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TEORÍA DE MECANISMOS
PRÁCTICA 8
Departamento de Ingeniería Mecánica
Universidad Carlos III de Madrid
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PRÁCTICA 8
ANÁLISIS DE LEVAS POR ORDENADOR
1. Objetivo de la práctica
En esta práctica se pretende que el alumno se familiarice con los perfiles más
comúnmente empleados para las levas planas de rotación con seguidor de
rodillo de traslación, para lo cual se empleará el software SCLevas,
desarrollado en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad
Carlos III de Madrid.
2. Definición de leva
Una leva es un elemento mecánico que sirve para impulsar por contacto
directo a otro elemento, llamado seguidor, para que desarrolle un movimiento
especificado.
3. Tipos de levas
Las levas pueden clasificarse atendiendo a muchos y diferentes criterios. A
continuación se exponen los más comunes:
•
Según la forma del seguidor. Éste puede ser de rodillo (disco o circular),
de hongo (o cara esférica), de cara plana y de punta de cuchillo (o de
cuña).
•
Según el tipo de cierre. Para mantener unidos dos elementos que se
encuentran en movimiento es necesario asegurar en todo momento el
contacto entre ambos. De lo contrario, podría ocurrir que se perdiese el
control sobre el seguidor, con lo cual éste ya no realizaría el movimiento
pretendido. Tal situación puede evitarse de dos formas:
-
Cierre de fuerza: se emplea un resorte que asegura el contacto del
seguidor con la leva.
-
Cierre de forma: en este caso el seguidor está en contacto con
más de una superficie a la vez, es decir, se encuentra inmerso
dentro de la propia leva en una ranura o canal por donde se
mueve. El contacto está asegurado porque se dispone de una
doble superficie de leva y el seguidor se encuentra aprisionado
entre ambas.
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Figura 1. Diversos tipos de levas planas de rotación caracterizadas por
la forma del seguidor y su movimiento (I).
Figura 2. Diversos tipos de levas planas de rotación caracterizadas por
la forma del seguidor y su movimiento (II).
•
Según el movimiento propio del seguidor. En este caso, puede hablarse
de seguidor traslacional (también denominado traslatorio, reciprocante,
alternativo o lineal) si éste describe una trayectoria recta, u oscilatorio si
lo que hace es oscilar alrededor de un pivote o centro de giro,
describiendo por tanto, un arco de circunferencia.
•
Según el movimiento del seguidor en relación con el de la leva. Se habla
entonces de leva radial o axial: en el primero de los casos, el seguidor
se mueve de forma perpendicular al eje de rotación de la leva; si ambas
direcciones fuesen paralelas se estaría frente a una leva de tipo axial.
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-
Las levas radiales de uso más común tienen cierre de fuerza y se
conocen como levas planas de rotación (también levas de placa o
levas de disco). Sobre este tipo trata la presente práctica.
-
Las levas axiales pueden a su vez dividirse en dos grupos
atendiendo al tipo de cierre que empleen: si éste es de forma se
conocen como levas de cara y si es de fuerza se puede hablar de
levas cilíndricas.
Figura 3. Levas axiales (movimiento del seguidor paralelo al eje de
rotación de la leva).
•
Según qué elemento imprima el movimiento en el otro. En este caso
puede hablarse de levas directas o inversas. En el primer caso (el más
común) es la leva la que ejerce el movimiento sobre el seguidor. Si se
invierte la situación se habla de levas inversas.
4. Nomenclatura de leva de rotación con seguidor traslacional de rodillo
En la siguiente figura se observan los siguientes conceptos:
•
Punto de trazo: viene dado por el centro del rodillo que hace de
seguidor.
•
Rf: radio del rodillo del seguidor.
•
Círculo base: es el más pequeño que puede trazarse tangente a la
superficie de la leva.
•
Rb: radio del círculo base.
