Download Ficha de Física 4° de Secundaria, Capítulo 7

C.T.A.
7
Movimiento Parabólico
Movimiento Compuesto
Son aquellos movimientos que están conformados por
dos o más movimientos simples.
Principio de la Independencia de los
Movimientos
En todo movimiento compuesto, cada movimiento
individual se comporta como si los demás no existieran, es
decir, el desarrollo de un movimiento no afecta para nada
el desarrollo del otro movimiento.
Movimiento Parabólico de Caída Libre
Es aquel movimiento compuesto que está conformado
por un movimiento rectilíneo uniforme y un movimiento
vertical de caída libre. Al igual que en todo movimiento
compuesto, los movimientos individuales son totalmente
independientes.
Tiro
Semiparabólico
En la figura se muestra un cuerpo lanzado en A de
manera horizontal con velocidad Vx, que se mantendrá
constante a lo largo del movimiento; en el movimiento
vertical se observa que la velocidad vertical en A es nula
(Vy = 0), pero a medida que el cuerpo cae, esta velocidad
va aumentando de valor. Las distancias recorridas tanto en
el eje vertical como en el horizontal se han efectuado en
intervalos de tiempos iguales.
TIRO PARABÓLICO
Un cañón dispara un proyectil desde A con una
velocidad V0 y una inclinación θ, tal como muestra la figura.
Por efecto de la gravedad, a medida que el proyectil sube de
manera inclinada, se ve forzado a bajar, retornando al piso
en B.
M
V1y
V0
A
V0y
Vx
1k
A
Vx
V1
3k
V2
V4
9k
d
d
Donde:
g
k=
g
2
Vx
H
d d
V2y
V
β 2x
V2
θ
d
B
d
Vx
B
d
d
L
Vx
V3
7k
g
Vx
Vx
5k
Vx
V1
α
Recuerda
Todos los tiros semiparabólicos causados por la
gravedad se resuelven con las siguiente relaciones:
a) Movimiento Vertical : y = 1 gt2
2
b) Movimiento Horizontal : x = Vx . t
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
7
4to Secundaria
En el punto A, los componentes de la velocidad son:
FÓRMULAS ESPECIALES
• Componente horizontal: Vx = Vi cos θ
1. Tiempo de vuelo
• Componente vertical inicial: Vy = Vi sen θ
T =
Además se verifica:
• α = β
2V0 sen θ
g
2. Altura máxima
•|V1y| = |V2y|
•|V1| = |V2|
H =
V02 sen2 θ
2g
Del gráfico podemos concluir además:
a) En el movimiento horizontal, la componente V x
permanece constante, pues de acuerdo con el principio
de independencia de los movimientos, no se ve afectado
por la gravedad que actúe en el eje vertical. La ecuación
de movimiento horizontal estará dado por:
X = Vx . t
V02 sen2 θ
L =
g
Observación
b) En el movimiento vertical se observa que la componente
vertical de la velocidad (Vy) va disminuyendo a medida
que el cuerpo sube, se anula en el punto «M» de
máxima altura, y a continuación cambia de dirección y
va aumentando gradualmente a medida que el cuerpo
desciende.
Las ecuaciones vectoriales del movimiento vertical:
3. Alcance horizontal
• Para la velocidad vertical :
Vfy = Viy + gt
• Relación entre la altura máxima y el alcance
horizontal.
tgθ =
• Relación entre la altura máxima y el tiempo de
vuelo.
gt2
8
H =
• Para el desplazamiento vertical : • Si dos cuerpos son lanzados con velocidades de
igual módulo (V0) y con distintas inclinaciones
α y β, de manera que los alcances horizontales
sean iguales, en los dos casos se verifica que:
1 2
Y = Viy . t +
gt
2
• La velocidad total del proyectil es siempre tangente
a la parábola en cualquier punto y su valor a
determinar es:
|VT| =
4H
L
α + β = 90º
Vx2 + Vfy2
(2)
Recuerda
a La velocidad es una magnitud vectorial (tiene
módulo y dirección).
V0
(1)
V0
β
α
L1 = L2
a La velocidad es relativa y depende del sistema de
referencia.
8
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
1
Se lanza un cuerpo como indica la figura. Halla
la velocidad en el punto más alto.
3 Halla la longitud del plano inclinado si la pelotita se lanza en forma horizontal con V=20m/s.
(g = 10 m/s2)
V=30
2 m/s
V
45°
45°
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Calcula el alcance PQ. (g = 10 m/s2)
4 Para el gráfico mostrado, deter–mina el tiempo
empleado desde «M» hasta «N» si v=60m/s.
90 m/s
Q
M
30°
P
30°
V
30°
N
60°
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
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9
4to Secundaria
5 Hallar V0 para que el proyectil impacte en for-
6
En la figura, calcula «α». (g = 10 m/s2)
ma perpendicular al plano inclinado.
(g=10 m/s2).
V0
170m
45°
53°
α
V
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
7. Un proyectil se mueve siguiendo la trayectoria
parabólica mostrada. Si tAB = 3s, determina el
tiempo que demora en ir de «A» hasta «D».
C
B
θ
A
d
2d
9. En la figura mostrada, en el mismo instante que se
abandona la esferita «A» se lanza la esferita «B» con una
velocidad «V0». Determina el ángulo de lanzamiento, tal
que, las esferitas A y B colisionen en el punto P.
A
D
2d
40m
d
θ
8. Ronaldo patea una pelota en la gran final, y ésta
choca en el travesaño justo cuando alcanza su
altura máxima. Halla el ángulo de elevación con
que se pateó.
V
2,5m
θ
5m
10
V0
B
30m
10. Dos proyectiles se lanzan simultá–neamente desde las
posiciones mostradas. Halla H, de modo que el proyectil
«B» llegue también al punto «E» (g = 10 m/s2).
20m/s
H
25m/s
B
37°
E
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11. Desde las posiciones mostradas, dos cuerpos son
lanzados simultáneamente con igual rapidez. Si éstos
prácticamente chocan en «O», determina «θ».
θ
12. Un proyectil se lanza tal como se indica. Halla
«V», de tal manera que la distancia «d» tome
su mínimo valor (g = 10 m/s2).
V
37°
V
240m
100m
135m
O
θ
d
50m
1. Si V = 10 m/s y g =10 m/s2, halla la velocidad
del proyectil después de 1s.
3. En la gráfica, halla el valor de la velocidad con
la que fue lanzado.
V0
V
50m/s
a) 10 m/s
b) 20 m/s
c) 10 3 m/s
d) 10 2 m/s
e) 5 m/s
2. Se lanza el cuerpo como indica la figura, halla
la velocidad después de 3 s.
V
a) 30 m/s
37°
b) 40 m/s
c) 50 m/s
d) 50 2 m/s
e) 30 2 m/s
4. Se lanza un cuerpo como indica la figura. Halla
la velocidad en el punto más alto.
40m
V=50m/s
37°
a) 40 m/s
c) 50 m/s
d) 70 m/s
b) 30 m/s
e) 30 2 m/s
a) 40 m/s
c)0
d) 30 m/s
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b) 50 m/s
e) 20 m/s
11
4to Secundaria
5. Se lanza un cuerpo como indica la figura.
Halla su velocidad después de 1 s.
V = 50 m/s
9. Un proyectil se lanza con una velocidad de
30 2m/s. Si impacta en la ventana de un edificio con 50 m/s, halla x (g = 10 m/s2).
53°
V
45°
a) 40 m/s
c) 0 d) 30 2 m/s
x
b) 30 m/s
a) 70 m
c) 140 m
d) 210 m
e) 40 2 m/s
6. Un proyectil se lanza con una velocidad de
50 m/s. Halla la velocidad con la que impacta
en la pared (g = 10 m/s2).
b) 30 m
e) 230 m
10. Calcula el ángulo θ.
V
x
θ
37°
4x
200m
a) 10 m
c) 20 5 m
d) 20 m
a) 30° c)45°
d)60°
b) 10 5 m
e) 40 m
b) 37°
e)53°
11. Calcula la distancia AB. (g = 10 m/s2)
7. En la gráfica mostrada, determina el tiempo
que el cuerpo demora en caer.
