Download Posgrado en Astrofísica: Examen Temático de Astrofísica Estelar

Posgrado en Astrofísica:
Examen Temático de Astrofísica Estelar
martes 12 de enero de 2016
11:00 a 13:00 hora central
Instrucciones:
• El examen consta de 5 problemas
• Se considerarán sus mejores 4 respuestas para la calificación
• Tiempo permitido: 2 horas
• Conteste cada problema en una hoja nueva
• Escriba su nombre completo y el número del problema en cada hoja
• Use sólo una cara en cada hoja
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• Sí se permite el uso de una calculadora
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1. (a) Definir el concepto de distribución de Maxwell-Boltzmann (no se requiere la ecuación
matemática)
(b) Basándose en la ecuación de la distribución de Maxwell-Boltzmann en función de la
velocidad:
³ m ´3
2
mv
2
v 2 e − 2kT d v
2πkT
Mostrar que en términos de energía E tenemos:
n(v) d (v) = 4πn
n(E ) d (E ) =
2πn
(πkT )
E
3
2
E 1/2 e − kT d E
y explicar los términos n(v),n(E ) y n.
(c) Mostrar que la velocidad más probable para una partícula en una distribución de MaxwellBoltzmann es:
s
v=
2kT
m
(d) De manera similar al inciso (1a) definir el concepto de distribución de Boltzmann, esta
vez explicando los diferentes parámetros de la ecuación que la representa.
(e) En el caso de los niveles ligados de hidrógeno, determinar a qué temperatura tendremos
el mismo número de átomos en el estado base (n = 1) y en el segundo estado excitado.
Ayuda: k = 8.617 × 10−5 eV/K; 1 Rydberg = 13.6 eV; g n = 2n 2 .
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2. Consideremos las capas externas de una estrella, su envolvente, suponiendo que estén en
equilibrio radiativo, es decir que no hay convección. Supondremos que la masa, m(r ), y la
luminosidad, l (r ), en esta envolvente son constantes, es decir l (r ) = L, la luminosidad total de
la estrella, y m(r ) = M , la masa total de la estrella. (La envolvente puede ser bastante gruesa,
así que no supondremos que r = R.) También supondremos que la ecuación de estado es la
de un gas ideal, P = (R/µ)ρT (donde R es la constante de los gases y µ el “peso molecular
promedio” del gas), y la opacidad es de tipo Kramer, κ ≃ kρT −3.5 , (donde k es una constante).
(a) ¿Qué tipo de procesos resultan en una opacidad de tipo Kramer?
(b) ¿Para qué rango de masa en la secuencia principal este tipo de modelo de envolvente
puede ser relevante?
(c) De las ecuaciones de estructura (listadas abajo) deducir una ecuación para
dT
d P . Mostrar
que la solución a esta ecuación, bajo las hipótesis de gas ideal y opacidad tipo Kramer,
es de la forma T n = B (P 2 + C ) donde C es una constante de integración, y encontrar los
valores de n y B .
(d) La suposición de ausencia de convección significa que d log T /d log P < ∇ad = 0.4: ¿bajo qué condiciones la solución del inciso anterior satisface esta condición de autoconsistencia del modelo?
Ayuda: las ecuaciones de masa, equilibrio hidrostático y transporte de calor son:
dm
= 4πr 2 ρ
dr
dP
Gmρ
=− 2
dr
r
3κρ l
dT
=−
dr
16πac r 2 T 3
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3. Considere una estrella cuyo gradiente de temperatura no es igual a (d T /d r )ad . Empezemos
Burbuja
con una burbuja de gas adiabática, que tiene
Pf
b
b
Tf
b
ρf
igual presión, densidad y temperatura que sus
alrededores. Suponga que se perturba a la burAlrededores
buja haciéndola subir una distancia d r , tal
P
s
s
s
T ρ
como se muestra en la figura. La burbuja continúa con la misma presión que sus nuevos
alrededores pero con diferente temperatura y
Pi
b
b
Ti
b
ρi
densidad. Si la burbuja inicialmente tenía una
densidad ρ bi , la densidad final es ρ bf donde,
ρ bf
= ρ bi +
d ρb
dr
dr
(a) Encuentre las densidades finales de la burbuja y del gas de los alrededores.