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•
Curva de paso: es la curva o trayectoria que describe el punto de trazo
del seguidor al moverse siguiendo el perfil de la leva.
•
Círculo primario: es el más pequeño que puede trazarse tangente a la
curva de paso.
•
Rp: radio del círculo primario. Se puede observar que Rp=Rf+Rb.
Figura 4. Leva plana de rotación con seguidor traslacional de rodillo.
5. Función desplazamiento
El primer paso en el cálculo de una leva es especificar el movimiento de
salida que debe regir al seguidor. A este movimiento se le denomina ley de
desplazamiento o función de desplazamiento. Lo que se tiene es una función
cuya variable dependiente es una magnitud que mide el desplazamiento que
realiza el seguidor, y cuya variable independiente es el ángulo girado por la
leva (valor éste que a veces se sustituye por el tiempo). La unidad de medida
de los desplazamientos dependerá del tipo de seguidor que se esté
considerando. Así, en un seguidor traslacional esta magnitud será longitud.
Por el contrario, para un seguidor oscilante lo habitual es utilizar un ángulo
(aunque no es frecuente, puede utilizarse también una longitud, tomando
como salida la distancia de un punto del seguidor al centro de giro de la leva).
El movimiento de salida se construye por la unión de diferentes tipos de
tramos comúnmente empleados en el cálculo de levas. La longitud de cada
uno de ellos vendrá dada por el ángulo parcial de rotación ocupado dentro de
una vuelta completa. A este ángulo se le denominará β. Como es lógico, la
suma de los ángulos parciales de rotación debe ser exactamente 360º. Una
ley de desplazamiento se supone construida cuando se han determinado
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todos los tramos necesarios para componer un giro completo. La información
que debe contener cada uno de dichos tramos es la siguiente:
•
El tipo de movimiento para el tramo: armónico simple, cicloidal,
velocidad constante, etc.
•
El ángulo parcial de rotación β sobre el que se construye el tramo.
•
La magnitud del movimiento lineal (seguidores traslacionales) o angular
(seguidores oscilantes) y su sentido. A este valor se le llamará L
(elevación).
Figura 5. Ley de desplazamiento formada por tres tramos de 120º.
En la figura anterior puede verse una función de desplazamiento para un
seguidor traslacional formada por tres tramos de 120º: el primero es un
ascenso del seguidor de 50 mm, le sigue un detenimiento durante 120º y,
finalmente, en el tercer tramo se retorna a la posición inicial.
Figura 6. Ley de desplazamiento de tres tramos (90º, 90º y 180º).
En la figura anterior puede verse una función de desplazamiento para un
seguidor oscilante formada por tres tramos: el primero es un desplazamiento
angular de 20º que se lleva a cabo en un giro de leva de 90º, le sigue un
descenso en el sentido contrario también durante 90º que lo hace volver a la
posición inicial, y permanece allí durante el resto del giro de la leva (tercer
tramo de 180º).
6. Derivadas de la función desplazamiento
Dada la siguiente función desplazamiento:
y = y (ϑ ) ,
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las sucesivas derivadas cinemáticas serán las obtenidas al derivar
repetidamente la expresión anterior respecto al ángulo girado por la leva:
dy
y′ =
dϑ
d2y
y′′ =
(1)
dϑ 2
d3y
y′′′ =
dϑ 3
Las derivadas respecto al tiempo serán:
dy dy dϑ
=
= y′ω
dt dϑ dt
d2y
&&
y = 2 = y′′ω 2 + y′α
dt
d3y
&&&
y = 3 = y′′′ω 3 + 3 y′′ωα + y′α&
dt
y& =
(2)
En el caso de que la velocidad de giro de la leva sea constante (lo cual suele
ser lo más habitual), las expresiones quedan:
y& = y′ω
&&
y = y′′ω 2
(3)
&&&
y = y′′′ω 3
7. Criterios de elección de la leva
Para que una leva sea aceptable, debe cumplir las siguientes dos
condiciones:
•
Ley fundamental de la continuidad
El desplazamiento, velocidad y aceleración deben ser funciones
continuas.
