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¡SIN CALCULADORA!
Durante mis años como profesor de matemáticas de ESO y Bachillerato, por
desgracia, me he encontrado frecuentemente con alumnos que, ante preguntas como
12 por 10 ó 250 entre 10, echan mano de la calculadora con una velocidad superior a
como lo hacía John Wayne con sus pistolas. Por esta razón no dejo a mis alumnos de
secundaria el uso de la calculadora, siguiendo el ejemplo de D. Pascual, mi profesor
durante el BUP.
A cambio, les enseño trucos para agilizar su cálculo mental en algunas operaciones
sencillas, que a la vez de prácticas, suelen gustarles mucho cuando cogen soltura.
Detallaremos algunos de estos trucos. A mis alumnos empiezo por recordarles las
multiplicaciones y divisiones por potencias de 10, pero aquí por razones evidentes las
pasaremos por alto.
1) Multiplicación por 11
Este método es bastante extendido pero no es conocido por todos, por lo que vamos a
comenzar por él.
Cuando multiplicamos un número de dos cifras por 11, pondremos dicho número en
los extremos (centenas y unidades) y dejaremos un hueco para añadir la suma de
dichas cifras.
Ejemplos:
34 x 11
pondremos 3 _ 4, en las decenas pondremos la suma de 3 + 4, es decir, 7,
por lo que 34 x 11 = 374
Hagamos este otro ejemplo:
68 x 11
pondremos 6 _ 8, y calculamos 6 + 8 = 14. Como el resultado es mayor
que 9, sumaremos 1 a las centenas, quedándonos
68 x 11 = 748
Para calcular el producto de un número de más de dos cifras por 11, procederemos de
forma similar:
453 x 11
como el primer factor es de tres cifras, el producto será de cuatro cifras,
de la forma 4 _ _ 3
En los dos huecos pondremos la suma de cada pareja de cifras
vecinas:
4 + 5 = 9 y 5 + 3 = 8, por tanto:
453 x 11 = 4983
Un último ejemplo, más complicado:
6472 x 11
Como el primer factor es de 4 cifras, el producto será de 5 cifras de la
forma 6 _ _ _ 2
En los huecos pondremos 6 + 4=10, 4 + 7=11 y 7 + 2 = 9, como las dos primeras
sumas nos dan más de 9, añadiremos una unidad al siguiente número de su izquierda,
por lo que:
6472 x 11 = 71192
2) Multiplicaciones por 5
Cuando queremos multiplicar un número por 5, para hacerlo de forma rápida,
dividamos dicho número entre 2 y le añadimos un 0. Ya que 5 = 10 : 2
Ejemplos:
14 x 5
hacemos 14 : 2 = 7
88 x 5
calculamos 88 : 2 = 44
por lo que 14 x 5 = 70
por tanto
88 x 5 = 440
3) Divisiones entre 5
Procederemos de forma análoga al truco anterior, pero multiplicando por 2 y quitando
un 0. Así, tenemos los siguientes ejemplos:
240 : 5 realizar esta división es lo mismo que calcular 24 x 2 de esta forma 240 : 5 =48
135 : 5 en este caso, como el dividendo no termina en 0, haremos 135 x 2 = 270 y a
continuación quitamos el cero, por lo que 135 : 5 = 27
4) Cuadrados de números que terminan en 5
Para calcular el cuadrado de un número cuya unidad es 5, lo haremos de la siguiente
forma: Multiplicaremos las decenas por una unidad superior y a ese número le
pondremos un 25 a la derecha.
Ejemplos:
352
las decenas son 3, por lo que calculamos 3 x 4 = 12 a este número le añadimos
el 25 a la derecha, por tanto 352 = 1225
852
ahora haremos 8x9 = 72
852 = 7225
Cuando el número es de más de dos cifras, se procede de la misma manera, aunque
su cálculo mental no siempre es fácil. Por ejemplo, para calcular 2352, las decenas de
este número son 23, por tanto deberíamos calcular 23 x 24, pero esta operación no es
tan evidente a primera vista. Sin embargo, podemos encontrarnos con otros casos,
que aunque sean de más de dos cifras, su cálculo sí es sencillo. Veamos estos
ejemplos:
2052
ahora debemos calcular 20 x 21, que es más sencillo, dándonos 420, por lo
que
2052 = 42025
10052
las decenas de este número es 100, por lo que haremos 100 x 101 = 10100.
