Download Descripción de fuerza y movimiento Descripción de

Descripción de fuerza y movimiento 1
Descripción de movimiento
A fin de encontrar las leyes que gobiernan los diversos cambios que experimentan los
cuerpos a medida que el tiempo transcurre, debemos estar en condiciones de describir los
cambios y tener alguna manera de registrarlos. El cambio más simple observable en un
cuerpo es el cambio aparente en su posición con el tiempo, al cual llamamos movimiento.
Consideremos algún objeto sólido con una marca permanente que podemos observar, que
llamaremos punto. Discutiremos el movimiento del pequeño marcador, el cual podría ser la
tapa del radiador de un automóvil o el centro de una pelota que está cayendo, y trataremos
de describir el hecho de que se mueve y cómo se mueve.
Estos ejemplos pueden parecer triviales, pero en la descripción del cambio entran muchas
sutilezas. Algunos cambios son más difíciles de describir que el movimiento de un punto en
un objeto sólido, por ejemplo la velocidad de deriva de una nube que se mueve muy
lentamente, pero formándose o evaporándose rápidamente, o el cambio de opinión de una
persona. No conocemos una manera simple para analizar un cambio de opinión, pero ya que
la nube se puede representar o describir por muchas moléculas, en principio, tal vez
podamos describir e! movimiento de la nube, describiendo el movimiento de cada una de sus
moléculas. De la misma manera, quizás, los cambios en la opinión pueden tener un paralelo
con los cambios de los átomos dentro del cerebro, pero aún no tenemos tal conocimiento.
De todas maneras, esto es el motivo por el cual comenzamos con el movimiento de puntos;
tal vez debiéramos imaginarlos como átomos, pero es probablemente mejor ser más
imprecisos al comienzo y simplemente pensar en alguna especie de pequeños objetos, es
decir, pequeños comparados con la distancia recorrida. Por ejemplo, para describir el
movimiento de un automóvil que va a cien kilómetros por hora, no tenemos que distinguir
entre la parte delantera y la parte trasera del automóvil. Sin duda, hay pequeñas diferencias,
pero para propósitos aproximados diremos "el automóvil" y del mismo modo no importa que
nuestros puntos no sean puntos absolutos; para lo que nos interesa no es necesario ser
extremadamente preciso. También, mientras echamos una primera mirada a este tema,
vamos a olvidar las tres dimensiones del mundo. Solamente nos concentraremos sobre el
movimiento en una dirección, como en un automóvil sobre una carretera. Ahora bien, ustedes
pueden decir: "Todo esto es algo trivial" y en verdad lo es. ¿Cómo podemos describir tal
movimiento unidimensional -digamos, de un automóvil-? Nada podría ser más simple. Entre
las muchas maneras posibles, una sería la siguiente. Para determinar la posición del
1
Tomado de Feynman (1987). Física volumen I: Mecánica, radiación y calor, Addison-Wesley Iberoamericana; México.
automóvil en diferentes tiempos, medimos su distancia desde el punto de partida y anotamos
todas las observaciones.
Tabla 1 Valores de distancia contra
tiempo
Figura 1 Gráfica distancia vs. tiempo para un
auto
En la tabla 1, s representa la distancia del auto, en metros, desde el punto de partida, y t
representa el tiempo en minutos. La primera línea de la tabla representa la distancia cero y el
tiempo cero -el coche aún no ha partido-. Al minuto de su partida ha recorrido 400 metros.
Después de dos minutos, va más lejos -noten que ha alcanzado mayor distancia en el
segundo minuto-, ha acelerado; pero algo sucedió entre 3 y 4 y más aún cerca de los 5 -¿tal
vez se detuvo en un semáforo?- Luego su velocidad aumenta otra vez y recorre 4.300 metros
al término de seis minutos, 6.000 metros al término de siete minutos, y 7.850 metros en ocho
minutos; a los nueve minutos ha avanzado solamente 8.000 metros, debido a que en el
último minuto fue detenido por un policía.
