Download distribuciones de probabilidad con la fx-9860g sd

MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA CON
CALCULADORA GRÁFICA
6. MECÁNICA CON LA FX−9860G SLIM
DIVISIÓN DIDÁCTICA
MAURICIO CONTRERAS
MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA CON CALCULADORA GRÁFICA
Enero/Febrero 2008
MECÁNICA CON LA FX−9860G SD SLIM
Introducción
En esta sesión analizaremos el uso de la FX−9860G SD SLIM para resolver problemas de Mecánica. Las
posibilidades de la calculadora gráfica en esta materia son interesantes, dado que la FX−9860G SD SLIM
permite hacer representaciones gráficas en coordenadas paramétricas, lo que facilita el estudio del
movimiento (cinemática). De la misma forma, se puede aprovechar la calculadora para la resolución de
problemas de Estática y Dinámica.
1.- Cinemática con la calculadora gráfica FX−9860G SD SLIM
1. PRIMEROS PASOS
La resolución gráfica de problemas de móviles con la calculadora gráfica presenta un inconveniente, los
ejes de coordenadas están etiquetados como x (eje de abscisas) e y (eje de ordenadas). La calculadora
representa funciones y(x), pero nuestro interés se centrará en funciones x(t), de manera que tenemos un
x↔t.
cambio de nomenclatura: y ↔ x
Para obtener una correcta representación de los gráficos con sus ejes correspondientes, crearemos una
pantalla de fondo (Background) que nos permita representar los ejes de coordenadas adecuados.
Desde el menú GRAPH dibujaremos una función con la escala de ejes adecuada para que no aparezcan ni
su gráfica, ni los ejes de coordenadas en pantalla.
Pulsamos DRAW para dibujar la función de manera que obtenemos la pantalla vacía. La opción Text del
submenú Sketch (F4), nos permitirá añadir los nombres de los ejes que nos interesan.
Pulsando OPTN PICT (F1) STO (F1) y por ejemplo Pic1, almacenamos la imagen para que podamos
utilizarla más adelante.
Desde el menú RUN podemos ver como ha quedado la imagen, si pulsamos OPTN PICT Rcl 1
EXE
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Análogamente, podemos crear las etiquetas para los gráficos y(t) (Pic2), v(t) (Pic3) y a(t) (Pic4):
2. RESOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE MÓVILES CON M.R.U.:
x (t ) = x 0 + v 0 ⋅ (t − t 0 )
v(t ) = v 0 = constante
a(t ) = 0
1. Un camión sale de una población por autopista a 90 km/h. Tres cuartos de hora más tarde, un
coche sale de la misma población a 120 km/h.
a) Representa y resuelve gráficamente el problema.
b) ¿Cuánto tardará el coche en avanzar el camión?
c) ¿A qué distancia de la población de salida se realizará el adelantamiento?
El sistema de ecuaciones será:
Camión: x1 = 90 t
Coche: x2 = 120 (t – 0’75)
Como queremos que al representar los ejes salgan las etiquetas correctas, añadimos el background
Pic1 de la manera siguiente: SHIFT MENU (SET UP). EXE y dibujamos el sistema.
Con G-Solv ISCT resolvemos las preguntas b y c del enunciado.
x = 3 Æ t = 3 horas Æ el coche tardará 2 h 15 min en adelantar al camión
y = 270 Æ x = 270 km
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2. Un ciclista que va a 18 km/h pretende alcanzar a otro ciclista que va a 10 km/h y le lleva una
ventaja de 6 km. ¿Cuánto tardará en alcanzarlo? ¿Qué distancia recorrerá para conseguirlo?
¿Cuánto hace que pasó el primer ciclista ha pasado por el lugar donde estaba el segundo ciclista
inicialmente?
El sistema de ecuaciones será:
Ciclista A: x1 = 6 + 10t
Ciclista B: x2 = 18 t
Con G-Solv ISCT:
x = 0’75 Æ t = 45 minutos
y = 13’5 Æ x = 13’5 km
Para saber cuánto hace que el ciclista A pasó por dónde se encontraba B inicialmente, buscamos la
intersección con el eje T (X).
Como dicha intersección no aparece en pantalla, desplazamos el gráfico con las teclas de cursor hacia
la izquierda hacemos G-Solv ROOT, seleccionando 

Hacía 0’6 h = 36 minutos que había pasado el primer ciclista(A) por el punto inicial del segundo (B).
3. Un autocar emprende un viaje de Barcelona a Madrid por autopista a 90 km/h. Media hora más
tarde sale otro autocar en la misma dirección a 100 km/h. (distancia Barcelona-Madrid = 640 km
aprox.)
a) ¿Atrapará el segundo autocar al primero antes de llegar a Madrid?.
b) Si es así, ¿a qué distancia de Barcelona se realizará el adelantamiento?
c) ¿Cuánto tardará cada autocar en llegar a Madrid?
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4. Dos poblaciones A y B distan 25 km. Una persona sale caminando de A hacia B a una velocidad
de 4 km/h. Simultáneamente sale de B hacia A otro caminante a 6 km/h. Calcula el tiempo que
tardan en encontrase y la distancia que ha recorrido cada uno en ese instante.
