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BACHILLERATO
FÍSICA
B. REPASO DE MECÁNICA
R. Artacho
Dpto. de Física
y Química
B. REPASO DE MECÁNICA
ÍNDICE
1. Las magnitudes cinemáticas
2. Movimientos en una dimensión. Movimientos rectilíneos
3. Movimientos en dos dimensiones
4. Masa y momento lineal
5. Leyes de la dinámica de Newton
6. Impulso mecánico
7. Fuerzas elásticas o restauradoras
8. Resolución de problemas de fuerzas
9. Trabajo Mecánico
10. Energía mecánica
11. Colisiones entre cuerpos
12. Trabajo y energía potencial: fuerzas conservativas
13. Conservación de la energía mecánica
2
B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
1 Las magnitudes cinemáticas
Las magnitudes que permiten describir completamente el movimiento de un
cuerpo son: la posición, la velocidad y la aceleración.
1.1. Posición
 Se define la posición como el vector que une el origen del sistema de
referencia elegido con el lugar ocupado por el cuerpo.
 La unidad de posición en el S.I. es el m.
Y
y𝑗
𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑦 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑟



O
𝑧𝑘
𝑥𝑖
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝛾
X
𝑟=
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1
Z
3
B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
1 Las magnitudes cinemáticas
1.1. Posición
Posición de un cuerpo en movimiento
 Cuando un cuerpo se mueve, cambia su posición.
 El vector de posición como función del tiempo nos da la ecuación de
la trayectoria:
𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘
𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎
Y
∆𝑠
Se define el desplazamiento:
∆𝑟
∆𝑟 = 𝑟𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑟𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑟𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑟𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
En general:
O
X
∆𝑟 ≠ ∆𝑠 (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎)
Z
4
B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
1 Las magnitudes cinemáticas
1.2. Velocidad
 Se define velocidad como la rapidez con que varía la posición.
 La unidad de velocidad en el S.I. es el m/s.
𝑣𝑚 =
∆𝑟
∆𝑡
Velocidad instantánea
𝑣
Y
∆𝑟
∆𝑟
𝑣 = lim
∆𝑡→0 ∆𝑡
∆𝑟
∆𝑟
d𝑟
𝑣=
𝑟0
𝑑𝑟 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝑖+
𝑗+ 𝑘
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧 𝑘
O
Z
X
𝑣=
𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2
La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria
5
B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
1 Las magnitudes cinemáticas
1.3. Aceleración
 Se define aceleración como la rapidez con que varía la velocidad.
 La unidad de aceleración en el S.I. es el m/s2.
𝑎𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
Aceleración instantánea
𝑑𝑣𝑦
∆𝑣 𝑑 𝑣 𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑣𝑧
𝑎 = lim
=
=
𝑖+
𝑗+
𝑘
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Y
𝑎
𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘
𝑎=
O
Z
X
𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 + 𝑎𝑧2
𝑑2𝑟 𝑑2𝑥
𝑑2𝑦
𝑑2𝑧
𝑎= 2 = 2𝑖+ 2𝑗+ 2𝑘
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
La aceleración instantánea es un vector dirigido a la parte cóncava de la trayectoria
6
B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
1 Las magnitudes cinemáticas
1.3. Aceleración
Componentes intrínsecas de la aceleración
𝑎𝑡
𝑎
𝑎
𝑎𝑐
𝑎𝑡
𝑢𝑟
𝑎𝑐
 La aceleración tangencial, at, produce
cambios en el módulo de la velocidad:
𝑑𝑣
𝑎𝑡 =
𝑢
𝑑𝑡 𝑡
 La aceleración centrípeta, ac, produce
cambios en la dirección de la velocidad sin
afectar a su módulo:
𝑣2
𝑎𝑐 = − 𝑢𝑟
𝑟
𝑎 = 𝑎𝑡 𝑢𝑡 + 𝑎𝑐 𝑢𝑟
𝑎=
𝑎𝑡2 + 𝑎𝑐2
7
B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
1 Las magnitudes cinemáticas
EJERCICIO 1
El vector de posición de un movimiento viene dado por:
𝑟 𝑡 = 2𝑡 2 − 1 𝑖 − 3𝑡𝑗 + 4𝑘
Determinar:
a) La ecuación de la trayectoria.
b) La velocidad media entre los instantes t = 1 y t = 3 s.
c) El vector velocidad instantánea en función del tiempo y su módulo.
d) La aceleración en función del tiempo y su módulo.
e) Las componentes intrínsecas de la aceleración en t = 1 y t = 3 s.
f) El radio de curva en los instantes t =1 y t = 3 s.