Esta es una manera de describir el movimiento. Otra manera es por medio de un gráfico. Si
anotamos el tiempo horizontalmente y la distancia verticalmente, obtenernos una curva
parecida a la indicada en la figura 1. Cuando el tiempo aumenta, la distancia aumenta, al
comienzo muy lentamente y después más rápido, y otra vez muy lentamente por un pequeño
lapso a los cuatro minutos; entonces aumenta otra vez durante unos pocos minutos y
finalmente, a los nueve minutos, parece haber detenido su aumento. Estas observaciones
pueden hacerse del gráfico, sin una tabla. Evidentemente, para una descripción completa
uno tendría que saber también dónde está el auto en las marcas de medio minuto, pero
suponemos que el gráfico significa algo, que el auto tiene alguna posición en todos los
instantes intermedios.
Tabla 2 Distancia y tiempo
Figura 2 Gráfica distancia contra tiempo
El movimiento de un auto es complicado. Como otro ejemplo, usaremos algo que se mueve
de una manera más simple, que siga leyes más simples: una pelota que esté cayendo. La
tabla 2 da el tiempo en segundos y la distancia en metros para un cuerpo que cae. A cero
segundos la pelota parte desde cero metros, y al final de un segundo ha caído cinco metros.
Al final de dos segundos ha caído 20 metros, al final de tres segundos 45 metros, y así
sucesivamente; si se gráfica los números tabulados obtenemos la bella curva parabólica
indicada en la figura 2. La fórmula para esta curva puede ser escrita en la forma
s = 5t 2
Esta fórmula nos permite calcular la distancia en cualquier instante. Pueden decir que
también debe haber una fórmula para el primer gráfico. Realmente, uno puede escribir tal
fórmula en forma abstracta:
s = f (t )
Lo cual significa que s es alguna cantidad que depende de t o, en términos matemáticos, s es
una función de t. Ya que nosotros no conocemos cuál es la función, no hay manera de
escribirla en forma algebraica definida.
Acabamos de ver dos ejemplos de movimiento, adecuadamente descritos con ideas muy
simples, sin sutilezas. Sin embargo, hay sutilezas -y varias- En primer lugar, ¿qué
entendemos por tiempo y espacio? Resulta que estos profundos problemas filosóficos tienen
que ser analizados muy cuidadosamente en la física, y esto no es tan fácil de hacer. La
teoría de la relatividad demuestra que nuestras ideas de espacio y tiempo no son tan simples
como uno pueda pensar a primera vista. Sin embargo, para lo que nos interesa, para la
exactitud que necesitamos al principio, no necesitamos ser muy cuidadosos en definir
exactamente las cosas. Tal vez digan: "Esto es una cosa terrible: yo aprendí que en la
ciencia tenemos que definir cada cosa en forma precisa". ¡No podemos definir ninguna cosa
en forma precisa! Si lo intentamos, caemos dentro de esa parálisis del pensamiento que le
ocurre a los filósofos, quienes se sientan frente a frente, uno diciendo al otro: "¡Usted no sabe
de lo que está hablando!" El segundo dice: "¿Qué entiende usted por saber? ¿Qué entiende
por hablar? ¿Qué entiende por usted?", y así sucesivamente. A fin de poder conversar en
forma constructiva tenemos que convenir precisamente que estamos conversando
aproximadamente de la misma cosa. Ustedes saben tanto acerca del tiempo como
necesitamos por ahora, pero recuerden que hay algunas sutilezas que tienen que ser
discutidas; las discutiremos más tarde.
Otra sutileza ya mencionada es que sería posible imaginar que el punto móvil que estamos
observando está siempre ubicado en alguna parte. (Por supuesto, que cuando lo estamos
observando, está ahí, pero puede ser que cuando miremos hacia otro lado no esté ahí.)
