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CANTIDADES OBSERVACIONALES
 ‘Astrophysics I: Stars’(1984), ‘Astronomy Today’ (2001)
SISTEMAS DE MEDIDA DE BRILLO (Sesión 1)
● Posición de una estrella en el cielo: sistema de
coordenadas ecuatoriales (SCE). Dado un objeto en una
posición n, trazamos la circunferencia que pasa por los
polos, es perpendicular al ecuador y contiene a n.
DECLINACION (δ) ► Distancia angular del objeto, a
partir del ecuador. Los polos N y S tienen una declinación
de  90º, respectivamente
ASCENSION RECTA () ► Se cuenta de 0º a 360º (más
habitualmente, entre 0 h y 24 h), desde el punto  Aries
(equinocio de primavera) hacia el este.
El ecuador celeste es el plano que
contiene al círculo ecuatorial terrestre.
Los polos celestes son extensiones de
los polos terrestres: norte (N) y sur (S).
N
Eje fijo
Precesión luni-solar
(P = 25800 años) 
● Distancia a una estrella próxima: método del paralaje trigonométrico. El paralaje p
(en segundos de arco) es la mitad del ángulo subtendido en la estrella por el diametro de la
órbita terrestre (es decir, 2 UA). La unidad de distancia es el parsec o pc. Una estrella cuyo
paralaje es de 1, está situada a una distancia de 1 pc (aprox. 3,3 años-luz o 3  1018 cm).
sen (/2) = 1 (UA) / r (UA)
n2
n1
cos  = n1 ● n2
/2 (rad)  1 / r (UA)
p () = 1 / r (pc)
distancias grandes (r grandes) ► paralajes pequeños
(p pequeños)
Más de un millón estrellas en el entorno solar tienen
paralajes medidos con precisión (p  0,005 , d  200
pc)
● Además de la posición y la distancia, podemos medir el brillo de una estrella. El ritmo
total de producción de energia (ej., erg seg-1), se denomina luminosidad absoluta L y no es
observable de forma directa. La cantidad que podemos medir es la luminosidad aparente l.
Este nuevo observable se define como el ritmo al cual se recibe la energia en una unidad de
área en la Tierra (ej., erg seg-1 cm-2). Despreciando las pérdidas de energia:
l = L / 4r2
Midiendo l y r se puede estimar la
luminosidad absoluta L
 Midiendo l y conociendo L se puede
estimar la distancia r: r  200 pc !
Brillo en magnitudes:
m = - 2,5 log l + k
y M = - 2,5 log L + K
m = M + 5 log r + C , C = - 5
La magnitud aparente de cualquier estrella se determina especificando la magnitud de una
estrella de calibración: m = - 2,5 log (l/lcal) + mcal
La atmósfera tiene un factor de transmisión A(n), y el telescopio (lentes, filtro, etc.) está
caracterizado por otro factor de transmisión T(n). Por ejemplo, imaginemos una medida con
un telescopio óptico terrestre, usando un filtro rojo como el de la figura adjunta.
nR
Si en condiciones ideales, el flujo de energia
a la frecuencia n es l(n) erg cm-2 seg-1 Hz-1,
con el telescopio (en condiciones
instrumentales y atmosféricas reales),
medimos: lR = R A(n) T(n) l(n) dn . Así,
podemos definir una magnitud para el filtro o
banda R, mR = - 2,5 log lR + cte .
Es más conveniente trabajar con una magnitud monocromática
m(nR) = R = - 2,5 log R A(n) T(n) l(n) dn / R A(n) T(n) + kR = - 2,5 log l(nR) + kR
Actualmente se usan varios sistemas de filtros. Por ejemplo, se suele usar el sistema
UBVRI: desde el ultravioleta cercano (U) hasta el infrarrojo cercano (I). También se
trabaja con índices de color U – B, B – V, etc.
Para una estrella normal muy caliente (28000 K), B – V = - 0,31, mientras que para una
estrella algo mas fria (9900 K), B – V = 0, y para una aún más fria (2800 K), B – V = 1,63.
La estrella más caliente (B – V = - 0,31) emite más luz azul con relación a la amarilla.
Debemos tener en mente la relación kT  hn, de forma que los objetos más calientes son
más azules.
Cuando somos capaces de obtener información estelar a todas las longitudes de
onda, podemos estimar la magnitud aparente total o la magnitud absoluta total. Estas
magnitudes totales se denominan magnitudes bolométricas. Dada la magnitud en
una banda concreta, por ejemplo, en la banda V, se puede expresar la magnitud
aparente bolométrica como
m = V + CB,
siendo CB la corrección bolométrica, que será siempre negativa.
TRABAJO PERSONAL (Repaso y problemas en ‘Astrophysics I: Stars’)
1.- Probar que el índice de color de una estrella es independiente su distancia a la Tierra.
2.- Mostrar que para una estrella que radia como un cuerpo negro, l(n) = (2h/c2)(R2/r2)
{n3/[exp(hn / kT) – 1]}, donde R es el radio estelar y r es su diatancia a la Tierra. Suponiendo que
lB = 4450 A y lV = 5500 A, estudia la evolución del índice de color B – V con la temperatura
(3000-20000 K). Calibrar la relación con los valores solares: T = 5800 K y B – V = 0.65.
ABSORCION INTERESTELAR Y ENROJECIMIENTO (Sesión 2)
Nuestro esquema de la sesión anterior se complica cuando consideramos la absorción de
luz por el material interestelar. El material interestelar puede ser de dos tipos: gas o polvo.
GAS ► Absorción de radiación a frecuencias bien definidas (discretas) ► Líneas de
absorción interestelar en espectros estelares
POLVO ► Dispersión de luz sobre un amplio rango de frecuencias, afectando mas a la luz
azul que a la roja (como el polvo en la atmósfera terrestre) ► Enrojecimiento de los
espectros estelares
El enrojecimiento interestelar se puede
describir mediante un modelo sencillo.
Usando un coef. de extinción a(n,r), se
obtiene un espesor óptico del material en la
dirección de la estrella: t(n) = [0,r] a(n,r’)
dr’. Así, en presencia de polvo, debemos
reescribir el flujo de energia como
lpolvo(n) = l(n) exp [- t(n)] .
La magnitud aparente en la banda R será
Rpolvo = - 2,5 log l(nR) + kR + 1,0857 tR .
La extinción interestelar aumenta la magnitud aparente de la estrella en una cantidad del
orden del espesor óptico total asociado al polvo situado entre el observador y la estrella.
● ¿Cómo se modifica el índice de color B – V?
D(B – V) = (B – V)polvo – (B – V) = 1,0857 (tB – tV) .
Como tB > tV, se produce un aumento del índice de color, es decir, un enrojecimiento.
Podemos obtener una expresión similar para el índice de color U – B, y finalmente,
D(U – B) / D(B – V) = (aU – aB) / (aB – aV)  0.72 .
También
DV / D(B – V) = aV/ (aB – aV)  3 .
TRABAJO PERSONAL (Repaso y problemas en ‘Astrophysics I: Stars’)
1.- Justificar la expresión del flujo de energia monocromático en presencia de polvo.
2.- Suponiendo que el polvo se encuentra en el disco de la Vía Láctea (considerar una
lámina de altura 2h y extensión infinita) y que está distribuido homogeneamente, estimar el
enrojecimiento en la banda B, para un objeto extragaláctico distante situado a una latitud b
con relación al plano central de la Galaxia.
TAMAÑO Y TEMPERATURA (Sesión 3)
● Podemos determinar la temperatura superficial de una
estrella, midiendo su luminosidad aparente a varias
frecuencias y comparando el espectro l(n) con las
curvas correspondientes a cuerpos negros a diferentes
temperaturas T. Es decir, ajustando el espectro
observado a una ley de cuerpo negro. Un método más
sencillo consiste en medir la luminosidad aparente a dos
fecuencias distintas (en dos bandas ópticas). Por
ejemplo, el índice de color B – V depende claramente de
la temperatura (repasar Sesión 2).
● Mientras que la temperatura estelar se expresa habitualmente en K, la luminosidad
absoluta se suele expresar en luminosidades solares (L๏ = 3,86 1033 erg seg-1) y el radio
(tamaño) en radios solares (R๏ = 6,96 1010 cm). Cuando la emisión estelar se aproxima por
una ley de cuerpo negro, existe una relación entre luminosidad absoluta, radio y
temperatura. Es la relación LRT.
Partiendo de la potencia monocromática irradiada
hacia el exterior por unidad de superficie F(n) =
(2h/c2){n3/[exp(hn / kT) – 1]}, podemos
encontrar la potencia total emergente por unidad
de superficie (integrando sobre todas las
frecuencias): F = s T4, s = 25 k4 / 15c2 h3. Si la
estrella es considerada como una esfera de radio
R, teniendo en cuenta la superficie estelar, se
concluye la relación LRT
L = 4  s R2 T4
Podemos determinar el tamaño de una
estrella conociendo L y T
Para las estrellas
con radio
conocido, se
puede usar la ley
LRT para
determinar la
temperatura
(usando la
luminosidad
absoluta y no el
espectro
● Hemos visto la medida INDIRECTA de tamaños mediante la relación luminosidad-radiotemperatura. Sin embargo, también se pueden medir tamaños de forma DIRECTA. La mayoria de
las estrellas son distribuciones de luz que no pueden resolverse espacialmente. Pero la
distribucion de luz de algunas estrellas suficientemente grandes, brillantes y próximas,
puede resolverse espacialmente y conducir a la medida del tamaño estelar. La idea es
determinar el tamaño angular y la distancia, lo que conduce directamente al tamaño físico. En
este grupo privilegiado se encuentra Betelgeuse (un miembro importante de la constelación de
Orión). Betelgeuse está situada a una distancia de 130 pc y tiene un diámetro angular de 0,045’’.
Como consecuencia de estas medidas, la estrella tiene un radio de 630 R๏.
MIRA tiene una temperatura de 3000 K (T๏ / 2) y
una luminosidad absoluta de 400 L๏. Estos valores
conducen a un radio igual a 80 R๏ (ley LRT). La
estrella es una gigante (10-100 R๏). Como los
objetos a 3000 K son rojos, Mira es en realidad
una gigante roja. Por el contrario, SIRIUS B
tiene una temperatura igual a 4 T๏ y una
luminosidad de 0,04 L๏. Mediante la ley LRT, se
obtiene un radio de 0,01 R๏ (del orden del radio de
la Tierra). Sirius B es una enana (R  R๏) blanca.
TRABAJO PERSONAL (Repaso y problemas en ‘Astrophysics I: Stars’)
1.- Considerar una familia de estrellas que tienen un radio similar. ¿Qué relación
debemos encontrar entre el logaritmo de la luminosidad absoluta de las estrellas y el
logaritmo de la temperatura?.
2.- Vega y Sirius A son estrellas blancas con radios de 4 R๏ y 2 R๏ , respectivamente,
mientras que la estrella de Barnard y Próxima Centauri son estrellas rojas con radios de
0,07 R๏ y 0,03 R๏, respectivamente. ¿Qué puedes decir sobre las luminosidades
absolutas de estas estrellas?.
ESPECTRO (Sesión 4)
El espectro de una estrella muestra un
comportamiento de tipo cuerpo negro,
acompañado de líneas de absorción
causadas por los elementos en la
superficie/atmósfera estelar. En algunas
estrellas, también se observan líneas de
emisión. En principio, las líneas espectrales
que pueden formarse y sus intensidades,
dependen de la composición química y de la
temperatura.
HIDROGENO
MOLECULA CO
● Las estrellas se pueden clasificar según su espectro: clasificación espectral. Como las
abundancias de los elementos presentes en las superficies/atmósferas de todas estrellas
difieren poco (abundancias cósmicas), aparece una fuerte correlación entre tipo espectral y
temperatura/color.
O
HeII, SiIV, OIII, NIII, CIII …
 25000 K Azul
B
HeI, aparición HI (Balmer) …
 11000 K
A
HI, CaII (H/K), desapar. HeI …  7600 K Blanco
F
CaII, TiII, FeII, H débil …
 6000 K
G
Metales, bandas CH, CaII …
 5100 K Amarillo
K
Metales, CaII, CH, CN, TiO …  3600 K
M Metales neutros, moléculas …  3600 K Rojo
● Cada tipo espectral se subdivide en subtipos de 0 a 9, en orden decreciente de
temperatura. Por ejemplo, el Sol es una G2 (T = 5800 K). Es decir, un poco más fria que
las G1 y un poco más caliente que las G3. Esta clasificación es válida para la mayoria de
las estrellas, caracterizadas por una composición química superficial que es muy similar.
Todo indica que las nubes protoestelares tienen ingredientes similares, y con el paso del
tiempo, las reacciones termonucleares alteran la composición interna de las estrellas,
mientras que la externa permanece. Sin embargo, hay otros tipos espectrales menos
comunes (W, R, S y N), con abundancias anómalas para las temperaturas que hemos
discutido. Se trata de estrellas con corrientes que van desde la superficie a zonas
profundas o que han perdido su envoltura. Debido a estos fenómenos, la composición
superficial inicial ha sido modificada.
ANALISIS DE UNA LINEA ESPECTRAL
En la región espectral correspondiente a una línea caracterizada por una longitud
de onda l, primero se determina la intensidad del continuo c(l), y luego, se
calcula la razón línea/continuo r(l) = l(l) / c(l).
Entonces se puede encontrar la anchura equivalente de la línea: W(l) =  [1-r(l)]dl
Con una línea intensa se pueden estudiar los detalles de su perfil.
PERFIL
La agitación térmica de las partículas conduce a un
ensanchamiento “natural” de la línea espectral, y a
que esta sea observada con una forma de campana.
Cuando más caliente es el gas, más ancha es la
distribución de velocidades y mayor es la anchura de la
línea. Midiendo la anchura de la línea, podemos estimar
la temperatura del gas que la produce.
Medida de la longitud de onda “natural” (central) l → comparación con la
longitud de onda en un lab. terrestre l0 → estimación de la velocidad radial
de la estrella: v/c = l/l0 - 1 (efecto Doppler para v << c)
“Anomalias”: ensanchamiento adicional causado por
rotación estelar (a mayor rotación, mayor extraensanchamiento) y ensanchamiento adicional debido
a un campo magnético (ef. Zeeman). Conociendo la
temperatura por otra via (no líneas), se pueden
analizar estas “anomalias”. Además, desplazamiento
de l0 debida al campo gravitatorio.
TRABAJO PERSONAL [Repaso, incluyendo ‘Curso Básico de Astrofísica. I. Estrellas’
(1985), y problemas]
1.- Teniendo en cuenta el esquema adjunto sobre el sistema
Alpha Centauri y el sistema Solar, determinar a que
longitudes de onda centrales se observarán las líneas  y b
de Balmer. Suponer que el campo gravitatorio no es
importante.
2.- Sabiendo que el campo gravitatorio estelar provoca un desplazamiento al rojo: l/l0 - 1 =
GM/Rc2, siendo M la masa de la estrella y R su radio, demostrar que el desplazamiento
gravitatorio puede expresarse como una velocidad radial efectiva v = 0,6362 (M/M๏) (R/R๏)1 km s-1. La estrella Sirius B tiene un radio de 0,0074 R y una masa de 1,035 M , mientras
๏
๏
que la estrella 40 Eri B tiene radio y masa de 0,0124 R๏ y 0,466 M๏, respectivamente. ¿Será
importante el desplazamiento espectral gravitatorio en dichas estrellas?.
DIAGRAMAS DE HERZTSPRUNG-RUSSELL: POBLACIONES ESTELARES Y
EVOLUCION ESTELAR (Sesión 5)
● Una de las herramientas observacionales más decisivas son los llamados diagramas HR, que fueron introducidos por Herztsprung y Russell en los años 1911-1913.
● La idea básica de un diagrama H-R es la clasificación de estrellas en el plano
temperatura (eje X) -luminosidad absoluta (eje Y). A veces, en lugar de usar la
temperatura se usa el tipo espectral o el índice de color (que es equivalente a usar T), o en
lugar de usar la luminosidad absoluta L, se utiliza la magnitud absoluta (si las estrellas
formán parte de un cúmulo estelar, es decir, están a una misma distancia, se puede usar
también la magnitud aparente).
SECUENCIA
PRINCIPAL
Incluye a la
mayoria de
las estrellas.
Estrellas
realizando la
conversión
H → He.
ENANAS BLANCAS Y GIGANTES ROJAS
● Un grupo importante de estrellas se situa en la parte superior derecha de los
diagramas (son estrellas muy luminosas, frias y de gran tamaño). Se denominan
gigantes rojas. En estas estrellas se ha consumido el combustible original (H), y como
consecuencia se ha producido la contracción y el calentamiento del núcleo, que
conducen al aumento en luminosidad, la expansión y el enfriamiento de la envoltura.
●● Otro grupo importante se situa en la parte inferior izquierda de los diagramas H-R.
Son las enanas blancas. Estas estrellas compactas se encuentran en una fase final de la
evolución estelar. El colapso gravitatorio es evitado por la presión que ejerce un gas
completamente degenerado de electrones.
Datos de la misión Hipparcos para más
de 20000 estrellas situadas a distancias
menores de 1000 pc y con magnitud
aparente menor que 12. Se trata de una
distribución sesgada en luminosidad
(datos para estrellas brillantes).
Muestras completas indican que:
SP = 90%, EB = 9%, GR = 1% .
● La evolución estelar hace que una estrella situada en cierta época en una región de los
diagramas H-R, se situe en una región diferente en una época posterior. Las zonas mas
pobladas (SP) corresponden a características estructurales muy usuales y muy prolongadas
en el tiempo.
●● Diagramas H-R de distintos tipos de cúmulos estelares muestran diferencias muy
significativas. Las estrellas se situan siempre en las regiones que hemos visto (SP, EB, GR,
etc.), pero la densidad relativa de dichas regiones varia de cúmulo a cúmulo. Como las
estrellas de un mismo cúmulo tienen probablemente el mismo origen, y por lo tanto, edad
similar, estas diferencias entre cúmulos (de distintas edades) nos idican la trayectoria de las
estrellas en los diagramas H-R.
●●● Dentro de la Galaxia se observan dos poblaciones estelares. Las estrellas de la
población I (como el Sol) tienen sobreabundancia de metales respecto a las estrellas de la
población II. La clasificación de las estrellas en poblaciones I y II, no procede de
diferencias en la composición química, sino de sus características cinemáticas y su situación
geográfica. Las de población I giran colectivamente en torno al centro galáctico (disco), y
sus velocidades peculiares (debidas a fenómenos locales) son pequeñas frente a la de
rotación. Están solas, en sistemas dobles o en grupos reducidos y no ligados
gravitatoriamente (cúmulos abiertos). Por el contrario, las estrellas de la población II, no
poseen velocidades coherentes de rotación, sino movimientos peculiares. Se hallan en
grandes cúmulos, que están ligados por la fuerza de la gravedad (cúmulos globulares).
Están distribuidas homogeneamente dentro de una esfera (halo), cuyo plano ecuatorial es el
disco galáctico.
TRABAJO PERSONAL [Repaso, incluyendo ‘Curso Básico de Astrofísica. I. Estrellas’
(1985), y problemas]
1.- Considerar dos estrellas en un diagrama H-R del tipo logL frentea logT. Suponer que
ambas tienen la misma temperatura y que su logL difiere en 1,5 unidades. ¿Cúal es la
relación entre sus radios?.
2.- Si en la fase “secuencia principal” (combustión de hidrógeno) las estrellas son esferas
con una densidad constante y universal, demostrar que la luminosidad puede obtenerse en
función de la masa y la temperatura. Si las estrellas más frias y débiles (3000 K, 0,0001 L๏)
tienen una masa de aproximadamente 0,1 M๏, estimar la masa de las gigantes azules (20000
K, 10000 L๏). ¿Te parece sensato el resultado?. Alternativamente, suponer que en la fase SP,
la luminosidad aumenta como la cuarta potencia de la masa ( L  M4 ). Deducir la masa de
las gigantes azules en función de la masa aproximada de las enanas rojas.
SISTEMAS BINARIOS (Sesión 6)
● Más de la mitad de las estrellas son miembros de sistemas binarios. Un sistema binario
está formado por dos estrellas unidas por la gravedad y describiendo órbitas en torno al
centro de masas. Observaciones de la dinámica de las órbitas conduce a información sobre
la masa de las componentes, y la mayoria de los datos sobre masas estelares provienen de
esta técnica. Cuando la orientación de las órbitas es especialmente favorable, podemos
deducir otras propiedades de las componentes del sistema (p.e., los radios estelares).
CLASIFICACION DE SISTEMAS BINARIOS
Binario visual: miembros
ampliamente separados y
suficientemente brillantes
como para permitir
observaciones y
monitorizaciones separadas.
ORBITAS ABSOLUTAS
y RELATIVAS
ORBITAS APARENTES
(ángulo de inclinación i)
Binario eclipsante: el plano
orbital del sistema está
situado casi de canto.
Cuando una estrella pasa
delante de la otra, la más
lejana queda eclipsada.
Binario espectroscópico:
estrellas muy próximas y
con plano orbital no muy
inclinado.
Curva de luz I=I(t)
● Información física sobre las componentes
1.- Observando las órbitas (visual), los mínimos en la curva de luz (eclipsante) o los
desplazamientos de las líneas espectrales (espectroscópico) se puede determinar el periodo
orbital T (horas-siglos).
2.- Midiendo la distancia a una binaria visual, se pueden determinar el semieje mayor de
la órbita relativa a. Entonces, la tercera ley de Kepler: G(M1 + M2) /a3 = (2 /T)2, permite
obtener la masa total del sistema M = M1 + M2. Por otro lado, podemos trazar las órbitas
individuales y estimar los semiejes mayores a1 y a2. La relación M1a1 = M2 a2 conducirá a
un valor para la razón de masas M1/M2. Finalmente, mediante ambas la suma y la razón de
masas, se pueden medir las masas individuales M1 y M2.
R  M y L  M4
TRABAJO PERSONAL [Repaso y problemas]
1.- Imaginar dos estrellas idénticas de masa Mʘ ,en orbita una alrededor de la otra, a una
distancia relativa de 100 UA. Imaginar que colocamos el sistema a diferentes distancias de
la Tierra, con diferentes orientaciones del plano orbital. ¿Bajo que circunstancias veremos
al sistema como una binaria visual o una binaria eclipsante?.
2.- Obtener la curva de brillo teórica [Dm = m – m(brillo máximo)] para un sistema binario
eclipsante constituido por dos estrellas de igual radio y luminosidades L1 y L2 (L1 > L2). El
sistema tiene periodo T y esta a una distancia r (r = rCM  r1  r2).
3.- Considerar dos masas puntuales (M1 y M2) en órbitas circulares (con radios a1 y a2)
alrededor de su centro de masas (CM). Sea i el ángulo de inclinación del plano orbital con
respecto a la línea que une al CM y al observador. El espectro de la binaria irresoluble
tendrá corrimientos periódicos de tipo Doppler, debidos a la velocidad orbital del objeto 1.
Obtener la amplitud de la variación Doppler v1 = zmaxc, si el periodo orbital vale T. Usando
la tercera ley de Kepler, demostrar que la llamada “función de masa del objeto 1” vale
f1 = (M2sen i)3/(M1+M2)2 = Tv13/(2G).
PULSACION Y ROTACION (Sesión 7)
● En una estrella pulsante (cefeida), el periodo de pulsación está directamente
relacionado con los parámetros físicos intrínsecos (p.e., la densidad), y dicho periodo
puede medirse con alta precisión.
●● Consideramos la ecuación de conservación del momento (ec. de Euler): r(dv/dt) =
rg - p. Multiplicando por un elemento de volumen dV, que incluye una masa dm, se
obtiene el balance más familiar: dm a = dm g + dFp (dFp = - dp dS = - p dV).
Dividiendo por dm, y teniendo en cuenta la intensidad del campo gravitatorio en un
radio intermedio R que contiene una masa M, g = - (GM/R2)u (u es un vector radial
unitario), se deduce que d2R/dt2 = - GM/R2 – [(dp/dr)/r]R = 0 (equilibrio hidrostático).
De forma aproximada, el equilibrio hidrostático sugiere que <p>  (GM/R)<r>, <r> =
3M/4R3. Si se produce una perturbación radial (R  R + dR) y consideramos una
ecuación de estado de tipo polítropo p  r, el elemento de fluido adquiere una
aceleración no nula y d2(dR)/dt2  - (3 – 4) (GM/R3) dR. Es decir, llegamos a la ec.
diferencial para un movimiento armónico con w2  (3 – 4) (GM/R3). El periodo de la
oscilación vale
P = 2/w  G  1 / 2 <r>  1 / 2 .
●●● Para las cefeidas, se observó una relación entre periodo y luminosidad, lo que
implica una correlación directa entre luminosidad y densidad media en este tipo de
estrellas. Si L  <r> -   P  L 1/2. Las observaciones indican que   0,5, es decir,
P  L.
Debido a relación aproximadamente lineal entre P y L, las estrellas variables cefeidas
pueden usarse como indicadores de distancia: P  L  r.
●●●● Las estrellas cefeidas son supergigantes y tienen luminosidades intrinsecas muy
altas, de modo que pueden ser observadas a grandes distancias (en galaxias próximas). Al
ser supergigantes, tienen bajas densidades y periodos de pulsación largos. El perido típico
es de 10 días, y su tipo espectral está entre el F y el G.
●●●●● Un tipo importante de variables pulsantes incluye a las estrellas RR Lyrae.
Tienen espectros similares a los de las cefeidas clásicas, pero son mucho menos
luminosas. Por consiguiente, son objetos más pequeños y más densos, y tienen
periodos menores (0,5 - 1 días). Para estas estrellas,   0,25 y P  L 2. Se encuentran
en gran abundancia en cúmulos globulares, y por lo tanto, se trata de estrellas de
población II (relativamente pobres en metales).
●●●●●● Las variables de periodo largo (entre 100 días y varios años; prototipo: Mira),
tienen diferente tipo espectral. Son supergigantes rojas, es decir, las estrellas más grandes
que se conocen.
●●●●●●● Las estrellas d Scuti forman parte de las cefeidas enanas. Al ser estrellas
enanas tienen periodos mucho menores que las cefeidas normales y las estrellas RR
Lyrae. Presentan dos o más modos de pulsación, probablemente incluyendo modos de
oscilación no radiales. Las curvas de luz son complejas.
ROTACION ESTELAR  Es practicamente un fenómeno universal. El Sol tiene un
periodo de unos 25 días, una velocidad de rotación (ecuatorial) de 2 km s-1 y un momento
angular de 1048 gr cm2 s-1. Sin embargo, muchas estrellas tienen velocidades de rotación
(ecuatoriales) de 100 - 200 km s-1. Algunas estrellas muy viejas (estrellas de neutrones)
alcanzan velocidades de rotación inmensas.
Existe un límite para la velocidad de rotación de una estrella. Por encima de ese
límite, la estrella se rompería en pedazos. La velocidad de rotación crítica se obtiene
igualando la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga en la superficie estelar (radio R).
Entonces,
Vc2/R = GM/R2  Vc = (GM/R) 1 / 2 .
Para el Sol, Vc = 400 km s-1, es decir, 200 veces su velocidad de rotación actual.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- Usar las diferencias en los periodos para comparar la densidad media en una estrella
cefeida normal y la densidad media de una estrella RR Lyrae.
TRABAJO PERSONAL [continuación]
2.- Suponer que una estrella es un sistema aislado, y que evoluciona conservando el
momento angular y la masa. Sabiendo que la velocidad angular actual del Sol es de W  3
10-6 s-1, ¿a qué velocidad girará si consigue alcanzar la etapa de “estrella de neutrones” (R
 10 km)?. Compara el resultado con los periodos medidos para radio púlsares: 1 ms –
varios segundos. Si en el colapso se conserva el flujo magnético, ¿cúanto valdrá la relación
entre campos magnéticos B(EN)/Bʘ?.
3.- Una enana blanca (M = 1 Mʘ, R = 0.007 Rʘ) emite un chorro de radiación y gira con
periodo P. El “chorro” sale radialmente de un punto en el ecuador de la estrella. Nosotros
solo vemos la emisión, cuando este se alínea con la dirección estrella-Tierra. En nuestra
posición se observa una señal pulsada con periodo P. Obtener el mínimo periodo para la
señal.
