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1er cuatrimestre (2009) Álgebra 1 Trabajo Práctico Nº 3 : “Inducción Completa” 1) Probar por inducción que la suma de los cubos de los n primeros números naturales es n 2 n 1 . 4 2 2) La Suma Geométrica: Sean a R y r 1 Probar que para todo número natural n , vale: a ar ar ar ... ar 2 3 n 1 a 1 rn . 1 r 3) Demostrar que si n es un entero positivo, son válidas las siguientes igualdades: a) 13 33 53 ... 2n 13 n 2 2n 2 1 n n 1 2 2 2 2 2 b) 1 2 3 4 ... 1 n 2 1 c) 1.2 2.3 3.4 ... nn 1 nn 1n 2 3 n 1 n 1 7 n1 7 d) 7 6 i 1 n i n e) 1 n j ( j 1) n 1 j 1 n f) k 2 k 1 n g) 2i i 1 i nn 12n 1 6 2 n2 2n Definición: Sean m y n números enteros. Si existe un entero k tal que n m.k , se dice que n es múltiplo de m , o bien que m divide a n y se simboliza: m n . Por ejemplo: 3 6 , pues 3.2 6 k 2 es entero . 4) Probar, usando el principio de inducción, las siguientes relaciones: a) 3 10 n1 10 n 1 b) 2 n 2 n c) 4 5 n 1 5) Demostrar que 9 divide a toda suma de tres números naturales consecutivos. 1 1er cuatrimestre (2009) Álgebra 1 6) Un número natural n es par si es de la forma n 2m , donde m es también natural y n es impar si es de la forma n 2m 1 , con m natural o cero. Probar por inducción que todo número natural es par o es impar. 7) Dada la proposición: “Al sumarle a un número natural el triple de su cuadrado y el doble de su cubo, siempre se obtiene un múltiplo de 6.” a) Escribirla simbólicamente. b) Demostrarla. 8) a) Probar que si n es un entero mayor o igual que 2 y si z1 , z 2 ,...,z n son complejos, entonces vale la igualdad: z1 z2 ... zn z1 z2 ... zn . b) ¿Qué se deduce en caso de que los complejos z1 , z 2 ,...,z n sean iguales? 9) Demostrar el teorema de De Moivre para potencias naturales de un complejo no nulo. 10) (Para Matemáticos) Determinar, analizando ejemplos, a qué es igual: a) La suma de los n primeros múltiplos naturales de 3. (Ayuda: Ver ejemplos en teoría) b) La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados. En cada caso, demostrar por inducción la validez de su conjetura. 2