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5. Trabajo y energía
5. TRABAJO Y ENERGÍA
El concepto de energía es de enorme importancia en la Física y sus alcances exceden el contexto
de la Mecánica Newtoniana. En efecto la energía junto con la cantidad de movimiento juegan un
rol primario en las Teorías Fundamentales que mencionamos en el Capítulo 1, básicamente porque estas magnitudes se conservan (es decir se mantienen constantes) en todas las interacciones
básicas de la naturaleza. Pero aquí nosotros estamos desarrollando una teoría macroscópica en la
cual como ya vimos aparecen fuerzas no fundamentales como el rozamiento, el arrastre, etc.
Estas fuerzas se relacionan de una forma muy complicada con las interacciones fundamentales y
de resultas de ello en nuestra descripción de los fenómenos la energía nos aparece bajo diferentes aspectos, aunque a nivel microscópico se trata siempre de la misma cosa. Uno de esos aspectos es la energía mecánica que trataremos aquí. El lector debe recordar lo que se acaba de
decir, y más adelante volveremos sobre esta cuestión.
En el contexto de la Mecánica Newtoniana el concepto de energía es muy útil ya que en determinados casos ayuda a simplificar la solución de problemas. Se debe notar que la Segunda Ley
establece una ecuación diferencial del segundo orden en el tiempo, que se debe integrar para
conocer el movimiento de los cuerpos. Veremos que bajo ciertas condiciones la energía mecánica de un sistema se conserva (es decir no se transforma en otra clase de energía). Cuando esto
ocurre podemos escribir de inmediato una integral primera de las ecuaciones de Newton, lo cual
es un paso adelante muy importante hacia la solución del problema.
Trabajo mecánico
Para presentar la noción de energía mecánica conviene introducir el trabajo mecánico y eso es lo
que haremos ahora. Este concepto deriva de la noción del esfuerzo que es necesario realizar para
desplazar objetos. Es intuitivo que el esfuerzo está relacionado con la fuerza que se ejerce, pero
es algo distinto. Cuando levanto un cajón y lo coloco en una estantería tengo que ejercer una
fuerza igual a su peso, pero el esfuerzo es mayor cuanto más alto es el estante donde lo ubico. Si
desplazo un mueble de un lugar a otro la fuerza a ejercer es siempre la misma (la necesaria para
vencer el rozamiento) pero el esfuerzo es tanto mayor cuanto más lejos lo llevo. Además el esfuerzo depende de la dirección del desplazamiento en relación a la fuerza: el esfuerzo necesario
para transportar una valija depende de si el desplazamiento es horizontal, en subida, o en bajada.
Estas observaciones cotidianas indican que el esfuerzo depende de la magnitud de la fuerza, de
la magnitud del desplazamiento y del ángulo entre el desplazamiento y la fuerza. Basados en
estos hechos definimos el trabajo mecánico de modo de respetar la noción intuitiva de esfuerzo,
aunque con la precisión y rigor que corresponde a una magnitud física.
Sea A un punto material sobre el que actúa la fuerza F y que sufre un desplazamiento infinitesimal dr (Fig. 5.1a). Definiremos el trabajo mecánico de F en el desplazamiento dr como
dW = F ⋅ dr = F dr cos α
(5.1)
De la definición resulta que W es un escalar y que su magnitud y signo dependen del ángulo
entre F y dr. Si α < π /2 (desplazamiento a favor de la fuerza) el trabajo es positivo. Si α > π /2
(desplazamiento en contra de la fuerza) el trabajo es negativo. Si α = π /2 el trabajo es nulo. El
trabajo de una fuerza en un desplazamiento finito del móvil entre una posición 1 y una posición
2 según la trayectoria T (Fig. 5.1b) se define como
105
5. Trabajo y energía
2
2
W1,2,T = ∫ dW = ∫ F ⋅ dr
1
(5.2)
1
donde la integral se calcula a lo largo de T.
F
F
A
a
T
dr
A
dr
2
1
T'
(a)
(b)
Fig. 5.1. El trabajo depende (a) del ángulo entre fuerza y desplazamiento y (b) de la trayectoria del móvil.
En general el trabajo depende del camino seguido para ir de 1 a 2, luego si T y T ′ son dos trayectorias diferentes que van ambas de 1 a 2 se tendrá que
W1,2,T ≠ W1,2,T ′
(5.3)
Si T se recorre en el sentido inverso, es decir de 2 a 1, se tiene
W2,1,T = −W1,2,T
(5.4)
De la definición resulta que las dimensiones de trabajo son
[W ] = [ F ][l] = [ ml2t −2 ]
(5.5)
La unidad de trabajo del sistema MKS es el Joule ( 1 J = 1 N m = 1 kg m 2 /s2 ) y en el sistema cgs
es el erg ( 1 erg = 1 dy cm = 1 g cm 2 /s2 ). La equivalencia entre ambas unidades es 1 J = 10 7 erg .
Se usa también como unidad de trabajo el kgf m ( 1 kgf m = 9.81K J = 9.81K × 10 7 e rg).
Fuerza conservativa
Consideremos el trabajo del peso P = −mgzˆ en un desplazamiento vertical dr = zˆ dz (Fig. 5.2a).
Se tendrá dW = P ⋅ dr = − mgdz y entonces
z2
W12 = − ∫ mgdz = − mg( z2 − z1 )
(5.6)
z1
En un desplazamiento cualquiera (Fig. 5.2b) dr = xˆ dx + yˆ dy + zˆ dz pero dW = P ⋅ dr = − mgdz
como antes, luego
W12 = − mg( z2 − z1 )
106
(5.7)
5. Trabajo y energía
z
z
2
2
dr
P
dr
P
1
1
(a)
(b)
Fig. 5.2. El trabajo del peso en un desplazamiento vertical (a) y en un desplazamiento
cualquiera (b) depende solamente de la diferencia de altura entre los extremos de la trayectoria.
Hemos obtenido así un importante resultado:
El trabajo del peso no depende del camino seguido para ir de 1 a 2 y sólo depende de la diferencia de altura entre dichos puntos.
Se dice que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza en un desplazamiento entre dos
puntos cualesquiera 1 y 2 tiene el mismo valor cualquiera sea el camino seguido para ir de 1 a 2.
Es decir, si 1 y 2 son dos puntos cualesquiera y C, C ′ son dos trayectorias cualesquiera que van
de 1 a 2 (Fig. 5.3a), F será conservativa si
W1,2,C = W1,2,C ′ = W1,2
(5.8)
De acuerdo con esta definición y con el resultado anterior el peso es una fuerza conservativa.
Consideremos un camino C que parte de 1 y vuelve a 1 (Fig. 5.3b) y sea WC el trabajo realizado
por la fuerza conservativa F en el desplazamiento C. Por definición:
WC = ∫ F ⋅ dr
(5.9)
C
Sea ahora 2 un punto cualquiera de C que la divide en dos partes: C ′ que va de 1 a 2 y C ′′ que
va de 2 a 1. Claramente:
WC = W1,2,C ′ + W2,1,C ′′ = W1,2,C ′ − W1,2,C ′′ = 0
(5.10)
porque W2,1,C ′′ = −W1,2,C ′′ y W1,2,C ′ = W1,2,C ′′ por ser F conservativa.
Luego si F es una fuerza conservativa y C un camino cerrado cualquiera se cumple
∫ F ⋅ dr
=0
(5.11)
C
Con un razonamiento análogo se puede demostrar la propiedad inversa: si F es tal que su trabajo
a lo largo de cualquier camino cerrado es nulo, entonces es conservativa.
107
5. Trabajo y energía
F
F
A
A
dr
dr
C'
C
2
C
2
1
C''
1
C'
(a)
(b)
Fig. 5.3. Si la fuerza es conservativa el trabajo en un desplazamiento de 1 a 2 (a) no depende del camino seguido y es nulo (b) en un desplazamiento que vuelve al punto inicial.
Campo de fuerza
El peso es un caso particular de una clase importante de fuerzas: aquellas que dependen de la
posición. Otro ejemplo de esta clase es la fuerza electrostática entre dos cargas. En las proximidades de la superficie de la Tierra P = −mgzˆ donde ẑ es la dirección de la vertical del lugar
(positiva hacia arriba). A medida que nos alejamos de la superficie terrestre g disminuye al aumentar z, y a distancias r grandes del centro de la Tierra1
r 2
g = g(r ) = g(rT )  T 
r
(5.12)
donde rT ≅ 6400 km es el radio terrestre y g(rT ) ≅ 980 gal . Por lo tanto
r 2
P = − mg(rT )  T  rˆ
r
(5.13)
En casos como este, cuando en cada punto del espacio podemos definir un valor de la fuerza, se
dice que estamos en presencia de un campo de fuerza. Si además la fuerza es conservativa se
dice que el campo correspondiente es conservativo. Cuando además de la posición la fuerza depende de otras magnitudes (por ejemplo de la velocidad del cuerpo) no se puede hablar de
campo de fuerza. Por ese motivo las fuerzas de rozamiento no son un campo.
El concepto de campo es muy importante en la Física y más adelante volveremos sobre él. Por el
momento bastará con esta somera introducción.
Energía cinética
La energía es la magnitud que da la medida de la capacidad de un sistema para producir trabajo.
Hay distintas clases de energía, que se distinguen por
• la forma como se manifiesta y
• las fuerzas e interacciones que la originan.
1
Esta fórmula es aproximada ya que la Tierra no es una esfera perfecta.
108
5. Trabajo y energía
Es así que se habla de energía mecánica, térmica, eléctrica, química, nuclear, etc. Nos ocuparemos ahora de la energía mecánica, que es la energía que poseen los cuerpos en virtud de su movimiento y de su posición.
