
100 N = 457,272772727...
9.900 N = 45.2270
Por tanto, N = 45.270 = 503 .
9.900
110
b) Llamamos N = 0,0034888888 al núm
mero dadoo, que ess un númerro decim
mal
periódico mixxto.
Observamos que 10.000N
N = 34,888888... es un númeero deecimal periód
dico
puro. Aplicam
mos el métodoo explicado::
10 · 10.000 N = 348,888888...
–
10.000 N = 34,8888888...
90.000 N = 314
Por tanto, N = 314 = 157 .
90.000
45.000
EJERCICIOS PROPUESTOS
a) 0,234
)
)
)
1. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos
mixtos:
b) 1,2416
c) 0,015
2. Calcula la expresión decimal de las siguientes fracciones:
a) 3/4
b) 24/15
d) 37/6
e) 46/3
c) 27/9
3. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
a) 1,76
b) 0,18
c) 0,043
d) 76,7
e)12,106
4. Indica en qué cifra se encuentra el período de los siguientes números y calcula la
fracción generatriz:
16
a) 0,7777...
b) 0,915915915...
c) 58,131313...
d) 2,1060606...
e) 7,352222...
f) 4,22111111...
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4. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Para operar con números racionales conviene hacerlo utilizando su expresión racional,
es decir, en forma de fracción. Recordemos aquí las operaciones con fracciones.
4.1. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES
Recuerda
En las calculadorres cienttífificas exxisste la posiibi-lidad de operar con fracccioones (numeraador y
denominador) utilizaanddo laa tecla a b .
c
Para sumar o restar números racionales con el mismo denominador, se suman o se
restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Ejemplo:
5 + 13 = 18 = 3
24 24 24 4
Para sumar o restar números racionales con distinto denominador, hay que poner común denominador en todas las fracciones utilizando el m.c.m. (mínimo común múltiplo) y a continuación sumar o restar los numeradores. Ejemplo:
3 + 7 = 3 · 9 + 7 · 4 = 55
4
9
36
36
4.2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. Ejemplo:
2 · 5 = 2 · 5 = 10 = 5
3 6 3 · 6 18 9
4.3. DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
La división de dos números racionales es equivalente a realizar el producto del primer
número racional por el inverso del segundo. Ejemplo:
3 : 2 = 3 · 7 = 3 · 7 = 21
5 7
5 2
5 · 2 10
¿Sabías que...?
Para hallar la potencia de una fracción se
elevan a dicha potencia el numerador y el
denominador.
a n = an
b
bn
Recuerda
4.4. OPERACIONES COMBINADAS
Para resolver operaciones combinadas hay que tener en cuenta el orden de prioridad.
Prioridad de laas opperraccioness:
a) Paréntesis, desdde dentrro haacia fueraa
b) Multiplicaccioness y diivissioonees, de izqquier-da a derechha
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Realiza las si
siguienttes
e opeera
r cion
nes coon
n fracc
c ioone
n s:
a)
1 + 3 · 25
2 –5
5 4
3
b
b)
c) Sumas y resstas, de izzquieerdda a dereecha
1
1+ 1
2
Solución:
a) 1 + 3 · 25 – 5 = 19 · 10 = 19 · 10 = 19
5 4
3
20 3
20 · 3
6
b)
1 = 1 = 2
3
3
1+ 1
2
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Realiza las siguientes operaciones combinadas con números racionales:
a) 2 + 9 – 3 : 2 + 1 · 5
3
4 8 5 4 3
b) 1 + 3 · 4 : 10
6 7 5 3
c) 3 – 2 : 1 + 7 · 1 – 8
11 5 3
4 8 5
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Números racionales e irracionales
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Observa
Los números concretos que representan medidas carecen de sentido si no se expresan
junto con una unidad de medida. En física se
manejan varios sistemas de unidades. El más
importante es el Sistema Internacional,
que se basa en el metro (longitud), el kilogramo (masa) y el segundo (tiempo).
5. CIFRAS SIGNIFICATIVAS. PRECISIÓN Y EXACTITUD
En un número decimal, los ceros a la izquierda y los ceros a la derecha no son significativos.
En un número decimal, se llaman cifras significativas las que son distintas de 0 y
los ceros intercalados entre las cifras distintas de 0.
Por ejemplo, el número 0,002703 tiene cuatro cifras significativas, que son las cuatro
últimas.
La cantidad de cifras significativas de un número decimal define su exactitud.