Por tanto:
1652
10052 = 1010025
en esta ocasión debemos calcular 16 x 17, operación que de momento no es
sencilla, pero después de tratarlo en el truco 8), podremos calcularlo mentalmente.
Cuando se practique sabremos que 16 x 17 = 272 de esta forma: 1652 = 27225
5) Multiplicación de dos números con las mismas decenas y cuyas unidades
sumen 10
Este truco es una ampliación del anterior, por lo que se realizará la misma operativa,
pero en las dos últimas cifras, en vez de 25, pondremos el producto de las unidades.
Ejemplos:
34 x 36
exactamente igual que antes, multiplicaremos 3 x 4 = 12 y le añadiremos
4 x 6 = 24
Así nos queda que: 34 x 36 = 1224
41 x 49
multiplicamos 4 x 5 = 20 y le añadimos 1 x 9 = 9 como necesitamos dos
cifras, pondremos: 09
Finalmente:
41 x 49 = 2009
Podemos hacerlo igualmente con números más grandes siempre que las unidades
sumen 10.
113 x 117
hacemos 11 x 12 = 132 (aplicando la regla de multiplicar por 11), por
otro lado calculamos:
3 x 7 = 21
En definitiva nos queda:
113 x 117 = 13221
6) Cuadrados de números entre 50 y 59
Parecido al truco 4), pero ahora el 25 se pondrá al principio, sumándole las unidades,
y dejaremos dos huecos para el cuadrado de las unidades.
Ejemplos:
512
sumamos 25 con las unidades de este número, por tanto, hacemos 25 + 1 = 26
Ponemos este resultado, con dos huecos a la derecha: 26 _ _
En los huecos ponemos el cuadrado de 1, es decir, 01. Finalmente:
512 = 2601
542
procedemos de la misma manera, calculamos 25 + 4 = 29 y en los dos huecos
ponemos el cuadrado de 4, es decir, 16.
Deducimos que: 542 = 2916
Por último:
572
calculamos 25 + 7 = 32 y 72 = 49 ⇒
572 = 3249
7) Cuadrados de los números entre 10 y 20
Normalmente les pido a mis alumnos que se aprendan de memoria los cuadrados
desde el 1 hasta el 20. Pero también tenemos un método para calcularlo rápidamente:
Sumaremos el número completo más las unidades y dejaremos un hueco a la derecha
para el cuadrado de las unidades
Ejemplos:
122
primero sumamos 12 + 2 = 14 por lo que tendremos 14 _ en este hueco
ponemos el cuadrado de 2, que es 4. Por tanto:
132
al igual que antes, hacemos 13 + 3 = 16
122 = 144
como el cuadrado de 3 es 9, nos
2
queda que: 13 = 169
Cuando tenemos un número cuyo cuadrado es de más de una cifra, lógicamente se lo
sumaremos al número calculado previamente.
162
hacemos 16 + 6 = 22 por lo que el resultado será de la forma 22 _, por otro
2
lado 6 = 36, por tanto pondremos un 6 en el hueco y sumamos 3 al 22 ; de esta forma
tenemos que: 162 = 256
192
igualmente calculamos 19 + 9 = 28 y por otro lado 92 = 81, sumamos 8 al 28
calculado inicialmente. Por tano:
192 = 361
8) Multiplicación de dos números entre 10 y 20
Este truco es la generalización del anterior. Procederemos de forma análoga. Primero
calcularemos la suma de un número con las unidades del otro, dejando un hueco a la
derecha para el producto de las unidades.
