Download Apunte - Facultad de Ciencias | UBB

Ondas
FISICA III
230006 – 230010
II 2010 MAC
Ondas en la naturaleza
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
2
Ondas electromagnéticas
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
3
Ondas sísmicas
Ondas P (primarias),
ondas longitudinales
rapidez: 7-8 [km/s]
Ondas S (secundarias),
ondas transversales
rapidez: 4-5 [km/s]
Conociendo la diferencia
entre los tiempos de
llegada de las ondas P y S
se puede determinar la
distancia al hipocentro
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
4
Definición
• Una onda es una perturbación que viaja desde el punto
en el cual se produjo hacia el medio que rodea ese
punto
• Las ondas se clasifican en:
– Mecánicas: necesitan un medio para propagarse
– Electromagnéticas: pueden propagarse en el vacío
• Es posible transportar energía sin transportar masa,
mediante ONDAS
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
5
Leonardo da Vinci
• En el siglo XV Leonardo da Vinci ya comprendía
el concepto de onda:
“A menudo sucede que la onda escapa del sitio de su
creación, mientras que el agua no. Como las ondas
que se forman en un campo de trigo por efecto del
viento, donde las vemos correr a través del campo
mientras las espigas permanecen en su lugar”
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
6
Ondas mecánicas
• Ondas superficiales en agua y ondas sonoras
• Viajan a través de un medio deformable o
elástico
• Se originan cuando cierta parte del medio se
desplaza de su posición normal y se libera
• Debido a las propiedades elásticas del medio, la
perturbación se propaga a través de éste.
• A nivel microscópico las fuerzas entre los
átomos (propiedades mecánicas) son las
responsables de la propagación de estas ondas
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
7
Clasificación de ondas mecánicas
• De acuerdo a cómo se relaciona la dirección de
propagación de la onda con el movimiento de las
partículas
– Ondas Transversales: la dirección de propagación es
perpendicular al movimiento de las partículas de materia
– Ondas Longitudinales: la dirección de propagación es paralela
al movimiento de las partículas de materia
Ondas longitudinales
ondas de sonido
Ondas transversales
ondas en cuerdas
luz (aunque no es una onda mecánica)
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
8
Ondas en varías dimensiones
• 3 dimensiones:
– luz
– sonido
• 2 dimensiones:
– agua
• 1 dimensión:
– cuerdas y resortes
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
9
Clasificación
• Según el movimiento de las partículas del medio
– Pulsación: cada partícula permanece en reposo hasta que la
pulsación llega a ésta, luego se mueve por un tiempo corto y
permanece nuevamente en reposo
– Tren de Ondas: movimiento de vaivén continuo en un extremo
de la onda, el tren de ondas viaja a lo largo de la cuerda. Si el
movimiento de vaivén es periódico el tren de ondas es periódico.
Un ejemplo de onda periódica es la onda armónica, en la cual
cada partícula del medio experimenta movimiento armónico
simple
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
10
Movimiento Armónico Simple (MAS)
Si combinamos la ley de Hooke (la fuerza que siente una masa unida al extremo
de un resorte de constante elástica ) con la segunda ley de Newton obtenemos una
ecuación diferencial lineal de segundo orden:
cuya solución es dada por:
donde
y
son constantes que dependen de las condiciones iniciales y
Debido a las propiedades de las funciones sinusoidales,
donde
II 2010 MAC
se denomina fase y
se puede reescribir como:
se denomina constante de fase
Fisica III --- UBB
11
Frente de Onda
Frente de onda circular (2D)
3D
Frente de onda plano (2D)
Ondas esféricas
3D
Ondas planas
Los puntos del medio en un frente de onda tienen el mismo estado de movimiento
La flecha roja se denomina rayo e indica la dirección de propagación del frente de onda.
Esta línea es perpendicular a los frentes de onda si el medio tiene densidad uniforme
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
12
Ondas viajeras y estacionarias
• Estudiaremos las ondas que se propagan en una dimensión en una cuerda
(medio de propagación).
• En una cuerda ideal la pulsación o el tren de ondas mantiene su forma mientras
viaja por este medio.
• Si la pulsación o el tren de ondas que viaja por el medio se deforma, entonces
decimos que se trata de un medio dispersivo
• La rapidez de propagación de la onda depende de las propiedades del medio
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
13
Pulsos que
viajan…
y
La forma y movimiento del
pulso se describen en
términos de una función
La velocidad es constante y se
denomina velocidad de fase,
corresponde a la velocidad con
que se mueve el pulso.
x
Deseamos describir la altura de un punto en el pulso en el instante
y en el
instante , respecto de un sistema coordenado que se mueve con el pulso.
