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UNIVERSIDAD DE MANAGUA
Asignatura: Investigación de Operaciones I
Prof.: MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés
junio 2012
Problemas de PL con varias variables
”Análisis de Sensibilidad”
Problema 1:
Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios en cuatro sabores: chocolate, vainilla,
chicle y plátano. Debido al calor extremo y la alta demanda, la compañía tiene un
déficit en el abastecimiento de los ingredientes: leche, azúcar y crema.
Esto no le permite satisfacer todas las órdenes recibidas de sus expendios. Por estas
circunstancias, la compañía a decidido seleccionar la cantidad que debe producir de
cada sabor para maximizar la ganancia total, dadas las restricciones en las cantidades de
ingredientes básicos.
Sujeto a:
• La compañía tiene solo 220 galones de leche, 170 libras de azúcar y 70 galones
de crema. (por mes)
•
•
•
•
•
•
Un galón de helado de chocolate consume: 0.45 galón de leche, 0.5 libra de
azúcar y 0.10 galón de crema.
Un galón de helado de Vainilla consume: 0.5 galón de leche, 0.4 libra de
azúcar y 0.15 galón de crema.
Un galón de helado de plátano consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y
0.2 galón de crema.
Un galón de helado de chicle consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y
0.3 galón de crema.
La compañía para mantener su mercado cautivo de sabores a decidido también
producir al menos 30 galones de helados de cada uno de los cuatro sabores.
Los sabores de chocolate, vainilla, plátano y chicle generan ganancias
respectivas de $1.10, $1.0, $0.9 y $.95 por galón.
Variables de decisión
X1 = Números de Galones de helados de chocolate
X2 = Números de Galones de helados de vainilla
X3 = Números de Galones de helados de plátano
X4= Números de Galones de helados de chicle
Función objetivo
Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4
$ = ($/galón de chocolate) x (Número galones chocolate)
+ ($/galón de vainilla) x (Número galones vainilla)
+ ($/galón de plátano) x (Número galones banano)
+ ($/galón de chicle) x (Número galones chicle)
Restricción de producción
0.45X1 es el total de galones de leche que se requieren para producir X1 galones de
chocolates
0.5X2 es el total de galones de leche que se requieren para producir X2 galones de
vainilla
0.4X3es el total de galones de leche que se requieren para producir X3 galones de
banano.
0.4X4 es el total de galones de leche que se requieren para producir X4 galones de
chicle
0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4  220
0.5X1 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X1 galones de
chocolates
0.4X2 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X2 galones de
vainilla
0.4X3es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X3 galones de
banano.
0.4X4 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X4 galones de
chicle
0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4  170
0.1X1 es el total de galones de crema que se requieren para producir X1 galones de
chocolates
0.15X2 es el total de galones de crema que se requieren para producir X2 galones de
vainilla
0.2X3 es el total de galones de crema que se requieren para producir X3 galones de
banano.
0.3X4 es el total de galones de crema que se requieren para producir X4 galones de
chicle
0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4  70
Compromisos de demanda
X1 galones de chocolate  30 galones
X2 galones de vainilla  30 galones
X3 galones de plátanos  30 galones
X4 galones de chicles  30 galones
Modelo de PL
Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4
Sujeto a:
0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4  220
0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4  170
0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4  70
X1
 30
X2
 30
X3
 30
X4
 30
No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de
demanda para todas las variables.
Solución
RESPONDER.
 Suponga que la ganancia por galón de plátano a $1.00 ¿cambia la solución
óptima y que se puede decir de la ganancia total?
 Suponga que la ganancia por galón de plátano a $0.92 ¿cambia la solución
óptima y que se puede decir de la ganancia total?
 Suponga que descubren tres galones de crema agrio que tienen que tirarse
¿cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total?
 Suponga que tienen la oportunidad de comprar 15 libras adicionales de azúcar
por un costo total de $15.00¿Deben comprarlas ? explique
Problema 2:
Constructora. ¿Qué cantidad de grava enviar de cada distribuidor (tres) a cada
proyecto (tres) con el objeto de minimizar los costos totales?
Sujeto a las restricciones siguientes:
• No enviar más de; 150 toneladas del distribuidor 1; 175 toneladas del
distribuidor 2 y 275 toneladas del distribuidor 3.
• Enviar 200 toneladas al proyecto 1; 100 toneladas al
proyecto 2 y 300
toneladas al proyecto 3.
• Los costos de envío del distribuidor i al proyecto j son los siguientes:
• Costo del distribuidor 1 al proyecto 1, C11=$6
• Costo del distribuidor 1 al proyecto 2, C12=$8
• Costo del distribuidor 1 al proyecto 3, C13=$10
• Costo del distribuidor 2 al proyecto 1, C21 =$7
• Costo del distribuidor 2 al proyecto 2, C22=$11
• Costo del distribuidor 2 al proyecto 3, C23=$11
• Costo del distribuidor 3 al proyecto 1, C31 =$4
• Costo del distribuidor 3 al proyecto 2, C32=$5
• Costo del distribuidor 3 al proyecto 3, C33=$12
Costos de Envío (por tonelada)
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Distribuidor 1
6
8
10
Distribuidor 2
7
11
11
Distribuidor 3
4
5
12
Cuánto enviar a cada proyecto?