Resulta que en el movimiento de los átomos esa idea también es falsa -no podemos
encontrar un marcador en un átomo y verlo moverse-. A esas sutilezas tendremos que llegar
en la mecánica cuántica. Pero primero vamos a aprender cuáles son los problemas antes de
introducir las complicaciones, y entonces estaremos en una situación mejor para hacer
correcciones a la luz del más reciente conocimiento del tema. Por lo tanto, tomaremos un
punto de vista simple acerca del tiempo y del espacio. Sabemos lo que son estos conceptos
de una manera aproximada, y los que han manejado un automóvil saben lo que significa
velocidad.
Velocidad
Aunque sabemos aproximadamente lo que significa "velocidad", hay aún algunas sutilezas
bastante profundas; tengan en cuenta que los estudiosos griegos nunca pudieron describir
en forma adecuada los problemas relativos a la velocidad. La sutileza nace cuando tratamos
de comprender exactamente qué se entiende por "velocidad ". Los griegos se confundieron
mucho con esto, y una nueva rama de la matemática tuvo que ser descubierta además de la
geometría y el álgebra de los griegos, árabes y babilonios. Como ilustración de la dificultad,
tratemos de resolver este problema con álgebra pura: Se está inflando un globo de modo que
el volumen del globo aumenta a razón de 100 cm3 por segundo; ¿a qué velocidad está
aumentando el radio cuando el volumen es de 1.000 cm3? Los griegos se embrollaron
bastante con tales problemas, siendo ayudados, por supuesto, por algunos griegos muy
confusos. Para mostrar que existían dificultades al razonar acerca de la velocidad en esa
época, Zenón produjo un gran número de paradojas, de las cuales mencionaremos una para
ilustrar este punto en el cual hay obvias dificultades en las ideas acerca del movimiento.
"Escuchen -dice- el siguiente razonamiento: Aquiles corre 10 veces más rápido que una
tortuga; sin embargo, nunca puede alcanzar a la tortuga. Para ello, supongan que inician una
carrera donde la tortuga está 100 metros delante de Aquiles; entonces cuando Aquiles ha
corrido los 100 metros al lugar donde estaba la tortuga, la tortuga ha avanzado 10 metros,
habiendo corrido un décimo de rápido. Ahora, Aquiles tiene que correr otros 10 metros para
alcanzar a la tortuga, pero al llegar al final de esa carrera, encuentra que la tortuga está aún
a un metro delante de él; corriendo otro metro, encuentra a la tortuga 10 centímetros delante,
y así sucesivamente, hasta el infinito. Por lo tanto, en cualquier instante la tortuga está
siempre delante de Aquiles y Aquiles nunca puede alcanzar a la tortuga." ¿Dónde está el
error en esto? Está en que una cantidad finita de tiempo puede ser dividida en un número
infinito de partes, tal como una longitud de línea puede ser dividida en un número infinito de
pedazos dividiéndola repetidamente en dos. Y así, aunque hay un número infinito de pasos
(en el razonamiento) hasta el punto en el cual Aquiles alcanza a la tortuga, no significa que
haya una cantidad infinita de tiempo. Podemos ver con este ejemplo que hay en verdad
algunas sutilezas en el razonamiento acerca de la velocidad.
A fin de comprender las sutilezas en una forma clara, les recordamos un chiste que
seguramente deben haber oído. En el lugar donde un policía para a la dama en el auto, el
policía se le acerca y dice: "¡Señora, usted iba a 100 kilómetros por hora!" Ella dice: "Eso es
imposible, señor, he estado viajando sólo siete minutos”.
Es ridícula, ¿cómo puedo ir a 100 kilómetros por hora cuando no he viajado una hora?"