Dado que el pulso no cambia de forma:
Para que el pulso no cambie de forma se requiere:
Un pulso que se mueve a la derecha será descrito por:
Un pulso que se mueve a la izquierda será descrito por:
Notamos que
II 2010 MAC
debe ser una constante, puesto que
Fisica III --- UBB
es constante
14
Ejemplo
• Dibuje la función
para t=0,1,2,3
y
y
2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
x
10
10
20
30
x
40
10
10
y
20
30
40
y
2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
x
10
II 2010 MAC
10
20
30
40
Fisica III --- UBB
x
10
10
20
30
40
15
Propiedades funciones sinusoidales
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
16
Ondas Sinusoidales o Armónicas
y
Cresta de la Onda
ym
posición normal
x
λ
dos puntos idénticos adyacentes
y
T
t
dos puntos idénticos adyacentes
II 2010 MAC
Cresta de la Onda:
punto en el cual el desplazamiento
del elemento de medio es máximo
respecto de su posición normal
Longitud de Onda ( λ ):
distancia entre dos crestas adyacentes o
dos puntos idénticos adyacentes
Amplitud ( ym ):
corresponde al desplazamiento
máximo de un elemento de medio
respecto de su posición normal
Frecuencia ( f ):
número de crestas por unidad
de tiempo
Período ( T ):
tiempo que transcurre mientras dos
crestas adyacentes o dos puntos
idénticos adyacentes pasan por un punto
Fisica III --- UBB
17
Ondas Sinusoidales o Armónicas
Es una foto de la onda!
II 2010 MAC
Representación gráfica de la posición
de un elemento de medio como
función del tiempo
Fisica III --- UBB
18
y
Ondas armónicas
x
se denomina velocidad de fase,
II 2010 MAC
es la longitud de onda e
Fisica III --- UBB
es la amplitud
19
Ondas armónicas
• Para una onda armónica tenemos:
, luego:
• Con la función de esta forma es fácil notar la periodicidad de esta
función,
tiene el mismo valor para
y también para
• Definimos las constantes k = 2π / λ : número de onda y
ω = 2π / T: frecuencia angular, de modo que:
•
Note que se presenta la siguiente relación:
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
20
Fase y constante de fase
• La expresión general para una onda que viaje en la
dirección x positiva es:
donde
se denomina fase de la onda y
es la constante de fase
• Dos ondas con la misma fase (o con fases que difieren
en un múltiplo entero de 2π) se dice que “están en
fase”, ejecutan el mismo movimiento al mismo tiempo.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
21
Fase y constante de fase
• La constante de fase no afecta la forma de la onda, mueve a la
onda hacia delante o hacia atrás en el espacio o en el tiempo.
onda guía
onda rezagada
y
y
x
II 2010 MAC
t
Fisica III --- UBB
22
Movimiento de un elemento de medio
• Cualquier “elemento de medio” experimenta
MAS respecto de su posición de equilibrio. Este
movimiento es con la misma frecuencia y la
misma amplitud que el movimiento ondulatorio
• Para un elemento particular en
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
:
23
Movimiento de un elemento de medio
Velocidad transversal de un elemento de medio
Aceleración transversal de un elemento de medio
Ambos valores no son máximos simultáneamente. La velocidad es máxima
cuando
, mientras que la aceleración alcanza su valor máximo cuando
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
24
Ejemplos
• Una onda sinusoidal viaja en la dirección x positiva con
una amplitud de 15 [cm], λ=40 [cm] y f=8[Hz]. Encuentre
k, T, ω, v. Encuentre la constante de fase si en t=0 y x=0
y=15[cm] y escriba la función de onda.
• Una cuerda se encuentra oscilando con una frecuencia
de 5[Hz]. La amplitud del movimiento es 12 [cm] y la
velocidad de la onda es 20 [m/s]. Determine ω y k.
Escriba la función de onda correspondiente.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
25
Velocidad de las ondas en cuerdas
• La velocidad de fase de la onda depende de las
propiedades del medio en el cual se propaga la onda
• Una onda que se propaga en una cuerda tensa tiene
dos propiedades de las cuales puede depender la
velocidad: su densidad lineal de masa y la tensión
en la cuerda:
análisis
dimensional
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
26
Velocidad de las ondas en cuerdas
Fc
sin(0.1[rad]) ≈ 0.1
Consideremos la segunda ley de Newton para un pequeño “elemento de medio”
en un marco de referencia que se mueve a velocidad constante con el pulso.
Al sumar vectorialmente las fuerzas notamos que la resultante “apunta al centro”.
Asociamos una aceleración centrípeta.
Validez: amplitud de la onda pequeña comparada con el largo de la cuerda
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
27
Ejemplo
Una cuerda uniforme tiene una masa de 0.3 [kg] y una longitud de 6 [m],
la cuerda pasa por una polea y soporta un objeto de 2 [kg]. Encuentre la
velocidad de un pulso que viaja en la cuerda
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
28
Reflexión
Pulso
incidente
¿Qué ocurre si el medio no es uniforme?