Si un número decimal representa una medida aproximada, la precisión de dicho
número decimal es el orden de magnitud de su última cifra decimal significativa.
Analiza
Para resolver problemas en los que los datos
son números hay que tener en cuenta:
• Las unidades de medida utilizadas
• Si los resultados son razonables
Aunque matemáticamente el número 37,0 es igual que 37, en la práctica no son lo mismo. En efecto, cuando los números son resultados de una medida, no es equivalente
decir que algo mide 37 unidades que decir que mide 37 unidades y 0 décimas. En el
primer caso se indica que se ha efectuado la medida con precisión de unidades; en el
segundo, en cambio, la medida se ha efectuado con precisión de décimas, aunque el
resultado haya sido 0. En este contexto se considera que ese 0 es una cifra significativa.
Vamos a ver la diferencia entre precisión y exactitudd con un ejemplo sencillo. Supongamos que se mide la distancia de la Tierra al Sol y se obtiene que es de 149.597.871 km, y
que se mide la distancia de Madrid a Ávila y el resultado es de 110,3 km. La primera medida tiene una exactitud muy grande (nueve cifras significativas), bastante superior a
la segunda medida (cuatro cifras significativas). Sin embargo, la primera tiene precisión
de kilómetros y la segunda tiene precisión de décimas de kilómetros (hectómetros).
Observa
A la hora de operar con números decimales
(por ejemplo, al hallar una media), el resultado puede dar un gran número de decimales.
Sin embargo, no tiene ningún sentido trabajar con todas las cifras decimales obtenidas.
Lo habitual es expresar el resultado con una
exactitud semejante a la de los datos de
partida. El criterio que se suele tomar es el
siguiente: al operar con números decimales, el resultado debe darse con la exactitud del dato menos exacto.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Indica el número
ro de cifr
fras sig
ignifica
cativa
vas y la pre
r cisión de las siguientes cantidades:
a) 45,070
b) 0,00
007088
c)) 3.270
70
Solución:
a) El número 455,070 tiene cuaatro cifras siignificativvas y su precissión ess de cen
ntésimas.
b) El número 0,000708 tiene trres cifras sig
gnificativaas y su precisióón es de cien
nmilésimas.
c) El número 3.2270 tiene tres cifras signifificativas y su preccisión es de decenaas.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Indica el número de cifras significativas de los siguientes números decimales:
a) 5,067
b) 0,00065
c) 23,460
d) 0,0506
e) 203,040
d) 9,1405
e) 0,0034
2. Indica la precisión de las siguientes medidas:
a) 43,65
b) 3,489
c) 230
3. Efectúa las operaciones siguientes y da el resultado con la exactitud más razonable:
a) 3,4 · 1.200
18
b) 5,8 : 0,003
c) 0,207 · 12
d) 9,81 : 5
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Números racionales e irracionales
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Conoce, analiza, aplica...
6. REDONDEO Y TRUNCAMIENTO
A la hora de aplicar los criterios de precisión vistos anteriormente surge un problema:
¿cómo “cortamos”, y por dónde, las cifras decimales de un número? Hay dos procesos
que responden a estas preguntas: el redondeo y el truncamiento.
Analiza
¿Tu calculadora trunca o redondea?
Redondear consiste en buscar el número de la precisión requerida que más se aproxima (por exceso o por defecto) al número dado.
Truncar consiste en cortar sin más la serie decimal a partir de la precisión requerida.
Cuando se expresa un número real con una aproximación, se comete un error.
El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor
aproximado:
error absoluto = | valor real – valor aproximado |
El error relativo (en tanto por uno) es el cociente entre el error absoluto y el valor
aproximado:
error relativo = error absoluto
valor aproximado
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Trunca y red
e ondea a las miléési
simass lo
los sigu
guientess números racionales:
7
1
a)
b)
9
3
Cada vez que se trunca o se redondea se
comete un error. Por eso en los procesos de
cálculo rigurosos conviene no redondear los
resultados intermedios sino que es mejor esperar al resultado final.
)
Solución:
a) 7 = 0,7777777... = 0,7
9
Si truncamoss, obtenemos el número 0,777. Si redondeeamoss, el nú
úmero obtenido es 0,778.
b) 1 = 0,333333... = 0,3
3
En este casoo obtenemos el mismo número truncand
do quee redoondean
ndo,
0,333, ya quee la cifra siguieente en la qu
ue nos ten
nemos que fijaar paraa el redondeo es menoor que 5.
