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Tema 1. Números Naturales I
Javier Rodríguez Ruiz
Curso 2012-2013
Índice
1. Introducción a los números naturales
2
2. Suma y resta de números naturales
5
3. Producto y división de números naturales
8
4. Potencias y raíz cuadrada de números naturales
13
5. Operaciones combinadas
17
1
1.
Introducción a los números naturales
¿Qué son los números naturales?
• Los números naturales son los números que utilizamos para contar. Son números
naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, etc.
Ejemplo. Identifica
√ los números naturales de entre los siguientes: 84; 1,5; -5; 29;
2/3; 4 000 000;
2; π; 153 682.
Resp. Son números naturales: 29; 84; 4 000 000; 153 682. 2
¿Qué es el sistema de numeración decimal?
• El sistema de numeración decimal es el sistema que utilizamos para representar
números. Se llama decimal porque utiliza diez cifras distintas, que son: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9.
• En el sistema de numeración decimal la posición de las cifras es muy importante.
Por ejemplo, 71 no es el mismo número que 17.
¿Qué nombre recibe cada posición?
• Para entender el nombre de las posiciones voy a usar las siguientes abreviaturas:
unidades (U), decenas (D), centenas (C), millares (M), millones (M), billones (B).
• Como sabemos, cada unidad vale uno, cada decena vale diez, cada centena vale
cien, cada unidad de millar vale mil.
UB
CMM
DMM
UMM
CM
DM
UM
CM DM UM C
D
U
Ejemplo. En el número 5 023 857 la cifra de las unidades es el 7, la cifra de las
decenas es el 5, la cifra de las centenas es el 8, la cifra de las unidades de millar es
el 3, la cifra de las decenas de millar es el 2, la cifra de las centenas de millar es el
cero, la cifra de las unidades de millón es el 5 y la cifra de las decenas de millón
y posteriores es el 0. 2
Ejemplo. Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos coches son siete decenas de coches? b) ¿Cuántos bolis son cuatro centenas de bolis? c) ¿Cuántos
móviles son treinta y cinco unidades de móviles? d) ¿Cuántas gomas son cuarenta
y dos centenas de gomas? e) ¿Cuántos huevos son dos docenas de huevos? f) ¿Es
lo mismo 34 que 340? ¿Y 34 que 034?
Resp. a) 70; b) 400; c) 35; d) 4200; e) 24; f) No. Sí. 2
2
Ejemplo. Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Qué número es 87 unidades?
b) ¿Y 43 unidades de millar? c) ¿Y 25 unidades de millón? d) ¿Y 148 unidades
de millar de millón? e) ¿Y 65 unidades de billón?
Resp. a) 87; b) 43 000; c) 25 000 000; d) 148 000 000 000; e) 65 000 000 000 000. 2
¿Cómo se escriben los números naturales?
Vamos a estudiar las reglas para escribir números naturales:
• Del 0 al 30 con una sola palabra. Ejemplos: cuatro, veintitrés, dieciocho.
• Del 31 al 99 así: D + y + U. Ejemplos: cincuenta, cincuenta y siete, noventa y
uno.
• Del 100 al 999 así: UCciento(s) + resto del número. Ejemplos: doscientos treinta,
ciento dos, cuatrocientos veintiocho, quinientos setenta y seis.
• La palabra mil va separada. Ejemplos: siete mil, ocho mil ochocientos, cuatro
mil trescientos uno, setecientos treinta y dos mil veintiocho.
• Las palabras millón y millones van separadas: Ejemplos: cinco millones, trece
millones cien mil sesenta y tres, cuatrocientos quince mil siete millones doscientos
cuatro mil quinientos catorce.
¿Qué es la semirrecta natural?
• La semirrecta natural es una semirrecta en la cual podemos representar los
números naturales. En el extremo de la semirrecta ponemos el 0, luego el 1, luego
el 2, etc. siempre con la misma distancia entre números.
¿Cómo se comparan los números naturales?
• Dados dos números naturales, si nos los imaginamos en la semirrecta natural,
decimos que el mayor de los dos números es el que está más a la derecha y que el
menor de los dos números es el que está más a la izquierda.
• El símbolo < se lee “menor que”.
Ejemplo: 3 < 5 se lee “tres es menor que 5”. 2
• El símbolo > se lee “mayor que”.
Ejemplo: 7 > 4 se lee “siete es mayor que cuatro”. 2
3
• Una lista de números está ordenada de forma creciente o ascendente si el primer
número de la lista es el menor de todos y continúo así hasta terminar con el mayor
de todos.
Ejemplo. Ordena de forma creciente la siguiente lista: 11; 36; 7; 50; 4.
Resp. 4; 7; 11; 36; 50. 2
• Una lista de números está ordenada de forma decreciente o descencente si el
primer número de la lista es el mayor de todos y continúo así hasta terminar con
el menor de todos.
Ejemplo. Ordena de forma descendente la siguiente lista: 51; 72; 27; 8; 63.
Resp. 72; 63; 51; 27; 8. 2
Ejemplo. Escribe el símbolo < o > entre cada par de números: a) 2 7; b) 0 2;
c) 51 29; d) 11 8.
Resp. a) <; b) <; c) >; d) >. 2
Ejemplo. Ordena de forma creciente: 4; 8; 5; 1; 23; 17.
Resp. 1; 4; 5; 8; 17; 23. 2
Ejemplo. Ordena de forma decreciente: 1; 25; 16; 42; 13; 37.
Resp. 42; 37; 25; 16; 13; 1. 2
¿Cómo se trunca un número natural?
• Truncar es una forma de aproximar un número por otro más sencillo. Nos tienen
que decir el orden de cifra al que truncamos. Para truncar sustituimos por ceros
las cifras que estén a la derecha del orden al que trunquemos.
Ejemplo. Trunca a las decenas los siguientes números: 24; 537; 4240; 881; 695.
Resp. 20; 530; 4240; 880; 690. 2
Ejemplo. Trunca a los millares los siguientes números: 7830; 14 584; 49 700; 286 003;
60 309.
