Download Problemas propuestos – ET estelar 2016 enero Índice

Problemas propuestos – ET estelar 2016 enero
Índice
Problemas propuestos – ET estelar 2016 enero
1
Procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribución Maxwell-Boltzmann [Laurence Sabin]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un modelo sencillo de envolvente radiativa [Dany Page]
2
2
5
. . . . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Atmósferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Inestabilidad convectiva [Teresa García]
Línea de absorción [Yilen Gómez Maqueo]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Parámetros estelares en sistema binario [Will Henney]
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Procesos
Distribución Maxwell-Boltzmann
[Laurence Sabin]
(a) Definir el concepto de distribución de Maxwell-Boltzmann (no se requiere la ecuación matemática)
(b) Basándose en la ecuación de la distribución de Maxwell-Boltzmann en función de la velocidad:
n(v)d (v) = 4πn(
m 3 2 − mv 2
) 2 v e 2kT d v
2πkT
Mostrar que en términos de energía E tenemos:
n(E )d (E ) =
2πn
(πkT )
E
3
2
E 1/2 e − kT d E
y explicar los términos n(v),n(E ) y n.
(c) Mostrar que la velocidad más probable para una partícula en una distribución de MaxwellBoltzmann es:
s
v=
2kT
m
(d) De manera similar al inciso (a) definir el concepto de distribución de Boltzmann, esta vez
explicando los diferentes parámetros de la ecuación que la representa.
(e) En el caso de los niveles ligados de hidrógeno, determinar a qué temperatura tendremos el
mismo número de átomos en el estado base (n = 1) y en el segundo estado excitado.
Ayuda: k = 8.617 × 10−5 eV/K, g n = 2n 2 .
2
Procesos
Distribución Maxwell-Boltzmann
SOLUCIONES
Solución
a) Distribución de probabilidad que describe la velocidad de
moléculas o átomos de un gas en estado de equilibrio termodinámico. (palabras claves)
b)
1) Empezar con la distribución de M-B definida en función de la velocidad
2) La energı́a cinética es E= 12 mv2
1
3) La derivada de cada lado da: dE
= mv y mv
dE= dv
dv
4) Incluyendo esos en 1) tenemos:
3
m
n(E, v)dE = 4⇡n( 2⇡kT
) 2 mv e
E
kT
dE
5)qSe puede re-escribir la energı́a cinética para sacar la velocidad:
v = 2E
m
6) Obtenemos:
q
3
E
m
2E
kT dE
n(E)dE = 4⇡n( 2⇡kT
)2 m
3e
y finalmente
n(E)dE =
2⇡n
3
(⇡kT ) 2
E 1/2 e
E
kT
dE
n:Numero de particulas per unidad de volumen.
n(v): Numero de particulas per unidad de volumen con velocidad entre
v y v+ v.
n(E): Numero de particulas per unidad de volumen con energı́a entre
E y E+ E.
c)
1) Empezar con la distribución de M-B definida arriba
2) Para maximizar una función debemos saber cuando su derivada es
nula:
i.e
d
n(v)=0
dv
3) Quitando las constantes:
2
3
Procesos
Distribución Maxwell-Boltzmann
4) Derivando:
5) Se obtiene:
6) Resolviendo la ecuación por v y guardando la parte positiva obtenemos:
q
v = 2kT
m
d)
Si tenemos átomos a una temperatura T, los electrones de esos átomos pueden ser en diferentes niveles de energı́a (e.g. Ea es la energı́a
del nivel a) . La distribución de Boltzmann nos dice cual es la razón
del numero de átomos en el estado “a” respecto al numero en el estaNb
do “b” (e.g. N
). Tomando en cuenta la degeneración de cada estado
a
(e.g. ga , gb ) la distribución de Boltzmann, que finalmente representa la
función de probabilidad de distribución la energı́a de las partı́culas se
describe:
Nb
Na
=
gb
e (Eb Ea )/(kT )
ga
e)
Usando la ecuación de Boltzmann:
que
En = -13.6 n12 eV
Nb
Na
Entonces:
E1 = -13.6 eV y E3 = -1.51 eV
T=
12,09
=
kln9
6.4⇥104 K
3
4
=
gb
e (Eb Ea )/(kT )
ga
y recordando
Estructura
Un modelo sencillo de envolvente radiativa
[Dany Page]
Consideremos las capas externas de una estrella, su envolvente, suponiendo que estén en equilibrio
radiativo, es decir que no hay convección. Supondremos que la masa, m(r ), y la luminosidad, l (r ),
en esta envolvente son constantes, es decir l (r ) = L, la luminosidad total de la estrella, y m(r ) = M ,
la masa total de la estrella. (La envolvente puede ser bastante gruesa, así que no supondremos
que r = R.) También supondremos que la ecuación de estado es la de un gas ideal, P = (R/µ)ρT
(donde R es la constante de los gases y µ el “peso molecular promedio” del gas), y la opacidad es
de tipo Kramer, κ ≃ kρT −3.5 , (donde k es una constante).