Para detener un móvil que se desplaza con cierta velocidad es preciso aplicarle una fuerza que lo
frene. Dicha fuerza realiza un trabajo negativo, es decir, el móvil entrega trabajo al sistema que
ejerce la fuerza2. Luego el móvil por el hecho de moverse posee energía. En otras palabras:
Por virtud de su inercia todo cuerpo en movimiento posee energía, que denominamos
energía cinética.
v2
v1
2
m
v
F
1
Fig. 5.4. El Teorema de la fuerza viva: la variación de la energía cinética del móvil es igual
al trabajo de la fuerza que actúa sobre él.
La energía cinética se relaciona con el esfuerzo necesario para cambiar el estado de movimiento
de un objeto. Dicho esfuerzo se origina en la inercia del cuerpo. Es sencillo calcular la energía
cinética del móvil. Sea una masa m animada de una velocidad v, sobre la cual actúa la fuerza F.
En el intervalo dt el desplazamiento del móvil es dr = v dt y la fuerza realiza un trabajo
dW = F ⋅ dr = F ⋅ v dt
(5.14)
Por la Segunda Ley F = m dv / dt , luego
dW = m v ⋅ dv = 12 m d (v 2 )
(5.15)
Por lo tanto el trabajo de la fuerza en el trayecto de 1 a 2 (Fig. 5.4) es
2
W12 = ∫ dW =
1
2
1m
2
∫ d (v
2
) = 12 m(v22 − v12 )
(5.16)
1
Si al llegar a 2 el móvil se detiene tendremos v2 = 0 y
W12 = − 12 m v12
(5.17)
Este es el máximo trabajo que se puede extraer del móvil. Es natural entonces definir la cantidad
T = 12 m v 2
2
(5.18)
Por ejemplo la fuerza que ejerce el clavo sobre el martillo que lo golpea realiza un trabajo negativo sobre éste y lo
frena. La reacción del martillo realiza un trabajo que hace penetrar el clavo en el tablón. Así podemos extraer
trabajo del móvil.
109
5. Trabajo y energía
como la energía cinética del móvil, pues da la medida del trabajo que se puede extraer del
mismo en virtud de su movimiento. En términos de la energía cinética los resultados anteriores
se pueden escribir en la forma diferencial
dW = dT
(5.19)
W12 = T2 − T1 = ∆T
(5.20)
o bien en forma integral como
Las ecs. (5.19) y (5.20) constituyen el Teorema de la fuerza viva3.
De lo anterior podemos concluir lo siguiente:
• si queremos acelerar un móvil partiendo del reposo tenemos que realizar sobre él un trabajo
igual a la energía cinética que adquiere;
• si el móvil tiene la velocidad v y por lo tanto la energía cinética T = m v 2 / 2 se podrá extraer
del mismo, frenándolo, un trabajo igual en valor a T.
Notar que T depende del módulo de v y no de su dirección. Si por efecto de una fuerza v cambia
su dirección pero no su módulo, la fuerza no realiza trabajo. Esto ocurre si F es perpendicular a
v, pues entonces F ⋅ v = 0 ; por ejemplo, en un movimiento curvilíneo la fuerza centrípeta no
realiza trabajo.
En conclusión: el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un móvil determina el
cambio de la energía cinética del mismo. Dejamos para más adelante aclarar cuál es la fuente
que suministra la energía cinética que gana el móvil, y cuál es el destino de la que pierde.
Energía potencial
La energía cinética no es la única forma en que se puede manifestar la energía mecánica. Si un
móvil se encuentra en un campo de fuerza y su posición varía, la fuerza del campo realiza un
trabajo. Existe entonces una forma de energía asociada con la posición de un cuerpo sometido a
un campo de fuerza. Sea un móvil que se desplaza en un campo de fuerza de 1 a 2 según la trayectoria C. El trabajo de la fuerza es
2
W12,C = ∫ F ⋅ dr
(5.21)
1
En general el trabajo depende de la trayectoria y por lo tanto no se puede asignar un valor definido a W12 y no podemos afirmar (como hicimos en el caso de la energía cinética) que W12 es la
diferencia entre cantidades calculadas para el punto 1 y el punto 2 (Fig. 5.5a). Hay sin embargo
una clase de fuerzas, las fuerzas conservativas, para las cuales W12 es el mismo cualquiera sea el
camino seguido para ir de 1 a 2. Consideremos, para ser concretos, el peso. Para el peso
W12 = − mg( z2 − z1 ) lo que muestra que un cuerpo posee una capacidad de producir trabajo (es
decir una energía) que depende de la altura donde se encuentra (Fig. 5.5b). Luego en este caso
podemos escribir
W12 = −[V ( z2 ) − V ( z1 )]
3
(5.22)
La denominación proviene de vis viva (“fuerza viva” en latín), nombre (hoy en desuso) que se daba a la energía
cinética.
110
5. Trabajo y energía
donde
V ( z ) = mgz + V0 , V0 = cte.
(5.23)
La función V ( z ) se llama energía potencial gravitatoria de la masa m y como se ve está definida
a menos de una constante aditiva arbitraria V0 . Esta ambigüedad no tiene importancia pues sólo
podemos medir diferencias de energía potencial. La elección de V0 equivale a fijar un nivel de
referencia en el cual V = 0 . Este nivel lo podemos elegir donde más nos guste o convenga. La
(5.22) nos dice entonces que el trabajo del peso es igual a menos la variación de la energía potencial gravitatoria del cuerpo.
F
z
2
dr
dr
P
C
2
1
1
C'
(a)
(b)
Fig. 5.5. En general (a) el trabajo depende de la trayectoria, luego no se puede asignar un
valor definido a W12 . Pero para el peso W12 no depende de la trayectoria (b), luego podemos introducir una energía potencial y escribir W12 = −[V ( z2 ) − V ( z1 )] .
Corresponde aclarar que la fórmula (5.23) vale sólo cerca de la superficie de la Tierra. Si queremos calcular la energía potencial gravitatoria de un cuerpo lejos de la superficie, por ejemplo un
satélite artificial, tenemos que emplear la expresión (5.12) de g. Se obtiene entonces
V (r ) = − mg(rT )rT2
1
+ V∞
r
(5.24)
donde r = rT + z es la distancia del cuerpo al centro de la Tierra y V∞ es la energía potencial del
cuerpo cuando su distancia es infinita. Es habitual poner V∞ = 0 , de modo que
V (r ) = − mg(rT )rT2
1
r
(5.25)
Notar que esta elección del nivel de referencia corresponde a fijar V0 = − mg(rT )rT en la (5.23).
En general para una fuerza conservativa cualquiera podemos definir una energía potencial del
modo siguiente (Fig. 5.6):
• se elige (arbitrariamente) un nivel de referencia, por ejemplo el punto R,
• la energía potencial en otro punto r cualquiera es entonces
r
V ( r ) = − ∫ F ⋅ dr ′ + V0
R
111
(5.26)
5. Trabajo y energía
Aquí V0 es una constante arbitraria y la integral se calcula sobre cualquier camino que lleve de R
a r, porque por ser F conservativa la integral no depende del camino.
Si ahora queremos calcular el trabajo de F en un desplazamiento de 1 a 2 tendremos que
r2
R
r2
r1
r2
r1
r1
R
R
R
W12 = ∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr = − ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr
(5.27)
= −[V ( r2 ) − V ( r1 )]
Según la definición anterior el trabajo de la fuerza conservativa es igual a menos la variación de
la energía potencial. Luego si el trabajo realizado por la fuerza del campo es positivo el móvil
pierde energía potencial. Viceversa, si el trabajo es negativo el cuerpo gana energía potencial.
r
2
1
F(r)
F(r)
R
R
(a)
(b)
Fig. 5.6. Para definir la energía potencial de una fuerza conservativa cualquiera se elige un
nivel de referencia R, luego (a) para un punto r cualquiera V( r ) está dada por la (5.26). El
trabajo de F en un desplazamiento (b) de 1 a 2 es entonces W12 = −[V ( r2 ) − V ( r1 )].
Relación entre energía potencial y fuerza
Por definición, para una fuerza conservativa
r
V ( r ) = − ∫ F ⋅ dr ′ + V0
(5.28)
R
Por lo tanto dV ( r ) = − F ⋅ dr . Esto significa que
∂V
= − Fx
∂x
,
∂V
∂V
= − Fy ,
= − Fz
∂y
∂z
(5.29)
que se puede escribir como
F = −∇V = − grad V
(5.30)
donde hemos introducido el operador gradiente
∇ ≡ grad ≡ xˆ
∂
∂
∂
+ yˆ + zˆ
∂x
∂y
∂z
112
(5.31)
5. Trabajo y energía
Corresponde aclarar que la condición F ≡ F( r ) es necesaria pero no suficiente para que F sea
conservativa. Por ejemplo, una fuerza de la forma F = f (r )ϕ̂
ϕ no es conservativa; en efecto, es
fácil verificar que en este caso la condición
∫ F ⋅ dr
= 0 , todo C
(5.32)
C
no se cumple. Por lo tanto para dicha fuerza no se puede encontrar una función V( r ) tal que
F = −∇V = f (r )ϕ̂
ϕ.
De las (5.29) podemos obtener las condiciones para que F sea conservativa. De la primera y segunda de dichas ecuaciones obtenemos que
∂Fy
∂ 2V
∂F
=− x =−
∂x∂y
∂y
∂x
⇒
∂Fx ∂Fy
−
=0
∂y
∂x
(5.33)
Del mismo modo, de la segunda y la tercera, y de la tercera y la primera de las (5.29) se obtienen, respectivamente, las condiciones
∂Fy ∂Fz
∂Fz ∂Fx
−
=0 ,
−
=0
∂z
∂y
∂x
∂z
(5.34)
Si en todo punto se cumplen las tres condiciones (5.33), (5.34) F ⋅ dr es un diferencial total
exacto: éstas son pues las condiciones suficientes para que F sea conservativa.
Usando el operador gradiente las condiciones (5.33), (5.34) se expresan en la forma compacta
∇ × F ≡ rot F = 0
(5.35)
El operador ∇ × se denomina rotor y un campo vectorial A que cumple la condición ∇ × A = 0
se dice irrotacional. Por lo tanto la condición necesaria y suficiente para que un campo de fuerza
sea conservativo es que sea irrotacional en todo punto. La fuerza F = f (r )ϕ̂
ϕ cumple la condición
∇ × F = 0 para todo r ≠ 0, pero no la cumple en r = 0: por eso dicho campo no es conservativo.