El sistema de ecuaciones será:
Caminante A: x1 = 4 t
Caminante B: x2 = 25 – 6t
5. Un caminante y un ciclista avanzan por una carretera, uno hacia el otro, a velocidades de 6 km/h y
24 km/h, respectivamente. ¿Cuánto tardarán en cruzarse si la distancia que los separa es de 8
km? ¿Qué distancia recorre el caminante?
6. Un coche sale de la ciudad A a las 5 h a.m con una velocidad constante de 60 km/h en dirección a
la ciudad B, la cual se encuentra a 500 km. A les 6 h a.m., otro coche sale de la ciudad B en
dirección a la ciudad A con una velocidad constante de 90 km/h. ¿A qué hora se cruzaran, y a qué
distancia de A ocurrirá tal hecho?
)
A las 8,93 horas en el kilómetro 236.
Podemos pasar el resultado a sistema sexagesimal desde el menú RUN. Recordemos que los valores
de X y de Y quedan almacenados en las memorias X e Y respectivamente.
Pulsamos ALPHA X EXE y a continuación OPTN ANGL (F6 F5)
seguido de (F5).
Obtenemos así el resultado expresado en ‘horas, minutos y segundos’.
A les 8 horas 56 minutos en el kilómetro 236.
7. En el problema anterior, ¿cuál de los dos coches llegará antes a su destino?
8. Un camión de transporte realiza, una vez por semana la ruta entre las ciudades A y B. Si va a 80
km/h, tarda-hi tres horas más que si va a 100 km/h. ¿Qué distancia hay entre las dos ciudades?
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3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: X(T), V(T), A(T)
x (t )
⎛ dx(t ) ⎞
v (t ) = ⎜
⎟
⎝ dt ⎠
→
→
⎛ dv(t ) ⎞
a (t ) = ⎜
⎟
⎝ dt ⎠
velocidad y aceleración instantáneas :
⎛ dx(t ) ⎞
v (t 0 ) = ⎜
⎟
⎝ dt ⎠ t = t 0
⎛ dv(t ) ⎞
a (t 0 ) = ⎜
⎟
⎝ dt ⎠ t = t 0
t
∆ v = v (t ) − v (t 0 ) = ∫ a (t ) dt
⇒
t0
t
∆ x = x (t ) − x (t 0 ) = ∫ v (t ) dt
t0
⇒
t
v (t ) = v (t 0 ) + ∫ a (t ) dt
t0
t
x (t ) = x (t 0 ) + ∫ v (t ) dt
t0
4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA X(T) Y V(T), DE LOS M.R.U SIGUIENTES:
a (t ) = 0
v (t ) = v 0 = constante
x (t ) = x 0 + v 0 ⋅ (t − t 0 )
9. Un coche va a velocidad constante de 50 km/h, durante 5 horas. Representa las gráficas x (t) y v
(t) ¿Qué distancia habrá recorrido?
Gráfico x(t) Æ Y1: 50x, [0,5]
(¡cuidado! x representa el tiempo t, e y representa la distancia x)
Gráfico v(t) Æ Y2 : 50, [0,5]
(es necesario un nuevo background Pic3 con v(t))
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A partir del gráfico de v(t) también podemos saber la distancia recorrida en 5 horas hallando el área
bajo la gráfica entre x=0 y x=5, es decir:
5
∆x = x(5) − x(0 ) = ∫ 50dt = 250 .
0
Con la calculadora: desde el gráfico v(t): Shift G-Solv (F5) ∫ dx (F6) (F3) escogemos como límite
inferior (lower) x=0 EXE y como límite superior (upper) x=5 EXE (recordar que x representa el
tiempo t).
Es posible realizar el cálculo de la integral definida desde el menú RUN: OPTN CALC
∫
(50, 0, 5
∫ dx:
EXE
10. Una familia sale el sábado a comer fuera. Salen a las 11:30 h con una velocidad de 80 km/h.
Llegan al restaurante a las 13:00 h. y después de una apetitosa comida, a las 15:00 h vuelven a
casa a una velocidad de 100 km/h.
⎧80t
⎪⎪
x(t ) = ⎨120
⎪
⎪⎩120 − 100(t − 3'5)
0 ≤ t < 1'5
1'5 ≤ t < 3'5
3'5 ≤ t < 4'7
Gráfico x(t) Æ Y1: 80x, [0,1.5]
Y2 : 120,[1.5,3.5]
Escoger la representación de los ejes adecuada.
Análogamente para v(t).
0 ≤ t < 1'5
⎧80
⎪⎪
v(t ) = ⎨0
1'5 ≤ t < 3'5
⎪
⎪⎩− 100 3'5 ≤ t < 4,7
Y3 : 120−100(x−3.5),[3.5,4.7]
A partir del gráfico de v(t), ¿podemos también hallar la distancia recorrida mediante el cálculo
integral?