Observa
)
Observa
Para resolver problemas en los que se hacen
operaciones con números, es conveniente
estimar aproximadamente el orden de magnitud de los resultados y ver si éstos son
razonables en el contexto planteado en el
problema.
2. Redondea a millares las siguientes cantidades. ¿Cu
Cuán
á tas cifrass significati
tiva
v s
tienen los números redondeados?
a) 663.729
b) 563.902
c) 36.1233
d) 34.7990
Solución:
a) 664.000 (tress cifras significcativas)
b) 564.000 (trees cifraas sign
nificativvas)
c) 36.000 (dos cifras significativas)
d) 35.0000 (dos cifrass signifificativaas)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Trunca y redondea hasta la centésima las siguientes cantidades:
a) 27,8421
b) 3,745002
c) 321,25
2. Trunca y redondea hasta la milésima las siguientes cantidades:
a) 87,9497
b) 3,0555
c) 2,999999
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Números racionales e irracionales
Conoce, analiza, aplica...
Observa
En la notación científica, la potencia de 10 representa el orden de magnitud de la primera
cifra significativa.
Por ejemplo:
a) 566,7 = 5,667 centenas = 5,667 · 102
b) 0,00632 = 6,32 milésimas = 6,32 · 10–3
Recuerda
Potencias de 10
7. NOTACIÓN CIENTÍFICA
Es frecuente tener que usar cantidades muy grandes y también cantidades muy pequeñas. Estas cantidades son muy difíciles de expresar y de manejar a la hora de operar, y
por eso, para simplificar la representación de estos números, utilizamos la notación
científica, que consiste en expresar las cantidades utilizando potencias de 10 con exponente entero.
En la notación científica, los números se expresan como el producto de dos partes. En
la primera se recogen las cifras significativas, y en la segunda, la potencia de diez que
representa el orden de magnitud de la primera cifra significativa.
Ejemplos:
a) 0,0000673 = 6,73 · 10–5 (el orden de magnitud de la cifra 6 es de cienmilésimas, 10–5)
b) 8.340.000 = 8,34 · 106 (el orden de magnitud de la cifra 8 es de millones, 106)
Dado un número N, representarlo en notación científica es escribirlo en la forma
N = a · 10n, donde 1 ≤ a < 10 y n es un número entero.
106 = un millón
105 = cien miil
104 = diez miil
103 = mil
102 = cien
101 = diez
100 = unidadd
10–1 = décim
ma
10–2 = centéssima
10–3 = milésima
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Escribe en notación ci
cien
e tífica las siguien
ente
tes cantid
dad
ades:
a 186.000
a)
b) 0,0001
0123
2
c) 0,2866
d) 703
03,1
, 3
Solución:
a) Para expresar un número grande en notación científicca, se pone una cooma
detrás de la primera cifra y se cuentan las cifras que queedan por dettrás de esa
coma; ese nú
úmero será el exponente de la poteencia dee 10.
10–4 = diezm
milésim
ma
186.000 = 1,86 · 105
10–5 = cienm
milésim
ma
b) Para expresarr un número pequeño en notación
n científica, se pone una cooma
detrás de la primera cifra distinta de 0 y se cuenta el númeero de ceros que
hay a la izquiierda de esa cifra; ese núm
mero con
n signo negatiivo serrá el exxponente de la potencia de 100.
10–6 = millonnésim
ma
0,000123 = 1,23 · 10–4
c) Se procede ig
gual que en ell apartado b: 0,286 = 2,86 · 100–1
¿Sabías que...?
Las calculadoras científicas tienen tres modos diferentes de mostrar los números en la
pantalla:
• FIX (notación de coma fija). Es la forma
que se usa corrientemente para mostrar
los números.
• SCI (notación científica). Se muestran
en la pantalla los números en notación
científica. En la parte central de la pantalla aparecen las cifras significativas y a la
derecha, con cifras más pequeñas, la potencia de 10. Al escribir los números en
notación científica, se usa la tecla EXP
para introducir el exponente de 10.
• NORM (notación normal). En este modo,
generalmente se utiliza la notación de
coma fija, pero si los números son muy
grandes o muy pequeños, se pasa automáticamente a la notación científica.