B
16 2m/s
V
8°
45m
A
a) 1 s
c) 3 s
d) 4 s
a) 16 m
c) 32 m
d) 45 m
b) 2 s
e) 5 s
8. En la gráfica mostrada, determina el tiempo
que el cuerpo demora en caer.
e) 56 m
B
V
A
80m
12
b) 8 m
12. Se muestra el lanzamiento parabólico de una
pelota elástica. Halla el tiempo para el trayecto
BC si para el trayecto AB se emplea 16 s.
V
a) 1 s
c) 3 s
d) 4 s
37°
b) 2 s
e) 5 s
a) 1 s
c) 3 s
d) 4 s
C
7x
x
b) 2 s
e) 5 s
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Movimiento Circunferencial
Uniforme I
Introducción
a. Período (T)
Cuando una partícula describe una circunferencia de
manera que recorre arcos iguales en tiempos también
iguales, decimos que la partícula posee un movimiento
circular uniforme.
Se define como el tiempo que emplea una partícula en
realizar una vuelta, y se mide en segundos
b. Frecuencia (f)
Nos indica la cantidad de vueltas que realiza una
partícula en cada unidad de tiempo. La frecuencia es lo
inverso del período y se mide en rps.
Para una
revolución
θ = 2π rad t = Τ
ω=
En esta montaña rusa, nota la curva del movimiento.
1. VELOCIDAD ANGULAR (ω)
Es aquella magnitud vectorial que representa el ángulo
que gira la partícula en el centro de su trayectoria en cada
unidad de tiempo. La velocidad angular se representa
mediante un vector perpendicular al plano de rotación,
y su módulo permanece constante si el movimiento
circular es uniforme.
2. VELOCIDAD TANGENCIAL (Vt)
Es aquella magnitud vectorial que representa el arco
recorrido por el móvil, en cada unidad de tiempo.
La velocidad tangencial está aplicada al mismo cuerpo que
gira y como su nombre lo indica, siempre es tangencial a la
circunferencia, además, su módulo permanece constante si
el movimiento es uniforme.
Vt
ac
Vt
O
T
θ
θ
ac
T
ω=
ac
ω
ω
VT ; a c
ac
O
T
‘‘Movimiento de
rotación uniforme’’
[T = Período]
ω = 2πf [f = frecuencia]
ω = constante
θ
2π
T
Vt
ac
θ
t
Unidad:
rad
s
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Vt
VT = S
t
Unidad:
13
m
s
4to Secundaria
ω
r
VT2
2
ac = r = ω .r
O
Ejemplo :
s
t
Vt
Eje de giro
VT = ωr
Aceleración centrípeta en los juegos
mecánicos.
Unidad:
m
s
3. ACELERACIÓN CENTRÍPETA (ac)
Es aquella cantidad vectorial que representa el cambio de
dirección que experimenta la velocidad tangencial.
En todo movimiento circular, la aceleración centrípeta
siempre es radial y su sentido es hacia el centro de la
trayectoria circunferencial. Su módulo permanece constante
si el movimiento es uniforme.
La Luna gira alrededor de su eje en 27 días y 11 horas.
UNIDADES DE MEDIDA
14
SÍMBOLO
MAGNITUD
MAGNITUD DE MEDIDA
ω
velocidad angular
radianes por segundo
rad/s
θ
ángulo barrido
radianes
rad
t
tiempo
segundo
s
v
velocidad lineal
metro por segundo
m/s
S
arco recorrido
metro
m
T
período
segundo
s
f
frecuencia
revolución por segundo
rps
R
radio
metro
m
a
c
aceleración centrípeta
metros por segundo al cuadrado
m/s2
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C.T.A.
Resolución:
EJERCICIOS RESUELTOS
Descomponemos las longitudes del triángulo notable.
1. Una partícula describe un arco de 40 cm con MCU
en 10 s. Halla su rapidez angular si el radio de su trayectoria es de 10 cm.
1m
a) 0,20 rad/s
b) 0,35 rad/s
d) 0,40 rad/s
30°
c) 0,80 rad/s
e) 0,25 rad/s
0,5m
Resolución:
tiempo=10s
R=10cm
Radio = 0,5 m
ω = 120 rpm
40cm=S
θ
Recordamos : 1 rev = 2p rad
1 min = 60s
Sabemos : V = ωR
y también: V =
Igualando las fórmulas:
S
t
S
= ωR
t
ω= S
Rt
40cm = 0,4 rad/s
ω = 10cm x 10s
Rpta.: Clave «d»
2. La esferita mostrada gira uniformemente a razón de
120 rpm. Si la cuerda que la sostiene tiene una longitud de 1m, halla la rapidez lineal de la esferita.
1m
2π rad
60s
ω = 120 x
ω = 4π rad/s
Velocidad lineal:
V = ωR
rad
V = 4π s
V= 2π m/s
V = 2(3,14) m/s ∴V = 6,28 m/s
( )( )
1
2m
π = 3,14
Rpta.: Clave «e»
3. Los puntos periféricos de un disco que gira uniformemente se mueven a razón de 40 cm/s y los puntos que
se encuentran a 2cm de la periferie giran a 30 cm/s.
¿Qué radio tiene el disco?
a) 4 cm
b) 8 cm
d) 16 cm
30°
c) 12 cm
e) 20 cm
Resolución:
a) 2,28 m/s
b) 3,14 m/s
d) 5,34 m/s
c) 4,71 m/s
e) 6,28 m/s
Recordamos:
La periferie es el punto más alejado del disco (el borde).
Diámetro
Además: Radio =
2
D
R = 2 ⇒ D = 2R
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4to Secundaria
Resolución:
40cm/s
A
R
m
2c
R=
30cm/s
R
(
V
ω=R
)
ωA = ωB
VA VB
=
RA RB
40
30
R = R–2
4R – 8 = 3R
R = 8cm
Rpta.: Clave «b»
t = 1s
En ese tiempo la piedra debe de recorrer la altura «h».
h = x; Vi = 0, t = 1, g = 10 m/s2
1
h = Vit + 2 gt2
1
x = 0 x 1 + 2 x (10)(1)2
4. Desde qué altura se debe dejar caer una piedra para que
pase por el agujero cuando el disco haya girado 3 vueltas.
La rapidez angular del disco es 6π rad/s (g = 10 m/s2).
h
h=5m
Rpta.: Clave «b»
5. La llanta mostrada rueda sin resbalar. Si la rapidez de
su centro es 5 m/s, halla el valor de la velocidad en el
punto «B».
a) 3 m/s
b) 4 m/s
c) 5 m/s
d) 6 m/s
e) 8 m/s
B
37°
Resolución:
ω
a) 2,0 m
b) 5,0 m
d) 1,5 m
3 vueltas → 3(2π rad) = 6π rad
θ
θ
ω =
⇒ t = ω
t
6π rad
t =
6π rad/s
B
Como los puntos pertenecen al mismo disco, entonces
tienen la misma velocidad angular:
El disco va a girar y dar 3 vueltas en un tiempo; el mismo
tiempo que la piedra tarda en caer. Hallemos el tiempo.
c) 3,0 m
e) 2,5 m
Según el gráfico sabemos que el punto «A» es tomado
como centro de giro.
VB
B
Interesante
Cuando nos fijamos en el movimiento de una piedra atada a
una cuerda, o en el que tiene un punto del aspa de un molino
girando, o en el que desarrolla un punto en la Tierra respecto
al eje terrestre, o en el que tiene la Tierra respecto al centro
del Sol, estamos hablando de movimientos curvilíneos.
2,5k
3k
VC 5m/s
4k
rC=2,5k
5k
rB=4k
2,5k
37°
A
VC
5m/s = 2 m
= rC
2,5 k
k s
ωA =
VB
ωA = rB
VB = ωA x rB
( )
VB =2 m (4k)
k s
VB = 8 m/s
Rpta.: Clave «e»
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1
El hemisferio mostrado gira a razón de 3 rad/s.
3
Halla la velocidad tangencial del punto “P”.
La partícula mostrada se encuentra girando a
12rad/s. Calcula su velocidad tangencial.
ω
R = 5m
V
37º
R = 2m
P
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
La partícula mostrada se encuentra girando a
10 rad/s. Calcula su velocidad tangencial.