Resp. 7000; 14 000; 49 000; 286 000; 60 000. 2
¿Cómo se redondea un número natural?
• Redondear es otra forma más precisa de aproximar un número por otro más
sencillo. Nos tienen que decir el orden de cifra al que redondeamos. Para redondear
nos fijamos en la cifra situada justo a la derecha del orden al que redondeamos; si
vale entre 0 y 4, hacemos lo mismo que cuando truncábamos; pero si vale entre 5
y 9 sumamos 1 a la cifra del orden y sustituimos por ceros las cifras a la derecha
del orden.
Ejemplo. Redondea a las decenas los siguientes números: 24; 537; 4240; 881; 695.
4
Resp. 20; 540; 4240; 880; 700. 2
Ejemplo. Redondea a los millares los siguientes números: 7830; 14 584; 49 700;
286 003; 60 309.
Resp. 8000; 15 000; 50 000; 286 000; 60 000. 2
2.
Suma y resta de números naturales
¿Qué es sumar?
• Sumar dos números naturales es añadir al primer número tantas unidades como
indique el segundo número; para ello usamos el símbolo +.
• Cada número que aparece en la suma se llama sumando y el resultado de sumar
se llama suma.
Ejemplo. En la suma 13 + 5 = 18; 13 es un sumando, 5 es otro sumando y 18 es
la suma. 2
• Como ya sabemos, el orden de los sumandos no altera la suma. Esta propiedad
se llama propiedad conmutativa de la suma.
Ejemplo. Imagina que Guille tiene 3 canicas, Mara 2 canicas y que queremos saber
cuantas canicas tienen entre los dos. Nos da exactamente igual empezar contando
las de Guille y continuar con las de Mara, que hacerlo al revés, pues en ambos
casos tendremos 5 canicas. Es decir, si a 3 le añado 2 da 5, lo mismo que si a 2 le
añado 3. Por tanto, 3 + 2 = 2 + 3 = 5.
∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗ 2
¿Cuándo debemos sumar?
Hay dos casos en los que debemos sumar:
• Primero. Sumaremos cuando juntemos varias cantidades del mismo tipo.
Ejemplo. En un bolsillo del pantalón tengo 70 céntimos, en el otro 45 céntimos y
encima de la mesa 90 céntimos, ¿cuántos céntimos tengo en total?
Resp.70 + 45 + 90 = 225 céntimos. 2
• Segundo. Sumaremos cuando realicemos acciones del mismo tipo.
Ejemplo. Ayer andé 20 km, hoy he andadado 15 km y mañana tengo previsto
andar 18 km, ¿cuántos kilómetros andaré entre los tres días?
Resp. 20 + 15 + 18 = 53 km. 2
5
¿Qué es restar?
• Restar dos números naturales es quitarle al número mayor tantas unidades
como tenga el número menor; para ello usamos el símbolo −.
• El primer número se llama minuendo y debe ser el mayor, el segundo número
se llama sustraendo y debe ser el menor; el resultado de restar se llama resta o
diferencia.
Ejemplo. En la resta 13 − 5 = 8; 13 es el minuendo, 5 es el sustraendo y 8 es la
resta o diferencia. 2
• ¡OJO! La resta NO tiene la propiedad conmutativa.
¿Cuándo debemos restar?
Hay tres casos en los que debemos restar:
• Primero. Restaremos cuando a cierta cantidad queramos quitarle otra cantidad
menor o igual del mismo tipo.
Ejemplo. Guille tenía 20 canicas y Mara le ha quitado 5 canicas. ¿Cuántas canicas
tiene ahora Guille?
Resp. 20 − 5 = 15. 2
• Segundo. Restaremos cuando queramos saber la diferencia que hay entre dos
cantidades del mismo tipo.
Ejemplo. Ayer andé 7 km y hoy he andadado 18 km. ¿Cuántos kilómetros de diferencia hay entre lo que andé ayer y lo que he andado hoy?
Resp. 18 − 7 = 11. Hoy he andado 11 km más que ayer. 2
• Tercero. Restaremos cuando queramos saber el saldo de acciones contrarias.
Ejemplo. El lunes gané 37 € y hoy que es martes me he gastado 29 €. ¿Tengo ahora
más dinero que el domingo o menos? ¿Cuánto?
Resp. Como el lunes gané más de lo que gasté el martes, el saldo neto es que he
ganado. 37 − 29 = 8 € he ganado desde el domingo. 2
Ejemplo. El jueves tenía en mi monedero unos ahorrillos. El viernes me dieron 6 €
de propina y los metí en el monedero. Hoy que es sábado fui al cine y necesité
coger 8 € del monedero. ¿Tiene ahora el monedero más dinero que el jueves o
menos? ¿Cuánto?
Resp. Como el sábado gasté más de lo que metí el viernes, el saldo neto es que he
gastado. 8 − 6 = 2; luego el monedero tiene hoy 2 € menos que el jueves. 2
6
¿Cómo adivinar números I?
• En esta pregunta vamos a aprender a adivinar números gracias a que la suma
y la resta están íntimamente relacionadas. Veámoslo.
• El símbolo ⇐⇒ , se lee “es equivalente” y quiere decir que si lo que está
a la izquierda del símbolo es verdad, lo de la derecha del símbolo también es
verdad, y viceversa. Cuando usemos el símbolo ⇐⇒ diremos que estamos usando
equivalencias. Veamos dos equivalencias que nos ayudarán a adivinar números.
Ejemplo. 3 + 2 = 5 ⇐⇒ 5 − 2 = 3 ⇐⇒ 5 − 3 = 2
∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⇐⇒
⇐⇒ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ⇐⇒
⇐⇒ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗
• Estas equivalencias que hemos puesto con el 2, el 3 y 5 valen con otros números
cualesquiera. Cuando queramos expresar que algo vale para números cualesquiera
no usaremos números concretos sino letras. Por tanto si a, b y c son números
naturales cualesquiera, se cumple lo siguiente:
a + b = c ⇐⇒ c − b = a ⇐⇒ c − a = b
• Estas equivalencias nos sirven como prueba de la suma y de la resta y también
nos sirven para adivinar números desconocidos. Fíjate en los ejemplos, donde
llamaremos x al número desconocido que queremos adivinar.
Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 19 + 23 = x.
Resp. 19 + 23 = x ⇐⇒ x = 19 + 23 = 42. 2
Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 61 − 32 = x.
Resp. 61 − 32 = x ⇐⇒ x = 61 − 32 = 29. 2
Ejemplo Adivina cuánto vale x en este caso: 18 + x = 45
Resp. 18 + x = 45 ⇐⇒ x = 45 − 18. 2
Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: x + 17 = 54
Resp. x + 17 = 54 ⇐⇒ x = 54 − 17 = 37. 2
Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: x − 37 = 25
Resp. x − 37 = 25 ⇐⇒ x = 37 + 25. 2
Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 84 − x = 35
Resp. 84 − x = 35 ⇐⇒ x = 84 − 35 = 94. 2
7
3.
Producto y división de números naturales
¿Qué es multiplicar?
• Multiplicar dos números naturales es hacer el primer número tantas veces mayor
como indique el segundo número; para ello usamos el símbolo · (debemos ir
olvidándonos ya del símbolo × para multiplicar).
• Cada número que aparece en la multiplicación se llama factor y el resultado de
multiplicar se llama multiplicación o producto; por eso, también se usa la expresión producto de dos números, que significa lo mismo que multiplicación de dos
números.
Ejemplo. En la multiplicación 13·5 = 65; 13 es un factor, 5 es otro factor y 65 es
el producto. El producto anterior se puede leer “trece multiplicado por cinco es
sesenta y cinco” o “trece por cinco es sesenta y cinco” 2
• Como ya sabemos, el orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad
se llama propiedad conmutativa del producto.
Ejemplo. Imagina que Guille tiene 3 canicas en cada caja y cuenta con 4 cajas.
Mara tiene 4 canicas en cada caja y cuenta con 3 cajas. ¿Quién tiene más canicas
de los dos? Resp.
Guille tiene 3·4 = 3 + 3 + 3 + 3 =
canicas.
Mara tiene 4·3 = 4 + 4 + 4 = canicas.
Como vemos en las figuras, ambos tienen la misma cantidad de canicas, pues las
figuras son la misma salvo un giro. Por tanto, 3·4 = 4·3 = 12 . 2
¿Cuándo debemos multiplicar?
Hay tres casos en los que debemos multiplicar:
• Primero. Multiplicaremos cuando tengamos que hacer a un número varias veces
mayor.
8
Ejemplo. Fernando tiene 2 años y Juanma, su hermano mayor, cuatro veces más.
¿Qué edad tiene Juanma?
Resp. 2·4 = 8 años. 2
• Segundo. Multiplicaremos cuando queramos hallar el valor de muchas cosas
sabiendo el de una.
Ejemplo. Un libro cuesta 12 €. ¿Cuánto cuestan 5 libros?
Resp.12·5 = 60 €. 2
• Tercero. Multiplicaremos cuando queramos pasar de unidades de medida mayores a unidades de medida menores.
Ejemplo. ¿Cuántos días hay en tres semanas?
Resp.7·3 = 21 días. 2
¿Qué es dividir?
• Dividir dos números naturales es hacer el primer número tantas veces menor
como indique el segundo; para ello usaremos los símbolos : o /.
• El primer número se llama dividendo y debe ser el mayor, el segundo número
se llama divisor y debe ser el menor; el resultado de dividir se llama división o
cociente. Por eso también se usa la expresión cociente de dos números, que significa
lo mismo que división de dos números.
Ejemplo. En la división 40 : 5 = 8; 40 es el dividendo, 5 es el divisor y 8 es la
división o cociente. La anterior división se puede leer: “40 entre 5 es 8” o “40
dividido por 5 es 8” o “40 dividido entre 5 es 8”. 2
• ¡OJO! La división NO tiene la propiedad conmutativa.
• ¡OJO! Ningún número se puede dividir entre 0 porque no se puede repartir algo
entre cero personas.
Ejemplo. Hallar 8:0 y 0:8.
Resp. 8:0 no existe, porque no puedo repartir 8 cosas entre 0 personas. Sin embargo, 0 : 8 = 0, porque si tengo que repartir 0 cosas entre 8 personas, el reparto
es muy sencillo, toca a 0 cada una. 2
¿Cuándo debemos dividir?
Hay tres casos en los que debemos dividir:
• Primero. Dividiremos cuando queramos hacer un número varias veces menor.
Ejemplo. El padre de Tomás tiene 30 años. Si Tomás tiene seis veces menos años
que su padre, ¿qué edad tiene Tomás?
Resp. 30 : 6 = 5 años. 2
9
• Segundo. Dividiremos cuando queramos repartir unas cosas entre otras.
Ejemplo. Quiero recorrer 90 km en 6 días. ¿Qué distancia tengo que recorrer cada
día?
Resp. 90 : 6 = 15 km. 2
• Tercero. Dividiremos cuando sabiendo el precio de varias cosas y el número de
ellas queramos saber el de una.
Ejemplo. María se ha comprado 6 tebeos y le han costado 18 €. ¿Cuánto cuesta
cada tebeo?
Resp. 18 : 6 = 3 €. 2
¿Cómo se multiplica por la unidad seguida de ceros?
• Existe un truco muy sencillo para multiplicar un número por 10, 100, 1000, etc.
Consiste en añadir a la derecha del número tantos ceros como tenga el 10, 100,
1000, etc.
Ejemplo. Calcula: a) 34·10; b) 253·100; c) 732·1000; d) 810·10.
Resp. a) 340; b) 25 300; c) 732 000; d) 8 100. 2
• También existe un truco para multiplicar por 20, 500, 16 000, etc. En el caso
de multiplicar un número por 20, multiplicaremos el número por 2 y al resultado
le añadiremos a la derecha un cero porque 20 tiene un cero. Si multiplicásemos
un número por 500, multiplicaremos el número por 5 y al resultado le añadiremos
los dos ceros porque 500 tiene dos ceros.