¿Cómo responderían si fueran el policía? Por supuesto, si fueran realmente el policía no
habría sutilezas; es muy simple, dirían: "¡Cuénteselo al juez!" Pero supongamos que
nosotros no tenemos esa salida y hacemos un ataque intelectual más honesto al problema y
tratamos de explicar a esta dama lo que entendemos por la idea de que ella fuera a 100
kilómetros por hora. Precisamente, ¿qué entendemos? Decimos: "Lo que entendemos,
señora, es esto: si usted siguiera yendo de la misma manera como iba ahora, en la hora
siguiente habría recorrido 100 kilómetros." Ella podría decir: "Bien, mi pie no estaba sobre el
acelerador y el auto estaba deteniéndose: así que si yo continuara yendo de esa manera no
recorrería 100 kilómetros." O consideren la pelota que cae y supongan que queremos
conocer su velocidad en el tiempo tres segundos, si la pelota sigue moviéndose de la manera
en que lo está haciendo. ¿Qué significa eso, seguir acelerando, ir más rápido? No; seguir
moviéndose con la misma velocidad. ¡Pero eso es lo que estamos tratando de definir! Porque
si la pelota sigue moviéndose de la manera en que lo está haciendo, seguirá simplemente
moviéndose de la manera como lo está haciendo. Por lo tanto, necesitamos definir mejor la
velocidad. ¿Qué debe seguir lo mismo? La dama puede también razonar de esta manera:
"¡Si siguiera moviéndome de la manera como lo estoy haciendo durante una hora más, me
iría contra esa pared al final de la calle!" No es tan fácil expresar lo que queremos decir.
Muchos físicos piensan que la medición es la única definición de cualquier cosa.
Evidentemente, entonces, debiéramos usar el instrumento que mide la velocidad -el
velocímetro- y decir: "Mire, señora, su velocímetro marca 100". Y entonces ella dice, "Mi
velocímetro está roto y no marcaba en absoluto". ¿Significa esto que el auto está detenido?
Creemos que hay algo que medir antes de construir el velocímetro. Sólo entonces podemos
decir, por ejemplo: "El velocímetro no está funcionando bien", o "el velocímetro está roto".
Esa sería una frase sin sentido si la velocidad no tuviera un significado independiente del
velocímetro. Así, pues, tenemos en nuestras mentes, evidentemente, una idea que es
independiente del velocímetro, y el velocímetro está ideado sólo para medir esta idea. Por lo
cual veamos si podemos obtener una mejor definición de la idea. Decimos, "Sí, por supuesto,
antes de andar una hora usted chocaría esa muralla, pero si anduviera un segundo,
recorrería 28 metros; señora, usted iba a 28 metros por segundo y si siguiera andando, el
próximo segundo estaría a 28 metros y la muralla aquella está más lejos". Ella dice, "¡Sí,
pero no hay ninguna ley que prohíba ir a 28 metros por segundo! Hay sólo una ley que
prohíbe ir a 100 kilómetros por hora", "pero", replicamos "es la misma cosa". Si es la misma
cosa, no sería necesario este circunloquio acerca de los 28 metros por segundo. En realidad,
la pelota que está cayendo no puede seguir moviéndose de la misma manera ni siquiera un
segundo, debido a que estaría cambiando la velocidad, y tendremos que definir la velocidad
de alguna manera.
Ahora parece que estamos entrando en buen camino: es algo más o menos así: si la señora
prosiguiera otro 1/1000 de hora recorrería 1/1000 de 100 kilómetros. ¡En otras palabras, no
tiene que proseguir la hora completa: la cuestión es que por un momento está yendo a esa
velocidad. Ahora bien, lo que eso significa es que, si anduviera sólo un poquito más de
tiempo, la distancia adicional que recorrería sería la misma que la de un auto que va a una
velocidad constante de 100 kilómetros por hora. Tal vez la idea de 28 metros por segundo
sea correcta; nosotros vemos hasta dónde llegó en el último segundo.