4
Si la rueda A gira con un período de 20 s,
¿con qué velocidad desciende el bloque B?
0,8m
A
V
B
R = 4m
Resolución:
Rpta:
Resolución:
Rpta:
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4to Secundaria
5
La figura muestra el MCU de un móvil con un
6
La esferita mostrada gira uniformemente a razón
período de 24 s. ¿Qué tiempo tarda el móvil
de 120 rpm. Si la cuerda que la sostiene tiene
para ir de «A» hacia «B»?
una longitud de 1 m, ¿qué velocidad lineal tiene
la esferita?
(B)
(A)
30°
L
30°
ω
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
7. Dos móviles parten simultáneamente con velocidades constantes de ωA =4π rad/s y ωB = 2
π rad/s. ¿Luego de qué tiempo se encontraron?
10. El engranaje «B» posee una velocidad de 10
rad/s. ¿Cuál es la velocidad del engranaje «C»?
(RA=0,2m, RB=0,5 m; RC=0,4 m).
B
A
C
11. ¿Con qué velocidad está descen–diendo el bloque?
100rad/s
8.
Determina con qué velocidad angular gira la
rueda «B», sabiendo que la rueda «A» tiene
una velocidad angular de 30 rad/s.
B
20cm
C
A
B
12. Determina la velocidad del bloque si R= 5 cm y
además ω= 4 rad/s.
A
30cm
R
9. Una partícula que está girando con MCU tiene
una velocidad angular de 4 rad/s. ¿Qué ángulo
habrá girado en un minuto?
18
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1. Si un disco emplea 10 s en dar media vuelta,
¿cuál será su período?
a) 5 s
b) 10 s
d) 25 s
c) 20 s
e) 50 s
2. Un disco da 100 vueltas en 50 s. Calcula la
frecuencia del disco.
a) 1 rps
b) 2 rps
d) 4 rps c) 3 rps
e) 5 rps
3. El período de giro de un dispositivo mecánico
es 1 s. Halla la frecuencia.
a) 0,1 rps
b) 10 rps
d) 50 rps
7. Una partícula que describe una trayectoria
circular gira 270º en 3 s. Halla su velocidad
angular.
rad
π rad
3π rad
b)90
c)
s
2 s
2 s
rad
rad
d) π
e) 2π
s
s
a)
8. Una partícula que está girando con MCU tiene
una velocidad angular de 3 rad/s. ¿Qué ángulo
habrá girado en dos minutos?
a) 300 rad
b) 340 rad
d) 400 rad
9. La partícula mostrada se encuentra girando a
8rad/s. Calcula su velocidad tangencial en m/s.
V
c) 0,5 rps
e) 100 rps
4. El período de giro de una partícula es de 5 s.
Halla la frecuencia.
a) 2 rps
b) 0,2 rps
d) 5 rps
c) 0,5 rps
e) 0,1 rps
5. ¿Cuál será la velocidad angular del segundero
de un reloj de agua?(en rad/s)
a)
π
π
π
b)
c)
12
30
40
π
d) 20
π
e)
50
6. ¿Cuál será la velocidad angular del minutero de
un reloj de agua?(en rad/s)
a)
π
π
π c)
b)
450
1800
3000
d) π
800
e) π
3600
c) 360 rad
e) 450 rad
R = 4m
a)24
b)36
d)40
c)32
e)42
10. Un cilindro de 20 cm de radio gira en torno a
su eje con una frecuencia de 75 rpm. ¿Cuál es la
velocidad tangencial de los puntos de superficie?
a) 0,3π m/s
b) 0,4π m/s
d) 0,6π m/s c) 0,5π m/s
e) 0,8π m/s
11. Jaimito está volando una cometa que durante
3,14 s describe en el cielo un arco de 18°. ¿Cuál
es la velocidad tangencial de la cometa si la
longitud del hilo que la sostiene es de 60 m?
a) 3 m/s
b) 6 m/s
d) 12 m/s c) 8 m/s
e) 15 m/s
12. Si una partícula gira con un período de 5 s, describiendo una circunferencia de 10 m de radio,
¿cuál es el módulo de su aceleración centrípeta?
(π2 = 10)
a) 4 m/s2b)
8 m/s2c)
12 m/s2
2
d) 16 m/s
e) 20 m/s2
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4to Secundaria
20
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C.T.A.
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Movimiento Circunferencial
Uniforme II
OBJETIVOS:
a Reconocer los tipos de acoplamientos mecánicos.
a Utilizar apropiadamente la transmisión del movimiento.
EJERCICIOS RESUELTOS
TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO
I.
1. Un par de poleas de radios R y r (r = R/4) giran por
acción de una faja. Si el movimiento de cada polea es
uniforme y el período de rotación de la polea mayor es 4
segundos, ¿cuál es el período (en segundos) de la polea
de radio menor?
A
A
R
B
R
B
r
a) 1 s
b) 2 s
d) 8 s
Resolución:
VA = VB
II.
A
r
ωA
r
B
A
ωA
ωB
R
R
ωA = ωB
VA VB
RA = RB
c) 4 s
e) 16 s
Al tratarse de una faja, ésta no se estira, por eso cada punto
de la faja tiene la misma velocidad lineal.
ωA. RA = ωB . RB
R
r
r
A
r
A
VB
VA
B
R
B
ωB
VA = VB
B
ωAr = ωBR
Ademásω = 2π
T
2π
.
TA
( )
R
4
=
2π
(R)
TB
TB = 4TA
4s = 4(TA) ⇒TA = 1s
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Rpta.: Clave «a»
21
4to Secundaria
2. Las poleas ingrávidas giran a razón de 0,25 rad/s y los
bloques inicialmente están en un mismo nivel horizontal. Después de 3s, halla la distancia de separación
entre los bloques. (R = 16cm y r = 8cm)
A
B r
a) 18 cm
b) 24 cm
R
c) 26 cm
d) 28 cm
Hallamos la velocidad lineal de «A» y «B».
VA = ωARVB = ωBr
Pero:
ωA = ωB = 0,25 rad/s = 1/4 rad/s
VA =
P
1 rad
(16cm)
4 s
VA = 4 cm/s
2cm/s
1 rad
VB = 4
(8cm)
s
ω4 =
ω4 = ω5 ... (β)
Por ser poleas con eje de giro común.
También:
ω6R6 = ω5R5
ω6 =
ω xR
4
5
ω6 = 3. Si la rapidez angular de la polea «1» es 16 rad/s, halla la
rapidez angular de la polea «6».
R4
R3
R6
ω6 =
=
(
ω xR
1
1
R4
ω xR
1
1
R4
)
R5
R6
ω xR x R
1
1
5
R4 x R6
ω6 = (16 rad/s) (2 cm) (1 cm)
ω6 =
4.
R2
(4 cm) (6 cm)
4 rad
3 s
Rpta.: Clave «d»
Si la aguja del minutero del reloj de la catedral tiene una
longitud de 60 cm, halla su velocidad lineal en cm/s.
a) π/10 b) π/20
d) π/40 R1
R6
c) π/30
e) π/50
Resolución:
R2 = 8 cm
R4 = 4 cm
R6 = 6 cm
a) 2 rad/s
b) 1/3 rad/s
d) 4/3 rad/s
Resolución:
Utilizaremos: V = ωR
Por simple inspección
V1 = V2 = V3 = V4
(por ser tangentes)
22
de (β) ω4 = ω5
R6
De (α): ω4 =
Rpta.: Clave «a»
ω xR
5
5
Nivel
R5
... (α)
R4
4cm/s
Si cada segundo se alejan 6 cm; entonces en 3s se
alejaron 18 cm.
R1 = 2 cm
R3 = 4 cm
R5 = 1 cm
ω xR
1
1
Q
VB = 2 cm/s
ω1 x R1 = ω4 x R4
V6 = V5 → Por la faja
Nivel
Horizontal
e) 30 cm
Resolución:
c) 2/3 rad/s
e) 1 rad/s
El período de giro del minutero es 1 hora.
T = 1 hora = 3600 s
2π
2πrad
Sabemos: ω = T = 3600s
V = ωR →
V=
2π
V =3600s x 60cm
π cm
30 s
Rpta.: Clave «c»
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
1
Si la velocidad angular del disco “A” es 9 m/s,
3
halla la velocidad angular del disco “B”.