Energía mecánica
Sea una masa que se mueve bajo la acción de una fuerza desde 1 hasta 2. Por el Teorema de la
fuerza viva W12 = T2 − T1 . Si además la fuerza es conservativa y V es la energía potencial correspondiente, W12 = −(V2 − V1 ) . Comparando ambas expresiones y ordenando términos obtenemos
T2 + V2 = T1 + V1
(5.36)
E = T + V ≡ Energía mecánica
(5.37)
Vemos así que la cantidad
se conserva en el movimiento aunque T y V varían4. En un movimiento bajo la acción de fuerzas
conservativas todo aumento de la energía cinética ocurre a expensas de la energía potencial del
móvil, y viceversa, de modo tal que la energía mecánica, suma de ambas, se mantiene constante.
4
De la definición es evidente que las dimensiones y unidades de la energía son las mismas que las del trabajo.
113
5. Trabajo y energía
Importancia de las constantes del movimiento
Cuando una magnitud física se conserva durante el movimiento se dice que es una constante del
movimiento o, también, que es una integral primera del movimiento. Muchas veces la integración de las ecuaciones del movimiento es complicada o difícil. En estos casos el conocimiento
de las constantes del movimiento es de gran importancia pues:
• permite deducir de inmediato propiedades del movimiento y relaciones entre las magnitudes
que lo describen, sin que haga falta para eso integrar las ecuaciones de Newton,
• simplifica el problema de resolver las ecuaciones del movimiento pues ayuda a hacer el
planteo más conveniente para el cálculo.
Por lo tanto uno de los más importantes problemas de la Mecánica es encontrar las constantes
del movimiento. Ya encontramos dos leyes de conservación:
• la conservación de la cantidad de movimiento para sistemas aislados,
• la conservación de la energía mecánica para sistemas sometidos a fuerzas conservativas.
Se puede mostrar que la conservación de la cantidad de movimiento se vincula con la simetría de
un sistema aislado frente a traslaciones. Esta simetría refleja el hecho de que el resultado de un
experimento no depende del lugar donde está ubicado el laboratorio. La conservación de la energía mecánica se vincula con la simetría frente a desplazamientos en el tiempo, lo que refleja el
hecho que el resultado de un experimento no depende del momento en que se lleva a cabo. Estos
ejemplos (y otros que veremos más adelante) muestran que:
Toda ley de conservación está relacionada con una propiedad de simetría del sistema.
También vale la inversa: cuando un sistema posee una simetría (es decir cuando hay una transformación que lo deja igual del punto de vista físico), asociada con esta simetría hay una constante de movimiento. Por lo tanto existe la siguiente relación biunívoca:
simetrías ⇔ constantes del movimiento
Por eso al comenzar el estudio de un problema es siempre útil detenerse a reflexionar sobre sus
propiedades de simetría. Eso veremos a medida que avancemos.
Potencia
En muchas aplicaciones interesa el tiempo necesario para realizar un trabajo. La magnitud física
que da la medida del trabajo producido en la unidad de tiempo es la potencia
δW
δt
(5.38)
P = v⋅F
(5.39)
P=
Como δW = F ⋅ δr = F ⋅ vδt , será
La unidad de potencia en el sistema MKS es el Watt (W): 1 W = 1 J/s=1 Nm/s = 1 kg m2/s3. En
el sistema cgs es el erg/s = 10–7W. En algunas aplicaciones se usa el HP (1HP = 748W). De la
unidad de potencia deriva una unidad de energía muy usada: el kWh (1 kWh = 3.6 × 106J).
Calculemos la potencia disipada en un salto de agua en el que en la unidad de tiempo un masa
dm / dt cae desde una altura h; claramente
114
5. Trabajo y energía
P=
dm
gh
dt
(5.40)
Si el caudal del salto es de 1000 m 3 /s tendremos que dm / dt = 10 6 kg/s . Si h = 100 m resulta
entonces P ≅ 9.8 × 108 W = 980 MW .
Trabajo y energía en movimientos unidimensionales
En todo movimiento unidimensional si la fuerza depende sólo de la posición y no del tiempo, de
la velocidad, etc. o sea si F = F( x ) , F es conservativa y podemos introducir la energía potencial
x
V ( x ) = − ∫ Fdx + V0
(5.41)
0
En presencia de una fuerza conservativa la energía mecánica se conserva y E = T + V = cte.
Examinemos las consecuencias de la conservación de la energía mecánica en un movimiento
unidimensional (Fig. 5.7a). Una forma útil de analizarlo se basa en el diagrama de la energía
(Fig. 5.7b), en el cual representamos los términos de E en función de la coordenada x:
• E ( = cte.) es una recta paralela al eje x,
• V(x) es una curva cuya forma depende de F(x),
• T = E − V como se ve en la figura para el punto x1 .
V(x)
E
x
T(x1)
O
x1
x–
(a)
V(x1)
x+
x2
x
(b)
Fig. 5.7. En un movimiento unidimensional (a) bajo el efecto de una fuerza conservativa es
útil el diagrama de la energía (b) que da una representación integral del movimiento.
El diagrama de la energía es una representación integral del movimiento que permite deducir
varias características del mismo sin necesidad de cálculos laboriosos, de ahí su utilidad.
Puesto que T no puede ser negativa ( T = mv 2 / 2 ≥ 0 ) se debe cumplir
E ≥ V ( x)
(5.42)
Luego el movimiento está confinado a los intervalos de x tales que V < E . Por eso en el caso de
la Fig. 5.7b el móvil no puede llegar al punto x2. En la Fig. 5.7b el movimiento está limitado a
los puntos que cumplen la condición x− < x < x+ . En x− y x+ , que se llaman puntos de retorno,
se tiene T = 0 o sea v( xm ) = 0 , luego E = V .
En un punto como x1 la velocidad puede tener dos valores:
115
5. Trabajo y energía
v( x1 ) = ±
2
[ E − V ( x1 )]
m
(5.43)
En x1 la fuerza
dV
F( x1 ) = − 
 dx  x
1
(5.44)
apunta hacia las x negativas. Si imaginamos que V ( x ) representa el perfil de una cuesta, la
fuerza está siempre dirigida cuesta abajo. Está claro pues que a medida que el móvil se acerca a
x+ la fuerza lo frena. Análogamente si el móvil se acerca a x− la fuerza (ahora dirigida en sentido x positivo) también lo frena. Luego el movimiento descripto por el diagrama es una oscilación en que el móvil va y viene entre los puntos de retorno.
E4
V(x)
E3
E2
x
E1
x5
x1
x2
x3
x4
x6
x7
Fig. 5.8. Diagrama de la energía que muestra los diferentes tipos de movimiento que se
presentan según sea el valor de la energía mecánica del móvil.
El tipo de movimiento depende de la forma de V ( x ) y del valor de E. Observando la Fig. 5.8
vemos que se presentan varias posibilidades:
• para E = E1 puede haber dos movimientos posibles: una oscilación con puntos de retorno x1
y x2 y una oscilación con puntos de retorno x3 y x4 ;
• para E = E2 el movimiento es una oscilación con puntos de retorno x5 y x6 ;
• para E = E3 el movimiento no es oscilatorio; el móvil viene de la izquierda desde el infinito
y al acercarse a x7 se frena, se detiene y vuelve atrás alejándose nuevamente hasta el infinito: hay un solo punto de retorno;
• para E = E4 no hay puntos de retorno: un móvil que viene de –∞ va hasta +∞ sin detenerse
(aunque su velocidad varía con x); también es posible el movimiento en sentido contrario, en
que el móvil viene de +∞ y va a –∞ sin detenerse.
Luego el movimiento puede ser ligado, si el móvil está atrapado en un pozo de energía potencial
y oscila entre dos puntos de retorno, o no ligado, cuando el móvil viene y va al infinito. Veamos
algunos ejemplos.
116
5. Trabajo y energía
Lanzamiento vertical
Si lanzo un objeto de masa m hacia arriba con velocidad v0, inicialmente T0 = m v02 / 2 , V = V0 y
E = T0 + V0 . La altura máxima corresponde al punto de retorno zm donde E = V ( zm ) . Luego
zm = v02 / 2 g
V(r)
mg(rT)rT
(5.45)
V(z)–V0
mg(rT)rT
r/rT
rm/rT
0.5
1.0
–0.2
0.8
–0.4
0.6
–0.6
0.4
–0.8
0.2
1.5
2
mg(rT)z
2.5
–mg(rT)rT2/r
E'
E
–1.0
0.0
3
zm/rT
z/rT
0.5
1
1.5
2
Fig. 5.9. Diagrama de la energía para el lanzamiento vertical.
La (5.45) vale para zm << rT , es decir para valores pequeños de la velocidad inicial v0 . Para valores grandes de v0 hay que tomar en cuenta la variación de g con la altura, usando la expresión
(5.25) de la energía potencial (Fig. 5.9). Tenemos entonces que
E = T (r ) + V (r ) = 12 mv(r )2 − mg(rT )rT2
1 1 2
= mv0 − mg(rT )rT = cte.
r 2
(5.46)
De aquí obtenemos que el punto de retorno5 rm (correspondiente a v(rm ) = 0 ) está dado por
1
1
v02
= − 12
rm rT
g(rT )rT2
(5.47)
Para que el cuerpo se pueda alejar hasta el infinito es preciso que v0 cumpla la condición
v0 ≥ ve = 2 g(rT )rT ≅ 11.2 km/s
(5.48)
La velocidad ve se llama velocidad de escape. Si v0 < ve el movimiento es ligado y el móvil
vuelve a caer. Si v0 > ve el móvil se aleja al infinito. Un cuerpo lanzado con la velocidad ve
llega a r = ∞ con velocidad nula. La velocidad de escape es igual a la velocidad con la cual un
cuerpo que cae (con velocidad inicial nula) desde el infinito llega a la superficie de la Tierra.