ESTADISTICA ESTELAR (Sesión 8)
● Distribución de masas y luminosidades estelares
La función de masa F(M), se define tal que dN(M) = F(M) dM es el número de
estrellas por unidad de volumen con masa entre M y M + dM. También se define la
función de luminosidad F(L), como el número de estrellas por unidad de volumen y
unidad de luminosidad. Así, dN(L) = F(L) dL es el número de estrellas por unidad
de volumen con luminosidad entre L y L + dL. Para diferenciarlas, se las suele llamar
FM(M) y FL(L). Estas distribuciones pueden evolucionar (cambiar con el tiempo).
Por ejemplo, como consecuencia de la evolución estelar, la función de masa de
estrellas en un cúmulo globular diferirá de la función de masa inicial.
●● Relación entre FM(M) y FL(L)
Ambas distribuciones pueden relacionarse mediante la ley empírica masa-luminosidad:
L = K M (p.e.,  = 4 para estrellas de la SP). La ley empírica nos dice que dL = K
M1 dM. Con estas correspondencias directas L ↔ M y dL ↔ dM, podemos escribir:
FM(M) dM = FL(L) dL  FM(M) = K M1 FL(KM)
FL(L) = (1/K1/ ) L1/  1 FM[(L/K)1/]
y
●●● Evolución de la función de masa inicial
como consecuencia del nacimiento y la
evolución estelar
Ahora consideramos dN(M,t) = FM(M,t) dM. El
número de estrellas en el rango [M, M+dM]
cambiará como consecuencia de varios
factores:
(a) razón de nacimiento estelar = B(M,t) dM dt
(b) evolución estelar  perdida de masa
A menudo (b) se considera despreciable o como
una corrección a B, lo que permite trabajar con
una B efectiva.
La función de masa y B están relacionadas mediante dFM/dt = B(M,t), con FM(t=0) =
F0(M). Integrando:
FM(M,t) = F0(M) +  B(M,t) dt .
Si t es el tiempo actual, las observaciones pueden conducirnos a FM(M,t), mientras que
la teoria puede informarnos sobre F0(M) y B(M,t) . De este modo, la ecuación anterior
representa un test sobre la teoria de formación y evolución estelar.
EFECTOS DE SELECCION
La principales complicaciones en estadísticas observacionales son los efectos de
selección. Por ejemplo, las estrellas de baja luminosidad intrinseca L, deben estar
relativamente próximas para poder ser observadas. La idea central está en la relación l = L
/ 4 r2. Si trabajamos con un equipo instrumental cuyo límite de sensibilidad es l0 (es
decir, solo son detectables objetos con l  l0), entonces, a una distancia r, solo podemos
detectar estrellas con L  L0 = 4  r2 l0. A esa distancia r, una estadistica de
luminosidades L, solo será posible para L  L0. Aunque nosotros observemos la
ausencia de estrellas con luminosidad menor que el umbral L0, se trata de un resultado
sesgado que no representa la situación real y que no debe ser tenido en cuenta
F(MV) y Y(MV)
Usualmente se obtiene la distribución en magnitud
absoluta visual (MV), mediante un contaje de
estrellas corregido por efectos de selección. Por
ejemplo, F(MV) representa la distribución de
estrellas de la SP en el entorno solar. La integral
de F(MV) sobre MV, nos da el número actual de
estrellas de la SP por pc3. Cúmulos globulares
contienen distribuciones estelares similares a la
actual en las proximidades del Sol. ¿Y(MV) ?
Los cúmulos abiertos contienen estrellas jóvenes, recién formadas, y su función de
“luminosidad” Y(MV) se asemeja a la función de “luminosidad” inicial. Las dos
distribuciones F(MV) y Y(MV) son esencialmente idénticas para MV  4. Sin embargo,
la distribución en cúmulos globulares y en la vecindad solar tiene un cambio abrupto en
la pendiente para MV < 4.

● El tiempo de vida de estrellas menos masivas que 1,2 Mʘ (más
débiles que MV ~ 4) excede la edad de la Galaxia. Estos tipos estelares
no han podido evolucionar estructuralmente. Parece razonable que
F(MV) ~ Y(MV) para MV > 4.
●● Las diferencias para MV < 4 se pueden atribuir a efectos de
formación estelar, evolución estelar y otros efectos.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- Si el índice de la relación masa-luminosidad es  = 4, y si las estrellas tienen una probabilidad
uniforme de formarse en el rango de masas M1  M  M2, ¿cúal es la forma de la función de
luminosidad inicial Y(L) entre las dos límites de masa?.
2.- Un modelo sencillo para la función de “luminosidad” inicial es Y(MV) = 0,03 (Mʘ / M) 1,35
(dlog10M / dMV), en unidades de estrellas / pc3. Suponiendo una relación masa-luminosidad L =
Lʘ (M / Mʘ)3,5, ¿cúanto vale la densidad de estrellas con magnitudes absolutas visuales en el
rango – 6  MV  4 ?.
ESTRUCTURA ESTELAR ESTATICA
‘Astrophysics I: Stars’(1984)
INTRODUCCION A LA ESTRUCTURA ESTELAR: LA ECUACION DE EQUILIBRIO
HIDROSTATICO (Sesión 9)
Para una estrella esfericamente simétrica, el movimiento de
un elemento de fluido situado a una distancia r del centro,
está gobernado por la ec. de movimiento hidrodinámica
r (d2r / dt2) =
- Grm(r) / r2 + P / r
Equilibrio hidrostático:
d2r
/
dt2
=0
dP / dr = - Grm(r) / r2
¿Equilibrio hidrostático?:
Suponiendo que el término P / r es pequeño, entonces la escala de tiempo asociada con la ec.
de mov. es el tiempo de caida libre: t ~ tff ~ (GM / R3) -1/2. Si al contrario, el gradiente de presión
domina a la fuerza gravitatoria, entonces: a ~ r / t2 ~ P / rr  (r / t)2 ~ P / r  v ~ vs. Para que
exista eq. hidrostático se deben verificar las condiciones: t >> tff y v << vs.
Ecuación de equilibrio hidrostático
dm
dr
r
m (r)
m(r) = [0,r] 4
(r’) 2 r(r’)
La fuerza gravitatoria sobre la capa será
G[4 r2 r(r) dr] m(r) / r2. Mientras que la
fuerza de la presión soportando su caida, será
4  r2 dP, donde dP es la diferencia de
presión entre r y r + dr. La condición de eq.
hidrostático: dP / dr = - Grm(r) / r2. Es
evidente que se P decrece cuando r crece. Así,
la presión es máxima en el centro de la
estrella y mínima en su superficie. En otras
palabras, Pc = P(0) > P(R) = 0.
dr’
Límite inferior sobre la
presión central Pc
Se puede mostrar que
La ec. de eq. hidrostático puede reescribirse de
otra forma. Para ello, tomamos la expresión
original y la dividimos por dm / dr = 4 r2 r.
Entonces: dP / dm = - Gm / 4r4(m). Ahora m
es la variable independiente y r = r(m).
Pc > GM2 / 8 R4,
donde M y R son la masa
y el radio de la estrella
TEOREMA DEL VIRIAL
● La nueva ec. de eq. hidrostático, conduce a d(4r3P)/dm – 4r23P (dr/dm) = Gm/r. Integrando este resultado sobre toda la estrella, es decir, entre m = 0 y M = m(R),
se obtiene [4r3P] 0M - [0,M] (3P/r)dm = - [0,M] (Gm/r)dm . Aquí, P, r y r son funciones
de la variable independiente m; y el primer término es nulo, ya que r(0) = 0 y P(M) = 0.
Finalmente: [0,M] (3P/r)dm - [0,M] (Gm/r)dm = 0.
●● Si consideramos un gas ideal clásico (no relativista), 3P/r es dos veces la energia
térmica por unidad de masa. Por lo tanto, la primera integral representa el doble de la
energia térmica total de la estrella U. La segunda integral es la energia de enlace
gravitatorio (cohesión) de la estrella W. Es decir, 2U + W = 0. Como la energia total es E
= U + W, también tenemos que E + U = 0.
●●● El TV tiene consecuencias importantes en etapas primitivas de formación de la
estrella y en varias etapas de la evolución.
 CONTRACCION QUE CONDUCE A NUEVO EQH: pasamos de una situación
inicial 2Ui + Wi = 0 (Ei + Ui = 0) a una final 2Uf + Wf = 0 (Ef + Uf = 0). Como aumenta
la cohesión gravitatoria, Ui – Uf = - (Wi – Wf)/2 < 0  Uf > Ui (la estrella se calienta).
Además, Ei –Ef = - (Ui – Uf) > 0  Ef < Ei (radia energia al exterior). Cuando la
presión en una estrella no puede soportar su masa, entonces la estrella se contrae, radia
y se calienta, hasta alcanzar un nuevo EQH.
Capas exteriores (atmósfera estelar)
En las capas externas de la estrella, la ec. EQH tiene una forma algo diferente, reflejando el
hecho de que la atmósfera estelar es mucho mas delgada que el radio de la estrella.
Podemos despreciar la curvatura y considerar una atmósfera como una estructura de planos
paralelos. También podemos considerar una aceleración gravitatoria constante g = GM/R2.
La ec. EQH será dP/dh = - rg . La altura h se mide con respecto a cierta capa exterior
arbitraria. En una atmósfera isoterma (T = cte), con ecuación de estado P = rkT/mmH,
la ec. EQH puede integrarse facilmente:
P = P0 exp(- mmHgh/kT) y r = r0 exp(- mmHgh/kT) ,
donde P0 y r0 son la presión y la densidad a h = 0, respectivamente. Al factor H =
kT/mmHg se le conoce como escala de la atmósfera, y es la altura a la cual las
cantidades físicas (presión y densidad) disminuyen en un factor e.
La ec. EQH se puede escribir en forma vectorial, y puede aplicarse a
estrellas rotando o a estrellas en sistemas binarios, es decir, sistemas
sin simetria esférica. Se trata de la ecuación de Euler:
grad P = r g ,
g = - grad f .
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- Considerar el movimiento de una nube de partículas autogravitante. Demostrar que si el
sistema está en estado estacionario, en el sentido de que el momento de inercia es constante,
se verifica el Teorema del Virial: 2U + W = 0.
2.- Estimar la escala H de la atmósfera terrestre (T ~ 300 K) y de la atmósfera solar (T ~
6000 K).
MODELOS ESTELARES SENCILLOS (Sesión 10)
La ec. EQH no puede integrarse y proporcionar información sobre el comportamiento
espacial de la presión, la densidad y la temperatura en una estrella. Son necesarias
hipótesis complementarias o nuevas ecuaciones (transporte radiativo, generación de
energia, etc.). Así, podemos construir modelos estelares sencillos, mediante las
hipótesis:
 Modelo A: La densidad varia linealmente con la distancia radial. Es decir, r = rc(1
– r/R). Aunque el modelo es muy simple, conduce a buenos resultados
(cualitativamente).
 Modelo B: Ecuación de estado de tipo polítropo. Se verifica una relación entre
densidad y presión del tipo P = K r.
MODELO
ESTELAR
LINEAL
POLITROPOS
La ec. EQH se escribe como dP/dr = - [Gm(r)/r2] rc(1 – r/R),
donde m(r) = 4r3 rc/3 – r4 rc/R.
Integrando la ec. EQH, obtenemos un comportamiento para la
presión: P(r) = (5/36) G rc2 R2 (1- 24r2/5R2 + 28r3/5R3 –
9r4/5R4) . Si la materia obedece la ecuación de gas ideal, T(r) =
m mH P(r)/ k r(r) .
Usando la ec. EQH y la relación complementaria masa-densidad,
se deduce una ecuación diferencial de segundo orden:
(1/r2) d[(r2 K/r) r-1(dr/dr)]/dr = - 4Gr . Para resolver la
ecuación diferencial, debemos imponer las condiciones de
contorno r(0) = rc y r(R) = 0. Para simplificar las matemáticas:
 introducimos la función q, tal que r = l qn,  – 1 = 1/n. Entonces, (2/r2)
d[r2(dq/dr)]/dr = - qn , donde  = [(n+1)K l1/n -1 / 4G]1 / 2 . Si l tiene dimensiones de
densidad,  tiene dimensiones de longitud y q es adimensional.
 introducimos la variable adimensional x, definida como r =  x. Con esta nueva variable
y la ecuación anterior para la función adimensional q, se deduce la llamada ec. de LaneEmden: (1/x2) d[x2(dq/dx)]/dx = - qn .
 introducimos nuevas condiciones de contorno: (a) tomamos l = rc, y así, q = 1 para x = 0; (b)
como dP/dr  dq/dx y la ec. EQH predice que dP/dr tiende a 0 en r = 0, dq/dx = 0 para x = 0.
La ecuación de Lane-Emden con las condiciones de contorno centrales (a) y (b), puede ser
integrada para un valor arbitrario del índice n = 1/(-1) . Sin embargo, solamente se
obtienen soluciones analíticas para ciertos valores de n. Concretamente, para n = 0, 1, 5.
Las soluciones son
n = 0 (r = cte)
q 0 = 1 – x2 / 6
n = 1 (P  r 2)
q1 = sen x / x
n = 5 (P  r 6 / 5)
q5 = (1 + x2 / 3) – 1 / 2 .
ESFERA GASEOSA ISOTERMA
● La ecuación de estado de una esfera gaseosa isoterma (T = cte) es del tipo P  r, lo
cual es equivalente a un polítropo “no analítico” con  = 1 o n = .
●● Usando la ec. EQH (1/r2)d[(r2/r)(dP/dr)]/dr = - 4Gr y despejando la presión de
la ec. de estado de un gás ideal, se obtiene una ecuación para la densidad
(1/r2)d[(r2/r)(kT/mmH)(dr/dr)]/dr = - 4Gr .
●●● La integración numérica de una ec. diferencial “análoga” (obtenida tras un
cambio de función y de variable) revela que la densidad no se anula nunca (se extiende
hasta el infinito), y por lo tanto, una estrella finita no puede ser una esfera gaseosa
isoterma.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- Para el modelo estelar lineal, representar graficamente la variación de la presión (P), la
temperatura (T) y la masa (m) desde r = 0 hasta r = R. Encontrar la energia de enlace
gravitatorio, en términos de G, M y R.
2.- Comprobar que q0 = 1 – x2 / 6, q1 = sen x / x y q5 = (1 + x2 / 3) – 1 / 2, para n = 0, 1 y 5,
respectivemente, son soluciones de la ecuación de Lane-Emden verificando las condiciones
de contorno. Encontrar el radio de la estrella para n = 0 y n = 1. ¿Qué ocurre para n = 5
(polítropo con  = 6/5)?. Para los tres polítropos, encontrar la masa de la estrella.
RADIACION Y TRANSPORTE DE ENERGIA: MODELOS
ESTELARES
‘Astrophysics I: Stars’(1984), ‘Stellar Interiors: Physical
Principles, Structure and Evolution’ (1994)
DESCRIPCION DEL CAMPO DE RADIACION (Sesión 11)
W
n
(n , n + dn)
La intensidad de un campo de radiación monocromática
(fotones con frecuencia entre n y n+dn), se llama
intensidad monocromática In. Dada una superficie
radiante dA (con vector normal unitario n) y una
dirección W, In(W) es la potencia por unidad de superficie
perpendicular a W, por unidad de ángulo sólido en la
dirección W y por unidad de frecuencia (erg seg-1 cm-2
ster-1 Hz-1). Podemos escribir
In(W) = dEn / [dt dS dW dn] .
dA
dS
Debemos tener en mente la relación: dS = dA (n . W).
Para obtener la densidad de energía de radiación, primero
consideramos que dEn es la energía del haz que atraviesa dS
en dt. Como los fotones viajan a la velocidad de la luz (c), los
fotones barren un volumen dV = dS (c dt). Entonces, dEn /
[dV dn = (1/c) In(W) dW. Finalmente, integrando sobre
ángulos sólidos, se deduce que
un = (1/c) 4 In(W) dW .
c dt
dS
Como un fotón con energía E tiene un momento p = E/c, la radiación monocromática
transporta momento, y ejerce fuerza y presión.
W
n
dA
dS
Si la intensidad es In(W), en la dirección W, se transporta un
momento por unidad de tiempo, unidad de superficie, unidad de
ángulo sólido y unidad de frecuencia dpn / [dt dS dW dn =
In(W)/c. Imaginemos que la superficie elemental dA está
caracterizada por un vector normal unitario n  W. Es trivial
comprobar que existe una relación: dS = dA (n . W), que conduce
a dpn / [dt dA dW dn = In(W)/c] (n . W). Si queremos obtener la
presión ejercida sobre el área dA, debemos considerar la
componente del flujo del momento según la dirección n
(perpendicular a dA). Es decir,
dPn / [dW dn = In(W)/c] (n . W)2.
La presión de radiación perpendicular a dA, asociada con fotones de energía hn, se
deduce integrando sobre todos los ángulos sólidos. Así,
Pn =  (In/c) cos2q dW = (2/c) [-1,+1] In m2 dm = (4/c) Kn ,
donde n . W = cosq = m y Kn = (1/2) [-1,+1] In m2 dm . Suponemos implicitamente que In =
In (q), y las unidades de Pn son dinas cm-2 Hz-1. Para un campo de radiación isótropo,
In(W) no depende de W = (q,f), y Pn = (4/c) Kn = (4/c) (In/3) = (4/3c) In . Además, la
densidad de radiación monocromática será un = (4/c) In , lo que conduce a Pn = un /3.
W
La energía transportada en la dirección W a través de dS vale dEn =
In(W) dt dS dW dn. Como dS = dA (n . W), tenemos que dEn = In(W)
dt dA (n . W) dW dn . Por lo tanto, el flujo de radiación a través de
dA será
Fn (erg seg-1 cm-2 Hz-1) = 4 In(W) (n . W) dW .
Si introducimos coordenadas polares esféricas tales que q se mide
con relación a n, In(W) = In (q,f) y dW = senq dq df. La integral
para el flujo se puede re-escribir como
n
Fn = [0, dq [0,2] df In(q,f) senq cosq .
dA
dS
Usualmente, el flujo total se separa en dos partes: Fn+ en las
direcciones del hemisferio norte y Fn- en las direcciones del
hemisferio sur.
Fn+ = [0,/2 dq [0,2] df In(q,f) senq cosq
n
WN2
WS1
WN1
Fn- = - [/2, dq [0,2] df In(q,f) senq cosq
Fn = Fn+ - Fn-
WS2
Para un campo de radiación isótropo, como la intensidad es
independiente de la dirección, se verifica que Fn+ = Fn- = In.
Como era de esperar, el flujo neto será cero: Fn = 0.
En atmósferas estelares, podemos suponer que el campo de radiación tiene simetría axial
alrededor del radio estelar, tal que In es independiente de f, y por lo tanto, In(W) = In (q) .
En este caso,
q
W
Fn = 2 [-1,+1] In(m) m dm ,
Fn+ = 2 [0,+1] In(m) m dm ,
Fn- = - 2 [-1,0] In(m) m dm .
f
DIR.
RADIAL
SUP.
ESTELAR
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- Probar que la intensidad en un haz de radiación se conserva; es decir, no se atenúa con la
distancia (en ausencia de absorción).
2.- Cuando un campo de radiación es anisótropo en q, podemos expresarlo como una
combinación de términos multipolares: monopolo + dipolo + cuadrupolo + … Si
consideramos un campo anisótropo In(q) = I0 + ID cosq, deducir la intensidad promedio
(promedio en direcciones), la densidad de energia, la presión y el flujo en función de las
amplitudes monopolar (I0) y dipolar (ID). Comenta la relación presión-densidad de energia.
OPACIDAD Y EMISIVIDAD: ECUACION DE TRANSPORTE RADIATIVO (Sesión 12)
● Los fotones que atraviesan la materia pueden ser dispersados o ser absorbidos por átomos,
iones o moléculas. También pueden ser emitidos por partículas cargadas en movimiento o
por átomos (moléculas) excitados (as). Estos procesos, tomados colectivamente, conducen a
modificaciones del campo de radiación In pasando a través de la materia. Cuando esto
ocurre, se dice que la materia y la radiación están acopladas.
●● Vamos a considerar los efectos de dispersión, absorción y emisión sobre un haz de
fotones descrito por In(W) y atravesando la materia. La absorción elimina fotones del haz y
calienta el gas. La dispersión de un fotón que se mueve inicialmente en la dirección W hacia
una nueva dirección W’, resta energia de In(W), pero la añade a otro haz In’(W’). Justo al
revés, algunos fotones del resto de haces In’(W’) pueden ser dispersados hacia In(W). La
emisión conduce a la adición de fotones a In(W). Los detalles de la absorción y la dispersión
(a un nivel macroscópico) se incluyen en la opacidad del material, mientras que los detalles
sobre la emisión están incluidos en la emisividad del material.
ds
In
OPACIDAD
Se llama opacidad del material (o coeficiente de extinción total) a la
probabilidad por unidad de longitud de que un fotón sea dispersado o
absorbido. Se suele llamar kn (cm-1), y es el inverso del recorrido libre medio
de un fotón: ln = 1/kn. También se define una opacidad específica kn (cm2 gr-1),
de forma que kn = kn r .
La intensidad que pierde un haz por absorción y dispersión (colisiones), cuando atraviesa
una distancia ds en cierto gas, viene dada por el producto de In y la probabilidad de que
un fotón sea dispersado o absorbido. Es decir, dIn(W) = - In(W) kn ds = - In(W) dtn. La
cantidad adimensional dtn = kn ds = ds / ln , es el espesor óptico del material para la
frecuencia de radiación n. Vemos que también representa la razón entre la distancia
atravesada y el recorrido libre medio de la radiación. Cuando
tn = [0,s] kn ds = [0,s] ds / ln ≈ 1 ,
los fotones del haz profundizan lo suficiente como para sufrir dispersión o absorción.
Cuando tn >> 1, el gas es opticamente espeso, ya que la radiación sufrirá muchos
procesos de absorción o dispersión cuando atraviesa la distancia s. Cuando tn << 1, el
recorrido libre medio verifica ln >> s, y no se producirán absorciones ni colisiones. Se
dice que la región del gas es opticamente delgada. Cuando solo se produce absorción y
dispersión, se puede integrar la ecuación diferencial para la intensidad:
In(s) = In(0) exp[- tn(s)] , tn(s) = [0,s] kn(s’) ds’ .
EMISIVIDAD  La materia puede ser fuente de radiación. Por ejemplo, un átomo puede estar
excitado por la absorción previa de un fotón. Podemos suponer una emisividad jn’(q,f),
representando la energia liberada por unidad de volumen, por unidad de tiempo, por unidad de
ángulo sólido y por unidad de frecuencia, en la dirección (q,f) . Tiene unidades de erg cm-3 seg-1
ster-1 Hz-1. Si un haz de intensidad inicial In atraviesa un material con espesor ds, entonces la
ganancia en intensidad debida a emisión viene dada por dIn(W) = jn’(W) ds.
Ecuación de Transporte Radiativo (ETR)
El cambio en In cuando el haz atraviesa un material de espesor ds es
dIn(W) / ds = - kn In(W) + jn(W) ,
donde jn contiene la emisividad (jn’) y la contribución debida a dispersión de fotones desde
(n’,W’) hacia (n,W). Esta es la ecuación de transporte radiativo. Si la dirección radial está
caracterizada por un vector unitario n, entonces ds = dr/cosq y dIn / ds = cosq (dIn/ dr).
Usando m = cosq y reemplazando dr por el espesor óptico radial (según n): dtn = kn dr, se
obtiene la nueva expresión
n
dr
q
W
ds
m (dIn / dtn) = - In + Sn ,
siendo Sn = jn / kn la función fuente.
● Multiplicando por dW = senq dq df e integrando (simetría axial), tenemos (1/2)
(dFn/dtn) = - 2Jn + [-1,+1] Sn dm [Jn = (1/4) 4 In(W) dW]. Si la función fuente es isótropa
(la emisividad no tiene direcciones privilegiadas), entonces se deduce una ecuación
relevante en modelos sencillos de atmósferas estelares: (1/4) (dFn/dtn) = - Jn + Sn .
●● Multiplicando la ETR por m e integrando en direcciones (ángulos sólidos), nos queda
2(dKn / dtn) = - Fn / 2 + [-1,+1] Sn m dm . Si la fuente es isótropa,
dKn / dtn = - Fn / 4 .
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- La colisión con electrones es la causa principal de opacidad en el corazón solar, con una
sección eficaz de interacción sn ~ 0,6  10-24 cm2. Suponer una densidad r = 100 gr/cm3 en
el corazón solar, y estimar la distancia atravesada por un fotón entre colisiones sucesivas.
2.- Deducir la relación entre el flujo de radiación monocromática y la presión
monocromática: Fn = - c (dPn / dtn). En interiores estelares, es interesante trabajar con el
flujo total y la presión total de radiación (integrados sobre frecuencias). Demostrar que
definiendo una opacidad media a través de la relación (1/<k>) [0,] (dPn / dr) dn = [0,]
(1/kn) (dPn / dr) dn , se deduce la expresión para la ETR en interiores estelares:
F = - (c/<k>) (dPR/dr) .
RADIACION DE CUERPO NEGRO Y EQUILIBRIO RADIATIVO (Sesión 13)
La radiación en una cavidad cerrada con paredes a temperatura T, se denomina radiación
de cuerpo negro.
T
La intensidad de la radiación es independiente de la dirección y
viene dada por la función de Planck:
In = Bn(T) = (2hn3 / c2){1 / [exp(hn/kT) – 1]}.
Además de la intensidad monocromática, otras cantidades de interés son
Jn = Bn(T) , Kn = (1 / 3) Bn(T) ,
Pn = (4 / 3c) Bn(T) , un = (4 / c) Bn(T) ,
Fn+ = Fn =  Bn(T) , Fn = 0 .
Integrando la función de Planck sobre todas las frecuencias, encontramos
B(T) = [0,] Bn(T) dn = (2k44 / 15h3c2) T4 = (s / ) T4 = (c / 4) u ,
donde s es la constante de Stefan-Boltzmann y u es la densidad de energía. Si usamos una
relación u = a T4, entonces aparece la nueva constante a = 4s / c.
INTERIOR ESTELAR
● Temperaturas muy altas, con alta densidad de radiación. Sin embargo, el flujo neto
hacia el exterior es pequeño en comparación al nivel de radiación. Así, está justificado
suponer que el campo de radiación es cuasi-isótropo y con un espectro próximo al
espectro de cuerpo negro. Podemos considerar una presión monocromática Pn = (4 /
3c) Bn(T), que podemos “trasladar” a la relación flujo monocromático-gradiente de
presión monocromática que vimos en el problema 2 de la sesión anterior [Fn = - c (dPn /
dtn)]. Integrando sobre frecuencias,
F = - (4 / 3) (dT /dr) [0,] (1 / kn) (dBn / dT) dn .
●● Podemos definir una opacidad promedio independiente de la frecuencia,
1 / <k> = [0,] (1 / kn) (dBn / dT) dn / [0,] (dBn / dT) dn ,
y usar la relación dB / dT = 4sT3 /  , para obtener F = - (4ac / 3<k>) T3 (dT / dr). Es
evidente que existe una relación directa entre el flujo de radiación y el gradiente de la
densidad de energía: F = - D (du / dr), siendo D = c / 3<k> el coeficiente de difusión.
●●● Finalmente, definimos L(r) como la energia (radiación) por unidad de tiempo
cruzando la superficie esférica de radio r. Claramente, L = L(R) es la luminosidad total
de la estrella. Por definición, L(r) = 4r2 F, tal que
L(r) = - (16ac / 3<k>) r2 T3 (dT / dr) .
Esta es la ecuación de transporte radiativo (TR) adecuada en interiores estelares.
¿Cuáles son los efectos dinámicos de la radiación?
Igual que la presión del gas produce una fuerza y una aceleración, la presión de la radiación,
en principio, también producirá efectos dinámicos. Mediante la ETR, encontramos que –
dPR / dr = <k>L / 4r2c (- dP / dr = Grm(r) / r2 !!!). Teniendo en cuenta la fuerza de la
radiación por unidad de volumen, se deduce una aceleración aR = <k>L(r) / 4r2c, donde
<k> / r = <k> es la opacidad promedio específica. Usualmente, esta aceleración es pequeña,
pero en una región estelar extremadamente opaca ( <k> grande) o con luminosidad
muy grande, aR puede ser importante. De hecho, la existencia de aR conduce a un
limite superior sobre la luminosidad de una estrella en equilibrio hidrostático.