A
Si la ω1= 4 rad/s, ¿qué velocidad tangencial
tienen los puntos periféricos de “3”?
(R1=12cm; R2=6cm; R3=8cm)
B
4m
ω
3m
ω
3
2
Resolución:
1
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Si la velocidad angular de “A” es 9 rad/s, halla
la velocidad angular de “B”.
Si el bloque “A” tiene una velocidad de 60 cm/s,
¿cuál será la velocidad de “B” si las poleas son
ingrávidas.
A
4m
4
B
3R
R
3m
B
Resolución:
A
Resolución:
Rpta:
Rpta:
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
23
4to Secundaria
5
Halla la diferencia entre las velocidades
tangenciales de los puntos “A” y “B” que se
6
Si la velocidad angular de “A” es 2 rad/s, halla
la velocidad tangencial de “C”.
encuentran girando sobre un disco cuya velo3m
cidad angular es 12 rad/s.
3m
B
1m
5m
A
B
C
A
1m
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
7. Si la velocidad tangencial de “A” es 12 rad/s, halla
la velocidad tangencial de “C”.
A
7m
VA
C
B
8cm
VB
6m
4m
8. Halla la velocidad angular con que gira la rueda
“C” si la rueda “A” gira a razón de 4π rad/s.
A
B
5m
9. Si la VA= 3VB, determina el radio de la polea
menor. Además se sabe que el sistema gira con
velocidad angular constante.
4m
C
10. La figura muestra esquemá-ticamente a un disco
rotando con velocidad angular constante. Si los
puntos 1 y 2 distan del centro “O” 1,5 cm u 3 cm,
respectivamente, la relación de sus rapideces V1/
V2 será:
2m
ω
o
24
1
2
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
11. La partícula mostrada se encuentra girando a 8 rad/s.
Calcula su velocidad tangencial en m/s.
12. Si la velocidad tangencial de “A” es 10 m/s, halla
la velocidad tangencial de “C”.
V
A
5r
C
B
2r
3r
R=4m
1. Si la velocidad angular del disco “A” es 18 m/s,
halla la velocidad angular del disco “B”.
B
3. Si la velocidad tangencial del disco “A” es 18 m/s,
halla la velocidad tangencial del disco “B”.
9m
A
60m
20m
a) 2 rad/s
b) 4 rad/s
d) 8 rad/s
A
2m
c) 6 rad/s
e) 10 rad/s
2. Si la velocidad angular del disco “A” es 8 rad/s,
halla la velocidad angular del disco “B”.
a) 2 m/s
B
b) 4 m/s
d) 8 m/s
c) 6 m/s
e) 10 m/s
4. Si la velocidad tangencial del disco “A” es 6 m/s,
halla la velocidad tangencial del disco “B”.
B
A
B
6m
A
3m
4m
a) 6 rad/s
b) 12 rad/s
d) 6 rad/s
7m
c) 18 rad/s
e) 4 rad/s
a) 6 m/s
b) 8 m/s
d) 12 m/s
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
c) 10 m/s
e) 14 m/s
25
4to Secundaria
5. Si la velocidad tangencial del disco “A” es 4 m/s,
halla la velocidad tangencial del disco “B”.
B
3r
A
9. Determina con qué velocidad angular gira la rueda
«B», sabiendo que la rueda «A» tiene una velocidad
angular de 30 rad/s.
B
20cm
r
a) 15 rad/s
b) 20 rad/s
d) 30 rad/s
a) 6 m/s
b) 8 m/s
d) 12 m/s
c) 10 m/s
e) 16 m/s
6. Si la velocidad tangencial de “B” es 10 m/s, halla
la velocidad tangencial de “C”.
24cm
(A)
A
5m
4m
2m
c) 25 rad/s e) 45 rad/s
10. Determina con qué velocidad angular gira la rueda
«B», sabiendo que la rueda «A» tiene una velocidad
angular de 60 rad/s.
18cm
(B)
C
A
30cm
a) 45 rad /s
b) 80 rad /s
d) 40 rad /s B
a) 10 m/s
b) 15 m/s
d) 25 m/s
c) 20 m/s
e) 30 m/s
c) 60 rad /s
e) 90 rad /s
11. En la figura, el bloque «A» sube a 10 m/s. ¿Con qué
velocidad sube el bloque «B».
RB=2RA = 20cm?
7. Si la velocidad angular de “C” es 12 rad/s, halla la
velocidad tangencial de “B”.
6m
C
A
A
B
5m
2m B
a) 5 m/s
b) 10 m/s
d) 20 m/s a) 10 m/s
b) 40 m/s
d) 50 m/s
c) 20 m/s
e) 30 m/s
8. Si la velocidad angular de “B” es 25 rad/s, halla la
velocidad angular de “A”.
A
c) 15 m/s
e) 25 m/s
12. ¿Con qué velocidad desciende el bloque si el período
de rotación de «C» es de π/50 s?
(RC = 2RB= 4RA=40 cm)
B
(C)
5R
2R
a) 5 rad/s
b) 10 rad/s
d) 14 rad/s 26
c) 12 rad/s
e) 20 rad/s
a) 5 m/s
b) 10 m/s
d) 20 m/s c) 15 m/s
e) 25 m/s
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C.T.A.
10
Estática I
OBJETIVOS:
a Conocer e interpretar las leyes de Newton.
a Saber las condiciones para el equilibrio.
a Dibujar correctamente las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.
ESTÁTICA
Es aquella parte
de la mecánica
que estudia la
condición de las
fuerzas aplicadas
a un cuerpo y
el equilibrio que
éste posee.
Interacción por
contacto
FUERZA
Interacción a
distancia
F
Es aquella cantidad vectorial que mide el grado de interacción entre los cu-erpos del universo, también, la fuerza es
el agente que produce movimiento o deformación de los
cuerpos.
Por su naturaleza las fuerzas pueden ser: gravitacionales,
electromagnéticas, nucleares y pueden ser a distancia o
por contacto.
Su nombre griego original es dina, y aunque su definición
actualmente se encuentra en revisión, podemos decir que
se trata de una magnitud física de tipo vectorial, porque
además de una intensidad (valor) posee una dirección y
un punto de aplicación, y surge cada vez que dos cuerpos
interactuán, ya sea por contacto o a distancia. Por lo general
asociamos la idea de fuerza con los efectos de jalar, empujar, comprimir, tensar, atraer, repeler, etc. Así cada vez que
jalamos un cuerpo, decimos que estamos aplicando una
fuerza; del mismo modo cuando colocamos un libro sobre
una mesa, decimos que el libro comprime a la mesa con una
fuerza determinada.
Uno de los bloques de piedra que conforman la fortaleza de Sacsayhuaman tiene el tamaño de una casa
de cinco plantas y un peso aproximado de 20000
toneladas.
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
27
4to Secundaria
a)La masa: una medida de la inercia
1. MEDICIÓN DE LAS FUERZAS
La intensidad de las fuerzas se miden por el efecto
de deformación que ellas producen sobre los cuerpos
elásticos. Es por intermedio del inglés Robert Hooke
(1635 - 1703) que se descubre una relación empírica
entre la fuerza aplicada y la deformación producida, que
hoy se anota así:
Si pateas una lata vacía, se mueve. Si la lata está llena
de arena no se moverá con tanta facilidad, y si está llena
de clavos de acero te lastimarás el pie, en conclusión
la lata llena de clavos tiene más inercia que la que está
vacía. La cantidad de inercia de un objeto depende de su
masa, que es aproximadamente la cantidad de material
presente en el objeto. Cuando mayor es su masa mayor
es su inercia y más fuerza se necesita para cambiar su
estado de movimiento. La masa es una medida de la
inercia de un objeto.
Puedes saber cuánta materia
contiene una lata si la pateas.
b)La masa no es lo mismo que el volumen
Deformación (m)
F=K.x
( )
Constante de N
elasticidad
m
2. LEYES DE NEWTON
No debes confundir la masa con el volumen, pues son
dos conceptos totalmente distintos, volumen es una
medida del espacio y se mide en unidades como centímetros cúbicos, metros cúbicos y litros. La masa se mide
en kilogramos. Un objeto que tiene mucha masa puede
tener o no un gran volumen. Por ejemplo, un saco lleno
de algodón y otro del mismo tamaño lleno de clavos
tienen el mismo volumen, pero diferente masa.
