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MOVIMIENTO COMPUESTO
Considerando el caso de una partícula que se mueve
sobre una superficie horizontal y que abandona dicha
superficie en el punto P, tal como se muestra en la figura,
se cumple:
A"
B"
C"
V0
P
A
Fórmulas del movimiento compuesto semiparabólico:
Del movimiento horizontal:
V0
P
Vx  V0
h
Vy
V
A'
C
B
B'
x
x  V0 t 
C'
C
t
x
V0
… (1)
Del movimiento vertical:
 El tiempo en caída libre de P hasta C es el mismo que
ha transcurrido al recorrer con velocidad constante de
P a C” y es el mismo que ha transcurrido en recorrer
la trayectoria curva real PC’.
h
2h
g
1 2
t
gt

2
… (2)
Sustituyendo con (1):
h
2
1
x
g
2 V0 2
 A partir del momento en que la partícula abandona la
superficie horizontal, el movimiento es compuesto,
horizontal con MRU y vertical con MRUV.
… (3)
Igualando (1) y (2):
 La velocidad horizontal es constante e igual a la
velocidad inicial durante todo el movimiento, mientras
que la velocidad vertical aumenta.
Movimiento Parabólico
Este movimiento resulta de la composición de un
movimiento horizontal rectilíneo uniforme (MRU) y un
movimiento de caída libre vertical (MCLV).
 La velocidad total en cualquier punto de la trayectoria
es:
V
2
Vx  Vy
2
ó también:
V
x  V0
Y
2h
g
M Vx
P Vx
V0 2  g 2t 2
V0y
V0
H
Vy
V
Mov. Parabólico
V0x
M.R.U.V.
M.R.U.
D
X
103
Restricciones para el análisis del movimiento parabólico:
 Se desprecia la fricción del aire.
 Aplicable sólo para alturas pequeñas, ya que se considera
constante la aceleración de la gravedad
 Los alcances serán pequeños de tal manera que nos
permitan no tomar en cuenta la forma de la Tierra.
 Las velocidades de disparo no deben ser muy grandes
porque el móvil podría adquirir trayectorias elípticas y
rotar alrededor de la Tierra.
Características:
 Su trayectoria es una parábola.
 Por ser movimiento compuesto, se descompone en dos
movimiento simples
a) En el eje horizontal se tiene un MRU
b) En el eje Y se tiene un movimiento vertical ascendente
y luego descendente.
c) La velocidad de disparo se descompone en dos ejes "X"
e "Y".
Vy  V0 sen
Vx  V0 cos 
;
Observe que en el punto “M” (la mitad del recorrido) la
velocidad vertical es nula, luego de la relación (3) se deduce
que:
M Vx
V0y
V0
Vy
H
X
Descomponiendo la velocidad inicial:
0  V 2sen 2  2gH
0
tiene:
A partir de esto podemos definir la altura máxima
alcanzada en un movimiento parabólico:
H
Dado que se trata de un movimiento compuesto, es posible
definir los dos tipos de movimiento involucrados:
Horizontal con MRU
x  V0 cos t
… (1)
Vx  V0x  V0 cos 
Velocidad horizontal:
(Constante durante todo el movimiento)
Desplazamiento:
Velocidad vertical:
Se sabe que: x  V0 cos t ; entonces para determinar el
máximo alcance horizontal utilizaremos la relación (1)
reemplazando el tiempo con el tiempo total de vuelo:
2
… (3)
Vy  (V0sen)  2gh
104
D  V0 cos  
identidad
2V0 sen
g
de
D
2
2V0 sen cos 
g

ángulo doble
se
sabe
que:
2
V0 sen2
g
Alcance máximo:
Analizando el numerador de la relación anterior podemos
apreciar que el valor máximo para “D” se da cuando
D máx 
V0
g
2
De lo expuesto se deduce que el ángulo de tiro para lograr
máximo alcance horizontal es 45º.
Importante:
Observe que al dividir miembro a miembro las ecuaciones
de la altura máxima y alcance máximo obtenemos:
H
sen 2


D V0 2sen2 2sen2
g
1 2
gt
2
… (2)
Vy  V0 sen  gt
2
2
V0 2sen 2
2g
Vertical con MRUV
y  V0 sent 
2
V0 sen
2g
sen2  1 , por lo cual 2  90º ; luego:
 V0x  V0 cos 
 V  V sen
0
 0y
Desplazamiento:
2
sen2  2sen cos  , entonces:
V
D
Vx  Vy
Analizando otra vez el punto “M”, en la relación (4) se
D
V0x
2
V
Por
P Vx
V0 sen
g
De donde el tiempo total de vuelo será:
La velocidad total en un punto “P” cualquiera de la
trayectoria estará dada por:
d) Para un mismo nivel de referencia los módulos de las
velocidades son iguales, lo mismo sucede con los ángulos.
Y
t
0  V0sen  gt 
… (4)
Finalmente:
H
 tan 
4D
2
H
sen 

 D 4sen cos 
Posición de la partícula:
La posición o coordenadas de la partícula estarán dadas
por las ecuaciones paramétricas:
La posición transcurrido un tiempo “t”
... (1)
 x  V0 cos t

1 2

y  V0 sent  gt
... (2)

2

x
t
V0 cos 
gx
Alcance
horizontal
D

2
V0 sen2
g
d) 42, 86 m/s
2
Altura máxima
Relación de H
y TV
4H
D
H
gTV
8
2
2
V
g
disparo es de 45°. Entonces:
CASO ESPECIAL
En el siguiente gráfico podemos observar que, se lanzan
dos proyectiles, ambos con la misma velocidad inicial pero
bajo diferentes ángulos de elevación:
80 m/s
Vx  80 m/s
V
2
2
Vx  Vfy
Luego:
…(1)
Vfy  V0y  gt  60  10(4)
Vfy  20 m/s
…(2)
Reemplazando (2) y Vx en (1)
2
80  20
2
 V  82, 46 m/s
Vo

Vo

2
figura. (g  10 m/s ) .
a) 20 m/s
b) 30 m/s
c) 40 m/s
d) 50 m/s
e) 60 m/s
V0
15º
20 m
Se cumple que:
Sen2  Sen2(15º )  Sen30º
H2
D
D2
D1
D1  D2
; siempre y cuando los ángulos
de lanzamiento sean complementarios:
pero H 1  H 2 .


Rpta.
2. Calcular la mínima velocidad que puede tener un
motociclista para lograr pasar el obstáculo mostrado en la
Solución:
H1
V
Sabemos que:
V
ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO
El alcance horizontal máximo se logra cuando el ángulo de
D 
Vfy
37º
2V0 sen 
Ángulo de tiro
tan  
c) 80, 42 m/s
V0y  60 m/s 100 m/s
2
2
V sen 

H 0
1 2

2g
 y  V0 sen.t  2 gt
2V0 sen
g
b) 82, 46 m/s
Solución:
2
2
2
RESUMEN DE FÓRMULAS
Tiempo
de Posición – partícula
vuelo
 x  V0 cos .t
TV 
(g  10 m/s ) .
a) 46, 82 m/s
e) 86, 42 m/s
x
1 
x

y  V0 sen 
 g
V0 cos  2  V0sen 
y  x tan  
1. Una pelota se lanza con una velocidad inicial de 100
m/s con un ángulo de inclinación con la horizontal de 37º.
Calcular que velocidad lleva la pelota transcurridos 4 s.
2
Ecuación de la trayectoria del movimiento parabólico:
De (1) se tiene que:
Sustituyendo en (2):
PROBLEMAS RESUELTOS

 90 ;
El alcance horizontal:
Luego:
V
gD

Sen 30º
V
20 m/s
2
V Sen2
g
10(20)
1/2
Rpta.
105
3. ¿Con qué inclinación se debe lanzar un cuerpo para que
su alcance horizontal sea igual al triple de su altura
máxima?
a) 50º
V
b) 51º
H
c) 53º

d) 55º
e) 60º
D
2
sen  cos
g
tg  
4
3

3V
2
45  40t 
2
10t
2
 9  8t  t
2
2
0  t  8t  9
2g
Rpta.
4. Desde la parte superior de un edificio de 45 m de altura,
se dispara una pelota con una velocidad de 50 m/s y
formando un ángulo de 53º de elevación con respecto a la
horizontal. Calcular el desplazamiento horizontal de la
2
pelota hasta impactar con la tierra, usar g  10 m/s .
a) 250 m
b) 260 m
c) 270 m
d) 280 m
e) 290 m
Rpta.
5. Dos proyectiles “A” y “B” lanzados con inclinaciones de
53º y 37º respectivamente alcanzan iguales alturas
máximas. El proyectil “A” experimenta un alcance
horizontal de 9 m. ¿Qué alcance horizontal experimenta B?
a) 12 m
b) 15 m
c) 16 m
d) 18 m
e) 20 m
Solución:
53º
37º
T  TABCD
t ABC
2V sen53º

g
t ABC
4
2(50)  
5

10
 8s
9m
x
Para A:
4 4H

3
9
 H  3m
3 4(3)

 x
4
x
Para B:
16 m
a) 100 2
40 m/s
53º
C
30 m/s
40 m/s
Rpta.
6. Un bombardero vuela horizontalmente a una altura de
500 m con una velocidad de 100 m/s. desde él se suelta su
proyectil, ¿en qué tiempo el proyectil dará en el blanco y
30 m/s
50 m/s
30 m/s
53º
b) 110 2
2
(g  10 m/s )
y
x
100 m/s
500 m
e) 125 2
D
d
.
c) 120 2
d) 105 2
h  45 m
106
Aplicando:
4H
D
tg  
con qué velocidad llegará (en m/s)?
B
A
, primero
B H
A
H
Solución:
t ABC
t1s
0  (t  1)(t  8) 
d  270 m
2
Nos piden calcular el tiempo:
calculamos el tiempo ABC.
1 2
gt
2
d  30(9) m
sen 
   53º
h  V0 t 
El desplazamiento de la pelota es:
Solución:
Por condición del problema: D  3H
2V
Seguidamente calculamos " t CD " usando la ecuación:
100 m/s
Vf
V
Solución:
Solución:
Datos:
Vx  100 m/s
Vx  20 m/s
V0  0
(Velocidad inicial en el eje Y)
(constante)
1 2
gt
2
1
2
500  0   10  t
2
En el eje X:
x  20t … (2)
 t  10 s
Cálculo de la velocidad de llegada (V)
2
3 5t

4 20t
Vf  100 m/s
2
2
V  Vx  Vf  100  100
V  100 2 m/s
De (1) y (2):
Rpta.
la piedra tendrá una inclinación de 37º al subir.
2
(g  10 m/s ) .
a) 1,2 s
b) 1,4 s
c) 1,5 s
d) 1,6 s
e) 1,7 s
Vf
y
37º
Vx
y
x
x
37º
x
Vx
Vx  60 2 cos45º  60 m/s
V0  60 2 sen45º  60 m/s
Vf  V0  gt
Vf  60  10t
60  45
2
x y
2
 d  75 m
Rpta.
9. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 90
m/s y ángulo de elevación de 60º contra un plano
inclinado que hace un ángulo de 30º con el horizonte.
Hallar el alcance a lo largo del plano inclinado.
Y
a) 420 m
b) 400 m
c) 520 m
d) 540 m
e) 600 m
d
V0
60º
30º
Vx
y
X
x
Solución:
Vx  90 cos 60º  45 m/s
(sube: –g)
V0  90sen60º  45 3 m/s
…(1)
En el eje Y:
En el punto final:

2
2
d
2
V0
45º
d
t3
(g  10 m/s ) .
Solución:
3 60  10t

4
60
y  V0 t 
1 2
gt
2
 y  45 3t  5t
2
En el eje X:
x  Vx t  x  45t
180  240  40t
Rpta.
tan 30º 
8. Una esquiadora abandona el llano con una velocidad de
20 m/s en el punto “A”. ¿A qué distancia de “A” aterrizará
2
sobre la pendiente? (g  10 m/s ) .
a) 55 m
b) 45 m
c) 35 m
d) 65 m
e) 75 m
d
y
 x  20(3)  60

2
 y  5(3)  45
Por Pitágoras:
60 2 m/s de velocidad. Para qué tiempo la velocidad de
t  1,5 s
tan 37º 

2
7. Con una inclinación de 45º una piedra es lanzada con
V
tan 37º  f
Vx
Y
2
Vf  0  10(10) 
En el eje Y:
y  5t … (1)
x  Vx t
Del diagrama:
Vf  V0  gt
2
20 m/s
2
En el eje Y:
h  V0 t 
X
; V0  0
y
x
…(1)
…(2)
(del diagrama)
3 45 3t  5t

3
45t
2
45 3 t  3  45 3 t  15t
2
2
15t  2(45 3)t  t  6 3 s
y  270 m
A
En (1):
d sen30º  y
37º
B
d  540 m
(del diagrama)
Rpta.
107
10. Dos cuerpos lanzados simultáneamente desde los
puntos “A” y “B” chocan en el punto “P” tal como se
2
muestra. Hallar “”. (g  10 m/s ) .
20 m/s
a) 45º
b) 40º
c) 35º
d) 30º
e) 25º
320 
4
400
Vt
t

5
V
… (2)
Sustituyendo (2) en (1):
P
80 
V
h
37º
A
x  Vx t

16m
3  400 
 400 
V
  5 

5  V 
 V 
 400 
80  240  5 

 V 
B
400
8
V
12m
2
 V  50 m/s
Rpta.
Solución:
Primer proyectil: Vx  20 cos 37º  16 m/s
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Desde lo alto de un edificio se lanza horizontalmente
una partícula con una rapidez de 8 m/s. Si la azotea está a
80 m del piso. ¿A qué distancia del pie del edificio logra
V0  20sen37º  12 m/s
h  V0 t 
16  16t
En (1)
1 2
gt
 h  12t  5t 2
2
…(1)
2
caer la piedra? (g  10 m/s ) .
a) 18 m
b) 32 m
d) 50 m
e) 80 m
 t1s
h  7m
2do. proyectil: Vx  V cos 
V0  Vsen
c) 40 m
2. Con una inclinación de 30º se lanza un proyectil con
una velocidad de 20 m/s sobre el horizonte. Hallar el
tiempo que debe transcurrir para impacte en el piso.
1
2
7  Vsen(1)  (10)(1)
2
Vsen  12
2
…(3)
2
(g  10 m/s ) .
Dist. horizontal: x  Vx t
a) 6 s
d) 3 s
12  V cos   1 
V cos   12 …(4)
Dividiendo (3) por (4): tan   1
  45º Rpta.
b) 5 s
e) 2 s
c) 4 s
3. El alcance horizontal de un proyectil disparado por un
cañón, con una velocidad de 75 m/s y un ángulo de
11. ¿Con qué velocidad mínima debe salir un motociclista
de la rampa, para que pueda cruzar el obstáculo?
2
inclinación de 37º sobre la horizontal es de: (g  10 m/s )
a) 520 m
b) 530 m
c) 540 m
d) 560 m
e) 580 m
2
(g  10 m/s ) .
a) 10 m/s
b) 20 m/s
c) 30 m/s
d) 40 m/s
e) 50 m/s
4. Desde un gran edificio se lanza horizontalmente a 30
m/s un objeto y se pide determinar el ángulo que formara
su velocidad instantánea con la vertical al cabo de 4 s
53º
80 m
2
(g  10 m/s )
a) 53º
d) 60º
320 m
Solución:
Y
Altura vectorial:
1 2
h  V 0 t  gt
2
3
2
80  Vt  5t
5
…(1)
Desplazamiento horizontal:
108
V0
37º
Vx
X
80 m
h
320 m
b) 37º
e) 45º
c) 30º
5. Determinar la altura de un edificio, si al lanzar desde su
azotea horizontalmente un proyectil, con una velocidad de
10 m/s, éste cae a 20 m del pie del edificio.
a) 18 m
b) 18,6 m
c) 19,6 m
d) 20,2 m
e) 22,5 m
6. Un helicóptero vuela horizontalmente con una
velocidad de 72 km/h a una altura de 200 m , si desde el
helicóptero se dejara caer una bomba, ¿con qué velocidad
(en m/s) la bomba tocará el piso?
|0. Una avioneta vuela horizontalmente a una altura de
720 m. Divisa un objetivo a 480 m de distancia, medidos
horizontalmente. ¿A qué velocidad debe desplazarse para
que al soltar una caja de víveres, ésta logre llegar al punto
a) 20 7
b) 20 11
deseado? ( g  10 m/s ).
d) 20 15
e) 15 11
2
c) 20 13
7. Desde A se lanza un proyectil con dirección al punto “P”
V
cual debe ser la velocidad inicial “ 0 ” (en m/s) para que
2
el proyectil impacte en el punto “B” (g  10 m/s )
a) 20 / 3
P
b) 10 / 3
15m
c) 25 / 3
V0
d) 25 3
A
e) 15 / 3
B
20m
8. En un partido de fútbol, Paulito le comunica a una
pelota la velocidad de 90 km/h con un ángulo de 16º con
la horizontal, si se encuentra en ese instante a 24 m de
distancia del arco contrario. ¿Hay posibilidad de gol? la
2
altura del arco 2,5 m (g  10 m/s )
a) la pelota sale fuera del arco
b) faltan datos
c) si hay gol
d) choca con el madero superior
e) la pelota no llega al arco
(g  10 m/s 2 )
.
c) 36 m/s
11. Calcular la velocidad del móvil en el punto “P” el
cuerpo es lanzado horizontalmente desde el punto “A” y
2
llega al punto “B” como indica la figura ( g  10 m/s ).
a) 15 m/s
b) 20 m/s
c) 25 m/s
d) 30 m/s
e) 35 m/s
20 m
P
80 m
60 m
12. Hallar la velocidad de lanzamiento (en m/s)
considerando que la altura máxima alcanzada fue de 20 m
y que la partícula entró sin dificultad en el hoyo practicado
a) 28
b) 26
c) 25
d) 24
e) 20
60 m
53º
14. Un motociclista asciende por una rampa, con una
rapidez constante de 20 m/s, desprendiéndose de ella al
final. ¿Cuánto tiempo el motociclista estará en el aire?
V  70 m/s
a) 160 m
b) 220 m
c) 180 m
d) 240 m
e) 200 m
b) 38 m/s
e) 30 m/s
2
en el piso. (g  10 m/s ) .
8. A partir del siguiente esquema. ¿Qué medida tiene “L”
en metros?
a) 40 m/s
d) 32 m/s
2
(g  10 m/s )
L
Además tg   0,5 .
37º
L
9. Con un ángulo de elevación de 53º, cierto misil es
lanzado con una velocidad de 200 m/s ¿Qué velocidad
tendrá el misil al cabo de 10 s?
2
(g  10 m/s )
a) 60 5 m/s
b) 30 5 m/s
c) 40 5 m/s
d) 25 5 m/s
a) 3 s
b) 4 s
c) 5 s
d) 6 s
e) 7 s
V0  20 m/s
37º

e) 50 5 m/s
109
15. Si t AB  3 s y t BC  2 s . Hallar la velocidad (en m/s)
2
de llegada al punto “C” (g  10 m/s ) .
V0
A
a) 5 55
B
37º
b) 4 65
c) 5 65
C
d) 3 29
20. Desde una altura de 280 m se lanza un cuerpo con
e) 4 15
velocidad de 5 2 m/s, según la figura. ¿Qué tiempo
16. En el punto más alto de una trayectoria parabólica, la
velocidad del móvil es:
a) nada
b) máxima
c) igual a la velocidad inicial V0
d) igual a la componente vertical de V0
e) igual a la componente horizontal de V0
Y
B
A

a
C
a
a
a
2
después llega al suelo? (g  10 m/s ) .
a) 5 s
45º
b) 6 s
V0
c) 7 s
280 m
d) 9 s
e) 12 s
21. El proyectil es disparado con velocidad de 20 m/s y un
17. En la figura el proyectil es lanzado con velocidad V. El
tiempo que tarda el proyectil en ir del punto A al punto C,
es:
O
19. ¿Con qué ángulo debe ser lanzado un cuerpo de peso
P para que su altura máxima sea igual a su alcance
horizontal, si sobre el cuerpo actúa a favor del movimiento
una fuerza horizontal constante igual a P/8 debido al
viento?
a) arc tan 1/8
b) arc tan 8
c) arc tan 4
d) arc cot 6
e) arc cot 1/4
2
ángulo de 37º. ¿Cuál es el valor de “x”? (g  10 m/s ) .
V0
a) 4 m
b) 12 m
c) 24 m
d) 32 m
e) 40 m
37º
x
X
2x
D
22. Un cañón dispara un proyectil según la figura. ¿En qué
2
tiempo el proyectil llega al suelo? (g  10 m/s ) .
a) igual al tiempo entre O y A
b) la mitad del tiempo entre O y B
c) la mitad del tiempo entre B y D
d) igual al tiempo entre B y D
e)
t AC
a) 20 s
b) 15 s
c) 12 s
d) 10 s
e) 8 s
2V0 sen

g
18. Una pelota es lanzada desde “A” con velocidad de 50
V0  100 m/s
75º
375 m
45º
2
m/s. ¿A qué altura “h” impacta en la pared? (g  10 m/s )
.
a) 35 m
b) 40 m
V0
h
c) 45 m
53º
d) 50 m
d  30 m
e) 60 m
110
23. Una pelota es impulsada desde A con velocidad V. Si
choca en la pared en B justo cuando alcanza su altura
2
máxima, ¿con qué ángulo fue lanzado? (g  10 m/s ) .
a) 15º
B
b) 30º
c) 37º
V
2, 5 m
d) 53º