Ejemplo. Calcula: a) 34·20; b) 253·500; c) 16 000·8; d) 620·300.
Resp. a) 680; b) 126 500; c) 128 000; d) 186 000. 2
¿Cómo se divide entre la unidad seguida de ceros?
• Existe un truco muy sencillo para dividir un número que tenga suficientes ceros
a la derecha entre 10, 100, 1000, etc. Consiste en quitarle al número tantos ceros
de la derecha como tenga el 10, 100, 1000, etc.
Ejemplo. Calcula: a) 5 700 : 10; b) 80 400 : 100;c) 7 300 000 : 1000
Resp. a) 570; b) 804; c) 7 300. 2
• También existe un truco para dividir un número que tenga suficientes ceros a
la derecha entre 30, 4 100, 7 000, etc. En el caso de dividir un número entre 30,
primero le quitamos al número un cero de la derecha porque 30 tiene un cero y
el resultado lo dividiremos entre 3. Si dividimos un número entre 4 100, primero
le quitamos al número dos ceros de la derecha porque 4 100 tiene dos ceros y el
resultado lo dividiremos entre 41.
10
Ejemplo. Calcula: a) 5700 : 30; b) 28 700 : 4 100; c) 1 750 000 : 7000
Resp. a) 570 : 3 = 190; b) 287 : 41 = 7; c) 1 750 : 7 = 250. 2
¿Cómo adivinar números II?
• En esta pregunta vamos a aprender a adivinar números gracias a que el producto
y la división están íntimamente relacionados. Para ello volvemos a usar el símbolo
símbolo ⇐⇒ de equivalencia.
Ejemplo. 3·2 = 6 ⇐⇒ 6 : 2 = 3 ⇐⇒ 6 : 3 = 2
×2=
⇐⇒
:2= ×3=
⇐⇒
:3=
• Estas equivalencias que hemos puesto con el 2, el 3 y el 6, valen con otros
números cualesquiera mientras ninguno de ellos sea el 0. Por tanto, si a, b y c son
números naturales cualesquiera excepto el 0, se cumple lo siguiente:
a·b = c ⇐⇒ c : b = a ⇐⇒ c : a = b
• Estas equivalencias nos sirven como prueba del producto y de la división y
también nos sirven para adivinar números desconocidos. Fíjate en los ejemplos,
donde llamaremos x al número desconocido que queremos adivinar.
Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 9·20 = x.
Resp. 9·20 = x ⇐⇒ x = 9·20 = 180. 2
Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 120 : 15 = x.
Resp. 120 : 15 = x ⇐⇒ x = 120 : 15 = 8. 2
Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 18·x = 378
Resp. 18·x = 378 ⇐⇒ x = 378 : 18 = 21. 2
Ejemplo. Adivina cuánto vale el número desconocido x en este caso: x·17 = 54
Resp. x·12 = 192 ⇐⇒ x = 192 : 12 = 16. 2
Ejemplo. Adivina cuánto x en este caso: x : 25 = 9
Resp. x : 25 = 9 ⇐⇒ x = 9·25 = 225. 2
Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 84 : x = 7
Resp. 84 : x = 7 ⇐⇒ x = 84 : 7 = 12. 2
11
¿Qué es una división entera, exacta y no exacta?
• Una división es una división entera cuando no sacamos decimales al dividir. En
una división entera tenemos dividendo D, divisor d, cociente c y resto r.
• Una división exacta es una división entera cuyo reparto es exacto, es decir,
cuyo resto es cero. Hasta ahora todas las divisiones que nos han salido han sido
exactas.
Ejemplo. La división entera 12:3 es una división exacta porque si tengo que repartir
12 unidades entre 3 personas cada persona tendrá exactamente 4 unidades. El resto
de la división 12:3 es cero. 2
• Una división no exacta es una división entera cuyo reparto no es exacto, es
decir, cuyo resto no es cero.
Ejemplo. La división entera 14:3 es una división no exacta porque si tengo que
repartir 14 unidades entre 3 personas no puedo hacerlo de forma exacta. Si reparto
4 a cada persona, me sobrarán 2 unidades y si reparto 5 a cada persona, me faltará
1 unidad. 2
¿Cuál es la regla de la división entera?
• La regla de la división entera dice dos cosas. Primero dice que el dividendo D
es igual al divisor d por el cociente c más el resto r. Segundo dice que el resto es
un número natural menor que el divisor.
D
r
d
c
Si r = 0, la división es exacta y D = d·c
Si r =
6 0, la división es no exacta y D = d·c + r; r < d
Ejemplo. En la división entera 90:5 tenemos que 90 es el dividendo, 5 es el divisor,
18 es el cociente y 0 es el resto. Es, por tanto, una división exacta y se cumple
que 90 = 5·18. 2
Ejemplo. En la división entera 80:7 tenemos que 80 es el dividendo, 7 es el divisor,
11 es el cociente y 3 es el resto. Es, por tanto, una división no exacta y se cumple
que 80 = 7 · 11 + 3 y también se cumple que el resto es menor que el divisor, es
decir, 3 < 7. 2
12
4.
Potencias y raíz cuadrada de números naturales
¿Qué son las potencias?
• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores
iguales un número determinado de veces.
Ejemplo. La forma abreviada de escribir 3·3·3·3 es 34 y se lee “tres elevado a
la cuatro” o “tres elevado a la cuarta”. 2
Ejemplo. La forma abreviada de escribir 7·7·7·7·7 es 75 y se lee “siete elevado
a la cinco” o “siete elevado a la quinta”. 2
• En una potencia el número que hace de factor se llama base y el número de
veces que aparece el factor se llama exponente. Es decir, que el número de tamaño
mayor es la base y el número de tamaño menor es el exponente.
Ejemplo. Identifica la base y el exponente de 35 y luego halla su valor.