Pulso
incidente
Pulso
reflejado
Pulso
reflejado
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
29
Transmisión
Pulso
incidente
¿Qué ocurre si el medio no es uniforme?
Cuando una onda viaja desde un medio
A a un medio B y
(el medio B es
más denso que A), la onda se invierte
bajo reflexión.
Pulso
reflejado
Pulso
incidente
Cuando una onda o un pulso viaja desde
un medio A a un medio B y
(el
medio A es más denso que B), la onda
no se invierte bajo reflexión.
Cuando una onda cambia de medio debe
mantener su frecuencia, luego:
II 2010 MAC
Pulso
transmitido
Pulso
transmitido
Pulso
reflejado
Fisica III --- UBB
30
Energía en una onda
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
31
Energía en una onda
Consideramos un “elemento de medio”
de masa
y longitud
.
La energía cinética asociada a este
elemento de medio es
Si escribimos la masa en términos de la
densidad y los como diferenciales:
Recuerde que la velocidad para un elemento de medio es dada por (pág.24):
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
32
Energía Cinética en una onda
• Para una foto de la onda en
:
• Integrando entre 0 y λ :
• La misma expresión se encuentra para la energía potencial
asociada al M.A.S., luego la energía mecánica en una longitud de
onda es dada por:
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
33
Energía potencial en una onda
• Para la energía potencial en
consideramos como nivel de
referencia el estado de equilibrio de la cuerda, donde
• Energía potencial gravitatoria
• Energía potencial del M.A.S.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
34
Potencia en una onda
• Como la onda se mueve por la cuerda, esta energía
pasa por un punto dado de la cuerda en un intervalo de
tiempo de un período de oscilación.
• La potencia promedio, o tasa de transferencia de
energía asociada a la onda es dada por:
• La tasa de transferencia de energía en cualquier onda
sinusoidal es proporcional al cuadrado de la frecuencia y
al cuadrado de la amplitud de la onda
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
35
Ejemplo
• Una cuerda tensa con densidad
se somete a una
tensión de
. ¿Cuánta potencia debe suministrarse a la cuerda
para generar ondas sinusoidales a una frecuencia de
y una
amplitud de
?
• Si la cuerda debe transferir energía a una tasa de
¿cuál
debe ser la amplitud necesaria si todos los otros parámetros
permanecen iguales?
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
36
Ecuación de la Onda
Todas las funciones de onda
son soluciones de la ecuación de onda lineal
Derivamos esta ecuación para ondas en una cuerda
Consideramos un elemento de medio de largo
y las fuerzas que actúan sobre él
Con la aproximación de ángulos pequeños:
Para un determinado instante de tiempo:
y
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
37
Ecuación de la Onda
Solución General:
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
38
Principio de Superposición
Cuando varias ondas se combinan en un punto, el desplazamiento de cualquier
elemento de medio en un tiempo dado es la suma vectorial de los desplazamientos
que produciría cada onda individual que actúe por sí sola, esto se denomina
Principio de Superposición
El principio de superposición de ondas no siempre es válido!
Para ondas mecánicas en medios elásticos el principio de superposición es válido
cuando la fuerza de restitución varía linealmente con el desplazamiento.
Para ondas electromagnéticas es siempre válido.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
39
Patrones de onda complicados
Cuando dos o mas ondas diferentes, que pueden tener diferente amplitud y
longitud de onda se hallan presentes simultáneamente en un medio, podemos
aplicar el principio de superposición en cada punto y obtener un patrón de onda
más complicado que no se parece a las ondas componentes. Sin embargo es una
forma de onda viajera aceptable
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
40
Patrones de onda complicados
Cuando dos o mas ondas diferentes, que pueden tener diferente amplitud y
longitud de onda se hallan presentes simultáneamente en un medio, podemos
aplicar el principio de superposición en cada punto y obtener un patrón de onda
más complicado que no se parece a las ondas componentes. Sin embargo es una
forma de onda viajera aceptable
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
41
Superposición de Ondas
Cuando el principio de superposición es válido permite analizar un movimiento
ondulatorio complicado con una combinación de ondas sencillas
A principios del s.XIX J. Fourier mostró que para construir la forma más general
de una onda periódica, sólo necesitamos ondas armónicas simples
Serie de Fourier
Si el movimiento no es periódico, la suma se reemplaza por una integral.