A
e) 74º
5 3
24. Un cuerpo es lanzado desde A con velocidad de 100
m/s. ¿A qué distancia del punto de partida, sobre el plano
inclinado, impacta el cuerpo?
a) 245 m
B
V0
b) 355 m
c) 475 m
16º
37º
d) 525 m
A
e) 652 m
25. Determinar la distancia “d” si los cuerpos son lanzados
con la misma velocidad V y chocan en el mismo punto P.
20 m
V
37º
30. Mediante un bote se consiguió cruzar el río de 500 m
de ancho; cuya corriente tiene una velocidad constante de
5 m/s. Si el motor le imprime una velocidad (respecto del
río) de 10 m/s en la dirección que se muestra. ¿Cuántos
metros fue desplazado en la dirección de la orilla?
20 m
d
26. Hallar la velocidad del lanzamiento de la bolita para
que pueda ingresar justamente por el estrecho canal.
a) 45 m/s
b) 50 m/s
V
c) 55 m/s
55 m
60º
d) 60 m/s
37º
e) 72 m/s
27. En la figura mostrada, determinar con qué velocidad
V se debe lanzar la esfera, si debe ingresar horizontalmente
por el canal B. Desprecie la resistencia del aire
 g  10m / s  .
2
a) 10 3 m/s
b) 20 3 m/s
B
V
A
15 m
60º
28. Una piedra se lanza de un edificio a otro con la
velocidad de 10 m/s, logrando impactar, formando un
ángulo de 45º con la horizontal. halle la separación entre
2
los edificios (g  10m / s ) .
a) 8,4 m
b) 11,2 m
c) 14,6 m
d) 16,1 m
e) 6,4 m
2
la resistencia del aire (g  10 m/s ) .
25 m/s
a) 6,5 s
b) 6 s
c) 6,25 s
d) 7 s
e) 5,6 s
V
a) 10 m
b) 15 m
c) 20 m
d) 25 m
e) 30 m
c) 10 m/s
d) 20 m/s
e) 30 m/s
29. Una partícula es lanzada perpendicular-mente a un
plano inclinado tal como se muestra. Determine el tiempo
que debe pasar para que impacte en el plano no considere
a) 50 m
b) 100 m
c) 200 m
d) 250 m
e) 1400 m
Vrío
10 m/s
500 m
31. Un avión que vuela horizontalmente a razón de 90 m/s
deja caer una piedra desde una altura de 100 m. ¿Con qué
velocidad (aproximada) llega la piedra a tierra si se
desprecia el efecto del rozamiento del aire?
a) 140 m/s
b) 166,4 m/s
c) 230 m/s
d) 256,4 m/s
e) 345,6 m/s
32. Una bomba lanzada desde un avión que viaja a 300
m/s impacta, sobre un barco en reposo con una rapidez de
500 m/s. Calcular el tiempo que tarda la bomba en hacer
2
impacto. ( g  10 m/s ).
a) 10 s
b) 20 s
c) 30
d) 40 s
e) 50 s
33. Se lanza una piedra desde “O” con una rapidez de 10
m/s y ángulo de tiro de 53° contra una pared que se
encuentra a 6 m de “O”. Halle la distancia entre “A” y “B”,
2
si “B” es el punto donde cae la piedra. ( g  10 m/s ).
37º
a) 4 m
b) 5 m
c) 8 m
d) 2 m
e) 3 m
A
Vo
O
53°
6m
111
34. Desde la parte superior de una torre de 5 m de altura,
se lanza horizontalmente una pelotita y cae al suelo en un
punto situado a una distancia de 1,5 m, del borde de la
torre. Calcule Tang  , donde “  ” es el ángulo que forma
la velocidad de la pelotita con la horizontal en el instante
2
en que ésta llega al suelo. ( g  10 m/s ).
a) 2,67 b) 3,67 c) 4,67
d) 5,67 e) 6,67
35. Se lanza un proyectil con una velocidad de 100 m/s
formando un ángulo de 53° con la horizontal, tal como se
indica. Si el tiempo que demora en ir de “A” hacia “B” es
el mismo tiempo que demora en ir de “C” hacia “D”, hallar
el tiempo que demora en ir de “C” hacia “B”.
a) 2 s
b) 4 s
c) 6 s
d) 8 s
e) 10 s
B
C
A
D
53°
36. El alcance máximo de un proyectil es 8 m. Calcule la
altura máxima para dicho lanzamiento.
a) 5 m
b) 4 m
c) 3 m
d) 1 m
e) 2 m
37. Desde lo alto de un edificio se lanza horizontalmente
una piedra con rapidez Vo y luego de 3 s la rapidez es el
2
doble de la inicial. Determine Vo. ( g  10 m/s ).
a) 30
3 m/s
b) 15
3 m/s
c) 20
3 m/s
d) 10
3 m/s
e) 5
3 m/s
38. Se dispara un proyectil con un ángulo de elevación de
30° hacia una pared que se encuentra a 20 3 m . Si en
4 s choca con dicha pared. ¿Con qué rapidez ha sido
2
disparado el proyectil? ( g  10 m/s ).
a) 5 m/s
b) 10 m/s
c) 15 m/s
d) 20 m/s
e) 25 m/s
39. Un proyectil es lanzado desde A y se incrusta
perpendicularmente en la pared inclinada. Calcular el
intervalo de tiempo empleado en realizar dicho
2
movimiento. Vo  50 m/s ; g  10 m/s .
112
a) 1 s
b) 2 s
c) 3 s
d) 0,5 s
e) 2,5 s
Vo
53°
45°
EVALUACIÓN
1. Desde una altura determinada se suelta un cuerpo. Si
en el último segundo de su movimiento recorre 15 m
¿Desde qué altura se soltó?
a) 15 m
d) 30 m
b) 20 m
e) 10 m
c) 25 m
2. Un cuerpo es soltado desde una altura “H” sobre la
superficie terrestre, se observa que en el último segundo de
su caída recorre 3H/4. Halle “H” (en m) (g = 10 m/s2).
a) 15
d) 45
b) 20
e) 80
c) 25
3. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba y
cuando le falta 2s para alcanzar su altura máxima, se
encuentra a 60 m del piso. ¿Cuál fue la velocidad de
disparo? (g = 10 m/s2)
a) 30 m/s
d) 75 m/s
b) 60 m/s
e) 50 m/s
c) 40 m/s
4. Una piedra soltada desde el borde de un pozo emplea
4s en llegar al fondo. ¿Qué altura desciende durante el
último segundo de su movimiento? (g = 10 m/s2)
a) 5 m
d) 80m
b) 45 m
e) 35 m
c) 25 m
5. Desde cierta altura se lanza hacia arriba una piedra a
40 m/s y simultáneamente otra se lanza a 30 m/s ¿Qué
distancia los separa al cabo de 2 s?
a) 100 m
d) 160 m
b) 120 m
e) 120 m
c) 140 m
6. Desde cierta altura se suelta una pelota y después del
choque contra el piso rebota con la mitad de velocidad de
impacto, si luego alcanza una altura máxima de 20 m
¿Desde qué altura se soltó?
a) 40 m
b) 60 m
d) 100 m
e) 120 m
c) 80 m
13. En el instante mostrado, las partículas A y B son
lanzadas verticalmente con igual rapidez de 10m/s.
Determine la separación entre ambas luego de 2s de ser
lanzadas. (g=10m/s2)
7. Desde un globo aerostático que sube a 20 m/s se suelta
una piedra la cual llega al piso al cabo de 6 s. ¿Qué distancia
los al globo y la piedra en dicho instante?
a) 60 m
b) 90 m
c) 120 m
d) 150 m
e) 180 m
8. Una esfera se deja en libertad desde una altura de 80 m y
al rebotar en el piso se eleva solo hasta la cuarta parte de la
altura anterior. ¿Qué tiempo ha transcurrido hasta que se
ha producido él tercer impacto?
a) 4 s
b) 6 s
c) 8 s
d) 9 s
e) 10 s
9. Un cohete es disparado verticalmente hacia arriba.
Inicialmente sus motores le imprimen una aceleración de
2
5 m / s durante 8 s, y luego se desplaza por acción de la
gravedad. ¿Hasta qué altura se elevó el cohete?
a) 240 m
b) 120 m
c) 80 m
d) 160 m
e) 300 m
10. Desde un punto que se halla a 20 m de altura se deja caer
un cuerpo ¿Cuál será la mínima velocidad que deberá
poseer otro cuerpo que es lanzado verticalmente hacia
abajo desde una altura de 30 m, para que alcance al
primero justo antes de llegar al suelo?
a) 3 m/s
b) 4 m/s
c) 5 m/s
d) 6 m/s
e) 8 m/s
11. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba. A los 5 s
de ser lanzado alcanza la altura h qué modo que al ascender
25 m más, sólo le faltara 2 s para alcanzar su altura máxima.
Hallar “h”
a) 250 m
b) 265 m
c) 275 m
d) 285 m
e) 295 m
12. Una partícula emplea 4 s en alcanzar su altura máxima. ¿En
cuánto tiempo logra subir la segunda mitad de dicha
altura?
a)
d)
2 2s
2 3s
b)
e)
2s
3 5s
c)
3 2s
vA
A
B
30m
vB
c) 40 2m
a) 25m
b) 30m
d) 50m
e) 50 2m
14. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, desde la
superficie de la tierra, con una cierta velocidad inicial "v 0 "
que permite alcanzar una altura máxima “H”. Si dicha
velocidad inicial se duplicara, su altura máxima
aumentaría en 60 m. Hallar dicha altura máxima “H”
a) 5 m
d) 20 m
b) 10 m
e) 25 m
c) 15 m
15. Dos cuerpos “P” y “Q” que se colocan en la misma
vertical. El cuerpo “P” se lanza hacia arriba con una
velocidad de 60 m/s y en mismo instante “Q” se deja caer.
Desde que altura “H”, se tendrá que dejar caer “Q”. para
que ambos se encuentren en la altura máxima recorrida
por “P”.
a) 300 m
d) 390 m
b) 330 m
e) 410 m
c) 360 m
16. Desde una altura de 100 m se deja caer una partícula y
al mismo tiempo desde la tierra es lanzada otra partícula, y
tienen la misma velocidad cuando se encuentran. ¿Qué
altura ha recorrido la partícula lanzada desde la tierra?
a) 25 m
d) 45 m
b) 50 m
e) 60 m
c) 75 m
17. Un cuerpo se deja en libertad en lo alto de un plano
inclinado sin fricción, el cual forma 37º con la horizontal.
Halle cuánto desciende durante 3 s.
a) 18 m
d) 20 m
b) 27 m
e) 25 m
c) 15 m
113
18. Si en el instante en que A se deja en libertad, B es
impulsado a 10 m/s. Determine a que altura se produce el
choque.
A
a) 21/5 m
b) 28/5 m
c) 24/5 m
d) 31/4 m
e) 32/5 m
8m
B
53º
19. En el preciso instante en que un tubo de 1m de longitud
es soltado desde una de sus aberturas una pequeña esfera
es lanzada hacia abajo con 10m/s. Determine durante
cuantos segundos la esfera estuvo al interior del
tubo.(g=10m/s2)
a) 0,1s
b) 0,15 s
c) 0,20 s
d) 0,25 s
e) 0,30 s
20. En el instante mostrado, desde el globo aerostático que
asciende con rapidez v, se lanza un objeto hacia abajo con
una rapidez de 8m/s, respecto del globo. Si el objeto
demora 2s en pasar desde A hasta B, determine v.
a) 24 m/s
b) 20 m/s
c) 30 m/s
d) 26 m/s
e) 28 m/s
v
g
A
22. Desde una altura de 20 m respecto de la superficie de
un lago se suelta un objeto y emplea 5 s en llegar hasta el
fondo, si cuando ingresa al agua mantiene su rapidez
constante. Calcular la profundidad del lago.
a) 30 m
b) 60 m
c) 40 m
d) 65 m
e) 50 m
23. De las posiciones indicadas A y B se lanzan
simultáneamente con velocidades “2v” y “v”
respectivamente. Si el cuerpo que fue lanzado en B, llega
sólo hasta el nivel A. Halle la altura de separación entre los
móviles cuando la que se lanzó de A comienza a descender.
2v
a) 6 m
b) 8 m
c) 10 m
d) 12 m
e) 14 m
A
v
2m
B
24. Las esferas son lanzadas simultáneamente tal como se
muestra en el gráfico. Determine luego de cuantos
segundos estarán separados 20m y en cuantos segundos se
cruzan al mismo nivel a partir del instante mostrado.
a) 3,2 s; 6s
b) 4,8 s; 8s
c) 3,6 s; 8s
d) 2,8 s; 6s
e) 4,8 s; 6s
10m/s
g
40m
25m
15m/s
12m
80m
B
21. Desde un puente de 45 m de altura una persona suelta una
esfera, instante en el cual un carro que describe un MRU
se encuentra a 30 m y dirigiendo hacia el puente. Si la
esfera cae justo en el carro. Calcular la rapidez V del carro.
a) 10 m/s
b) 4 m/s
c) 8 m/s
d) 2 m/s
e) 6 m/s
26. Una piedra es lanzada con una cierta inclinación
respecto a la horizontal. Hallar dicha inclinación, si el
alcance “R” es el doble de la altura máxima.
V
45m
30 m
114
25. El alcance horizontal de una piedra lanzada desde
cierto punto es R= 240 m y la altura máxima que se ha
elevado es de H=45 m. ¿Hallar la velocidad con que se
lanzado?
a) 10 m/s
b) 20 m/s
c) 30 m/s
d) 40 m/s
e) 50 m/s
1
a) tan (2)
1
1
b) tan (0.5) c) tan (3)
1
d) tan (1.2)
1
e) tan (2.5)
27. ¿Con qué velocidad (en m/s) hay que lanzar una partícula