5
Estas fórmulas valen siempre y cuando se conserve la energía mecánica y por lo tanto no toman en cuenta la
resistencia del aire, que reduce la velocidad del móvil mientras éste se encuentra dentro de la atmósfera terrestre.
117
5. Trabajo y energía
La fórmula (5.48) de la velocidad de escape vale para cualquier cuerpo celeste, con tal de usar el
valor correspondiente del radio y de la aceleración de la gravedad en la superficie. Consideremos
la Luna: su radio es de 1738 km y la aceleración de la gravedad en su superficie es de 162.4 gal
(aproximadamente una sexta parte de la gravedad en la superficie de la Tierra). De la (5.48) obtenemos entonces que la velocidad de escape desde la Luna es de 2.38 km/s.
Oscilaciones de un resorte
Si desplazo el extremo de un resorte una distancia x desde el equilibrio (x es la elongación) el
resorte ejerce una fuerza que tiende a devolverlo al equilibrio, dada por
F = − kx
(5.49)
donde k es la constante del resorte (Fig. 5.10). La energía potencial correspondiente vale:
x
V = ∫ kx ′dx ′ = 12 kx 2 + V0
(5.50)
0
m
x
F = – kx
m
Fig. 5.10. Si desplazamos el extremo de un resorte una distancia x desde el equilibrio el resorte ejerce una fuerza F = − kx que tiende a devolverlo al equilibrio.
Es usual elegir V0 = 0 . Luego
V ( x ) = 12 kx 2
(5.51)
El movimiento de una masa m sometida a la fuerza (5.49) se describe por medio de la Fig. 5.11.
El movimiento es siempre ligado y consiste de una oscilación entre los puntos de retorno −a y
+a , dados por
a=
2E
k
(5.52)
Luego a es la amplitud de la oscilación. La energía de la oscilación es proporcional al cuadrado
de la amplitud. En los extremos de la trayectoria ( x = ± a ) la energía cinética de la masa es nula
y la energía mecánica es solamente potencial. En el punto medio ( x = 0 ) la energía potencial es
nula y le energía mecánica es puramente cinética. Por lo tanto a medida que el móvil se desplaza
alejándose de x = 0 , la energía cinética se transforma en energía potencial; viceversa a medida
que el móvil se acerca a x = 0 , su energía potencial se transforma en energía cinética.
118
5. Trabajo y energía
2V(x)/k
0.5
0.4
0.3
E
0.2
0.1
–a
–1
–0.75
–0.5
–0.25
0.25
0.5
a
x
0.75
1
Fig. 5.11. Diagrama de la energía para las oscilaciones de una masa movida por un resorte.
Consideraciones dimensionales sobre las oscilaciones
Claramente la oscilación está completamente definida dando k, m, a y la fase inicial ϕ 0 , cuyas
dimensiones son
[k ] = [ m / t 2 ] , [ m] , [a] = [l] , [ϕ 0 ] = 0
(5.53)
Todas las características del movimiento se deben poder expresar en términos de estos parámetros. En particular el periodo T de la oscilación no puede depender de ϕ 0 , luego
T ~ m/k
(5.54)
Por lo tanto el periodo de las oscilaciones del resorte no depende de la amplitud de las mismas6.
Nuestro análisis muestra que T es proporcional a m / k pero no permite conocer la constante
(numérica) de proporcionalidad. Podemos sólo suponer que esa constante es del orden de la unidad. Para determinar su valor exacto hay que resolver las ecuaciones del movimiento (cosa que
haremos en el Capítulo 6). Es interesante, sin embargo, hacer una estimación. ¿Cómo? Basándonos en consideraciones sobre el impulso y la cantidad de movimiento. Consideremos, por
ejemplo, qué sucede en un cuarto de período, cuando el móvil va de 0 hasta a. Será
∆p=
T/4
∫ Fdt
(5.55)
0
Pero ∆ p = − m vm donde la velocidad máxima vm = v( x = 0) vale vm = a k / m , luego
∆ p = −m a k / m
(5.56)
Por otra parte el miembro derecho de la (5.55) se puede escribir como FT / 4 donde F es el valor medio temporal de la fuerza. Obviamente F = q Fm , donde Fm = − k a y 0 < q < 1 . El factor q
6
La razón física de esto es la ley de fuerza (5.49), que determina las dimensiones de k.
119
5. Trabajo y energía
es menor que la unidad, pero próximo a ella pues el móvil pasa más tiempo cerca del punto de
retorno, donde tiene menos velocidad. Luego q d1. Por lo tanto
T/4
∫ Fdt
0
q
= − k aT
4
(5.57)
Entonces de (5.56) y (5.57) resulta
T=
4 m
q k
, q d1
(5.58)
En el Capítulo 6 veremos que T = 2π m / k de modo que q = 2 / π ≅ 0.64 , luego nuestra conjetura es correcta. El lector pensará que tiene poca gracia nuestra estimación siendo que se conoce
el valor exacto. Sin embargo es útil acostumbrarse a hacer estimaciones porque:
• para hacerlas se tiene que analizar la física del problema y evaluar la importancia relativa de
factores y efectos, lo cual mejora la comprensión del mismo;
• a veces el cálculo exacto es muy difícil o imposible; cuando eso ocurre las estimaciones son
el único recurso que queda para obtener algún resultado. Una estimación, por grosera que
sea, es siempre mejor que nada.
Variación de la energía mecánica por efecto de fuerzas no conservativas
La noción de sistema mecánico conservativo, para el cual el movimiento consiste en un juego en
el que la energía cinética aumenta a expensas de la energía potencial y viceversa, es una idealización ya que en realidad ningún sistema macroscópico es conservativo. En la práctica existen
siempre fuerzas no conservativas de una u otra clase7. Consideremos entonces el caso en que
algunas de las fuerzas que actúan sobre un móvil no son conservativas, de modo que
F = Fc + Fnc
(5.59)
donde Fc = ∇V es la resultante de las fuerzas conservativas y Fnc indica la resultante de las
fuerzas no conservativas que actúan sobre el móvil (fuerzas de rozamiento, resistencia del aire y
otras que tienden a disipar la energía mecánica o bien fuerzas que tienden a aumentarla, como
las que actúan cuando se produce una explosión). Si calculamos el trabajo, será
δ W = F ⋅ δ r = Fc ⋅ δ r + Fnc ⋅ δ r = −δ V + δ Wnc
(5.60)
Pero por el Teorema de la fuerza viva δ W = δ T . En consecuencia δ T = −δ V + δ Wnc , de donde
δ E = δ T + δ V = δ Wnc
(5.61)
Luego en general la energía mecánica no se conserva y su variación es igual al trabajo de las
fuerzas no conservativas. Si éstas se oponen al movimiento (como las fuerzas de roce), el trabajo
que realizan es negativo y la energía mecánica disminuye: hay lo que se llama disipación.
7
El movimiento de los cuerpos celestes, como los que integran el Sistema Solar, es quizás lo que mejor se
aproxima a un sistema conservativo ideal. Pero aún en ese caso hay fuerzas no conservativas provenientes de la
interacción de esos cuerpos con el gas y el polvo del espacio interplanetario y de otros efectos.
120
5. Trabajo y energía
Disipación de energía mecánica
La energía mecánica se puede disipar cuando actúan fuerzas no conservativas. Es así que las
oscilaciones de un resorte se amortiguan y finalmente cesa el movimiento. En este proceso desaparece la energía mecánica, pero no se aniquila: se transforma en otra clase de energía.
En ciertos casos la energía mecánica se transforma en calor: es un dato de la experiencia que la
fricción genera calor (todos saben que los frenos de un automóvil se calientan). Cuando se produce un fenómeno de esta clase, al desaparecer una cantidad de energía mecánica dada por
δ E = δ Wnc < 0
(5.62)
se produce una cantidad equivalente de calor:
δ Q = −δ Wnc
(5.63)
El calor es una forma de energía: a nivel microscópico es la energía mecánica debida a la agitación desordenada de las moléculas de todo medio material.
Las unidades de calor
El calor una forma de energía y se lo puede medir en la misma unidad que la energía mecánica
(por ejemplo J o erg). Pero como el concepto de calor se introdujo antes de saber que se trataba
de una forma de energía, se establecieron para el mismo unidades independientes de las unidades
mecánicas. La unidad de calor es la caloría (cal), que originalmente se definió como la cantidad
de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 g de agua de 14.5 ˚C a 15.5 ˚C. Posteriormente
se determinó la equivalencia entre las unidades de calor y energía midiendo el trabajo disipativo
necesario para producir 1 cal. Se encontró así que 1 cal = 4.1868 J. Hoy día se sigue empleando
la caloría en algunas aplicaciones, pero su definición actual es simplemente
1 cal = 4.186 J
(5.64)
Si se emplean las calorías o los Joules es puramente cuestión de conveniencia.
Transformaciones de la energía
La energía mecánica se puede transformar en calor produciendo una variación de la energía térmica o energía interna. Esta es sólo una de las transformaciones que puede sufrir la energía. Si
se toman en cuenta todas las formas de energía y todas las transformaciones, resulta que la energía total (suma de todas las formas) de un sistema aislado permanece constante. Luego la energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma y se transfiere de un sistema a otro8.
Así como la energía mecánica se transforma en energía interna, se puede dar el proceso inverso,
es decir la transformación Energía Interna ⇒ Energía Mecánica. Por ejemplo si se expande un
gas contenido en un cilindro moviendo el pistón, la fuerza debida a la presión del gas realiza un
trabajo sobre el pistón, que podemos usar para aumentar la energía mecánica del ambiente (por
ejemplo levantando una pesa). Al mismo tiempo el gas del cilindro se enfría y su energía interna
disminuye, a menos que compensemos esa pérdida de energía interna suministrándole calor
(para lo cual hay que poner el gas en contacto con una fuente térmica). En este último caso, el
8
Este hecho constituye la Primera Ley de la Termodinámica.