2.1. Primera ley (Ley de la inercia)
Todo objeto persiste en su estado de reposo, o de
movimiento en línea recta con rapidez constante,
a menos que se aplique fuerzas que lo obligen a
cambiar dicho estado.
En palabras sencillas, las cosas tienden a seguir
haciendo lo que ya estaban haciendo.
Los platos sobre la mesa por ejemplo, se
encuentran en reposo y tienden a permanecer
en estas condiciones como podrás comprobarlo
si tiras repentinamente del mantel sobre el cual
descansan.
2.2. Tercera ley (Ley de la acción y reacción)
Cuando dos cuerpos interactúan entre sí, aparece una
fuerza de acción que va del primer cuerpo al segundo
y por consecuencia aparece una fuerza de reacción
que va del segundo cuerpo al primero.
La fuerza de acción y de reacción tienen igual valor,
sólo que direcciones contrarias y como actúan en
cuerpos diferentes no se cancelan.
28
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
N
3. FUERZAS INTERNAS
Designamos con este nombre a aquellas fuerzas que
se manifiestan en el interior de cuerpos, cuando
éstos se ven sometidos a efectos externos. Aunque su
explicación radica en el mundo atómico y molecular, aquí
presentaremos sólo sus características macroscópicas.
N
3.1. Peso (P)
N1
Llamamos así a la fuerza con la que la Tierra atrae
a todo cuerpo que se encuentra en su cercanía.
Es directamente proporcional con la masa de los
cuerpos y con la gravedad local. Se le representa
por un vector vertical y dirigido al centro de la
Tierra (P=mg).
N2
w
3.3. Tensión (T)
Es la fuerza resultante que se genera en el interior de
una cuerda o un alambre, y que surge para oponerse
a los efectos de estiramiento por parte de fuerzas
extremas que actúan en los extremos de aquellos.
En estas fuerzas predominan los efectos de atracción.
T
w
4. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Es aquel procedimiento que consiste en aislar parte de
una estructura para analizar las fuerzas que actúan sobre
él. Se recomienda seguir los siguientes pasos:
w
1)Peso
2)Tensión
3.2. Normal (N)
3) Tercera ley y fuerzas externas.
Se le llama también fuerza de contacto, y viene a ser
la resultante de las infinitas fuerzas que se generan
entre las superficies de dos cuerpos cuando éstos
se acercan a distancias relativamente pequeñas,
predominando las fuerzas repulsivas. La línea de
acción de la normal es siempre perpendicular a las
superficies en contacto.
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
29
4to Secundaria
EJERCICIOS RESUELTOS
Los gráficos siguientes te muestran el D.C.L. de algunos
cuerpos suspendidos y apoyados.
1. Realiza el D.C.L. para el siguiente sistema:
D.C.L. del
cuerpo suspendido
Cuerpo
Suspendido
T
A
T=Tensión
P=Peso
A
B
P
D.C.L. del cuerpo
apoyado en una superficie
Cuerpo
apoyado en una
superficie
P=Peso
N=Normal o
reacción del
piso
B
Resolución:
P
Para la esfera «A»:
T
N
A
T
Cuerpo
apoyado y
suspendido
B
WA
RBA
N
P
D.C.L. del
cuerpo apoyado y
suspendido
A
5. EQUILIBRIO
Un cuerpo se encuentra en equilibrio si dicho cuerpo no
experimenta ningún tipo de aceleración, y se encuentra
en equilibrio estático cuando el cuerpo no se mueve
y, en equilibrio cinético cuando el cuerpo se mueve a
velocidad constante.
V=0 (Reposo)
E. Estático
E. Cinético
Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación si
sobre él la sumatoria de fuerzas, osea la fuerza resultante,
es igual a cero.
30
RAB
*ΣFx = 0
*ΣFy = 0
R2
B
WB
V=Cte. (MRU)
Primera condición de equilibrio
R=ΣF=0
Para la esfera «B»:
R1
Recuerda |RBA| = |RAB|
Son iguales en módulo pero tienen sentidos opuestos.
2. Determina la reacción normal si el cuerpo está en
equilibrio. (g = 10 m/s2)
a) 50 N
b) 100 N
c) 150 N
d) 200 N
e) 250 N
30N
18kg
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
5. Una esfera homogénea de peso «w» se encuentra en
equilibrio apoyada sobre dos planos inclinados lisos.
Halla la magnitud de la reacción en el apoyo «B».
Resolución:
Hacemos el D.C.L. para el bloque:
30N
N
B
180N
2α
Σ Fy = 0
N + 30 – 180 = 0
N = 150 N
a)
Rpta.: Clave «c»
3. Halla T si el sistema está en equilibrio (g = 10 m/s2).
w
b) w senα
(4cos2α–1)
d) w cosα
c) 60 N
d) 80 N
Hacemos el D.C.L.
Colocamos la tensión que corresponde a cada cuerda.
A
2α
2α
De aquí:
T
RA
α
90–α
16T = 640 N
T = 40 N
2T 2T
90–α
w
4T 4T
8T
B
RB
2α
Resolución:
RB
2α R cos2α
B
2α
8T
16T
α
Rpta.:
Clave «b»
640N
RB
2α
RBcos2α
w
RA
4. Realiza el D.C.L. de la esfera y dibuja su triángulo de fuerza.
α
RB
90–α
θ
W = 2RBcos2α + RB
W = RB(2cos2α + 1)
Por trigonometría:
cos2α = 2cos2α – 1
Resolución:
Hacemos el D.C.L. de la esfera:
N
e) wcos2α
64kg
e) 120 N
c) w sen2α
Resolución:
b) 40 N
T
α
T
a) 20 N
A
θ
N
T
⇒
w
θ
w
T
W = RB (2(2cos2α – 1) + 1)
W = RB (4cos2α – 2 + 1)
RB =
θ
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
w
(4cos2α–1)
Rpta.: Clave «a»
31
4to Secundaria
1
Realiza el diagrama del cuerpo libre de cada
3
Realiza el D.C.L. de la barra y del punto «B»
esfera.
de la cuerda.
α
A
R
F
B
R
Q
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Realiza el D.C.L. de la esfera y el bloque «A».
4
Realiza el D.C.L. y reconoce el tipo de fuerzas.
B
37°
Resolución:
Rpta:
32
A
Resolución:
Rpta:
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
5
Halla «T» si el sistema está en equilibrio.
6
Un sistema de masa - resorte está oscilando
sobre un piso horizontal sin fricción en una
T
trayectoria rectilínea en torno a la posición de
equilibrio «O» de la masa. Cuando la masa se
está desplazando a la derecha de su posición
de equilibrio el diagrama de cuerpo libre de las
10kg
fuerzas que actúan sobre ella será:
Resolución:
V
K
O
Resolución:
Rpta:
Rpta:
7. Realiza el D.C.L. de la barra.
9. Realiza el D.C.L. de la polea del bloque y del
punto «O».
O
O
N
M
P
10. ¿Qué sistema se encuentra en equilibrio?
8. Realiza el D.C.L. de la esferita.
R
V
R
θ
V
V
(I)
w
V
2V
V
(II)
(III)
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
33
4to Secundaria
11. Realiza el D.C.L. de la barra.
10m
12. Realiza el D.C.L. correcto para la esfera mostrada.
5m 5m
θ
I. Realiza el D.C.L para los siguientes casos.
A
34
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
5. Realiza el D.C.L para ambas esferas.
8. Haz el D.C.L. para la barra.
6. Realiza el D.C.L para la esfera.
9. Haz el D.C.L. de la esfera.
Superficie
Lisa
7. Realiza el D.C.L para la esfera.
37°
10. Realiza el D.C.L. de la esfera.
60°
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
35
4to Secundaria
36
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
11
Estática II
OBJETIVOS:
a Reconocer a las fuerzas de la naturaleza, su representación vectorial y el modo de medirlos.
a Aplicar los conceptos de cálculo matemático para el equilibrio de los cuerpos.
1. EQUILIBRIO DE FUERZAS CONCURRENTES
Fuerza ascendente del alfiler
De lo visto anteriormente sabemos que un cuerpo
está en equilibrio cuando no presenta ningún tipo de
aceleración, además su fuerza resultante será igual a cero.