del punto A para que en 1 s. llegue al punto B?
v 0 =100 m / s
A
a) 10i  3j
8m
b) 10i  3j
c) 3i  10j
32. En la figura, determine la altura “H” medida desde la
línea horizontal, en la cual la esfera impactó.
a) 300 m
b) 320 m
c) 360 m
d) 350 m
e) 310 m
B
10 m
d) 3i  10j
H
v0
53º
45º
160 m
e) 10i  8j
28. Calcular la velocidad del móvil en el punto “P” (en m/s).
El cuerpo es lanzado horizontalmente desde el punto “A”
y llega al punto “B” como indica en la figura.
v0
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 35
a) 55 m
b) 45 m
c) 35 m
d) 65 m
e) 75 m
20 m
80 m
60 m
29. En la figura mostrada, determinar con qué velocidad V se
debe lanzar la esfera, si debe ingresar horizontalmente por
el canal B. Desprecie la resistencia del aire.
a) 10 3 m/s
B
V
b) 20 3 m/s
15 m
c) 10 m/s
d) 20 m/s
60º
A
e) 30 m/s
30. Calcule el tiempo necesario para que la partícula
lanzada con una velocidad de 50 m/s colisione en la
superficie inferior.
a) 7 s
v0
b) 8 s
53°
c) 9 s
d) 10 s
100 m
e) 11 s
31. Una partícula se lanza horizontalmente con una velocidad
inicial de 40 m/s, desde lo alto de una torre. ¿Qué ángulo
formara el vector velocidad de la partícula con respecto a
la horizontal, luego de 3 s?
a) 30º
d) 53º
b) 37º
e) 60º
c) 45º
33. Una esquiadora abandona el llano con una velocidad
de 20 m/s en el punto “A”. ¿A qué distancia de “A”
aterrizará sobre la pendiente?
A
37º
B
34. Se lanza un cuerpo con un ángulo de elevación de 53º
alcanzando una velocidad de 36 m/s en el punto más alto
de su trayectoria. Hallar su altura máxima.
a) 115.2 m
d) 120.5 m
b) 130 m
e) 130.5 m
c) 120 m
35. Un proyectil es lanzado con 37º de inclinación. Si
cuando ha ascendido los 75% de su altura máxima “H” le
falta 3 s para conseguir dicha altura. Calcular la velocidad
de lanzamiento.
a) 50 m/s
d) 125 m/s
b) 75 m/s
e) 150 m/s
c) 100 m/s
36. Desde A se lanza un proyectil con dirección al punto
V
“P” cuál debe ser la velocidad inicial “ 0 ” (en m/s) para
que el proyectil impacte en el punto “B”
P
a) 20 / 3
b) 10 / 3
15m
V0
c) 25 / 3
d) 25 3
A
20m
B
e) 15 / 3
115
37. Se lanza un cuerpo con una velocidad 40 2 m / s y
una inclinación de 45º. ¿Qué tiempo debe pasar para que
su velocidad forme 37º con la horizontal?
a) 2 s
b) 3 s
c) 5 s
d) 6 s
e) 7 s
38. En la trayectoria parabólica que describe el proyectil,
hallar el tiempo que empleo en ir de A hacia B, si su
 g  10m / s 
2
rapidez en A fue de 15m/s.
a) 1,0s
b) 1,5s
c) 2,0s
d) 2,5s
e) 3,0s
y
vA
g
x
37º
A
B
53º
vB
43. En la figura el campo gravitatorio se representa
mediante las líneas de fuerza. Se lanza una pelota
perpendicular a la superficie con una velocidad de 20 m/s.
Hallar la altura máxima que alcanza la pelota respecto a la
superficie. La intensidad del campo gravitatorio es
(10 m / s 2 )
.
g
a) 24 m
b) 25 m
c) 27 m
d) 29 m
e) 32 m
v0
53º
44. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba de la
azotea de un edificio con una rapidez de 30 m/s. Si el
objeto demora 8 s en llegar al suelo, hallar la altura del
2
39. Se lanza una bolita desde “A” con rapidez de 10 m/s y
ángulo de inclinación de 53º, llegando al punto “B”
perpendicularmente al plano inclinado. Hallar el tiempo
de movimiento de la bolita.
v
a) 0,1s
45º
b) 0,2s
c) 0,3s
g
v0
d) 0,4s
e) 0,5s
45º
A 53º
40. Un objeto A es soltado desde una altura H=125 m, 3 s
después es lanzado hacia abajo otro cuerpo B desde la
misma altura, si ambos llegan simultáneamente a la tierra,
determinar la rapidez inicial de B (en m/s).
a) 28.4
b) 31.6
c) 52.5
d) 63.4 e) 72.8
41. Desde el borde de una azotea de un edificio de 33.6 m
de altura se lanza un objeto (hacia abajo) con una rapidez
de 2 m/s. Halle la rapidez (en m/s) del objeto, un instante
antes de que impacte con el piso.
a) 22
b) 24
c) 26
d) 28
e) 30
42. Desde un globo que asciende con una velocidad de 6
m/s, se lanza una piedra horizontalmente respecto del
globo con una velocidad de 5 m/s. La piedra experimenta
un alcance horizontal de 15 m hasta llegar al suelo. ¿Desde
qué altura “H” se soltó la piedra?
a) 24 m
b) 25 m
c) 27 m
d) 29 m
e) 32 m
116
edificio. ( g  10 m / s ).
a) 80 m
b) 90 m
d) 70 m
e) 60 m
c) l00 m
45. Desde se lanza un proyectil “P” verticalmente hacia
arriba con una velocidad de 100 m/s. Determinar cuántos
segundos después de que partió “P” se debe lanzar un
proyectil “Q” desde el punto “A” con un ángulo de
elevación de 37º para que ambos colisiones cuando “P” se
halle en su altura máxima.
a) 4 s
b) 5 s
c) 6 s
d) 7 s
e) 8 s
v0
A
37º
385 m
B
v0
320 m
46. Desde el punto “O” se apunta el aro “A” y se lanza una
pelota. Hallar con qué rapidez se debe lanzar la pelota para
A
que pase por el centro del aro.
a) 10 m/s
d) 20 m/s
b) 12 m/s
e) 15 m/s
c) 18 m/s
4m
0
53º
18m
47. Un objeto fue lanzado con una velocidad de 15 m/s y
formando 37º con la horizontal. Hallar la rapidez del
objeto 1,4 s. Después del lanzamiento.
a) 12 m/s
b) 15 m/s
c) 13m/s
d) 18 m/s
e) 14 m/s
48. Con que inclinación respecto a la horizontal se debe
disparar un proyectil para que alcance una altura de 5 m si
su velocidad inicial es de 20 m/s. Considerar nula la
resistencia del aire.
a) 45º
b) 53º
c) 30º d) 37º
e) 60º
49. Un jugador de basquetbol impulsa una balón con una
velocidad de 10 m/s formando 37º con la horizontal y
desde una altura de 2,25 m. ¿A qué distancia de jugador
dará el primer rebote?
a) 16 m
d) 10 m
c) 8 m d) 18 m
e) 12 m
53. Se lanza un proyectil con velocidad, bajo un ángulo con
el horizonte. Si la altura máxima alcanzada es la tercera
parte del alcance horizontal. Determínese la tangente del
ángulo de lanzamiento.
a) 1/2
b) 3/4
c) 4/3
d) 5
e) 3/5
54. El niño mostrado en la figura lanza una piedra con una
velocidad, de tal forma que se introduce en el tubo que se
orienta 45° respecto a la vertical; de modo que el
movimiento de la piedra coincide con el eje del tubo.
Determine el módulo de (en m/s) , si h = 1,2m.
a) 12
b) 18
c) 10
d) 32
e) 14
50. La trayectoria mostrada pertenece a un movimiento
parabólico. Determinar “h”, si la velocidad en “A” tienen
un módulo de 10 m/s. (g  10 m / s
a) 1 m
37º
A
d) 1,6 m
b) 1,2 m
h
e) 1,8 m
c) 1,4 m
2)
55. La esferita es lanzada con cierta rapidez “V” la cual
luego de 7 segundos, logra impactar perpendicularmente
contra el plano inclinado. Determinar “V”. (g=10m/s2)
B
45º
51. Un cuerpo “A” es lanzada verticalmente hacia arriba
con una rapidez de 20 m/s. ¿A qué altura se encontraba un
cuerpo “B” que fue lanzado horizontalmente con una
rapidez igual a 4 m/s y al mismo tiempo que el cuerpo “A”
y que luego choca con este último durante el vuelo?
La distancia horizontal entre las posiciones iniciales de
los cuerpos es 4 m.
a) 5 m
b) 20 m
c) 10 m
d) 25 m
c) 15 m
52. En la figura se muestra un proyectil que es lanzado tal
como se muestra en la figura. Si el tiempo para ír de O
hacia A es de 12 s. determine el tiempo (en s) de C a D.
a)4
b)1
c) 3
d)5
e) 2
a) 10 m/s
b) 40 m/s
c) 20 m/s
d) 50 m/s
e) 30 m/s
56. Un grifo (caño) malogrado está a 40 cm del fondo de
un lavadero y gotea a razón de 7 gotas por segundo. ¿A
distancia (en cm) de una gota que toca el fondo está la gota
siguiente?
a) 0.80
d) 34
b) 9.8
e) 35
c) 33
57. Una partícula es lanzada verticalmente hacia arriba con
una rapidez de 40 m/s. Hallar el desplazamiento (en m)
entre los instantes
a)
d)
0j
40 j
b)
e)
t 1  2 s y t 2 = 6 s.
6 j
c)
 40 j
60 j
117
58. Una partícula se encuentra en t = 0 en la posición
2
parte del reposo con aceleración (6i+ 8 j)m / s .
Determinar (en m) su desplazamiento en el tercer segundo
de su movimiento.
(3i+4j)m
a) 5i+ 20j
b) 8i+ 20j
d) 15i+ 20j
e) 1.2i+18j
g
c) 7i+8 j
59. Un proyectil se dispara con una velocidad inicial
v 0  (30i+ 40j)m / s
, desde la superficie de un planeta
2
donde la aceleración gravitacional es g  (6i  10j)m / s .
Determine el rango (en m) del proyectil.
a) 13
d) 65
60. Una
b) 22
e) 80
persona se
r 0  (2i  3j)m
v 0  2i m / s.
c) 48
encuentra
en
la
posición
y parte con una velocidad inicial de
¿Cuál deber ser su aceleración para que
2
llegue a la posición r  8i m en 2 s (en m / s )?
a) i  1.5j
b) 8i  20j
d) 2i  1.5j
c) i  1.5j
e) 2i  1.5j
61. Desde un mismo punto en una meseta plana
horizontal se lanzan dos proyectiles A y B ambos haciendo
un ángulo de 45º respecto del piso y rapideces iniciales v A
y v B respectivamente. Si el proyectil B logra doble alcance
2
b)
d) 2
e) 5
a) 0.20 s
b) 0.25 s
c) 0.30 s
d) 0.35 s
e) 0.40 s
c) 3
B
v0
16º
A
37º
64. Se lanza del suelo una bola con rapidez de 40 2 m/s
y una inclinación de 45º ¿Después de que tiempo su
velocidad formara 37º con la horizontal en su movimiento
de ascenso?
a) 1 s
d) 6 s
b) 2 s
e) 8 s
c) 4 s
65. Hallar la rapidez con que se lanza un cuerpo
horizontalmente desde cierta altura “h”, si luego de
su rapidez fue el doble de la inicial.
a) 10 m/s
d) 16 m/s
b) 12 m/s
e) 18 m/s
3s
c) 14 m/s
66. Desde el suelo se lanza un cuerpo con un ángulo de
elevación de 530 alcanzado una rapidez de 30 m/s en el
punto más alto de su trayectoria. Hallar su altura máxima
H.
a) 50 m
d) 80 m
que A, halle: v A / v B
a) 1
V 5
63. La rapidez de lanzamiento del proyectil es de 0
m/s. Hallar el tiempo que demora el proyectil en ir de A
hacia B.
b) 60 m
e) 90 m
c) 70m
62. Una partícula es lanzada perpendicularmente a un
67. Durante una prueba, un comando se deja caer de un
helicóptero que se mantiene en el aire a 2800 m del nivel
de la pista prueba, si lleva consigo un retro propulsor que
plano inclinado tal como se muestra .Determine 3d / 16
que debe pasar para que impacte en el plano no considere
la resistencia del aire.
25 m / s
le permite variar su rapidez a razón de 4 m / s . Determine
la altura, en la cual debe activarse el retro propulsor de tal
manera que el comando se pose suavemente en el suelo
a) 650 m
b) 625 m
c) 615 m
d) 700 m
e) 560 m
a) 900 m
d) 2000 m
118
d
37º
2
b) 800 m
c) 2500 m
e) 2400 m
68. Desde lo alto de una torre de 180 m de altura, se lanza
un objeto hacia arriba con velocidad de 45 m/s. Después
de cuánto tiempo (en s) dicha objeto llega al piso
a) 4.5 s
d) 12 s
b) 7 s
e) 15 s
c) 3 s
69. Un cuerpo se deja caer en libertad en lo alto de un
plano inclinado sin fricción, el cual forma 37º con la
horizontal. Hallar cuánto desciende durante 2 s
(g  10 m / s 2 )
a) 18 m
d) 9 m
.
b) 15 m
e) 3 m
2
que provocó el agua sobre dicho objeto (en m / s ).
b) 150
e) 220
c) 180
71. Las esferas A y B lanzadas simultáneamente con la
misma rapidez, A horizontalmente y B verticalmente,
chocan estando a una altura de “H/2”. Halle “X”
a) 0,5m
b) 1.0m
c) 1,5m
d) 2,0m
e) 2,5m
v
A
H /2
g