121
5. Trabajo y energía
resultado neto del proceso es que el calor que hemos suministrado al gas se ha convertido en
energía mecánica del ambiente, el gas ocupa un volumen mayor pero su energía interna es la
misma que antes de la expansión, y la fuente térmica ha perdido energía. Pero en esta clase de
transformaciones hay limitaciones: no es posible un proceso cuyo único resultado sea transformar totalmente en energía mecánica el calor extraído de una fuente térmica9. Sólo una parte del
calor extraído de la fuente se puede transformar en energía mecánica. El resto tiene que ser entregado en forma de calor a otra fuente más fría. No seguiremos más sobre estos temas. Basta
esto como introducción. El estudio de las transformaciones de la energía y de sus limitaciones es
materia de la Termodinámica.
No está demás señalar aquí que la energía es un bien útil y valioso, pero no hay que perder de
vista que la presencia de grandes cantidades de energía en pequeños volúmenes es potencialmente peligrosa. Esto es obvio en el caso de la energía química de un explosivo, pero la gente no
suele pensar en eso cuando se trata de la energía química almacenada en el tanque de un automóvil o de la energía cinética de un vehículo lanzado con alta velocidad, a pesar que todos los
días nos enteramos de las lamentables consecuencias que resultan si esas cantidades de energía
se liberan por accidente en forma imprevista y no deseada. Veremos en lo que sigue que las altas
densidades de energía pueden producir efectos catastróficos.
Caída de un objeto en el aire
Si un objeto cae en el aire su aceleración está dada por la ec. (4.52):
a= g−
Fa
1
=g−
Ca ρ f u 2 l2
m
2m
(5.65)
Aquí m es la masa del cuerpo, l es su dimensión lineal transversal al movimiento, u su velocidad, ρ f es la densidad del aire y el valor del coeficiente da arrastre Ca depende del numero de
Reynolds R (ver el Capítulo 4). Sabemos que en este caso se alcanza una velocidad límite v*
para la cual a = 0 . A partir del momento en que el móvil llega a la velocidad límite, se tiene que
v = v* = cte. y todo el trabajo de la fuerza de gravedad se disipa, dado que la energía cinética del
móvil no crece a medida que éste desciende y pierde energía potencial. Tendremos entonces que
δT = 0, δV = − mgδz y δWdis = − Faδz . Luego
δ E = − mgδz = − Faδz
(5.66)
¿En qué va a parar en este caso la energía mecánica que pierde el móvil? Esa energía queda en el
fluido, parte en forma de energía cinética del movimiento de las parcelas del fluido (que se ponen en movimiento debido al pasaje del móvil), parte como energía interna del mismo. En condiciones de arrastre turbulento ( R >> 1) el grueso va a parar a la energía cinética del movimiento
del fluido. Eso es lo que ocurre de inmediato. Es complicado describir lo que pasa después, pero
esencialmente lo que sucede es que los vórtices y remolinos de la turbulencia intercambian
energía entre sí, y de resultas de ello los vórtices pequeños ganan energía a expensas de los más
grandes. Al mismo tiempo la energía de los vórtices más pequeños se disipa por efecto de la
viscosidad, transformándose en energía interna. Se produce así lo que se llama una cascada en la
cual la energía pasa gradualmente de los vórtices grandes a los pequeños y de éstos a la energía
9
Este hecho se conoce como Segunda Ley de la Termodinámica.
122
5. Trabajo y energía
del movimiento desordenado de las moléculas del fluido. Al final del proceso el fluido queda de
nuevo en reposo y toda la energía que ganó a expensas de la energía mecánica del móvil acaba
en forma de energía interna, o sea de calor.
Impacto de bólidos
El impacto de cuerpos celestes es un proceso de fundamental importancia para la formación y la
evolución de los cuerpos del Sistema Solar y que alteró (y sigue alterando) las superficies de la
mayor parte de ellos debido a la formación de cráteres de impacto. El impacto en la Tierra de
grandes bólidos en el remoto pasado provocó catástrofes globales de resultas de las cuales ocurrieron extinciones masivas de especies. Desde nuestro punto de vista son un ejemplo espectacular de los efectos de la disipación de energía mecánica, que muestra la variedad de transformaciones de la energía.
Varias clases de objetos cósmicos pueden chocar con la Tierra y lo han hecho en el pasado como
lo muestra la evidencia geológica. Los impactores o meteoroides más grandes (afortunadamente
poco frecuentes) son asteroides o cometas; los menores son fragmentos de dichos cuerpos, trozos de roca de la superficie de algún planeta arrojados al espacio de resultas de un impacto anterior, u objetos primordiales. Los meteoroides más pequeños se destruyen en la atmósfera y sus
trayectorias visibles dan lugar a meteoros tales como estrellas fugaces y bolas de fuego; los meteoritos son los restos de esos cuerpos que sobrevivieron y llegaron el suelo. Aquí nos ocuparemos de meteoroides cuyo tamaño es de 100 m o más, cuyo impacto puede producir catástrofes
de escala local, regional e incluso global.
Los asteroides y cometas orbitan alrededor del Sol y cuando llegan a las proximidades de nuestro planeta sus velocidades vb son del orden de 30 km/s para los asteroides y 40 km/s para los
cometas. La velocidad orbital vT de la Tierra es de unos 30 km/s. La velocidad relativa vr de
uno de esos cuerpos respecto de la Tierra depende del ángulo con que se intersecan las respectivas órbitas y su valor (Fig. 5.12) está comprendido entre
vT − vb ≤ vr ≤ vT + vb
vT
bólido
D
Tierra
(5.67)
v
vb
Fig. 5.12. La velocidad relativa de un cuerpo respecto de la Tierra depende del ángulo con
que se intersecan las respectivas órbitas.
123
5. Trabajo y energía
Al acercarse a la Tierra el impactor se acelera al caer en el campo gravitatorio terrestre. Podemos
estimar el efecto que esto tiene sobre la velocidad vi con que choca con nuestro planeta a partir
de la conservación de la energía mecánica. Lejos de la Tierra la energía del bólido es puramente
cinética y vale T = T∞ = mb vr2 / 2 . Al llegar a la superficie T = T (rT ) = mb vi2 / 2 y su energía potencial es V (rT ) = − mb g(rT )rT (5.25). Por conservación de la energía mecánica
T (rT ) + V (rT ) = T∞
(5.68)
Usando la expresión (5.48) de la velocidad de escape obtenemos
vi2 = vr2 + ve2
(5.69)
De aquí y de (5.67) resulta que vi es como mínimo ve ≅ 11.2 km/s y como máximo unos
70 km/s . Un valor típico para un impacto asteroidal es 20 km/s mientras que para un impacto
cometario es de 56 km/s. Podemos entonces suponer que 30 km/s es la típica escala de velocidad
asociada con los impactos.
La energía cinética específica de un bólido de masa mb cuya velocidad es vi vale
ε i = Ti / mb = vi2 / 2 ≅ 450 V 2 (MJ/kg) , V ≡ vi ( km/s) / 30
(5.70)
donde V es del orden de la unidad. El valor de ε i es mucho mayor que la energía química específica de un explosivo como el TNT ( ε TNT ≈ 4.7 MJ/kg ). Luego a igual masa el contenido de
energía cinética de un bólido lanzado a 30 km/s es 100 veces mayor que la energía química de
un explosivo militar. La comparación es apropiada pues veremos que al chocar con el suelo el
bólido libera su energía cinética (es decir la disipa) en forma de una explosión.
Los cometas son una mezcla porosa de hielo y polvo y su densidad media es ρb ≈ 0.6 g/cm 3 . La
mayoría de los asteroides y de sus fragmentos son rocosos ( ρ ≈ 2.3 − 3.5 g/cm 3 ), pero una pequeña fracción de ellos son metálicos (esencialmente hierro, ρ ≈ 7.8 g/cm 3 ). Su porosidad varía
desde 0 hasta un 70%. Según su composición y porosidad, su densidad media ρb está comprendida entonces entre 1 y 7 g/cm3. La forma de los asteroides y los cometas es irregular y sus dimensiones lineales van desde algunas decenas de metros a varias decenas de km. Para evitar
factores numéricos no esenciales en nuestras fórmulas vamos a suponer que el impactor es un
cubo de arista d. Resulta entonces
3 V2
Ti ( ton TNT) ≅ 108 ρb,cgs dm
(5.71)
Aquí ρb,cgs ≡ ρb (g/cm 3 ) , dm ≡ d ( m ) y expresamos la energía cinética en términos de toneladas
de TNT o de sus múltiplos como el kiloton y el megaton10.
El estudio del impacto es muy difícil. De hecho no se pueden encontrar soluciones exactas ni
que se expresen en términos de fórmulas cerradas y funciones conocidas. Esta es una situación
que se presenta a menudo cuando se estudian fenómenos de la naturaleza y lo que se hace en
esos casos es recurrir a simulaciones numéricas basadas en sofisticados códigos. Cabe pregun-
10
El megaton es aproximadamente equivalente a la energía liberada en la detonación de 106 toneladas de TNT. Por
definición 1 megaton (Mton) = 4.184 × 1015 J.
124
5. Trabajo y energía
tarse entonces de qué sirven las estimaciones11. La respuesta es que no se puede encarar el desarrollo de un código si no se tiene una idea previa de cuál es la física que tiene que contemplar.
Aún contando con los más poderosos supercomputadores, ningún código puede incluir todos los
procesos y efectos imaginables. Por lo tanto hay que tener criterios para decidir qué se debe incluir y qué se puede omitir sin temor de descuidar aspectos fundamentales. Por eso las estimaciones son un paso previo indispensable cuando se aborda un problema de esta clase.
Para nuestras estimaciones numéricas usaremos un bólido “patrón” para el cual ρb = 2.5 g/cm 3 ,
d = 100 m , vi = 30 km/s , que entra en la atmósfera con una inclinación θ = 45˚ desde la vertical.