20
d) Se procede ig
gual que en ell apartado a: 703,13 = 7,03133 · 102
2. Opera:
a) 6.250.000 · 0,00012
00 · 2.000.000
b) 45.000
30.0000
Solución:
a) En primer lug
gar, ponemos los númeross en notacción cien
ntífica. A con
ntinuacción
operamos con los númeross por un ladoo y con las potenccias dee 10 poor otro..
6.250.000 · 0,,00012 = 6,25 · 106 · 1,2 · 10–4 = (6,225 · 1,2) · (106 · 10–4) = 7,5 · 102
b) Seguimos loss mismos pasoos que en el apartadoo anterioor:
45.000 · 2.0000.000 = 4,5 · 104 · 2 · 106 = 4,5 · 2 · 104 · 106 = 3 · 104++6–4 = 3 · 106
30.0000
3 · 104
3
104
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Escribe en notación científica las siguientes cantidades:
a) 34.000.000
b) 0,00654
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Números racionales e irracionales
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8. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON NÚMEROS CONCRETOS
La técnica, el comercio y la vida en general plantean multitud de problemas que se resuelven haciendo uso de números. Los números concretos son los resultados de una
medida y deben ir acompañados de la correspondiente unidad.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Una em
empresa de art
rtes
e gráfifica
cass desea en
encuadernaar 1.
1 920 libros en el menor
tiempo pos
osib
ible. Un talleer de
d encua
uade
d rnacióón ha
h ce el trab
abaj
ajo en 32 días; otro,
en 96 días; y un ter
ercer taller, en
n 48 días. Tr
Trab
a ajandoo los
o tres talller
eres
e a la vez, ¿en
cuánto
toss días lo harán y cu
c ántos libros
os encuade
dern
r ará cada
da taller?
Solución:
En un día, el prim
mer taller enccuaderna 1.9920 / 32 = 60 libroos.
En un día, el seg
gundo taller encuaderna 1.920 / 966 = 20 lib
bros.
En un día, el terccer taller encu
uaderna 1.9220 / 48 = 40 libros.
Recuerda
Para hacer probblem
mass:
1º Lee y copiaa el enuunciaado con atencióón
para compreendeerlo bieen. Si es necesario,,
haz un esquuema o un dibujoo.
2º Distingue loos daatos de las incógnnittas y
busca una reelacióón enntre unos y otrass.
3º Desarrolla el prooblem
ma conn ordden, indi-cando en caada paso qué ess loo que estáás
calculando.
4º Da la solucción utiilizzando laas unidaddes
adecuadas.
5º Revisa los reesultaadoos,, viendoo si son razoonables o noo. Reevissa el proocesoo seguiddo
y mira si el probblem
ma se puuede haacer de
otra maneraa. Com
mpruueba la soluución.
Por consiguientee, en un día, loos tres tallerres trabajaando a laa vez encuadernan
n un
total de 60 + 200 + 40 = 120 libros.
Y, por tanto, tendrán el trabajjo preparadoo en 1.920 / 120 = 16 días.
En esos 16 días, el primer talleer encuaderrnará 960 libros; el segu
undo, 320 libros;
y el tercero, 6400 libros.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. ¿Cuántas botellas de 1/5 de litro son equivalentes a 60 botellas de 1/3 de litro?
2. ¿Cuánto costará un viaje de 256 kilómetros por carretera, si el consumo del coche es de 9,6 litros cada 100 km y el precio de la gasolina es en ese momento de
1,24 euros el litro?
3. La cabeza de un taladro gira a una velocidad de 350 r.p.m. (revoluciones por minuto) y taladra una chapa de 12/3 centímetros en 28 segundos. ¿Cuál es el avance? (El avance de un taladro se define como la distancia que profundiza en una
vuelta.) Expresa el resultado en centímetros y en pulgadas, sabiendo que una
pulgada es igual a 2,54 cm.
4. La velocidad del sonido es de 340 metros por segundo. ¿Cuál es la velocidad del
sonido expresada en kilómetros por hora?
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Números racionales e irracionales
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Ejercicios y problemas para reforzar
1. Escribe tres números naturales, tres enteros no naturales, tres racionales no enteros y tres reales no racionales.
√15 ; 2π; –0,6; 23 ; √3
√ .
2. En una escala, representa los siguientes números y después ordénalos de menor a mayor: – √
7
2
3. Calcula la expresión decimal de los siguientes números racionales:
100
1
a) 24
b) 58
c) 20
d) 6
e) 2
f) 2.000
4
3
7
5
4. Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales con períodos (no olvides simplificar el resultado).
a) 1,4
b) 0,976
c) 9,43
d) 0,0035
e) 0,4444... f) 0,0616161...
g) 12,3333... h) 1,565656...
i) 37,45787878....
j) 88,8832323232...