H  1m
H /2
v
B
72. Los proyectiles A y B son lanzados simultáneamente,
colisionando en el aire. Hallar la razón Tg / Tg entre los
ángulos de disparo “  ” y “  ”.
a) 1/2
b) 1/3
c) 2
d) 3
e) 1/4
V  5m / s
con rapidez de X
alcanzando una distancia
horizontal de 15 m hasta llegar al suelo, ¿Desde qué altura
“H” se lanzó la piedra?
a) 21m
b) 23m
c) 25m
d) 27m
e) 29m
u
U
0
g
H
c) 12 m
70. Desde un globo con aire caliente estacionado a 60 m
sobre el nivel de cierto lago, deja caer un objeto; un buzo
va en su búsqueda y lo encuentra a 4 m de profundidad
respecto a la superficie libre. Determine la desaceleración
a) 120
d) 200
73. Desde un globo que asciende con rapidez de u=6m/s,
se lanza una piedra horizontalmente (respecto del globo)
H
v1
v2
A 

d
B
74. Un punto A se encuentra en la misma vertical que otro
punto B y a 60m de altura sobre este. En el punto A se
suelta una pelota y 2s después se lanza desde B otra con
una rapidez de 20 m/s vertical hacia arriba. ¿A cuántos
metros chocan de B?
a) 10 m
d) 35 m
b) 30 m
e) 25 m
c) 15 m
75. Respecto al movimiento de caída libre, indique la
veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. Se deja caer una bola de acero y una pelota
simultáneamente y desde una misma altura, impacta en el
piso primero la bola de acero y luego la pelota.
II. Cuando se deja caer una partícula desde cierta altura,
la distancia que recorre es directamente proporcional al
tiempo al cuadrado.
III. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con
rapidez v desde el borde un barranco y simultáneamente
una segunda piedra es lanzada verticalmente hacia abajo
con la misma rapidez v, la segunda piedra llega al fondo del
barranco con mayor velocidad que la primera.
a) VVV
d) FFV
b) FVF
e) FFF
c) VFV
76. Desde el piso se lanza 2 pelotitas hacia arriba, la
primera a 30 m/s y la segunda 2 segundos después pero a
40 m/s, ¿qué distancia las separa cuando la primera llega a
su altura máxima? Use. (g=10m/s2)
a) 10
d) 40
b) 20
e) 50
c) 30
2d
119
77. El piloto de un avión que vuela horizontalmente a una
altura "H" con una rapidez "V" observa el blanco bajo un
ángulo de depresión "", halle Tgθ, conociéndose que en
dicho instante el piloto dejo caer una bomba que acertó en
el blanco.
2 gH
v
2 gH
v
gH
2
a)
b)
c) 2v
d)
gH
v
e)
2
gH
v
78. En el instante mostrado, las esferas son lanzadas
simultáneamente. Si ambas logran impactar, determine la
rapidez v.(g=10m/s2)
a) 10m/s
b) 20m/s
c) 35m/s
d) 40m/s
e) 75m/s
25m/s
53°
g
45m
v
Lectura 5:
45m
BREVE HISTORIA DE LAS CATAPULTAS
Los textos clásicos revelan una nueva comprensión sobre la historia de las
catapultas y balanzas.
Apártate Arquímedes. Un investigador de la Universidad de Harvard ha
encontrado que los antiguos artesanos griegos eran capaces de diseñar
máquinas sofisticadas sin necesidad de comprender la teoría matemática
que subyace a su construcción.
Los análisis recientes de tratados técnicos y fuentes literarias del siglo V
a.c revelan que la tecnología floreció entre los profesionales con limitados
conocimientos teóricos.
“Los artesanos tenían su propio tipo de conocimiento que no tenía que
estar basado en la teoría”, explica Mark Schiefsky, profesor de cultura
clásica en la Faculta de Arte y Ciencias de Harvard. “No iban a la
Academia de Platón a aprender geometría, y aun así eran capaces de
construir dispositivos calibrados con precisión”.
La balanza, usada para medir el peso en todo el mundo antiguo, es la
mejor ilustración de los hallazgos de Schiefsky sobre la distinción entre el
conocimiento teórico y el de los artesanos. Trabajando con un grupo
liderado por Jürgen Renn, Director del Instituto Max Planck para la
Historia de la Ciencia en Berlín, Schiefsky ha encontrado que la balanza
romana — una balanza con brazos desiguales — se usó a principio de los
siglos V y IV a.c., antes de que Arquímedes y otros pensadores de la era
helenística dieran una demostración matemática de sus bases teóricas.
“La gente supone que Arquímedes fue el primero en usar la balanza
romana dado que suponen que no se podía crear una sin conocer la ley
120
de las palancas. De hecho, puedes — y la gente lo hacía. Los artesanos
tenían su propio conjunto de reglas para hacer la escala y calibrar el
dispositivo”, dice Schiefsky.
Las necesidades prácticas, así como la prueba y error, llevó al desarrollo
de tecnologías como la balanza romana.
“Si alguien lleva un trozo de carne de 50 kilos al ágora, ¿cómo lo pesas?”,
pregunta Schiefsky. “Sería genial tener un contrapeso de 5 kilos en lugar
de uno de 50, pero para hacer eso necesitas cambiar el punto de equilibrio
y comprender ostensiblemente el principio de proporcionalidad entre el
peso y la distancia desde el fulcro. Aun así, estos artesanos fueron capaces
de calibrar sus dispositivos sin comprender la ley de la palanca”.
Los artesanos aprendieron a mejorar estas máquinas a través del uso
productivo en el curso de sus carreras, dice Schiefsky.
Con el surgimiento del conocimiento matemático en él era helenística, la
teoría comenzó a ejercer una mayor influencia en el desarrollo de las
tecnologías antiguas. La catapulta, desarrollada en el siglo III a.c.,
proporciona la forma en que se sistematizó la ingeniería.
Con la ayuda de las fuentes literarias y datos de las excavaciones
arqueológicas, “Podemos rastrear con certeza cuando comenzaron los
antiguos a usar métodos matemáticos para construir la catapulta”,
apunta Schiefsky. “Las máquinas se construyeron y calibraron con
precisión”.
Los reyes alejandrinos desarrollaron y patrocinaron un programa de
investigación activa para un mayor refinamiento de la catapulta. A
través de la experimentación y la aplicación de métodos matemáticos,
tales como el desarrollado por Arquímedes, los artesanos fueron capaces
de construir unas máquinas de gran potencia. Tendones de animales
trenzados ayudaron a incrementar el poder del brazo de lanzamiento, el
cual podría arrojar piedra de 25 kilos o más.
La catapulta tuvo un gran impacto en la política del mundo antiguo.
“Podías atacar repentinamente una ciudad que anteriormente había sido
impenetrable”, explica Schiefsky. “Estas máquinas cambiaron el curso de
la historia”.
De acuerdo con Schiefsky, la interacción entre el conocimiento teórico y
el saber práctico es crucial para la historia de la ciencia occidental.
“Es importante explorar lo que hicieron los artesanos y lo que no
hicieron”, dice Schiefsky, “de forma que podamos comprender mejor cómo
encaja su trabajo en el arco del desarrollo científico”.
La investigación de Schiefsky está patrocinada por la Fundación
Nacional de Ciencia y el Instituto Max Planck para Historia de la
Ciencia en Berlín.
DEFINICIONES:
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
Es aquel movimiento que se caracteriza por que su 1. DESPLAZAMIENTO ANGULAR (): Es el ángulo
trayectoria es una circunferencia y de acuerdo a su
que se describe en el centro de la trayectoria
velocidad angular se pueden clasificar en:
correspondiente a un arco de circunferencia, se le expresa
generalmente en radianes.
2. DESPLAZAMIENTO LINEAL (L): Es la longitud de
arco de la circunferencial recorrido por un cuerpo con
movimiento circunferencial.
3. PERIODO (T): Es el tiempo que demora un cuerpo con
movimiento circunferencial en dar una vuelta completa.
T
tiempo
N ode vueltas
Unidades: segundos (s)
4. FRECUENCIA (f): Es el número de vueltas que efectúa
el móvil con movimiento circunferencial en cada unidad
de tiempo. También se define como la inversa del
periodo.
 Movimiento Circunferencial Uniforme (MCU)
La velocidad angular es constante.
 Movimiento Circunferencial Uniformemente
Variado (MCUV)
La velocidad angular es variable y además posee
aceleración angular.