(a) ¿Qué tipo de procesos resultan en una opacidad de tipo Kramer?
(b) ¿Para qué rango de masa en la secuencia principal este tipo de modelo de envolvente puede
ser relevante?
(c) De las ecuaciones de estructura (listadas abajo) deducir una ecuación para
dT
dP
. Mostrar que la
solución a esta ecuación, bajo las hipótesis de gas ideal y opacidad tipo Kramer, es de la forma
T n = B (P 2 +C ) donde C es una constante de integración, y encontrar los valores de n y B .
(d) La suposición de ausencia de convección significa que d log T /d log P < ∇ad = 0.4: ¿bajo qué
condiciones la solución del inciso anterior satisface esta condición de auto-consistencia del
modelo?
Ayuda: las ecuaciones de masa, equilibrio hidrostático y transporte de calor son:
dm
= 4πr 2 ρ
dr
dP
Gmρ
=− 2
dr
r
dT
3κρ l
=−
dr
16πac r 2 T 3
5
Estructura
Un modelo sencillo de envolvente radiativa
Solución
6
Estructura
Inestabilidad convectiva
Inestabilidad convectiva
[Teresa García]
Considere una estrella cuyo gradiente de temperatura no es igual a (d T /d r )ad . Empezemos con
Burbuja
una burbuja de gas adiabática, que tiene igual
Pf
b
b
Tf
b
ρf
presión, densidad y temperatura que sus alrededores. Suponga que se perturba a la burbuja
haciéndola subir una distancia d r , tal como se
Alrededores
P
s
s
s
T ρ
muestra en la figura. La burbuja continúa con
la misma presión que sus nuevos alrededores
pero con diferente temperatura y densidad. Si
Pi
la burbuja inicialmente tenía una densidad ρ bi ,
b
b
Ti
b
ρi
la densidad final es ρ bf donde,
ρ bf = ρ bi +
d ρb
dr
dr
(a) Encuentre las densidades finales de la burbuja y del gas de los alrededores.
(b) Calcule la fuerza neta que siente la burbuja.
(c) Del inciso anterior escriba la ecuación de movimiento para la burbuja. Explique detalladamente el comportamiento de la solución a esta ecuación.
Solución
(a) Puesto que la burbuja es adiabática,
P b d ρb
dPb
= γa ib
,
dr
ρ dr
i
donde P ib
es la presión inicial de la burbuja. Entonces la densidad final de la burbuja es:
ρ bf = ρ bi +
ρ bi d P b
dr
γa P b d r
i
Como el gas de los alrededores no es adiabático no podemos sustituir el término de d P /d r ,
así la densidad final de los alrededores es:
ρ sf = ρ is +
d ρs
dr
dr
(b) La burbuja siente dos fuerzas: la gravedad y la fuerza de flotación. La fuerza de gravedad por
unidad de volumen en la burbuja desplazada es:
Ã
f g = −ρ bf g
=−
ρ bi
7
!
ρ bi d P b
+
dr g
γa P b d r
Estructura
Inestabilidad convectiva
La fuerza de flotación por unidad de volumen esta dada por el principio de Arquímedes,
f f = ρ sf g = (ρ is +
d ρs
d r )g
dr
sumando la fuerza de gravedad y la fuerza de flotación, da la fuerza neta.
µ
¶
1 dρ
1 dP
f net =
−
ρg d r
ρ d r γa P d r
donde P b = P s y ρ bi = ρ is por lo que los superíndices no son necesarios.