En otras palabras, podemos encontrar la velocidad de esta manera: preguntamos, ¿qué
distancia recorremos en un tiempo muy corto? Dividimos esa distancia por el tiempo, y eso
da la velocidad. Pero el tiempo debería hacerse tan corto como sea posible, cuanto más
corto tanto mejor, porque algún cambio podría tener lugar durante este tiempo. Si tomamos
el tiempo de un cuerpo que cae durante una hora, la idea es ridícula. Si lo tomamos durante
un segundo, el resultado es bastante bueno para un auto, debido a que la velocidad no
cambia mucho, pero no para un cuerpo que está cayendo; así, a fin de obtener la velocidad
más y más exactamente, deberíamos tomar intervalos de tiempo más y más cortos. Lo que
deberíamos hacer es tomar una millonésima de segundo, y dividir esta distancia por una
millonésima de segundo. El resultado da la distancia por segundo, lo cual es lo que
entendemos por velocidad, por lo que podemos definirla de esa manera. Es una respuesta
feliz a la señora, o más bien, es la definición que vamos a usar.
La definición anterior envuelve una nueva idea, una idea que los griegos no tenían en una
forma general. Esa idea fue tomar una distancia infinitesimal y el correspondiente tiempo
infinitesimal, formar el cociente, y observar qué sucede a ese cociente cuando el tiempo que
usamos llegue a ser más y más corto. En otras palabras, tomar un límite de la distancia
recorrida dividida por el tiempo necesario, cuando el tiempo tomado es cada vez más
pequeño, hasta el infinito. Esta idea fue inventada por Newton y Leibnitz,
independientemente, y es el comienzo de una nueva rama de las matemáticas, llamada
cálculo diferencial. El cálculo diferencial fue inventado con el fin de describir el movimiento, y
su primera aplicación fue al problema de definir qué significa ir "a 100 kilómetros por hora".
Tratemos de definir la velocidad un poco mejor. Supongamos que en un corto tiempo t, el
automóvil u otro cuerpo recorren una corta distancia x; entonces la velocidad, v, está definida
por:
v=
x
t
Una aproximación que mejora a medida que t se torna más y más pequeño. No podemos
hacer la misma cosa con la señora del automóvil, ya que la tabla es incompleta. Sólo
sabemos dónde estaba a intervalos de un minuto: podemos obtener una idea aproximada de
que iba a 1.700 metros/min durante el 7o minuto, pero no sabemos exactamente si al cabo de
siete minutos ella había estado aumentando la velocidad y que ésta era de 1.650 metros/min
al comienzo del 6o minuto y que ahora es 1.750 metros/min. o algo así debido a que no
tenemos los detalles exactos del intermedio. Así. pues, sólo si la tabla se completara con un
número infinito de datos podríamos realmente calcular la velocidad a partir de una tabla así.
Por otro lado, cuando tenemos una fórmula matemática completa, como en el caso del cuerpo que cae ( s = 5t ), entonces es posible calcular la velocidad, porque podremos calcular la
posición en cualquier instante.
2
Descripción de fuerza. ¿Qué es una fuerza?
A pesar de que es interesante y vale la pena estudiar las leyes físicas, sencillamente porque
nos ayudan a comprender y utilizar la naturaleza, uno debiera detenerse de vez en cuando y
pensar: "¿Qué significan realmente?" El significado de cualquier afirmación es un tema que
ha interesado e inquietado a los filósofos desde tiempos inmemoriales, y el significado de las
leyes físicas es aún más interesante, porque generalmente se cree que estas leyes
representan alguna forma de conocimiento real. El significado del conocimiento es un
problema profundo en la filosofía y es siempre importante preguntar: "¿Qué significa?"