Las constantes A0, A1, …, B1, B2,… deben escogerse adecuadamente para la onda
que se quiere representar, el procedimiento se denomina análisis de Fourier
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
42
Superposición de Ondas
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
43
Superposición Ondas
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
44
Velocidad de grupo y dispersión
•
•
•
•
•
La onda mantendrá su forma únicamente al viajar por un medio no
dispersivo
En un medio dispersivo, las formas de onda de las ondas sinusoidales
componentes no cambian, pero cada una de ellas puede viajar con una
velocidad de fase diferente. En este caso, la forma de la onda combinada
cambia al alterarse la relación de fase entre las componentes
La dispersión ocurre porque las ondas componentes viajan a velocidades
de fase diferentes
La velocidad de grupo es la velocidad a la cual viaja la información o la
energía en una onda real. No existe una relación sencilla entre la velocidad
de fase de las componentes y la velocidad de grupo de la onda, depende
de la dispersión del medio
La onda puede cambiar también de forma si cede energía mecánica al
medio cuando se presentan fuerzas disipativas (que dependen en general
de la velocidad)
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
45
Dispersión de la luz
• En un medio no dispersivo todas las ondas componentes viajan con la misma
velocidad de fase. El aire es un ejemplo de un medio aproximadamente
no dispersivo. El vacío es un medio no dispersivo.
• En un medio no dispersivo, todas las ondas componentes viajan a la misma
velocidad de fase y la velocidad de grupo de la onda resultante será igual al
valor común de la velocidad de fase
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
46
Interferencia de Ondas
•
•
Cuando dos o más ondas se combinan en un punto determinado, se dice
que ellas interfieren y el fenómeno se conoce como interferencia
Consideremos dos ondas de igual amplitud, frecuencia y longitud de onda
pero diferente fase:
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
47
Interferencia de Ondas
: diferencia de fase
• La onda resultante tiene una amplitud diferente, pero la misma frecuencia y
longitud de onda que las componentes.
• Si la diferencia de fase es cero, se dice que las ondas están en fase y la amplitud
de la resultante es el doble de la amplitud original.
• Si la diferencia de fase es cercana a 180°, la amplitud resultante es casi cero.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
48
Interferencia constructiva
Diferentes constantes de fase para la onda:
La onda resultante al sumar 2 ondas de distinta
fase es representada por la curva negra. La nueva
onda tiene la misma longitud y frecuencia pero
distinta amplitud, en este caso mayor que las
componentes
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
49
Interferencia destructiva
Diferentes constantes de fase para la onda:
λ/4
3λ/4
La onda resultante al sumar 2 ondas con diferencia
de fase 180° es representada por la curva negra.
La nueva onda tiene amplitud cero en este caso
La función coseno es una función par, cos(θ) = cos(- θ)
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
50
Ondas estacionarias
•
•
•
•
Una onda estacionaria consiste de dos ondas de la misma amplitud,
frecuencia y longitud de onda que viajan en el mismo medio en direcciones
opuestas e interfieren
Esta onda estacionaria presenta un patrón de nodos y antinodos.
Los nodos son puntos fijos donde la amplitud del movimiento de un
elemento de medio en ese lugar es cero.
Los antinodos son puntos fijos donde la amplitud del movimiento de un
elemento de medio en ese lugar tiene amplitud máxima
Antinodo
Nodo
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
51
Ondas estacionarias
Consideremos 2 ondas viajeras con la misma amplitud, longitud de onda y frecuencia
que viajan en sentidos opuestos:
Al superponer ambas ondas, el patrón de onda resultante no corresponde a una onda viajera
y la amplitud de vibración de la onda resultante es diferente para cada elemento de medio
amplitud de la onda
Cada partícula experimenta un M.A.S. con frecuencia ω pero la amplitud depende de la posición del elemento de medio
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
52
Nodos y Antinodos
Se presenta un nodo cuando:
n=0,1,2,…
Se presenta un antinodo cuando:
n=0,1,2,…
Dos nodos o dos antinodos consecutivos están separados una distancia λ/2
La separación entre un nodo y un antinodo consecutivo es λ/4
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
53
Nodos y Antinodos
•
Podemos construir ondas estacionarias en una cuerda superponiendo la
onda incidente y la onda reflejada
•
En una cuerda pueden presentarse varias ondas estacionarias diferentes,
las cuales se denominan armónicos
•
Diferente número de nodos » diferente longitud de onda
•
Dado que la velocidad de fase es constante en el medio, diferente longitud
de onda » diferente frecuencia
•
La condición para que se presente una onda estacionaria en una cuerda es
que encontremos 2 nodos en los extremos de la cuerda (de longitud L)
•
Entonces la longitud de la cuerda debe ser igual a un número entero de λ/2
(la separación entre 2 nodos consecutivos)
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
54
Armónicos
Sólo para determinadas frecuencias se presentan ondas estacionarias
Las frecuencias fn se denominan frecuencias naturales
del sistema oscilatorio (la cuerda). Cuando la frecuencia
de la fuerza impulsora coincide con una frecuencia natural
permitida se produce una onda estacionaria y el sistema
comienza a oscilar con gran amplitud. Esto se denomina
condición de resonancia
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
55
Ondas de Sonido
• La onda mecánica longitudinal más conocida es la onda
de sonido. Los elementos de medio vibran (respecto de
su posición de equilibrio) en la misma dirección en la
cual se propaga la onda
• Las ondas sonoras se clasifican como:
– Ondas audibles: 20 [Hz] < f < 20000 [Hz]
– Ondas ultrasónicas o supersónicas: f > 20000 [Hz]
– Ondas infrasónicas: f < 20 [Hz]
• Las ondas sonoras viajan en 3 dimensiones aunque
podemos simplificar la situación haciendo que éstas
viajen en un tubo.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
56
Ondas de Sonido en un Tubo
Consideremos un tubo largo (para poder ignorar la posible
reflexión de ondas) lleno de un medio compresible.