Resp. La base es 3 y el exponente es 5; 35 = 3·3·3·3·3 = 9·3·3·3 =
27·3·3 = 81·3 = 243. 2
Ejemplo. Identifica la base y el exponenete de 53 y luego halla su valor.
Resp. La base es 5 y el exponente es 3; 53 = 5·5·5 = 25·5 = 125. 2
• ¡OJO! Las potencias NO tienen la propiedad conmutativa. Fíjate que acabamos
de ver que 35 es 243 mientras que 53 es 125.
¿Cuánto valen las potencias de exponentes 1 y 0?
• Un número natural cualquiera elevado a la uno vale lo mismo que el número
natural.
Ejemplo. Halla: a) 31 ; b) 71 ; c) 261 ; d) 01 .
Resp. a) 3; b) 7; c) 26; d) 0. 2
• Generalizando, si a es un número natural: a1 = a.
• Un número natural cualquiera (que no sea el cero) elevado a la cero vale uno.
• ¡OJO! 00 no existe por definición, es decir, porque los matemáticos así lo han
decidido.
Ejemplo. Halla: a) 30 ; b) 70 ; c) 260 ; d) 00 .
Resp. a) 1; b) 1; c) 1; d) No existe. 2
• Generalizando, si a es un número natural cualquiera distinto de 0: a0 = 1.
13
¿Qué nombre especial tienen las potencias de exponente 2?
• Las potencias que tienen exponente 2 se pueden leer usando la palabra cuadrado.
La razón por la que se usa la palabra cuadrado es que si, por ejemplo, tuvíeramos
un cuadrado formado de cuadraditos donde cada lado del cuadrado tuviera 4
cuadraditos, dicho cuadrado contendría 42 = 4·4 = 16 cuadraditos. Si el cuadrado
tuviera 5 cuadraditos en cada lado, contendría 52 = 5·5 = 25 cuadraditos.
Ejemplo. ¿Cómo se lee y cuánto vale 62 ?
Resp. Se lee “seis al cuadrado” y vale 6·6 = 36. 2
Ejemplo. ¿Cómo se lee y cuánto vale 112 ?
Resp. Se lee “once al cuadrado” y vale 11·11 = 121. 2
• Generalizando, si a es un número natural y el cuadrado tiene a cuadraditos en
cada lado, dicho cuadrado contendrá a2 cuadraditos.
Ejemplo. Un cuadrado está formado por baldosas. Si cada lado del cuadrado tiene
7 baldosas, ¿cuántas baldosas contiene el cuadrado?
Resp. Tendrá 72 = 7·7 = 49 baldosas. 2
¿Qué nombre especial tienen las potencias de exponente 3?
• Las potencias que tienen exponente 3 se pueden leer usando la palabra cubo.
La razón por la que se usa la palabra cubo es que si, por ejemplo, tuvíeramos un
cubo formado de cubitos donde cada arista del cubo tuviera 4 cubitos, dicho cubo
contendría 43 = 4·4·4 = 64 cubitos. Si el cubo tuviera 5 cubitos en cada lado,
contendría 53 = 5·5·5 = 125 cubitos.
14
Ejemplo. ¿Cómo se lee y cuánto vale 63 ?
Resp. Se lee “seis al cubo” y vale 6·6·6 = 36·6 = 216. 2
Ejemplo. ¿Cómo se lee y cuánto vale 83 ?
Resp. Se lee “ocho al cubo” y vale 8·8·8 = 64·8 = 512. 2
• Generalizando, si a es un número natural y el cubo tiene a cubitos en cada
arista, dicho cubo contendrá a3 cubitos.
Ejemplo. Un cubo está formado por cubitos. Si tiene en cada arista 10 cubitos,
¿cuántos cubitos contiene el cubo?
Resp. Contiene 103 = 10·10·10 = 100·10 = 1000 cubitos. 2
¿Qué es la raíz cuadrada?
• La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y la denotamos
√
por el símbolo .
√
Ejemplo. Como 42 = 16, entonces 16 = 4. 2
√
Ejemplo. 81 = 9 porque 92 = 81. 2
√
• En una raíz cuadrada el número que aparece dentro de se llama radicando y
el resultado de hacer la raíz cuadradada se llama raíz cuadrada o raíz.
√
Ejemplo. En 16 el radicando es 16 y la raíz 4. 2
• Generalizando, si a y b son números naturales tenemos la siguiente equivalencia:
a2 = b ⇐⇒
15
√
b=a
Ejemplo. Fíjate en la figura: 52 = 25 ⇐⇒
√
25 = 5
Ejemplo. Un cuadrado está formado por baldosas cuadradas. Si el cuadrado contiene 64 baldosas en total, ¿cuántas baldosas hay en cada lado del cuadrado?
Resp. Sé que si elevo al cuadrado el número de baldosas de cada lado, me da el
número total de baldosas. Por tanto, si hago la raíz cuadrada del√número total de
baldosas, me da el número de baldosas de cada lado. Por tanto, 64 = 8 baldosas
cada lado. 2
¿Cómo adivinar números III?
• En esta pregunta vamos a aprender a adivinar números gracias a que elevar
al cuadrado y hacer la raiz cuadrada están íntimamante relacionados por una
equivalencia. Si a y b son números naturales cualesquiera, entonces se cumple:
a2 = b ⇐⇒
√
b=a
Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 82 = x.
Resp. 82 = x ⇐⇒ x = 82 = 64. 2
√
Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 169 = x.
√
√
Resp. 169 = x ⇐⇒ x = 169 = 13. 2
Ejemplo. Adivina cuánto vale el número desconocido x en este caso: x2 = 144
√
Resp. x2 = 144 ⇐⇒ x = 144 = 12. 2
√
Ejemplo. Adivina cuánto vale el número desconocido x en este caso: x = 25
√
Resp. x = 25 ⇐⇒ x = 252 = 625. 2
¿Qué números son cuadrados perfectos?
• Un cuadrado perfecto es un número natural que se puede expresar como el
cuadrado de algún número natural.