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Distribuidor 1
X11
X12
X13
Distribuidor 2
X21
X22
X23
Distribuidor 3
X31
X32
X33
Variables de decisión
XIJ = Número de toneladas a enviar del distribuidor “I” al proyecto “J”.
Modelo Matemático:
Min Z=6 X11 +8X12 + 10 X13 + 7 X21 + 11 X22 + 11 X23 + 4 X31 + 5 X32 + 12 X33
s.a:
Restricciones de requerimientos
X11 + X21 + X31 = 200
X12 + X22 + X32 + X33 = 100
X13 + X23 + X33 = 300
Restricciones de disponibilidad
X11 + X12 + X13  150
X21 + X22 + X23  175
X31 + X32 + X33  275
Restricciones de negatividad
X11, X12, X13 .... X33  0
Solución del modelo
Problema 3:
Una empresa de Zapatos, fabrica tres tipos de zapatos. ¿Qué cantidad de cada estilo
debe fabricar durante el mes con el objeto de maximizar las utilidades?
Sujeto a:
•
•
•
No deben asignarse más de 1,200 horas de tiempo de producción.
Todos los costos de producción, de materiales y costos fijos deben cubrirse con
el efectivo disponible durante el mes que es de $16,560.
Satisfacer ciertos compromisos de demanda: 30 pares de estilo 1, 55 estilo 2 y
32 estilo 3.
Variables de decisión
X1 = Número de pares de zapatos estilo 1 que deben fabricarse durante el mes.
X2 = Número de pares de zapatos estilo 2 que deben fabricarse durante el mes.
X3 = Número de pares de zapatos estilo 3 que deben fabricarse durante el mes.
Función objetivo
Max. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3
$ = ($/par de zap. estilo 1)x (pares de zap. estilo 1) + ($/par de zap. estilo 2) x (pares de
zap. estilo 2) + ($/par de zap. estilo 3) x (pares de zap. estilo 3)
Cálculo de C1
(3.5 horas/par) x ($10/hora) = $35/par
(3.25 U. piel/par) x ($4/U. piel) = $13/par
$48/par
C1 = $60/par - $48/par = $12/par de zap. estilo 1
De forma similar,
C2 = $64/par - $43/par = $21/par de zap. estilo 2
C3 = $50/par - $28/par = $22/par de zap. estilo 3
Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3
Restricción de producción
3.5X1 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo 1.
2.5X2 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo 2.
2.0X3 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo 3.
3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3  1,200
Restricción de efectivo
Costo fijo = $3,000
Existen disponibles $16,560 - $3,000 = $13,560 para cubrir los costos variables.
48X1 + 43X2 + 28X3  13,560
Compromisos de demanda
X1 pares de zap. estilo 1  30 pares de zap. estilo 1
X2 pares de zap. estilo 2  55 pares de zap. estilo 2
X3 pares de zap. estilo 3  32 pares de zap. estilo 3
Modelo matemático completo:
Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3
Sujeto a:
3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3  1,200
48X1 + 43X2 + 28X3  13,560
X1
 30
X2
 55
X3  32
No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de
demanda para todas las variables.
Problema 4:
La empresa KWZ se dedica a la fabricación de tres producto; A, B y C. El
procedimiento de producción involucra tres operaciones: formación, acabado e
inspección. El departamento de ingeniería industrial, ha establecido los siguientes
estándares de producción en cada operación.
Datos de producción para la compañía (minutos por producto)
El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e
ingresos para la compañía.
Datos de costo e ingreso para la compañía
Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal
manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día. Considerando la
información, se planteó el modelo de programación lineal:
Modelo:
Z  20 x1  35 x2  45 x 3
sujeto
a:
2 x1  6 x2  2 x3  480 formación 
3x1  2 x2  2 x3  480inspección 
2 x1  2 x2  4 x3  480acabado 
1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la base
actual permanece
2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece?
3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra y por
qué?
4. ¿Qué pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de
inspección, cambiaría la función objetivo?
5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50
minutos en el departamento de formado?
6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos de
mantenimiento en el departamento de acabado?
7. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%,
¿cómo se afecta la base actual y el objetivo?
8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto,
¿recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en qué departamento y
cuánto tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual?
9. ¿Qué pasearía si se programara la producción de 10 unidades del producto A?
10. ¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos, el producto A cambiara
sus tiempos de fabricación en
11. a.
a1= (2,3,2)
b.
a1 = (1,2,2)T
12. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las
siguientes características C4=60, a4 = (2,1,3)T, ¿Qué recomendaría?