En uno de los extremos del tubo hay un émbolo (o pistón)
que se mueve alternadamente.
Cuando el émbolo se mueve hacia la derecha e izquierda
comprime y enrarece el medio respectivamente.
Compresiones y enrarecimientos pueden considerarse
como aumentos y disminuciones de la densidad local en
relación a su valor promedio, respectivamente.
Equivalentemente, compresiones y enrarecimientos
pueden verse como aumentos y disminuciones de la
presión local.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
compresiones
enrarecimientos
57
Velocidad del Sonido
En ondas longitudinales en fluidos la propiedad elástica que describe cómo responde el
medio a cambios de presión con un cambio de volumen se denomina módulo volumétrico
de elasticidad
El signo menos mantiene B positivo dado que el volumen disminuye con un aumento de presión.
La velocidad del sonido es dada en términos del módulo volumétrico y la densidad de volumen como:
En sólidos el módulo volumétrico
es reemplazado por el módulo de Young
La velocidad del sonido también varía con la temperatura de acuerdo a la relación:
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
58
Velocidad del Sonido
zona de compresión
elemento de fluido
v
A
Consideremos una perturbación que se propaga en un tubo donde se encuentra un
fluido de presión y densidad uniformes. En un sistema de referencia donde la perturbación
permanece estacionaria, el fluido se mueve a la izquierda con rapidez v.
El borde izquierdo de un elemento de fluido entra a la zona de compresión en el tiempo t,
mientras que el borde derecho lo hace en un tiempo t + Δt, donde Δt= Δx/v.
El borde izquierdo del elemento de fluido siente una presión p+ Δp mientras que el borde
derecho siente una presión p. Debido a esta diferencia de presión, el elemento de fluido se
comprime y su velocidad disminuye mientras atraviesa la zona de compresión.
En el borde izquierdo del elemento de fluido la rapidez es v+ Δv con Δv negativo. Luego de
salir de la zona de compresión el elemento se expande y aumenta su rapidez
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
59
Velocidad del Sonido
zona de compresión
elemento de fluido
v
A
Aplicamos la II ley de Newton en el tiempo Δt al elemento de fluido:
F = pA - (p+ Δp)A = - ΔpA
donde la dirección positiva es a la izquierda
Considerando que esta es la única fuerza que actúa sobre un elemento de fluido de volumen
ΔV = A Δx obtenemos:
F = - ΔpA = m a = ρ A Δx Δv / Δt = ρ A v Δt Δv / Δt
luego
ρ v² = - (Δp / Δv)v
Durante el intervalo de tiempo Δt el volumen del elemento de fluido cambia debido a un
cambio en el ancho de este elemento, tenemos:
ΔV / V = A Δv t / (A v Δt ) = Δv / v
dado que
B = - (Δp / ΔV)V
Finalmente obtenemos: v² = B / ρ
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
60
Descripción de una onda de sonido
•
Consideremos un tren continuo de compresiones y
enrarecimientos que viajan a lo largo de un tubo lleno
de fluido.
•
Podemos enfocar nuestra atención en el
desplazamiento de un elemento de medio s(t,x) o en las
variaciones periódicas de la presión en nuestra
ubicación Δp(t,x):
•
•
Ambas descripciones están desfasadas 90° o π/2 rad.