Ejemplo. 16 es cuadrado perfecto porque 16 = 42 . 2
Ejemplo. 49 es cuadrado perfecto porque 49 = 72 . 2
16
Ejemplo. 26 no es cuadrado perfecto porque ningún número natural elevado al
cuadrado da 26; 52 = 25; 62 = 36. 2
Ejemplo 70 no es cuadrado perfecto porque ningún número natural elevado al
cuadrado da 70; 82 = 64; 92 = 81. 2
Ejemplo. Haz una lista con todos los cuadrados perfectos menores de 300.
Resp. 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289. 2
¿Qué es una raíz entera, exacta y no exacta?
• Una raíz es una raíz entera cuando no sacamos decimales al hacer la raíz.
• Una raíz exacta es una raíz entera cuyo radicando es un cuadrado perfecto.
Hasta ahora todas las raíces que nos han salido han sido exactas.
√
Ejemplo. La raíz entera 256 es una raíz exacta porque 256 es un cuadrado
perfecto. Su valor es 16. 2
• Una raíz no exacta es una raíz entera cuyo radicando no es un cuadrado perfecto.
√
Ejemplo. La raíz entera 200 no es exacta porque 200 no es cuadrado perfecto. 2
¿Cuál es el valor de una raíz no exacta?
• El valor de una raíz no exacta es el de la raíz del cuadrado perfecto menor
más cercano. Para expresar el valor de una raíz no exacta, en lugar de utilizar el
símbolo =, utilizaremos el símbolo ≈ que se lee “aproximado”.
Ejemplo. Hallar la raíz entera de 18.
√
16 = 4,
Resp. El cuadrado
perfecto
menor
de
18
y
más
cercano
a
18
es
16.
Como
√
entonces 18 ≈ 4. 2
Ejemplo. Hallar la raíz entera de 250.
Resp.
El cuadrado perfecto
menor de 250 y más cercano a 250 es 225. Como
√
√
225 = 15, entonces 250 ≈ 15. 2
5.
Operaciones combinadas
¿Qué son paréntesis, corchetes y llaves?
• Los paréntesis (), corchetes [] y llaves {} sirven exactamente para lo mismo. Eso
sí, cada vez que abramos un paréntesis tendremos que cerrarlo; lo mismo para los
corchetes y lo mismo para las llaves. Para abreviar, solo utilizaremos la palabra
paréntesis, pero debemos saber que todo lo que digamos sobre paréntesis también
vale para corchetes y para llaves.
17
• Hallar un paréntesis es hallar el resultado de las operaciones del interior de
dicho paréntesis.
Ejemplo. Halla el paréntesis: (6 + 9).
Resp. 15. 2
• Cuando un paréntesis esté dentro de otro paréntesis se llamará paréntesis interior.
Ejemplo. En la operación (4 + 16) − (8 + 9 − 2) no hay paréntesis interiores. 2
Ejemplo. En la operación [4 + 2 − (5 − 3)] + (6 − 4) el paréntesis (5 − 3) es un
paréntesis interior, pero el paréntesis (6 − 4) no es un paréntesis interior. 2
¿Qué son las operaciones del mismo tipo?
• Las sumas y las restas son operaciones del mismo tipo. Los productos y las
divisiones también son operaciones del mismo tipo.
• Es decir, una operación solo contiene operaciones del mismo tipo cuando solo
contenga sumas o solo contenga restas o solo contenga sumas y restas o solo contenga productos o solo contenga divisiones o solo contenga productos y divisiones.
• Regla. Cuando una operación NO tenga paréntesis y SOLO contenga operaciones del mismo tipo, se resolverá de izquierda a derecha.
• Fíjate en los ejemplos de operaciones tipo sumas y restas.
Ejemplo. Hallar 20 − 8 + 6.
Resp. En este y en los siguientes ejemplos subrayaré la operación que vaya a hacer
en el paso siguiente: 20 − 8 + 6 = 12 + 6 = 18.
¡OJO! Si no hubiera seguido esta regla me habría dado un resultado erróneo,
fíjate: 20 − 8 + 6 = 20 − 14 = 6. Como vemos siguiendo las reglas da 18 y si lo
hago en otro orden da 6, luego es muy importante operar siguiendo las reglas.
En el tema siguiente aprenderemos trucos para poder saltarnos algunas reglas
sin cometer error, pero como todavía no hemos estudiado esos trucos es muy
importante seguir las reglas. 2
Ejemplo. Hallar 12 + 5 + 9 + 10.
Resp. 12 + 5 + 9 + 10 = 17 + 9 + 10 = 26 + 10 = 36. 2
Ejemplo. Hallar 26 − 7 − 4 − 12.
Resp. 26 − 7 − 4 − 12 = 19 − 4 − 12 = 15 − 12 = 3. 2
Ejemplo. Hallar 11 + 3 + 7 − 8 − 4.
Resp. 11 + 3 − 7 + 8 − 4 = 14 − 7 + 8 − 4 = 7 + 8 − 4 = 15 − 4 = 11. 2
• Fíjate en los siguientes ejemplos de operaciones tipo producto y división.
Ejemplo. Hallar 60 : 10·2.
18
Resp. 60 : 10·2 = 6·2 = 12.
¡OJO! Si no hubiera seguido esta regla me habría dado un resultado erróneo, fíjate:
60 : 10·2 = 60 : 20 = 3. Como vemos, siguiendo la regla da 12 y si lo hago en otro
orden da 3, luego, de nuevo, es muy importante operar siguiendo las reglas. 2
Ejemplo. Hallar 12·5 : 3:4.
Resp.12·5 : 3:4 = 60 : 3:4 = 20 : 4 = 5. 2
Ejemplo. Hallar 48 : 12·5·10
Resp. 48 : 12·5·10 = 4·5·10 = 20·10 = 200. 2
¿Qué son las operaciones combinadas?
• Una operación es una operación combinada cuando contenga operaciones de
varios tipos. En las operaciones combinadas puede haber paréntesis o no haberlos.
• Una operación combinada no se resuelve, en general, de izquierda a derecha.