8
B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
2 Movimientos rectilíneos
2.1. Movimiento rectilíneo uniforme
O
x0
x
𝑑𝑥
𝑣=
⟹ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 ⟹
𝑑𝑡
𝑥
𝑡
𝑑𝑥 =
𝑣𝑑𝑡
𝑥0
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣(𝑡 − 𝑡0 )
𝒙 = 𝒙𝟎 ± 𝒗𝒕
𝑡0
x
x
x0
x0
t
Móvil que se dirige hacia valores
positivos de la posición
t
Móvil que se dirige hacia valores
negativos de la posición
9
B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
2 Movimientos rectilíneos
2.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
t
O
t
x0
x
𝑣
𝑑𝑣
𝑎=
⟹ 𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 ⟹
𝑑𝑡
𝑡
𝑑𝑣 =
𝑎𝑑𝑡
𝑣0
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0 )
𝑡0
𝒗 = ±𝒗𝟎 ± 𝒂𝒕
𝑑𝑥
𝑣=
⟹ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 ⟹
𝑑𝑡
𝑥
𝑡
𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑡
𝑣𝑑𝑡 =
𝑡0
𝑡
(±𝑣0 ± 𝑎𝑡) 𝑑𝑡 = ±𝑣0
𝑡0
𝑡
𝑑𝑡 ± 𝑎
𝑡0
𝑡𝑑𝑡
𝑡0
𝟏
𝒙 = 𝒙𝟎 ± 𝒗𝟎 𝒕 ± 𝒂𝒕𝟐
𝟐
10
B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
2 Movimientos rectilíneos
2.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Gráficas del movimiento
x
a
v
x0
v0
a
v0
x0
t
t
t
-a’
𝑣0 > 0; 𝑎 > 0
𝑣0 > 0; 𝑎 > 0
𝑎>0
𝑣0 > 0; 𝑎 < 0
𝑣0 > 0; 𝑎 < 0
𝑎<0
11
B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
2 Movimientos rectilíneos
2.3. Movimientos acelerados en la naturaleza
Movimiento bajo la acción de la gravedad
Cuando la altura, h, sobre la superficie terrestre, o de un planeta en
general, es pequeña en comparación con el radio terrestre, la
aceleración debida al campo gravitatorio, se puede considerar
constante, y se representa por g.
𝑆𝑖 ℎ ≪ 𝑅𝑇 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑔 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
1
𝑦 = 𝑦0 ± 𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
𝑣 = ±𝑣0 − 𝑔𝑡
12
B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
2 Movimientos rectilíneos
EJERCICIO 2
Desde una altura de 50 m se deja caer un cuerpo. Un segundo después, desde
el suelo, se lanza hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 40 m/s.
Determinar:
a) Las gráficas x-t y v-t correspondientes a ambos movimientos.
b) ¿A qué altura se encuentran?
c) ¿Qué velocidad llevan en ese momento?
d) ¿Cuánto tiempo tardan en caer cada uno de ellos?
e) ¿Con qué velocidad llega cada uno al suelo?
(El rozamiento se considera despreciable)
Dato: g = 10 m/s2
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B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
3 Movimientos en dos dimensiones
3.1. Movimiento parabólico
Movimiento descrito por un cuerpo lanzado con una velocidad inicial, v0,
que forma un ángulo  con la horizontal.
y
𝑥 = 𝑣0 𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼
v0
y0
1
𝑦 = 𝑦0 ± 𝑣0 𝑡𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔𝑡 2
2

𝑣𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑣𝑦 = ±𝑣0 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔𝑡
x
 En el punto más alto de la trayectoria, la componente vy, de la
velocidad se hace cero.
 En el punto de aterrizaje del objeto (alcance máximo), la altura se
hace cero.