Entonces se debe cumplir:
Gráficamente:
Peso
F3
F1
Centro de
gravedad
Alfiler
Alfiler
F2
D
A Pedazo
de cartulina
C
Alfiler
Centro de
gravedad
Centro de
gravedad
B
R = ∑F = 0
Línea de
plomada
∑Fx = 0
∑Fy = 0
2. CENTRO DE GRAVEDAD
Un objeto a menudo se comporta como si todo su peso
actuara en un punto. La posición de este punto afecta
el lugar donde el objeto alcanzará su equilibrio y la
probabilidad que tiene de caerse.
3. LA PALANCA
El nombre de Arquímedes se recuerda con frecuencia
cuando estudiamos el uso de las palancas, pues a él debemos
el descubrimiento de la «Ley del equilibrio de las palancas».
Determinación del centro de gravedad de un pedazo de
cartulina plana.
Cuando se suelta el pedazo de cartulina de la figura,
ésta oscila libremente colgado del alfiler clavado en una
esquina superior. Las fuerzas actúan sobre la cartulina,
formando un par de fuerzas que hacen que oscile hacia
abajo y alcance el reposo.
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
d1
F1
d2
F2
37
4to Secundaria
Uno de los descubrimientos más importantes de Arquímedes
fue la «ley de las palancas», con gran empleo desde entonces.
Fuerza ascendente ejercida
por el piso.
Centro de
Gravedad
Peso
Base
Con una pequeña
inclinación la caja
regresa a su posición
original.
Arquímedes comprendió que, por mayor que fuese el peso
F2, siempre sería posible equilibrarlo (o
desplazarlo) aumentando adecuadamente
la distancia d 1. El entusiasmo de esta
conclusión provocó en Arquímedes a
pronunciar la célebre frase: «Denme una
palanca y un punto de apoyo, y moveré el
mundo».
Con una inclinación
grande la caja
ladea más hacia la
derecha.
Una caja que
tenga una base más
ancha y un centro
de gravedad en un
punto más bajo,
puede inclinarse un
ángulo mayor antes
de volcarse.
‘‘Denme una palanca y un punto de apoyo, y moveré el
mundo’’. (Arquímedes).
Como usted ya debe haber visto muchas veces, el principio
de la palanca es empleado en numerosos dispositivos que
encontramos en nuestra vida diaria. Por ejemplo, cuando
una persona intenta aflojar las tuercas de la rueda de un
automóvil, cuando mayor sea la distancia «d» que se indica
en la figura, tanto menor será el esfuerzo que deberá hacer
para conseguir su objetivo.
Si no hay inclinación
la caja se mantiene
estable.
Observación
1. La bala que cae en la botella
Colocamos sobre una botella un tapón de corcho
y sobre el tapón una bala, hacemos saltar el tapón
lateralmente mediante un choque brusco, la bala, por
la inercia, persiste en su posición y por falta de apoyo
cae dentro de la botella.
¿Qué principio se demuestra?
Para aflojar (o apretar) la tuerca de la rueda, una persona
desarrollará un esfuerzo menor si emplea una llave que sea lo
más larga posible.
4. ESTABILIDAD
Algunas cosas se derriban con mayor facilidad que otras.
Las figuras, muestran lo que ocurre cuando una caja alta
y estrecha es empujada hasta que comienza a volcarse.
38
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
Ahora dibujamos el triángulo de fuerzas.
RA
Halla la tensión en la cuerda si la esfera tiene una masa
de 6 kg. (g = 10 m/s2)
16°
53°
7k
16°
24k
RA
25 k
= ⇒ RA = 70 x 25
70
7
7k
Rpta.: Clave «e»
RA = 250 N
3. Halla la tensión en la cuerda 1 si el bloque está en
equilibrio. (g = 10 m/s2)
Resolución:
Hacemos el D.C.L.
T
T=5k
53°
60N 53°
⇒ 3k
N
37°
N=4k
W=60N
60N = 3k ⇒ k = 20N
T = 5k = 5 x 20N= 100 N
a) 60 N
b) 80 N
c) 100 N
d) 120 N
e) 160 N
53°
2
A
74°
1
8kg
Resolución:
Hacemos el D.C.L. del sistema en el nudo «A».
53°
T2
37°
74°
74°
Rpta.: Clave «a»
Peso=80N
2. Si las esferitas mostradas pesan 70 N cada una, halla la
reacción en A. (g = 10 m/s2)
A
T2
Q
<>
c) 160 N
e) 250 N
Resolución:
4.
80N
74°
T1
16°
a) 70 N
b) 90 N
d) 240 N 37°
37°
P
25k
70N <>
RPARED
a)100 N
b) 60 N
c) 600 N
d) 300 N
e) 150 N
El triángulo mostrado es isósceles, entonces T1 = 80N.
Rpta.: Clave «b»
Un bloque «A» de 70 3 N de peso es elevado a velocidad constante por m edio de una fuerza «F» horizontal de 300 N. Determina la medida del ángulo «ψ»,
aproximadamente, si todas las superficies son lisas.
D.C.L. para la esfera «Q».
A
RPARED
A
P
16°
F
B
ψ
W=70N
a)37º
b)53º
d)8º
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
c)82º
e)60º
39
4to Secundaria
Resolución:
Hacemos un D.C.L. de los bloques como si fueran un solo cuerpo.
R
A
Resolución:
Para la polea.
2T
WA+WB
N
Como lo trabajamos como si fuera un solo cuerpo, no utilizamos la fuerza de contacto entre «A» y «B» pues pasaría
a ser una fuerza interna del sistema.
Para la palanca.
4m
2m
T
F = 300 = 3 x 100 = 10 3 N
Ahora el D.C.L., sólo para el bloque «A».
R0
A
ΣMA = Suma de momentos en el
punto «A».
ΣMA = 0, pues la palanca no gira.
N
R0 x 4m + T x 6m = 0
T x 6 = 4 R0
RA/B
ψ
WA
2T
4T
80N
80N
Notamos: F = R
N = WA + WB
ψ
T
T
F
B
R0=
20 x 6
= 30 N
4
Rpta.: Clave «c»
N=10 3=1(10 3)
WA=70 3
RA/B
Importante
ψ W =7(10 3)
A
Si un cuerpo está en equilibrio y le hacemos su D.C.L.,
y resulta que sólo lo afectan tres fuerzas, entonces
dichas fuerzas dibujadas en secuencia formarán un
triángulo.
1k
<>
5 2k 8°
Entonces :
ψ = 8°
7k
Rpta.: Clave «d»
5.
Ejemplo :
El sistema mostrado en la figura está en equilibrio. Los
pesos de las poleas y de la palanca, así como las fuerzas
de fricción son despreciables.
Determina la reacción del apoyo «O» sobre la palanca.
T
N
4m
2m
O
N
80N
a) 10 N
b) 20 N d) 40 N
40
T
W
ω
c) 30 N
e) 50 N
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
1
Halla la lectura del dinamómetro si el sistema está
3
en equilibrio, y además m= 4,6 kg (g= 10 m/s2).
Calcula la deformación del resorte si el sistema
se encuentra en equilibrio, WA = 50N y la constante elástica del resorte es 100 N/m.
53º
A
Resolución:
37°
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Las esferas mostradas pesan 50 N cada una.
Halla la reacción en A.
4
Calcula la lectura del dinamómetro si el
bloque de 30N de peso se encuentra en
A
reposo. (Poleas de peso despreciable)
dinamómetro
30º
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
41
4to Secundaria
5
En el sistema en equilibrio,
6
Una esfera de radio r y peso W está en contacto con a una esfera inmóvil de radio R,
halla
WA
WB
mediante una cuerda de longitud L. Halla la
fuerza de contacto si no existe rozamiento.
L
r
W
A
B
R
Resolución:
Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
Los pesos de los bloques A y B son 5 y 12N
respectivamente. Halla la tensión en la cuerda
oblicua.
9.
El sistema mostrado está en equilibrio. Si la
barra pesa 80 3 N y la tensión en la cuerda es
de 80N, halla θ.
α
θ
32°
8.