5. Resuelve las siguientes operaciones de números racionales y simplifica el resultado:
a) 3 + (4 – 5 )
b) 2 · 1 : 5
c) 3 : ( 5 + 9 )
d) 1 · ( 7 – 2 ) : 5
6
3 6 9
5 8 4
4 3 5 9
e) 4 + 1 · ( 1 + 3)
5 2
6. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala:
Redondeo
Truncamiento
Número
A la centésima A la diezmilésima A la centésima A la diezmilésima
8,745697
3,456739
2,123974
R
C
S
E
NO
UÍ
Q
A
IBIR
5,439802
7. Escribe en notación científica las siguientes cantidades:
a) 340.000.000 b) 567.000
c) 0,4672
d) 0,00546
f) 0,000000001 g) 1.670.000
h) 300
i) 0,002
e) 1.000.000.000
j) 23.456
8. Opera con las siguientes expresiones en notación científica:
a) 3 · 104 · 1,4 · 105
b) 5,23 · 10–6 · 2 · 103
d) 4,64 · 103 : 5,6 · 10–7
e) 4,5 · 102 · 6,1 · 10–4 : 1,5 · 10–8
c) 3,4 · 10–2 : 1,7 · 109
f) (4,8 · 106)2
9. Resuelve las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica con dos cifras significativas. Antes de hacerlo, estima el resultado mentalmente.
5
37,5 · 60,6 · 200
a) 3,1416 · 1,25 · 50
b)
c) 1,75 · 10 · 800.000
2,5 · 303 · 0,2
0,005 · 4,5
0,8 · 2,75 · 3
10. Halla el valor de las siguientes expresiones utilizando la calculadora. Redondea el resultado para darlo con cuatro cifras
significativas.
a)
22
(0,47 + 3,21)2 · 3,5
4,2 · (1 + 34 )
100
0,63
b) ( 3 · 0,857 +
) · ( 8 : 3 + 0,56)
5
99 4
3 +1
5
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Números racionales e irracionales
1
Ejercicios y problemas para ampliar
1. Hace dos días, David se comió una cuarta parte de un pastel; al día siguiente, dos quintas partes
de lo que quedaba; y al tercer día, un tercio del resto.
a) ¿Qué porción del pastel se comió David el segundo día? ¿Y el tercero?
b) ¿Qué fracción del total se comió?
)
)
)
)
)
)
)
)
2. Realiza las siguientes operaciones combinadas:
b) 3,45 – 2 : 5
c) 3 · 2,7 – 0,51
d) 2,35 · 1,93 – 7
e) 6 + 0,045 : 5,6
a) 3 + 1,2 – 0,8
5
5
7 6
8
12
3. Alba destina un tercio de su salario a los gastos domésticos y dos séptimas partes a la comida. ¿Qué parte le queda? Si cobra
1.200 euros, ¿cuántos euros gasta en cada cosa?
4. Realiza las siguientes operaciones y redondea el resultado final a la centésima:
a) 2,345 + 1,87 – 4,321
b) 1,098 · 3,005
c) 5,03 – 1,23 · 6,77
d) 5,4 : 0,18 + 2,456 · 3
e) (5,3 – 0,456) · 0,9
5. Un campesino vende las tres cuartas partes de lo que cosecha a los comercios de su pueblo y las tres quintas partes de lo
que le queda en el mercado del sábado. Si le sobran 15 kg para el consumo propio, ¿qué cantidad ha recogido?
6. Utilizando la siguiente tabla de equivalencias, calcula y redondea a la centésima el coste
en euros de cada uno de los artículos:
a) Un trozo de tarta que en Inglaterra cuesta 3 libras
b) Un suéter que en Estados Unidos cuesta 40 dólares
c) Una comida que en Japón cuesta 1.500 yenes
d) Una bebida que en Turquía cuesta 10 liras
e) Un regalo que en Tailandia cuesta 300 bahts
f) Una cámara de fotos que en la China cuesta 2.000 yuanes
1 euro equivale a...