Se admiten discontinuidades en la tercera derivada (sobreaceleración),
si bien se debe tener en cuenta que ello ocasionará vibraciones que se
verán agravadas al aumentar la velocidad de giro de la leva.
En la figura 7 puede verse la ley de desplazamiento, velocidad,
aceleración y sobreaceleración para una leva. Se observa que las
funciones de desplazamiento y velocidad son continuas, pero no lo son
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la aceleración ni la sobreaceleración (la primera de ellas, al estar
incumpliéndose la ley de continuidad, hace que se trate a todas luces de
una combinación de curvas inaceptable).
En la figura 8, en cambio, se aprecia la continuidad en la ley de
desplazamiento, velocidad y aceleración y, a pesar de no ser continua
en la sobreaceleración, esto es admisible si la leva no va a operar a
velocidades angulares elevadas.
•
Valores pico de velocidad y aceleración
En ocasiones, la elección del tipo de movimiento para un tramo pasa por
la incertidumbre de seleccionar entre diferentes posibilidades
aparentemente válidas. En ese caso es necesario desechar aquellas
que produzcan magnitudes pico de velocidad y aceleración superiores a
las demás. La razón es clara: mayores velocidades implican una más
elevada energía cinética y consumos superiores de potencia, mientras
que aceleraciones mayores producen cargas dinámicas que afectan a
todo el sistema y que se deben tratar de minimizar para alargar el ciclo
de vida de la leva y su seguidor.
Figura 7. Desplazamiento, velocidad, aceleración y sobreaceleración.
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Figura 8. Desplazamiento, velocidad, aceleración y sobreaceleración.
8. Funciones más comúnmente empleadas
En este apartado se presentan los tipos estándar de funciones de
desplazamiento comúnmente usados para el diseño de levas. El perfil de la
leva es creado a partir de la yuxtaposición de varios diagramas de
desplazamiento, cada uno de los cuales es válido durante una rotación
determinada de la leva. Lo que se hace es tratar cada intervalo de manera
independiente definiendo una variable adimensional que es cociente de dos
ángulos: el numerador (θ) se corresponde con el ángulo parcial recorrido
dentro de su intervalo y el denominador (β) es el ángulo total de rotación: así,
θ/β varía de 0 a 1, siendo 0 el punto inicial y 1 el punto final del tramo. Los
diagramas de desplazamientos presentan bastante similitud en casi todos los
movimientos. Sin embargo, hay notables diferencias en sus derivadas.
Las curvas comúnmente empleadas en el cálculo cinemático de levas son las
siguientes.
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8.1. Armónico simple
Figura 9. Movimiento armónico simple de ascenso: L=50 mm, Li=0 mm,
β=100º, ω=1 rad/s.
Figura 10. Movimiento armónico simple de descenso: L=50 mm, Li=50
mm, β=100º, ω=1 rad/s.
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8.2. Cicloidal
Figura 11. Movimiento cicloidal de ascenso: L=50 mm, Li=0 mm, β=100º,
ω=1 rad/s.
Figura 12. Movimiento cicloidal de descenso: L=50 mm, Li=50 mm,
β=100º, ω=1 rad/s.
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8.3. Polinómico de 5º grado (caso particular: 3-4-5)
Figura 13. Movimiento polinómico 3-4-5 de ascenso: L=50 mm, Li=0 mm,
β=100º, ω=1 rad/s.
8.4. Polinómico de 7º grado (caso particular: 4-5-6-7)
Figura 14. Movimiento polinómico 4-5-6-7 de ascenso: L=50 mm, Li=0
mm, β=100º, ω=1 rad/s.
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8.5. Velocidad constante
Un tramo de velocidad constante es un desplazamiento lineal.