A
B
Si la esfera mostrada tiene una masa de 32kg,
calcula la tensión que soporta la cuerda que
sostiene a la esfera.
(g = 10m/s2)
53°
10. Halla la relación entre las tensiones de las
cuerdas A y B.
α
g
A
B
α
53°
42
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
11. En el sistema mostrado, calcula la tensión en
el punto A si el bloque tiene un peso de 100N
y el sistema está en equilibrio.
12. Determina la longitud de la cuerda AB, de
modo que el resorte AC se mantenga horizontal,
además la longitud libre de AC es 0,6m,
KAC = 300n/m y el peso del bloque es de 90N.
θ
2θ
2m
C
1. Halla la tensión de la cuerda si el sistema está en
equilibrio.
(g= 10 m/s2)
T
2kg
2. Halla la tensión de la cuerda “A” si ω1 = 50N y
ω2 = 80N.
a) 50 N
b) 80 N
c) 130 N
d) 150 N
e) 130 N
ω1
37°
4. Halla el módulo de la reacción del piso si el
sistema está en equilibrio. (mA=20kg ; mB=2 kg,
g=10m/s2).
a) 100 N
b) 110 N
c) 120 N
d) 130 N
e) 140 N
mB
mA
5. Calcula la fuerza “F” que equilibra el sistema si
Q=600 N.
A
a) 75 N
b) 600 N
c) 300 N
d) 150 N
e) 140 N
ω2
3. Halla la tensión de la cuerda “A” si: w = 30 N.
a) 15 N
b) 45 N
c) 70 N
d) 30 N
e) 60 N
A
w
a) 2 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 10 N
e) 40 N
B
A
F
Q
6. Si el sistema está en equilibrio, halla la fuerza de
rozamiento.
(m = 2kg; g = 10m/s 2)
A
w
a) 12 N
b) 20 N
c) 16 N
d) 4 N
e) 10 N
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
12N
53º
43
4to Secundaria
7. Si el sistema mostrado en la figura se encuentra en
equilibrio, halla θ.
(WA = 30 N y WB = 40N).
10. Halla la reacción del piso si cada polea pesa
10N. (WA = 150N ; WB = 30N)
θ
B
A
B
A
a)37º
b)45º
d)53º a) 10 N
b) 20 N
d) 50 N
c)60º
e)30º
8. El bloque de 80N se encuentra en equilibrio.
Determina la deformación del resorte si K = 100 N/m
(no considere rozamiento).
c) 30 N
e) 40 N
11. Determina la fuerza horizontal que ejerció
el obrero al bloque para mantenerlo en
reposo si el resorte está deformado 5 cm.
(K = 100N/cm)
60°
a) 10 cm
b) 20 cm
d) 40 cm
c) 30 cm
e) 50 cm
9. El bloque de la figura se encuentra en equilibrio,
calcula la tensión en la cuerda horizontal sabiendo
que el bloque pesa 60N.
37°
a) 200 N
b) 100 N
d) 20 N c) 500 N
e) 50 N
12. L o s b l o q u e s A y B p e s a n 8 N y 6 N,
respectivamente. Si el sistema está en equilibrio,
halla la medida del ángulo α.
α
A
B
a) 60 N
b) 70 N
d) 90 N
44
c) 80 N
e) 100 N
a) 37°
b) 53° d)16°
c) 45°
e)18,5°
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
12
Dinámica Lineal
OBJETIVOS:
a Conocer las leyes de la mecánica que permitan explicar las causas del movimiento, las cuales se denominan leyes de Newton.
a Aprender las principales aplicaciones de la dinámica, como son: la máquina de Atwood, gravedad efectiva y poleas móviles.
1. ¿QUÉ SIGNIFICADO TIENE LA PALABRA
DINÁMICA?
Ejemplo:
Halla la aceleración si m = 5kg.
Proviene del griego dynamis que significa fuerza. Uno de
los estudiosos de la dinámica fue Isaac Newton, físico
y matemático de nacionalidad inglesa (1642 – 1727).
Se le considera el inventor del cálculo, descubridor de
la composición de la luz blanca y concibió la idea de la
Gravitación Universal. Este científico tuvo el mérito de ser
el primero en sistematizar los conceptos de fuerza y masa.
a
W
F1=100N
∴W=N
Newton descubre que un cuerpo sometido a una fuerza
resultante (R) no nula presenta siempre una velocidad
variable, es decir, el cuerpo experimenta una aceleración.
Sus observaciones y experimentos le permitieron
establecer la siguiente ley: ‘‘Toda fuerza resultante
desequilibrada que actúe sobre un cuerpo le produce una
aceleración que será de la misma dirección y sentido que
aquella, y su valor será directamente proporcional con
la fuerza, pero inversamente proporcional con su masa’’.
Toda fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo,
originará en él una aceleración en su misma dirección.
FR
FR : fuerza resultante
m : masa
a : aceleración
m
F2=60N
N
2. SEGUNDA LEY DE NEWTON
a
m
Las fuerzas que son perpendiculares al movimiento
se anulan.
Segunda ley de Newton
FR2 = m.a
F1 - F2 = m.a
100 - 60 = 5.a
a = 8 m/s2
2.2. ¿Cómo aplicar la Segunda ley de
Newton?
La relación vista antes es preferible aplicarla así:
FR = m . a
ma = R.
2.1. Unidades en el S.I.
m
a
FR
kg
m/s2
Newton (N)
Memotecnia : La ecuación se lee como ‘‘mar’’.
Dado que: R = ∑ F, entonces cuando se tiene
sistemas físicos que presentan un buen número
de fuerzas componentes será preferible aplicar la
segunda. Ley de Newton de la siguiente forma:
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
45
4to Secundaria
Fuerzas a
favor de
a
–
Fuerzas en
contra de =
a
Cuerpo apoyado
y suspendido
m . a
a
F1
T
F2
m
D.C.L. del
cuerpo apoyado
y suspendido
N
F3
P
F1 + F 2 – F 3 = m . a
Completa correctamente las oraciones con la lista de
palabras siguientes:
T: Tensión
P : Peso
N:Normal o reacción del piso
Equilibrio
fuerzas; velocidades; masa
Un cuerpo se encuentra en equilibrio si dicho cuerpo no
experimenta ningún tipo de aceleración, se encuentra en equilibrio
estático cuando el cuerpo no se mueve, y en equilibrio cinético
cuando el cuerpo se mueve a velocidad constante.
inercia; 20 kg; peso
• Las ________________ producen aceleraciones pero
no producen ____________________.
• La ___________________ es la medida dinámica de la
________________ de un cuerpo.
• Si un cuerpo tiene de masa __________________,
entonces su _____________ es 200 newton.
Recondando Estática
Los gráficos siguientes te muestran el D.C.L. de algunos
cuerpos suspendidos y apoyados.
D.C.L. del
Cuerpo
suspendido Cuerpo
suspendido
T
A
Cuerpo
apoyado en
una superficie
B
D.C.L. del
cuerpo
apoyado en
una superficie
P
V = Cte. (MRU)
V = 0 (Reposo)
E. Estático
E. Cinético
Primera condición de equilibrio
Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación si sobre él la
sumatoria de fuerzas, osea la fuerza resultante, es igual a cero.
∑Fx = 0
R = ∑F = 0
Recuerda
Si no existiera rozamiento sería imposible caminar; no
obstante sería posible desplazarse por una superficie
perfectamente lisa.
F
P
N
W
T : Tensión
P : Peso
46
∑Fy = 0
P : Peso
N : Normal o reacción
del piso
R=N
Superficie Lisa
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. ¿Cuál será la aceleración del bloque de 10 kg de masa
si F = 70 N? (g = 10 m/s2)
a) 1 m/s2
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
d) 7 m/s2
e) 10 m/s2
F
a=
(m1 – m2)g
(m1 + m2)
Rpta.: Clave «e»
3. Halla la aceleración del bloque. (g = 10 m/s2)
D.C.L. para el bloque:
70N
a
Al estar los bloques unidos por una cuerda la masa del
sistema es m1+m2.