Preguntemos: "¿Cuál es el significado de las leyes físicas de Newton, que escribimos como
F = m a ¿Cuál es el significado de fuerza, masa y aceleración?" Bueno, intuitivamente
podemos percibir el significado de masa, y podemos definir aceleración si conocemos el
significado de posición y tiempo. No discutiremos los significados de estos términos, sino
que nos concentraremos en el nuevo concepto de fuerza. La respuesta es igualmente
simple: "Si un cuerpo está acelerando, entonces una fuerza actúa sobre él". Eso es lo que
dicen las leyes de Newton, de manera que la más precisa y bella definición de fuerza
imaginable puede decir sencillamente que fuerza es la masa de un objeto multiplicada por la
aceleración. Supongan que tenemos una ley que diga que la conservación del momentum es
válida si la suma de todas las fuerzas externas es cero; entonces surge la pregunta: "¿Qué
significa que la suma de todas las fuerzas externas sea cero?" Una forma cómoda de definir
esa afirmación sería: "Cuando el momentum total es una constante, la suma de las fuerzas
externas es cero." Debe haber algo erróneo en eso, porque, simplemente, no dice nada
nuevo. Si hemos descubierto una ley fundamental que afirma que la fuerza es igual al
producto de la masa por la aceleración, y después se define que la fuerza es masa por
aceleración, no hemos averiguado nada. Podríamos también definir la fuerza diciendo que
un objeto en movimiento sobre el cual no actúan fuerzas continúa moviéndose con velocidad
constante en línea recta. Entonces, si observamos que un objeto no se mueve en línea recta
con velocidad constante, podríamos decir que actúa una fuerza sobre él. Ahora, tales cosas
verdaderamente no pueden ser el contenido de la física, porque son definiciones que van en
círculo vicioso. Sin embargo, la aseveración newtoniana precedente parece ser una
definición muy precisa de fuerza, y una que atrae al matemático: sin embargo, es
completamente inútil, porque de una definición no puede hacerse predicción alguna. Uno
puede sentarse todo un día en un sillón y definir tales palabras a voluntad, pero averiguar
qué sucede cuando dos esferas se empujan mutuamente o cuando se cuelga un peso de un
resorte es completamente distinto, porque la forma en que se comportan los cuerpos es algo
que queda completamente fuera de toda definición.
Por ejemplo, si quisiéramos decir que un cuerpo que se abandona a sí mismo mantiene su
posición y no se mueve, entonces cuando vemos que algo se desplaza podríamos decir que
se debe a una "güerza" -una güerza es la velocidad de cambio de posición-. Ahora tenemos
una maravillosa ley nueva, todo permanece en reposo, a menos que actúe una "güerza ". Se
dan cuenta que esto sería análogo a la anterior definición de fuerza y no contendría
información alguna. El contenido real de las leyes de Newton es éste: que se supone que la
fuerza tiene algunas propiedades independientes, además de la ley F = m a; pero las
propiedades específicas independientes que tiene la fuerza no fueron descritas totalmente
por Newton o por persona alguna y, por consiguiente, la ley física F = m a es una ley
incompleta. Implica que si estudiamos la masa por la aceleración, y denominamos fuerza al
producto, esto es, si estudiamos las características de la fuerza como un programa de
interés, entonces encontraremos que las fuerzas tienen algo de simplicidad; ¡la ley es un
buen programa para analizar la naturaleza, es una sugerencia de que las fuerzas serán
sencillas!
Ahora bien, el primer ejemplo de tales fuerzas fue la ley completa de gravitación, que fue
dada por Newton y al enunciar la ley contestó la pregunta "¿Qué es la fuerza?". Si no
hubiera nada más que gravitación, entonces la combinación de esta ley y la ley de la fuerza
(segunda ley del movimiento) sería una teoría completa, pero existe mucho más que
gravitación y queremos emplear las leyes de Newton en muchas situaciones diferentes. Por
consiguiente, para poder continuar, tenemos que decir algo acerca de las propiedades de la
fuerza.
Por ejemplo, al tener que ver con las fuerzas, siempre se supone tácitamente que la fuerza
es igual a cero, a menos que se encuentre presente un cuerpo físico, esto es, si
encontramos una fuerza distinta de cero, también encontramos que existe algo a su
alrededor que es una fuente de tal fuerza. Esta suposición es enteramente diferente del caso
de la "güerza", que introdujimos anteriormente. Una de las características más importantes
de una fuerza es que tiene un origen material, y esto no es meramente una definición.
