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Capítulo 6
Función de luminosidad estelar
El formalismo general de los recuentos estelares que vimos en la clase anterior nos llevo a definir la noción
de función de luminosidad estelar. Este concepto de función de luminosidad es central en muchos aspectos
de la astronomía. En esta clase veremos cómo la función de luminosidad estelar nos permite determinar
cuáles estrellas en la Vía Láctea son más abundantes, cuáles dominan la luz de La Galaxia y cuáles dominan
su masa. La conclusión básica a la que llegaremos es que las estrellas más abundantes en los discos galácticos
son débiles y de baja masa, mientras que las estrellas de alta masa dominan la luminosidad de La Galaxia.
Estos resultados, por extensión, nos hablan también sobre la población estelar de los discos galácticos
El concepto de función de luminosidad es muy
genérico en el sentido que se pueden construir
funciones de luminosidad de muchos tipos de objetos.
En estudios extragalácticos se considera, por ejemplo
la función de luminosidad de las galaxias elípticas, o de
las galaxias de un cúmulo dado, o de todas las galaxias
independientemente de su tipo de Hubble (función de
luminosidad de Schechter). De igual manera existen
varias funciones de luminosidad estelares. Aquí
consideremos primero la función de luminosidad
estelar general y posteriormente veremos casos más
específicos.
sufren la misma absorción. Sin embargo, estas
mediciones tenderán a estar limitadas a las estrellas
mas brillantes del cúmulo, ya que los cúmulos
globulares se encuentran en el halo Galáctico, a
distancias típicamente de varios kpc. Además, los
cúmulos globulares Galácticos solamente contienen
estrellas relativamente viejas, de manera que la función
de luminosidad que obtendremos estará sesgada hacia
las estrellas de baja masa fuera de la secuencia
principal.
1. Función de luminosidad estelar general
Si uno quiere investigar la función de luminosidad
incluyendo todas las estrellas, uno tendrá que hacerlo
en la vecindad Solar. La vecindad Solar es una región
alrededor del Sol que puede variar, dependiendo de los
estudios que se hagan. Los estudios de mediados de
siglo pasado se referían a los 10 parsecs más cercanos
al Sol. Hoy día, gracias a los detectores modernos,
cuando estudiamos estrellas de muy baja masa, la
vecindad Solar se restringe a los 50 pc más cercanos,
mientras que cuando hablamos de estrellas de masa
como el Sol podemos estar hablando de hasta 1 kpc.
Para quienes hacen formación estelar, por ejemplo, la
vecindad Solar no puede ser menor a 120 pc, pues las
regiones más cercanas se encuentran a esta distancia
del Sol. Así pues, la vecindad Solar no es una región de
radio bien definido, y dependerá el contexto en el que
se esté hablando, el tamaño de dicha región. Esto se
verá reflejado en el caso de la presente sección, donde
queremos estudiar la función de luminosidad para la
Vecindad Solar, y donde claramente los volúmenes
donde se estudian los diferentes tipos espectrales de
estrellas son muy diferentes: las estrellas masivas se
observan a distancias muy grandes, mientras que las
estrellas de baja masa se estudian en regiones muy
cercanas al Sol.
Recapitulando lo visto la lección anterior, podemos
definir la función de luminosidad estelar como una
función de distribución que nos da la fracción de
estrellas (o de algún otro tipo de objeto) con magnitud
absoluta entre M y M+dM. En el caso de las estrellas,
se pueden considerar tanto la función de luminosidad
general  donde están incluidas todas las estrellas
independientemente de su tipo MK, como la función de
luminosidad de un tipo espectral específico, S. Como
vimos la clase pasada, la función de luminosidad está
relacionada con a función diferencial de recuentos
estelares A mediante la ecuación
A
dN
  S [ M ]ndV
dM V
donde n es la densidad numérica de estrellas de tipo
espectral S –y por ende, de magnitud absoluta M- que
se encuentran en un volumen V de La Galaxia.