LIMITE DE EDDINGTON
Un elemento de materia estará en EQH siempre que aR = <k>L(r) / 4r2c  Gm(r) / r2.
Como un limite absoluto, L(r) = (4cGMʘ / <k>) [m(r) / Mʘ]. En r ≈ R, tenemos LEdd =
(5,03  1037 / <k>) (M / Mʘ) en erg seg-1. Cuando la causa principal de opacidad es la
colisión con electrones, <k> ≈ 0,335 y LEdd = 1,5  1038 (M / Mʘ) erg seg-1. Si la
luminosidad en la envoltura estelar excede LEdd, la envoltura no estará en EQH,
sino acelerándose hacia el exterior. Para una estrella de “tipo solar”, la máxima
luminosidad intrínseca es de aproximadamente 1038 ergios por segundo.
EQUILIBRIO RADIATIVO
Suponer que mediante procesos termonucleares o de otro tipo, se está generando cierta
cantidad de energía por unidad de masa y por unidad de tiempo, a una distancia r del centro
de la estrella. Si nos fijamos en una capa esférica de espesor dr, la energía adicional
añadida al campo de radiación será dL = 4r2 re dr. De otra forma,
dL / dr = 4r2 re .
Cuando se aplica a interiores estelares, la ecuación anterior se llama ec. de producción de
energia (PE). La razón de producción de energía e (erg gr-1 seg-1) depende de las
condiciones físicas del material en un radio dado: composición química, temperatura (T) y
densidad (r). La radiación se genera mediante procesos en el interior estelar, se propaga en
la atmósfera estelar (F = cte), y finalmente, emerge hacia el espacio interestelar.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- Mostrar que la ecuación F = - (4ac / 3<k>) T3 (dT / dr) es equivalente a la ecuación para
la conducción del calor F = - kc T. Obtener el valor de la conductividad kc.
2.- Calcular la energía promedio de un fotón en un espectro de Planck Bn(T), y estudiar la
dependencia con la energía de dBn / dT. Como dBn / dT es la función de peso para obtener
la opacidad media <k>, discutir si la opacidad media y la conductividad kc, están
relacionadas con fotones de baja energía, de energía promedio (típica) o de alta energía.
ATMOSFERAS ESTELARES SENCILLAS (Sesión 14)
ATMOSFERAS SENCILLAS
El transporte de energía en las atmósferas de la mayor parte de las estrellas es radiativo. Las
principales excepciones son probablemente las enanas blancas y las estrellas frías, para las
cuales el transporte convectivo (inestabilidad en el medio que produce el ascenso de
porciones de fluido calientes hacia regiones más frías, para descargar allí su exceso de
energía interna, así como el proceso inverso) puede ser importante. Los problemas de
atmósferas se simplifican en parte, ya que no hay fuentes de energía y la estructura de la
estrella (M, R y L) se conoce mediante cálculos en el interior. Por otro lado, se complican
debido a diversos factores.
Complicaciones …
(a) La atmósfera puede no estar en equilibrio termodinámico local (ETL) e In puede diferir de
una ley de Planck.
(b) La radiación atravesando la atmósfera contiene información sobre las condiciones locales
(presión, composición, presencia de turbulencias, campos magnéticos, etc.). Las
mencionadas condiciones se pueden deducir mediante el número, intensidad y forma de
las líneas espectrales atómicas y moleculares.
(c) En estrellas frías que han desarrollado zonas convectivas inmediatamente debajo de la
atmósfera, debemos resolver la estructura interna y la atmósfera de forma conjunta.
ATMOSFERA STANDARD sencilla: primeramente, suponemos transporte radiativo
y ausencia de fuentes. Usualmente la escala H es mucho menor que R, de forma que
podemos aproximar la atmósfera real a una estructura planar de extensión infinita. El
flujo total será constante, y se puede expresar en función de una temperatura efectiva: F
= s Tef4. Midiendo la profundidad óptica desde la capa más externa de la atmósfera hacia
el interior, la ec. del flujo F = - (c/<k>) (dPR/dr) se re-escribe como c(dPR/dt) = s Tef4, dt
= - <k> dh. Aquí, t es la profundidad óptica promedio.
dt > 0
hmax , t = 0
h = 0, t > 0
Integrando la presión: PR = (s/c) Tef4 (t + q), donde q es
una cte. determinada por la cond. contorno PR(t = 0) =
PRS. Es decir, q = cPRS / sTef4.
● También suponemos que existe equilibrio termodinámico local (ETL), o en otras
palabras, el campo de radiación es localmente de tipo Planck. Aunque la aproximación de
ETL es bastante razonable en interiores estelares, es probablemente una mala aproximación
en una atmósfera. De este modo, los resultados son unicamente una aproximación grosera a la
realidad.
●● En la superficie de la estrella, la radiación solo fluye hacia el exterior (una situación muy
diferente a la del interior estelar). Si se trata de radiación de cuerpo negro con temperatura
Tef, la presión de radiación será la mitad de la presión de Planck para esa temperatura.Es
decir, PRS = (2s / 3c) Tef4. Este resultado conduce a q = 2/3 y T4 = (3/4) Tef4 (t + 2/3).
●●● En este modelo sencillo, la temperatura efectiva es la temperatura a una profundidad
óptica t = 2/3. Asimismo, la temperatura superficial (t = 0) es T(0) = 0.841 Tef.
●●●● Para completar el modelo de atmósfera, debemos usar la ec. EQH. Dicha ecuación
introduce la gravedad superficial de la estrella g, que a su vez, depende de la masa M y el
radio R de la estrella (deducibles mediante el estudio del interior estelar). Para la
mayoria de las atmósferas R + h  R, Matm << M y g = GM/R2. La ec. EQH se escribe
dP/dh = - gr, y dividiendo ambos lados por <k>, se obtiene dP/dt = gr/<k>.
Desafortunadamente, no podemos integrar esta ecuación sin conocer como varia la
opacidad media con las propiedades físicas de la atmósfera. Como una primera
aproximación, podemos considerar que <k> es independiente de T y r.
●●●●● Finalmente, suponiendo que la presión dominante es la presión del gas (no la de
la radiación), P = rkBT/mmH, podemos deducir la forma explicita de la presión y la
densidad.
P = P0 exp[(gmmH/<k>) [0,t] dt’/kBT(t’)]
r = P0 [mmH/kBT(t)] exp[(gmmH/<k>) [0,t] dt’/kBT(t’)]
Segundo modelo sencillo: ATMOSFERA GRIS
(opacidad independiente de la frecuencia)
Si la opacidad es independiente de la frecuencia, mediante la ec. TR se deduce: (1/4) (dFn/dt) =
Jn - Sn, que puede integrarse en frecuencias y conducir a (1/4) (dF/dt) = J - S . En equilibrio
radiativo (F = cte), simplemente J = S. Volviendo a la ETR integrada, m (dI / dt) = I - S = I - J =
I - (1/2) [-1,+1] I dm. Esta ecuación integro-diferencial (ec. de Milne-Schwarzschild) puede
resolverse, y en principio, podemos obtener una solución I(t,m). La solución para la intensidad
media J(t), válida desde t = 0 hasta t = , verifica J(t) = (3/4) F [t + 0,7104 – 0,1331 exp(3,449 t)]. Como en el modelo anterior se cumplia la igualdad J = (3/4) F (t + q), q = 2/3, aquí
re-expresamos J como J(t) = (3/4) F [t + q(t)]. El valor de q(t) varia desde 0,5773 para
profundidad cero, hasta 0,7104 para profundidad infinita, y estos valores no son muy diferentes
del valor 2/3 encontrado en el modelo previo. Con la hipótesis de ETL (J = B = sT4/), podemos
finalmente obtener un nuevo modelo para T(t) en una atmósfera estelar.
¿… y la composición de la atmósfera (lineas espectrales)?
En los modelos sencillos se “evitan” las líneas epectrales. Para tenerlas en cuenta,
necesitamos resolver la ETR para grupos concretos de energia, es decir, debemos trabajar
con In en lugar de I. Si fuésemos capaces de deducir In, entonces conoceriamos el espectro
de radiación continua de la estrella, el cual debe usarse para investigar la intensidad y la
forma de las líneas de emisión y absorción. Estos detalles de las líneas son sensibles a la
composición y estado de ionización del gás, así como a la temperatura, a la presencia de
campos magnéticos, etc.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- Suponiendo que la atmósfera solar está caracterizada por una temperatura efectiva Tef =
6000 K, comparar la variación de T con t, para una atmósfera standard y para una gris.
2.- Usando el modelo standard, tabular P, r y T en función de t para la atmósfera solar.
Tomar <k> = <k>/r = 1 cm2 gr-1.
MODELOS ESTELARES I: INTERIORES (Sesión 15)
Podemos construir modelos “realistas” del interior estelar, partiendo de todas las ecuaciones
de estructura estelar estática y radiativa que hemos visto: EQH + Masa-Densidad + TR +
PE
Las ecuaciones diferenciales de partida son:
dP / dr = - GrMr / r2
dMr / dr = 4 r2 r
(EQH)
(Masa-Densidad)
dT / dr = - 3<k>r T-3 Lr / 16acr2 (TR)
dLr / dr = 4r2 re
(PE) ,
donde m(r) = Mr y L(r) = Lr.
Por otro lado, la composición química C se define mediante los parámetros (X, Y, Z), siendo
r(H) = Xr, r(He) = Yr y r(metales) = Zr. La masa por partícula es mmH, donde 1/ m = 2X +
3Y / 4 + Z / 2. Si solo hay hidrógeno, X = 1, Y = Z = 0 y m = 1 / 2, mientras que para helio
puro, Y = 1, X = Z = 0 y m = 4 / 3. Cuando solo hay carbono, oxígeno o silicio, Z = 1, X = Y
= 0 y m = 2. En estrellas de población I: X = 0,6, Y = 0,38, Z = 0,02 y m = 0,67.
Dada una composición química C, disponemos de 4 relaciones (ec. dif. de primer orden) para
7 incógnitas: P, r, Mr, Lr, e, T y <k>. La conclusión trivial es que necesitamos tres nuevas
relaciones que no nos añadan nuevas incógnitas. Junto a condiciones de contorno iniciales
(Pc = P(0), Tc = T(0), R, M = MR y L = LR !!!), las ecuaciones que completan el esquema son:
<k> = <k>(r,T,P,C)
e = e(r,T,C)
(OPACIDAD)
(RAZON DE PRODUCCION DE ENERGIA)
P = P(r,T,C)
(ECUACION DE ESTADO) .
S16
OPACIDAD
Los principales procesos que contribuyen a la opacidad son:
(1) Dispersión electrónica: un fotón colisiona con un electrón libre y cambia la dirección de
su movimiento (pero no pierde energía)  ke
(2) Transiciones libre-libre: un fotón es absorbido por una carga libre (esencialmente un
electrón), la cual adquiere mayor energía (se acelera). El proceso inverso es la radiación
de frenado o “Bremsstrahlung”  kff
(3) Transiciones ligado-libre: fotoionización de un átomo o ión. El proceso inverso es la
recombinación radiativa  kbf
Dispersión electrónica
La sección eficaz para la dispersión electrónica es la sec. eficaz de Thomson sT = 6,65 
10-25 cm2. La opacidad específica (ke) es el cociente entre ke y la densidad r. Por lo tanto,
como ke es la sección eficaz macroscópica (ke = sTne, donde ne es la densidad número de
electrones libres en el gás), se tiene que
ke = sTne/r = 0,2(1 + X) (cm2 gr-1).
Debemos tener en cuenta que la dispersión electrónica es independiente de la frecuencia n.
Los fotones también pueden ser dispersados por protones libres (H+) y otros iones. Sin
embargo, la razón de secciones eficaces es muy pequeña: s(ion)/s(e) < 10-6.
Transiciones libre-libre
Un fotón es absorbido o emitido por una carga libre (produciéndose aceleración o
deceleración de la carga). La opacidad resultante es dependiente de la frecuencia, con un
comportamiento aproximado kff(n)  r n-3 T-1/2. Cuando se calcula la opacidad media, se
obtiene la opacidad de Kramers
< kff> = k0 r T-3,5,
donde la amplitud k0 depende de la composición química: k0 = 3,68  1022 (1 + X) (1 – Z)
<gff>. Aquí, gff es el factor de Gaunt, que es del orden de la unidad y depende debilmente
de la frecuencia.
Transiciones ligado-libre
Se trata de procesos de fotoionización y recombinación radiativa. La opacidad es
dependiente de la frecuencia, igual que sucedia en los procesos anteriores. Igual que en el
fenómeno precedente, se tiene un comportamiento aproximado kbf(n)  r n-3 T-1/2, de
forma que la opacidad media verifica
< kbf> = k0 r T-3,5,
donde la amplitud vale k0 = 4,34  1025 Z (1 + X) <gbf>/t. Aparecen dos factores de
corrección: el factor de Gaunt promedio (gbf es del orden de la unidad y depende
debilmente de la frecuencia) y otro factor t.
ECUACION DE ESTADO
● La presión dominante será la debida al gas de partículas. Si consideramos un gas ideal, la
presión debida a las partículas de tipo i será Pi = rikT/mi. La presión total del gas es la suma
de las presiones ejercidas por cada una de las componentes (ley de Dalton): PG = kT 
(ri/mi). La temperatura es la misma para todo tipo de partículas, mientras que las densidades
número no son iguales. Ya sabemos que r(H) = Xr, r(He) = Yr y r(metales) = Zr. Por otro
lado, la densidad de electrones vale: r(e) = (me/mH) (X + Y / 2 + Z / 2)r. Sumando las
densidades número,  ni = r / mmH, 1/ m = 2X + 3Y / 4 + Z / 2. Finalmente, tenemos una
ecuación de estado
PG = (r / mmH) kT .
●● De una forma detallada, debemos incluir también la presión debida a la radiación PR.
Dicha presión vale PR = (1/3) aT4. Usualmente, se suele trabajar con la razón de presiones
b = PG/P, de forma que la presión total vale
P = PG/b = (r / bmmH) kT .
La ventaja de esta descripción es que si b es espacialmente constante, entonces el efecto
de incluir la radiación es equivalente a modificar el parámetro m. En este último caso,
podemos trabajar solo con gas, teniendo en cuenta que m  bm. Sin embargo, en general,
b dependerá de la posición en la estrella. La aproximación más usual en estrellas
“normales” es que b = 1 y P = PG.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- Considerar la colisión de un fotón de frecuencia n (longitud de onda l) y un electrón en
reposo. Suponiendo que se conserva la energía y la cantidad de movimiento, se deduce la relación
Compton para el cambio en longitud de onda del fotón: Dl = l* – l = (h / mec) (1 – cosq) .
Discute para que energias es razonable la aproximación de la dispersión Thomson.
n
q
n
2.- Considerando que <gff>  1, comparar las opacidades específicas para la dispersion
electrónica (<ke>) y para las transiciones libre-libre (<kff>). Tomar una composición química
simple (X = 1, Y = Z = 0) y varios valores para la temperatura y la densidad en el interior estelar.
3.- Verificar que una opacidad monocromática k(n)  r n-3 T-1/2 conduce a una opacidad
promedio < k> = k0 r T-3,5.
4.- Comparar las contribuciones de las transiciones ligado-libre y libre-libre a la opacidad, para
estrellas de población I y de población II (X = 0,9, Y = 0,099, Z = 0,001), usando <gbf>  <gff> 
1y t  10.
5.- En la estimación de 1/ m = 2X + 3Y / 4 + Z / 2 en la ecuación de estado del gas de partículas,
¿se hace alguna aproximación?
MODELOS ESTELARES II: RAZON DE PRODUCCION DE ENERGIA (Sesión 16)
En el interior estelar tienen lugar procesos de fusión termonuclear, que liberan gran cantidad de
energía. A altas temperaturas, los núcleos ligeros alcanzan grandes velocidades relativas, y es más
probable que puedan aproximarse lo suficiente como para fusionarse. Si pensamos en dos
protones, deberán vencer una barrera Coulombiana de aproximadamente EC  e2 / R  1 MeV,
donde R es la distancia donde entra en juego la atracción entre nucleones ( 10-13 cm).
EC
R
EN
El gas en el corazón solar tiene una temperatura de aproximadamente 2  107 K, y las
velocidades de los protones obedecen una ley de Maxwell. La distribución de energias es f(E)
= (2/1/2) (1/kT)3/2 exp(- E/kT) E1/2. Para esta distribución, la energia promedio vale <E> =
(3/2) kT  varios keV  10-3 EC. Desde un punto de vista clásico, el Sol no dispone de
suficientes protones con energias mayores que EC para producir la energia que realmente
produce. Sin embargo, debido al efecto tunel de la mecánica cuántica, los protones tienen una
probabilidad finita de fusionarse, sin necesidad de poseer energias del orden de EC.
Para deducir la razón de producción de energía, tenemos que concentrarnos en dos
aspectos diferentes:
(a) La cantidad de energía liberada en cada reacción termonuclear
(b) La velocidad (o ritmo) de las reacciones
CANTIDAD DE ENERGIA LIBERADA POR REACCION
Aunque hablemos de energía por reacción, la fusión de hidrógeno para producir helio se
realiza mediante una cadena de reacciones nucleares. Se puede ver como un proceso
global 4H  He4, pero en realidad tienen lugar varios procesos diferentes (cadena).
Dependiendo de la composición química (materiales disponibles) y la temperatura,
pueden desarrollarse cadenas diferentes.
Cadenas protón-protón (pp)
La cadena pp principal consiste en el conjunto de reacciones:
H(H,e+ne)D(H,)He3
He3(He3,2H)He4 .
En esta cadena, la velocidad de producción de energía es gobernada por la reacción más lenta,
en la cual se produce deuterio tras un proceso de interacción electro-débil: p  n + e+ + ne.
Esto ocurre a T  107 K, y se liberan Eppp = 26,2 MeV. Domina en estrellas con M  Mʘ.
Pueden ocurrir cadenas pp secundarias (pps). Por ejemplo, a T > 2  107 K:
He3(He4,)Be7(H,)B8( ,e+ne)Be8( ,He4)He4 .
La cadena completa libera una energía Epps = 19,27 MeV. La importancia de esta cadena
secundaria depende de cuanto He4 está presente en el medio.
Toda la energía considerada es energía fotónica. Como vemos, también se producen
neutrinos. Sin embargo, la materia es transparente a los neutrinos.
Ciclo CNO
Se piensa que las capas superficiales de la mayoria de las estrellas no han cambiado desde la
formación de las mismas. Por otro lado, en las atmósferas de algunas estrellas se encuentran
cantidades apreciables de elementos como C, N, O, así como trazas de elementos más
pesados (Na, Fe, etc.). Estas observaciones sugieren la posibilidad de que las reacciones
involucrando a los núcleos C, N y O sean importantes. Por ejemplo, el núcleo C12 puede
actuar como catalizador para convertir 4H en He4, sin ser “destruido” en el proceso. Así
tenemos el ciclo CN:
C12(H,)N13( ,e+ne)C13(H,)N14(H,)O15( ,e+ne)N15(H,He4)C12 .
La importancia de este proceso en interiores estelares dependerá de la abundancia de C12 y de
la temperatura. Mientras que en la cadena pp tenemos barreras Coulombianas más pequeñas,
aquí aparece una barrera de altura relativa Z1Z2 = 6. Se requieren temperaturas altas, y será
dominante en estrellas masivas: M > Mʘ.
El ciclo CN anterior puede “alimentarse” mediante nuevos procesos. Por ejemplo, se
produce nitrógeno mediante
O16(H,)F17( ,e+ne)O17(H,He4)N14 .
Aunque este proceso parece destruir el oxígeno, la reacción N15(H,He4)C12 no ocurre
siempre. Algunas veces tiene lugar la reacción N15(H,)O16, que se encarga de regenerar
el oxígeno en el medio. Al conjunto de todas las reacciones se le llama ciclo CNO.
VELOCIDAD DE LAS REACCIONES
El número total de reacciones X(a,b)Y que tienen lugar por unidad de volumen y unidad de
tiempo, para una velocidad relativa (entre a y X) v, está dado por r = na nX v s(v). Si la
distribución de velocidades relativas es f(v), la velocidad de reacción total (teniendo en
cuenta todos los movimientos posibles) se obtiene como r = na nX  v s(v) f(v) dv = na nX
<vs>. Si en la reacción se libera una energia fotónica EXa, la energia liberada por unidad de
masa y por unidad de tiempo es
e = (na nX / r) EXa <vs> .
El factor nanX mide la densidad número de pares de partículas en colisión, si ellas son
diferentes. Cuando X y a son de la misma especie (p.ej., H + H en la cadena pp), la
densidad número de pares es nX2 / 2. En la cadena pp, la primera reacción (H + H) gobierna
la razón de producción de energía, y lo mismo ocurre en el ciclo CNO, donde la primera
reacción (C12 + H) es la más lenta y gobierna la razón de producción de energía total.
La razón e puede aproximarse por una ley e0 r Tb (erg gr-1 seg-1), donde
 = 1,
 = 1,
b = 18
b = 4-5
cadena ppp,
ciclo CNO, y e0 depende de la composición química.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- Dada una reacción de fusión X + Y entre dos núcleos, la temperatura necesaria para que
tenga lugar el proceso viene groseramente dada por T  C Z12Z22 m (K), donde C es una
constante, Z1 y Z2 son las cargas de los núcleos X e Y, respectivemente, y m es la masa
reducida del par (X,Y). Si la reacción H + H se produce a una temperatura de 106 K, obtener
la temperatura a la cual se producen los siguientes procesos: D + H, He3 + He3, He3 + He4,
Li7 + H y Be7 + H.
2.- Teniendo en cuenta que la sección eficaz de interacción de un neutrino con un nucleón es
de s  10-44 cm2, ¿cúal es la probabilidad de que un neutrino escape del corazón solar?.
MODELOS ESTELARES III: SOLUCIONES (Sesión 17)
"STELLAR INTERIORS: PHYSICAL PRINCIPLES, STRUCTURE, AND EVOLUTION”
by
CARL J. HANSEN and STEVEN D. KAWALER
PUBLISHED BY SPRINGER-VERLAG NEW YORK, INC, 1994
______________________________________________________________________
Contiene un “diskette” con programas sobre modelos estelares. El código fuente es un
programa FORTRAN (ZAMS.FOR), y el correspondiente ejecutable es ZAMS.EXE. Como
ayuda (guia) incluye los parámetros de entrada para modelizar estrellas en la SP con una
masa solar (M = 1 Mʘ) y con 15 Mʘ. También incluye las salidas correspondientes.
SALIDA (ejemplo)
ENTRADA (ejemplo)
MR (Mʘ): 1. (final)
X e Y: .74 .24
Pc (CGS):
1.483e17
Tc (K): 1.449e7
R (cm): 6.93e10
LR (Lʘ): .9
Nombre Fichero de Salida: ejemplo
¿Estudios de Pulsación? (Y/N): N
1-Mr/M log(r) log(P) log(T) log(r) log(L)
0.998 9.28 17.16 7.15 1.91 31.63
0.997 9.38 17.15 7.15 1.91 31.93
…
0.976
9.71 17.09 7.13 1.87 32.81
GRAFICAS (FORTRAN, MATLAB,…)
ZAMS incluye los siguientes ingredientes:
 Transporte radiativo o convectivo. En el caso de transporte convectivo, se tiene
dT / dr = - (1 - 1/) (T / P) (GrMr / r2) (TC) +  = (r,T,C) (INDICE ADIABATICO)
 Razón de producción de energia debida a la contribución de las cadenas pp y del
ciclo CNO
 Ley de opacidad compleja, que es válida en un rango “razonable” de composiciones
químicas: 0,6 < X < 0,8, 0,2 < Y < 0,4 y 0,001 < Z < 0,02 (próximas a la población II)
 Ecuación de estado de un gas más radiación
Nos concentramos en las soluciones para tres modelos estelares. Todos ellos tienen una
composición química X = 0,70, Y = 0,29 y Z = 0,01.
Por otro lado, las condiciones de contorno iniciales son:
MR (Mʘ)
Pc (CGS)
Tc (K)
R (cm)
LR (Lʘ)
1 (final)
1,482 1017
1,442 107
6,932 1010
0,9083
3 (final)
1,141 1017
2,347 107
1,276 1011
89,35
15 (final)
2,769 1016
3,275 107
3,289 1011
19600
ATMOSFERAS
MR (Mʘ)
Tef (K)
1
6352
3
15025
15
33643
Dado el radio estelar R, la masa
estelar M = MR y la luminosidad
total L = LR, se pueden estimar
propiedades atmosféricas. Por
ejemplo, la gravedad atmosférica (g
= GM/R2) o la temperatura efectiva
(L = 4R2 s Tef4).
TRABAJO PERSONAL [Análisis de soluciones mediante el programa ZAMS]
1.- Ejecutar el programa ZAMS para una composición química X = 0,70, Y = 0,29 y Z =
0,01, una masa total igual a tres masas solares, y las condiciones (Pc,Tc,R,LR) usadas en la
segunda fila de la tabla de modelos. Comprobar que se verifican las ecuaciones de equilibrio
hidrostático y de producción de energía en las diferentes capas de la estrella. Dada la capa iésima, a veces, se puede construir el gradiente de una cantidad cualquiera F, como (dF/dr)i =
(1/2)(Fi – Fi-1)/(ri – ri-1) + (1/2)(Fi+1 – Fi)/(ri+1 – ri). Este método promedio, funciona bien
cuando las capas i-1 e i+1 son aproximadamente equidistantes de la capa de referencia i. En
caso de capas sucesivas no equidistantes, es mejor aproximación hacer una media pesada
(con pesos dependientes de la separacion entre capas); o simplemente, tomar la capa más
próxima a la de referencia, por ejemplo la i+1, y estimar (dF/dr)i = (Fi+1 – Fi)/(ri+1 – ri).
2.- Compara la solución para P(r) obtenida en la cuestión 1, con el comportamiento de
(r/mmH) kT + (1/3) aT4 (presión de un gas ideal de H, He, metales y electrones + presión de
la radiación).
3.- Comparar la solución para la opacidad vs. r obtenida en la cuestión 1, con el
comportamiento 0,2(1 + X) + [3,68  1022 (1 + X) (1 – Z) + 4,34  1024 Z (1 + X)] r T-3,5
(opacidad global <ke> + <kff> + <kbf> discutida en la S15, con <gbf>  <gff>  1y t  10).
4.- Con los resultados T(r) de la cuestión 1, construir la evolución espacial del gradiente
dT/dr. Comparar la ley deducida con la expresión - 3<k>r T-3 Lr / 16acr2 (transporte
radiativo). ¿Encuentras alguna región en la cual el gradiente de temperatura no se pueda
aproximar por la expresión correspondiente a transporte radiativo (evidencia de transporte
convectivo)?. En caso afirmativo, ¿está en el corazón estelar o en la periferia?.
ESPECTROS ESTELARES
‘Astrophysics I: Stars’(1984)
FORMACION DE LINEAS EN ESPECTROS ESTELARES (Sesión 18)
● Se forman líneas de emisión y absorción cuando la atmósfera contiene una cantidad
suficiente de átomos neutros o parcialmente ionizados. Estas líneas son de gran
importancia en astrofísica estelar, debido a que tienen impresas huellas de las
condiciones locales en el gas. Un estudio detallado de la forma de las líneas puede dar
información acerca de r, P y las abundancias atómicas.
●● Podemos comprender el mecanismo de formación de una línea de absorción a
frecuencia n0, examinando la opacidad total: continuo (kc) más línea (kl). Si existe
absorción fuerte a una frecuencia n0, ello implica que el recorrido libre medio para
fotones con frecuencias próximas a n0, l(n0), es pequeño en comparación al recorrido
libre medio de fotones en ausencia del agente causante de la línea, lc(n0) = [kc(n0) r]-1. Es
decir, kl(n0) >> kc(n0) y l(n0) = {[kc(n0) + kl(n0)] r}-1  [kl(n0) r]-1 << lc(n0).
●●● Si el continuo Planckiano se forma a una profundidad óptica tc, a una profundidad
óptica menor (ta), se encontrará con el agente causante de la absorción a frecuencia n0 y
se generará la línea. Suponiendo que la dispersión de fotones no es importante, se
producirá absorción en ta < tc, que será seguida por un proceso de emisión. Se emitira a
la temperatura del gas en ta, Ta = T(ta) < T(tc) = Tc.
 Como Tc > Ta, el flujo de energía continuo  B(n0,Tc) excederá la intensidad de línea 
B(n0,Ta), y el espectro exhibirá un “pozo” de absorción a frecuencia n0.