B
R

L
A
V
f
o
N de vueltas
tiempo
UNIDADES:
rev/s
= (R.P.S.) =
rev/min = (R.P.M.)
rev/hora = (R.P.H.)
1/s = Hertz (Hz)
5. VELOCIDAD TANGENCIAL ( V ): Es una magnitud
vectorial cuyo módulo mide el arco recorrido por el móvil
en la unidad de tiempo. Se caracteriza por ser tangente a
la trayectoria.
UNIDADES: m/s, cm/s, etc.
6. VELOCIDAD ANGULAR (): Es una magnitud
vectorial cuyo módulo mide el ángulo barrido por el
móvil en la unidad de tiempo. Se caracteriza por ser
perpendicular al plano de rotación.
Unidades: rad/s, rev/min (R.P.M.)
121
8.
Es aquella
magnitud vectorial que nos indica cuanto aumenta o
disminuye la velocidad angular en cada unidad de
tiempo.
Unidades:
2
2

Velocidad tangencial ( V )
2
rad/s , rad/min , rad/h , etc.
V  R
9. ACELERACIÓN TANGENCIAL ( a T )
Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto
cambia la velocidad tangencial en cada unidad de
tiempo.
Unidades: m/s 2, cm/s 2
10. ACELERACIÓN CENTRÍPETA ( ac )
Es la magnitud vectorial cuyo punto de aplicación es
el móvil su dirección radial y sentido siempre señalan
hacia la parte central de la circunferencia.
Unidades: m/s 2 , cm/s 2
V
2 R
 2Rf
T
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
UNIFORMEMENTE VARIADO
Es aquel movimiento que se caracteriza por que su
trayectoria es una circunferencia y su velocidad varía
uniformemente conforme transcurre el tiempo esto
significa que su aceleración angular permanece constante.
Las ecuaciones del movimiento son las mismas del
movimiento rectilíneo uniformemente variado. Además
algunas ecuaciones esenciales:
at
La aceleración en el Movimiento Circular
Uniformemente Variado
a
ac
ac
2
 2f
T
Aceleración centrípeta
Es la magnitud vectorial cuyo punto de aplicación es el
móvil su dirección radial y sentido siempre señalan hacia
la parte central de la circunferencia.
a
at
ac 
a c : aceleración centrípeta
V2
R
a c   2R
Unidades: m/s 2
Aceleración Tangencial:
Se define como el producto de la velocidad angular por el
radio de curvatura de la trayectoria:
a t : aceleración tangencial
a : aceleración total
a  R
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
UNIFORME
En un movimiento circunferencial que se caracteriza
porque su velocidad angular permanece constante durante
todo el movimiento, esto significa que en tiempos iguales
barre ángulos iguales.
Velocidad angular ():
En general se define como velocidad angular a la razón
que existe entre el ángulo descrito por unidad de tiempo:

ángulo


tiempo
t
Unidades: rad/s; R.P.M.
En función del período y la frecuencia:
Si representamos un movimiento curvilíneo en general:
De acuerdo al diagrama se puede definir la aceleración
total en cualquier punto mediante el Teorema de
Pitágoras:
2
a
Fórmulas del MCUV
S  R
V  R
a  R

 t
f  0  t

 f  0
t
 f 2  0 2  2
  0 t 
122
2
a t  ac
1 2
t
2
TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTOS
Conociéndose las características de los movimientos
circulares en general, estas se aprovechan para transmitir
movimientos ya sea para aumentar o disminuir las
velocidades angulares o tangenciales. Ver Fig. 3.
 A  B
 A B
Solución:
Dadas las condiciones, el periodo de un punto de la
superficie terrestre es 24 horas.
T  24  3600 s
Se sabe que: V 
Sustituyendo:
V
B
2 R
T
2(6400 km)
24 h
A
V
A
1600
 km/h
3
Rpta.
B
V A VB
3. Halle la velocidad tangencial alrededor del eje
terrestre de un punto en la superficie terrestre a una latitud
de 60º N en km/h.
V A  VB
800
 rad/h
3
750
 rad/h
d)
3
500
 rad/h
3
505
 rad/h
d)
3
a)
A
B
B
A
b)
e) 500 rad/h
PROBLEMAS RESUELTOS
1. La luna hace una revolución completa en 28 días, si la
distancia promedio entre la Luna y la Tierra es de
7
38, 4  10 m, aproximadamente, halle la velocidad
tangencial de la Luna con respecto a la Tierra.
a) 990 m/s
b) 987 m/s
c) 992 m/s
d) 997 m/s
e) 1000 m/s
Solución:
La velocidad angular en cualquier punto de la Tierra es la
misma, pero la velocidad tangencial varía de acuerdo al
radio de la trayectoria de dicho punto de la Tierra.
2
T
2 rad

24 h


rad/h
12


r
V
R
60º
Solución:
El período de la Luna es 28 días
T  28  24  3600 s
La velocidad tangencial se define como:
V  R  V 
2 R
T
r  R cos 60º
1
r  6400    r  3200 km
 2
Sustituyendo variables:
V
7
2(38, 4  10 )
28  24  3600
V
Velocidad tangencial:
997 m/s
V  R
Rpta.
2. Considerando un radio ecuatorial de 6400 km,
determine la velocidad tangencial, con respecto al eje
terrestre, en un punto ecuatorial en km/h.
a)
c)
e)
1600
 km/h
3
1600
km/h
3
1600
 km/h
5
Cálculo del radio de curvatura a latitud 60º N:
1400
 km/h
3
1700
 km/h
d)
3
b)
V

rad/h  3200 km
12
V
800
 rad/h
3
Rpta.
4. ¿Cuánto dura el día de un planeta “saturno” cuyo radio
promedio es 10000 km; si un punto superficial a latitud
37º N (medido desde su línea ecuatorial) tiene una
velocidad lineal de 400 km/h ?
a) 36 h
d) 42 h
b) 32 h
e) 50 h
c) 40 h
123
Solución:
Ubicamos un punto de latitud 37º N y hallamos su radio
N
de giro (r)

r  1000cos 37º
4
r  10000  
5
r
r  8000 km
37º
P
A

 B
 A B
t A  tB 
R

3


2
 2
A
2 A
La velocidad lineal:
V
Solución:
Para que “A” y “B” colisionen en “O” es necesario que
ambos lleguen a “O” y en el mismo tiempo, es decir:
2r
T
  2 
2(8000)
400  
T
2(8000)
T
 T  40 horas
400
3

2
2  4  3  2

6

El día en el planeta “saturno” dura:
40 h
Rpta.
5. En una pista circular se cruzan dos partículas con
velocidades angulares de


rad/s y
rad/s . Si estas
10
20
   30º
Rpta.
7. En el instante se muestra la posición de las partículas
que viajan circularmente por pistas tangentes
exteriormente, si la velocidad angular de “A” es
 rad/min , hallar la velocidad angular de “B” (en
rad/min) para que las partículas se encuentren en “O” sin
dar más vueltas.
B
velocidades angulares son mantenidas constantes, hallar
el tiempo adicional suficiente para que los vectores
velocidad de estas partículas formen 90º.
a)
A
30º
O
Solución:
Se sabe que:   t
Del diagrama:
 2 1
V1
V2
1t  t 2 

2
a)

2
 t(1   2 ) 

  
Reemplazando: t  

 10
 3  
t
 t

 20  2
20 
2
3, 33 s

O
124
c) 37º

2
B
A
A

c)
Rpta.
B
b) 30º
b)
Solución:
6. Sobre dos vías circulares tangentes se desplazan dos
móviles, tal como se muestra en la figura, con velocidades
angulares constantes (B  2A ) . Determinar el valor del
ángulo "  " si se sabe que los móviles colisionan en “O”
antes de completar la primera vuelta.
a) 25º

3
2
e)
5

4

d)
5
O

1   2 
2
d) 45º
e) 53º
60º
30º
A
B
O
   300º
Del diagrama:  A
 B  60º
Los móviles se encuentren en “O”, llegan a dicho punto
al mismo tiempo, luego:
t A  tB 
A

 B
 A B
300º 60º


B
 B 

rad/min
5
Rpta.
8. Al desconectarse un ventilador se genera una
desaceleración de 20 rad/s 2 , si inicialmente el ventilador
gira a razón de 100 rad/s . Hallar el número de vueltas
que darán las aspas del ventilador hasta detenerse.
a) 32
b) 36
c) 40
d) 45
e) 48


f  0
2
2
2
(100)
2(20)
Cálculo del número de vueltas:
250
2
Nº vueltas  40
Rpta.
9. Hallar la velocidad angular (en rad/s) del tambor de
60 m de radio en el momento en que la carga desciende
a razón de 6 m/s. Los tambores de radios “R” y “2R” son
solidarios.
a) 18
2R
b) 20
c) 24
60 cm
R
d) 25
e) 28
Solución:
Seleccionemos un par adecuado de tambores:
1  2 
6 V2

R 2R
V1 V2

R1 R 2
V3  V2  3R 3  12
3 
12

0, 6
c) FVV
1
A
I. La aceleración tangencial es nula cuando la rapidez
es constante.
II. En el M.C.U. la aceleración normal es constante.
III. En el M.C.U.V. la magnitud de la aceleración
tangencial es constante.
a) VVV
b) VFV
c) VFF
d) FFF
e) VFV
4. Señale verdadero (V)o falso (F) respecto al
movimiento circunferencial
I. Si el período en un MCU aumenta entonces el radio
disminuye.
II. En un MCUA, la aceleración instantánea es tangente
a la trayectoria.
III. En un movimiento circunferencial, si la aceleración
no varía en magnitud entonces el módulo de la velocidad
es constante
a) VVV
d) FVF
B
 V2  6 m/s 2
En los tambores B y C:
b) VFF
e) FFF
3. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones:
  250 rad