Ejemplo. Las siguientes son operaciones combinadas: a) 40 − (42 + 32 : 8);
√
b) 36 − 1 + 81·5 : 2; c) (24·15) : 2; d) 186 : 2 : 3. 2
¿Cuáles son las reglas de la prioridad?
Para resolver una operación combinada tenemos que saber el orden en el que
tenemos que hacer las operaciones, porque por lo general, NO se hacen de izquierda
a derecha. Este orden nos lo dan las reglas de la prioridad:
• Primera regla. Primero tienen prioridad los paréntesis que no contienen otros
paréntesis en su interior.
• Segunda regla. Después, tienen prioridad las potencias y las raíces cuadradas,
ambas con igual prioridad.
• Tercera regla. Después, tienen prioridad los productos y las divisiones, ambas
con igual prioridad.
• Cuarta regla. Por último, están las sumas y las restas, ambas con igual prioridad.
• Quinta regla. Dentro de la misma prioridad, las operaciones se realizarán de
izquierda a derecha.
() , [] , {} −→ ab ,
√
−→ ·, : −→ +, −
¿Qué son los términos de una operacición combinada sin paréntesis?
• En toda esta pregunta estudiaremos solo operaciones combinadas sin paréntesis.
Para aprender a resolver estas operaciones combinadas primero debemos aprender
a identificar sus términos, que son “trozos” de la operacion combinada.
19
• De un solo término. Si en toda la operación combinada no hay + o -, dicha
operación combinada tiene un solo término, que es toda la operación combinada.
En caso contrario la operación combinada tendrá más de un término.
√
Ejemplo. 43 ·37 : 256 es una operación combinada de un solo término, que es
toda la operación. 2
• De más de un término. El primer término de la operación combinada está
formado por todos los números y operaciones que haya desde el principio de la
operación combinada hasta justo antes del primer + o - que nos encontremos. El
siguiente término de la operación combinada está formado por todos los números
y operaciones que haya a partir del anterior + o - hasta justo antes del siguiente
+ o - que nos encontremos. Así continuaríamos hasta que lleguemos al final de la
operación combinada.
• Fíjate en los siguientes ejemplos en los que usaré una llave superior para identificar cada término de la operación.
Ejemplo. Identifica los términos:
√
√
a) 3 + 5·32 : 42 − 60 : 4 + 9 − 1; b) 150 : 52 : 9·23 ; c) 5·12 + 83 : 16 − 11.
Resp.
z}|{ z }| { z }|√ { z}|{ z}|{
a) 3 + 5·32 : 42 − 60 : 4 + 9 − 1 . Esta operación tiene cinco términos.
z
}| √
{
b) 150 : 52 : 9·23 . Esta operación tiene un solo término.
z }| {
z }| {
z}|{
c) 5·12 + 83 : 16 − 11 . Esta operación tiene tres términos. 2
¿Cómo se resuelven las operaciones combinadas sin paréntesis?
Para resolver operaciones combinadas sin paréntesis seguiremos los siguientes reglas:
1. Identificar los términos de la operación combinada.
2. Hallar el valor de cada término. No es necesario hallar primero el término
de más a la izquierda, luego el siguiente y así, sino que se pueden ir hallando
todos los términos a la vez. Para ello, en cada término:
a) Calculamos potencias y raíces. No es necesario calcular potencias y
raíces de izquierda a derecha, sino que se pueden ir calculando todas a
la vez.
b) Calculamos productos y divisiones. Esto SÍ es obligatorio de izquierda
a derecha.
20
3. Hacemos las sumas y las restas. Esto SÍ es obligatorio de izquierda a derecha.
Fíjate bien en los ejemplos, donde usaré llaves superiores para identificar los términos y subrayaré las operaciones que vaya a hacer en el paso siguiente; cuando
todos los términos estén hallados omitiré las llaves superiores.
Ejemplo. Resuelve las siguientes operaciones:
a) 9 + 3·2 − 12 : 4; b) 17 − 2·3 + 10; c) 8·7 − 18 : 2 − 4·3 + 20 : 5.
Resp.
z}|{
z }| {
z }| {
z}|{
z }| {
z}|{
z }| {
z }| {
a) 9 + 3·2 − 12 : 4 = 9 + 6 − 3 = 15 − 3 = 12.
b) 17 − 2·3 + 10 = 17 − 6 + 10 = 11 + 10 = 21.
z }| {
z }| {
c) 8·7 − 18 : 2 − 4·3 + 20 : 5 = 56 − 9 − 12 + 4 = 47 − 12 + 4 = 35 + 4 = 39. 2
Ejemplo. Resuelve las siguientes operaciones:
a) 8 + 7·2·3 − 36 : 9; b) 15·4 : 3 − 10 : 2·3 − 1; c) 8·9 − 15 : 3 + 2·3·7.
Resp.
z }| {
z}|{
z }| {
z}|{
z }| {
z}|{
a) 8 + 7·2·3 − 36 : 9 = 8 + 14·3 − 4 = 8 + 42 − 4 = 50 − 4 = 46.
z
}|
{
z
}|
{
z}|{
z }| {
z }| {
z}|{
z }| {
z}|{
b) 15·4 : 3 − 10 : 2·3 − 1 = 60 : 3 − 5·3 − 1 = 20 − 15 − 1 = 5 − 1 = 4.
z }| {
z }| {
z }| {
z}|{
c) 8·9 − 15 : 3 + 2·3·7 = 72 − 5 + 6·7 = 72 − 5 + 42 = 67 + 42 = 109. 2
Ejemplo. Resuelve las siguientes operaciones:
√
a) 15:3·24 ; b) 3·42 : 36 + 53 ;
√
√
c) 150 : 52 : 9 − 23 · 16 : 16.