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5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA X(T), V(T) Y A(T) DE LOS M.R.U.A. SIGUIENTES:
a (t ) = a = constante
v (t ) = v 0 + a ⋅ (t − t 0 )
x (t ) = x 0 + v 0 ⋅ (t − t 0 ) +
1
a ⋅ (t − t 0 ) 2
2
11. Una moto arranca en una pista rectilínea con una aceleración de 3m/s2, que mantiene durante 25
s. A continuación conserva durante un minuto la velocidad adquirida. Representa les gráficas a(t),
v(t) y x(t). Calcula la velocidad adquirida y la distancia total recorrida. Halla también los resultados
a partir del cálculo integral.
12. Un coche está parado en un semáforo. Arranca cuando se pone verde con una aceleración de 2
m/s2 que mantiene durante 7 segundos. A continuación mantiene constante la velocidad que ha
adquirido durante 6 segundos. Ve que el siguiente semáforo está rojo y frena con una aceleración
de –1’5 m/s2, de manera que se para justamente delante del segundo semáforo. ¿Qué distancia
hay entre los dos semáforos? ¿Cuál es la duración total de este movimiento? Representa las
gráficas a(t), v(t) y x(t) de este movimiento.
13. Un móvil en reposo, acelera con una aceleración constante de 5m/s2 durante 4 segundos,
mantiene la velocidad durante 8 segundos y desacelera a continuación con una aceleración de
frenada de 2 m/s2.
14. El móvil del ejercicio anterior permanece en reposo 6 segundos, y a continuación vuelve hacia
atrás con una aceleración de 12 m/s2. ¿Cuánto tardará en pasar por el lugar de salida y con qué
velocidad?
15. En el momento que pasa por la salida el móvil empieza a frenar con una desaceleración de 30
m/s2. ¿Cuánto tardará en pararse? ¿Dónde se parará?
6. MOVIMIENTO VERTICAL
y (t ) = y 0 + v 0 y t +
1 2
gt
2
v y (t ) = v 0 y + g t
*Para simplificar se ha escogido t0 = 0
g = −10m / s 2
16. Se lanza hacia arriba un objeto con una velocidad de 30 m/s. ¿Qué altura alcanzará y en cuánto
tiempo?. ¿Cuándo llegará al suelo? ¿A qué altura se encuentra después de 1 segundo del
lanzamiento? ¿En qué instantes de tiempo se encuentra a 20 m de altura? Realiza el gráfico
correspondiente a la velocidad v(t) y halla la velocidad que llevará en el momento de llegar al
suelo. (g = −10 m/s2).
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y = 0+30t-5t2
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Utilizar las opciones de F5 (G-Solv) :
ROOT MAX Y-CAL X-CAL
(es necesario un nuevo background Pic2 con y(t))
17. A partir del gráfico y(t) calcula qué velocidad llevará el objeto del ejercicio anterior en el momento
de tocar suelo.
⎛ d y (t ) ⎞
⎟
⎝ dt ⎠ t =t0
Recordar que v(t 0 ) = ⎜
Utilizar la opción de F4 (Sketch) : Tang
(Set Up) la opción Derivative : On
(o bien F1 (Trace))
activando previamente Shift Menu
La elección de la escala de los ejes puede dar lugar a que no obtengamos el valor de la derivada con la
exactitud deseada. Cambiemos l’escala de los ejes y hagamos Xmax = 10 y comprobémoslo:
Para una mejor precisión podemos ampliar la zona donde queremos calcular la derivada con la opción
ZOOM (Shift F2) BOX (F1) y a continuación F1 (Trace)
Si queremos un resultado más preciso debemos ir al menú RUN:
Escogemos OPTN CALC (F4) d/dx (F2) y escribimos:
d/dx(30x – 5x2 , 6) EXE obteniendo el valor de –30m/s
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18. Dibuja el gráfico v(t) del ejercicio 16, y a partir del mismo, calcula:
a) la altura máxima
b) la posición 1 segundo después del lanzamiento
c) Comprueba que al llegar al suelo (t=6) es y(6)=0.
a)
3
3
0
0
hmax = y (3) = y (0) + ∫ 30 − 10t dt = 0 + ∫ 30 − 10t dt
hmax = 45 metros
1
b)
y (1) = y (0) + ∫ 30 − 10t dt
0
y(1) = 25 metros
6
c)
y (6 ) = y (0) + 30 − 10t dt
∫
0
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19. A partir del gráfico a(t) del ejercicio 16 calcular:
a) la velocidad al llegar al suelo. v(6 ) = v(0) +
6
6
0
0
∫ − 10dt = 30 + ∫ − 10dt
b) la velocidad para t = 1 y para a t = 4 segundos.
20. Desde una ventana situada a 20 m del suelo se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con
una velocidad de 10 m/s. Calcula:
a) La altura máxima que alcanza y el tiempo que tarda en alcanzar dicha altura.
b) El tiempo total que la piedra permanece en el aire.
c) La velocidad con que llega al suelo.
21. Desde la ventana de un quinto piso, se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una
velocidad de 5m/s. Al mismo tiempo se lanza otra piedra desde el segundo piso en la misma
vertical y hacia arriba con una velocidad de 15 m/s. Si cada piso tiene una altura de 3 m, calcula:
a) En qué instante y a qué altura colisionan las dos piedras.
b) La velocidad de las dos piedras en el momento de colisionar.
c) En el momento de la colisión, la segunda piedra, ¿subía o bajaba?