Evidentemente, esta función no es combinable con un detenimiento ya que
se estaría incumpliendo la ley de continuidad. Suele emplearse junto con
movimientos de medio período.
8.6. Movimientos de medio período
•
Semiarmónico de velocidad final nula.
Figura 15. Movimiento semiarmónico de ascenso: Vf=0 mm/s, L=50 mm,
Li=0 mm, β=100º, ω=1 rad/s.
Figura 16. Movimiento semiarmónico de descenso: Vf=0 mm/s, L=50
mm, Li=50 mm, β=100º, ω=1 rad/s.
•
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Semiarmónico de velocidad inicial nula.
Figura 17. Movimiento semiarmónico de ascenso: Vi=0 mm/s, L=50 mm,
Li=0 mm, β=100º, ω=1 rad/s.
Figura 18. Movimiento semiarmónico de descenso: Vi=0 mm/s, L=50
mm, Li=50 mm, β=100º, ω=1 rad/s.
•
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Semicicloidal de velocidad final nula.
Figura 19. Movimiento semicicloidal de ascenso: Vf=0 mm/s, L=50 mm,
Li=0 mm, β=100º, ω=1 rad/s.
Figura 20. Movimiento semicicloidal de descenso: Vf=0 mm/s, L=50 mm,
Li=50 mm, β=100º, ω=1 rad/s.
•
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Semicicloidal de velocidad inicial nula.
Figura 21. Movimiento semicicloidal de ascenso: Vi=0 mm/s, L=50 mm,
Li=0 mm, β=100º, ω=1 rad/s.
Figura 22. Movimiento semicicloidal de descenso: Vi=0 mm/s, L=50 mm,
Li=50 mm, β=100º, ω=1 rad/s.
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8.7. Armónico doble
Figura 23. Movimiento armónico doble de ascenso y descenso: L=50
mm, Li=0 mm, β=180º, ω=1 rad/s.
8.8. Movimientos compuestos
•
Aceleración de onda senoidal modificada.
Figura 24. Movimiento de aceleración de onda senoidal modificada de
ascenso: L=50 mm, Li=0 mm, β=100º, ω=1 rad/s.
•
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Aceleración de onda trapecial modificada.
Figura 25. Movimiento de aceleración de onda trapecial modificada de
ascenso: L=50 mm, Li=0 mm, β=100º, ω=1 rad/s.
9. Ángulo de presión
El ángulo de presión es el que forma la dirección de aplicación de la fuerza
entre la leva y el seguidor con la dirección del movimiento de este, es decir,
es el ángulo formado por la normal común a ambas superficies y el
movimiento del seguidor. En los seguidores de rodillo el punto que se toma
para determinar la dirección de su movimiento es su centro. En ellos, el
ángulo de presión ofrece una idea de la facilidad con la que la leva transmite
el movimiento al seguidor: si es muy elevado el seguidor puede atascarse o
moverse con dificultad.
El ángulo de presión puede tomar signo positivo o negativo. Para una leva
plana de rotación con seguidor de traslación, lo que importa es que su valor
absoluto no exceda de los 30º para evitar el fenómeno de autorretención de
la leva (presentado en la práctica nº 5). Cuando esto ocurre, se deben
realizar modificaciones en la leva para disminuirlo:
•
•
•
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Al aumentar el radio base se disminuye el ángulo de presión. El
inconveniente de esta solución es el espacio adicional ocupado por la
leva, que puede hacer que esta opción no sea factible.
Aumentando el radio del rodillo del seguidor se disminuye igualmente el
valor absoluto del ángulo de presión. El inconveniente es el mismo que
en el caso anterior.
Modificando la excentricidad se altera también el ángulo de presión,
desplazando la curva hacia arriba al aumentar la excentricidad, y hacia
abajo al disminuirla.
10. Radio de curvatura
El radio de curvatura representa numéricamente la mayor o menor
concavidad/convexidad que muestra la representación gráfica de una función.
