Download el modelo matemático del sistema rodillo-resorte

EL SISTEMA RODILLO-RESORTE-CONTRAPESO
MODELO MATEMATICO
Con el propósito de recrear la teoría de la Mecánica del Sólido Deformable, en su
parte fundamental como es La Elasticidad, hemos creado un aparato compuesto
por un rodillo, un resorte y una masa puntual a manera de contrapeso, cuyo modelo
matemático resolveremos a continuación.
La imagen muestra al sistema:
Un rodillo de masa M y radio R, se une en su
vértice superior mediante un nudo de cuerdas
inextensibles a un resorte de constante elástica k
y a un contrapeso de masa m que cuelga de una
polea sin fricción y masa despreciable.
La superficie de contacto del rodillo con la placa
de base garantiza que no habrá deslizamiento.
Asumiendo que las cantidades anotadas: masas
M y m, radio R y constante k son conocidas de
antemano, junto a la aceleración de la gravedad
g, resolveremos el caso de determinar la
frecuencia natural fr de oscilación del sistema.
Luego del proceso de abstracción del modelo, trabajamos con el esquema
resultante.
Enunciaremos las premisas que sustentan las relaciones que hemos de establecer:
a) La fricción entre la base y el rodillo es suficiente para impedir el
deslizamiento.
b) La polea no ofrece resistencia por fricción y su masa es despreciable.
c) La posición de equilibrio corresponde a la acción libre del contrapeso que ha
estirado al resorte una cantidad proporcional al peso del mismo.
d) Las elongaciones son pequeñas para evitar la distorsión de la geometría del
sistema.
El problema será abordado mediante dos métodos: el método de la energía y el
método de la dinámica.
METODO DE LA ENERGÍA
Aplicamos el principio de conservación de la energía, que establece que en
cualquier instante la suma de todas las energías concurrentes en el sistema es una
constante.
Durante la posición de equilibrio, las energías cinéticas son cero, mientras que las
energías potenciales se anulan, por un lado la energía potencial del resorte y la
energía de posición del contrapeso.
1 2
𝑘∆ = 𝑚𝑔∆𝑜
2 𝑜
Donde ∆𝑜 es la deformación inicial del resorte, producto de la acción del contrapeso.
Descubrimos que cualquier deformación del resorte, en la dirección del avance del
contrapeso, produce una energía potencial inversa.
La energía total del sistema, cuando estiramos el contrapeso una distancia ∆ hacia
abajo será:
1
𝐸𝑡 = − 𝑘∆2
2
Una vez que soltamos el contrapeso, se inicia el movimiento oscilatorio, mostrando
la característica del sistema: es un movimiento periódico de frecuencia natural fr.
En cualquier instante la energía total inicial se habrá transformado en la energía
potencial remanente en el resorte y las energías cinéticas tanto del rodillo (que
comenzará a rodar) como del contrapeso (que comenzará a ascender).
1
1
1
1
𝐸𝑡 = − 𝑘∆2 + 𝑘𝑥 2 + 𝑚𝑣 2 + 𝐼𝜔2
2
2
2
2
Donde 𝑥 es la coordenada del desplazamiento de la masa m al ascender (valores
negativos hacia arriba) que se manifiesta en el movimiento del rodillo y el extremo
𝑑𝑥
del resorte. 𝑣 es la velocidad asociada a 𝑥 (𝑣 = 𝑑𝑡 ) y 𝜔 es la velocidad angular del
rodillo cuando gira alrededor de su punto de apoyo con la base, llamado centro
instantáneo de rotación. 𝐼 es el momento de inercia del rodillo respecto a aquel
centro.
Realizaremos las transformaciones necesarias antes de igualar las energías:
𝜔=
𝑣
2𝑅
Igualando:
1 2 1
1 𝑣2
𝑘𝑥 + 𝑚𝑣 2 + 𝐼 2 = 0
2
2
2 4𝑅
Vamos a derivar la ecuación respecto al tiempo:
𝑘𝑥𝑣 + 𝑚𝑣𝑎 + 𝐼
𝑣
𝑎=0
4𝑅 2
Donde 𝑎 es la aceleración de la masa m.
Simplificando obtenemos la ecuación diferencial:
𝑑2𝑥
𝑘
+
𝑥=0
2
𝐼
𝑑𝑡
𝑚+ 2
4𝑅
Que nos permite acceder a la solución ya que la frecuencia natural del sistema es:
𝑘
√
𝐼
𝑚+ 2
4𝑅
𝑓𝑟 =
2𝜋
Podemos advertir que la aceleración de la gravedad no interviene ya que su efecto
está neutralizado por la complementación original entre el resorte y el contrapeso.
METODO DINAMICO
Aplicaremos la teoría de la dinámica al movimiento de cada una de las partes del
sistema, obteniendo las ecuaciones del movimiento de cada una de ellas, para luego
ensamblar aquella expresión que nos permita deducir la solución al problema
planteado.
El sistema puede ser descompuesto en cada una de sus partes:
El contrapeso:
Tomando en cuenta que su peso ha sido
virtualmente eliminado mientras el resorte se
deformaba hasta lograr la posición de
equilibrio, la única fuerza que actúa es la
debida a la inercia 𝑚𝑎, que corresponde al
desplazamiento 𝑥 y su aceleración asociada
𝑎=
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
El resorte:
La elongación 𝑥 se traduce en un
alargamiento del resorte, que debe
acompañarse con la fuerza 𝑘𝑥.
El rodillo:
La polea transfiere la fuerza inercial del
contrapeso al vértice del rodillo, del mismo
modo que el extremo del resorte unido a
éste, por lo que el rodillo hade oscilar
alrededor de su centro instantáneo de
rotación cir, con aceleración angular 𝛼
Ensamblando todo el paquete anterior tenemos:
𝐼𝛼 = −𝑚𝑎(2𝑅) − 𝑘𝑥(2𝑅)
𝑎
𝛼=
2𝑅
𝑑2𝑥
𝑘
+
𝑥=0
𝑑𝑡 2 𝑚 + 𝐼
4𝑅 2
Que nos da como resultado la expresión de la frecuencia natural del sistema:
𝑘
√
𝐼
𝑚+ 2
4𝑅
𝑓𝑟 =
2𝜋
Corresponde reemplazar los datos numéricos del sistema real y verificar la validez
de la fórmula.
Por ejemplo:
𝑅 = 10 𝑐𝑚.
1
3
𝑀 = 5 𝑘𝑔. →
𝐼 = 𝑀𝑅 2 + 𝑀𝑅 2 = 𝑀𝑅 2 = 750 𝑘𝑔. 𝑐𝑚2
2
2
𝑚 = 0,5 𝑘𝑔.
𝑁
1,0 𝑘𝑔 × 100 𝑐𝑚/𝑐𝑚
𝑘 = 1,0
=
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔2
La frecuencia natural correspondiente sería aproximadamente igual a:
𝑓𝑟 = 1,032 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔
La frecuencia real comprobada es igual a 0,97 osc/seg.