B(n,T)
Ta
Tc
n0
n
Una aproximación razonable para estudiar la formación de líneas en una estrella, consiste en
adoptar la radiación continua predicha por un modelo atmosférico, y entonces investigar la
absorción de la radiación a ciertas frecuencias, cuando esta atraviesa la atmósfera. Con este
procedimiento, podemos ajustar la composición del gas que reproduce las líneas
observadas. De forma inversa, dadas unas características espectrales deducidas de
observaciones (mediante las cuales podemos obtener la composición del material
absorbente), podemos extraer propiedades de la atmósfera, tales como la densidad, la
temperatura y la gravedad atmosférica o superficial.
PERFIL DE LINEA
 Un primer ensanchamiento “natural” (inevitable) de una línea, se produce como
consecuencia del principio de incertidumbre: DE Dt  h. La sección eficaz de absorción
es
s(n) = s0 {(/42) / [(n – n0)2 + (/4)2]} ,
donde s0 = f (e2/mec), f es la “intensidad de oscilador”, la FWHM de la línea es /2, y
por ejemplo, f = 0,641 y   5  107 seg-1 para la línea H (serie Balmer, l = 656,3 nm). El
otro ensanchamiento natural es debido a la agitación térmica. Un átomo en movimiento
absorbe radiación a una frecuencia diferente a la frecuencia de absorción del mismo átomo
en reposo. Si se mueve con velocidad v, entonces absorbe a frecuencia n + n(v/c) (efecto
Doppler), en lugar de a frecuencia n. Por otrolado, a temperatura T, la distribución de
velocidades será Maxwelliana: f(v) = (1/1/2) (m/2kT)1/2 exp(- mv2/2kT). Una velocidad
característica o típica es la velocidad Doppler térmica vD = (2kT/m)1/2, mientras que la
anchura Doppler de la línea viene dada por DnD = n0 (vD/c). La anchura “natural” está
dominada por el ensanchamiento Doppler. Por ejemplo, si consideramos sodio (Na) en
la atmósfera solar (T = 6000 K), tendremos vD = 2,1 km seg-1. Las línea D del Na tiene
asociada una frecuencia de 5  1014 Hz (seg-1), para la cual DnD = 3  109 Hz. Por el
contrario, la anchura “cuántica” es mucho menor, con   108 Hz. Finalmente, se usa una
sección eficaz
s(n) = (s0/1/2) (1/ DnD) exp{- [(n – n0)/ DnD]2}.
 Además del ensanchamiento natural, algunas estrellas pueden presentar ensanchamientos
adicionales (que no ocurren en todas). Por ejemplo, el ensanchamiento adicional producido
por movimientos turbulentos en la atmósfera. Si la velocidad típica de las turbulencias es
vT, aparece una velocidad Doppler efectiva vD2 = 2kT/m + vT2. Otro efecto a considerar es el
ensanchamiento debido a desexcitación por “colisiones” (una corrección al
ensanchamiento natural mecánico-cuántico). Imaginemos un átomo excitado, que tardará un
cierto tiempo típico Dt en desexcitarse. Si otro átomo pasa cerca (“colisiona” con el primero),
puede contribuir a una desexcitación más rápida que la que se produciria en ausencia de la
“colisión”. La vida media se reduce, y volviendo al principio de incertidumbre (DE Dt  h), la
incertidumbre energetica aumenta. Todo esto se traduce en un aumento de . Aparece una 
efectiva que es la suma  + G, donde G es la probabilidad de transición inducida por
“colisión”, por unidad de tiempo.
Consideramos que sdc es la sección eficaz para desexcitación por “colisión”, que dependerá
de el campo de fuerza de las particulas que “colisionan”, asi como de las propiedades de los
niveles de energia involucrados. Ya que las velocidades térmicas típicas son del orden de vD,
podemos obtener G como G  ncsdc vD, y G/ DnD  ncsdc c /n0. Aquí, nc es la densidad número
de partcículas que “colisionan” con cierto átomo.
Se puede construir una sección eficaz que incorpora todos los efectos discutidos: s(n) =
s(n0) H(,h), donde H es la función de Voigt,  =  / 4DnD y h = (n – n0)/ DnD. En el
centro de la línea (h = 0), s(n0) = (s0/1/2) (1/ DnD) H(,0). Para muchas situaciones
astrofisicamente interesantes, se verifica que  << 1, H(,0) = 1y la sección eficaz en el
centro de la línea es s(n0) = (s0/1/2) (1/ DnD). En las alas del perfil de la línea, se tiene que h
>>  y una función de Voigt aproximada H(,h)  (/1/2) (1/ h2).
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- Discutir el motivo por el cual el espectro continuo no es exactamente Planckiano, sino un
espectro cuasi-Planckiano que está “endurecido” o “calentado”.
2.- Imaginar que la línea H en el espectro solar, está ensanchada únicamente como
consecuencia del efecto Doppler térmico. ¿Cuanto vale la sección eficaz en el centro de la
línea?.
3.- Considerar las densidades típicas en la atmósfera solar, y suponer que sdc es del orden de
las dimensiones atómicas (es decir, 10-16 cm2). Entonces, para una transición en la región
visible del espectro, mostrar que G es mucho menor que DnD.
INTENSIDADES DE LINEAS ESPECTRALES (Sesión 19)
Suponemos que las líneas se forman en una capa atmosférica plana (región de formación de
líneas: RFL) con propiedades físicas (T,r,P), la cual esta situada sobre la fuente de radiación del
continuo. El espesor óptico de esta capa (cuyo espesor físico es h) es tn = [0,h] kn dh = kn h, y la
intensidad de radiación que emerge de la RFL es In(h) = In(0) exp(- kn h) = In(0) exp(- tn). El paso
de radiación a través de la RFL produce dos efectos: una atenuación exp[- kc(n) h], la cual varia
suavemente sobre un amplio rango de frecuencias, y una atenuación adicional exp[- kl(n) h], que
se hace muy importante en la vecindad del centro de una línea n0, pero que se hace despreciable
para n > n0 o n < n0.
► Se define el perfil de línea corregido o intensidad residual como la razón entre la
intensidad total (continuo mas línea) y la intensidad del contínuo. Se puede expresar como
r(n) = {In(0) exp{- [kl(n) + kc(n)] h} / In(0) exp[- kc(n) h]} = exp[- kl(n) h].
Teniendo en cuenta la definición de opacidad, se debe
verificar kl(n) = n s(n), donde n es la densidad número de
1
absorbentes que generan la línea a frecuencia n0 y s es la
sección eficaz microscópica del proceso. De forma mas
explícita, kl(n) = n(T,P) [1 – exp(- hn/kT)] (e2/mec)f F(n).
La sección eficaz s(n) incluye un factor 1 – exp(- hn/kT)]
n0
n
asociado con la emisión estimulada, así como la función F(n)
que incorpora todos los efectos posibles: ensanchamiento
mecánico-cuántico, correcciones debidas a la desexcitación
por “colisiones”, ensanchamiento térmico, efectos de
turbulencias, efectos de rotación, etc.
Algunas veces no se dispone de datos detallados del perfil de línea corregido, y solo se
conoce la cantidad de energía total perdida (por el continuo) en la línea. Es el área amarilla
en la figura r(n) vs. n, y se llama anchura equivalente de la línea. En unidades de
frecuencia, vale W0 = W(n0) = [0,] [1-r(n)]dn.
r(n)
► Si la línea es débil, entonces el espesor óptico será pequeño: kl(n) h << 1. En este caso,
la intensidad residual se puede desarrollar en serie. Quedándonos en el primer orden, r(n)
 1 - kl(n) h.
En la línea débil, vemos que existe una relación lineal entre r(n) y kl(n), y la anchura
equivalente es simplemente una integral sobre la opacidad de línea.
W0 = [0,] kl(n) h dn = n h (e2/mec)f [0,] [1 – exp(- hn/kT)] F(n) dn = n h (e2/mec)f [1 –
exp(- hn0/kT)].
En la expresión anterior, se ha tenido en cuenta que F es una función prominente en n = n0,
que el factor de emisión estimulada es una función suave en comparación a F y que [0,]
F(n) dn = 1. La anchura equivalente de una línea débil es proporcional a la densidad número
de átomos absorbentes, al espesor físico de la RFL, y a la “intensidad del oscilador” f.
► Cuando la densidad columna de átomos absorbentes (nh) crece, la aproximación de línea
débil no funciona, y la anchura equivalente de la línea será menor que la dada por la
expresión aproximada.
r(n) = 1 - kl(n) h + [kl(n) h]2/2 + …  W0 = [0,] [kl(n) h - [kl(n) h]2/2 - … ] dn = W0,débil DW0 - …
Como DW0 > 0  W0 < W0,débil . Por otro lado, cuando la densidad columna es
suficientemente grande, la mayoria de los fotones son “eliminados” del haz inicial
(absorbidos), y un aumento en la densidad columna, apenas decrecerá la intensidad. Este
fenómeno se llama saturación.
aprox. línea débil
W0
saturación
nh
Comportamiento de W0 para diferentes secciones eficaces s(n)
● PERFIL DE LINEA DEBIDO A UN ENSANCHAMIENTO DOPPLER PURO
La anchura equivalente de la línea será W0 = [0,] {1 – exp[- n h f (e2/mec) (1/1/2 DnD)
exp{- [(n – n0)/ DnD]2}]} dn. Haciendo un desarrollo en serie completo de la exponencial,
se llega a W0 = - [N=1,] (1/N!) [– n h f (e2/mec) (1/1/2 DnD)]N [0,] exp{- N[(n – n0)/
DnD]2} dn = 1/2 DnD C [1 + M T(CM)], donde C = n h f (e2/mec) (1/1/2 DnD) = n s(n0) h
= tl(n0). Para C grande, W0  DnD (ln C)1/2  [ + ln N]1/2. Vemos que la anchura
equivalente crece muy lentamente con la densidad columna de átomos absorbentes (N = n
h). Es practicamente constante.
●● PERFIL DE LINEA COMPLETO (DEBIDO A DIFERENTES
CONTRIBUCIONES)
Suponemos que para una densidad columna grande, la anchura equivalente está dominada por
s(n) en las alas. Recordando que s(n) = s(n0) H(,h), con  =  / 4DnD y h = (n – n0)/ DnD,
y que H(,h)  (/1/2) (1/ h2) en las alas, obtenemos W0 =  {1 – exp[- ( C/1/2 h2)]} DnD
dh. Haciendo el cambio de variable z =  C/1/2 h2, llegamos a W0  DnD C1/2  N1/2. Así, la
anchura equivalente crece como la raiz cuadrada de la densidad columna.
Curvas de crecimiento: Para una línea débil, la anchura equivalente es siempre proporcional
a la densidad columna, o en otras palabras, W  C. Cuando la densidad columna crece,
aparece la saturación. Los efectos de saturación comienzan a manifestarseen la región central
de la línea. En dicha región, s(n)  s(n0) = (s0/1/2) (1/ DnD) = sDoppler(n0), y tenemos que
W  (log C)1/2. Al continuar aumentando la densidad columna, la saturación también se
manifiesta en las alas, y tenemos un crecimiento W  C1/2. La curva de crecimiento total será
(log C)1/2
log W
C1/2
C
log C
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- Usualmente se define la anchura equivalente en unidades de longitud de onda (miliangströms), W(l0) = [0,] [1 - r(l)]dl. ¿Cuál es la relación entre W(n0) y W(l0)?.
2. (a) Considerar una línea que se produce desde el nivel fundamental de un átomo (energía
E1), y otra que se produce desde el primer nivel excitado (energía E2). La razón entre el número
de átomos en el nivel 1 y el número de átomos en el nivel 2, viene dada por n1 / n2 = [g1 exp(E1/kT)] / [g2 exp(- E2/kT)], donde g1 y g2 son los pesos estadísticos de ambos niveles de energía
(g es el número de estados cuánticos distintos que corresponden a un nivel de energía). Si se
trata de líneas débiles, mostrar que la medida de las anchuras equivalentes, junto a la
identificación de las líneas (g, E, f, n), conduce a la estimación de la temperatura de la RFL.
(b) Si se tratase de líneas débiles para dos especies diferentes X e Y, mostrar que la medida de
las anchuras equivalentes, la estimación de la temperatura y la identificación de líneas (f, n),
conduce a la determinación de la abundancia relativa de ambas especies.
LINEAS DE HIDROGENO Y HELIO (Sesión 20)
En las sesiones anteriores, hemos discutido la influencia de las “colisiones” en la desexcitación
desde cierto nivel, cuando la escala de tiempo asociada a una interacción es menor que la vida
media del nivel (menor que la escala de tiempo radiativa). Si por el contrario, la escala de tiempo
de interacción es mucho mayor que la vida media del nivel, el átomo realiza las transiciones en
presencia de un potencial perturbador, de forma que su estructura de niveles de energía es
ligeramente diferente a la del átomo no perturbado. El nuevo efecto es importante para las líneas
de H y He en estrellas calientes.
Cuando Tint < Trad, esto significa que el átomo perturbador influye al átomo que radia solo
cuando está muy próximo, lo que implica que las fuerzas involucradas son de corto alcance, y
así, podemos hablar de una “colisión”. Por ejemplo, las líneas D del Na en la atósfera solar
son ensanchadas por el impacto de átomos de hidrógeno (neutros). El potencial de interacción
Na-H tiene una dependencia aproximada  r-6, y es de corto alcance.
Sin embargo, en atmósferas estelares más calientes ocurre otro fenómeno. Existe un gran
número de átomos ionizados, y el campo de Coulomb de una partícula cargada es de mucho
mayor alcance ( r-2) que la fuerza de van der Waals entre átomos neutros. En definitiva, Tint
>> Trad. Debido a que el ión situa un campo eléctrico en la vecindad del átomo radiante, al
proceso se le llama efecto Stark estadístico, ya que el efecto Stark describe la perturbación de
líneas espectrales por campos eléctricos. El ensanchamiento Stark estadístico depende de
dos cosas: (a) el campo eléctrico E en el átomo radiante, producido por cierta densidad de
iones n, y (b) el efecto de E sobre la línea espectral de interés.
► Primero, definimos una distancia media entre iones <r> como (4/3) <r>3 n = 1.
<r>
<r> = (3 / 4n)1/3
Después introducimos un átomo radiante en la nube de iones. Suponiendo que la distancia
entre el átomo radiante y un ión (+ 1) es <r>, se define la intensidad de campo standard E0
= e/<r>2 = (4/3)2/3 n2/3 e. El campo real debido a la nube de iones será diferente al standard.
Si introducimos la cantidad b = E/E0, donde E es la intensidad real del campo, entonces
podemos encontrar la distribución de probabilidad para b, considerando que los iones están
aleatoriamente distribuidos. El resultado es w(b) = (2/b) [0,] x sen x exp[- (x/b)3/2] dx. La
ley anterior se conoce como distribución de Holtsmark, y w(b)db representa la
probabilidad de que el campo normalizado b se situe en el intervalo (b, b+db). La integral no
se puede resolver analiticamente, pero se puede aproximar mediante leyes de potencias.
w(b)
Prob. (b)
Para cierta densidad de
partículas ionizadas (n),
Prob. (E)
b
Prob. {E/E0 =
E/[(4/3)2/3 n2/3 e)]}
► En segundo lugar, vamos a considerar el efecto del campo eléctrico E sobre los niveles
de energía atómicos. El desplazamiento en la energia de la transición (DE) debido al
campo E, puede estimarse semiclásicamente. En un átomo cuyo momento dipolar es D = e
l, el desplazamiento energético vale DE = h Dn = hc Dl/l2 = E . D  e E l. Cuando el
campo no es muy fuerte, l es comparable al radio de Bohr a0 = h2/mee2. Cálculos exactos
muestran que Dlk = (3h / 82 mee c) l2 nk E = Ck E, donde nk es un entero que depende de
los números cuánticos delos estados inicial y final, y Dlk corresponde a la k-ésima
componente de linea. Como el desplazamiento en longitud de onda es proporcional a la
intensidad del campo eléctrico, el ensanchamiento de líneas de hidrógeno por este proceso
se llama efecto Stark lineal. La probabilidad de un desplazamiento Dlk desde el centro de
la línea espectral está directamente relacionada con w(b), ya que b = Dlk / Ck E0. También
es importante tener en cuenta la intensidad relativa de cada componente de línea Ik.
► Como el ensanchamiento Stark produce alas extensas, resulta interesante desarrollar una
expresión aproximada para la forma de la línea espectral en sus alas. La sección eficaz será
s(Dl) = {(e2/mec2) l2 f [k Ik Ck3/2 / (1,496)5/2]} E03/2 (Dl) -5/2. En las alas, hay una
dependencia en longitudes de onda como (Dl) -5/2. El perfil de la línea también depende del
campo standard a la 3/2, o equivalentemente, está directamente relacionado con la densidad
de iones n. El valor de la cte. que aparece entre corchetes {…} es (serie Balmer):
H: 3,13  10-16
Hb: 0,885  10-16
H: 0,442  10-16
Hd: 0,309  10-16 .
● He  El átomo de hidrógeno tiene una estructura relativamente simple y se produce el
efecto Stark lineal: los desplazamientos de energia dependen linealmente de la intensidad del
campo eléctrico. En átomos más complejos, el momento dipolar efectivo puede depender del
campo eléctrico externo, y los desplazamientos energéticos pueden estar relacionados con
potencias de E. Por ejemplo, puede aparecer el efecto Stark cuadrático ( E2). Esta es una
complicación importante en el espectro de He, donde la dependencia con el campo eléctrico
no es ni lineal ni cuadrática, sino una ley justo entre ambas. Así, el ensanchamiento Stark en
He es bastante complejo. En al menos una línea de He, aparece una complicación adicional.
Existe una línea de HeI a 447,16 nm, que tiene una longitud de onda próxima a una transición
prohibida por reglas mecanico-cuánticas (446,99 nm). Sin embargo, en presencia de un
campo electrico externo, la transición inicialmente prohibida pasa a ser permitida. Se produce
entonces un solapamiento de lineas.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]
1.- En una estrella como Sirius, las temperaturas atmosféricas son de aproximadamente
10000 K y la presión electrónica es de aproximadamente 630 dinas cm-2. ¿Cuál es la
intensidad de campo standard?. Para comparar con valores en otros escenarios, da el valor de
E0 en el CGS y en voltios cm-1. Dibuja la sección eficaz Stark (alas) para las líneas H, Hb,
H y Hd.
EVOLUCION ESTELAR
‘Astronomy Today’(2001),‘Astrophysics I: Stars’(1984), …
FASES DE LA EVOLUCION ESTELAR (Sesión 21)
► La evolución estelar se puede dividir en tres fases: antes, durante y despues de la
secuencia principal (SP). La primera fase consiste en la formación de una estrella a partir
de una nube de material interestelar, mediante la contracción gravitatoria que conduce al
calentamiento del gas y a la ignición del proceso de fusión de hidrógeno (H + H). Tras la
primera fase, nace una estrella en la SP. La segunda fase, incluye la evolución de la estrella
dentro de la SP. En la tercera y última, se produce una evolución “rápida” tras el consumo
del hidrógeno en el corazón estelar.
► La estrella se forma como consecuencia de la fuerza gravitatoria, y una vez formada
(aislada del resto del universo), toda su vida está determinada por diferentes procesos
físicos que tratan de evitar su destrucción mediante una implosión gravitatoria. A veces
evita el colapso mediante reacciones de fusión nuclear, que mantienen un alto gradiente
de temperatura y generan el gradiente de presión necesario para soportar la masa. En
ciertas ocasiones, se puede agotar un tipo de combustible (p.e., H), y la estrella continua el
colapso hasta que se produce la ignición de un nuevo tipo de combustible (p.e., He).
También se puede frenar el colapso por la presión de un gas degenerado de electrones o
neutrones, o mediante algún suceso violento que recompone su estructura. Cuando el
colapso es inevitable, la estrella muere convirtiéndose en un agujero negro.
Formación
Inicialmente, la nube protoestelar tiene un gran radio, baja densidad y baja temperatura. Si el
colapso es cuasi-estático (contracciones sucesivas pasando por configuraciones de equilibrio), el
teorema del Virial (2U + W = 0) indica la existencia de calentamientos DU > 0 y emisiones de
radiación hacia el exterior (aumentos de la cohesión gravitatoria). Si el colapso no es cuasiestático, entonces (1/2) (d2I/dt2) = 2U + W, donde I es el momento de inercia de la estrella. En
este caso, cierta cantidad de energía del colapso se transforma en energía rotacional. Al principio
el gas es transparente (no hay opacidad) y la contracción ocurre a temperatura casi uniforme. La
mayor parte del cambio en W se traduce en un cambio en I, y así, la implosión no es
eficientemente frenada y es rápida. Cuando la densidad es suficientemente grande, el gas se hace
opaco, y cierta cantidad de energía gravitatoria se emplea en calentar el material. Entonces se
reduce la velocidad del colapso y se llega a una evolución cuasi-estática. El interior de la estrella
puede alcanzar la temperatura para la ignición del H (H + H), y la contracción es totalmente
detenida. Finalmente, tenemos una estrella de edad cero en la secuencia principal o una
estrella ZAMS (ver sesión 17). Es importante destacar que para que ocurra el proceso completo
de formación, es necesario que exista suficiente energía gravitatoria como para elevar la
temperatura hasta la Tign(H). Para una nube de gas con poca masa (M < 0,05 Mʘ), no se alcanzará
Tign(H), y el colapso puede conducir a objetos frios como los planetas gigantes (p.e., Jupiter). No
se tiene un conocimiento preciso de la función de masa de las condensaciones del material
interestelar, pero pueden existir muchos “fracasos” estelares en el universo. No son fáciles de
detectar, ya que forman parte de la “materia oscura” del universo. A pesar de no emitir
radiación, podemos detectarlos a través de sus efectos gravitatorios sobre el movimiento de otros
cuerpos celestes o sobre la radiación. También pueden detectarse “enanas marrones” (“fracaso”
estelar enfriandose).
Evolución dentro de la SP
La evolución en la SP comienza con el encendido de la fusión H + H en el corazón estelar.
Hablando groseramente, el corazón es radiativo si la producción de energía esta dominada
por las cadenas pp, mientras que es convectivo si domina el ciclo CNO. Para estrellas con
M  1,3 Mʘ, no existe una zona convectiva central. Sin embargo, para estrellas más
masivas (M  3 Mʘ), la generación de energía se produce dentro del corazón convectivo.
En casos intermedios, la genereración de energía ocurre en la zona convectiva central y en
la región radiativa que la rodea.
Evolución fuera de la SP
Cuando se ha consumido el H en el interior, a medida que la evolución avanza, se encienden
procesos de fusión de núcleos más y más pesados. La estructura resultante es altamente
inhomogenea, con generación de energía en diferentes capas de la estrella.
(a) Fusión de He: cuando comienza a agotarse el H en el corazón estelar, se reduce la presión
[tras la transformación 4H  He4, el factor m ha cambiado de 1/2 a 4/3, lo que supone una
disminución de presión en un factor 3/8: PG = (r / mmH) kT]. La reducción de presión conduce a
un colapso, que puede calentar el material rico en helio hasta alcanzar Tign(He), aumentar la
presión y restablecer el EQH. Esto ocurrirá si la estrella es suficientemente masiva. Estrellas
menos masivas que 0,5 Mʘ, no tienen suficiente energia potencial gravitatoria almacenada como
para alcanzar una temperatura de unos 108 K. El proceso de quemado de He es conocido como
proceso triple-alfa, y puede resumirse como 3He4  C12 + , con E3 = 7.27 MeV. La reacción
tiene lugar en dos etapas: He4(He4, )Be8(He4,)C12, siendo la primera endotérmica. La tercera 
debe estar disponible para asegurar la producción de Be8 y obtener ganancia neta de energía.
Durante el quemado de helio, también ocurren las reacciones C12(He4,)O16 y
N14(He4,e+ne)O18(He4,)Ne22. Debido a estas reacciones, todo el nitrógeno-14 se convertirá en
oxígeno-18 y Neón-22, y C12 y O16 son los núcleos más abundantes en las siguientes dos
etapas de generación de energía.
(b) También aumenta la temperatura en la zona adyacente al núcleo, y se produce la
combustión de H. Cuanto mayor es la masa de la estrella, debido a la mayor temperatura
central, más gruesa es esta región adyacente. La ignición de capas intermedias aumenta la
luminosidad de la estrella, y el aporte de energía de estas capas ocasiona una fuerte
expansión de la envoltura, que tiende a enfriarse. Entonces la estrella se desplaza
(diagrama H-R) hacia la zona de bajas temperaturas superficiales y gran luminosidad y
tamaño. La estrella se vuelve una gigante roja.
(c) Agotado el helio, vuelve a iniciarse la contracción del núcleo. Como sucedió antes con el
hidrógeno, la combustión de He prosigue en la región adyacente al núcleo, y se inicia la
ignición de H en la zona vecina mas externa. En el núcleo puede producirse la fusión de C.
A temperaturas mayores que aproximadamente 6  108 K, tiene lugar el quemado de carbono
mediante las reacciones: C12 + C12  Na23 + H, Ne20 + He4, Mg23 + n, Mg24 + .
(d) La estrella puede seguir evolucionando, y formando cada vez más capas con el procesado
termonuclear de diferentes especies. En el núcleo, puede encenderse la fusión de O. El
oxígeno es la siguiente combustible interior, y los procesos son: O16 + O16  S32 + , P31 +
H, S31 + n, Si28 + He4, Mg24 + 2He4.
Ultimas fases de la evolución estelar…
(e) Los objetos menos masivos que 0,1Mʘ, desarrollan un núcleo degenerado de electrones
capaz de frenar su contracción antes de poder alcanzar la temperatura de fusión de H. Las
estrellas con masas en torno a la masa solar, llegan a una situación parecida justo en el
momento en que se alcanza la temperatura de fusión del He. Esta todavia tiene lugar, pero al
consumirse el helio en la región central y proseguir la contracción, el gas de electrones
acaba estando totalmente degenerado y es capaz de frenar la implosión gravitatoria antes de
una nueva ignición. El resultado es una enana blanca. La estrella que fue brillante en las
etapas de combustión termonuclear, acaba sus dias como una estrella compacta (radio del
orden del radio de la Tierra), formada principalmente por C (residuos de la combustión de
He) y que se enfria paulatinamente hasta dejar de radiar.
(f) Estrellas más masivas logran alcanzar la temperatura de fusión del C (C + C). La
ignición puede ser tan violenta que puede conducir a una explosión: supernova. Para las
estrellas muy masivas, si las pérdidas de masa no son dramáticas, la fusión del C debiera
producirse sin complicaciones. Las fases mas avanzadas de combustión se sucederian de
forma rápida y sin frenar el colapso del núcleo. Cuando ha cesado el quemado de C y O, no
se inician combustiones de los residuos más abundantes: Mg, Si y S. Antes de alcanzar las
Tign correspondientes, los fotones tienen suficiente energia como para producir la
fotodesintegración de núcleos ligeros. Las particulas liberadas se fusionan con otros
núcleos y se produce un aumento de los isótopos más estables: grupo del hierro (Ni56, Fe54,
Fe56,…).
(g) La contracción y el calentamiento continua y se llega a la fotodesintegración del grupo del
hierro, que conduce a una nube de neutrones y protones libres. La presión del gas degenerado
de electrones se hace tan importante que evita la desintegración neutrónica (n  p + e + n) y
hace que los electrones acaben combinándose con los protones. Tras la neutronización, el
corazón estelar es extremadamente compacto (radio de unos 10 km!) y el gas degenerado de
neutrones puede frenar su colapso. La envoltura se precipitará sobre el corazón, entrará en
combustión violenta y generará (posiblemente) una explosión de supernova, dejando el
núcleo estelar como residuo. Aparece entonces una estrella de neutrones. Se trata de un
objeto caracterizado por una alta velocidad de rotación y un campo magnético muy
importante. La estrella (pulsar) irá radiando energia, enfriándose y frenándose.
(h) Si al precipitarse la envoltura sobre en corazón o núcleo estelar, se amortigua la
explosión y no se expulsa la envoltura, el peso total de la estrella no podrá ser soportado
por la presión del gas completamente degenerado de neutrones. En este caso, el colapso no
puede detenerse por ningún mecanismo y se produce la formación de un agujero negro
estelar.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Curso Básico de Astrofísica. I. Estrellas’ y
‘Astrophysics I: Stars’. Problemas]
1.- Sabiendo que el tiempo durante el cual una estrella permanece en la SP (tSP) depende de
la fracción de masa que puede convertirse en energía (a través del proceso H + H) y
compensar L, deducir la relación tSP (años)  1010 (M/ Mʘ) -2,3. Suponer que L  M3,3.