0,79 libras esterlinas
1,26 dólares americanos
135,68 yenes japoneses
2,89 liras turcas
41,04 bahts tailandeses
7,75 yuanes chinos
7. Un camión transporta 5 millones de bolígrafos en cajas de 200 bolígrafos. ¿Cuántas cajas transporta? Las tiendas compran
las cajas de bolígrafos a 60 euros y luego venden cada bolígrafo a 50 céntimos de euro. ¿Qué beneficio sacan por cada caja
de bolígrafos comprada? Contesta las preguntas planteadas anteriormente usando la notación científica.
8. Calcula el valor de la siguiente expresión (antes de hacerlo, estima el resultado mentalmente):
0,000002
√ 0,001 ·500
Expresa el resultado en notación científica.
9. La masa de un átomo de hidrógeno es de 1,67 · 10–18 gramos. ¿Cuántos átomos hay en un kilogramo de hidrógeno?
1
10. El consumo de un coche de importación es de 3 2 galones de gasolina cada 100 millas. Expresa el consumo en litros de
gasolina cada 100 kilómetros, teniendo en cuenta que 1 galón son 3,78 litros y 1 milla son 1,61 kilómetros.
VOCABULARIO
La actividad que inicias en esta primera unidad didáctica tendrá continuidad en todas las unidades del libro. Se pretende
que elabores un diccionario personal de vocabulario matemático en tu cuaderno o fichero Word, ordenando las palabras
alfabéticamente y explicando su significado. Te ayudará a afianzar los conceptos más importantes de cada unidad y a ampliar la terminología matemática.
•
•
•
•
•
•
•
cifras significativas
error absoluto
error relativo
escala
exactitud
fracción generatriz
jerarquía de las operaciones
•
•
•
•
•
•
•
notación científica
números decimales
números decimales periódicos mixtos
números decimales periódicos puros
números enteros
números irracionales
números naturales
•
•
•
•
•
números racionales
números reales
precisión
redondear
truncar
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1
Números racionales e irracionales
Aplicaciones TIC
CALCULADORAS CIENTÍFICAS
En esta unidad vas a aprender a usar otra función de tu calculadora. Como
has visto a lo largo de la unidad, los números que tienen muchos ceros se
pueden simplificar bastante utilizando la notación científica. Tu calculadora
también tiene esta función.
Busca la tecla EXP (o ×10x , según el modelo de calculadora). Suele estar
entre · y Ans .
Vamos a ver con un ejemplo cómo introducir en la calculadora un número
en notación científica. Imagina que quieres introducir en notación científica el siguiente número: 2,83 · 104. Tienes que teclear el número 2,83, luego
pulsar la tecla indicada anteriormente ( EXP o ×10x ) y por último escribir el
exponente del 10, que en nuestro caso es 4. Es decir, la secuencia que has de
seguir es 2 · 8 3 EXP 4 (o bien 2 · 8 3 ×10x 4 ). Pulsando la tecla =
aparecerá el número en la pantalla.
Si el número que quieres introducir tiene exponente negativo, debes proceder de la misma manera. Por ejemplo, para 1,569 · 10–8 tendrás que teclear la
secuencia siguiente: 1 · 5 6 9 EXP – 8 (o bien 1 · 5 6 9 ×10x – 8 ).)
Para operar con números en notación científica no hay que hacer nada especial. Se hace igual que con el resto de los números.
PRÁCTICAS
Realiza las siguientes operaciones con números expresados en notación científica utilizando la calculadora:
a) 3 · 104 · 1,4 · 10–5
b) 5,23 · 10–6 · 2 · 103
c) 3,4 · 10–2 : 1,7 · 109
d) 4,64 · 103 : 5,6 · 10–7
e) 4,5 · 102 · 6,1 · 10–4 : 1,5 · 10–8
OPERAR CON FRACCIONES USANDO LA CALCULADORA
Como seguramente sabes, en la calculadora se pueden hacer operaciones con fracciones, expresadas con su nub
merador y denominador. Para ello se usa la tecla a c (o , según el modelo de calculadora).
b
Veamos un ejemplo. Para escribir 65 se sigue esta secuencia en la calculadora: 6 a c 5 .
También se pueden introducir fracciones como números mixtos. Por ejemplo, el número mixto 4 2 se introduce
3
así:
b
4 a c 2 a bc 3
Una vez introducidos así los datos de una operación, los resultados también se obtienen en modo de fracción. La opción por
defecto es dar la fracción en forma de número mixto, pero si se quiere leer como fracción irreducible basta elegir la segunda
opción: SHIFT a bc .
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Números racionales e irracionales
1
Aplicaciones TIC
En la pantalla se usa como raya de fracción el símbolo .