1.1. Función de luminosidad en un cúmulo
Como vimos la clase pasada, una determinación
precisa de la función de luminosidad estelar a partir de
la función de recuentos estelares diferenciales A(M)
será posible solamente si el efecto del polvo y de la
distancia se pueden calibrar adecuadamente. Una
manera de minimizar los errores inducidos por estos
problemas sería considerar un cúmulo globular, donde
todas las estrellas se encuentran a la misma distancia, y
2.1. Función de luminosidad en la vecindad Solar
Una dificultad para estudiar la función de luminosidad
en la Vecindad Solar el poder distinguir entre estrellas
intrínsecamente brillantes, pero distantes, y estrellas
débiles, pero cercanas. La mejor solución sería tener
una buena idea de la distancia a todas las estrellas de
nuestra muestra, lo cual es muy difícil desde el punto
de vista observacional. Afortunadamente, en marzo de
2013 será lanzado el satélite astrométrico Gaia, y se
espera que adquiera imágenes de 109 estrellas en la
Vecindad Solar, y que sus observaciones sean
completas hasta magnitud 20. La otra posibilidad es
determinar el tipo espectral MK detallado de cada
estrella en la muestra, y así poder usar estimar la
distancia a cada objeto. Esto permitiría distinguir entre
las estrellas más cercanas y menos luminosas y las
lejanas y brillantes.
de luz y masa que proviene de cada tipo de estrellas
(columnas 3 y 4).
En esta tabla se reportan la magnitud absoluta en el
visual, MV (primera columna), la función de
luminosidad  S (segunda columna), la contribución de
este tipo de estrellas a la luminosidad, y la contribución
a la masa, para la vecindad Solar. La función de
luminosidad correspondiente obtenida por dos grupos
diferentes, se presenta en la Fig. 1.
Usando este tipo de criterios se ha logrado estimar, con
buena precisión, la función de luminosidad general en
la vecindad Solar. Cabe señalar, sin embargo que la
parte mejor determinada de la función de luminosidad
estelar general es su parte central. La parte
correspondiente a estrellas muy brillantes está
escasamente poblada, pues hay pocas estrellas de alta
masa en la Vecindad Solar, de manera que sufre de
problemas de muestreo. La parte de baja masa, por otro
lado, es difícil de estudiar por el propio hecho de que
las estrellas que contiene son muy débiles, y por tanto
son difíciles de detectar a grandes distancias.
Fig. 1: Función de luminosidad de las estrellas en la
vecindad Solar [# estrellas/pc3] vs MV.
En la Tabla 1 tenemos los valores de la función de
luminosidad estelar general en la vecindad Solar,
reconstruida por Binney & Merrifield a partir de varios
trabajos originales. Lo primero que podemos notar
aquí es que las estrellas más abundantes de la vecindad
Solar son estrellas débiles, las cuales tienen magnitudes
visuales absolutas entre 12 y 16 y son, en su mayoría,
enanas K y M –estrellas menos masivas que el Sol.
En de la tercera columna de la Tabla 1 podemos ver la
luz integrada que generan en su conjunto las estrellas
de cada luminosidad. Es interesante notar que la mayor
cantidad de luz que recibimos proviene de estrellas
intrínsecamente brillantes. Las estrellas que más
contribuyen a la luz total tienen en promedio MV = 0, y
son principalmente estrellas B de secuencia principal, y
gigantes M y K. Por otro lado, la masa estelar en la
vecindad Solar (cuarta columna) está dominada por
estrellas relativamente débiles, con MV entre 3 y 15.
Estas estrellas son principalmente estrellas G, K y M,
de secuencia principal, con masas similares o menores
que la del Sol.
Una manera visual de mostrar estos resultados es
graficando el comportamiento acumulativo de la luz y
de la masa, como función de MV. En este diagrama, el
valor que se la da a una función a una MV dada es la
suma de todos los valores de esta función hasta dicha
MV. De esta manera, cuando la gráfica se satura, nos
muestra directamente el valor de MV a partir del cual
las contribuciones se vuelven despreciables. Esta
representación se muestra en la Fig. 2. Aquí se nota
que la luz acumulada deja de aumentar alrededor de
MV=5, mientras que la masa deja de aumentar a
alrededor de MV = 15. Eso confirma que las estrellas
que dominan la luz son las estrellas intrínsicamente
brillantes, mientras que son estrellas de luminosidad
modesta las que contribuyen mayormente a la masa
total.
Aunque
esta
conclusión se
obtiene
específicamente para la vecindad Solar, es muy
probable que se aplique en la totalidad del disco
Galáctico, y en los discos de galaxias externas. Para los
estudios extragalácticos, es, de hecho, algo preocupante
Tabla 1: Magnitud visual MV (columna 1), función
de luminosidad estelar general [# de estrellas/104
pc3] en la vecindad Solar (columna 2), y proporción
2
que la gran mayoría de la masa estelar se encuentre en
objetos muy débiles, mientras que la gran mayoría de
la luz que observemos provenga de estrellas que
contribuyen de manera despreciable a la masa. En
principio, uno no se puede basar en el brillo superficial
en la banda V para inferir la distribución de masa.
luminosidad de 1 L. Si este valor es más o menos
representativo, entonces se podría usar para estimar la
distribución de masa en discos galácticos a partir de
imágenes tomadas en la banda V, a pesar de que, como
hemos mencionado anteriormente, las estrellas que
contribuyen mayormente a la masa no son las que
generan la mayor cantidad de luz.