TRABAJO PERSONAL [continuación]
2.- Si no hay presión en una estrella y la masa colapsa en caida libre (sin oposición), obtener el
tiempo de caida libre (tCL) para una masa M y radio R. Dar el tiempo en segundos, expresando la
masa en masas solares y el radio en radios solares.
3.- Sabiendo que para una estrella en una fase de combustión termonuclear la materia no está
degenerada, es decir, la energía térmica de un electrón debe ser mayor que su energía de Fermi
(sistema caliente y no ultra-denso), deducir la masa mínima para poder lograr la ignición de una
especie nuclear a la temperatura T. Aplicar la ecuación para la fusión de hidrógeno (m = 1/2, T =
107 K) y de oxígeno (m = 2, T = 2  109 K).
FORMACION ESTELAR (Sesión 22)
Los principales constituyentes de una nube interestelar son hidrógeno atómico y molecular,
helio atómico, y polvo. Al principio, un fragmento colapsa y se calienta, hasta alcanzar una
temperatura de unos 104 K. Después, a temperaturas del orden de 105 K, se produce la
disociación de las moléculas H2, y la ionización del H (o HI), el HeI y el HeII. En esta fase,
toda la ganancia de energía interna se emplea en los procesos de disociación e ionización,
hasta que se produce una “ionización total”. Una vez que se alcanza el radio de ionización
global Rion, el colapso rápido se detiene, dando paso una contracción cuasi-estática. La
protoestrella continua la implosión cuasi-estática y el aumento de temperatura, hasta que T
= Tign(H). Por lo tanto, se entra finalmente en la etapa de encendido de H.
► Ionización global: en cierta época tion se ha alcanzado la ionización total y comienza la
contracción no violenta. En t = tion podemos suponer que se verifica el Teorema del Virial
(TV): 2U + W = 0, y que la energia interna acumulada es principalmente la energia de
ionización global: U  M EI, siendo EI la energia de ionización por unidad de masa.
Llamando N0 al número de Avogadro y conociendo las energias de disociación-ionización ED
= 4,48 eV, EH = 13,6 eV, EHeI = 24,58 eV y EHeII = 54,4 eV, podemos calcular EI como EI = N0
X EH + (1/2) N0 X ED + (1/4) N0 Y EHe = 1,9  1013 [1 – 0,2 X] erg/gr. Hemos tenido en
cuenta que X + Y = 1 y EHe = EHeI + EHeII. Ya que GM2/R  2 M EI, se concluye que
Rion / Rʘ  50 (M / Mʘ) (1 – 0,2 X) -1.
► Encendido de H: inicialmente tendremos una energía de cohesión gravitatoria Wi y una
energía interna Ui, y en la época final, tendremos Wf y Uf. Si en ambas épocas se verifica el
TV, es fácil mostrar que DU = Uf – Ui = (Wi – Wf)/2 y Wi – Wf  - GM2/Ri + GM2/Rf  GM2/R
(R = Rf). Implicitamente, hemos supuesto que Ri >> Rf y que no hay pérdida de masa. La
energía total cambiará debido a la emisión de radiación hacia el exterior: DE = Ei – Ef = DU
 (1/2) (GM2/R). Dicha emisión estará caracterizada por una luminosidad efectiva L = DE /
Dt, que tiene asociada una escala de tiempo
Dt  1,6  107 (M / Mʘ)2 (Rʘ / R) (Lʘ / L) años.
DETALLES SIN MATEMATICAS SOBRE UNA ESTRELLA DE TIPO
SOLAR …
ETAPA 1: UNA NUBE INTERESTELAR
La primera etapa en el proceso de formación estelar es una nube interestelar con polvo o
quizás gas molecular. El polvo representa una fracción despreciable de la masa total, pero es
importante en el enfriamiento de la nube cuando se contrae y en la formación de planetas.
Estas nubes son muy extensas, con tamaños de hasta decenas de pc. Son estructuras frías (
10 K) con una concentración de unas 109 partículas/m3. La nube inicial puede contener miles
de veces la masa del Sol. En cierto momento se hace inestable, comenzando una implosión y
una fragmentación en trozos más pequeños, los cuales continuan colapsando individualmente.
El proceso completo (desde una nube estacionaria hasta muchos fragmentos colapsando)
puede durar algunos millones de años. Dependiendo de las condiciones concretas de la
fragmentación, la nube inicial puede conducir a decenas de estrellas mayores que el Sol o a
cientos de estrellas de tipo solar.
ETAPA 2: FRAGMENTO DE NUBE COLAPSANDO
La segunda etapa está asociada con la evolución de un fragmento destinado a formar una estrella
como el Sol. Contiene entre 1 y 2 masas solares de material, y abarca algunas centésimas de pc.
Tiene 100 veces el tamaño del sistema solar y una densidad central de 1012 partículas/m3.
La temperatura promedio no es muy diferente de la original, ya que el gas radia hacia el
exterior la energía liberada en el colapso (la nube es prácticamente transparente y no absorbe
la radiación que produce). Solo hay un crecimiento apreciable de temperatura en el centro de
la estructura (región más densa), donde se pueden alcanzar los 100 K.
Después de una contracción continua, el fragmento se hace tan denso que la radiación no
puede escapar facilmente. La radiación atrapada produce un aumento de temperatura y un
aumento de presión. Varias decenas de miles de años tras el comienzo de su evolución
individualizada, el fragmento tiene el tamaño de nuestro sistema solar (104 veces el tamaño
del Sol) y una temperatura central de unos 104 K. Sin embargo, la temperatura en la periferia
no ha crecido mucho: todavía es capaz de radiar su energía lejos y permanecer relativamente
fría. La densidad central es de aproximadamente 1018 partículas/m3. Esta densidad central es
apreciablemente mayor que la densidad en la corteza.
La masa del corazón protoestelar crece a medida que captura mas y mas material de la
periferia. Su radio continua disminuyendo, ya que la presión aun no es capaz de compensar
el colapso gravitatorio. En cualquier caso, el objeto comienza a parecerse a una estrella, y la
región central densa y opaca se denomina protoestrella.
ETAPA 3: PROTOESTRELLA
Unos 100000 años después de la formación del fragmento, el centro alcanza una temperatura
de 106 K. Los electrones y protones del gas ionizado viajan a velocidades de cientos de
km/seg. El tamaño aún es grande: aproximadamente el tamaño de la órbita de Mercurio. La
temperatura superficial es ahora de algunos miles de K.
Conociendo el radio de la protoestrella y la temperatura superficial, se puede calcular su
luminosidad (L = 4  s R2 T4). Aunque el objeto tiene una temperatura superficial algo
menor que la del Sol (la mitad), como es unas cien veces mayor, su luminosidad será mucho
mayor que la luminosidad solar. Ya que no ha comenzado el proceso 4H  He, su gran
luminosidad es debida enteramente a la energía gravitatoria que se libera.
La protoestrella no está en el equilibrio final. El balance entre
la gravedad y la presión de la radiación no es perfecto. La
estructura evoluciona en el diagrama H-R, desplazándose hacia
menor luminosidad, menor radio y temperatura ligeramente
mayor.
EVOLUCION
PROTOESTELAR
ETAPA 4: EVOLUCION PROTOESTELAR
La protoestrella alcanza un tamaño de 10 veces el tamaño solar, su temperatura superficial
se situa en unos 4000 K, y su luminosidad se reduce a 10 veces el valor solar. Ahora la
temperatura central es de unos cinco millones de K. Unos 107 años despues, la
protoestrella se convierte en una estrella real, con un radio próximo al radio solar, una
luminosidad similar a la solar y una masa de aproximadamente 1 Mʘ. La temperatura de
unos 107 K, permite la fusión de hidrógeno mediante las cadenas pp. La estrella que acaba
de nacer es ligeramente mayor que el Sol y algo más fria que nuestra estrella vecina.
ETAPA 5: EN LA SECUENCIA PRINCIPAL
En los siguientes 30 millones de años, la estrella se contrae un poco mas. Durante el ligero
reajuste final la densidad central crece hasta 1032 partículas/m3, la temperatura central
alcanza los 15 millones de K y la temperatura superficial crece hasta 6000 K. Al final, el
objeto se situa en el diagrama H-R justo donde esta el Sol. Los gradientes de presión
compensan la gravedad y la velocidad de producción de energía nuclear compensa las
pérdidas de radiación a través de la superficie estelar. Aunque el proceso completo de
formación estelar ha durado decenas de millones de años, es un periodo muy pequeño en
comparación a la vida de la estrella en la SP ( 7,9  109 años). Es decir, la formación de la
estrella solo dura un 1% de su vida como “generadora” de helio, mediante el proceso 4H 
He.
ESTRELLAS DE OTRAS MASAS
En la figura de la izquierda podemos comparar las trayectorias
(en el diagrama H-R) de una estrella con 3 Mʘ, una estrella con
0,3 Mʘ y una estrella de masa solar. Todas las trayectorias tienen
un comportamiento similar con forma de S y un recorrido
rectilíneo en el cual hay una disminucion del radio, un aumento
de temperatura y una disminucion de luminosidad. Sin embargo,
las protoestrellas mas masivas que el Sol, se aproximan a la SP
mediante trayectos mas altos, mientras que los objetos preestelares que forman estrellas menos masivas que el Sol, se
aproximan con trayectos mas bajos.
El tiempo requerido para que un fragmento de nube interestelar acabe siendo una estrella de
la SP, depende fuertemente de su masa. Los fragmentos mas masivos se calientan hasta
Tign(H) y se convierten en estrellas de tipo O, en apenas 106 años. En el caso opuesto, una
estrella típica de tipo M, requiere casi 109 años para formarse. Se considera que una estrella
ha alcanzado la SP cuando comienza el quemado de H en su corazón y las propiedades físicas
tienen valores estables (tras el reajuste final). Es importante reseñar que la SP no es un
camino evolutivo, es decir, una estrella no evoluciona a lo largo de la SP. Mas bien se trata
de una “estación” en el camino estelar, en la cual la estrella permanece la mayor parte de su
vida. Si una estrella alcanza la SP como objeto de tipo G, no puede evolucionar hacia los
tipos B o M
Si las nubes de gas protoestelar estuviesen formadas por los mismos elementos en las mismas
proporciones, la masa seria el único parámetro que determinaria la localización de la estrella
en el diagrama H-R, y la SP seria una curva bien definida en lugar de una banda ancha. La
composición química de la estrella afecta a su estructura interna (p.e., la opacidad depende de
la composición), y así afecta a la temperatura superficial y a su luminosidad. Estrellas con
mas elementos pesados tienden a ser mas frias y ligeramente menos luminosas que las de
igual masa pero conteniendo menos elementos pesados. Por consiguiente, las diferencias en
composición conducen a la banda ancha observada
“FRACASOS” ESTELARES
Algunos fragmentos son tan pequeños que nunca se convertirán en estrellas. Júpiter es
un buen ejemplo. Este planeta colapsó bajo la influencia de la gravedad, pero su masa no
fue suficiente como para alcanzar Tign(H). Antes de lograr dicha temperatura central, se
estabilizó mediante calor y rotación. En lugar de convertirse en estrellas, los fragmentos
con poca masa acaban siendo objetos compactos, fríos y oscuros. Mediante modelos
teóricos detallados, se piensa que la masa mínima de gas para alcanzar Tign(H) es de
aproximadamente 0.08 masas solares. Realmente, basándonos en observaciones actuales,
parece que hasta 1011 objetos fríos, oscuros y del tamaño de Júpiter pueden ocupar el
espacio interestelar. Seria un número comparable al número total de estrellas en la
Galaxia, pero irrelevante para explicar la masa oscura en la Vía Láctea. Algunos objetos
pequeños, en proceso de enfriamiento y emitiendo débilmente son conocidos como
enanas marrones.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astronomy Today’ y ‘Astrophysics I: Stars’]
EVOLUCION DE UNA PROTOESTRELLA (Sesión 23)
► En el interior de la protoestrella recien formada, el transporte radiativo no será muy
importante, y el transporte de energia es fundamentalmente convectivo. Sin embargo,
en una protoestrella con baja densidad en la superficie, la convección es ineficiente en las
capas mas externas debido al gran gradiente de temperatura que se produce cuando r es
pequeña. En este caso, tienen lugar importantes pérdidas radiativas en la superficie
protoestelar. Se puede mostrar que el flujo convectivo vale Fconv = (3/8) (k/mmH)1/2 P
T1/2, donde  es el índice adiabático (cte) o la razón de calores específicos a presión
constante y a volumen constante. Suponiendo que el interior convectivo acaba en la
fotósfera efectiva (t = 2/3), el flujo convectivo que abandona el interior protoestelar debe
ser igual al flujo radiativo saliente (conservación de la energia): Frad = Fconv, siendo Frad =
s Tef4. Se deduce así la expresión Pef = (8/3) (mmH/k)1/2 s Tef3,5. Además, la opacidad en
la fotósfera se puede aproximar por <k> = k0 Pa Tb, donde a y b son constantes positivas
(k0 = 6,9  10-26, a = 0,7 y b = 5,3 para composición tipo población I). Considerando la
ecuación dP/dt = gr/<k>, se concluye que en la fotósfera efectiva Pef = (2/3) (a + 1)
(g/<kef>). Usando ambos resultados para Pef, podemos eliminar Pef y obtener Tef en
función de la masa y el radio: Tef = K (M/R2) {1 / [b + 3,5 (1 + a)]}. Debemos destacar que tanto
la cte. de proporcionalidad K como el exponente dependen de la composición química.
La luminosidad protoestelar viene dada por L = 4 s R2 Tef4.
Para protoestrellas de población I se tiene
Tef = 7,5  103 (M / Mʘ)0,089 (R / Rʘ)-0,178 ,
L / Lʘ = 2,86 (M / Mʘ)0,356 (R / Rʘ)1,288 .
Para las protoestrellas de población II se infieren leyes similares
Tef = 6,2  103 (M / Mʘ)0,066 (R / Rʘ)-0,133 ,
L / Lʘ = 1,34 (M / Mʘ)0,267 (R / Rʘ)1,466 .
Trayectoria de Hayashi en el diagrama H-R
En el diagrama H-R, la protoestrella evoluciona siguiendo la llamada trayectoria de
Hayashi. Por ejemplo, concentrándonos en un objeto de población I, las dos ecuaciones
anteriores conducen a
log (L / Lʘ) = log (M / Mʘ) – 7,24 log Tef (K) + 28,5 .
Si por el contrario fijámos nuestra atención en un objeto de población II,
log (L / Lʘ) = 0,99 log (M / Mʘ) – 11,02 log Tef (K) + 41,9 .
La trayectoria de Hayashi describe la evolución desde la ionización total y posterior
calentamiento hasta la ignición de H. La trayectoria rectilínea depende de la masa y
la composición química de la protoestrella colapsando.
TRAYECTORIA DE HAYASHI PARA 1 MASA SOLAR
L  1000 Lʘ y Tef  3000 K
I
II
Considerando la TH para 1 Mʘ y población I,
se obtiene Tef  3300 K cuando L  103 Lʘ.
Cuando la protoestrella disminuye
fuertemente su luminosidad ( 10 Lʘ), la
temperatura efectiva crece hasta unos 6300 K,
que es algo mayor que la asociada a esa
luminosidad.
L  10 Lʘ y Tef  4000 K
Considerando la TH para 1 Mʘ y población II, se obtiene Tef  3400 K cuando L  103
Lʘ. Cuando L  10 Lʘ, la temperatura efectiva solo crece hasta unos 5100 K.
Para 3 Mʘ y población I, la TH predice Tef  2800 K cuando L
 104 Lʘ. Cuando L  100 Lʘ, la temperatura efectiva crece
hasta unos 5300 K. Los resultados concuerdan con los de la
figura. Si la masa es pequeña (0,3 Mʘ), cuando L  10 Lʘ, la
temperatura efectiva vale unos 5300 K, que está algo desviada
del valor en la figura:  3000 K.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astronomy Today’ y ‘Astrophysics I: Stars’.
Problemas]
1.- Estimar la densidad promedio de una protoestrella en la época de ionización global,
suponiendo que tiene una masa solar, X = 0,7 e Y = 0,3.
2.- Considerar una protoestrella con 1 Mʘ, que tiene L  103 Lʘ y un radio de unos 102 Rʘ. El
objeto colapsa cuasiestaticamente hasta un radio de unos 10 Rʘ, adquiriendo una luminosidad
de aproximadamente 10 Lʘ. Tras el primer colapso, el objeto continua su contracción
cuasiestatica hasta un radio de  1 Rʘ, adquiriendo una luminosidad final de
aproximadamente 1 Lʘ. ¿Cúanto durará la primera contracción?, ¿y el segundo colapso?.
Discute si en la estimación de tiempos de evolución, es mas apropiado introducir como
luminosidad efectiva la inicial o la final.
3.- Usar la ec. EQH dP/dt = gr/<k> y la opacidad específica <k> = k0 Pa Tb, para demostrar
que la presión en la fotósfera efectiva (situada a una profundidad óptica t = 2/3) vale Pef =
(2/3) (a + 1) (g/<kef>). Considerar una atmósfera standard.
4.- Deducir la constante de proporcionalidad (K) en la expresión Tef = K (M/R2) {1 / [b + 3,5 (1 +
a)]}. Mostrar que tomando R en radios solares y M en masas solares, K toma valores entre 6 
103 y 8  103 K, dependiendo de la composición química (población I o población II). Usar 
= 5/3.
5.- Considerar una protoestrella de 2 masas solares y población II. El objeto pasa por tres
etapas diferentes con luminosidades (a) L  103 Lʘ, (b) L  102 Lʘ y (c) L  10 Lʘ. Mediante
la trayectoria de Hayashi, obtener la temperatura efectiva y el radio en cada una de las tres
etapas protoestelares.
EVOLUCION POST-SP (Sesión 24)
A medida que una estrella en la SP envejece, su temperatura interna crece lentamente, y su
luminosidad y radio crecen. Estos cambios son muy lentos: un factor 3-4 en luminosidad
durante 1010 años!. Cuando el hidrógeno en el corazón se agota, la estructura interna y la
apariencia externa comienzan a cambiar rapidamente. La estrella abandona la SP y
evoluciona en el diagrama H-R. La evolución post-SP depende criticamente de la masa de
la estrella. Como una perspectiva global, las estrellas de poca masa mueren “apaciblemente”,
mientras que las estrellas de mucha masa mueren “catastroficamente”. La línea divisoria se
situa en unas 8 Mʘ (corazón de C). Comenzaremos viendo la evolución de una estrella de
poca masa como el Sol, cuando está cerca de concluir su quemado de H. Despues se discutirá
todo tipo de estrellas, incluyendo las masivas y las de poca masa.
EL CORAZON DE HELIO
Fijada la composición química original (a) de una estrella de tipo solar, cálculos teóricos
permiten determinar la composición interna al cabo de 5  109 años (b) y la composición
interna tras 1010 años (c). El Sol se encuentra actualmente en la etapa (b). La cantidad de He
crece mas rapidamente en el centro, donde las temperaturas son mas altas y el quemado de
hidrógeno es mas rápido. El contenido de He también crece cerca en la región mas externa
del corazon estelar, pero mas lentamente (debido a que el ritmo de destrucción de H es
menos rápido). La región interna rica en He se agranda a medida que la estrella envejece.
Aproximadamente 1010 años despues de su llegada a la SP, desaparece practicamente todo
el H del centro y el proceso 4H  He concluye en dicha región.
En la etapa (c), el principal foco de combustión termonuclear
se situa en las capas mas altas del interior, mientras comienza
a desarrollarse un núcleo de He puro, sin combustión del
material. La presión del gas en el corazón se debilita, y los
cambios estructurales son inevitables. El corazón estelar
comienza a contraerse, y a mas escasez de hidrógeno, mas
acelerado es el proceso de implosión. Al principio, el
calentamiento por colapso no es suficiente para iniciar el
quemado de He, ya que este requiere una temperatura de 108
K. Por consiguiente, solo se logra aumentar el ritmo de
quemado de H.
Aparece un núcleo de He
caliente pero no activo (sin
actividad termonuclear),
rodeado por una envoltura de
hidrógeno hiperactiva.
La envoltura de hidrógeno produce energía a un ritmo mas
rápido que el corazón estelar original, y la producción de
energía en la capa continua creciendo a medida que el
núcleo de He continua colapsando. Contrariamente a lo
que de forma “ingenua” podriamos esperar, tras el apagado
de la combustión central, la estrella se hace mas brillante
que en epocas anteriores.
GIGANTE ROJA
La presión del gas producida por el alto ritmo en el quemado de hidrógeno, causa una
expansión de las capas mas externas no activas. La gravedad no puede frenar dicha
expansión, debida a una “sobrepresión”. Mientras que el corazón está colapsando y
calentándose, las capas externas inactivas se expanden y enfrian. La estrella se convertirá en
una gigante roja.
La luminosidad es mil veces la luminosidad solar, el radio es
de cien veces el radio solar, y la superficie es más fría que en la
SP. En el diagrama H-R es como una vuelta al pasado, a los
comienzos como protoestrella. Sin embargo, las propiedades
centrales (no reveladas en el diagrama) son muy diferentes.
Existe un corazón de He tremendamente compacto, conteniendo
aproximadamente el 25% de la masa total y abarcando una
milésima del tamaño total de la estrella (unas cuantas veces
mayor que la Tierra). La densidad central es enorme.
FUSION DE HELIO: si continua el estado de contracción interna/expansión externa y la
estrella no se estabiliza, el corazón seguirá colapsando mientras el resto de la estrella se
pierde en el espacio interestelar. Para estrellas de muy poca masa ocurrirá justamente eso. Por
el contrario, para una estrella de tipo solar, transcurridos unos 108 años tras el abandono de la
SP, comienza la fusión del He y se reinicia la actividad central.
La reacción que transforma He en C ocurre en dos pasos. Primero, se fusionan dos núcleos de
He para formar un núcleo de Be8. El Be8 es un isótopo muy inestable, que normalmente se
rompería en dos núcleos de He en unos 10 segundos. Sin embargo, teniendo en cuenta la alta
densidad en el corazón de una gigante roja, es posible que el núcleo de berilio encuentre otro
núcleo de He antes de su destrucción. Entonces, se pueden fusionar ambas partículas, dando
lugar a la aparición de C12. Este es el segundo paso en el quemado de He. La temperatura
debe ser alta (108 K), debido en parte a la importante repulsión electrostática entre los 4
protones en el Be y los dos protones en el He. El proceso completo se denomina proceso
triple alfa.
EL FLASH DE HELIO
Para estrellas con masa solar, aparece una complicación adicional. Dadas la alta densidad
en el corazón estelar, el gas ha entrado en un nuevo estado de la materia, cuyas
propiedades son gobernadas por leyes mecánico-cuánticas. La estrella contiene una gran
cantidad de electrones que juegan un papel importante en la evolución estelar. Como ya
sabemos, el principio de exclusión de Pauli prohibe que dos electrones tengan los
mismos números cuánticos, o si se prefiere, que sean indistinguibles. Desde un punto de
vista “espacial”, el principio de exclusión viene a decir que dos electrones no pueden
ocupar la misma posición y solaparse. Aparece así la presión de degeneración que evita
el solapamiento electrónico. Esta presión no tiene nada que ver con la presión térmica
(debida al calor de la estrella) que hemos discutido hasta ahora. El corazón de una gigante
roja de 1 Mʘ, es soportado por una presión electrónica que es independiente de la
temperatura.
Cuando comienza el quemado de He y crece la temperatura, no aparece el “correspondiente”
aumento en presión. El corazón sigue colapsando, el ritmo de las reacciones aumenta y la
temperatura crece rapidamente. A esta fase se la denomina flash de He. Durante algunas
horas, el helio se quema de forma violenta, hasta que finalmente el corazón adquiere una
temperatura adecuada: la presión térmica domina de nuevo. El interior estelar se expande, su
densidad cae y se alcanza el equilibrio entre la gravedad actuando hacia el centro y la fuerza
de la presión del gas actuando hacia el exterior. El corazón estable transforma He en C a
temperaturas por encima de 108 K.
El flash de He no aumenta la luminosidad de la estrella. Al
contrario, la energía liberada sirve para expandir y enfriar el
corazón, y finalmente, conduce a una reducción en la
energía emergente y el radio estelar. La temperatura
superficial crece. El reajuste dura unos 105 años, y la estrella
se sitúa en la rama horizontal del diagrama H-R. El objeto
está quemando He en el corazón y quemando H en la
envoltura que le rodea. Su posición en la rama horizontal
depende de su masa final (tras el ascenso por la rama
gigante roja), que será diferente de la masa original. La
diferencia de masas es causada por vientos, los cuales hacen
que aproximadamente el 20-30% de la masa original se
escape. Las estrellas mas masivas se sitúan a la derecha y las
menos masivas a la izquierda.
EL CORAZON DE CARBONO
Tras la ignición del He, el carbono se acumula en la región central, acompañado por capas
concéntricas de helio e hidrógeno. Después de cierto tiempo, la estrella contiene un núcleo
colapsando de C (se interrumpen las reacciones termonucleares), que está rodeado por una
capa hiperactiva quemando He, la cual está a su vez rodeada por otra capa hiperactiva
quemando H. La envoltura externa de la estrella (no activa) se expande y se produce una
segunda ascensión en el diagrama H-R.
La estrella se hace una supergigante roja. Los ritmos de
quemado en las capas alrededor del corazón de C son mas
violentos que en la etapa similar anterior (gigante roja), y
el radio y luminosidad de la estrella crecen hasta alcanzar
valores mayores que los alcanzados en el primer ascenso.
El corazón de carbono aumenta su masa a medida que este
se produce en la capa quemando He, y continua
colapsando y elevando la temperatura de las capas activas,
lo que conduce a la expansión acelerada de la envoltura no
activa. Si la temperatura central alcanzase el valor
necesario para comenzar la reacción C + C, la nueva
producción de energía pudiera devolver el equilibrio entre
gravedad y calor. Sin embargo, para 1 Mʘ jamás se
consigue la temperatura requerida de 6  108 K.
Antes de que el corazón pueda alcanzar la temperatura de ignición del C, aparece de nuevo la
presión de degeneración de los electrones, que esta vez frena el colapso y el aumento de
temperatura. La densidad del corazón es altísima, y la temperatura central vale unos 3  108
K. El radio estelar puede ser de unos 300 radios solares.
El quemado en las capas activas se hace inestable, y las
inestabilidades producen grandes fluctuaciones en la intensidad
de la radiación que llega a las capas mas externas, causando
pulsaciones violentas. Independientemente de estas
inestabilidades de origen “interno”, las capas superficiales
también se hacen inestables. La inestabilidad de origen
“externo” es causada por el enfriamiento, que conduce a la
recombinación entre núcleos y electrones, que generará
radiación adicional, la cual tiende a separar la envoltura externa
del corazón. Finalmente, la envoltura estelar es arrojada al
espacio interestelar (nebulosa planetaria). La nebulosa
planetaria se expande y se hace cada vez mas difusa y fria. Ella
enriquece el espacio interestelar con He, C y O depositados por
convección desde las profundidades del corazón hasta la
envoltura, durante la etapa final. El corazón residual es muy
compacto (tamaño de la Tierra) y tiene una masa de unas 0,5
Mʘ. Cuando se hace visible tiene una superficie “blanca”, de
forma que la estrella se llama enana blanca.
EVOLUCION DE ESTRELLAS MAS MASIVAS QUE EL SOL
Las estrellas abandonan la secuencia principal por un motivo común (independiente de su
masa): han agotado el hidrógeno en sus núcleos. Sin embargo, todos los cambios evolutivos
son mucho mas rápidos para estrellas masivas, debido a que su mayor masa y gravedad son
capaces de generar mas calor.