La variación de presión es máxima cuando el
desplazamiento desde el equilibrio es cero y viceversa
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
61
Descripción de una onda de sonido
Fluido sin perturbar
Un elemento de medio experimentará cambios en la posición,
y presión a medida que la onda de sonido se propaga en el fluido
Un cambio de volumen ΔV del elemento de medio
se traduce en un cambio de presión Δp en esa zona:
Fluido perturbado
Tomando el limite para Δx pequeño obtenemos:
Usando la función s(t,x) descrita en la transparencia anterior,
la relación entre B y la rapidez de propagación en el medio y
v = ω / k obtenemos:
Comparando con la expresión para Δp(t,x) en la
transparencia anterior encontramos la relación:
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
62
Potencia suministrada
Al viajar una onda sonora (o una onda de presión), cada elemento de fluido ejerce una
fuerza sobre el elemento que está delante de él, la magnitud de esta fuerza es dada por:
Por otra parte, el movimiento que experimenta un elemento de medio es dado por la función
s(t,x), luego la velocidad con la cual se mueve un elemento de medio estará dada por:
La potencia suministrada por un elemento de medio es dada en términos del trabajo
mecánico W como:
luego dada la relación entre sm y Δpm obtenemos:
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
63
Potencia e Intensidad
Promediando la potencia para un ciclo de oscilación obtenemos:
Al igual que en el caso de una onda en una cuerda (onda transversal), la potencia promedio
depende del cuadrado de la amplitud al cuadrado, ya sea de la presión o del desplazamiento.
La intensidad de una onda o la potencia por unidad de área corresponde a la tasa a la cual
la energía transportada por la onda pasa a través de un área A perpendicular a la dirección
de propagación de la onda.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
64
Intensidad de una fuente puntual
Una fuente puntual emite ondas de sonido igualmente en todas direcciones
De la experiencia cotidiana sabemos que la intensidad de
sonido decrece cuando nos alejamos de la fuente.
r
Dado que los frentes de onda son esferas, el área a una
distancia r de la fuente corresponderá a
, luego la
intensidad toma la forma:
Frentes de onda esféricos emitidos por
una fuente puntual. Los frentes de onda
son proyectados como circunferencias
en el plano de esta hoja
La intensidad de la fuente decrece con el cuadrado de la distancia que separa
el observador de la fuente.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
65
Interferencia de ondas de sonido
E
R
emisor
receptor
Las ondas de sonido emitidas en E
siguen dos caminos diferentes. La
mitad de la energía del sonido toma
el camino de arriba
y la otra
mitad el camino de abajo
Las ondas de sonido que llegan a R
pueden venir de cualquiera de estos
dos caminos
Debido a la superposición de las ondas de sonido en R, las cuales siguen diferentes
caminos, se presenta interferencia entre estas ondas de sonido.
Si la diferencia de camino es un múltiplo entero de λ (longitud de onda) se presenta
interferencia constructiva. Si la diferencia de camino es un múltiplo semi-entero de λ,
se presenta interferencia destructiva.
Puede aparecer una diferencia de fase cuando dos ondas generadas por la misma
fuente viajan por caminos diferentes de distinta longitud.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
66
Interferencia de ondas de sonido
Interferencia Constructiva:
Las ondas estarán en fase en el receptor. Se detecta un máximo en la intensidad de sonido
En términos de la constante de fase, se presenta interferencia constructiva cuando:
Interferencia Destructiva:
Las ondas estarán completamente fuera de fase en el receptor (180°). Se detecta un mínimo
en la intensidad de sonido.
En términos de la constante de fase, se presenta interferencia destructiva cuando:
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
67
Ondas de sonido estacionarias
Es posible encontrar ondas de sonido estacionarias para determinadas frecuencias de
vibración. La frecuencia de vibración depende de si tratamos con un tubo abierto o
cerrado. Las ondas estacionarias se generan con una onda de sonido viajera incidente y
la onda reflejada en el extremo del tubo en el cual se propaga la onda
En un tubo cerrado el extremo cerrado corresponde a un nodo de desplazamiento
debido a que en el extremo cerrado la pared no permite el movimiento longitudinal de las
moléculas de aire. La onda reflejada esta 180° fuera de fase con la onda incidente. Este
punto corresponde a un antinodo de presión (puesto que la presión y el desplazamiento
están 90° fuera de fase)
En un tubo abierto el extremo corresponde aproximadamente a un antinodo de
desplazamiento y un nodo de presión, la presión en el extremo abierto corresponde a la
presión atmosférica (cuando el tubo está en contacto con el aire)..
En el extremo de un tubo abierto hay un cambio en la forma del medio, allí el medio es
libre de moverse en una región más grande.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
68
Tubo abierto
En este caso la condición es que se presenten antinodos de desplazamiento en los extremos
primer armónico
segundo armónico
tercer armónico
Tubo abierto en ambos extremos
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
69
Tubo cerrado
En este caso la condición es que se presente 1 nodo de desplazamiento en el extremo
cerrado y un antinodo de desplazamiento en el extremo abierto
primer armónico
tercer armónico
quinto armónico
Tubo cerrado en un extremo
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
70
Intensidad de Sonido en decibeles
•
•
Los sonidos más débiles que el oído humano puede detectar a una
frecuencia de 1000 [Hz] corresponden a una intensidad de
denominado umbral de audición. Los sonidos más fuertes que el oído
puede tolerar a esta frecuencia corresponden a una intensidad de
conocido como el umbral del dolor
Como el oído humano puede detectar un amplio rango de intensidades,
se escoge una escala logarítmica para indicar la intensidad de sonido
El umbral del dolor corresponde a…
El umbral de audición corresponde a…
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
71
Ejemplo
• Dos máquinas idénticas están ubicadas a la misma
distancia de un trabajador. La intensidad del sonido
entregado por cada máquina en la ubicación del
trabajador es de
. Encuentre la
intensidad del sonido en dB en la ubicación del
trabajador cuando opera una máquina y cuando operan
las dos.