22. Se deja caer una bola desde una altura de 200 m. Calcula:
a) El tiempo que tarda en llegar al suelo.
b) La velocidad en ese instante.
c) La velocidad a los dos segundos de soltar la bola.
23. Desde el suelo se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. En el
mismo instante, se deja caer otra piedra desde una altura de 20 m. Determina a qué altura y en
que instante se encontrarán.
24. Desde un puente lanzamos verticalmente y hacia arriba una piedra con una velocidad inicial
vertical de 9m/s. Calcula la altura máxima de la piedra y el tiempo que tardará en pasar por delante
de nosotros. Si la piedra llega al río 2,3 segundos después de ser lanzada, ¿a qué altura está el
puente sobre el río?
7. TIRO PARABÓLICO
x(t ) = x0 + v0 xt
y (t ) = y0 + v0 y t +
vx (t ) = v0 x
1 2
gt
2
v y (t ) = v0 y + gt
g = 10 m / s 2
Para simplificar escogemos t0 = 0
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25. Se lanza una pelota desde una torre de 50 m d’altitud a una velocidad de 100 m/s que forma un
ángulo de 30º con la horizontal. Calcula:
a) La gráfica de la trayectoria: y(x)
b) La altura máxima alcanzada.
c) El tiempo del movimiento y el alcance.
d) La velocidad cuando llega al suelo.
Ecuaciones del movimiento:
x(t ) = 0 + (100 cos 30º ) t
y (t ) = 50 + (100 sin30º ) t − 5 t 2
De la primera ecuación aislamos t: t =
x
100 cos 30º
Sustituimos en la segunda y ya tenemos la ecuación de la trayectoria:
2
x
x
100 sin30º
⎛
⎞
⎛
⎞
y ( x) = 50 +
x − 5⎜
⎟ = 50 + tan30º x − 5 ⎜
⎟
100 cos 30º
⎝ 100 cos 30º ⎠
⎝ 100 cos 30º ⎠
Desde el menú GRAPH dibujamos la función:
Escogemos la escala de ejes siguiente:
2
Y1 = 50+(tan 30) x – 5 (x+(100 cos 30))2
Trabajamos con grados sexagesimales y etiquetamos los ejes:
Shift MENU (Set Up)
Angle : Deg
Label : On
Background: None
Pulsamos DRAW y obtenemos la gráfica deseada.
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Para hallar la máxima altura hacemos G-Solv (F5) MAX (F2) obteniendo:
hmax = 175 m
Para calcular el alcance del movimiento pulsamos G-Solv (F5) ROOT (F1) obteniendo:
d = 945,36 m
Para determinar el tiempo total del movimiento y la velocidad en el momento de llegar al suelo, no
podemos usar esta representación, ya que no aparece explícitamente la variable tiempo.
Representemos pues y(t): Y2 = 50+(100 sin 30) x – 5 x2
Para hallar la duración del movimiento pulsar G-Solv (F5) ROOT (F1) obteniendo:
x = t = 10,92 s.
Para calcular la velocidad de llegada al suelo, utilizar la opción de Trace (F1) activando previamente
Shift Menu (Set Up) la opción Derivative : On
Si desplazamos el cursor por la gráfica, primero obtenemos otra vez el máximo de la función a y = 175
dY/dX=0 x = t = 5 s.
Finalmente obtenemos el valor de la velocidad vertical en el instante de llegar al suelo vy ϕ -59 m/s
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La velocidad de llegada al suelo será v ϕ (100 cos 30º, -59) m/s = (86’6 , −59) m/s
•
Resolución del problema con gráficos paramétricos:
Desde el menú GRAPH seleccionamos el gráfico Y3 con el cursor, pulsamos TYPE (F3), y escogemos
la opción Parm (F3):
Escribimos: Xt3 = (100 cos 30) T
Yt3 = 50 + (100 sin 30) T – 5 T2
Escogemos la escala de los ejes adecuada:
Pulsamos DRAW para obtener la gráfica deseada. La opción Trace (F1) nos permite desplazarnos por
la gráfica obteniendo los valores deseados.
Si activamos previamente en Shift Menu (Set Up) la opción Derivative : On, podemos conocer en
cualquier instante la velocidad del objeto, así como el ángulo de inclinación (D = arc tan dy/dx)
26. Se lanza una pelota desde una terraza situada a 20 m de altura con una velocidad de 10 m/s,
formando un ángulo de 45º con la horizontal. Determina:
a) El tiempo que tarda en llegar al suelo.
b) La ecuación y la gráfica de su trayectoria.
c) ¿Chocará con una pared de 10 m de altura situada a 20 m de la vertical de la terraza?
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2.- Estática con la calculadora gráfica FX−9860G SD SLIM
1. COMPOSICIÓN DE FUERZAS
1. Cuatro fuerzas coplanarias, cuyo punto de aplicación común es O tienen los siguientes módulos:
F1=8 N, F2= 20 N, F3=80 N, F4=24 N. Los ángulos formados por estas fuerzas correlativos en el
sentido de las agujas del reloj son ∠(F1, F2)=90º, ∠(F2, F3)=60º, ∠(F3, F4)=30º y ∠(F4, F1)=180º.