Resp.
z
}|
{
z
}|
{
z }| {
a) 15 : 3·24 = 15 : 3·16 = 5·16 = 80.
z
}| √ { z}|{
z }| { z}|{
z }| { z}|{
2
b) 3·4 : 36 + 53 = 3·16 : 6 + 125 = 48 : 6 + 125 = 8 + 125 = 133.
z
}| √ { z
{
z
}|
{ z }| {
z }| { z }| {
√}|
c) 150 : 52 : 9 − 23 · 16 : 16 = 150 : 25 : 3 − 8·4 : 16 = 6 : 3 −32 : 16 = 2 − 2 =
0. 2
¿Cómo se resuelven operaciones combinadas con paréntesis?
Vamos a estudiar, por último, las reglas para resolver operaciones combinadas con
paréntesis.
21
1. Resolver los paréntesis que no contengan paréntesis internos. No es necesario
hallar primero el paréntesis de más a la izquierda, luego el siguiente y así,
sino que se pueden hallar a la vez todos los paréntesis que no contengan
paréntesis internos. Para ello:
a) Identificamos los términos de dichos paréntesis.
b) Resolvemos dichos paréntesis usando las reglas de la pregunta anterior.
2. Continuar así hasta que no queden paréntesis.
3. Una vez que ya no queden paréntesis, identificamos términos y resolvemos
usando las reglas de la pregunta anterior.
Fíjate bien en los ejemplos.
Ejemplo. Calcula las siguientes operaciones:
a) 3·(5 + 2) − 2·4; b) 6 + 4·(9 − 3·2); c) 10 : 2 − (12 + 3·3) + 5·4.
Resp.
z }| {
z }| {
a) 3·(5 + 2) − 2·4 = 3·7 − 2·4 = 21 − 8 = 13.
z}|{
z }| {
z}|{
z }| {
z}|{
z }| {
b) 6 + 4·( 9 − 3·2) = 6 + 4·(9 − 6) = 6 + 4·3 = 6 + 12 = 18.
c) 10 : 2−( 12 − 3·3)+5·4 = 10 : 2−(12 − 9)+5·4 = 5 − 3+20 = 2+20 = 22. 2
Ejemplo. Calcula las siguientes operaciones:
√
√
√
a) 72 − (3·4)2 : 3; b) 5 + 42 : ( 36 : 3)3 ; c) 2· 25 + 8·32 : ( 9·23 ).
Resp.
z }| {
z}|{
z}|{
z }| {
a) 7 − (3·4) : 3 = 7 − 122 : 3 = 49 − 144 : 3 = 49 − 48 = 1.
z}|{ z }| {
z}|{ z }| {
√
2
3
2
3
b) 5 + 4 : ( 36 : 3) = 5 + 4 : (6 : 3) = 5 + 42 : 23 = 5 + 16 : 8 = 5 + 2 = 7.
z }|
{
√ { z }|
√
√
√
2
3
2
c) 2· 25 + 8·3 : ( 9·2 ) = 2· 25 + 8·3 : (3·8) = 2· 25 + 8·32 : 24 =
2
z }| {
2
2
z
}|
{
z}|{
z }| {
2·5 + 8·9 : 24 = 10 + 72 : 24 = 10 + 3 = 13. 2
Ejemplo. Calcula las siguientes operaciones:
√
a) 2·(7 + 22 ) − 3·(32 − 5); b) (3·4)2 − (3·42 ); c) (9 − 2·4) + 42 : (32 − 49)3 .
Resp.
z}|{
z}|{
z}|{
2
z}|{
z }| {
z }| {
a) 2·( 7 + 2 ) − 3·( 32 − 5 ) = 2·(7 + 4) − 3·(9 − 5) = 2·11 − 3·4 =
22 − 12 = 10.
z}|{
z}|{
b) (3·4) − (3·4 ) = 12 − (3·16) = 122 − 48 = 144 − 48 = 96.
2
2
2
22
z }| {
z}|{ z }| {
√
c) ( 9 − 2·4) + 4 : ( 3 − 49)3 = (9 − 8) + 42 : (9 − 7)3 = 1 + 42 : 23 =
z}|{
z}|{
z }| {
2
z}|{
2
z }| {
1 + 16 : 8 = 1 + 2 = 3. 2
Ejemplo. Calcula las siguientes operaciones:
√
a) 52 −
[6·(13
−
11)
−
9]; b) [3·(9 − 5)]2 − [3·(7 − 2)2 ]; c) (9 − 2·4) + [42 :
√
(32 − 49)].
Resp.
z}|{ z}|{
z }| { z}|{
√
√
2
2
2
a) 5 − [6·(13 − 11) − 9] = 5 − [6·2 − 9] = 5 − [12 − 3] = 52 − 9 =
25 − 9 = 16.
z}|{
z}|{
b) [3·(9 − 5)]2 − [3·(7 − 2)2 ] = [3·4]2 − [3·52 ] = 122 − [3·25] = 122 − 75 =
144 − 75 = 69.
z√}| {
z}|{
z}|{ z }| {
c) ( 9 − 2·4) + [42 : ( 32 − 49)] = (9 − 8) + [42 : (9 − 7)] = 1 + [42 : 2] =
1 + [16 : 2] = 1 + 8 = 9. 2
¿Cómo se resuelven las raíces que contienen operaciones?
•
√ Hasta ahora lo que había dentro de una raíz era un solo número. Por ejemplo
16.
√
• También puede haber operaciones dentro de la raíz. Por ejemplo 23 + 7·11.
• Regla. Para resolver estas raíces tenemos que imaginarmos que hay un paréntesis
que contiene todo lo que está dentro de la raíz. Por tanto, aunque no veamos el
paréntesis, el paréntesis está. Fíjate en los ejemplos.
Ejemplo. Calcula las siguientes raíces:
q
√
√
a) 9 + 16; b) 23 + 7·11; c) 52 ·2 + 9·(42 − 8).
Resp.
q
√
a) (9 + 16) = 25 = 5.
q
q
√
b) (23 + 7·11) = (23 + 77) = 100 = 10.
q
c) [52 ·2 + 9·(42 − 8)] =
√
122 ≈ 11. 2
q
[52 ·2 + 9·(16 − 8)] =
23
q
[52 ·2 + 9·8] =
q
[50 + 72] =