En «m1»:
ΣF = ma
m1 x g – m2 x g = (m1 + m2)a
g(m1 – m2) = (m1 + m2)a
a
Resolución:
10kg
100N
ΣF = ma
100 N–70 N=(10kg)a
30N = 10kgxa
a = 3m/s2↓
Rpta.: Clave «c»
50N
a) 1 m/s2
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
d) 4 m/s2
e) 5 m/s2
5kg
37°
Resolución:
2. Del siguiente gráfico, determina la aceleración del
sistema si m1 > m2 y g es la aceleración de la gravedad.
D.C.L. para el bloque
y
50N
a
a
a) a = g
b) a = g (m + m )
1
2
m2
30N
37°
(m1 x m2)
c) a = (m 2 – m 2)g
1
2
m1 + m 2
d) a =
m 12 + m 22
m1 – m 2
e) a =
m1 – m 2
m1 + m 2
)
)
g
g
D.C.L. para la polea y luego para m1.
m2 x g
a
m1g
m2g
40N
50N
37°
Normal
Resolución:
x
37°
40N
30N
m1
(
(
37°
m1
m1 x g
ΣFx = ma
40 N – 30N = (5kg)a
10 N = 5kg (a)
a = 2 m/s2
Rpta.: Clave «b»
4. En el techo de un auto se cuelga una esfera, cuando
el carro acelera la cuerda forma un ángulo «θ» con la
vertical. Halla la aceleración del auto.
a) a = g senθ
b) a = g sen2θ
c) a = gtg2θ
d) a = gtg2θ
e) a = gtgθ
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
a
θ
47
4to Secundaria
Resolución:
Hacemos el D.C.L. de la esfera considerando que, por
estar dentro del automóvil, tiene su misma aceleración.
Para «A»:
ΣF = ma
T = 8 x (2a)
T = 16a
ΣFy = 0
Tcosθ = mg
T a
Tcosθ θ
Razonemos: Si el bloque «B» baja 1 metro, las dos cuerdas
tendrían que bajar 1m cada una, es decir, utilizar en total
2m (el doble). Es lógico pensar que la aceleración de «A»
es el doble de la aceleración de «B».
Tsenθ
T = mg
cosθ
mg
ΣFx = ma
Tsenθ = ma
( )
( )
mg senθ = ma
cosθ
g senθ = a ⇒
cosθ
Para «B»:
ΣF = ma
100 – 2T=10 x a
100 – 2T = 10a
100 – 2(16a)=10 a
100 – 32a = 10a
100 = 42a
a = 100
42
⇒ a = 50 m/s2
21
Rpta.: Clave «d»
a = gtgθ
COPÉRNICO
Rpta.: Clave «e»
5. Los bloques «A» y «B» tienen 8 y 10 kg, respectivamente.
Si no existe rozamiento, halla el módulo de la aceleración
de B (desprecia el peso de las poleas) g = 10 m/s2.
La concepción aristotélica del movimiento perduró casi
2000 años, y empezó a derrumbarse a partir de la nueva
concepción de un sistema heliocéntrico, defendido por
Copérnico (1473 – 1543), quién llegó a la conclusión
de que los planetas giraban alrededor del Sol.
A
B
a) 98/21 m/s2
c) 92/21 m/s2
d) 50/21 m/s2
b) 49/21 m/s2
e) 30/21 m/s2
Resolución:
Evaluamos todo el sistema.
A
8kg
T
T
GALILEO GALILEI
Galileo, partidario activo del sistema heliocéntrico de
Copérnico, propuso posteriormente, en contra de las
ideas de Aristóteles, que el estado natural de los cuerpos
era el movimiento rectilíneo uniforme.
Para Galileo, un cuerpo en movimiento sobre el que no
actúan fuerzas, continuará moviéndose indefinidamente
en línea recta, sin necesidad de fuerza alguna.
Esta facultad de un cuerpo para moverse uniformemente
en línea recta, sin que intervenga fuerza alguna, es lo
que se conoce como INERCIA.
T
2T
10kg B
a
100N
48
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
1
Halla la fuerza F que lleva el bloque con una
Determina la fuerza de contacto entre los
bloques.
aceleración constante.
10
µK =0,25 a=
3
12N
2
m/s F
A
5 kg
B
7N
37º
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
En el sistema, calcula la tensión en la cuerda.
(mA = 2 kg; mB = 3 kg; g = m/s2)
4 Calcula la aceleración de los bloques.
(mA = 4 kg, mB = 6kg)
A
B
F=80N
A
B
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
49
4to Secundaria
5
Encuentra la tensión en la cuerda que une a los
6
bloques si no existe rozamiento.
20N
11kg
9kg
Halla “a” si no hay rozamiento.
(g = 10 m/s2)
a
60N
1kg
a
a
6kg
Resolución:
3kg
Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
Calcula la aceleración del péndulo mostrado.
(g = 10 m/s2; α = 37°)
9.
Calcula la aceleración con la cual desciende el
bloque.
a
m
liso
α
8.
θ
Un coche lleva un péndulo, de modo que éste se
encuentra desviado de la vertical un ángulo θ =
37°. Si el coche acelera, ¿hacia dónde lo hace y
cuál es su valor?
(g = 10 m/s2)
10. Calcula la tensión en la cuerda si el ascensor
sube a razón de 5 m/s2 (m = 4kg).
m
a
θ
50
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
C.T.A.
11. Si el ascensor baja desacele–rando a razón de 4
m/s2 y la lectura del dinamómetro indica 100 N,
halla la lectura de la balanza siendo la masa del
muchacho 50 kg.
(g = 10 m/s2)
12. Un carrito de 12 kg es impulsado por una fuerza
F = 200 N. Determina el ángulo θ si la masa de
la esfera es de 3 kg.
(g = 10 m/s2)
m
F
a
1. En cada caso, halla la aceleración con que es
llevado el bloque sobre la superficie lisa.
θ
5 kg
M
3. Halla la aceleración del bloque.
50 N
a
a
10N
liso
m
40N
a) 2 m/s2
b) 4 m/s2
2
d) 8 m/s
10N
c) 6 m/s2
e) 10 m/s2
5 kg
37º
a) 5 m/s2
b) 3 m/s2
2
d) 2 m/s
c) 6 m/s2
e) 9 m/s2
4. ¿Con qué aceleración baja la esfera de 6 kg cuando es jalado con una fuerza F=30 N?
(g = 10m/s2)
2. En cada caso, halla la fuerza “F”.
a=5 m/s2
F
2 kg
F
50N
a) 10 N
b) 30 N
d) 20 N
a
c) 50 N
e) 40 N
a) 3 m/s2
d) 6 m/s2
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
b) 8 m/s2
c) 7 m/s2
e) 5 m/s2
51
4to Secundaria
5. Halla la aceleración del sistema si g = 10m/s2.
9. Halla la tensión de la cuerda que une los bloques.
(m1 = 9 kg, m2 = 11 kg)
20N
(1)
60N
(2)
7 kg
3 kg
a) 1 m/s2
b) 2 m/s2
2 d) 4 m/s
a) 32 N
b) 34 N
d) 38 N c) 3 m/s2
e) 5 m/s2
c) 36 N
e) 40 N
10. Halla la fuerza de interacción entre los bloques si
no existe rozamiento. (m1 = 6 kg; m2 = 4 kg)
6. Halla la aceleración del sistema.
(g = 10m/s2)
40N
10N
5 kg
(1)
30N
(2)
37º
a) 1 m/s2
b) 2 m/s2
2 d) 4 m/s
c) 3 m/s2
e) 5 m/s2
7. Calcula F si el bloque sube a razón de «g» m/s2.
a) 40 N
b) 42 N
d) 46 N
c) 44 N
e) 48 N
11. Calcula la aceleración de m=2kg si la fuerza F es
100 N. (g = 10 m/s2)
F
F
m=1kg
4m
37°
m
a) 10 N
b) 8 N
d) 16 N a) 8 m/s2
b) 19 m/s2
2 d) 16 m/s
c) 2 N
e) 4 N
8. Halla la aceleración con que se desplazan los bloques
de igual masa.
c) 12 m/s2
e) 20 m/s2
12. Halla la tensión (T) en la cuerda indicada.
(g = 10 m/s2)
T
6kg
∼
4kg
30°
30°
a)g
b)g/2
d)3g/2
52
c)2g
e)g/4
a) 36 N
b) 18 N
d) 20 N c) 40 N
e) 32 N
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"