En la figura vemos la evolución post-SP de tres estrellas
con masas diferentes: 1, 4 y 15 Mʘ. Mientras que la estrella
de tipo solar asciende a gigante roja de forma casi vertical,
la estrella mas masiva se mueve casi horizontalmente. En
su desplazamiento, la luminosidad apenas sufre variación,
mientras que el radio crece y la temperatura superficial
disminuye. En estrellas con masa superior a 2,5 Mʘ, el
quemado de He comienza de forma suave y estable, no de
forma explosiva. Es decir, no hay un flash de He. Calculos
detallados indican que cuanto mas masiva es una estrella,
menor es su densidad interior al alcanzar la temperatura de
ignición del He (108 K). De este modo, a menores
densidades tendremos que los electrones degenerados
contribuiran menos a la presión. En la estrella de 4 Mʘ no
aparece un salto hacia el brazo horizontal
La estrella de 4 masas solares se desplazará suavemente hacia atrás (primero) y hacia delante
(después), siempre en paralelo al eje de temperaturas. Sin embargo, la separación de
regímenes mas importante ocurre a unas 8 masas solares (tiempo de formación del corazón
de C). Las estrellas con masa menor que dicha “masa crítica”, no pueden alcanzar los 6  108
K necesarios para lograr la ignición del carbono, y acaban su vida como enanas blancas de
carbono-oxígeno. Por el contrario, las estrellas con mas de 8 masas solares pueden fusionar
H, He, C y O, a medida que su corazón continua colapsando y calentándose. La evolución es
tan rápida, que en el caso de la estrella con 15 masas solares, no se alcanza la región de
gigante roja antes de la etapa de fusión de He. Llegará a la región de gigante roja en el
proceso de fusión de O. La estrella morirá poco después, tras una explosión de supernova.
Un ejemplo de supergigante azul post-SP es la estrella Rigel en la constelación de
Orion. Tiene un radio de unos 70 radios solares y una luminosidad de unas 50000
luminosidades solares. Se piensa que tuvo una masa original (SP) de unas 17 Mʘ, aunque
probablemente ha perdido y perderá una fracción significatica de su masa como
consecuencia de un fuerte viento estelar. Está próxima a la SP, pero probablemente
generando C mediante el proceso 3. En el otro extremo de temperaturas superficiales se
encuentra Betelgeuse (también en la constelación de Orión). Es un ejemplo de
supergigante roja post-SP. Su luminosidad es de 104 veces la solar, y se cree que
Betelgeuse está actualmente transformando He en C y O en su corazón. Su masa original
fue entre 12 y 17 masas solares, pero su destino es incierto. Al igual que Rigel y otras
estrellas supergigantes y superluminosas, probablemente tiene un fuerte viento estelar que
la está despojando de parte de su masa. También se trata de un objeto pulsante.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astronomy Today’]
DESVIACIONES DE LA EVOLUCION CUASI-ESTATICA (Sesión 25)
► Una forma de comprobar si un sistema es estable o no, consiste en someterle a
pequeñas perturbaciones y analizar la evolución temporal (crecimiento) de las mismas.
Las perturbaciones pueden conducir a un nuevo estado de equilibrio dinámico, con cierto
tipo de oscilaciones que se mantienen durante grandes periodos de tiempo. Sistemas de
este tipo son las estrellas cefeidas y las RR Lyrae. A veces, el sistema es estable frente a
pequeñas perturbaciones, pero se hace inestable si estas alcanzan cierta amplitud.
Tendremos entonces un sistema metaestable.
► En la S7 hemos discutido la estabilidad de sistemas esfericamente simétricos que son
sometidos a perturbaciones lineales. El análisis se basó en la ecuación de conservación del
momento (equivalente a la segunda ley de Newton): r(dv/dt) = rg - P, y en una ecuación de
estado de tipo polítropo P  r. La principal conclusión fue que un elemento de fluido en un
radio inicial R adquiere una aceleración no nula, y
d2(dR)/dt2 = - w2 dR,
donde R(t) = R + dR(t) y w2  (3 – 4) (GM/R3). Vemos que las estrellas con  > 4/3 (w real)
pueden desarrollar oscilaciones estables. Una posible solución es dR = A sen (wt). Sin
embargo, cuando  < 4/3, la estrella es inestable. Para índices politrópicos pequeños, la
“frecuencia” w es imaginaria y la solución representa un desequilibrio creciente dR = A eiwt.
► En el caso de una oscilación estable ( > 4/3), su periodo vale
P = 2/w = [/( – 4/3)]1/2 G  1 / 2 <r>  1 / 2 ,
con <r> = 3M/4R3 (M es la masa encerrada en el radio R).
CEFEIDAS Y RR LYRAE
Para estrellas pulsantes podemos justificar una relación periodo-luminosidad. Como P es
proporcional a (R3/M)1/2 y se tiene la relación superficial L = 4 s R2 Tef4, se puede
concluir que
log P = - (1/2) log M + (3/4) log L – 3 log Tef + C,
siendo C una constante. Re-expresando la ecuación anterior en unidades solares, log P = (1/2) log (M/Mʘ) – 3 log (Tef/Tef,ʘ) – 0,3 (Mbol – Mbol,ʘ) + log Q (Q es una nueva
constante). Para estrellas brillantes de la SP, la relación masa-luminosidad se ajusta bien a
la ley Mbol = 3,96 – 8,22 log (M/Mʘ). Esta ley se puede modificar para aplicarla a
cefeidas. Suponiendo que el trayecto evolutivo de las cefeidas en el diagrama H-R es
similar al de otras estrellas no variables en la región de las gigantes, para una misma masa,
una cefeida seria una magnitud mas brillante que la correspondiente estrella en la SP.
Entonces, la ley apropiada para cefeidas seria Mbol  2,96 – 8,22 log (M/Mʘ). Argumentos
similares (partiendo de relaciones en la SP que se “trasladan” a cefeidas) conducen a Mbol
= MV + 0,145 – 0,322 (B – V) y log Tef = 3,886 – 0,175 (B – V). Cuando se usan estas
relaciones “extrapoladas” junto con Tef,ʘ = 5754 K, podemos reescribir el periodo como
log P + 0,239 MV = 0,602 (B – V) – 0,456.
En la ecuación anterior, se ha eliminado la constante log Q (= -1,294), ajustando los
resultados para cefeidas con magnitud e índice de color conocido. Ajustando periodos
observados y magnitudes medidas, se obtiene una ley “promediada en color”
log P + 0,394 MV = – 0,657.
El análisis muestra que el periodo depende de la luminosidad (magnitud) y debilmente
del índice de color B -V.
Las propiedades mas dramáticas de las variables regulares son similares a las de d
Cephei. El brillo varia regularmente (no sinusoidalmente), con un periodo de 5,37 dias.
Con relación a los valores medios, la magnitud varia en un 10%, la temperatura en un
18% y el radio en un 7%. Las variables cefeidas muestran tipicamente un
crecimiento rápido en luminosidad, seguido por una caida mas suave. Los
máximos en brillo y temperatura coinciden temporalmente, pero están ligeramente
desfasados con relación al radio mínimo. Así, d Cephei alcanza el máximo brillo poco
después del radio mínimo, durante su fase de expansión. Las curvas de luz de las RR
Lyrae contienen un máximo secundario, y tienen periodos más cortos que las
cefeidas clásicas.
R Tef
L  R2 Tef4
R Tef
L  R2 Tef4
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’. Problemas]
1.- Dibujar la relación periodo-densidad para una densidad promedio entre 10-8 gr cm-3
(supergigante) y 1015 gr cm-3 (estrella de neutrones). Ubicar las regiones de supergigante,
gigante, secuencia principal, enana blanca y estrella de neutrones. Deducir y dibujar la ley
periodo-radio para los diferentes tipos de estrellas, suponiendo que su masa vale 1 Mʘ. Usar
la aproximación [/( – 4/3)]1/2  1.
2.- La masa y el radio medio de una cefeida típica son log (M/ Mʘ) = 0,8 y log (R/ Rʘ) = 1,4.
Encontrar el periodo y la velocidad superficial de la estrella. Suponer que el radio tiene una
variación máxima de un 7% con relación al radio medio.
3.- La razón de máximo a mínimo radio es de k = 1,14 para d Cephei, y la amplitud de la
velocidad de pulsación radial es 19 km s-1. Suponer que v(t) = v0sen (2 t/P) y encontrar el
radio promedio de la estrella. Sugerir un camino para medir k.
ENANAS BLANCAS (Sesión 26)
La dinámica de la mayoría de las estrellas se puede describir adecuadamente mediante la
física Newtoniana (p.e., las estrellas de la SP o estrellas “normales”), sin tener en cuenta
correcciones debidas a la existencia de un campo gravitatorio fuerte. Sin embargo, en las
últimas fases de la evolución estelar, se forman objetos muy compactos que pueden
requerir la incorporación de una nueva física. Las enanas blancas representan la
frontera entre las estrellas Newtonianas y los objetos ultracompactos no
Newtonianos.
►Para una estrella Newtoniana, la energia térmica (interna) y la energia gravitatoria valen
U = [0,R] 4r2 e(r) dr y W = - [0,R] 4r2 [G m(r) / r] r(r) dr ,
donde e(r) es la densidad de energia interna.
► En primer lugar, vamos a estudiar la estabilidad (inestabilidad) de la estrella con
respecto a una implosión uniforme, sin tener en cuenta efectos de “profundidad”.
Suponemos que el gas está caracterizado por una ecuación de estado de tipo politrópico P =
K r, y que tiene una configuración con densidad constante r(r) = r. Evidentemente esta
configuración no es solución de la ecuación de EQH para un polítropo, sin embargo,
cálculos a posteriori confirman que las predicciones (sobre estabilidad) basadas en esta
aproximación son buenas.
La aplicación conjunta de los dos primeros principios de la termodinámica, conduce a T ds
= d(e/n) + P d(1/n), siendo s la entropía por nucleón, 1/n el volumen por nucleón y e/n la
energía interna por nucleón. Cuando ya no se producen reacciones de fusión termonuclear y
se ha enfriado completamente la estrella, podemos considerar que la temperatura es próxima
al cero absoluto, y consecuentemente, d(e/r) = - P d(1/r), r = n mn. Es fácil comprobar que
e = P / ( – 1) es solución de le ecuación termodinámica.
Ahora debemos encontrar una expresión adecuada para la energía total de la estrella E = U
+ W. Partimos de
U = (4/3) ( – 1)-1 Kr R3 , W = - (162/15) Gr2 R5 , N = (4/3mn) r R3 ,
donde N es el número total de nucleones, que será constante en la implosión.
Con los resultados anteriores para U, W y N, se llega a E = a r-1 – b r1/3, con a = mnNK/( 1) y b = (3/5) (4/3)1/3 G (mnN)5/3. Es claro que a y b son constantes en una implosión, y
unicamente variará r (se ha eliminado la dependencia radial). Con la ley E = E(r),
calculamos la primera y segunda derivada: dE/dr y d2E/dr2. Se obtiene
d2E/dr2 = - (2/3) r-1 (dE/dr) + ( – 4/3) a r - 3 ( – 1) .
Como hay un equilibrio estable cuando se tiene un mínimo para la energía: dE/dr = 0 
d2E/dr2 = mnNK ( – 4/3) r – 3 > 0   > 4/3. Encontramos que existe una configuración
de equilibrio estable para  > 4/3, mientras que  < 4/3 conduce a una configuración de
equilibrio inestable. Para el valor crítico  = 4/3 se tiene un punto de inflexión. En la
configuración crítica ( = 4/3) se verifica que E = 0 (U = - W), y se infiere una masa crítica
(separando los dos tipos de configuración) Mcrit = (4/3)-1/2 (5K/G)3/2.
► El siguiente paso consiste en analizar la ecuación de estado en una enana blanca.
Consideramos una estrella fria y muy densa cuyo colapso es evitado por la presión del gas de
electrones. Dicho gas es un gas cuántico descrito por la estadística de Fermi-Dirac. Los
electrones ocupan los niveles de energia mas bajos, desde una energia cero hasta la energia de
Fermi. Equivalentemente, tendrán momentos entre 0 y un valor máximo kF (momento de Fermi).
Es decir, n(k)dk  g(k)dk para k < kF, y n(k)dk  0 para k > kF. Aquí, g(k)dk representa el número
de electrones por unidad de volumen con momento entre k y k + dk, cuando k < kF. Para estimar
g(k)dk, partimos del principio de incertidumbre para un electrón d3k V = h3, donde V es el
volumen de la estrella (incertidumbre espacial) y d3k es la incertidumbre dinámica (espacio de
momentos). Tras esto, analizamos el espacio de momentos para los electrones con “spin”  1/2.
Existirán dos electrones en cada nivel de energía o momento (dos estados de “spin”:  1/2), o
de forma inversa, cada tipo de electrón tiene una distribución de momentos similar. Si nos
fijamos en un tipo concreto (p.e., + 1/2), podemos tomar una corona esférica en el espacio
dinámico (definida por k y k + dk) y evaluar su volumen. El volumen dinámico será 4k2dk.
Dividiendo por h3:
4k2dk / h3 = (4k2dk / d3k) V-1 .
Este resultado representa el número de electrones “+ 1/2” por unidad de volumen con
momento entre k y k + dk. Teniendo en cuenta ambos estados de “spin”, g(k)dk = (8k2 / h3)
dk = [8k2 / (2 h)3] dk, h = h/2.
Una vez obtenida la distribución de momentos, estamos en condiciones de estimar la
concentración de electrones, así como la densidad estelar. Estas serán, ne =  n(k)dk = kF3 /
32h3 y r = nemnm = kF3 (mnm / 32h3). Hemos llamado m al número de nucleones por
electrón, que para estrellas que han consumido su hidrógeno vale m  2. Despejando el
momento de Fermi, kF = h (32r / mnm)1/3. En general, la ecuación de estado no es sencilla,
y se obtiene llevando kF = kF(r) a la expresión para la presión electrónica P = Pe = [8 /
3(2 h)3]  [k4 / (k2 + me2c2)1/2] dk. La integral de la presión está definida entre 0 y kF(r), de
forma que P = P(r). La ecuación de estado se reduce a un polítropo en dos casos
extremos: (a) r << rc o (b) r >> rc, donde rc es la densidad crítica a la cual kF = mec.
Es decir, rc = mnm me3c3 / 32h3 = 0,97  106 m gr cm-3.
(a) NR (kF << mec, EF << mec2): P = 8kF5 / [15mec (2 h)3] = (h2/152 mec) (32r / mnm)5/3
En el caso de electrones no relativistas (NR), tenemos un polítropo con  = 5/3 y K =
(h2/152 mec) (32/ mnm)5/3
(b) RE (kF >> mec, EF >> mec2): P = 2kF4 / [3 (2 h)3] = (h /122) (32r / mnm)4/3
En el caso de electrones relativistas (RE), tenemos un polítropo con  = 4/3 y K = (h /122)
(32/ mnm)4/3
Como ya vimos, las configuraciones de equilibrio estable son aquellas con  > 4/3. Por
consiguiente, las enanas blancas menos densas (masivas) serán estables. El límite de
estabilidad viene dado por la masa crítica (asociada a las configuraciones críticas
relativistas) Mcrit = 7 m-2 Mʘ. Tomando m  2, deducimos Mcrit  1,7 Mʘ. El límite de masa
fué propuesto en trabajos pioneros de Chandrasekhar, y se suele denominar masa de
Chandrasekhar.
► La masa de Chandrasekhar anterior ( 1,7 Mʘ) se ha obtenido de forma “grosera”, usando
configuraciones con densidad constante. Cuando se consideran modelos estelares
politrópicos realistas, se deduce una masa algo inferior Mcrit = 5,8 m-2 Mʘ. Tomando m  2:
Mcrit  1,44 Mʘ. Si se tienen en cuenta las interacciones electromagnéticas entre electrones e
iones en un medio con alta densidad, la presión P(r) será ligeramente inferior que la de un
gas ideal de la misma densidad. Al reducirse la presión, también se reduce la masa máxima
permitida. La nueva masa de Chandrasekhar (incluyendo interacción Coulombiana ión-ión,
electrón-electrón e ión-electrón) es 1,2 Mʘ. Algunas masas medidas (enanas blancas en
sistemas binarios) son: 40 Eri B (M  0,45 Mʘ), Sirius B (M  1,05 Mʘ) y Procyon B (M 
0,65 Mʘ).
► Modelos realistan conducen a una relación M  R-3, y considerando la ley superficial L 
R2Tef4, podemos eliminar el radio e inferir las trayectorias evolutivas en el diagrama H-R
(enfriamiento superficial): log (L/Lʘ) = 4 log (Tef/Tef,ʘ) – (2/3) log (M/Mʘ) + C. Una enana
blanca sigue un trayecto con M y R fijos, apagándose a medida que se enfria (L, Tef).
El enfriamiento de las enanas blancas
(transición de enana blanca a enana negra)
ocurre durante un intervalo de tiempo
suficientemente largo (~ 1010 años ~ edad del
universo) como para ser facilmente observadas
en el diagrama H-R. Las enanas blancas de una
cierta masa (p.e., alrrededor de 1 Mʘ), tienen un
radio definido (aprox. 104 km) y ocuparán una
cierta línea en el diagrama H-R. Estarán debajo
y a la izquierda de la SP. En la figura puede
verse la buena concordancia entre teoria y
observaciones. No aparecen estrellas con M >
1,25 Mʘ.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y ‘Black Holes, White Dwarfs,
and Neutron Stars’. Problemas]
1.- Suponer que el gas de electrones presente en una estrella sigue una estadística de
Maxwell-Boltzmann. Usando la diferencia de momentos típica (Dk  Dkrms) y la separación
típica entre electrones (Dq), obtener el volumen fásico (Dk Dq)3 ocupado por un electrón.
Para M = 1 Mʘ y R = 3  10-2 Rʘ, comparar (Dk Dq)3 con h3. ¿Cúal es la conclusión?. Usar
el teorema del Virial con |W|  GM2/R.
2.- Considerar que la energía térmica acumulada en una enana blanca es del orden de la
energía gravitatoria: |W|  GM2/R. Si dicha energia se radiase con una luminosidad de 10-1
Lʘ, estimar el tiempo típico de apagado para una enana blanca de 1 Mʘ y 104 km.
SUPERNOVAS (Sesión 27)
Una estrella suficientemente masiva puede quemar el H, el He, el C, el O e incluso
elementos mas pesados, mientras su núcleo continua contrayéndose y su temperatura
central continua creciendo. Cuando el corazón estelar se transforma en Fe, la estrella
llega a una encrucijada, ya que el Fe es la especie nuclear mas estable.
► El hierro juega el papel de un “extintor” en el corazón
estelar. No se libera energía ni mediante un proceso de fisión,
ni de fusión. La liberación de energia por fusión cesa y el
colapso de acelera de forma violenta. A T  1010 K, los
fotones tienen suficiente energia como para romper el Fe en
nucleos mas ligeros y romper los nucleos ligeros en
nucleones. La fotodesintegración dura ~ 1 seg (!!!).
La fotodesintegración absorbe parte de la energía térmica del corazón estelar, de forma que el
corazón se enfría y se reduce la presión. A medida que las especies nucleares son destruidas,
el interior estelar se hace mas incapaz de contrarrestar su propia gravedad, y el colapso se
acelera aún mas. Solo existen partículas elementales (electrones, protones, neutrones y
fotones) a una densidad enormemente alta. En cierto momento se produce la neutronización:
p + e  n + neutrino. Los neutrinos atraviesan el corazón y se pierden, quedando un interior
formado por neutrones y radiación.
► Posteriormente, se alcanza tal densidad que los neutrones entran en contacto unos con
otros. La presión de degeneración de los neutrones frenará el ritmo del colapso, y producirá
un “rebote” hasta alcanzar una configuración estable. Una onda de choque energética se
propaga a través de la estrella a alta velocidad, lanzando todo el material de las capas mas
externas al espacio interestelar. La estrella explota produciendo uno de los fenómenos mas
energéticos y espectaculares del universo. Durante algunos dias, el brillo de la explosión
rivaliza con el brillo de la galaxia completa en la cual tiene lugar el evento. Se llega así a una
explosión de supernova.
La explosión de la supernova 1987A (SN
1987A) fue un evento dramático, como puede
apreciarse en la figura con el antes y durante.
Las supernovas pueden ser de dos tipos, dependiendo de la naturaleza de la explosión y de la
evolución del brillo asociado al remanente de supernova. En ambos casos se puede alcanzar
un máximo de luminosidad de unas 1010 Lʘ, pero la caida de la luminosidad tras el pico
inicial es diferente en supernovas de tipo I y en supernovas de tipo II. Las SN de tipo I son
pobres en hidrógeno y presentan una caida de luminosidad continua, mientras que las SN
de tipo II son ricas en hidrógeno (información espectral) y usualmente tienen un
“plateau” en la curva de luz (unos meses después del máximo). En las figuras vemos las
diferencias en las curvas de luz y las diferencias en el orígen de la explosión. En el tipo I, se
produce la explosión de una enana blanca de carbono en presencia de una compañera gigante
(sistema binario). Es la explosión de un objeto carente de hidrógeno, y la curva de luz está
relacionada con el decaimiento radiactivo de los elementos pesados inestables generados en
la explosión. El tipo II está relacionado con un corazón de neutrones que ha expulsado su
envoltura rica en H y He (estrellas masivas aisladas).
► Los espectros de supernovas contienen una información muy rica. Exhiben un
comportamiento de tipo cuerpo negro, y tienen superpuestas líneas de absorción y/o emisión.
Las líneas presentes y sus perfiles pueden variar con el tiempo o persistir durante la
expansión del remanente.
Si nos concentramos en una supernova de tipo II, en cierto instante tras la explosión, el espectro
se originará en el remanente de SN (que fue la envoltura de una vieja estrella), a una temperatura
TSNR y en expansión (VSNR). El flujo de energía emitido hacia el exterior es Fn =  Bn(TSNR).
VSNR
RSNR
OBSERVADOR
TSNR
● Un análisis del
continuo y de las líneas
conduce a la
estimación de TSNR.
●● También podemos determinar el radio angular del remanente q = [ln / Bn(TSNR)]1/2 =
RSNR/D, donde D es la distancia diámetro angular (desde el observador). Por otro lado, el
desplazamiento Doppler de las lineas espectrales conduce a la medida de VSNR. Si la
evolución temporal del radio viene dada por RSNR(t) = VSNRt + RSNR(0) (t = 0 representa el
instante de la explosión), haciendo observaciones en dos tiempos t1 y t2: D = VSNR(t2 –
t1)/(q2 – q1) y RSNR = q D.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y ‘Astronomy Today’.
Problemas]
1.- En la figura se puede observar la curva de luz de una
supernova de tipo II (un tanto peculiar con respecto a la
curva genérica): corresponde a SN 1987A. La detonación
fue registrada en Febrero (1987), y el máximo de
luminosidad se produjo en Mayo, unos 90 dias después.
Tras la explosión, el remanente se expandió y se enfrió
rapidamente (~ 1 semana), hasta alcanzar una temperatura
superficial de 5000 K. Después se produjo un aumento de
luminosidad, y tras el pico de brillo, una caida continua de
la potencia emitida. Explica el origen del aumento en
luminosidad y la caida posterior.
2.- En la figura se puede ver la curva de luz de una SN de tipo I,
con un claro declive a partir del pico de luz. Si la caida de la
luminosidad es debida a la desintegración del Ni56 producido en
la detonación: Ni56  Co56  Fe56(estable), teniendo en cuenta la
masa inicial de Ni56 (M0), las energias emitidas por un Ni56
[e(Ni56)] y un Co56 [e(Co56)] , y las vidas medias t(Ni56) y
t(Co56), construye la curva teórica L = L(t). Con datos de tablas y
M0 = 0,6 Mʘ, dibuja L(t) y compárala con las observaciones.
ESTRELLAS DE NEUTRONES (Sesión 28)
Tras la explosión de una SN de tipo II, hemos visto que el remanente gaseoso finalmente se
expande, se enfría y se apaga. En el centro, sobrevive un remanente compacto de neutrones.
Aunque estrictamente no es una estrella (todas las reacciones nucleares han cesado), el objeto
se denomina estrella de neutrones. Se trata de una estructura extremadamente pequeña
(radio de unos 10 km), con masa estelar ( 1-2 Mʘ) y una densidad de tipo nuclear ( 1015 gr
cm-3). El colapso gravitatorio es evitado por la presión de los netrones, aunque deben tenerse
en cuenta los efectos de las interacciones fuertes (fuerzas nucleares). Por otro lado, debido a
las altas densidades, la teoria Newtoniana debe sustituirse por la teoria de Einstein para
campos gravitatorios fuertes.
La estrella de neutrones no se apagará y acabará siendo un objeto negro de igual forma
que una enana blanca, es decir, debido al enfriamiento de una superficie inicialmente
caliente. Dos fenómenos modifican la perspectiva de una muerte apacible: primero, las
estrellas de neutrones tienen una altísima velocidad de rotación (consecuencia directa de
la conservación del momento angular), y segundo, tienen un campo magnético muy
fuerte (conservación del flujo magnético). La estrella es un radiador potente en
radiofrecuencias, y recibe el nombre de pulsar. A medida que transcurre el tiempo y radia
su energía al espacio interestelar, su velocidad de rotación y su campo magnético irán
disminuyendo (ver problema 2 en S7). El primer radiopulsar fue descubierto en 1967 por
Jocelyn Bell y Anthony Hewish, y actualmente se han detectado muchos radiopulsares
con periodos entre aproximadamente 1 ms y algunos segundos.
Razones para asociar un pulsar con una estrella de neutrones rotando
● Hipótesis de una enana blanca.- Existen tres posibilidades para explicar la señal periódica
observada: rotación, pulsación o sistema binario. Con respecto a la rotación, el minimo
periodo de una enana blanca rotando corresponderá a una rotación extrema, es decir, con la
velocidad de rotación crítica Vc = (GM/R)1/2  wc = (GM/R3)1/2  Pc = 2/wc =
2(R3/GM)1/2  /(G <r>)1/2. Tomando una densidad media máxima de 108 gr cm-3, entonces
Prot  1 seg, lo que descarta la hipótesis de una enana blanca rotando. Para una enana blanca
pulsando, se tiene Ppul  G 1/2 <r>1/2  1 seg. Finalmente, las enanas blancas binarias deben
satisfacer la relación (Kepler) Porb = 2[r3/G(M1 + M2)]1/2, donde r es la distancia media entre
las estrellas. Como [r3/(M1 + M2)]1/2  (R3/M)1/2, Porb  1 seg.
●● Un objeto más compacto…
Una estrella de neutrones pulsando tiene una densidad media de 1014-1015 gr cm-3. Como Ppul
varia con <r> -1/2, tenemos que Ppul  1 mseg. Es decir, periodos excesivamente cortos.
Mediante una elección adecuada de los radios orbitales r, se pueden conseguir estrellas de
neutrones binarias con periodos orbitales en el rango adecuado: 1mseg - algunos seg. Sin
embargo, se observa que el periodo de los pulsares crece con el tiempo, con P/(dP/dt)  107
años. En un escenario binario, este resultado no parece tener sentido. Si el sistema se forma
con una cierta separación y periodo iniciales, las pérdidas de energia conducirán a una
disminución de la separación y del periodo orbital. El único escenario sensato, parece ser una
estrella de neutrones rotando.
Medida de la dispersión
La medida de la dispersión sirve para determinar la distancia a un pulsar. Se define como
DM = [0,R] ne dr = <ne> R ,
donde R es la distancia al pulsar, ne es la densidad número electrónica y r es la longitud del
trayecto a lo largo de la línea de visión. Las unidades habituales de DM son pc cm-3, y el
nombre proviene del hecho siguiente: las ondas electromagnéticas son dispersadas por el
plasma interestelar, y DM es una medida del fenómeno.
Cuando una onda electromagnética de frecuencia w se propaga en un plasma poco denso, los
electrones adquieren una aceleración m(d2x / dt2) = - eE, donde E = E0 eiwt es el campo
eléctrico que actúa sobre ellos. Integrando, x = (e / mw2)E. La polarización del medio es P =
ne (- e) x = - (nee2 / mw2)E, y también, P = [(e – 1) / 4]E, donde e es la constante dieléctrica.
Por lo tanto, e = 1 – wp2/w2, siendo wp2 = 4nee2 / m la llamada frecuencia del plasma.
En la propagación de una onda electromagnética con número de onda k, se pueden distinguir
dos velocidades (dispersión): (a) de fase  vfase = w/k = c/e1/2  w2 = wp2 + k2c2, (b) de
grupo  vgrupo = dw(k)/dk  c(1 – wp2/2w2), w >> wp. El tiempo de llegada de la radiación a
frecuencia w y recorriendo una distancia R es t(w) = [0,R] dr/vgrupo = R/c + (2e2 / mcw2) DM.