Newton también dio una regla acerca de la fuerza: que las fuerzas que interactúan entre
cuerpos son iguales y opuestas -acción igual a reacción-; esta regla resulta no ser
exactamente valida. En realidad, la ley F = m a no es exactamente válida; si fuera una
definición tendríamos que decir que siempre es exactamen te válida; pero no lo es. El
estudiante puede objetar: "No me gusta esta imprecisión, me gustaría tener todo definido en
forma exacta; en realidad, algunos libros dicen que toda ciencia es una materia exacta, en la
que todo está definido." Si insisten en una definición precisa de fuerza, ¡nunca la tendrán!
Primero, porque la segunda ley de Newton no es exacta, y segundo, porque para
comprender las leyes físicas deben comprender que todas son alguna forma de
aproximación.
Toda idea sencilla es aproximada; como ilustración, consideren un objeto... ¿Qué es un
objeto? Los filósofos siempre dicen: "Bien, tome simplemente una silla, por ejemplo." En el
momento que dicen eso, ustedes se dan cuenta que no saben más de lo que están
hablando. ¿Qué es una silla? Bueno, una silla es algo que está por ahí... ¿cierto?, ¿cuán
cierto? Los átomos se están evaporando de ella cada cierto tiempo -no muchos átomos, pero
algunos-, mugre cae sobre ella y se disuelve en la pintura; de manera que definir una silla
con precisión, decir exactamente qué átomos son silla y qué átomos son aire, o qué átomos
son mugre, o qué átomos son pintura que pertenecen a la silla, es imposible. De manera que
la masa de una silla puede definirse sólo en forma aproximada. Del mismo modo, definir la
masa de un objeto aislado es imposible, porque no hay objetos simples y aislados en el
mundo -todo objeto es una mezcla de muchas cosas, de manera que podemos trabajar con
ellos sólo como una serie de aproximaciones e idealizaciones.
El artificio está en las idealizaciones. En una excelente aproximación de tal vez de una parte
en 1010, el número de átomos en la silla no cambia en un minuto y, si no somos demasiado
precisos, podemos idealizar la silla como una cosa definida; en igual forma aprenderemos
acerca de las características de una fuerza de una manera ideal, si no somos demasiado
precisos. Se puede estar insatisfecho con la visión aproximada de la naturaleza que la física
procura obtener (el intento es siempre aumentar la exactitud de la aproximación), y se puede
preferir una definición matemática; pero las definiciones matemáticas no pueden funcionar
nunca en el mundo real. Una definición matemática puede ser buena para los matemáticos,
en que toda la lógica puede seguirse completamente, pero el mundo físico es complejo.
Las fuerzas que actúan sobre una sola cosa ya encierran aproximaciones, y si tenemos un
sistema de razonamiento acerca del mundo real, entonces ese sistema, al menos hoy en
día, debe contener aproximaciones de alguna especie.