Determina el módulo y la dirección de la resultante.
F
α
Fx = F cos α Fy = F sen α
F1 = 8 30º
− 8 cos 30º
8 sen 30º
F2 = 20 60º
20 cos 60º
20 sen 60º
F3 = 30 0º
30 cos 0º
30 sen 0º
F4 = 24 30º
24 cos 30º
−24 sen 30º
Σ Fx
Σ Fy
Utilizamos el menú RUN-MAT de la SLIM para hacer las operaciones:
Σ Fx = − 8 cos 30º + 20 cos 60º + 30 cos 0º + 24 cos 30º =53,8 N
Σ Fy = 8 sen 30º + 20 sen 60º + 30 sen 0º −24 sen 30º = 9,3 N
El módulo de la fuerza resultante es: R =
(∑ Fx )2 + (∑ Fy )2
= 53.8 2 + 9,3 2 = 54,6 N
El ángulo que forma la resultante con la horizontal es: tan α =
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∑ Fy 9,3
=
= 0,17
∑ Fx 53,8
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2. Un peso de 16 kp pende del punto medio de una cuerda sujeta por sus extremos a dos
dinamómetros situados en la misma horizontal, cada uno de los cuales indica una tensión de 16
Kp. Calcula el ángulo que forman cada uno de los tramos de la cuerda con la horizontal, supuesto
el sistema en equilibrio.
3. Una varilla rígida de 4 cm de longitud y 2 kg de peso va apoyada por sus extremos en los hombros
de dos personas. Un peso de 30 kg pende de la varilla a 1 m de uno de los extremos. Calcula la
fuerza que soporta cada una de estas personas.
4. Un peso de 50 kg pende de una cuerda colgada del centro de otra, de 10 m de longitud, sujeta por
sus extremos a dos paredes que se encuentran a 3 m y 4 m del peso. Calcula la tensión de cada
tramo de cuerda en el equilibrio.
2. CENTRO DE GRAVEDAD
1. Disponemos de listones que tienen una masa de 10 g por cm de longitud. Se forma una “L” con
dos listones, de 40 cm y 30 cm, respectivamente. Determina la posición del centro de gravedad.
Sean m1=400 g la masa del listón de 40 cm de longitud, cuyo centro de gravedad es G1(0, 20). Sea
m2=300 g la masa del listón de 30 cm de longitud, cuyo centro de gravedad es G2(15, 0). Entonces, el
centro de gravedad del sistema es el punto G( X 0 , Y0 ) cuyas coordenadas son las siguientes:
X0 =
∑ m i ⋅ X i = m1 ⋅ X1 + m 2 ⋅ X 2 = 400 ⋅ 0 + 300 ⋅ 15 = 45 cm
m1 + m 2
400 + 300
7
∑ mi
Y0 =
∑ m i ⋅ Yi = m1 ⋅ Y1 + m 2 ⋅ Y2 = 400 ⋅ 20 + 300 ⋅ 0 = 80 cm
m1 + m 2
400 + 300
7
∑ mi
Usamos la SLIM para efectuar los cálculos en el modo matemático [SHIFT] [MENU] (SETUP) del menú
RUN-MAT:
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2. Con dos listones iguales de 60 cm cada uno, de idéntica calidad a los anteriores, se forma una “V”
que forma un ángulo de 60º. Determina el centro de gravedad.
3. Con el mismo tipo de listones se forma una “N”, utilizando dos listones de 30 cm y uno de 50 cm.
Determina el centro de gravedad.
4. Con un listón vertical de 60 cm y dos horizontales, de 30 cm y 20 cm, se construye una “F”. El
material tiene una masa de 10 g por cm de longitud. Determina el centro de gravedad.
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5. Se construye una “M” utilizando cuatro listones del mismo tipo que los anteriores, dos de 80 cm y
dos de 50 cm. La distancia entre los dos verticales es 60 cm. Determina el centro de gravedad.
6. Una chapa rectangular tiene unas dimensiones de 50 cm por 20 cm. Su masa es 200 g. De una de
las esquinas de esta chapa se recorta un cuadrado de 8 cm de lado. Calcula la posición del centro
de gravedad de el trozo resultante.
7. De un disco circular de 10 cm de radio se recorta un círculo, cuyo diámetro coincide con uno de los
radios del disco. El material tiene una masa de 1 g por cm2. Determina el centro de gravedad de la
figura resultante.
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3.- Dinámica con la calculadora gráfica FX−9860G SD SLIM
1. Por la garganta de una polea pasa una cuerda en cuyos extremos hay atados un peso de 2 kp y
otro de 4 kp. Calcula: 1) la aceleración del sistema cuando se pone en movimiento, 2) la tensión de
la cuerda cuando el sistema se pone en movimiento, 3) el tiempo necesario para que las pesas se
desnivelen en 6 m, si inicialmente estaban a la misma altura.