La cantidad observable es el retardo temporal entre diferentes componentes de frecuencia del
pulso Dt, que conduce a la estimación de DM: Dt / Dw = - (4e2 / mcw3) DM. Si somos
capaces de determinar DMs para fuentes a distancias conocidas, entonces podemos estimar
<ne>, y finalmente, la distancia R para un pulsar individual con DM conocida.
Modelo del dipolo magnético
Se supone que la estrella de neutrones gira a una velocidad angular w, y posee un momento
dipolar magnético separado un ángulo  del eje de rotación. En dicha configuración, el
momento dipolar magnético varia con el tiempo y se radia energia a un ritmo dE/dt = Bp2R6w4sen2 / 6c3, donde R es el radio de la estrella y Bp es el campo magnético en el polo
magnético. Se supone que la energia transportada por la radiación proviene de la energía
cinética de rotación E = (1/2) I w2, siendo I el momento de inercia. Entonces, dE/dt = I w
(dw/dt). Ya que dE/dt < 0, se debe cumplir: dw/dt < 0. En otras palabras, el pulsar se frena.
Se puede definir una edad característica (época actual), T = - w0 / (dw/dt)0 = 6Ic3 /
Bp2R6w02sen2, y deducir la evolución temporal de la velocidad angular w(t) = w(0) [1 +
2w(0)2 t / w02 T] -1/2. La edad actual del pulsar seria t0 = (T/2) [1 – w02/w(0)2]  T/2 para w0 <<
w(0).
En el año 1972 se midió el valor de T para el pulsar Crab (Cangrejo), y se obtuvo T = 2486
años. Según el modelo, la edad del pulsar en 1972 seria t0  1243 años. El pulsar está situado en
la nebulosa del Cangrejo, que es el remanente de una explosión de SN. La explosión ocurrió en el
verano del año 1054 y fué observada por los astrónomos chinos. Es fácil concluir que la edad del
pulsar en 1972 era de 1972 – 1054 = 918 años, en bastante buena concordancia con la estimación
basada en T y el modelo. También para el pulsar Cangrejo (P = 0,0331 seg):
I = 1,4  1045 gr cm2  dE/dt = 6,4  1038 erg s-1  Bp = 5,2  1012 G (R = 12 km,  = /2)
Considerando el colapso de una estrella de la SP con un campo magnético superficial típico de
102 G, la disminución del radio en un factor  105 conduce a un crecimiento de Bp en un factor 
1010, y las cosas encajan de forma bastante razonable.
Mecanismos de emisión
¿Qué mecanismo convierte la energía rotacional de la estrella de neutrones en los pulsos
observados?.
Requisitos observacionales:
(a) La radiación debe emitirse como un haz estrecho, con una orientación dada respecto al
eje de rotación de la estrella. El haz debe tener una anchura angular  10º (para un
observador distante), y esta anchura debe mantenerse sobre un amplio rango de
frecuencia y muchos periodos de rotación.
(b) El mecanismo debe producir radiación de banda ancha en el óptico y a
radiofrecuencias. Los radiopulsos tienen anchuras de banda  100 MHz.
(c) Los procesos de radiación deben generar las luminosidades y temperaturas de brillo
observadas (radio, óptico y rayos X).
(d) En radiofrecuencias, la emisión debe mostrar una fuerte polarización lineal, que es
aproximadamente independiente de la frecuencia y estable durante grandes intervalos
de tiempo.
La temperatura de brillo (Tb) de una región emisora, se define “conectando” la intensidad
específica emitida In (erg s -1 cm -2 Hz -1 sr -1) con la función de Planck Bn. Aparece entonces
una temperatura de brillo (efectiva) tal que In = Bn (Tb). Para hn << kTb, se deduce la relación
de Rayleigh-Jeans In = (2n2/c2) kTb.
Suponiendo distancias razonables a púlsares y emisión en un haz cónico, las
luminosidades en radio son L ~ 1025 – 1028 erg s -1. Podemos estimar la radiointensidad
específica como In ~ L / [(cDt)2 (100 MHz) (10-2 sr)], donde Dt ~ 10-3 seg es la duración
típica de un pulso. Haciendo números, In ~ 104 – 107 erg s -1 cm -2 Hz -1 sr -1. Esta
intensidad conduce a una temperatura de brillo Tb ~ 1023 – 1026 K  kTb ~ 1019 - 10 22 eV.
Está claro que esta temperatura efectiva (de brillo) no es una temperatura real, y así, la
radioemisión no es de origen térmico. Si se produjese radiación térmica a Tb, el pico de
emisión estaria situado a muy altas frecuencias y no en radiofrecuencias.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars’.
Problemas]
1.- Suponer que <ne>  0,03 cm-3 para el medio interestelar, y que se conocen las distancias a
los pulsares PSR 0950+08 ( 100 pc) y PSR 1648-42 ( 18 kpc). Haciendo medidas a 500
MHz y a 400 MHz, calcular el retardo entre las señales a ambas frecuencias. ¿Para qué
radiopulsar será más importante?.
2.- Un parámetro observable es el llamado índice de frenado n. Se define como n = w(d2w/dt2) / (dw/dt)2. Para el pulsar en la nebulosa del Cangrejo, n = 2,515  0,005. ¿Puedes
explicar el resultado mediante el modelo del dipolo magnético?. Si se superpone una pérdida
adicional de energia (no asociada al momento dipolar variable), ¿se arregla o se empeora la
situación?.
3.- Si la luminosidad en rayos X del pulsar Cangrejo vale LX  1035 erg s-1, determinar la
temperatura de brillo asociada. La radiación X, ¿tendrá un origen térmico?.
AGUJEROS NEGROS: DISCOS DE ACRECCION (Sesión 29)
Cálculos detallados indican que la masa de una estrella de neutrones no puede exceder de 3
masas solares. Este límite es el equivalente al límite de Chandrasekhar para enanas blancas.
Por encima de esta masa, la presión de degeneración de los neutrones no puede evitar el
colapso gravitatorio, y no se conocen fuerzas capaces de contrarrestar la gravedad en dicha
situación. La teoría de la evolución estelar indica que las estrellas en la SP con masa por
encima de 25 Mʘ, morirán colapsando en “un punto”. Cuando el corazón estelar se hace muy
pequeño, la gravedad es tan importante que incluso la luz no puede escapar de la región. El
objeto resultante no emite luz, y se denomina agujero negro.
… nueva luz !!!
Una estrella compacta aislada
pueden capturar gas del medio
interestelar, y una estrella
compacta en un sistema binario,
puede capturar la envoltura de su
compañera. Debido a la alta
velocidad de rotación, se formará
un disco de acrección caliente y
brillante, que se mantendrá tras
un posible colapso total final.
Aguj. Negro
El plano central del disco está definido por z = 0, y el
espesor del mismo vale 2h. Aunque cada elemento del
gas en el disco orbita al AN de una forma cuasi-circular,
en realidad, adquiere un pequeño momento radial de
caida hacia el AN, debido a que la fricción viscosa
elimina momento angular. Simultáneamente, la
viscosidad es la responsable del calentamiento por
fricción del gas. La mayor parte de este calor es
radiado desde las caras superior e inferior del disco, que
aparece en el cielo como un objeto brillante.
La estructura del disco se determina resolviendo simultáneamente cuatro ecuaciones de
conservación (masa, momento angular, energía y momento vertical). Además, debemos
especificar la ley de viscosidad, la opacidad, la ecuación de estado y el transporte
radiativo. La solución para un disco Newtoniano fue obtenida por Shakura y Sunyaev en
1973, y el modelo ha jugado y juega un papel central en el estudio de discos gaseosos en
torno a agujeros negros estelares y en el análisis de las regiones centrales de galaxias.
El disco es opticamente grueso. Si los procesos de absorción libre-libre (“bremsstrahlung”
inverso) dominan a los procesos de colisión fotón-electrón, la emisión local (desde las caras
del disco) será de tipo cuerpo negro. En dichas regiones, el espectro está descrito por una ley
de Planck a la temperatura Ts. Los fotones se crean a diferentes profundidades ópticas tff  1
por debajo de las caras del disco, y la temperatura Ts caracteriza a la materia en dichos
sustratos.
N
Dz
N(tff)
tff
La población de fotones a una profundidad física Dz, o si se
quiere, a una profundidad óptica tff = kff Dz = kff r Dz, se
puede relacionar con la población fotónica en la cara del
disco: N = N(tff) exp(-tff). Para tff  1  N  N(tff),
mientras que para tff > 1, N << N(tff). Así, podemos
considerar que la radiación emergente se produce en los
sustratos verificando tff  1 (fotones que son capaces de
escapar).
► Fotones que emergen con una frecuencia particular n, son creados en sustratos hasta una
profundidad tff(n) = kff (n) r Dz ~ 1. Por otro lado, la intensidad de la radiación emergente In será
la emisividad debida a radiación de “bremsstrahlung” en un espesor físico de Dz ~ 1/ kff(n)r. Es
decir, In = jff(n) Dz  In ~ jff(n) / kff (n) r = Bn(Ts) = (2hn3 / c2){1 / [exp(hn/kTs) – 1]}.
► La absorción domina al proceso de colisión fotón-electrón solo en las regiones externas
del disco de acrección [Ts, kff (n)]. Es las regiones medianas e internas del disco (radios
intermedios y pequeños), las colisiones con electrones dominan a los procesos de
absorción [kes > kff (n)]. Por lo tanto, debemos tener en cuenta la modificación del
espectro en las zonas no externas. En dichas zonas más profundas, el espectro puede ser
diferente a la ley de Planck. Tras ser emitido, un fotón puede sufrir muchas colisiones
elásticas antes de escapar por una cara del disco, y como consecuencia de las mismas,
realizar un trayecto en “zig-zag”.
ZONAS NO EXTERNAS
Dz*
Dz
Cuando se ignoran las colisiones, el máximo camino vertical
de un fotón (creado por efecto de frenado) es Dz ~ 1/ kff(n)r,
mientras que considerando colisiones, el máximo camino
vertical evitando absorción es Dz* < Dz. Obviamente, el
máximo camino total (en “zig-zag”) será Ds ~ 1/ kff(n)r.
Se reduce la profundidad a la cual las emisiones contribuyen al flujo emergente, y In = jff(n)
Dz*. Si Nns es el número medio de colisiones antes del escape (recorriendo Ds), entonces
Nns = Ds/les , les = 1/kesr,
donde les es el recorrido libre medio entre colisiones. Ahora es posible estimar la distancia
atravesada en la dirección vertical: Dz* ~ Nns1/2 les, y combinando los resultados anteriores,
Nns ~ kes/kff(n) , Dz* ~ 1/[kes kff(n)]1/2r ~ Dz [kff(n)/kes]1/2

In ~ [jff(n)/kff (n) r] [kff(n)/kes
]1/2
= Bn(Ts) [kff(n)/kes
]1/2
.
DISTORSION
ESPECTRAL !!!
Como la opacidad para absorción libre-libre en hidrógeno ionizado tiene una dependencia
espectral kff(n)  (1 – e-x) x -3, con x = hn/kTs, se deduce que In  x3/2 e -x/2 (ex – 1) -1/2.
Aparece un espectro de tipo Planck “modificado” [Planck: In  x3 (ex – 1) -1].
Temperatura
Por ejemplo, en las regiones externas, el gas radia con un espectro de tipo cuerpo negro y
la temperatura varia radialmente como Ts(r) = {(3/8)(GM/s r3)(dM/dt)[1 – (rin/r)1/2]}1/4.
Es decir, la distribución de temperaturas está determinada por la masa del AN central y la
velocidad de acrección de materia.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars’.
Problemas]
1.- Considerando que la luminosidad total de un disco de acrección en torno a un AN vale L 
0,1 (dM/dt) c2, estimar la luminosidad de un disco que captura 10 -9 Mʘ / año. ¿Será tan
brillante como el Sol?.
2.- La transición entre las regiones externas (relativamente frias y emitiendo radiación con un
espectro de Planck) y las no externas (relativamente calientes y emitiendo con un espectro de
Planck modificado) ocurre cuando kes ~ <kff(n)>. El correspondiente radio de transición
verifica rtran  103 [(dM/dt) / 10 -9 Mʘ año-1]2/3 (Mʘ / M)2/3 rin, siendo rin el radio interno del
disco. Discute si es posible la existencia de discos de acrección emitiendo unicamente
radiación de cuerpo negro.
3.- Cuando se hacen dominantes las colisiones fotón-electron (frente a las absorciones librelibre), discute si el espectro se “ablanda”, o por el contrario se “endurece”, con respecto al
espectro Planckiano a la misma temperatura.
SISTEMAS BINARIOS
‘Astronomy Today’(2001),‘Astrophysics I: Stars’(1984),
‘Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars’(1983)
MECANICA Y ESTRUCTURA DE SISTEMAS BINARIOS (Sesión 30)
Ya hemos comentado que gran parte de las estrellas en la Galaxia no están aisladas, ya que
forman parte de sistemas binarios. Cuando las dos estrellas de un sistema binario están muy
separadas, tendremos una mecánica y estructura simples, con dos objetos describiendo órbitas
en torno al centro de masas (ver S6), sin una importante influencia extra-dinámica y con una
apariencia de dos estrellas bien diferenciadas. Sin embargo, cuando los dos objetos están
relativamente próximos, las cosas cambian. En un sistema binario próximo, cada estrella
tiene una zona de influencia gravitatoria llamada lóbulo de Roche, dentro del cual la materia
puede considerarse como parte de esa estrella. Los dos lóbulos de Roche se juntan en el
llamado punto lagrangiano entre los dos objetos. Fuera de los lóbulos de Roche, la materia
puede fluir hacia cualquiera de las dos estrellas.
Transferencia de
masa
En sistemas binarios cuyas componentes están muy separadas (p.e.,
distancia entre las estrellas mayor que 1000 radios estelares), las dos
estrellas siguen vidas separadas y evolucionan de forma
independiente. Por el contrario, si se trata de un sistema binario
próximo, la atracción gravitatoria de un objeto puede influir
fuertemente la envoltura del otro. Es decir, la materia exterior al
lóbulo de Roche de una estrella puede ser capturada por la compañera
(acrección). Un escenario propicio es el de dos estrellas relativamente
próximas, siendo una de ellas de tipo gigante y excediendo en tamaño
a su lóbulo de Roche. Cuando ambas estrellas están dentro de sus
respectivos lóbulos de Roche, se dice que son independientes. Sin
embargo, cuando una estrella abandona la SP y se mueve hacia la
región de las gigantes rojas, es posible que su radio se haga tan grande
que cruce los limites del lóbulo de Roche. En este segundo caso, el
gas de la envoltura fluirá hacia la compañera a través del punto
lagrangiano. Ahora los objetos son semi-independientes. Debido a la
fluencia de materia de una estrella a la otra, también se dice que
tenemos una binaria con transferencia de masa. Si por alguna razón
la otra estrella también excede su lóbulo de Roche (debido a evolución
estelar o al exceso de material capturado), las superficies de las dos
estrellas se funden. El sistema consiste en dos corazones estelares
quemando material (reacciones de fusión) rodeados por una sola
envoltura común. Se trata de una binaria en contacto.
ALGOL
● Un ejemplo binaria con transferencia de masa es la estrella
Algol en la constelación de Perseus. Estudiando su espectro y la
variación en su intensidad (curva de luz), se ha encontrado que
Algol es realmente una binaria espectroscópica de doble
espectro (aparece el espectro de ambas componentes) y
eclipsante. Algol consiste en una estrella de la SP, con 3,7 Mʘ y
de tipo espectral B8 (gigante azul), que esta acompañada por
una subgigante roja de 0,8 Mʘ . El movimiento orbital es casi
circular y con un periodo de 3 dias. Las estrellas están
separadas por solo 4  106 km (Rʘ  7  105 km !!!).
●● Se piensa que Algol comenzó siendo una binaria
independiente, constituida por una estrella 1 (actual subgigante
con 0,8 Mʘ ) y una estrella 2 (actual SP con 3,7 Mʘ ).
Inicialmente, la estrella 1 era la más masiva, con M1(0)  3 Mʘ.
Debido a ello evolucionó primero fuera de la SP. La estrella 2 era
originalmente menos masiva, con M2(0)  Mʘ. Cuando 1 se hace
gigante roja, su envoltura rebasa el lóbulo de Roche y comienza a
fluir gas hacia la estrella 2. Comienza a disminuir la masa de 1 y
a aumentar la masa de 2, lo cual conduce a una disminución del
lóbulo de Roche de 1 a medida que su campo gravitatorio se
reduce. Se produce así una transferencia de masa rápida, tras la
cual M1 < M2. Posteriormente, la transferencia de masa se reduce
fuertemente, y el sistema entra en la etapa actual.
Sistema binario  Transferencia de masa  Cambios evolutivos
Al formar parte de un sistema binario, la evolución de las estrellas en el sistema Algol se
ha alterado dramaticamente. La estrella que tenia originalmente una masa alta (1) es
ahora una subgigante roja de baja masa, mientras que la estrella con masa inicial de tipo
solar (2), es ahora una estrella masiva de la SP (gigante azul). La pérdida de masa en la
estrella 1, puede incluso evitar que esta alcance el flash de helio. En lugar de eso, el
corazón estelar puede acabar como una enana blanca de He. En algunas decenas de
millones de años, la estrella 2 comenzara a expandirse y llenar su propio lóbulo de Roche.
Si la estrella 1 es todavia una subgigante o una gigante en dicha época, se formará una
binaria en contacto. En caso contrario, si la estrella 1 ya se ha convertido en una enana
blanca, aparecerá un nuevo periodo de transferencia de masa, con la materia viajando
desde la estrella 2 a la 1. En este último caso, Algol puede tener un futuro muy activo y
violento: supernova de tipo I.
El sistema Algol es un ejemplo claro de evolución binaria, y de cómo se complican las
cosas cuando dos estrellas evolucionan de forma dependiente. Una fracción
significativa de las estrellas binarias en la Vía Láctea atraviesan por etapas de
transferencia de masa o envoltura común. El en la sesión siguiente nos concentraremos en
los detalles sobre la evolución de estrellas binarias.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astronomy Today’ y ‘Astrophysics I: Stars’]
EVOLUCION DE ESTRELLAS BINARIAS (Sesión 31)
El radio efectivo del lóbulo de Roche alrededor de la estrella 1 es (aprox. analítica con una
precisión mejor que el 1%)
r1 = a[0,38 + 0,2 log (M1/M2)] ,
donde a es la separación entre las estrellas 1 y 2. Para la estrella 2 se tiene una expresión
similar, simplemente intercambiando M1 y M2. Supongamos que inicialmente ri > Ri (Ri
son los radios estelares), y que durante la evolución tras la SP (contracción del núcleo y
expansión de la envoltura), la estrella primaria (mayor masa) rebasa su lóbulo de Roche y
comienza a transferir materia a su compañera de menor masa (secundaria). Si no hay
pérdida de masa de la binaria y se conserva el momento angular, también puede mostrarse
que
a  M1-2M2-2 = M1-2(M – M1)-2 ,
siendo M = M1 + M2 la masa total constante. Las dos expresiones que hemos visto nos dicen
lo siguiente:
(a) Cuando hay transferencia de masa, cambia la separación entre las estrellas. Si la estrella 1
es la primaria (M1 > M2), y cede masa a su compañera, la separación estelar decrece
con el tiempo.
(b) Como la separación estelar decrece y las masas cambian (M1 decrece, mientras que M2
crece), el tamaño de los lóbulos de Roche cambia a medida que pasa el tiempo.
Cuando una estrella evoluciona fuera de la SP,
su radio R1 comienza a crecer rapidamente. Si
R1 < r1, la evolución de la estrella se puede
aproximar a la de un objeto aislado. Sin
embargo, durante las etapas avanzadas de la
combustión termonuclear, se producirán
varias fases de expansión y posibles
situaciones R1 > r1. Por ejemplo, en la figura
vemos la variación del radio de una estrella
con 5 Mʘ. Durante la combustión del corazon
de H (fase A), el radio crece ligeramente
(menos que un factor 2) y probablemente no
se producirá transferencia de masa. La
primera fase de expansión importante
corresponde al quemado de la envoltura de
hidrógeno, justo antes de la ignición de He en
el corazón estelar.
El comienzo de la fase B, ocurre al cabo unos 6  107 años. En este comienzo expansivo y
rápido, el radio aumenta en aprox. un orden de magnitud. La siguiente fase de expansión
precede a la ignición de C en el núcleo (comienzo de la fase C), y es nuevamente violenta
(rápida). El radio estelar vuelve a aumentar en un factor 10 con respecto al radio en la fase
previa.
Evolución avanzada en sistemas binarios
● Los detalles de la evolución del sistema dependerán de cuando llena el lóbulo de Roche
la primaria: durante el quemado de H o precediendo a la ignición de He o C, asi como del
comportamiento de las estrellas durante la transferencia de masa.
●● A modo de ejemplo, vamos a considerar un sistema que contiene inicialmente una
primaria de 20 Mʘ y una secundaria de 6 Mʘ, en órbitas circulares con periodo orbital de
4,4 días. Ambas estrellas están inicialmente en la SP.
●●● La primaria consume el H en el corazón durante 6
 106 años. La secundaria tarda 10 veces más. Cuando
la envoltura de la primaria se expande tras el quemado
de H, la estrella rebasa su lóbulo de Roche. Se
transfiere materia a la secundaria, en un regimen muy
rápido, y se forma un disco de acrección en torno a la
estrella inicialmente menos masiva. Finalmente, se
completa el proceso de transferencia de materia,
formándose una estrella de 20,6 Mʘ, que será rica en
hidrógeno. Esta evolucionará como si fuese una
estrella joven de 20,6 Mʘ, que está quemando H. La
primaria (inicialmente) es ahora la menos masiva (5,4
Mʘ), y está quemando He. Despues, quemará C, O y
Si, mientras la secundaria (inicialmente) sigue una
evolución relativamente lenta en la SP.
● La estrella evolucionada sufre una explosión de SN, expulsando una capa de materia de
3,4 Mʘ y dejando un remanente de 2 Mʘ. El remanente sufre una rápida implosión hasta
convertirse en una estrella de neutrones o un agujero negro. La explosión de SN no provoca
la ruptura del sistema binario, pero la pérdida de masa aumentará el tamaño de la órbita, y
puede provocar la aparición de una excentricidad orbital importante.
●● La inicialmente secundaria es una estrella
del tipo O o B, en la SP. Cuando completa el
quemado de H, su envoltura se expande y se
convierte en una supergigante azul. Al
comienzo de la fase de expansión, la estrella
pierde materia como consecuencia del viento
estelar debido a la alta presión de radiación en
las capas más externas. El objeto compacto
captura materia y se convierte en una fuente
de rayos X. Despues, la estrella en expansión
rebasa su lóbulo de Roche y se produce una
transferencia rápida de masa hacia el objeto
compacto. Finalmente, se forma un disco de
acrección en torno a la estrella compacta, que
emitirá rayos X, y radiación ultravioleta y
óptica. Si hay un campo magnético
importante, también se observará
radioemisión.
¿Explosión de SN sin ruptura del sistema binario?
En el dibujo superior vemos una configuración pre-SN. Consideramos
un sistema de referencia en reposo con relación al progenitor de SN,
con masa M1. Por simplicidad, se toman órbitas circulares. En esta
etapa inicial, la energía total de la binaria es Etotal = (1/2)[M1M2/(M1 +
M2)]v2 – GM1M2/a, con v2 = G(M1 + M2)/a. En una segunda etapa, se
produce la explosión de SN y la capa en expansión está dentro de la
órbita relativa. Durante esta segunda etapa, la estrella M2 continua
moviéndose en su órbita circular de radio a, ya que el potencial
gravitatorio neto que actua sobre ella es equivalente al generado por
una masa M1 = MR + dM localizada en el centro de la órbita. La
energia total del sistema sigue siendo Etotal = - GM1M2/2a. En una
tercera etapa, la capa en expansión atraviesa instantaneamente la órbita
de M2, la velocidad orbital de M2 permanece inalterada: v2 = G(M1 +
M2)/a, y la nueva energia total es Etotal = (1/2)[MRM2/(MR + M2)]v2 –
GMRM2/a = (GMRM2/2a)[(M1 + M2)/(MR + M2) – 2]. El nuevo
sistema con masas MR y M2 permanecera ligado gravitatoriamente si
Etotal < 0. Si Etotal > 0, el sistema binario se “romperá”. Es decir, si MR
< (M1 – M2)/2, o equivalentemente, dM > (M1 + M2)/2, entonces habrá
ruptura del sistema. Para que se produzca la ruptura del sistema, la
explosión debe expulsar al menos la mitad de la masa total inicial.
Tras el paso de la capa en expansión, M2 ajustará gradualmente su órbita a la nueva fuerza
gravitatoria de MR. Suponiendo que el sistema permanece ligado, se alcanzará una nueva
configuración de equilibrio, con un nuevo radio orbital y un nuevo periodo orbital: a  b,
Pa  Pb. En concreto, (b – a)/a = dM/(M1 + M2 – 2dM) y Pb = Pa (b/a)3/2 [(2b –a)/b]1/2.
Como dM > 0, el radio orbital y el periodo orbital aumentan.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’. Problemas]
1.- Si en un sistema binario no hay pérdida de masa y se conserva el momento angular,
estudiar la evolución de la separación a con la masa de la estrella primaria (inicialmente) M1.
Suponer que inicialmente M1 > M2, y que se produce transferencia de masa, llegándose
primero a una configuración M1 = M2, y más tarde, a configuraciones con M1 < M2.
2.- Un sistema binario consiste en dos estrellas de masas M1 = 5 Mʘ y M2 = 2,5 Mʘ. Las
órbitas son circulares y el periodo vale 146 días. Ambas estrellas están inicialmente en la SP.
¿Durante qué fases de la evolución de la estrella 1 puede producirse transferencia de masa?.
3.- Deducir las expresiones para el nuevo radio orbital y el nuevo periodo orbital (b y Pb),
cuando la capa expulsada en una explosión de SN atraviesa la órbita de la estrella compañera
y se produce una nueva configuración de equilibrio. Suponer que las órbitas son circulares y
que la energía del sistema se conserva durante la “reorganización” orbital.
BINARIAS INCLUYENDO OBJETOS COMPACTOS: EMISION EN LA BANDA X Y
RADIOFRECUENCIAS (Sesión 32)
Se han descubierto muchos sistemas binarios en los cuales una estrella es miembro de la SP o
se encuentra en un estado de evolución no muy avanzado, mientras que la otra estrella es un
objeto compacto. La estrella compacta no se observa en el óptico, pero es una fuente brillante
de rayos X. Una de las binarias de rayos X más conocidas es Cyg X-1, en la cual se supone
que reside un agujero negro estelar. Cuando la estrella compacta es una estrella de neutrones,
se observan pulsos de rayos X. El periodo de los pulsos varía entre 1 seg y unos 10 minutos.
► En la figura vemos una estrella de
neutrones magnetizada que está capturando
material (de una compañera). El gás no se
precipita sobre toda la superficie de la
estrella compacta, sino que es “guiado”
hacia los polos magnéticos. No hay
acrección a través de la región toroidal del
campo magnético (lóbulos sombreados).
Haciendo un “zoom”, se observa como el
gas cae a lo largo de las lineas de campo
abiertas, y al chocar contra la superficie
estelar se alcanzan temperaturas muy altas y
se emite radiación en la banda X.
Modelo standard
● Se supone que el gas es capturado a un ritmo de acrección dM/dt, hacia una estrella de
neutrones con masa MX y radio RX. Para analizar groseramente la radiación en la banda X,
se desprecia la presencia de campos magnéticos y el “guiado” que estos producen. Así,
suponemos que el gas fluye esfericamente hacia la superficie estelar. Cuando alcanza la
superficie, se decelera abruptamente, y su energia cinética se convierte en calor y
radiación. La velocidad de una corona de gas con masa M y próxima a la superficie del
objeto compacto (r  RX), será: (1/2)M V2 = GMXM/RX (E = 0)  V2 = 2GMX/RX. La
corona esférica tiene una energia cinética asociada GMXM/RX, la cual se invierte en
calentar la superficie y en producir rayos X. Tras la colisión, GMXM/RX = Q + EX.
M
RX
V
MX
●● El gas fluye continuamente con un ritmo de acrección
dM/dt, y por consiguiente, se recibe continuamente materia y
energia cinética: GMX(dM/dt)/RX = dQ/dt + LX. Consideramos
que se alcanza una temperatura Ts = cte, y que la acrección
mantiene dicha temperatura y alimenta la luminosidad en la
banda X. Es decir, LX = GMX(dM/dt)/RX (regimen dQ/dt = 0).