Con estos datos resulta Ti ≅ 270 megatones (unas 10000 veces más que la energía conjunta de
las explosiones atómicas que destruyeron Hiroshima y Nagasaki a fines de la Segunda Guerra
Mundial). Puesto que existen en el sistema Solar numerosos objetos cuyos tamaños llegan hasta
varias decenas de km o más, que circulan en órbitas que pueden llegar a intersecar la de la Tierra, y dado que Ti escala como d 3 , está claro que se trata de objetos en extremo peligrosos.
Impacto de un bólido a hipervelocidad
Si nada frena al bólido antes de estrellarse12, como ocurre en la Luna, el cuerpo al llegar al suelo
conserva su velocidad cósmica vi . Veamos qué sucede entonces.
Penetración y frenado
La velocidad cs de las ondas elásticas en la corteza terrestre (que pueden transportar energía lejos
del punto del impacto) es a lo sumo de 3 – 5 km/s, según sea el material de la misma. Luego
cs << vi
(5.72)
Mientras su velocidad está muy por encima de cs el impactor interactúa sólo con el material que
se lleva por delante. El material embestido es empujado por el proyectil, dejando detrás un túnel
(Fig. 5.13). Por lo tanto durante la fase principal del frenado la perturbación afecta apenas una
capa muy delgada alrededor de dicho túnel. Consideramos despreciable esa pequeña capa. El
modelo que resulta de esta hipótesis recibe el nombre de modelo de barrenieve, o de topadora.
Si ρs es la densidad del suelo, la masa barrida por el impactor en un intervalo dt es
dms = ρs v dt d 2 . Esta masa adquiere la velocidad v, y por lo tanto la cantidad de movimiento
dps = dms v = ρs v 2 dt d 2
(5.73)
Por conservación de la cantidad de movimiento,
dps + dpb = 0
(5.74)
Luego en dt el bólido pierde la cantidad de movimiento dpb = − ρs v 2 dt d 2 , de modo que la
magnitud de la fuerza de arrastre es
Fa =
11
dpb
= ρs v 2 d 2
dt
Se advierte al lector que para entender bien algunos aspectos de nuestras estimaciones conviene haber leído
previamente los Capítulos 12, 14 y 15 de este libro.
12
(5.75)
Veremos que la atmósfera puede frenar cuerpos de pequeño tamaño.
125
5. Trabajo y energía
En la (5.75) se reconoce la expresión (4.74) de la fuerza de arrastre. Como mb ≈ ρb d 3 , la ecuación de movimiento es
dv
v2
=−
dt
l
(5.76)
donde hemos introducido la longitud característica de frenado
l=
ρb
d
ρs
(5.77)
d
vi
Fig. 5.13. Impacto a hipervelocidad en el suelo. Mientras la velocidad del cuerpo es mucho
mayor que la cs el proyectil interactúa sólo con el material que encuentras en su camino,
de modo que durante la fase principal del frenado el impacto no perturba lugares alejados
y sólo afecta una zona despreciable alrededor del túnel que excava el proyectil.
La (5.76) se puede escribir como d (1 / v) = dt / l , que se integra de inmediato dando
1 1 t
= +
v vi l
(5.78)
de donde obtenemos
v=
vi
1 + vi t / l
(5.79)
Luego la velocidad disminuye hiperbólicamente en el tiempo característico
t* =
l ρb d
=
vi ρs vi
(5.80)
La distancia característica de frenado l corresponde a un espesor de suelo tal que la masa barrida es igual a la masa del proyectil. En pocas palabras, en el intervalo t * el bólido penetra en
126
5. Trabajo y energía
el suelo hasta una distancia l, su velocidad se reduce a la mitad y por lo tanto se disipan las 3/4
partes de su energía cinética, esto es, el grueso de la misma (Fig. 5.14).
1.0
0.8
v(t)/vi
0.6
0.4
T(t)/Ti
0.2
0.0
0.5
1.0
t/t*
1.5
2.0
Fig. 5.14. Mientras el impactor se entierra en el suelo su velocidad disminuye hiperbólicamente con t. El tiempo característico de frenado es t* = l / vi y la distancia característica
l de frenado corresponde a un espesor de suelo tal que la masa barrida es igual a la masa
del proyectil. En t * el bólido recorre la distancia l, su velocidad se reduce a la mitad y se
disipan las 3/4 partes de su energía cinética.
Luego si nuestro bólido patrón impacta sobre un suelo rocoso ( ρs ≅ 2.5 g/cm 3 ) se enterrará a
una profundidad l ≈ 100 m en t* ≈ 3 × 10 −3 s disipando una energía equivalente a 270 megatones. En ese tiempo la perturbación se habrá alejado a una distancia c t* ≈ 10 − 15 m del lugar del
impacto. Lo que sucede después que la velocidad ha disminuido hasta hacerse sónica es difícil
de describir en detalle. Pero las características esenciales del fenómeno no dependen de eso, sino
de consideraciones generales que se puedan hacer fácilmente.
La atmósfera puede frenar un bólido?
Cada año ingresan en la atmósfera unos 1500 meteoroides de más de 100 kg, que si llegaran al
suelo sin frenarse producirían explosiones equivalentes a 10 toneladas de TNT o más. Afortunadamente la atmósfera brinda cierta protección contra estos peligrosos proyectiles. En efecto,
mientras cruza la atmósfera el bólido está sometido a esfuerzos mecánicos debidos al frenado
causado por la fuerza de arrastre (ver el Capítulo 4). Estos esfuerzos lo pueden fracturar y reducir a fragmentos si la presión de estancamiento pe = 12 ρa v 2 (v es la velocidad del bólido y ρa es
la densidad del aire) supera la resistencia mecánica Yb del cuerpo. Por ejemplo si v = 17 km/s,
pe ≈ 1.7 kbar al nivel del suelo. Por otra parte las propiedades mecánicas de los impactores no
se conocen bien. Algunos de esos cuerpos (llamados “pilas de escombros”) son aglomerados de
pequeños fragmentos ligados muy débilmente por su atracción gravitatoria mutua y su resistencia mecánica es casi nula, pero otros son monolíticos y su resistencia puede ser de algunos kbar.
Además muchos impactores son muy porosos, hecho que puede tener efectos importantes sobre
su deformación y fragmentación. Aquí no vamos a entrar en detalles sobre este complicado
asunto y nos limitaremos a mencionar que se puede mostrar que la mayoría de los cuerpos
rocosos y cometarios de pequeño tamaño ( d d100 m) se desintegran y disipan su energía en la
atmósfera. Por otra parte objetos metálicos de pequeño tamaño pueden llegar al suelo enteros.
Por lo tanto el lector debe ser prudente al usar nuestras estimaciones cuando se trata de objetos
127
5. Trabajo y energía
con d d100 m. Pero para tamaños mayores se puede ignorar la ruptura cualquiera sea la resistencia mecánica del impactor, porque la escala temporal del proceso de fragmentación crece linealmente con d y para d > 100 m se hace mayor que el tiempo requerido para atravesar la atmósfera. En esos casos se puede suponer que el bólido llega al suelo como un único cuerpo.
Si no ocurre fragmentación podemos estimar el efecto de la atmósfera sobre el movimiento de
un proyectil que llega con una velocidad muy grande (hipervelocidad) por medio del modelo de
barredora de nieve que usamos anteriormente. Para ello tenemos que observar que la velocidad
de agitación térmica de las moléculas del aire ( ≈ 0.3 km/s) es despreciable frente a la velocidad
del bólido. Todo ocurre en la práctica como si estuvieran inmóviles.
q
(a)
q
ha
(b)
Fig. 5.15. Ingreso de un bólido en la atmósfera: (a) geometría del problema, (b) modelo
aproximado empleado para las estimaciones.
La densidad del aire es ρa ≈ 1.2 × 10 −3 g/cm 3 al nivel del mar y disminuye con la altura, además
en general la trayectoria del bólido es oblicua y se debe tomar en cuenta la curvatura de la Tierra
(Fig. 5.15a). Pero como sólo nos interesa calcular órdenes de magnitud, supondremos que la
atmósfera es una capa plana (Fig. 5.15b) de densidad uniforme ρa ≈ 1.2 × 10 −3 g/cm 3 y de espesor ha = p0 / gρa ≈ 8.6 km ( p0 ≈ 1 bar es la presión13 atmosférica al nivel del suelo).
Con un razonamiento parecido al que hicimos antes obtenemos que la fuerza de arrastre vale
Fa = τρa v 2 d 2
13
El bar es un unidad de presión (1 bar = 105 N/m2 ) que equivale aproximadamente a una atmósfera.
128
(5.81)
5. Trabajo y energía
Aquí τ ≅ 1 / 2 es un factor que toma en cuenta los detalles del flujo alrededor del impactor. El
tiempo que tarda el bólido en cruzar la atmósfera es del orden de ha / v cosθ , luego la variación
de su cantidad de movimiento por el impulso de Fa es ∆p ≈ − ha / v cosθ = −τρa ha vd 2 / cosθ , de
modo que la variación relativa de la cantidad de movimiento del impactor es
∆p
τρa ha
=−
= −ε
p
ρb d cosθ
(5.82)
Luego, siempre y cuando no se fragmente, si el parámetro
ε=
τρa ha
<< 1
ρb d cosθ
(5.83)
el bólido chocará con el suelo sin haber perdido una fracción importante de su cantidad de movimiento. Se debe observar que ε es inversamente proporcional a d, de modo que los meteoroides grandes, para los cuales ε << 1 (por ejemplo ε ≈ 0.03 para nuestro bólido patrón) se frenan
muy poco en la atmósfera. También se puede ver que la energía cinética de bólidos con ε << 1
es siempre mayor que varios megatones.
Es sencillo estimar el efecto del aire sobre la trayectoria de un bólido grande. Puesto que con
buena aproximación v se mantiene constante, cruzará la atmósfera en un lapso del orden de
ta =
0.3 (s)
ha
≈
vi cosθ V cosθ
(5.84)
La desviación en radianes de la trayectoria del bólido respecto una recta debida a la aceleración
de la gravedad es
gta sen θ
tan θ
≈ 10 −4 2
vi
V
(5.85)
y claramente es despreciable excepto si θ ≈ π / 2 .