(c) La segunda ley de Newton nos dice que el desplazamiento, d r , de la burbuja obedece:
f net
d2
(d r ) =
= Ag d r
dt2
ρ
Esta es la ecuación de movimiento para un oscilador armónico, donde:
A=
1 dρ
1 dP
−
ρ d r γa P d r
La solución a la ecuación de movimiento de un oscilador armónico es:
d r = C ei N t
con
p
N = ± −Ag =
sµ
¶
1 dP
1 dρ
g
g−
γa P d r
ρ dr
N es la frecuencia de oscilación conocida como la frecuencia de Brunt-Väisälä.
Si N es real las soluciones son oscilaciones y el sistema es estable. Si N es imaginario, entonces
las soluciones corresponden a un modo de decaimiento y crecimiento exponencial y el sistema
es inestable. La inestabilidad convectiva corresponde al caso cuando N es imaginario.
8
Atmósferas
Línea de absorción
[Yilen Gómez Maqueo]
Adaptado de L. Fossati et al. 2010 ApJ 720 872
La línea espectral Hα cuya longitud de onda en reposo es λ = 6562.8 Å (mostrada en la figura) es
un buen diagnóstico de temperatura para estrellas similares al Sol. La temperatura efectiva se
deriva al comparar un espectro observado con espectros teóricos basados en modelos ETL (o
LTE por sus siglas en inglés) de atmósferas estelares incluyendo líneas espectrales. En la figura, la
línea continua negra muestra el espectro observado de una estrella; la línea gris continua muestra
el mejor ajuste con un modelo con una temperatura efectiva de 6250 K, y las líneas punteadas
representan el error en la temperatura efectiva derivada de ±100 K.
(a) ¿Cómo se llama la serie del átomo de hidrógeno de la que es parte la transición responsable
de la formacíon de la línea de Hα? ¿De qué nivel a qué nivel cuántico principal (n) ocurre la
transición que produce esta línea?
(b) Explica porqué las líneas espectrales de las estrellas están principalmente en absorpción.
(c) ¿Por qué el centro de la línea del espectro observado difiere significativamente de los espectros
teóricos?
(d) Si el ensanchamiento natural de la línea de Hα es varios órdenes de magnitud más pequeño
que el ensanchamiento térmico, y la gravedad superficial y el ensanchamiento rotacional de
los espectros teóricos permanece constante, ¿cuál es el espectro teórico en la figura (línea
punteada) que corresponde a la temperatura efectiva de 6350 K?
9
Atmósferas
Línea de absorción
Solución
(a) La línea de Hα es formada por la transición del nivel n = 3 al nivel n = 2 del átomo de hidrógeno
y forma parte de la Serie de Balmer.
(b) [R ESPUESTA DE W ILL ] Yo buscaría la mayoría de los siguientes puntos en una respuesta:
1. Que la opacidad a la frecuencia de la línea es más alto que en el continuo adyacente
2. Entonces la línea “se forma” (τ ∼ 1) en las capas más externas de la atmósfera (comparado
con el continuo que se forma en las capas más profundas)
3. Que la intensidad emergente es igual a la función fuente en τ ∼ 1
4. Que la función fuente es mayor a mayores profundidades (por lo general), y que en ETL
esto se debe al gradiente de temperatura
5. Por lo tanto, que la intensidad es mayor a frecuencias donde la opacidad es menor, y así se
ve la línea en absorción
[R ESPUESTA ORIGINAL DE Y ILEN ] Las líneas espectrales estelares son principalmente en absorpción porque la radiación que se crea en el interior de las estrellas tiene que atravesar la
atmósfera estelar que está a una temperatura más baja.
(c) La opacidad en el centro de la línea es mucho más alta que en las alas y por lo tanto la
suposición de Equilibrio Termodinámico Local es menos adecuada. El centro (o core) de la
línea se forma más afuera en la atmósfera estelar, mientras que las alas se forman cerca de
dónde se forma el contínuo.
(d) El ensanchamiento térmico de la línea debido al aumento de temperatura efectiva es más
significativo a más alta temperatura. El espectro teórico que corresponde a la temperatura
más elevada de 6350 K es la línea punteada que está más abajo que el espectro de 6250 K.