Este sistema es bastante diferente del caso de la matemática, en que todo puede ser
definido y entonces no sabemos de qué estamos hablando. En realidad, la gloria de la
matemática es que no tenemos que decir de qué estamos hablando. La gloria es que las
leyes, los razonamientos y la lógica son independientes de su "contenido". Si tenemos
cualquier otro conjunto de objetos que obedecen el mismo sistema de axiomas que la
geometría de Euclides, entonces, si hacemos nuevas definiciones y las utilizamos con una
lógica correcta, todas las consecuencias serán correctas, sin importar cuál fue el tema. En la
naturaleza, sin embargo, cuando trazamos una línea o establecemos una línea empleando
un rayo de luz y un teodolito, tal como lo hacemos en levantamientos topográficos, ¿estamos
midiendo una línea en el sentido de Euclides? No, estamos haciendo una aproximación: los
rayos del retículo tienen cierto grosor, pero una línea geométrica no tiene grosor, de manera
que si se puede o no emplear la geometría euclidiana para un levantamiento es un asunto
físico, no una cuestión matemática. Sin embargo, desde un punto de vista experimental, no
un punto de vista matemático, necesitamos saber si las leyes de Euclides se aplican a la
clase de geometría que utilizamos al medir terrenos: hacemos una hipótesis de que sea así,
y funciona bastante bien: pero no es precisa, porque nuestras líneas de levantamiento no
son en realidad líneas geométricas. Si esas líneas de Euclides, que en realidad son
abstractas, se aplican o no a las líneas de la experiencia es asunto de la experiencia; no es
una cuestión que pueda contestarse sólo mediante razonamiento.
Del mismo modo, no podemos decir que F = m a sea una definición, deducir todo de una
manera puramente matemática y hacer de la mecánica una teoría matemática, cuando la
mecánica es una descripción de la naturaleza. Estableciendo postulados adecuados,
siempre es posible construir un sistema matemático, tal como lo hizo Euclides, pero no
podemos hacer una matemática del mundo, porque tarde o temprano tenemos que averiguar
si los axiomas son válidos para los objetos de la naturaleza. Así que inmediatamente
llegamos a enredarnos con estos complicados y "sucios" objetos de la naturaleza, pero con
aproximaciones siempre crecientes en exactitud.
Las consideraciones anteriores demuestran que una verdadera comprensión de las leyes de
Newton requiere una discusión de las fuerzas, y el propósito de este capítulo es introducir tal
discusión, como una especie de complementación de las leyes de Newton. Ya hemos
estudiado las definiciones de aceleración e ideas relacionadas, pero ahora tenemos que
estudiar las propiedades de las fuerzas, y este capítulo, a diferencia de los capítulos
precedentes, no será muy preciso, porque las fuerzas son bastante complicadas.
Para empezar con una fuerza en particular, consideremos la resistencia al avance que
experimenta un aeroplano que vuela por el aire. ¿Cuál es la ley para esa fuerza? ' (Seguro
que existe una ley para cada fuerza, ¡debemos tener una ley!). Difícilmente podríamos
pensar que la ley para esa fuerza fuera sencilla. Procuren imaginar qué es lo que causa la
resistencia al avance de un aeroplano que vuela por el aire -el aire fluyendo velozmente
sobre las alas, el remolino en el dorso, los cambios que se original alrededor del fuselaje y
muchas otras complicaciones-, y se darán cuenta que no habrá una ley sencilla. Por otro
lado, es un hecho notable que la fuerza de resistencia sobre un aeroplano sea
aproximadamente igual a una constante por el cuadrado de la velocidad, o F = c v2.
Ahora, ¿cuál es la naturaleza de esa ley? ¿Es análoga a F = m a? De ninguna manera,
porque en primer lugar ésta es una ley empírica que se obtiene "grosso modo" por pruebas
efectuadas en un túnel de viento. Ustedes dirán: "Bien, puede que F = m a sea empírica
también." Esa no es razón para que exista diferencia. La diferencia no está en que sea
empírica, sino que, como entendemos la naturaleza, esta ley es el resultado de un complejo
enorme de eventos y no es, fundamentalmente, una cosa sencilla. Si seguimos estudiándola
más y más, midiendo cada vez con mayor exactitud, la ley continuará tornándose más
complicada y no menos. En otras palabras, al estudiar esta ley de resistencia al avance de
un aeroplano más y más detenidamente, encontramos que es "más y más falsa", y mientras
más profundamente la estudiamos y mientras más exactamente midamos, tanto más
complicada llega a ser la verdad; de manera que en ese sentido consideramos que no
resulta de un proceso sencillo y fundamental, lo que concuerda con nuestra suposición
original.