Nº vueltas 
I. Posee aceleración.
II. Su velocidad es constante, en módulo y dirección.
III. Es un movimiento periódico.
a) VFV
d) VVV
Solución:
2
2. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea de
acuerdo al Movimiento Circular Uniforme.
b) VFV
e) FFF
c) FFV
C
60 cm
3
V1
20 rad/s Rpta.
5. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea
respecto a la aceleración centrípeta.
I. Es constante su módulo en el MCU.
II. Modifica la dirección de la velocidad tangencial.
III. Siempre es perpendicular a la velocidad
tangencial.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Señale verdadero (V)o falso (F) respecto al
movimiento circunferencial (MC)
I. En un MC si el módulo de la velocidad es
constante,
entonces
la
aceleración
es
necesariamente cero.
II. Si la aceleración tangencial es cero, entonces la
velocidad la velocidad es constante.
III. Es imposible desplazarse a lo largo de una curva
sin aceleración
a) VVV
d) FFV
b) VFV
e) FFF
c) VFF
a) FFV
d) VFV
b) FVV
e) VVV
c) VVF
6. Indique la proposición incorrecta respecto al MCUV.
a) Su aceleración angular es constante sólo en
módulo.
b) Posee aceleración tangencial constante.
c) Su velocidad angular varía uniformemente en
módulo.
d) No es un movimiento periódico.
e) Posee aceleración centrípeta variable.
125
7. Señale con V (verdadero) o F (falso), respecto de la
aceleración tangencial.
I. Puede ser opuesta a la velocidad tangencial.
II. Es constante en dirección.
III. Modifica el módulo de la velocidad tangencial
únicamente.
a) VVF
d) VVV
b) VFV
e) FFF
c) FVV
8. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea
respecto a la aceleración angular.
I. Es perpendicular a la aceleración centrípeta.
II. Es constante en módulo únicamente.
III. Modifica únicamente el módulo de la velocidad
angular.
a) VVF
d) FFV
b) FVV
e) VVV
a) Cuando tiene el mismo sentido que el
desplazamiento angular.
b) Cuando la velocidad angular es opuesta al
desplazamiento angular.
c) Cuando es opuesta al desplazamiento angular.
d) Cuando es opuesta a la velocidad angular.
10. Una partícula gira con una frecuencia correspondiente
a 720 R.P.M .Calcular su velocidad angular en ( rad s )
b) 36
e) 18
c) 36
11. Un cuerpo posee una velocidad de 10π rad/s
(constante). Hallar el numeró de vueltas que da en
medio minuto
a) 5
d) 50
b) 150
e) 20
14. Las partículas parten simultáneamente con periodos
de 20 y 30 segundos. ¿Al cabo de que tiempo logran
cruzarse por segunda vez?
a) 6 s
b) 12 s
c) 18 s
d) 21 s
e) 25 s
c) VFV
9. ¿Cuándo se dice que la aceleración angular es
negativa?
a) 24
d) 24
13. Un disco gira con una velocidad angular constante. Si
los puntos periféricos tienen el triple de velocidad de
aquellos puntos que se encuentran a 5 cm más cerca
al centro del disco, Hallar el radio del disco
a) 7,5 cm
b) 15 cm
c) 25 cm
d) 10 cm
e) 20 cm
c) 300
15. Considerando que la tierra rota uniformemente,
determinar la rapidez tangencial  m / s  de una
ciudad ubicada en el hemisferio norte a 53º de latitud.
(Radio terrestre 6400km).
4000
9
400
d)
9
a)
800
9
1600
e)
9
b)
a) 9 500
d) 9 800
126
b) 9 600
e) 9 900
c) 9 700
300
5
16. Si la rueda de 10 cm de radio rota con una rapidez
angular constante de 20 rad/s, con qué rapidez
desciende el bloque. (r=5cm)
10cm
a) 10 cm/s
b) 20 cm/s
c) 20 cm/s
d) 40 cm/s
e) 50 cm/s
r
4r
17. En el siguiente sistema, determinar la velocidad
angular
de
la
rueda
“B”
Ra  6m
R b 2m , a  60 rad s
12. Marquito observa el paso de un meteoro fugaz el 14
de febrero durante 3,14 segundos en el cielo y
describe en ese tiempo un arco de 8°. ¿Cuál fue la
velocidad media expresada en (km/h) si la distancia
media al observador fue de 60 km?
c)
a)
b)
c)
d)
e)
120 rad s
180 rad s
150 rad s
200 rad s
145 rad s
18. Un motor lleva una polea de 20 cm de radio que gira
a una velocidad de 600 R.P.M. y pone se en
movimiento mediante una transmisión por faja otra
polea de 40 cm de radio. La velocidad angular que gira
esta última polea en rad/s. Es (   3 )
a) 40
b) 30
c) 20
d) 60
e) 80
R1
2
1
R2
19. Un móvil con M.C.U emplea "t" segundos en efectuar
una vuelta sobre una pista circular y cada 3/8 t
segundos se cruza con un segundo móvil que va en
dirección contraria. ¿Cuál es el período del segundo
móvil?
a) t/8
d) 6t/5
b) 3 t/5
e) 2t/7
c) 2t/5
20. Los puntos periféricos de un disco giran
uniformemente a 4 m/s, si los puntos, que se
encuentran a 0,2 m de la periferia giran a 3 m/s. Halle
el radio del disco.
a) 0,2 m
d) 0,8 m
b) 0,4 m
e) 1,0 m
cm, RA=10cm y RC = 40 cm. Si la frecuencia angular
de A es 4 rev/s, calcular el periodo de C.
RB
RC
RA
c) 1 m/s
23. Un disco experimenta un MCUV en un determinado
segundo el disco gira 12 rad y en el segundo siguiente
un ángulo de 16 rad. Hallar la magnitud de la
aceleración angular que experimenta el disco.
a) 4 rad/s2
b) 6 rad/s2
c) 3 rad/s2
d) 1 rad/s2
e) 2 rad/s2
24. Una partícula gira alrededor de una circunferencia con
MCUV. En un determinado instante su rapidez es de
6πrad/s y tres segundos después su rapidez es de
9πrad/s. Calcular el número de vueltas que ha dado
luego de 6 s de iniciado su movimiento
a) 7
b) 12
c) 9
d) 13
e) 8
25. Dos discos concéntricos y pegados giran con una
velocidad angular constante de 30 rad/s. Si r  0.3m ,
determine la rapidez con la cual se mueve la polea A.
a) 7,5 m/s
b) 20 m/s
c) 22,5 m/s
d) 15 m/s
e) 10 m/s
4r
r
g
A
26. Dos partículas que ejecutan MCU se encuentra 10
segundos después del instante que se muestra en la
figura. Si
rad / s , hallar
en rad / s .
Faja
b) 2 s
e) 02 s
b) 8 m/s
e) 2 m/s
c) 0,6m
21. A, B y C tiene MCU, A y B son solidarias; RB = 50
a) 1 s
d) 0,1 s
a) 3 m/s
d) 6 m/s
1
c) 3 s
2
17
18
18
b)
19
a)
22. Si el bloque "A" se mueve con rapidez de 3 m/s. ¿Con
qué rapidez se mueve "B"?.
4r
r
A
r
r
2r
6r
B
c)
19
20
d) 20
21
21
e)
22
127
27. El movimiento de A se transmite a B por una correa,
tal como se muestra. Calcule la rapidez del punto P(en
cm/s), se sabe que la frecuencia de A es 5 Hz, los
radios de A y B de 5 cm y 10 cm respectivamente. El
punto P dista 8 cm del centro.
a) 60
b) 50
c) 40
d) 20
e) 15
P
A
B
28. Una partícula que realiza MCUV parte del reposo. Si
1 s ha recorrido una longitud igual a dos
en t
veces el radio de la trayectoria. Calcular la rapidez
angular en rad/s a los 5 segundos después de iniciado
el movimiento.
8 rad / s 2 . Determinar el valor de "h" si dicha
esfera ingresa al agujero, luego que el disco dio 2
vueltas.
g = 10 m/s2.
a) 2,5 m
b) 3,0 m
c) 3,5 m
d) 5,0 m
e) 5,5 m
32. Una partícula parte del reposo en "A" y describe una
circunferencia como trayectoria. Si después de 4/3 s
se encuentra en "B" con una velocidad

v  5 3 i  5 j m / s
, determine su recorrido
angular y la magnitud de la aceleración angular.
2
3
rad ;
rad / s 2
3
4

b)
rad ;7,5rad / s 2
3
a)
29. Determine la magnitud de la aceleración centrípeta
(en m/s2) de un móvil en el instante t = 5 s, si el radio
de giro del móvil es 0,4 m. La ecuación del
movimiento es θ = 5 + 25 t, donde
θ:
radianes, t: segundos.
c)
 rad ;  rad / s 2
B
V
R = 10 m
d) 2 rad ;3,5rad / s 2
A


e) rad ; rad / s 2
a) 250
b) 200
c) 120
d) 140
e) 239
3
30. En el instante mostrado en la figura, una partícula que
se mueve con MCUV tiene una rapidez de 30 m/s y
aceleración "" que hace 37º con la tangente a la
trayectoria. Calcule el valor de " a ".
37º
a
R = 5m
2
33. A 1,25m del piso, en un plano horizontal, un depósito
de arena gira con una velocidad angular de 4 rad/s y
con 2 m de radio mientras va dejando caer gránulos de
arena por un orificio practicando en el fondo del
depósito halle el radio de la circunferencia de arena
que se forma en el piso.
a) 2m
d) 2 5m
b) 3m
e) 4 2m
c) 4m
34. Un pastor hace girar su honda en una circunferencia
de 2 m de radio a razón de 2 rad/s 2 . ¿Con que
velocidad sale la piedra si la cuerda se rompe después
de 8 vueltas?
a) 12 m/s
d) 18 m/s
128
h

a) 10
b) 5
c) 15
d) 20
e) 4
a) 200 m/s2
b) 220 m/s2
c) 240 m/s2
d) 300 m/s2
e) 320 m/s2
31. En el preciso instante que la esfera es soltada el disco
inicia su movimiento con una aceleración angular de
b) 14 m/s
e) 20 m/s
c) 16 m/s
35. Determine la aceleración angular de un volante que
inicia su movimiento desde el reposo y adquiere en 6
s una velocidad de 240 R.P.M (   3 )
a) 4
d) 7
b) 5
e) 3
c) 6
36. La velocidad angular del volante de un auto aumenta
a la razón constante de 3000 R.P.M a 4200 R.P.M en
60 s La aceleración angular del auto en rad s 2 (   3 )
a) 1
d) 2
b) 4
e) 1
c) 5
37. Una partícula inicia su M.C.U.V con una velocidad
tangencial de 6 m/s .Si su aceleración tangencial es de
4 m s 2 , y su radio de giro es de 9m .Su velocidad
tangencial en m/s y en rad/s luego de 12 s es.
a) 48 y 6
d) 54 y 8
b) 54 y 6
e) 48 y 9
c) 48 y 8
38. Una esferita se desplaza con M.C.U .V de tal modo
que luego de recorrer 8 m incrementa su velocidad de
4 m/s a 12 m/s .Si su radio es de 4 m. La aceleración
tangencial ( m s 2 ) y la aceleración angular en ( rad s 2
) es.
a) 4 y 3
b) 6 y 12
c) 5 y 10
d) 8 y 2
e) 6 y 10
39. Un cuerpo está girando alrededor de una
circunferencia con aceleración angular constante de
20 rad s 2 ; si necesita 3 s para girar un ángulo de 234
rad. ¿Qué velocidad angular poseía al cabo de ese
tiempo?
EVALUACIÓN
1. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea de
acuerdo al Movimiento Circunferencial Uniforme.
I. Posee aceleración.
II. Su velocidad es constante, en módulo y dirección.
III. Es un movimiento periódico.
a) VFV
b) VFF
c) FVV
d) VVV
e) FFF
2. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea
respecto a la aceleración centrípeta.
I. Es constante su módulo en el MCU.
II. Modifica la dirección de la velocidad tangencial.
III. Siempre es perpendicular a la velocidad tangencial.
a) FFV
b) FVV
c) VVF
d) VFV
e) VVV
3.
a)
b)
c)
Indique la proposición incorrecta respecto al MCUV.
Su aceleración angular es constante sólo en módulo.
Posee aceleración tangencial constante.
Su velocidad angular varía uniformemente en
módulo.
d) No es un movimiento periódico.
e) Posee aceleración centrípeta variable.
4. Señale con V (verdadero) o F (falso), respecto de la
aceleración tangencial.
I. Puede ser opuesta a la velocidad tangencial.
II. Es constante en dirección.
III. Modifica el módulo de la velocidad tangencial
únicamente.
a) VVF
b) VFV
c) FVV
d) VVV
e) FFF
5. Señale en la figura la expresión correcta que relaciona
a los vectores mostrados.