Así, por ejemplo, una recta tiene un radio de curvatura infinito, y una
circunferencia un radio de curvatura constante e igual a su radio. No se debe
confundir esta magnitud con su inversa conocida como curvatura (la
curvatura de una recta es 0). Así pues, resulta ser una propiedad intrínseca
de toda función.
El radio de curvatura de una leva nos da idea de la presencia de rebajes y
cúspides, fenómenos ambos que hay que evitar a toda costa.
Figura 26. Rebaje en el perfil de leva plana de rotación con seguidor de
rodillo traslacional.
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Figura 27. Cúspide en el perfil de leva plana de rotación con seguidor de
rodillo traslacional.
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REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA
Se va a considerar una leva plana de rotación con seguidor de rodillo
traslacional sin excentricidad. El diagrama de desplazamientos se dividirá en
tres tramos:
• Un primer tramo de ascenso durante 90º, con una elevación total de 10 mm.
• Tras esto, un detenimiento a lo largo de otros 90º de rotación de la leva.
• Por último, un descenso durante el ángulo restante de rotación.
Para ello, se deberán seguir los siguientes pasos:
1.
Arrancar la aplicación SCLevas: Inicio – Programas – SCLevas.
2.
Elegir seguidor traslacional de rodillo (opción por defecto).
3.
El radio base será de 50 mm, el del seguidor, 5 mm, y la velocidad
angular de rotación será de 100 rad/s.
4.
Probar para el primer y tercer tramos de la leva los siguientes perfiles
(considerar que ambos tramos presentan el mismo tipo de perfil):
armónico simple, cicloidal, polinómico 3-4-5, polinómico 4-5-6-7,
aceleración de onda senoidal modificada y aceleración de onda trapecial
modificada, para lo cual se debe elegir el perfil adecuado y pulsar el
botón “Añadir”. Para borrar los perfiles introducidos y probar otra
configuración es preciso hacer uso del botón “Borrar”.
Indicar cuáles de esos 6 perfiles cumplen la ley fundamental de
continuidad.
5.
Elegir el perfil cicloidal para los tramos primero y tercero y modificar los
datos de la leva hasta para que la elevación total sea de 30 mm en lugar
de 10 mm y el radio base pase de 50 mm a 30 mm. Hacer uso, para
ello, del menú “Modificar”.
6.
Calcular la nueva leva (botón “Calcular”) y comprobar que el ángulo de
presión es demasiado elevado.
7.
Haciendo uso de la expresión enunciada en la práctica anterior para
calcular el ángulo límite para que no exista el fenómeno de
autorretención en una leva, comprobar que esta situación se produce
para la leva que se está considerando, sabiendo que a = 5 mm, 2b = 4
mm, xmín = 20 mm y µ = 0.2.
8.
Indicar de cuántas maneras se podría disminuir el ángulo de presión
hasta reducirlo a niveles por debajo de los 30º.
9.
Elegir una de ellas y reducir el ángulo de presión hasta un máximo de
20º.
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CUESTIONARIO DE LA PRÁCTICA
1.
¿Cuáles de los perfiles considerados en el apartado 4 cumplen la ley
fundamental de continuidad?
2.
¿Cuál es el valor máximo del ángulo de presión tras realizar el paso nº 6?
3.
¿Cuál es el ángulo máximo de presión permitido considerando el apartado nº 7?
4.
¿De cuántas maneras se puede reducir el ángulo de presión en el apartado 8?
5.
Indicar los datos que habría que variar en la leva para que el ángulo de presión
se redujese a 20º (apartado 9).
6.
Con la ayuda del programa SCLevas, construir el sistema leva-palpador del
ejemplo de la práctica 7 (páginas 22 y 23), y especificar cuales son los perfiles
de las curvas de acuerdo más adecuados para un correcto funcionamiento, a
una velocidad angular de rotación de la leva de 25 rad/s.