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CENTRO DE MASA
El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico
que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante
de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el
sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un
sistema equivalente al original.
En la Física, el centro geométrico, el centro de gravedad y el centro de masas
pueden, bajo ciertas circunstancias, o coincidir entre sí. En estos casos se
suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan
conceptos diferentes. El centro geométrico un concepto puramente geométrico
que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la
distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también
del campo gravitatorio.
El centro de masas coincide con el centro geométrico cuando la densidad es
uniforme o cuando la distribución de materia en el sistema de tiene ciertas
propiedades, tales como simetría.
El centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se
encuentra en un campo gravitatorio uniforme (el módulo y la dirección de la
fuerza de gravedad son constantes).
Cuando se estudio en cinemática el movimiento bidimensional se vio que todo
cuerpo lanzado al aire, bajo la influencia de la gravedad, describiría una
trayectoria parabólica y tomamos como ejemplo un proyectil, una pelota, etc.
Pero todos ellos fueron tratados como partículas puntuales sin dimensiones,
pero la realidad es que todos estos cuerpos están conformados por muchas
partículas. Por ejemplo si lanzamos una mancuerna al aire.
El centro de masa de la mancuerna lanzada al aire describe una trayectoria
parabólica
Un observador que se encuentra lejos verá que ésta efectivamente describe
una trayectoria parabólica, pero qué verá el observador si se acerca más y ve
detalladamente lo que sucede
El observador dirá que cada masa en forma individual no describe una
trayectoria parabólica, sino que están girando y moviéndose caprichosamente,
pero sin embargo el punto marcado en la mancuerna si describe una parábola,
este punto particular del sistema recibe el nombre de Centro de masa (CM) y
se comporta como una partícula puntual de masa M + m.
El centro de masa de la mancuerna se comporta como una
partícula puntual de masa M+m
POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA
Si se tiene un sistema de partículas la ubicación de su centro de masa esta
dado por:
C
M
Sistema de varias partículas, su centro de masa se denota por RCM
R CM
n
∑ mr
m r + m r + ...... + m r
ii
1
1
2
2
n
n
i
=
1
=
=
n
m + m + ........ + m
1
2
n
∑ m
i
i =1
n
como ∑ mi es la masa total M del sistema esta ecuación se convierte:
i =1
n
∑ mr
ii
R
= i =1
CM
M
donde r es el vector posición de la masa
mi
La cantidad de movimiento del sistema de partículas es la misma de la cantidad
de movimiento de su centro de masa
VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA
El movimiento de cada una de las partículas del sistema nos advierte que el
centro de masa de la misma deberá estar moviéndose también, si analizamos
una de ellas, digamos la j-esima partícula, en un tiempo ∆t ésta deberá
haberse desplazado ∆rj, entonces el desplazamiento del CM en ese mismo
intervalo de tiempo será:
n
∑ mi ∆ri
∆R CM = i = 1
M
si dividimos esta expresión por ∆t y hacemos que este intervalo de tiempo sea
lo mas pequeño posible ( ∆t → 0 ) obtendremos:
∆R CM
∆t →0
∆t
lim
n
∆ri
∑ mi lim
∆ t →0 ∆ t
= i =1
M
esta es justamente la velocidad instantánea, entonces la velocidad del centro
de masa vCM queda determinada por:
v CM
n
∑ m v
i i
= i =1
M
vi es la velocidad instantánea de la i-esima partícula.
La sumatoria que aparece en esta ultima expresión, es la cantidad de
movimiento p del sistema de partículas
n
n
p = ∑ mi v i = ∑ p i
i =1
i =1
por lo tanto
.
vCM
=
p
M
Es decir, la velocidad del centro de masa, es igual a la cantidad de movimiento
del sistema de partículas entre la masa total del sistema
Esto nos permite expresar la cantidad de movimiento del sistema de partículas
como:
p = MvCM
El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una
partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la fuerza
externa aplicada al sistema.
Por el principio de conservación de la cantidad de movimiento, si la fuerza
resultante externa es cero entonces la cantidad de movimiento de sistema se
mantiene constante por lo tanto vCM deberá también permanecer constante,
como si se tratase de una partícula de masa M, esto confirma una vez mas que
el centro de masa se comporta como una partícula puntual de masa M y
velocidad vCM .
Si en un sistema aislado de partículas no actúan fuerzas externas la velocidad
del centro de masa es constante
Si la velocidad del centro de masa es cero la posición del centro de masa es
constante
ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA
Si sobre el sistema de partículas actúan varias fuerzas externas, hemos
demostrado antes que:
∆p
F
=
Ext ∆t
donde
FExt = ∑ F j
j
es la suma de
n
todas las fuerzas externas al sistema y p =
∑ pi = MvCM
i=1
Combinando estas ecuaciones
∆v CM
∆p ∆( M v CM )
F
=
=
=M
Ext ∆ t
∆t
∆t
finalmente obtenemos:
FExt. = M aCM
.
es decir la aceleración del centro de masa es igual a la fuerza resultante
externa que actúa sobre el sistema entre la masa M del sistema de partículas
a CM
F
= Ext
M
o equivalentemente:
a CM =
∑m a
i i
M