a)   V  r
b)   V  r
a) 102 rad/s
d) 112 rad/s
b) 108 rad/s c) 105 rad/s
e) 115 rad/s
40. Determinar la aceleración angular con que gira una
rueda para que en el tercer segundo efectúe 16 vueltas
menos que en el séptimo segundo.
a) 4  m/s 2
b) 6  m/s 2
d) 10 m/s 2
e) 12 m/s 2
c) 8  m/s 2
2
41. Calcular la aceleración angular en (rad / s ) que tiene
un disco, sabiendo que es capaz de triplicar su
velocidad luego de realizar 600 vueltas en 20 s.
a) 
d) 4
b) 2
e) 5
c) V    r
d) V    r
r
90º


V
e) V    r
6. Cinco ruedas se encuentran
muestra en la figura. Halle la
“Q” si se sabe que: R A  5m ,
y R E  12m.
a) 2 m/s
BA
b) 3 m/s
c) 4 m/s
d) 5 m/s
e) 10 m/s
c) 3
conectadas como se
velocidad del bloque
R B  10m , R D  6m
C
E
D
Q
Vp  10 m/s
129
7. Marquito observa el paso de un meteoro fugaz el 14
de febrero durante 3,14 s en el cielo y describe en ese
tiempo un arco de 9°. ¿Cuál fue la velocidad media
expresada en (km/s) si la distancia media al
observador fue de 80 km?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
8. Si las partículas A y B parten simultáneamente con
A  3 rad/s y B  2 rad/s . ¿Qué tiempo tardan
en encontrarse?
E

a) 0,2 s
b) 0,3 s
c) 0,4 s
d) 0,5 s
e) 0,1 s

A


B
9. Determine el tiempo mínimo que tardan en
encontrarse los móviles 1 y 2, si 1   rad / s y
2  2 rad / s .
a) 0,6 s
b) 0,5 s
c) 0,4 s
d) 0,2 s
e) 0,1 s
E
1



2
10. En el sistema mostrado se sabe que A  12 rad/s ,
hallar la velocidad tangencial en el borde de la rueda
C.
C
a) 8 m/s
b) 6 m/s
c) 4 m/s
d) 2 m/s
e) 1 m/s
2m
3m

B
1m
A
A
11. Dos cuerpos en una trayectoria circunferencial parten
desde un mismo punto con velocidades de 8  y
2 m/s en sentidos contrarios. ¿Al cabo de cuánto
tiempo se encontraran? (R  10m) .
a) 1 s
b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s
e) 5 s
130
12. Dos pelotas atadas a una cuerda giran en un plano con
M.C.U. Si la velocidad tangencial de “A” es de 20
cm/s. ¿Cuál es la velocidad angular del conjunto y la
velocidad tangencial correspondiente de “B” en rad/s
y cm/s respectivamente?
A
a) 0 y 8
b) 1 y 62
c) 33 y 5
d) 7 y 1
e) 2 y 50
15 cm
B
O
10cm

13. Una rueda de 2,5 m de radio gira a razón de 120/
R.P.M. respecto a un eje fijo que pasa por su centro,
una partícula se suelta del punto “A” halle el
desplazamiento horizontal “x” (g  10 m/s 2) .
a) 8 m
b) 10 m
c) 4 m
d) 5 m
e) 15m
x
14. A 1,25m del piso, en un plano horizontal, un depósito
de arena gira con una velocidad angular de 4 rad/s y
con 2 m de radio mientras va dejando caer gránulos de
arena por un orificio practicando en el fondo del
depósito halle el radio de la circunferencia de arena
que se forma en el piso (g  10 m/s 2) .
a) 2m
b) 3m
c) 4m
d) 2 5m e) 4 2m
15. Las partículas parten simultáneamente con periodos
de 20 y 30 segundos. ¿Al cabo de que tiempo logran
cruzarse por segunda vez?
a) 6 s
b) 12 s
c) 18 s
d) 21 s
e) 25 s
16. En MCUV se puede afirmar:
I.  y  son colineales.
II.  y a son ortogonales.
III.  y v son colineales.
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) todas
17. Una partícula de MCUV partió desde el reposo con
aceleración de 6 rad/s2, al cabo de los 10s su
aceleración centrípeta es m/s2 es: el radio de giro es de
1m.
a) 3000
b) 3200
c) 3400
d) 3600
e) 3800
18. Una partícula describe una trayectoria circular de
radio 0,5 m con aceleración angular constante
2
  5 rad/ s Si parte del reposo, hallar el módulo de
la aceleración normal dos segundos después de su
partida en m/s2.
a) 100
b) 50
c) 25
d) 10
e) 5
19. Halle “” en un MCUV, sie en 3 segundos el disco
gira 180 rad siendo 108 rad/s su velocidad angular al
cabo de este tiempo.
a) 32 rad/s2
b) 34 rad/s2
c) 36 rad/s2
2
2
d) 38 rad/s
e) 40 rad/s
20. En un MCUV se obeserva que en 2s triplica su
velocidad con desplazamiento angular de 4 rad. Halle
el desplazamiento angular para el siguiente segundo.
a) 3 rad
b) 3,5 rad
c) 4 rad
d) 4,5 rad
e) 5 rad
21. Con MCUV en 1s una particular gira 42 rad, en el
siguiente segundo gira 54 rad, halle la aceleración
angular en rad/s2.
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
22. Una partícula describe una trayectoria circular de 6m
de radio, halle la velocidad para cierto instante en que
su aceleración mide 15 m/s2 y forma 37° con la
velocidad.
a) 6 m/s
b) 3 6
c) 12
d) 12 2
e) 15
23. Una hélice parte con velocidad inicial de 4 rad/s.
¿Cuántas vueltas dará en el tercer segundo?. Su
aceleración es de 6 rad/s2.
a) 6,5
b) 7,5
c) 8,5
d) 9,5
e) 10,5
24. Un tocadisco gira a 33 rpm al cortar la corriente la
fricción hace que el tocadisco se frene con
desaceleración constante, observándose que luego de
3s gira a 32,5 rpm. ¿Qué tiempo, en segundos, tarda
el tocadisco para detenerse?
a) 250
b) 89
c) 180
d) 198
e) 195
25. Un cilindro de 1m de diámetro que se encuentra
rotando a razón de 30 rpm es desacelerado
uniformemente hasta 15 rpm. Si durante este tiempo
se han enrollado 90m de cuerda sobre el cilindro la
aceleración angular (en rad/s2) es:
a) 0,011
b) 0,021
c) 0,041
d) 0,051
e) 0,031
26. La velocidad de un automóvil aumenta
uniformemente en 10s de 19 km/h a 55 km/h. El
diámetro de sus ruedas es 50 cm, la aceleración
angular de las mismas en rad/s2.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
27. Hallar la velocidad angular inicial MCUV si su
aceleración angular es /9 rad/s2 y en el quinto
segundo recorre un cuarto de vuelta. (Dar la respuesta
en rad/s).
a) /2
b) 
c) 2
d) /4
e) 0
28. Una partícula recorre una circunferencia de 20 cm de
radio con una aceleración tangencial cuyo módulo
2
siempre es de 5 cm/s . ¿Cuánto tiempo después de
haber partido desde el reposo la aceleración lineal de
la partícula forma 45º con su respectiva velocidad?
a) 1 s
b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s
e) 5 s
29. Desde el reposo una partícula parte con aceleración
angular constante de /2 rad/s2, luego de uns instante
“t” la partícula pasa por un punto “A” y en un segundo
más gira un cuarto de vuelta. Hallar “t” (en s).
a) 0,3
b) 0,4
c) 0,5
d) 0,6
e) 0,7
30. Cuando un ventilador es apagado, debido a la
fricción, desacelera uniformemente recorriendo 80
rad en los 4 primeros segundos, si la desaceleración
angular es de 4 rad/s2 encuentre el tiempo que demora
la fricción en detener al ventilador.
a) 7s
b) 8s
c) 9s
d) 10s
e) 11s
31. Un disco que parte desde el reposo con aceleración
angular constante empleó “n” segundos en su segunda
vuelta, ¿Cuántos segundos emplearía en la primera
vuelta?
2
a) n
b)
d) n  2  2 
e) n 3
c) n  2  1 
32. Un móvil parte desde el reposo con MCUV, halle el
ángulo que formará su aceleración con su velocidad
cuando el móvil se haya desplazado en “”.
a) 
b) 2
c) tg 1
d) tan 1(2)
e) cot 1 
33. La velocidad angular de un disco aumenta a razón
constante de 2400 RPM a 4800 RPM en 30 s. Hallar
la aceleración angular.
131
a) 2, 45  rad/s 2
b) 3, 4  rad/s 2
c) 2, 67 rad/s 2
d) 2, 4 rad/s 2
e) 2, 8 rad/s 2
34. Transcurrido un tiempo “t” de haber partido un auto
con aceleración constante, las ruedas disponen de una
velocidad angular de 10 rad/s, si en 2s más las ruedas
giran a razón de 15 rad/s; encuentre “t”.
a) 1s
d) 10s
b) 4s
e) 13s
c) 7s
35. En la correspondencia  – vs – t. Halle el
desplazamiento angular hasta t  6 s , desde que se
inició el movimiento.
(rad/ s)
a) 60 rad
b) 22 rad
c) 33 rad
d) 66 rad
e) 132 rad
8
45º
t(s)
0
36. Anulada la corriente que alimenta a una hélice, este
gira “n” vueltas en el último segundo, halle la
velocidad angular de la hélice a 3s antes de detenerse
suponiendo una desaceleración uniforme.
a) 10 n rad/s
c) 12 n rad/s
e) 14 n rad/s
b) 11 n rad/s
d) 13 n rad/s
37. Un disco delgado de radio “R” soldado
perpendicularmente a un eje de longitud “H” gira
sobre un plano rugoso, sin deslizar, debido a que el
alambre gira con una velocidad angular constante “ 
”. ¿Cada cuánto tiempo el disco describe una
circunferencia sobre el piso?
2
a)
2 R  H
R
b)
2 R  H
R
c)
2 R  H
R
d)
2 H  R
R
e)
 R H
R
2
132
2
2
2
2
2
2