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1er cuatrimestre (2008)
Álgebra 1
Trabajo Práctico Nº 3 : “Inducción Completa”
Principio de Inducción Completa
Sea Pn una función proposicional, donde n  N . Si n0 es un número natural tal que:
1- La proposición Pn0  es verdadera
2- Para todo natural k  no , la verdad de Pk  implica la verdad de Pk  1
Entonces se puede concluir que Pn es verdadera para todo natural n  n0 .
1) Demostrar que la suma de los cubos de los n primeros números naturales es igual a
n 2 n  1
.
4
2
2) Probar que para todo número natural n , vale:
a  ar  ar 2  ar 3  ...  ar n 1 

a 1 r n
1 r

, si r  1 , a  R .
3) Demostrar que si n es un entero positivo, son válidas las siguientes igualdades:


a) 13  33  53  ...  2n  13  n 2 2n 2  1
n n  1
2
2
2
2
2
b) 1  2  3  4  ...   1
n 2   1
c) 1.2  2.3  3.4  ...  nn  1 
nn  1n  2
3
n 1
n
d)
 7i 
i 1
n
e)
n 1
7 n1  7
6
1
n
 j ( j  1)  n  1
j 1
n
f)
k
2
k 1
n
g)
 2i
i 1
i

nn  12n  1
6
 2
n2
2n
1
1er cuatrimestre (2008)
Álgebra 1
Definición: Sean m y n números enteros. Si existe un entero k tal que
n  m.k ,
se dice que n es múltiplo de m , o bien que m divide a n y se simboliza: m n .
Por ejemplo: 3 6 , pues 3.2  6
k  2 es entero .
4) Probar, usando el principio de inducción, las siguientes relaciones:
a) 3 10 n1  10 n  1
b) 2 n 2  n
c) 4 5 n  1
5) Demostrar que 9 divide a toda suma de tres números naturales consecutivos..
6) Un número natural n es par si es de la forma n  2m , donde m es también natural y n es
impar si es de la forma n  2m  1 , con m natural o cero. Probar por inducción que todo
número natural es par o es impar.
7) Dada la proposición: “Para todo número natural, la suma del mismo más el triple de su
cuadrado más el doble de su cubo, es un número divisible por 6.”
a) Escríbala simbólicamente
b) Demuestre la proposición dada.
8) a) Demostrar que si n es un entero mayor o igual que 2 y si z1 , z 2 ,...,z n son complejos,
entonces vale la igualdad:
z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn .
b) ¿Qué se deduce en caso de que los complejos z1 , z 2 ,...,z n sean iguales?
9) Demostrar el teorema de De Moivre para potencias naturales de un complejo no nulo.
10) (Para Matemáticos) Determinar, analizando ejemplos, a qué es igual:
a) La suma de los n primeros múltiplos naturales de 3. (Ayuda: Ver ejemplos en teoría)
b) La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados.
En cada caso, demostrar por inducción la validez de su conjetura.
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