Las calculadoras científicas más avanzadas tienen un editor de pantalla que permite ver las fracciones en su forma habitual. En
estas calculadoras, con la tecla SÙD se puede pasar de forma de fracción a forma decimal y viceversa.
EJERCICIOS
Usa la calculadora para efectuar las siguientes operaciones con fracciones:
a) 5 – 3
7 5
b) 1 + 2
2
c) 3 – 1 · 4 + 1
2 5
5
EL NÚMERO PI EN LA WEB
Todos sabemos que pi (π) es un número con muchas cifras decimales sin períodos (se trata de un número irracional). Muchos
matemáticos, desde Arquímedes, se han preocupado de hallar cada vez más decimales de este número. Hoy en día, gracias a los
ordenadores, se pueden conocer millones y millones de cifras del número pi.
Cabría pensar que, si el número pi es una larguísima cadena de cifras que aparentemente no siguen ningún patrón, posiblemente aparecerá en él, tarde o temprano, cualquier subcadena de números. Por ejemplo, me puedo preguntar si las cifras de la fecha
de mi cumpleaños, o las de mi número de móvil, estarán dentro del número pi.
y puedes encontrar respuesta a esas preguntas, ya que permite buscar cualEn The Pi-Search Page (www.angio.net/pi/piquery)
quier cadena de números dentro de las cifras del número pi. Por ejemplo, 55 aparece por primera vez en el número pi a partir
de la posición 130.
También ofrece interesantes informaciones sobre este fascinante número.
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1
Números racionales e irracionales
Aplica tus conocimientos
Como se ha indicado ya a lo largo del tema, la notación científica es una forma sencilla de expresar números muy grandes.
Uno de los campos en que más se utiliza es la astronomía, ya que las distancias que se miden en esta ciencia son enormes. Te
proponemos a continuación algunos ejercicios relacionados con la astronomía para que practiques con la notación científica
y aprendas más sobre dicha disciplina.
Como te puedes imaginar, la distancia entre la Tierra y cualquier otro cuerpo celeste es de un número de kilómetros de un
orden de magnitud tan elevado que hace muy incómodo poder trabajar con él. Por eso los astrónomos decidieron crear una
nueva unidad de medida que facilitase estos cálculos. La unidad de medida que eligieron fue la distancia de la Tierra al Sol y
la llamaron unidad astronómica.
Así, pues, se llama unidad astronómica (UA) a la distancia media entre la Tierra y el Sol, distancia que, por definición, es igual
a 149.597.870.700 metros.
Conocido este dato, responde en tu cuaderno las siguientes cuestiones:
1. Escribe esa cantidad en notación científica con tres cifras significativas. Luego pásala a kilómetros:
1 UA = ... m = ... km
2. En la siguiente tabla se encuentran recogidas las distancias de cada uno de los planetas del Sistema Solar al Sol.
Copia la tabla en tu cuaderno y complétala utilizando la calculadora científica. Da el resultado con tres cifras significativas.
Planeta
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
26
Distancia (km)
5,79 · 107
1,08 · 108
1,50 · 108
2,28 · 108
7,79 · 108
1,43 · 109
2,87 · 109
4,50 · 109
Distancia (UA)
1
NO
C
ES
R
I
IB
R
Í
U
AQ
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Números racionales e irracionales
1
Aplica tus conocimientos
3. Ayudándote de la tabla anterior y de la calculadora, indica las distancias entre las órbitas de los siguientes planetas:
a) Mercurio y Neptuno
b) Urano y Marte
c) Júpiter y Saturno
d) La Tierra y Venus
e) La Tierra y Marte
f) Venus y Urano
4. Imagina ahora que estás construyendo una maqueta del Sistema Solar. ¿A qué distancia de Neptuno deberías colocar el Sol
para que tu maqueta fuese a escala, si has puesto la Tierra a 30 cm del Sol?
Sol
Tierra
Neptuno
30 cm
xm
5. Busca información en Internet o en alguna enciclopedia para contestar las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el radio del planeta Tierra?
b) ¿Cuántos habitantes tiene nuestro planeta?
c) ¿Cómo se calcula la superficie de una esfera si se conoce su radio?