1) Se cumple que: a = g ⋅
m1 − m 2
4−2
= 9,8 ⋅
= 3.26 m / s 2
m1 + m 2
4+2
2) T1 = m1 ⋅ g − m 2 ⋅ a = m1 ⋅ (g − a ) = 4 ⋅ (9,8 − 3,26 ) = 26,16 N
T2 = m 2 ⋅ g + m 2 ⋅ a = m 2 ⋅ (g + a ) = 2 ⋅ (9,8 + 3,26 ) = 26,12 N
3) e =
1
2⋅e
a⋅t2 → t2 =
→t=
2
a
2⋅e
=
a
2⋅3
= 1,35 s
3,26
2. Una fuerza de 40 dinas actua sobre una masa de 1 kg que se desliza sin rozamiento durante 10 s.
Calcula: 1) el impulso mecánico, 2) la velocidad adquirida por el móvil, 3) la cantidad de
movimiento al final.
1) IM = F ⋅ t =40⋅10=400 dinas × s
2) F=m⋅a → a =
F
40
=
= 0,04 m/s 2 → v = a⋅t = 0,04×10 = 0,4 cm/s
m 1000
3) CM = m⋅v = 1000⋅ 0,4 = 400 g ⋅ cm/s = 400 d.s.
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3. Calcula la fuerza expansiva de la pólvora en un cañón de 4 m de longitud, sabiendo que el
proyectil, que pesa 15 kp, sale con la velocidad de 800 m/s.
v = a⋅t
1
e = ⋅a⋅ t2
2
800 = a ⋅ t
1
4 = ⋅a⋅t2
2
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
→ 8 = 800⋅t → t =
8
800
= 0,01 s → a =
= 80000 m / s 2
800
0,01
p = 15 kp = 15×9,8 N
p = m⋅g → m=
p 15 ⋅ 9,8
=
= 15 kg
g
9,8
F = m⋅a = 15×80000 = 1200000 N
4. Un hombre que pesa 70 kp se encuentra en la azotea de un edificio a 36 m de altura y va a
efectuar el descenso suspendido del extremo de un cable que pasa por una polea en cuyo otro
extremo hay un contrapeso. Calcula este contrapeso para que la velocidad de llegada al suelo sea
3 m/s.
v =a⋅t
⎫
⎪
1
2 ⎬
e = ⋅a⋅t ⎪
2
⎭
a = g⋅
m1 − m 2
m1 + m 2
3=a⋅t
1
36 = ⋅ 3 ⋅ t
2
→
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
→ 72 = 3 t → t =
72
3 3
1
= 24 s → a = =
=
m/s 2
3
t 24 8
1 70 − m 2
=
⋅ 9,8 → 70 + m2 = 5600 − 80 m2
8 70 + m 2
→ 81 m2 = 5530 → m 2 =
5530
= 68,27 kg
81
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Enero/Febrero 2008
5. En los extremos de una cuerda que pasa por una polea se han colocado pesas iguales de 48 g
cada una. Al añadir un sobrepeso de 4 g en uno de los extremos, se produce un movimiento cuya
aceleración es 39,12 cm/s2. Con estos datos, calcula el valor de g.
a = g⋅
m1 − m 2
m1 + m 2
→
0,3912 = g ⋅
52 − 48
48 + 52
→ 0,3912 ( 48 + 52 ) = g ( 52 − 48 ) → g =
39,12
= 9,78 m/s 2
4
6. La masa de un motorista con su máquina es 120 kg. Este motorista toma una curva de 40 m de
radio con la velocidad de 72 km/h. Calcula: 1) la fuerza centrífuga, 2) el ángulo que debe inclinarse.
1) La fuerza centrífuga es: F =
2)
tan α =
m ⋅ v 2 120 ⋅ 20 2
=
= 1200 N
R
40
v2
20 2
=
≈ 1 → α = arc tan 1 ≈ 45º
g ⋅ R 9,8 ⋅ 40
7. Sea un golfo o ria. Lo cerramos por medio de una represa de tal forma que la superficie de agua
embalsada es de 10 km2. Sabiendo que las mareas alcanzan un nivel máximo de 3 m, calcula: 1)
la energía potencial de agua embalsada a desnivel máximo. 2) la potencia, en megawatios, si se
produce cada seis horas.
1)
S = 10 km 2 = 10000000 m 2 = 10 7 m 2 ⎫⎪
7 3
3
⎬ → V = S ⋅ h = 3 ⋅ 10 m = 30000000 m
h=3 m
⎭⎪
M
→ M = D ⋅ V = 3 ⋅ 10 7 m 3 × 1000 kg / m 3 = 3 ⋅ 1010 kg
V
1
1
kg
m3
1 kg = 1000 g;
1g =
1 cm 3 =
1000
1000000
D=
Energía potencial: E P = m ⋅ g ⋅ h = 3 ⋅ 1010 ⋅ 9,8 ⋅ 1,5 = 4,41 ⋅ 1011 julios
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2)
Potencia: P =
Enero/Febrero 2008
T E P 4,41⋅ 1011
=
=
= 20416666,6 7 w = 20,4 Mw
t
t
3600 ⋅ 6
8. Una masa de 2 kg se suelta desde una altura de 80 m. Calcula sus energías potencial, cinética y
mecánica en los siguientes casos: a) en el momento de soltarla; b) un segundo más tarde; c)
cuando se encuentra a la mitad del trayecto; d) cuando faltan 2 segundos para chocar contra el
suelo; e) en el momento de chocar contra el suelo.