Si el bólido no pierde masa mientras cruza la atmósfera, usando la (5.82) resulta que llega al
suelo con la velocidad vi (1 − ε ) y la energía cinética Ti (1 − 2ε ) , de modo que la energía disipada
en la atmósfera es Ed ≈ 2εTi . De acuerdo con este resultado nuestro bólido patrón al cruzar la
atmósfera pierde el 6% de su energía cinética, esto es 16 megatones.
No discutiremos aquí lo que ocurre con meteoroides pequeños ( εt1). Todos ellos se destruyen
por completo, la mayoría en la alta atmósfera. Por otra parte veremos en breve que la pérdida de
masa de los impactores de gran tamaño es despreciable.
Explosión y formación del cráter de impacto
Vimos que nuestro bólido patrón al chocar con el suelo se frena en 3 milisegundos, tiempo en el
cual disipa una energía cinética equivalente a 254 megatones14 dentro de un volumen de
~ 10 6 m 3 que contiene una masa 2 mb ≈ 5 × 10 9 kg . Esta energía cinética se convierte en energía
interna de dicha masa y equivale en promedio a 225 MJ/kg, cantidad más que suficiente para
vaporizar cualquier material (el calor latente de vaporización de las rocas es del orden de 8
14
Al cruzar la atmósfera disipó 16 megatones de los 270 que traía.
129
5. Trabajo y energía
MJ/kg) y llevar el vapor a una temperatura del orden de 104 – 105 ˚K. Por lo tanto el bólido y la
masa del suelo que barrió se vaporizan de inmediato. La liberación casi instantánea de esta
enorme cantidad de energía provoca una explosión centrada a una profundidad d, cuya magnitud
en nuestro ejemplo supera ampliamente la de las mayores bombas nucleares.
En efecto, la presión del vapor que se produce se puede estimar por razones dimensionales como
p* ≈ Ti / d 3 , lo que da
p * (Mbar) ≈ 10 ρb,cgsV 2
(5.86)
Este es un valor enorme15, que supera por más de 3 órdenes de magnitud la resistencia mecánica
de cualquier material. Como nada puede contener semejante presión, se produce una poderosa
onda de choque que a medida que se expande alrededor del punto de impacto desmenuza y pulveriza la corteza y lanza los fragmentos (llamados ejecta) hacia arriba y a los costados16. dejando
una cavidad aproximadamente semiesférica llamada cráter transitorio (Fig. 5.16a). Este proceso
de excavación continúa hasta que la onda de choque se atenúa al punto que ya no puede fracturar
las rocas de la corteza, luego de lo cual se propaga como una onda sísmica.
D
D
(a)
(b)
Fig. 5.16. Formación de un cráter de impacto: (a) la explosión desmenuza el suelo cerca
del punto de impacto y lanza los fragmentos hacia arriba y a los costados dejando una cavidad transitoria (gris oscuro); (b) las paredes de la cavidad transitoria se derrumban, parte
de los fragmentos cae dentro de la misma y en sus alrededores y el cráter toma su forma
definitiva.
Podemos estimar el tamaño del cráter transitorio comparando la energía Ti de la explosión con
la energía Ec necesaria para fragmentar los materiales del suelo y con la energía potencial gravitatoria Eg que hay que suministrar a los fragmentos para que salgan del cráter. El orden de
magnitud de Ec resulta de multiplicar el volumen de una semiesfera de diámetro D por la carga
de ruptura Y del material del suelo. Resulta entonces (redondeando π ≈ 3) que
Ec ≈ YD3 / 4
15
16
(5.87)
1Mbar = 106 bar = 1011 N/m2.
Los fragmentos expulsados tienen toda clase de tamaños, desde partículas de polvo hasta grandes bloques de roca
y salen disparados en trayectorias balísticas con enormes velocidades. Algunos de ellos, cuya velocidad supera la
velocidad de escape, se alejan permanentemente y quedan en órbita alrededor del Sol. Otros vuelven a caer, algunos
muy lejos del punto del impacto, otros más cerca. Los mayores pueden a su vez dar lugar a impactos secundarios
con formación de cráteres.
130
5. Trabajo y energía
El valor de Y para la corteza terrestre oscila entre 0.2 y 0.4 kbar; de ahora en más haremos los
cálculos con Y = 0.3 kbar . Por otra parte Eg se puede estimar como el peso de la masa contenida
en una semiesfera de diámetro D, multiplicado por su profundidad media que es 3 D / 16 .
Redondeando como antes el factor numérico resulta
Eg ≈ ρs gD4 / 20
(5.88)
Ec
5Y
5h *
≈
=
Eg ρs gD
D
(5.89)
Y
≈ 1.2 km
ρs g
(5.90)
La relación entre Ec y Eg está dada por
donde el parámetro
h* ≡
es la altura para la cual la energía potencial gravitatoria es igual a la energía de cohesión.
Si D << 5h* ≈ 6 km tendremos Ec >> Eg , e igualando Ti y Ec obtenemos la ley de escala
D ~ ( 4Ti / Y )1 / 3
(5.91)
D( km ) ≈ 0.81[Ti (Mton )]1 / 3
(5.92)
Para Y = 0.3 kbar resulta
Sustituyendo en (5.87) el valor de Ti dado por la (5.72) se obtiene
D
2/3
≈ 39 ρ1/3
b, cgsV
d
(5.93)
Si en cambio D >> 5h* ≈ 6 km tendremos Eg >> Ec y domina la gravedad; la correspondiente
ley de escala se obtiene igualando Ti y Eg y es
D ~ (20Ti / ρs g)1 / 4
(5.94)
D( km ) ≈ 1.74 [Ti (Mton ) / ρs,cgs ]1 / 4
(5.95)
de donde se obtiene
Sustituyendo el valor de Ti resulta
D
≈ 138 dm−1 / 4 [ ρb / ρs ]1/4 V 1 / 2
d
(5.96)
Para impactos sobre la Tierra la transición entre las leyes de escala debidas a la cohesión y a la
gravedad ocurre para energías de impacto de unos 400 megatones (Fig. 5.17).
131
5. Trabajo y energía
lnD
D ~ Ti1/4
domina Y
6 km
domina g
D ~ Ti1/3
400 Mton
lnTi
Fig. 5.17. Si la energía Ti del impactor es menor que unos 400 Mton el tamaño del cráter
de impacto está determinado por la cohesión del suelo y D ~ Ti1 / 3 ; en cambio cuando Ti
supera los 400 Mton el tamaño está determinado por la gravedad y D ~ Ti1 / 4 .
Se debe mencionar que las leyes de escala que hemos obtenido se refieren al cráter transitorio,
que no coincide ni en su forma ni en su tamaño con la estructura de impacto que queda. Esta
última (Fig. 5.16b) está determinada por varios procesos que dependen de la magnitud del impacto e incluyen el derrumbe de las paredes del cráter transitorio, el rellenado parcial de la cavidad por la caída de fragmentos, la formación eventual de un pico central o de relieves en forma
de anillos y la efusión de magma.
Una de las consecuencias de las explosiones que producen los cráteres de impacto es que el bólido se destruye por completo. Las tremendas aceleraciones durante el frenado implican esfuerzos que ningún material resiste. Es un hecho que en los grandes cráteres de impacto no se encuentran nunca fragmentos grandes del proyectil. También se debe mencionar que la mayor
parte del material expulsado del cráter está frío, pues la masa que se calienta y vaporiza es una
fracción muy pequeña del total afectado por el fenómeno. En efecto, como D >> d la masa expulsada (del orden de ρc D3 ) es mucho mayor que la masa vaporizada (del orden de ρb d 3 ).
Uno de los más conocidos cráteres de impacto es el Meteor Crater de Arizona, cuyo diámetro es
de 1.22 km, la explosión que lo produjo ocurrió hace 50000 años y liberó entre 20 y 40 megatones. En un artículo de R. Grieve (Terrestrial Impact Structures, Ann. Rev. Earth Planet. Sci. 15,
245-270, 1987) figura una lista de 116 cráteres de impacto conocidos, cuyos diámetros están
comprendidos entre 0.01 km y 140 km. Un lista más reciente17 incluye 171 cráteres de impacto,
el mayor de los cuales (Vredefort, Sudáfrica) tiene 300 km de diámetro y corresponde a
Ti ≈ 6 × 108 megatones. Cuesta imaginar la pavorosa catástrofe ocasionada por ese impacto,
piense el lector que la explosión fue 60000 veces más poderosa que lo que sería la explosión
simultánea de todo el arsenal nuclear mundial, que asciende a unos 104 megatones. Para producir
un cráter de 100 km de diámetro hace falta (si v1 = 30 km/s ) un bólido de unos 3 km de diámetro. El volumen excavado es del orden de 104 km3. Parte de esta enorme cantidad de material va
a parar a la atmósfera en forma de polvo. Es obvio que el cataclismo resultante provoca importantes consecuencias sobre el clima y las condiciones de vida en la Tierra. Si el bólido en lugar
de caer en el suelo cayera en el agua las consecuencias también serían catastróficas. Afortunadamente para nosotros esos eventos son muy raros (Fig. 5.18).
17
Ver www.unb.ca/passc/ImpactDatabase/ .
132
Intervalo medio de tiempo (años) entre impactos sobre la Tierra
5. Trabajo y energía
10
10
Impactores de 1 µm observados por el
Space Shuttle, cada 30 µs
–12
–10
10 –8
10 –6
Estrellas fugaces ; 1 mm, cada 30 s
10 –4
10 –2
Meteoritos
1 m, cada año
1
10
10
10
10
2
4
Meteor Crater (Arizona)
100 m, cada 10.000 años
6
Sudbury, Ontario
10 km, cada 100 Ma
8
10
–6
–4
10
–2
10
1
10
2
4
10
6
10
10
8
10
10
Diámetro del impactor (metros)
Fig. 5.18. Intervalo medio entre impactos en la Tierra de objetos de diferente tamaño.