La eficiencia de la emisión radiativa en términos de la energia
de la masa en reposo incidente vale
eX [potencia emitida (rayos X)/ energía de la masa en reposo que se deposita por unidad de
tiempo] = LX/[(dM/dt)c2] = GMX/RXc2. Para estrellas de neutrones típicas, la eficiencia
alcanza valores importantes: eX ~ 10%.
► Se supone que la radiación se emite como radiación de cuerpo negro a la temperatura Ts.
Es decir, LX = 4RX2sTs4. Las luminosidades “observadas” de  1037 erg s-1 (rayos X blandos
de 1 keV), conducen a una temperatura típica de  107 K, y así todo el marco de trabajo es
razonable: los rayos X tienen un origen térmico, ya que kTs  1 keV. Es fácil comprobar
que el ritmo de acrección requerido para generar la luminosidad “observada” es dM/dt  10-9
Mʘ/año. Estas velocidades de acrección se pueden lograr facilmente en sistemas binarios
próximos.
► Algunas binarias de rayos X son un poco diferentes. Se trata de las fuentes asociadas con
el halo de nuestra galaxia. No presentan pulsos periódicos y suelen generar “llamaradas” en
la banda X (“bursts”). Se distribuyen como las estrellas viejas de población II, a diferencia de
las binarias normales asociadas con estrellas masivas y jóvenes de población I (en el disco).
Para una fuente con “bursts” de rayos X, podemos relacionar el flujo observado, la
luminosidad emitida y la distancia: FX = LX/4d2. También es fácil mostrar que FX = (RX/d)2
sTs4, donde suponemos emisión Planckiana. En principio, uno puede pensar que los “bursts”
(FXburst > FXback) son debidos a un calentamiento violento, seguido por un enfriamiento más
lento de una estrella con cierto radio y a cierta distancia. Sin embargo, esta imagen no esta de
acuerdo con algunas observaciones. Por ejemplo, para cierta fuente con “bursts”, se analizó
un “burst” en detalle y se obtuvieron conclusiones apuntando hacia una posible pulsación
estelar. Suponiendo una distancia de 10 kpc, y midiendo la evolución temporal de FXburst y Ts,
se dedujo que RX  100 km durante los primeros 10 segundos del “burst”, mientras que RX 
15 km en la fase posterior.
Radiación no térmica: emisión sincrotrón
● La emisión no térmica no tiene un comportamiento espectral Planckiano. La forma
más común de emisión no térmica es la llamada emisión de sincrotrón, que proviene
basicamente de la aceleración de particulas cargadas en un campo magnético y que es
observada en radiofrecuencias. Las partículas cargadas suelen ser electrones, ya que en
comparación a los protones, tienen poca masa y sufren aceleraciones más importantes.
Cuando electrones energéticos atraviesan un campo magnético, describen trayectorias
espirales alrrededor del mismo, cambiando continuamente su dirección de movimiento,
sufriendo aceleración y emitiendo radiación. La frecuencia de emisión está directamente
relacionada con la velocidad del electrón, y puede estar determinada por la velocidad
inicial del mismo o ser debida a la intensidad del campo magnético. Para que la emisión
sea suficientemente intensa como para ser detectada por un observador terrestre, los
electrones deben viajar a velocidades próximas a la de la luz, es decir, deben ser
electrones relativistas.
● A frecuencias suficientemente bajas, se puede
hacer importante la absorción de radiación por
electrones relativistas en presencia de un campo
magnético. Se trata del proceso inverso a la emisión
de sincrotrón, y se denomina autoabsorción
sincrotrón (AAS). Los electrones responsables de
la radiación a la frecuencia n tienen una energia Ee
~ (2nmec/eB)1/2 mec2 (c-1/2).
► Cuando se produce AAS, un análisis detallado muestra que se puede obtener la
intensidad emitida, reemplazando la energia media por particula para una fuente térmica
(~ kT) por la energía de cada electrón. En el límite Rayleigh-Jeans, para una fuente
sincrotrón opticamente espesa obtenemos In = (2n2/c2) Ee ~ 10-30 n5/2 B-1/2 erg s-1 cm-2 Hz-1
sr-1. Como el flujo observado es Fn = WIn ~ q2In, se deduce que
B (en G) ~ 5  10-3 q4 n5 Fn-2,
donde q se mide en mas (= 10-3 "), n en GHz y Fn en Jy (= 10-23 erg s-1 cm-2 Hz-1). La
energía de los electrones se deduce directamente de la temperatura de brillo, Ee = kTb, y
el factor de Lorentz vale  = Ee/mec2 = kTb/mec2.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars’.
Problemas]
1.- Repetir el formalismo del modelo standard (acrección esférica de gas hacia la superficie
de una estrella de neutrones) para acrección esférica hacia la superficie de una enana blanca.
Comenta las diferencias.
2.- Para cierta binaria de rayos X se ha medido un diámetro angular de la radioemisión q ~ 1
mas. Si la radiofuente está situada a una distancia de ~ 10 kpc, ¿cúal es su tamaño físico (en
cm)?. Suponiendo que observaciones a ~ 1 GHz conducen a un flujo de ~ 1 Jy, y un escenario
con autoabsorción sincrotrón, ¿cuanto vale el campo magnético?. Determinar la temperatura
de brillo Tb, la energía de los electrones y el factor de Lorentz (relatividad especial). ¿Los
electrones son relativistas ( >> 1) o clásicos ( ~ 1)?.
MEDIO INTERESTELAR, AMBIENTE ESTELAR Y OTRAS
CUESTIONES
‘Astronomy Today’(2001)
MEDIO INTERESTELAR: GAS Y POLVO (Sesión 33)
En la imagen se puede ver un gran campo de La Vía Láctea. En algunas direcciones la
materia que extingue la luz está practicamente ausente, permitiendo estudiar todo tipo de
objetos galácticos y extragalácticos. En otras direcciones, existen pequeñas cantidades de
materia interestelar, de forma que la extinción de luz es moderada. No podemos ver objetos
extragalácticos, pero si gran parte de las estrellas en la Galaxia. Algunas regiones del campo
están fuertemente oscurecidas, de forma que incluso la luz de las estrellas relativamente
próximas es completamente absorbida antes de alcanzar la Tierra.
Gas y polvo
La materia entre las estrellas se denomina medio interestelar. Este medio interestelar está
constituido por dos componentes: gas y polvo. El gas consta principalmente de átomos
individuales (gas atómico), con tamaño promedio de 10-10 m (0,1 nm), o de pequeñas
moléculas (gas molecular), no mayores de 10-9 m (1 nm). El polvo interestelar es más
complejo, y está formado por agregados de átomos y moléculas. Aparte de producir
numerosas líneas de absorción atómicas y moleculares, el gas no produce una extinción
importante. La extinción (oscurecimiento) es causada por polvo. La luz de estrellas distantes
no puede penetrar las acumulaciones más densas de polvo interestelar, formado por partículas
(granos de polvo) con un tamaño típico de aproximadamente 10-7 m (0,1 µm), comparable a
las longitudes de onda del ultravioleta próximo y cercano a las longitudes de onda del visible.
La capacidad de una partícula para dispersar un rayo de luz depende del tamaño de la
partícula y de la longitud de onda de la radiación involucrada. Como una regla grosera, solo
las partículas con diámetros comparables o mayores que una longitud de onda dada pueden
influenciar significativamente el haz de radiación a dicha longitud de onda, y por otro lado, la
cantidad de dispersión producida por las partículas de un tamaño dado crece cuando decrece
la longitud de onda. Consecuentemente, las regiones polvorientas del espacio interestelar son
transparentes a la radiación infrarroja y a las señales de radio, pero son opacas a la radiación
de longitudes de onda más cortas, en especial, en el ultravioleta y rayos X. Actualmente, los
astrónomos son capaces de analizar la extinción y el enrrojecimiento en diferentes
direcciones, y así, de construir mapas del polvo en la Galaxia (distribución, concentración y
tamaño de los granos).
►Densidades: Las densidades del medio interestelar son muy bajas. La densidad gaseosa
promedio es de 1 átomo cm-3, aunque existen grandes variaciones para diferentes regiones,
con un pico en 103 átomos cm-3 y un mínimo en 10-2 átomos cm-3. La materia con una
densidad tan extremamente baja es incluso más “light” que el mejor “vacio” logrado hasta
la fecha en los laboratorios terrestres. El polvo interestelar es incluso más raro, ya que en
promedio, hay 10-12 granos cm-3. Con tan bajísima concentración de polvo, nos podemos
preguntar como es capaz de extinguir la radiación tan eficientemente. La respuesta está en
las dimensiones del espacio interestelar, ya que la extinción es un efecto integrado sobre el
camino del haz de luz. Como vimos en la S2: lpolvo(n) = l(n) exp [- t(n)] , t(n) = [0,r] a(n,r’)
dr’ = a*(n) r. A pesar de que la densidad de materia es muy baja, el espacio interestelar en la
vecindad del Sol contiene tanta masa como la masa contenida en las estrellas próximas.
► Composición: La composición del gas se conoce mediante estudios de líneas de
absorción, y las abundancias de elementos son casi similares a las encontradas en otras
estructuras cósmicas: Sol, estrellas,… Casi todo el gas es hidrógeno atómico o molecular
(90%), con una fracción importante de helio (9%) y un 1% de elementos más pesados
(metales). Las abundancias de algunos metales escasos (C, O, Si, Mg y Fe) son bastante
mas bajas en el gas interestelar que en el sistema solar o en estrellas. Posiblemente,
cantidades importantes de estos elementos forman parte de los granos de polvo, lo que
explicaria la “anomalia”. La composición del polvo es incierta, aunque hay evidencias de
silicatos, grafito y hierro. También se piensa en una población de “hielo sucio”: agua
contaminada con amoniaco, metano y otras sustancias ( cometas).
►Forma de los granos de polvo: Según estudios basados en la polarización de la luz
estelar, los granos tienen una forma elongada y están alineados.
Basándonos en simulaciones realizadas con ordenador, se
piensa que tras la colisión y fragmentación de granos, las
partículas resultantes serán de tipo “barra elongada” en
pequeña escala, pero con una estructura global más compleja.
Las estrellas emiten luz no polarizada desde sus fotósferas, y
la polarización de la luz estelar no ocurre por casualidad. Se
cree que el polvo permite el paso de las ondas con campos
eléctricos orientados en cierta dirección, dependiente de la
elongación y alineación de los granos (como ocurre en un
filtro polaroide).
El alineamiento del polvo interestelar es un tema de investigación
y de discusión ahora mismo. La hipótesis actual es que los granos
sufren el efecto de un campo magnético interestelar débil, quizás
un millón de veces más débil que el campo magnético terrestre.
Cada partícula de polvo responderia al campo del mismo modo,
tal como ocurre con las pequeñas limaduras de hierro cuando se
situan cerca de un imán. Las medidas de la atenuación y la
polarización de la luz estelar conducen a información sobre el
tamaño y la forma de los granos de polvo, así como sobre los
campos magnéticos en el espacio interestelar.
NEBULOSAS DE EMISION
Las nebulosas de emisión son nubes brillantes de gas interestelar caliente. El gas se calienta
debido a la proximidad de una estrella joven. Como las nebulosas contienen principalmente
hidrógeno ionizado, también se las denomina regiones HII (las regiones que basicamente
contienen hidrógeno atómico neutro se las conoce como regiones HI). La mayor parte de los
fotones emitidos tras la recombinación de los electrones y los núcleos, escaparán de la
nebulosa. Estos fotones no transportan suficiente energía como para ionizar el gas, y pasan a
través de la nube sin apenas problemas. El espectro de una nebulosa es muy diferente a un
espectro estelar. En general, un espectro estelar consiste en un continuo de tipo cuerpo negro
y líneas de absorción. Por otro lado, el espectro nebular solo contiene una distribución de
líneas de emisión.
Análisis de muchas nebulosas sugieren
que las abundancias son las usuales
(90% H, 9% He y 1% metales). Su
tamaño es suficientemente grande
como para ser medido por simple
geometria, y el uso del tamaño y la
cantidad de materia según la línea de
visión, permite deducir la densidad
(1022 veces menor que la de un
planeta). La anchura de las líneas
indica que T ~ 8000 K.
ESPACIO OSCURO: NUBES DE POLVO
Las nebulosas de emisión representan una minúscula región del espacio, ya que más del 90%
del mismo no contiene ni estrellas, ni nebulosas calientes. Se trata de un espacio oscuro. La
temperatura promedio de una región oscura típica con materia interestelar es de
aproximadamente 100 K. Es decir, el espacio oscuro es muy frío. En los agujeros de luz se
encuentra otra clase de objeto astronómico: la nube de polvo. Una nube de polvo es incluso
más fría que su entorno (~ 10 K) y miles o millones de veces más densa. Su densidad número
puede alcanzar un valor de 106 átomos cm-3, y suele tener dimensiones que exceden las del
sistema solar, pudiendo alcanzar un tamaño de muchos pc. A pesar de su nombre, el principal
componente de las nubes es gas. Sin embargo, la absorción de luz estelar es basicamente
debida al polvo que contienen. En la figura inferior vemos imágenes ópticas (a-b) de una
nube de polvo típica. Aparecen regiones fuertemente oscurecidas donde el polvo y el gas
están especialmente concentrados y la luz de las estrellas profundas está completamente
extinguida. Esta nube se llama como la estrella más próxima (Rho Ophiuchi), y se encuentra
a 300 pc de distancia.
Las piezas brillantes dentro de la
región oscura son nebulosas de
emisión y grupos de estrellas. Algunas
son parte de la nube, donde se han
formado estrellas jóvenes que crean
“manchas calientes” en el gas oscuro y
frío. Ver imagen IR en (c).
Otras huellas: espectro óptico de absorción y emisión IR/radio
Los primeros datos sobre la extensión de una nube se obtuvieron mediante estudios de
espectros ópticos de estrellas distantes. El gas absorbe cierta cantidad de radiación estelar,
dependiendo de la temperatura, densidad, velocidad y composición de la nube. Debido a que
las líneas de absorción interestelar son producidas por gas frío y no denso, es fácil
distinguirlas de las líneas mucho más anchas e intensas producidas en la atmósfera estelar
caliente.
En la figura superior se puede ver un ejemplo de una
nube oscura en la constelación del Cisne (Cygnus).
En (a) se muestra la imagen óptica, que incluye una
via oscura de polvo y gas. En (b) aparece la imagen a
radiofrecuencias, con una fuerte radioemisión
asociada a la línea del CO molecular. La radiación
más intensa se aprecia en la zona central más densa.
RADIACION DE 21 CM
p
SpSe
l = 21 cm
SpSe
El hidrógeno atómico interestelar produce una radioemisión de
relativamente baja energía. En el estado fundamental (mínima energía),
el electrón (e) y el protón (p) tienen “spin” antiparalelo. Es decir, las
e dos partículas giran en direcciones opuestas. Muy cerca de este nivel
fundamental de energía, se encuentra un nivel en el cual e y p tienen
“spin” paralelo, o lo que es equivalente, giran en la misma dirección.
Como todo sistema tiende hacia el estado de mínima energía posible, el
gas interestelar también. Así, si existen átomos de hidrógeno con e y p
girando en la misma dirección (ligeramente excitados), tienden a
alcanzar el estado de mínima energia, con las dos partículas girando en
direcciones opuestas. En la transición se libera un fotón con energia
igual a la diferencia de energia entre los niveles involucrados (l = 21,1
cm, n = 1,42 GHz), y dicho foton forma parte de la denominada
radiación de 21 cm. La radiación de 21 cm es la huella del hidrógeno
atómico frío en nuestra Galaxia.
¿Por qué no ha decaido todo el hidrógeno atómico hacia su estado fundamental?. Nosotros
vemos la radiación de 21 cm debido a la pequeñísima energía que se necesita para excitar H
hasta el nivel “paralelo”. La energía de excitación es comparable a la energía típica de un
átomo a 100 K, que es una temperatura típica del medio interestelar. En cualquier instante,
tendremos un alto porcentaje de H en el estado “paralelo”, y por consiguiente, siempre se
emitirá radiación de 21 cm. Un hecho de vital importancia es que l >> Rgrano-polvo, lo que
implica que esta radiación viaja hasta nosotros sin ser afectada por el polvo interestelar.
MOLECULAS
► En ciertas regiones de gas neutro frío (~ 20 K), las densidades pueden ser de ~ 106
partículas cm-3. Hasta finales de los años 70 (década 1970-1980) los astrónomos veian a estas
regiones como nubes “anormalmente” densas. Actualmente, se piensa que son objetos con un
nuevo tipo de materia interestelar. Las partículas gaseosas no son átomos, sino moléculas.
Dada la abundancia de moléculas en estas regiones interestelares densas, se las denomina
nubes moleculares. Cuando una molécula cambia desde una rotación rápida hacia una
rotación más lenta, se emite un fotón que puede detectarse mediante un radio telescopio. Las
moléculas también pueden vibrar, y emitir radiación asociada con transiciones vibratorias.
¿Por qué las moléculas se encuentran solo en las nubes mas densas y polvorientas?.
Probablemente el polvo actua como catalizador para formar moléculas, y por otro lado, es
capaz de protegerlas de la radiación de alta frecuencia que pudiera destruirlas.
► Para hacer mapas de nubes moleculares, se encuentra un problema. El principal
constituyente es H2, pero curiosamente, esta molécula no emite en radiofrecuencias. Solo
emite radiación UV, que no puede ser usada como trazador de la estructura de nubes
moleculares. Así, los astrónomos tienen que recurrir a otras moléculas escasas para estudiar
los interiores oscuros de estas regiones polvorientas. Actualmente se sabe que existen más de
100 clases de moléculas en el espacio interestelar. Moléculas tales como CO, CHN, NH3
(amoniaco), H2O, CH3OH, H2CO. La presencia de H2CO a abierto el debate sobre el orígen
de la vida: ¿en la Tierra?, ¿en el medio interestelar?. La discusión alcanzó su nivel más alto (a
favor de la teoria “extraterrestre”) a mediados de la decada pasada, cuando un grupo de
radioastrónomos encontraron evidencias de la presencia de NH2CH2COOH (uno de los
principales aminoácidos) en el espacio interestelar.
Las moléculas diferentes a H2 se encuentran en cantidades muy
pequeñas (106 o 109 veces menos abundantes que H2). Sin embargo, son
decisivas como moléculas trazadoras de la estructura y propiedades
físicas de una nube molecular. En la figura de la izquierda (panel
superior), vemos un mapa de H2CO (en absorción) cerca de la nebulosa
de emisión M20. Más abajo (panel inferior) podemos apreciar un mapa
de contornos trazando la distribución de H2CO en la vecindad de M20.
Los contornos se obtuvieron mediante la observación de radiolíneas de
absorción en varias localizaciones, tras lo cual se dibujaron contornos
conectando las regiones con similar abundancia de H2CO. Es claro que
la zona con mayor cantidad de H2CO (y probablemente también de
hidrógeno) se situa en el límite inferior derecho de la nebulosa visible.
Radio mapas del gas interestelar y mapas infrarrojos del polvo
interestelar revelan que las nubes moleculares no existen como objetos
separados y distintos en el espacio. Realmente forman complejos de
nubes moleculares, con un tamaño típico de 50 pc y conteniendo
suficiente gas como para formar 106 estrellas como el Sol. En la Vía
Láctea se conoce la existencia de 1000 complejos gigantes.
En la figura inferior aparece un radiomapa cubriendo una vasta región del cielo. Se han usado
ciertas líneas de emisión del monóxido de carbono (CO), y se aprecian complejos de nubes
moleculares a lo largo de todo el campo de visión. Las regiones brillantes son los
complejos, es decir, regiones densas del
espacio. interestelar, donde abundan las
moléculas y se forman las estrellas.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astronomy Today’]
AMBIENTE ESTELAR: NUBES DE MATERIA Y EXOPLANETAS (Sesión 34)
En la figura adjunta se aprecia la formación del
sistema solar, a partir de un disco rotando y una
condensación central que conducirá a una estrella
en la SP (el Sol). Pequeñas condensaciones en las
regiones más externas pueden generar los planetas
jovianos (p.e., Júpiter) (a). Los granos de polvo
actuan como núcleos de condensación, formando
acumulaciones de materia que colisionan, se agregan
y crecen hacia objetos de tamaño lunar. La
composición de los granos depende de la
localización en el disco (b). Fuertes vientos desde el
Sol en formación, expulsan el gas de la nebulosa
primitiva. Algunos objetos externos han comenzado
la acrección de gas nebular (c). Los objetos en órbita
continuan chocando y creciendo. Los planetas
gigantes gaseosos ya se han formado (d). Durante
unos 108 años, las estructuras menores son acretadas
o expulsadas de su órbita, para llegar a una situación
en la cual unos pocos planetas viajan en órbitas
cuasi-circulares en torno al Sol (e).
DISCOS DE POLVO Y EXOPLANETAS
JUPITER
NUEVO
PLANETA EN
ORBITA CASI
CIRCULAR A
2,3 UA DE UNA
ESTRELLA
MARTE
TIERRA
UA = UNIDAD ASTRONOMICA =
DISTANCIA SOL-TIERRA
DESCUBRIENDO EXOPLANETAS
La detección de planetas orbitando otras estrellas ha sido un objetivo de los astrónomos
durante siglos. Sin embargo, hasta hace aproximadamente 10 años, no existía ninguna
detección firme de este tipo de objetos en ambientes estelares. En realidad la detección de
exoplanetas no es por una vía directa, es decir, resolviendo su posición y estructura en el
cielo, junto a las estrellas asociadas. Se encuentran planetas mediante métodos indirectos,
basados en el análisis de la luz de la estrellas asociadas, no en el estudio de los planetas en si
mismos. Por ejemplo, cuando un planeta orbita a su estrella “madre”, debido al campo
gravitatorio planetario, se produce un pequeño “baile” estelar. El efecto es más importante
para planetas masivos o para estrellas de poca masa, y puede medirse a través del
desplazamiento Doppler.
También podemos intentar detectar líneas de absorción en
el espectro estelar, causadas por el gas en la atmósfera
planetaria.
Técnica Doppler: velocidad radial estelar, masa del planeta …
Medidas de la estrella de tipo solar “51 Pegasi” con la técnica
Doppler [ver panel (a)], conducen a una velocidad radial
claramente periódica, sugiriendo la presencia de un planeta de
masa al menos la mitad de masa de Júpiter: M  0,5 MJ
(degeneración!), en una órbita circular con un periodo de 4,2
dias. Los datos de velocidad radial para “Upsilon
Andromedae” (tipo solar) son mucho más complejos, pero
pueden ser explicados [línea contínua en el panel (b)]
mediante un sistema de tres planetas orbitando la estrella. Las
órbitas de los tres planetas están dibujadas en el panel (c),
junto a las órbitas de los planetas solares (para comparar). En
este sistema complejo (el más complejo fuera del sistema
solar), las masas mínimas son todas del orden de MJ. Usando
esta técnica se han detectado del orden de 100 planetas
extrasolares. Para órbitas de cara, en principio, se puede tratar
de medir el desplazamiento estelar transversal.
HD 209458: Vel.radial +
ocultaciones  P = 3,5 dias, M
= 0,6 MJ, r = 0,2 gr cm-3 
planeta gigante, gaseoso y
caliente, muy próximo a la
estrella compañera
PROPIEDADES DE LOS EXOPLANETAS
En la figura adjunta se muestran las órbitas de todos los
planetas extrasolares con distancias a la estrella
compañera mayores que 0,15 UA. La masa típica de los
exoplanetas es comparable a MJ = 318 MT, de modo que
no se parecen mucho a la Tierra. Aunque son objetos muy
masivos, sus órbitas son generalmente mucho menores
que la de Júpiter y Saturno, y están caracterizadas por una
importante excentricidad. Algunos gigantes gaseosos
pasan muy cerca de la estrella “madre”, a distancias
mucho menores que 1 UA.
Por otro lado, aunque se han encontrado algunos sistemas con dos planetas, e incluso con
tres, la mayoria tiene un planeta masivo solitario. El hecho de no observar planetas de masa
baja no es sorprendente. En realidad está totalmente ligado al método de detección usado. Es
un efecto de selección, ya que los planetas poco masivos no producirán velocidades radiales
detectables. Sin embargo, las órbitas excentricas y el carácter solitario de los objetos
detectados, indica que los sistemas realmente difieren del sistema solar. Las órbitas y masas
de los planetas encontrados hacen inviable la presencia de planetas de tipo Tierra o
protoplanetas de masa lunar en torno a sus estrellas “madre”. En presencia de un planeta tipo
Júpiter, acercándose repetidamente a las regiones internas del sistema, cualquier objeto de
tipo Tierra o miniplaneta seria muy probablemente expulsado del sistema.
¿VIVIMOS EN UN SITIO RARO?
► Hoy sabemos que las estrellas suelen estar acompañadas por planetas, pero los sistemas
que forman parecen ser diferentes a nuestro sistema solar. Así, debemos preguntarnos si el
sistema solar es algo inusual, y si las observaciones extrasolares invalidan la teoría actual
sobre la formación de nuestro entorno.
► La teoría actual proporciona muchos caminos que conducen a planetas masivos en órbitas
excentricas y con periodos pequeños. Realmente, muchos astrónomos se han preguntado
acerca de cómo Júpiter logró permanecer en una órbita estable, tras su formación en el disco
protosolar. Es razonable pensar que planetas de tipo Júpiter hayan alcanzado órbitas
excéntricas mediante interacciones con otros planetas similares o mediante los efectos de
arrastre de estrellas próximas. También, si se han formado mediante inestabilidad
gravitatoria, pueden tener órbitas excéntricas desde el momento de su formación.
Finalmente, interacciones gravitatorias entre un planeta masivo y el disco de gas en el
que se mueve, conducen a un movimiento espiral hacia el interior, y pueden situar al
planeta en una órbita muy próxima a la estrella compañera. Parece que la presencia de
Saturno ayudó a estabilizar la órbita de Júpiter y evitar este último efecto. Según la teoría,
“Jupiters” solitarios en órbitas excéntricas no presentan ningún problema. Al contrario,
parece una situación bastante natural.
► ¿Somos raros?. Probablemente no. El método de detección empleado conduce a
resultados fuertemente sesgados hacia planetas masivos en órbitas próximas (máximo
efecto gravitatorio sobre la estrella!).
Casi todos los sistemas encontrados tienen velocidades radiales claramente mayores que los
12 m s-1 que Júpiter genera en la posición del Sol. Además, aunque un “baile” como el del Sol
pudiera ser detectado con la tecnologia moderna, el movimiento está próximo a los límites
observacionales, y serian necesarias varias órbitas para confirmarlo (decenas de años!). No
somos raros, sino dificilmente detectables mediante la técnica Doppler.
► ¿Cómo encontrar un planeta como la Tierra?. El método más prometedor es el del tránsito
delante de la estrella “madre”. El efecto del tránsito sobre el brillo de una estrella es débil
(menor que un factor 10-4 para el tránsito de un planeta de tipo Tierra cruzando la cara del
Sol) y solamente se manifiesta en sistemas orientados de canto. Sin embargo, es un efecto
medible con la tecnologia actual. NASA ha propuesto una misión para monitorizar las
fluctuaciones de brillo en 100.000 estrellas de tipo solar, durante un periodo de 4 años. Con
hipótesis optimistas, se espera la detección de 100 transitos de planetas de tipo terrestre. Si
fuesen detectados, implicaria que los planetas similares al nuestro son comunes en la Galaxia.
► En realidad se han encontrado planetas como la Tierra, pero “en lugares donde no debieran
estar”. En torno al pulsar PSR 1257+12 (estrella compacta) se detectaron dos planetas de masa
similar a la de la Tierra y un planeta con masa similar a la de la Luna. Las órbitas son casi
circulares, con radios de 0,2-0,5 UA y periodos variando entre 25 y 100 dias. Sin embargo, la
formación de estos planetas fue el resultado de sucesos muy diferentes a los que dieron lugar a la
formación de la Tierra y del sistema solar. Es dificil imaginar como planetas como la Tierra,
formados tras la evolución de una nube protoestelar y a una distancia < 1 UA, han podido
sobrevivir a los episodios violentos en la vida de la estrella tras el abandono de la SP.
TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astronomy Today’]