a) E P = m ⋅ g ⋅ h = 2 kp ⋅ 9,8 m/s 2 ⋅ 80 m = 1568 julios
1
1
E C = m ⋅ v 2 = ⋅ 2 ⋅ 0 = 0 julios
2
2
E M = E P + E C = 1568 julios
v = g⋅ t
b)
1
e = ⋅g⋅ t2
2
E P = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 75 = 1470 julios ⎫
⎫ v = 9,8 m/s
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬ E M = 1570 julios
1
⎬
1
⎬ →
2
E C = ⋅ 2 ⋅ 10 = 100 julios ⎪
⎪⎭ e = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 1 = 4,9 m ⎪⎭
2
⎭
c)
v = 9,8 t
1
40 = ⋅ 9.8 t 2
2
d)
2 ⋅ 40
⎫
= 2,8
⎪ t=
9,8
⎬
⎪⎭ v = 9,8 ⋅ 2,8 = 27,44
⎫
E P = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 40 = 784 julios
⎫
⎪
⎪
→
⎬
1
2 = 752,95 julios ⎬ E M = 784 + 752,95 = 1537 J
E
=
⋅
2
⋅
27,44
C
⎪
⎪
2
⎭
⎭
v = 9,8 ⋅ 2 = 19,6 m/s
⎫
⎫ E P = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 60 = 1176 Julios
⎪
⎪
→
⎬ E M = 1176 + 384,16 = 1560,16 J
⎬
1
1
"
2
2
h = ⋅ 9,8 ⋅ 2 = 19,6 m⎪ E C = ⋅ 2 ⋅ 19,6 = 384,16 Julios⎪
2
2
⎭
⎭
E = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 0 = 0 Julios
v = 9,8 ⋅ 4 = 39,2 m/s ⎫ P
e)
⎬
1
2
e = 80 m
⎭ E C = ⋅ 2 ⋅ 39,2 = 1536,64 Julios
2
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⎫
⎪
⎬ E M = 1536,64 Julios
⎪
⎭
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9. Una masa de 1 kg se deposita sobre un plano inclinado 30º, siendo el coeficiente de rozamiento
0,1. Al soltarlo, se desliza hacia abajo recorriendo 10 m. Calcula el trabajo realizado por las fuerzas
de rozamiento y las variaciones de energía potencial y cinética.
El coeficiente de rozamiento es c=0,1. Se cumple que h=10sen30=10⋅
EP1 = m ⋅ g ⋅ h = 1⋅ 9,8 ⋅ 5 = 50 Julios ⎫
⎪
⎬
1
EC1 = ⋅ m ⋅ v 2 = 0 Julios
⎪
2
⎭
a=
1
=5 m
2
EP2 = 0 Julios
⎫
⎪
⎬
1
1
EC 2 = ⋅ m ⋅ v 2 = ⋅ 1⋅ v 2 = 42 Julios ⎪
2
2
⎭
⎛1
⎞
F T − Fr
3
=
= g ⋅ (sen α − c ⋅ cos α ) = 9,8 ⋅ ⎜ −
⋅ 0,1⎟ = 4,05 m/s 2
⎜
⎟
m
m
⎝2 2
⎠
Las variaciones de energía potencial y cinética son las siguientes:
∆E P = EP2 − EP1 = −50 Julios ⎫
⎬
∆E C = EC 2 − EC1 = 42 Julios ⎭
El trabajo realizado es el siguiente:
TR = Fr ⋅ e . Teniendo en cuenta que la fuerza de rozamiento es: Fr = c ⋅ N = c ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α , el
trabajo realizado será: TR = c ⋅ e ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α = 0,1⋅ 10 ⋅ 1⋅ 9,8 ⋅
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3
= 10 ⋅ 0,8 = 8 Julios
2
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10. En los extremos de una cuerda que pasa por una máquina de Atwood, se sujetan masas de 6 kg y
4 kg. Calcula la velocidad de estas masas cuando se han desnivelado 2 m, por variaciones de
energia.
La variación de energía debe ser cero. ∆E=0. Calculamos la variación de energía potencial y
cinética:
∆E P = m1 ⋅ g ⋅ h1 − m 2 ⋅ g ⋅ h 2 = 4 ⋅ 9,8 ⋅ 1− 6 ⋅ 9,8 ⋅ 1 = −19,6 Julios
∆E P + ∆E C = ∆E = 0 → ∆E C = − ∆E P = 19,6 Julios
Ahora bien, ∆E C =
1
1
1
1
⋅ m1 ⋅ v 2 + ⋅ m 2 ⋅ v 2 = 19,6 Julios →
⋅ 4 ⋅ v 2 + ⋅ 6 ⋅ v 2 = 19,6
2
2
2
2
Resolvemos esta ecuación con el menú EQUA de la SLIM:
Por lo tanto, la velocidad es de V=1,97 m/s.
11. Un coche que pesa 1000 kg se mueve por una carretera horizontal, con la velocidad de 72 km/h.
Las fuerzas de rozamiento se evalúan en un 10% del peso del coche en todo momento. Calcula,
en caballos de vapor, la potencia desarrollada por el motor.