• Como regla, duplicar el volumen (que depende en
general de la intensidad y la frecuencia) corresponde a
un incremento de 10 dB de intensidad. Si en el ejemplo,
el volumen se duplica, ¿cuántas máquinas estarían
operando?
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
72
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
73
Efecto Doppler (1842)
• Todos hemos notado que el sonido de
un tren cambia cuando éste se mueve
pasando por nuestra posición.
• La frecuencia del sonido es más alta
cuando el tren se aproxima que
cuando se aleja
• Este fenómeno se conoce como
Efecto Doppler.
• Este principio se utiliza para
determinar la rapidez de un automóvil
en una carretera y también para
determinar las velocidades de las
estrellas.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
74
Efecto Doppler
•
Si una fuente puntual emite ondas de sonido y el medio de propagación es
uniforme, las ondas se mueven con la misma rapidez en todas direcciones:
radialmente alejándose de la fuente, este patrón corresponde a un frente de
ondas esférico
•
El efecto Doppler ocurre porque la rapidez relativa entre el observador y el
emisor depende de la dirección de viaje y de la rapidez del observador
•
Cuando el observador se mueve hacia la fuente, la rapidez relativa es
mayor que la rapidez de propagación, lo que conduce a un incremento de
la frecuencia
•
Cuando el observador se aleja de la fuente, la rapidez relativa es más baja,
al igual que la frecuencia
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
75
Efecto Doppler
•
•
•
Un frente de ondas esférico se representa
en el cuaderno como círculos concéntricos
con la fuente. Cada arco representa una
superficie en la cual la fase de la onda es
constante. La distancia entre frentes de
onda adyacentes corresponde a la longitud
de onda
Consideremos una fuente estacionaria que
emite ondas de sonido (fuente en reposo
respecto al medio de propagación) y un
observador en movimiento
Consideremos una fuente en movimiento y
un observador estacionario
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
Observador B
Observador A
76
Observador móvil, fuente en reposo
Dado que la fuente está estática, la longitud de onda es constante
Si el observador se mueve hacia la fuente, la rapidez
de las ondas relativa al observador es mayor:
rapidez de
propagación
que mide el
observador
en movimiento
rapidez de
propagación
que mide un
observador
en reposo
rapidez con
la cual se
mueve el
observador
El observador mide un frecuencia
mayor si se acerca a la fuente
Si el observador se aleja de la fuente, la frecuencia medida por el observador sería menor y
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
77
Observador en reposo, fuente móvil
Si la fuente se mueve hacia el observador, la longitud de onda
medida por el observador es más corta que la longitud de onda
emitida por la fuente
Observador B
Durante cada vibración la fuente se mueve una distancia
donde T es el período de la vibración
Observador A
La longitud de onda medida por el observador es:
rapidez de la fuente
El observador mide un frecuencia
mayor si la fuente se acerca
Si la fuente se aleja del observador, la frecuencia medida por el observador decrece y
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
78
Caso general
el observador se acerca a la fuente
el observador se aleja de la fuente
la fuente se acerca al observador
la fuente se aleja del observador
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
79
Ejemplo
• Un reloj despertador suena con una
frecuencia de 600 [Hz]. Una mañana el
reloj despertador se descompone y no es
posible apagarlo, el dueño de mal humor
lo deja caer desde su la ventana en un
cuarto piso a 15 [m] de altura. ¿Cuál será
la frecuencia que oirá la persona justo
antes de que el reloj impacte el piso?