En este punto es conveniente hacer dos comentarios.
Primero, que como las estrellas brillantes se alcanzan a
ver más lejos que las estrellas débiles (un efecto
conocido como el sesgo de Malmquist), el valor de
0.67 es seguramente un límite inferior al valor real. Eso
se debe a que las estrellas más débiles tienden a tener
un cociente de masa-a-luz mayor (recuerda que la
luminosidad de una estrellas de secuencia principal va
aproximadamente como su masa elevada a la cuarta
potencia). Como veremos posteriormente, el valor real
es más parecido a 3 para el disco Galáctico en la
vecindad Solar.
Segundo, un valor del orden de 1 (que sería el valor
para el propio Sol), nos confirma una vez más que las
estrellas dominantes en la vecindad Solar son de
relativamente baja masa y luminosidad. El valor de
0.67 sugeriría que las estrellas dominantes fueran un
poco más masivas que el Sol, pero al tomar en cuenta
el sesgo de Malmquist, vemos que en realidad son
estrellas menos masivas que el Sol las que dominan.
Fig. 2: Variación de la cantidad de luz y de la masa
integradas como función de la magnitud absoluta.
Para enfatizar aún más la diferencia de origen de la
masa y la luz, es interesante notar que las estrellas de
magnitud visual absoluta 4 (que son principalmente
enanas B) emiten la misma cantidad de luz que las
estrellas con MV = 6 (típicamente enanas G y K), a
pesar de que estas últimas son 10,000 veces más
abundantes y contribuyen 400 veces más masa.
2. Función de luminosidad por tipo
espectral MK
Además de la función de luminosidad general, es
interesante considerar la función de luminosidad de
cada tipo específico de estrellas. Debido a que al
separar las estrellas en sus tipos espectrales MK
tendremos un número mucho más reducido de estrellas,
las funciones de luminosidad por tipo estelar tienen
mayor incertidumbre que la función de luminosidad
general.
El comportamiento de la función de luminosidad a
magnitudes muy débiles (MV mayor a 20) es un campo
de investigación muy activo, ya que los objetos que se
encuentran en esta parte son enanas cafés –unos objetos
muy de moda recientemente. Desde el punto de vista
de la dinámica Galáctica, estos objetos podrían jugar
un papel importante si fueran muy abundantes. Hemos
mencionado en una de las primeras clases que existía
en la Vía Láctea un tipo de materia, llamada materia
oscura, que genera gravedad, pero no brilla. Las enanas
cafés serían buenas candidatas, ya que efectivamente
son extremadamente débiles. La pregunta es si son
suficientemente abundantes para contribuir de manera
significativa a la masa de la Galaxia. La respuesta a
esta pregunta se encuentra precisamente en el
comportamiento de la función de luminosidad a bajas
luminosidades. Las últimas observaciones (Fig. 1)
sugieren que la función de luminosidad decrece a
magnitudes visuales MV mayores que 15, de modo
que las enanas cafés no parecen ser suficientemente
abundantes para jugar un papel determinante en la
dinámica Galáctica.
Típicamente, la forma de la función de luminosidad si
uno se restringe a un tipo MK específico es una
distribución con forma gaussiana (Fig. 3), centrada en
una magnitud M0 característica de la clase considerada.
La dispersión de esas distribuciones alrededor del valor
central es típicamente 0.4 magnitudes, y resulta
principalmente del hecho que las estrellas de un tipo
dado abarcan un cierto intervalo de masas, y entonces
de magnitudes.
Una característica que se observa de la Fig. 3 es que
estas distribuciones se encuentran sistemáticamente
sesgadas (skewed, en inglés) hacia magnitudes grandes,
es decir, las distribuciones no son simétricas respecto al
valor donde se encuentra el máximo, sino que existe un
exceso sistemático de estrellas débiles respecto a las
estrellas brillantes. En parte, este efecto se debe a que,
Para terminar esta sección es interesante mencionar un
parámetro importante: el cociente de masa a luz. De la
Tabla 1 se puede ver que en promedio, en la vecindad
Solar, se necesitan 0.67 M para generar una
3
aún para un solo tipo espectral, hay siempre más
estrellas débiles que brillantes.