6. Calcula, con los datos que acabas de buscar:
a) La superficie de la Tierra
b) La superficie correspondiente a tierra firme (una cuarta parte de la superficie total de la Tierra)
c) La superficie habitable de la Tierra (ten en cuenta que, de
toda la superficie de la Tierra, solamente es habitable un
70%, aproximadamente, ya que deben descontarse los círculos polares, las cumbres inaccesibles, los desiertos extremos, etc.)
d) La parte de la superficie habitable de la Tierra que corresponde a cada uno de sus habitantes. Expresa el resultado en
hectáreas. Luego comentad en clase el resultado que habéis
obtenido.
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Números racionales e irracionales
Mapa conceptual
Números ra
aciionales e
irraccionales
Conjuntos num
méricoss
Naturralees
Enteeros
Clasees de
fraccion
nes
equivalenttes
Racion
nalees
See
represeentaan
con
n....
Son
n...
Númerross
decimaless con
perío
odoss
Reaalees
See
represeentaan
con
n....
Númerross
decim
maless
See
aproxim
man
n
con
n....
Exacto
os
Periód
diccos
puros
Truncam
mien
nto
o
Periód
diccos
mixtoss
Redon
ndeo
o
See
expreesan
an
con
n....
Notaciión
cienttífi
fica
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Números racionales e irracionales
1
Autoevaluación
DE CONCEPTOS
DE CONCEPTOS
DE COMPETENCIAS
1. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Todo número entero es racional.
b) Todo número racional es natural.
c) Todo número natural es entero.
d) Todo número racional se puede expresar en forma
de fracción.
e) Todo número decimal periódico es racional.
2. La representación gráfica del número racional 7 es...
4
0
a) A
A
B
1
b) B
C
2
c) C
D
d) D
3
E
4
e) E
3. ¿Cuál de las siguientes expresiones es exactamente
igual a 1 ?
9
a) 3–2
b) 1,9
c) 2 – 3
d) 0,111
3 8
e) Ninguna de las anteriores.
4. El número 0,0625 es la expresión decimal de...
a) 625
b) 1
c) 1
d) 1
60
16
25
100
e) Ninguno de los anteriores.
1. Antonio alquila una furgoneta. La compañía de alquiler le cobra 60 euros por día, además de lo que gaste
en gasolina. La furgoneta gasta 1 litro de gasolina cada
12,5 km. La gasolina cuesta 135 céntimos de euro por
litro.
El lunes, Antonio alquila la furgoneta y conduce de La
Coruña a Oviedo. El martes conduce de Oviedo a Madrid. El miércoles conduce de vuelta a La Coruña desde Madrid y devuelve la furgoneta. Antonio usa la siguiente tabla informativa de distancias y estima que el
total del alquiler y la gasolina le puede costar un total
de 350 euros.
La Coruña
591
286
642
Madrid
446
453
Oviedo
382
San Sebastián
Calcula el total del gasto. ¿Se ha aproximado bien Antonio al coste? ¿Qué error ha cometido?
2
5. El resultado de la operación 1,333... + 12,5858... es
igual a...
1.376
a) 1.420 b) 9
c) 1.416
d) 1.378
99
9
99
e) Ninguno de los anteriores.
6. ¿Cuál de los siguientes números es igual a mil setenta
y tres millonésimas?
a) 0,173 · 10–6
b) 1,73 · 10–3
c) 0,001073
d) 0,01073
e) Ninguno de los anteriores.
2. Si ABCD es un cuadrado y E y F son los puntos medios
de los lados AB y BC,
C respectivamente, ¿qué fracción
del cuadrado ocupa la zona anaranjada?
A
E
B
F
7. ¿Cuál es el valor de la expresión 0,001 · 0,000002 ?
500
a) 4 · 10–8
b) 4 · 10–11
c) 4 · 10–13
d) 4 · 10–12
e) Ninguna de las anteriores.
8. ¿Cuál de las siguientes series está correctamente ordenada?
a) –0,1 < –0,01 < 10–3 < √2
√ < 5 < |√3
√ |< 5
3
7
5
5
–3
b) –0,1 < –0,01 < 10 < √2
√ < < < |√3
√ |
3 7
c) –0,1 < 0,1 < 10–3 < √2
√ < 5 < 5 < |√3
√ |
3 7
d) –0,1 < –0,01 < 10–3 < √2
√ < 5 < 5 < |√3
√ |
7 3
e) Todas las series anteriores son incorrectas.
D
C
3. En el diagrama de la figura se ha representado el resultado obtenido por el partido X en un congreso de 225
diputados. ¿Cuántos diputados obtuvo ese partido?
X
32º
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