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y
Detención
Subida
Detención
Retorno
Elevación
0

360°
Diagrama de desplazamientos.
y
3/2
y
L3
5
L2
Elevación
4
3
L1
2
1
L1

1/2
1
1
2
2
3
3
4
5

1
(b)
(a)
Movimiento parabólico: a) entrecaras con movimiento uniforme, y b)
construcción gráfica del diagrama de desplazamientos.
y
6
5
4
3
L1
2
1
1
2
3
4
5

6

Movimiento armónico simple.
y
4
Cicloide
5
6
0,6
3
5
1
2
r=L/2
4
3
L
2
1
P
0
1
O
0
1
2
3
4
5
6


Movimiento cicloidal.
2.3 Leyes de movimiento de los seguidores de levas.
2.3.1. Presentación del ciclo de una leva.
1
- Un mecanismo de leva, por lo común, tiene un grado de libertad.
- Un elemento es impulsado por un movimiento de entrada  (t) conocido, casi siempre, un eje girando a velocidad constante.
- La salida es un movimiento determinado (y) deseado para el seguidor.
- Este movimiento de salida (y) se representa en lo que se conoce como Diagrama de
desplazamientos.
y
detención
seguidor
elevación
subida
bajada
1 ciclo = 2 rad = 360° = 1 rev
(leva)
detención
 (t)
y. Puede representar tanto una distancia de traslación, para un seguidor de movimiento
alternativo, como un ángulo, para un seguidor de movimiento oscilante.
- Lo anterior quiere decir que durante un ciclo (una revolución) de la leva a velocidad
constante, el seguidor puede ejecutar una serie de eventos (movimientos) requeridos de
acuerdo a una ley de movimiento determinada.
2.3.2 Ecuaciones de movimiento para los seguidores.
- Una vez elegida la relación exacta entre la entrada  (t) y la salida (y) el diagrama de
desplazamientos se construye de acuerdo a una ecuación de movimiento conocida

MOVIMIENTO UNIFORME
(M..U)
2
x
x´
x ´´
t
t
x  vt
v
t
x
 cte
t
a0
v  v0  v promedio

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO (0 DESACERLERADO)
MVA.
x
x
x
´
t
t
1
x  v0 t  at 2
2
x ´  v0  at
si
v f  v0
2
x
2a
2
v0  0
x ´  at
x´ 
t
si
v0  0
x ´´ 
x ´´ 
2x
t2
vf
2
2x
2x
t
3

El movimiento uniforme no es recomendable cuando comienza a terminar
ya sea una subida o una bajada del seguidor sobre todo para levas de mayor
velocidad
Perfil corregido
MVA
Perfil no
recomend
ado
1 revolución

Lo anterior quiere decir que es recomendable construir el perfil de la leva con
la ley de MVA o MVD (desacelerado, el movimiento parabólico de dicha ley
proporciona al seguidor aceleraciones o desaceleraciones constantes.
Ejemplo de un segmento de perfil recomendable:
Y
L3
L2
L1
B1
B2
B3
B1
 (t )
= MV acelerado
B2 = MV
B3 =MV desacelerado
4
A

2

3
2
2
x
1ciclo  360 0
Los puntos de la posición del seguidor para cualquier instante pueden ser encontrados
analíticamente por medio de las siguientes ecuaciones:
x  A senwt
x´  WA coswt
x´´  -w 2 senwt
Recordatorio
5






1 ciclo= PERIODO T


Periodo (T) .- Tiempo para completar un ciclo.
1
Frecuencia (f).- ( f  ) : Número de ciclos /seg.
T
*Un sistema armónico se puede caracterizar por su frecuencia angular w= f (T ,f )

w  2f 
2 

T
t

 .- Angulo de fase.
w.- Frecuencia angular de oscilación.
f .- Frecuencia de oscilación.
T.- Periodo de la oscilación.

2 
t
 T 
*
  wt  2f t  
*
Si t =T    2

rad 1 revolución
6
  wt
para el movimiento angular
x  vt
para el movimiento rectilíneo


Nota.- Para el MAS la aceleración NO es constante :
Parámetro
Posición
Valor
Velocidad
, 2
Máximo

Aceleración
2
Velocidad
Aceleración




2
,
3

2
Máximo
,
3

2
Cero
, 2
Cero
Se puede demostrar que la dirección de la aceleración siempre está dirigida hacia el
centro, para cuando se trata de un péndulo de movimiento armónico.
Ejemplo: Un movimiento armónico tiene una amplitud de 0,2 cms y un periodo de 0,15 seg.
Hallar:
7
-La máxima velocidad y aceleración.
T = 2 =0,15 seg.
-De acuerdo a las premisas anteriores la velocidad máxima estar dad en  ó 2.