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6.
7.
Otros efectos que juegan un papel en la existencia de
esta dispersión son el hecho de que la estrellas de
secuencia principal cambian un poco su magnitud al
hacerse más viejas, y errores en las mediciones que
resultan de las observaciones.
Tenemos un modelo de cielo que consiste en
estrellas de tipo G2V (como el Sol)
distribuidas en 3 regiones: A (de 85 pc a 95
pc), B (de 95 pc a 105 pc), y C (de 105 pc a
115 pc). Si la densidad de estrellas es
constante y la región B tiene 10 estrellas,
¿cuántas estrellas hay en la región A y C?
(redondea al entero más cercano).
Las estrellas G no tienen todas exactamente la
misma luminosidad. Si el intervalo de
variación es de 0.2 mag, ¿a qué cambio
fraccional en luminosidad corresponde esto?
Para cada una de las estrellas en las regiones
A, B y C tira un dado, anota el número N que
haya salido, y asigna a la estrella una
magnitud absoluta dada por la ecuación
M  M ,  0.2( N  3.5)
(Recuerda que la magnitud absoluta del Sol es
Mv,o=4.83). Reporta tus resultados en una
tabla. (NOTA: si prefieres, puedes escribir un
programa que asigne magnitudes de manera
aleatoria usando una distribución gaussiana
centrada en Mvo y con  = 0.1 mag.)
8. A continuación, observa tu muestra con un
telescopio que sólo puede detectar estrellas con una
magnitud aparente menor a 9.8. Por simplicidad,
supón que todas las estrellas de las regiones A, B y
C están a d=90, 100 y 110 pc, respectivamente
(NOTA: si escribiste programa, no hace falta que
supongas esto, es más fácil usar las distancias
reales. ¿cuál es la diferencia entre la magnitud
promedio de la muestra, y la detectada por el
telescopio?
9. Imagina que supones que todas las estrellas tienen
una magnitud absoluta exactamente igual a la
magnitud absoluta media real, y que has calculado
la distancia a cada estrella a partir de su magnitud
aparente. ¿Cuál creerías que es la distancia
promedio de la muestra?
10. ¿Cómo se compara con la distancia promedio real
de la muestra?
2. Conclusiones
La conclusión principal de este capítulo es que las
estrellas más abundantes en la vecindad Solar, y –por
generalización – en los discos Galácticos, son débiles.
En la próxima clase discutiremos las implicaciones que
tiene este resultado sobre la manera en que se forman
las estrellas.
programa
Tarea 7, para entregar la próxima clase.
1.
Si la función de luminosidad mostrada en el
presente capítulo se basa en observaciones
completas en un volumen de 30pc, ¿crees que
Gaia podría mejorar las determinaciones de la
función de luminosidad?
Explora el sesgo de Malmquist mediante una
simulación de Monte Carlo:
Fig. 3: Funciones de luminosidad para varios tipos
MK de estrellas de secuencia principal dentro de un
volumen definido en la Vecindad Solar. Nótese que
el eje x corre al revés, de manera que las estrellas
brillantes de un cierto tipo espectral están
contabilizadas del lado derecho de la gráfica, y que
este eje está centrado en la magnitud absoluta
mediana de cada muestra. Los histogramas
punteados muestran los conteos reales, mientras
que los histogramas continuos muestran los datos
después de corregir por el sesgo de Malmquist. La
línea punteada vertical muestra la magnitud por
arriba de la cual la muestra es completa en el
volumen considerado. Las curvas son ajustes
gaussianos a los histogramas corregidos. La
ordenada
Actividad en clase: analizar el
malmquist.pro, escrito en lenguaje IDL.
Calcula la distancia a la cual podemos
observar estrellas de magnitud 20 suponiendo
que no hay extinción.
El satélite astrométrico Gaia será lanzado en
marzo de 2013. Se espera que determine
distancias de unas 109 estrellas, y que sea
completo hasta magnitud aparente 20.
Suponiendo que no hay extinción, ¿hasta qué
distancia de La Galaxia esperas que la muestra
esté completa para estrellas de tipo O, B, A, F,
G, K, M de secuencia principal?
Calcula la distancia a la cual podemos
observar estrellas de magnitud 15, suponiendo
que no hay extinción.
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