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
80
Ondas de Choque
La fuente se mueve desde S0 a Sn en un tiempo t
En este caso se tiene la particularidad de que la
rapidez de la fuente es mayor que la rapidez de
propagación de las ondas en el medio
Todos los frentes de onda quedan “envueltos”
por un cono, el cual es tangente a los frentes de
onda emitidos entre 0 y t. Se tiene la relación:
El número de Mach se define como:
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
81
Ondas
• Ondas mecánicas (medio)
– Ondas en una cuerda (transversales)
– Ondas de sonido en un tubo (longitudinales)
•
•
•
•
•
Descripción de ondas viajeras
Velocidad de fase de una onda
Interferencia
Ondas estacionarias: armónicos
Energía: potencia media e intensidad
• Ondas electromagnéticas (vacío)
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
82
Ondas electromagnéticas
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
83
longitud de onda en [cm]
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
84
Ecuaciones de Maxwell
•
•
•
•
Todos los fenómenos eléctricos y magnéticos pueden ser compilados en cuatro
ecuaciones fundamentales, las ecuaciones de J.C. Maxwell (1831-1879)
Estas ecuaciones predicen la existencia de ondas electromagnéticas que viajan
a la velocidad de la luz (encontradas por Heinrich Hertz en 1887)
La teoría muestra que estas ondas son radiadas por cargas acelerando
Maxwell unificó el estudio de la luz y el electromagnetismo: la luz es una onda
electromagnética
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
85
Ecuaciones de Maxwell (vacío)
Ley de Gauss: el flujo eléctrico total a través de
cualquier superficie cerrada es proporcional a la
carga neta al interior de la superficie.
Ley de Gauss: el flujo magnético total a través de
cualquier superficie cerrada es cero. No existen
monopolos magnéticos.
Ley de Inducción de Faraday: la variación de un flujo
magnético en el tiempo genera un campo eléctrico.
Ley de Ampere-Maxwell: la variación de un flujo
eléctrico en el tiempo y una corriente eléctrica generan
un campo magnético.
Una partícula cargada en presencia de un campo
electromagnético sentirá la Fuerza de Lorentz:
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
86
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
87
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
88
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
89
Vector de Poynting y densidad de energía
El vector de Poynting sirve para determinar el contenido de energía de una OEM
La densidad de energía promedio de una
OEM se relaciona con la intensidad:
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
90
Ejercicios
• La estrella Polaris está a una distancia de
si Polaris se quemara completamente hoy ¿en qué año
usted la vería desaparecer?
• ¿Cuánto tiempo tarda la luz de un rayo en llegar a
nosotros si éste es producido a 10 [km] de distancia?
¿Cuánto tiempo tarda el sonido de este rayo en
alcanzarnos?
• Un pulso de radar retorna al emisor después de un
tiempo de viaje total de
. ¿Qué tan lejos está
el objeto que refleja la onda?
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
91
Ejercicios
• Una fuente de luz monocromática con una potencia de
salida de 60 [W] irradia luz uniformemente en todas
direcciones con una longitud de onda de 700 [nm].
Calcule Em y Bm de esta luz a 5 [m] de la fuente
• Una onda electromagnética sinusoidal emitida por un
teléfono celular tiene una longitud de onda de 35.4 [cm]
y una amplitud de campo eléctrico de
a
una distancia de 250 [m] de la fuente. Calcule la
frecuencia de la onda, la amplitud del campo magnético
y la intensidad de la onda
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
92
Ejercicios
• En una región del espacio libre el campo eléctrico y el campo
magnético en un instante determinado de tiempo son:
Demuestre que estos campos son perpendiculares y calcule el
vector de Poynting
• Un láser de He-Ne emite luz roja visible con una potencia de 3.6
[mW] en un haz que posee un diámetro de 4.0 [mm] ¿cuál es la
amplitud del campo eléctrico? ¿cuál es la densidad media de
energía asociada al campo magnético? ¿cuál es la energía total
contenida en una longitud de 0.5 [m] de este haz?
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
93
Ejercicios
• Un tren se mueve paralelo a una carretera con una rapidez constante
de 20 [m/s]. Un auto viaja en la misma dirección que el tren con una
rapidez de 40 [m/s]. La bocina del auto suena a una frecuencia de
510 [Hz] y el silbato del tren a una frecuencia de 320 [Hz].
– Cuando el auto esta detrás del tren, ¿qué frecuencia escucha el
ocupante del auto para el silbato del tren?
– Después que el auto pasa y esta delante del tren, ¿qué frecuencia
escucha un pasajero del tren para la bocina del auto?
• Estando de pie en un cruce peatonal, una persona escucha un
sonido de 560 Hz de frecuencia proveniente de la sirena de una
ambulancia que se aproxima. Después que pasa la ambulancia, la
frecuencia escuchada de la sirena es de 480 Hz. Determine la
rapidez de la ambulancia a partir de estas observaciones.
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
94
Ejercicios
• Una cuerda de guitarra de 60,0 cm de longitud y 6,00 g de masa
esta sometida a una tensión de 50 [N]. ¿Cuál es la frecuencia
armónica más alta que puede escuchar una persona con un límite
superior de audición de 20 [kHz]?
• Si se determina que dos frecuencias naturales adyacentes de un
tubo de órgano (abierto) son 550 [Hz] y 650 [Hz], calcule la
frecuencia fundamental y la longitud de este tubo (v = 340 [m/s]).
II 2010 MAC
Fisica III --- UBB
95