Ejemplos:
12 x 13 para su cálculo, primero haremos una de estas dos sumas: 12 + 3 ó 13 + 2
que nos da 15 en cualquiera de los casos, por otro lado multiplicamos las unidades de
ambos números: 2 x 3 = 6 y lo colocamos a la derecha del primer resultado. Por tanto:
12 x 13 = 156
Al igual que antes, si la multiplicación de las unidades es de más de una cifra, se lo
sumaremos a la primera cantidad calculada:
14 x 17
hacemos 14 + 7 ó 17 + 4 = 21, por otro lado calculamos 4 x 7 = 28,
pondremos un 8 en las unidades y sumaremos el 2 al 21. De esta forma: 14 x 17 = 238
16 x 15 de forma análoga hacemos 16 + 5 = 21 y por otro lado 6 x 5 = 30, por lo que
dejamos el cero en las unidades y sumaremos 3 al 21. Nos queda que: 16 x 15 = 240
9) Multiplicación de dos números entre 100 y 110
Siguiendo el mismo procedimiento que el truco anterior, sumaremos uno de los
números con las unidades del otro, pero en esta ocasión dejamos dos huecos para la
multiplicación de las unidades.
Ejemplo:
104 x 108
elegimos una de las dos sumas 104 + 8 ó 108 + 4 que nos da 112, por
otro lado, multiplicamos las unidades de ambos números, 8 x 4 = 32. Esta cantidad la
colocamos a la derecha del número calculado previamente. Así: 104 x 108 = 11232
102 x 109
procedemos de la misma manera, sumamos 102 + 9 ó 109 + 2 = 111, y
2 x 9 = 18. Finalmente tenemos que: 103 x 109 = 11118
10) Multiplicación de dos números entre 90 y 100
Es un método similar al anterior, aunque un poco más complejo, por lo que para la
enseñanza de este método, los alumnos deben tener gran manejo de los anteriores.
En esta ocasión, primero calcularemos la diferencia de 100 con cada número.
Restaremos una de las diferencias con el otro número y añadiremos dos cifras con el
producto de las diferencias.
Ejemplos:
95 x 97 Primero calculamos la diferencia de 100 con cada número, es decir 100 – 95 y
100 – 97, dándonos 5 y 3 respectivamente. Restamos una de estas diferencias al otro
número, es decir, 95 – 3 ó 97 – 5 independientemente de la resta elegida nos dará 92.
Por tanto el número que buscamos será de la forma: 92 _ _.
Estos dos huecos son para el producto de las diferencias, en nuestro caso 3 x 5 = 15.
Por tanto: 95 x 97 = 9215
92 x 96 Las diferencias de ambos números con 100 son 8 y 4. Realizamos alguna de
estas dos restas 92 – 4 ó 96 – 8 = 88. Por otro lado, 8 x 4 = 32. De esta forma nos
queda que: 92 x 96 = 8832
11) Multiplicaciones de 37 por múltiplos de 3
Esta regla no es demasiado práctica, pero la vamos a estudiar debido a su curiosidad.
Cuando multiplicamos el número 37 por un múltiplo de 3, obtenemos tres veces
repetidas dicho numero dividido entre 3.
Ejemplos:
37 x 3 primero calculamos 3 : 3 = 1
Por tanto:
37 x 3 = 111
37 x 6 análogamente calculamos 6 : 3 = 2
Por tanto:
37 x 6 = 222
37 x 15 en esta ocasión hacemos 15 : 3 = 5
Por tanto:
37 x 15 = 555
37 x 27 donde 27 : 3 = 9 de la misma manera tenemos que:
37 x 27 = 999
Y así hasta llegar a:
Para números mayores de 27 también se cumple esta norma, pero al ser sus
cocientes de más de una cifra, debemos sumar las decenas de unos con las unidades
del siguiente.
37 x 45 dividimos como siempre el número entre 3, de tal forma que 45 : 3 = 15
deberíamos poner 15;15;15, como el resultado tiene que ser de cuatro cifras,
sumaremos cada uno de los 1 con los 5 de su izquierda, quedándonos finalmente:
37 x 45 = 1665
Lo cual, sigue siendo igual de poco práctico y no es tan curioso como los nueve
primeros.
Espero que todos estos trucos sean de utilidad y contribuyan a que los alumnos cojan
mayor destreza en el cálculo mental.
Para la elaboración de este artículo me he basado en recopilaciones que he ido
haciendo a lo largo de mis años como profesor, por lo que es imposible saber todas
las fuentes usadas. Dejo una a continuación:
Referencias:
Ignátiev, E.I. (1986). En el reino del ingenio. Moscú. Ed. Mir
Enrique Salazar Dutrús