10
Evolución
[Will Henney]
Parámetros estelares en sistema binario
Un sistema binario visual se encuentra a una distancia de 100 parsecs, y con coordenados galácticos (l , b) = (175◦ , +85◦ ). Las dos estrellas del sistema, I y II, tienen las siguientes magnitudes
aparentes en los filtros V y B :
Estrella I :
mV = 3.16;
m B = 4.61
Estrella II :
mV = 16.00;
m B = 15.75
=
=⇒
Tipo espectral
Tef , K
BC
B −V
O5
40000
−4.0
−0.35
B0
28000
−2.8
−0.31
B5
15500
−1.5
−0.16
A0
9900
−0.4
0.00
A5
8500
−0.12
+0.13
F0
7400
−0.06
+0.27
F5
6600
0.00
+0.42
• Luminosidad: L ⊙ = 3.826 × 1033 erg s−1
G0
6000
−0.03
+0.58
G5
5500
−0.07
+0.70
• Magnitud absoluta: M bol,⊙ = 4.74
K0
4900
−0.2
+0.89
• Radio: R ⊙ = 6.96 × 1010 cm
K5
4100
−0.6
+1.18
M0
3500
−1.2
+1.45
• Temperatura efectiva: T⊙ = 5770 K
M5
2800
−2.3
+1.63
TABLA DE DATOS SEGÚN EL TIPO ESPECTRAL
• Temperatura efectiva, Tef
• Corrección bolométrica, BC
• Índice de Color, B − V .
DATOS SOLARES :
(a) Encuentre el tipo espectral y temperatura efectiva de cada estrella. Use la interpolación
lineal en la tabla en caso necesario. Justifique porqué se puede despreciar en este caso el
enrojecimiento y extinción por polvo interestelar.
(b) Encuentre la magnitud bolométrica absoluta de cada estrella y su luminosidad en unidades
de la luminosidad del sol.
(c) Encuentre el radio de cada estrella en unidades del radio del sol.
(d) Describa la etapa evolutiva de cada estrella.
(e) Suponga que las dos estrellas se formaron al mismo tiempo y que son de la Población I. ¿Cuál
estrella es la más masiva actualmente? ¿Cuál estrella fue la más masiva inicialmente? Justifique
plenamente su respuesta.
11
Evolución
Parámetros estelares en sistema binario
Solución
(a) Estrella I tiene B −V = 1.45, que corresponde a tipo espectral M0 y Tef = 3500 K. Estrella II tiene
B − V = −0.25. Interpolando en la tabla da tipo espectral B2 y Tef = 23 000 K. La cercanía del
sistema y su ubicación por encima del plano galáctico justifican el desprecio de la extinción.
(b) M bol = mV + BC − 5 log10 (D/10 pc). Este da M bol = 3.16 − 1.2 − 5 = −3.04 para I, y M bol =
16.0 − 2.28 − 5 = 8.72 para II. Luego, usando L/L ⊙ = 100.4(Mbol,⊙ −Mbol ) , encontramos L = 1296 L ⊙
para I, y L = 0.0256, L ⊙ para II.
(c) Usamos Stefan-Boltzmann: L = 4πR 2 σTef4 , pero en unidades solares: R/R ⊙ = (L/L ⊙ )1/2 (T /T⊙ )−2 .
p
Para estrella I, Tef = 0.6T⊙ , entonces R = 1296 × (0.6)−2 = 100 R ⊙ . Para estrella II, Tef = 4T⊙ ,
p
entonces R = 0.0256 × (4)−2 = 0.01 R ⊙ .
(d) Estrella I es una gigante roja, o una AGB. Es una estrella pos-secuencia principal, que está
quemando hidrógeno (y helio si es AGB) en una cáscara alrededor de un núcleo inerto. Estrella
II es una enana blanca.
(e) La Estrella I es probablemente la más masiva actualmente. La enana blanca debe tener masa
de ∼ 0.6 M ⊙ (tal vez hasta 0.9 M ⊙ ), mientras que una gigante de Población I debe ser > 1 M ⊙
o todavía estaría en secuencia principal. Pero la Estrella II debe de haber sido más masiva
originalmente para que pudiera evolucionar más rápido y llegar primero a ser una enana
blanca.
12