Obsérvese que la probabilidad de los impactos disminuye con el tamaño del impactor. Esto
se debe a que los bólidos grandes son mucho menos abundantes que los pequeños.
Disipación de energía durante el frenamiento en el aire
La física del ingreso de meteoroides en la atmósfera es sumamente compleja. Afortunadamente,
para meteoroides de gran tamaño ( ε << 1) se pueden hacer estimaciones sencillas porque esos
cuerpos cruzan la atmósfera con una velocidad prácticamente constante y disipan una pequeña
fracción de su energía cinética18. La potencia disipada durante el frenamiento de un bólido que
atraviesa el aire es enorme, así como son enormes las fuerzas y aceleraciones en juego. Al nivel
del suelo el arrastre aerodinámico vale
Fa = τρa vi2 d 2 ≈ 1.1 × 10 9 τV 2 dm2 ( N )
18
(5.97)
Se debe notar, sin embargo, que la disipación de muchos megatones en la atmósfera puede por sí misma dar lugar
a efectos catastróficos.
133
5. Trabajo y energía
y la potencia disipada se puede estimar como
2 V 3 ( TW)
P = Fa vi = ρa d 2 vi3 ≅ 32 τ dm
(5.98)
En comparación la potencia eléctrica instalada en nuestro país asciende a unos 0.01 TW.
La energía disipada durante el ingreso se transfiere a la atmósfera por medio de tres procesos: (a)
delante del bólido se desarrolla una onda de choque y el aire que la cruza se calienta adiabáticamente; (b) la superficie del bólido se calienta al absorber la radiación que emite al aire que se
calentó al cruzar la onda de choque, lo que produce la fusión y evaporación de material; (c) el
material perdido por el bólido entrega finalmente su energía a la atmósfera.
Estimaremos primero la pérdida de masa de un meteoroide de gran tamaño. La onda de choque
fuerte que se desarrolla delante del mismo disocia las moléculas del aire y las ioniza. Estos procesos consumen la mayor parte de la energía disipada y por este motivo la temperatura del gas
que atravesó la onda de choque se estabiliza. En estas condiciones se puede mostrar19 que independientemente de vi , la radiación emitida por el gas caliente corresponde a una temperatura T
que depende de la mezcla de gases que intervienen en el proceso. Para el aire T ≈ 20000˚K . Esta
radiación determina el calentamiento del bólido de modo que la potencia que éste absorbe no
depende de su velocidad20. La potencia absorbida por el impactor es entonces
Pa = 6 d 2 caσT 4
(5.99)
donde ca ≤ 1 es el coeficiente de absorción y σ = 0.567 × 10 –7 W/m 2 ˚K 4 es la constante de
Stefan-Boltzmann. La potencia absorbida calienta la superficie, que se funde y se vaporiza por lo
cual la temperatura superficial del bólido no puede superar la temperatura de ebullición del material. Por lo tanto el flujo de masa que se evapora es
Fm = Pa / 6 d 2 L
(5.100)
donde L ( = 2, 8 y 5 MJ/kg para hielo, rocas e hierro, respectivamente) es el calor latente de vaporización. De (5.99) y (5.100) resulta que Fm = caσT 4 / L . La masa evaporada al atravesar la
atmósfera es ∆mb = 6 d 2 Fmta = Pata / L y la fracción de masa perdida por el impactor es
∆mb
6caσT 4 ha
2.27ca
ε
=
≈
mb
Lρb vi d cosθ
τLV
(5.101)
De aquí se ve que ∆mb / mb es inversamente proporcional a d. Para nuestro bólido patrón resulta
(suponiendo ca = 1) que ∆mb / mb ≈ 0.027 . Estos resultados justifican nuestra hipótesis anterior
de que cuando se trata de bólidos de gran tamaño se puede ignorar la pérdida de masa.
También se puede mostrar que el calor no penetra de modo apreciable al interior del impactor.
En efecto, por medio de consideraciones dimensionales se encuentra que la profundidad a la que
penetra el calor en el tiempo ta es δ ≈ ( Kta / Cρb )1 / 2 , donde K es la conductividad térmica y C
el calor específico del medio. Introduciendo valores razonables para estos parámetros (K ≈ 20
19
La demostración excede el nivel de este texto y por eso no la damos.
20
Este régimen no se da para los meteoroides pequeños, que disipan la mayor parte de su energía cinética en la alta
atmósfera.
134
5. Trabajo y energía
J/m s ˚K , C ≈ 440 J/kg) obtenemos δ ≈ 3 mm. Esta estimación muestra que independientemente
de d el interior del bólido permanece frío mientras sus capas superficiales se evaporan. Se puede
también observar que
Pa 6caσT 4
c
=
≈ 1.7 × 10 −3 a3
3
P
τρa vi
τV
(5.102)
de modo que en este régimen el bólido absorbe una fracción muy pequeña de la energía disipada
mientras cruza la atmósfera.
Vamos ahora a discutir brevemente posibilidad de que el bólido se fragmente. La presión que se
ejerce sobre el mismo debido al frenado vale
p = Fa / d 2 = τρa vi2 ≈ 6 V 2 ( kbar)
(5.103)
Fa
ρ v2
V2
= τ a i ≈ 2 × 10 4
g
mb
ρb d
dm
(5.104)
y la magnitud de la aceleración es
a=
Si Y es la resistencia mecánica del impactor, la condición para que se fracture es
τρa vi2 ≈ 6 V 2 (kbar) > Y
(5.105)
La condición (5.105) no depende del tamaño del objeto y se cumple siempre si Y ≈ 0.3 kbar que
es un valor razonable para un objeto de tamaño grande, pero si V es apreciablemente menor que
1 no se cumple para un bloque de hierro o un monolito, cuya carga de ruptura es mucho mayor.
Por eso los meteoritos que se ven en los museos llegaron al suelo sin romperse.
Hay que observar, sin embargo, que la (5.105) es una condición necesaria, pero no suficiente
para que el bólido se fragmente ya que se debe tomar en cuenta el tiempo necesario para que se
produzca la fractura y el tipo de deformación que ocurre. La presión (5.101) debida al frenado
actúa sobre la cara anterior del bólido y tiende a comprimirlo en sentido antero-posterior y hacerlo más chato y más ancho. Haciendo una aproximación muy grosera podemos suponer que la
mitad anterior del bólido (cuya masa es mb / 2 ) es acelerada por una fuerza pd 2 hacia la mitad
posterior. Podemos definir entonces una escala temporal de compresión tc como el tiempo necesario para que la mitad anterior se desplaze en d / 2 hasta superponerse a la mitad posterior. De
esto resulta que
d ρ 
tc =  b 
vi  2τρa 
1/ 2
(5.106)
de modo que tc es proporcional a d. Comparando tc con ta obtenemos
 ρ 
tc
d
= cosθ  b 
ta ha
 2τρa 
1/ 2
≈
135
d (m)
cosθ [ ρb (cgs)]1 / 2
290
(5.107)
5. Trabajo y energía
De todo lo dicho podemos sacar las siguientes conclusiones para meteoroides de gran tamaño
( ε << 1):
(a) Los bólidos de cualquier clase con d t 300 m tienen tc > ta y llegan al suelo como un único
cuerpo.
(b) Los cuerpos con d d 100 m tienen tc d ta . Si son cometas o asteroides rocosos se fracturarán
y sufrirán importantes deformaciones. Sin embargo no es fácil prever si se fragmentarán en el
aire o si llegarán al suelo, pues esto depende del tipo de deformación que sufran. Se ha sugerido
que el aplastamiento y consiguiente ensanchamiento del impactor, al reducir su espesor y por lo
tanto su poder de penetración (dado por el producto de la densidad por el espesor), hacen que la
aceleración de frenado aumente catastróficamente y el bólido disipe toda su energía cinética en
la atmósfera dando lugar a una explosión en el aire21. Pero se debe observar que para que el proceso que se acaba de describir ocurra es necesario que la densidad del bólido se mantenga constante a fin que se ensanche a medida que se aplasta. No está claro que esto ocurra cuando el bólido es poroso (y muchos lo son) pues en este caso se puede aplastar compactándose y sin ensancharse, con lo cual su poder de penetración no varía y tampoco varía la aceleración de frenado.
Conclusiones
En esta somera discusión de la física del impacto de bólidos hemos tocado solamente algunos
aspectos del fenómeno y muchos más no han sido siquiera mencionados. Por ejemplo, no hemos
dicho nada acerca de las perturbaciones atmosféricas ocasionadas por el ingreso de un cuerpo de
gran tamaño que se desplaza a hipervelocidad, no hemos comentado los efectos sísmicos del
impacto, ni de la recaída de los ejecta de diferentes tamaños, ni tampoco las particularidades de
un impacto oceánico, un tema muy importante dado que 2/3 de la superficie de nuestro planeta
están bajo el agua. El tema es demasiado vasto para tratarlo exhaustivamente aquí22.
Sin embargo nuestra discusión, pese a ser incompleta, muestra al lector dos aspectos que queremos subrayar. Uno es la riqueza y variedad de fenómenos involucrados en la disipación y redistribución de la energía cinética del impactor y en sus sucesivas transformaciones en otras formas
de energía, que conforman una cascada de enorme complejidad. El segundo es la utilidad de
formular modelos simples, que aunque groseros, permiten que el lector capte los aspectos más
importantes de algunos de estos procesos y estime el orden de magnitud de sus efectos.
21
Tal cosa parece haber ocurrido con el objeto que cayó en Tunguska (Siberia) en 1908, que no llegó al suelo pero
produjo una explosión de 15 megatones. Se supone que se trató de un objeto rocoso cuyas dimensiones eran de unos
40 m.
22
Una presentación de nivel divulgativo del tema se encuentra en el artículo Impactos catastróficos y extinciones, J.
Gratton, Ciencia e Investigación 46, nº 2, 61-79, 1993.
136