(b) Calcule la fuerza neta que siente la burbuja.
(c) Del inciso anterior escriba la ecuación de movimiento para la burbuja. Explique detalladamente el comportamiento de la solución a esta ecuación.
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4. La línea espectral Hα cuya longitud de onda en reposo es λ = 6562.8 Å (mostrada en la figura)
es un buen diagnóstico de temperatura para estrellas similares al Sol. La temperatura efectiva
se deriva al comparar un espectro observado con espectros teóricos basados en modelos ETL
(o LTE por sus siglas en inglés) de atmósferas estelares incluyendo líneas espectrales. En la
figura, la línea continua negra muestra el espectro observado de una estrella; la línea gris
continua muestra el mejor ajuste con un modelo con una temperatura efectiva de 6250 K, y
las líneas punteadas representan el error en la temperatura efectiva derivada de ±100 K.
(a) ¿Cómo se llama la serie del átomo de hidrógeno de la que es parte la transición responsable de la formacíon de la línea de Hα? ¿De qué nivel a qué nivel cuántico principal (n)
ocurre la transición que produce esta línea?
(b) Explica porqué las líneas espectrales de las estrellas están principalmente en absorpción.
(c) ¿Por qué el centro de la línea del espectro observado difiere significativamente de los
espectros teóricos?
(d) Si el ensanchamiento natural de la línea de Hα es varios órdenes de magnitud más
pequeño que el ensanchamiento térmico, y la gravedad superficial y el ensanchamiento
rotacional de los espectros teóricos permanece constante, ¿cuál es el espectro teórico en
la figura (línea punteada) que corresponde a la temperatura efectiva de 6350 K?
Adaptado de L. Fossati et al. 2010 ApJ 720 872
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5. Un sistema binario visual se encuentra a una distancia de 100 parsecs, y con coordenados galácticos (l , b) = (175◦ , +85◦ ). Las dos estrellas del sistema, I y II, tienen las siguientes
magnitudes aparentes en los filtros V y B :
Estrella I :
mV = 3.16;
m B = 4.61
Estrella II :
mV = 16.00;
m B = 15.75
(a) Encuentre el tipo espectral y temperatura efectiva de cada estrella. Use la interpolación
lineal en la tabla en caso necesario. Justifique porqué se puede despreciar en este caso el
enrojecimiento y extinción por polvo interestelar.
(b) Encuentre la magnitud bolométrica absoluta de cada estrella y su luminosidad en unidades de la luminosidad del sol.
(c) Encuentre el radio de cada estrella en unidades del radio del sol.
(d) Describa la etapa evolutiva de cada estrella.
(e) Suponga que las dos estrellas se formaron al mismo tiempo y que son de la Población I.
¿Cuál estrella es la más masiva actualmente? ¿Cuál estrella fue la más masiva inicialmente?
Justifique plenamente su respuesta.
TABLA DE DATOS SEGÚN EL TIPO ESPECTRAL =⇒
Tipo espectral
Tef , K
BC
B −V
O5
40000
−4.0
−0.35
B0
28000
−2.8
−0.31
• Corrección bolométrica, BC
B5
15500
−1.5
−0.16
• Índice de Color, B − V .
A0
9900
−0.4
0.00
A5
8500
−0.12
+0.13
F0
7400
−0.06
+0.27
F5
6600
0.00
+0.42
G0
6000
−0.03
+0.58
G5
5500
−0.07
+0.70
K0
4900
−0.2
+0.89
K5
4100
−0.6
+1.18
M0
3500
−1.2
+1.45
M5
2800
−2.3
+1.63
• Temperatura efectiva, Tef
DATOS SOLARES :
• Luminosidad: L ⊙ = 3.826 × 1033 erg s−1
• Magnitud absoluta: M bol,⊙ = 4.74
• Radio: R ⊙ = 6.96 × 1010 cm
• Temperatura efectiva: T⊙ = 5770 K