x  wAcos wt  wAcos 

x  wAcos   wA  0,2w
2 2
rad

 41,88
T 0,15
seg

cm
 x max  0,241,88  8,37
seg
w
pero

-La máxima aceleración estará en ó
2



3

2
x  w Asenwt  w Asen
2

2
x  w Asen
2


2
 w A
2
x   w 0,2  
2

 x max  350
41,88 0,2
2
cm
2
seg

Problema :
Un acelerómetro indica que una estructura está vibrando armónicamente a 82
ciclos / seg con una aceleración máxima de 50 g´s. Hallar la máxima amplitud de la vibración.
f= 82 Hz
8
g = 50 g´s
g  9,81
m
s
2
 50gs  490,5
m
s
2
De la ecuación que nos da la aceleración:


x  w Asenwt   w Asen
2

-La máxima amplitud se halla en  
2

ó
2
3

2

Amax
* Tambien la
aceleracion
maxima



Amax


490,5  w Asen
2

2
 w A
2

Si
9
w  2f  2 82  515,2
A
490,5
515,2
2
rad
seg
 0,0018mts
A  1,8mm

2.3.3 Métodos Gráficos.
Ejemplo: Se requiere trazar una leva simétrica con una ley de movimiento armónico
simple (MAS), considerando un seguidor de punta.

Trazar un círculo e5f, donde   ef , junto con los ejes de coordenadas.

Como el MAS se puede representar sobre un diagrama de desplazamiento, entonces:
10
f
y
10
9
8
7
6
2A
9
8
7
6
5
5
4
3
2
1
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
e
0
10
θt 
 Dividiendo la línea de las abscisas  t  en partes iguales en la correspondiente en la
correspondiente a un medio ciclo (10 por ejemplo).
 Dividiendo un medio círculo (semicircular) en el mismo número de partes,
correspondientes al círculo (desde 1 hasta 10).

A través de estas partes marcadas trazar líneas horizontales.

Trazar líneas verticales en los puntos marcados en el eje de abscisas.

Haciendo corresponder cada uno de los puntos marcados anteriormente.
10
 1 con 1  a
 2 con 2  b
 3 con 3  c
 4 con 4  d
 ... etc

 ...
 j
b
a
c
0
d
e
f
g
h
j
i
 La curva trazada por estos puntos desde (a hasta j) será el perfil de la leva,
suponiendo que dicho perfil es simétrico, es decir que la otra mitad será similar.

En el punto e (mitad) la velocidad es máxima y la aceleración vale cero (0).

En los puntos 0 y j la velocidad vale 0 y la aceleración es máxima siempre dirigida
hacia el centro.
Movimiento Cicloidal Para un Seguidor de Leva.

El nombre se deriva de la curva llamada cicloide.
11

En la siguiente figura se muestra una curva que tiene como ecuaciones paramétricas:
x  g t  y y  f t  donde a  t  b

La pendiente de la curva de la figura, en un punto particular, está dada por:
m
dy
f t 

dx g t 
t  z4
y
B gb, f b
t  z2
f(b) – f(a)
t  z3
A
ga, f a
t  z1
g(b) – g(a)
x

La pendiente del segmento rectilíneo a través de los puntos Ag a, f a y Bg b, f b
está dada por:
f b   f a 
g b   g a 
 El teorema de Cauchy del valor medio afirma que las pendientes son iguales al menos
en un valor de t entre a y b, para la curva mostrada hay cuatro valores
t  z1 , t  z2 , t  z3 , t  z4 que satisfacen la conclusión del teorema.
La curva tratada “la cicloide” puede definirse por ecuaciones paramétricas.
La cicloide es una curva trazada por un punto en la longitud de una circunferencia cuando
esta rueda (sin deslizarse) a lo largo de una línea recta.
 Suponiendo una circunferencia de radio a.
y
12
a
t
P

A
T la cualx rueda la circunferencia.
Sea el eje X la línea recta fija sobre
 El punto de partida es considerado cuando el punto P tiene contacto con el eje X,
coincidiendo con el origen (O) del plano cartesiano.
 Analizando la figura una vez que la circunferencia ha rodado un ángulo de t radianes
(vectorialmente).




V OT   V TA  V  AP   V OP  

V OT   longitud del arco PT  at
1


Como en la dirección de V OT  está a lo largo del eje X positivo V OT   ati 
2

También V TA  a  a cos t

Y como la dirección de V TA es la misma que la dirección de j, se tiene:
V (TA) = a (l – cos t) j
(3)
║V (AP)║ = a sen t siendo la dirección de V (AP) la misma que – i
V (AP) = - a sen ti
(4)
Sustituyendo 2, 3,y 4 en 1 se tiene:
ati + a (1- cos t) j – a sen ti = V (OP)
(5)
La ecuación (5) es una ecuación vectorial de la cicloide
x = a (t – sen t)
y
y = a (1- cos t)
Dónde t es cualquier número real.
Se muestra una porción de ésta gráfica:
13

La construcción de un perfil con una ley de movimiento cicloidal se traza de la
siguiente manera.

Trazar los ejes del diagrama de desplazamiento.
Trazar un círculo de radio L/2 en donde L es la elevación total, con centro coincidiendo
con el eje de las equis y el punto de partida P coincidiendo con el origen 0.

Dibujando las posiciones representativas de la circunferencia al completar con una
revolución rodando sin deslizarse (a velocidad constante) sobre el eje de las ordenadas,
desde 0 hasta L.
14