12. Suponiendo que el coche anterior tuviese que subir por una pendiente de un 8% con la misma
velocidad, ¿cuál debe ser la potencia del motor?
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13. Calcula la potencia que debe realizar el motor del coche anterior para descender con la misma
velocidad por una pendiente del 2%.
14. Desde lo alto de una torre de 100 m de altura se lanza hacia abajo una piedra de 5 kg con una
velocidad inicial de 1 m/s. Calcula su energía cinética cuando llegue al suelo.
15. Calcula el trabajo necesario para arrastrar por un suelo horizontal, con velocidad constante, un
baúl que pesa 100 kp durante un trayecto de 2 m, si el coeficiente de rozamiento es 0,03, en el
supuesto de que la fuerza actúe formando un ángulo de 30º con la horizontal.
16. Sobre una mesa horizontal, de madera, se coloca un adoquín que pesa 2 kp, del que se sujeta un
hilo horizontal, que pasa por el extremo de una polea sujeta en el extremo de la mesa. Al otro
extremo del hilo se cuelga una pesa de 500 g y se suelta. Calcula la variación de energía potencial
del sistema, al cabo de un segundo (coeficiente de rozamiento, c=0,1).
17. Calcula la energía cinética final del sistema anterior, el trabajo de rozamiento y comprueba el
principio de conservación de la energía.
18. Un cuerpo es atraído hacia un punto O con una fuerza dada por F=−6x2 (unidades cegesimales).
Calcula el trabajo necesario para trasladar el cuerpo desde un punto A que dista 1 m de O hasta
otro B situado a 20 cm de O.
Se cumple: F= − 6x 3
Entonces, el trabajo se calcula por medio de la integral:
20
⎡x4 ⎤
⎛ 20 4 100 4
⎥
= −6 ⋅ ⎜
−
T = ∫ F ⋅ dx = ∫ − 6X ⋅ dx = −6 ∫ x ⋅ dx = −6 ⋅ ⎢
⎜ 4
4
⎢⎣ 4 ⎥⎦
a
100
100
⎝
100
b
20
3
20
3
⎞
⎟ = 149760000 ergios = 14,9 J
⎟
⎠
Podemos calcular esta integral con la SLIM, de la siguiente forma: pulsamos [SHIFT] [MENU]
(SETUP) y elegimos el modo matemático. Abrimos después el menú RUN-MAT.
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Pulsamos [F4] (MATH)
Pulsamos [F6] (Y)
Pulsamos [F1] para introducir el signo de integral
Introducimos la función y los extremos de integración:
Pulsamos [EXE] para obtener el resultado:
19. Un bloque de hierro de 8 kp es arrastrado sobre una mesa de madera por la acción de un peso de
2 kp que cuelga verticalmente de una cuerda sujeta al bloque, que pasa por una polea. El
coeficiente de rozamiento es c=0,2. Calcula: 1) la aceleración del movimiento, 2) la pérdida de
energia potencial del sistema al cabo de 2 s. 3) el trabajo producido por las fuerzas de rozamiento.
4) la velocidad del sistema a los 2 s. 5) comprueba la conservación de la energía mecánica.
20. Se aplica a un cilindro de 10 cm de radio una fuerza tangencial constante de 20 N, con lo que el
cilindro se pone a girar sobre su eje, con rozamiento despreciable y al cabo de un minuto está
girando con la velocidad angular de w=300 rad/s. Calcula: 1) el momento del par, 2) la aceleración
angular, 3) el momento de inercia, 4) la masa del cilindro, 5) la energía cinética de rotación al final.
1) M = F⋅d = 20 × 0,1 = 2 N.m
W 300
=
= 5 rad/s 2
t
60
2)
Aa =
3)
I=
M
2
= = 0,4 kg ⋅ m 2
Aa 5
4)
I=
1
2 I 2 ⋅ 0,4
⋅m ⋅R2 → 2 I = m ⋅R2 → m =
=
= 80 kg
2
R2
0,12
Podemos resolver este apartado usando el menú EQUA de la SLIM:
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5)
EC =
Enero/Febrero 2008
1
1 2
⋅ I ⋅ W 2 = ⋅ ⋅ 300 2 = 18000 Julios
2
2 5
21. Calcula el número de vueltas del cilindro anterior durante el minuto citado.
22. Una esfera de 200 g de masa y 10 cm de radio gira alrededor de uno de us diámetros. Calcula su
momento de inercia y su radio de giro.
23. Un disco plano de 50 g de masa y 9 cm de radio gira alrededor de un eje perpendicular que lo
atraviesa por su centro a 45 revoluciones por minuto. Calcula su momento cinético.
24. Mientras el disco anterior está en marcha se le pega una masa, supuesta puntual, de 20 g, a una
distancia de 5 cm del eje de giro. Calcula la velocidad angular en estas condiciones.
25. Se deja caer una bolita de 1 cm de radio desde cierta altura. Si cae sin rodar, su velocidad al llegar
al suelo es de 10 m/s. Si cae mientras rueda sobre su eje, su velocidad angular al llegar al suelo es
50 5 rad/s. Calcula la velocidad con que llegará al suelo en este caso.
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