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B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
3 Movimientos en dos dimensiones
EJERCICIO 3
Desde una altura de 20 m se lanza una piedra con una velocidad de 60 m/s y
un ángulo de inclinación respecto a la horizontal de 30º.
a) Calcula la ecuación de la trayectoria.
b) ¿Qué altura máxima alcanza medida desde el suelo?
c) ¿A qué distancia, medida desde la vertical del punto de lanzamiento
impacta sobre el suelo?
d) ¿Qué tiempo tarde en llegar al punto de impacto?
e) ¿Con qué velocidad llega al punto de impacto?
f) ¿Qué ángulo forma el vector velocidad con la horizontal?
Dato: g = 10 m/s2
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B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
3 Movimientos en dos dimensiones
3.2. Movimientos de trayectoria circular
Los movimientos circulares son siempre acelerados, ac  0.
s

r
Magnitud lineal
∆𝑠
𝑟
𝑑𝜃
𝜔=
Velocidad angular:
𝑑𝑡
𝑑𝜔
Aceleración angular: 𝛼 =
𝑑𝑡
Posición angular:
Magnitud angular
∆𝜃 =
Relación
Distancia recorrida, s (m)
Ángulo descrito,  (rad)
s = ·r
Velocidad, v (m/s)
Velocidad angular,  (rad/s)
v = ·r
Aceleración, a (m/s2)
Aceleración angular,  (rad/s2) at = ·r
ac = 2·r
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B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
3 Movimientos en dos dimensiones
3.2. Movimientos de trayectoria circular
Carácter vectorial de la velocidad y aceleración angulares
𝜔
𝑣 =𝜔×𝑟
𝑎𝑡 = 𝛼 × 𝑟
𝑟
𝑣
Ecuaciones del MCU y MCUA
Movimiento circular y
uniforme
Movimiento circular
uniformemente acelerado
𝜃 = 𝜃0 ± 𝜔𝑡
1
𝜃 = 𝜃0 ± 𝜔0 𝑡 ± 𝛼𝑡 2
2
𝜔 = ±𝜔0 ± 𝛼𝑡
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B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática)
3 Movimientos en dos dimensiones
EJERCICIO 4
Un disco de 50 cm de radio gira con una velocidad de 50 rpm. En un
determinado momento se frena hasta que se detiene en 10 s.
a) Calcula la aceleración angular supuesta constante.
b) ¿Cuántas vueltas ha dado en esos 10 s?
c) Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los 5 s de iniciar el
frenado.
d) ¿Qué velocidad lineal lleva en t = 5 s un punto distante a 25 cm del centro?
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B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica)
4 Masa y momento lineal
La masa es la medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo
Un cuerpo en reposo
tiende a permanecer en
reposo
A causa de su gran inercia, no
es fácil desviar el barco de su
curso
Un cuerpo en movimiento
tiende a permanecer en
movimiento
El momento lineal o cantidad de movimiento es la magnitud que
caracteriza el estado de movimiento de un cuerpo.
𝑝 = 𝑚𝑣 (𝑘𝑔 · 𝑚 𝑠)
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B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica)
5 Leyes de la dinámica de Newton
5.1. Primera ley: ley de inercia
Un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas, o la resultante de todas las que
actúan es nula, permanecerá en reposo o moviéndose con velocidad
constante.
Ley de conservación del momento lineal
El momento lineal de un cuerpo o sistema aislado permanece constante.
𝑆𝑖
𝐹 = 0 ⟹ 𝑝 = 𝐶𝑡𝑒.
20
B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica)
5 Leyes de la dinámica de Newton
5.2. Segunda ley: ley fundamental de la dinámica
El cambio de momento lineal de un cuerpo es proporcional a la fuerza que
actúa y se produce en la dirección de dicha fuerza.
𝐹=
𝑑𝑝 𝑑(𝑚𝑣)
𝑑𝑣
𝑑𝑚
=
=𝑚
+𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Si la masa permanece constante:
𝑛
𝐹 = 𝑚𝑎 ⟹
𝐹𝑖 = 𝑚𝑎
𝑖=1
5.3. Tercera ley: principio de “acción y reacción”
Cuando dos cuerpos interaccionan, se ejercen mutuamente fuerzas iguales y
de sentidos contrarios (aplicadas en cuerpos distintos).
𝐹12 = −𝐹21
21
B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica)
5 Leyes de la dinámica de Newton
5.4. Conservación del momento lineal de un sistema aislado
𝐹12 = −𝐹21
⟹
𝑑(𝑝1 +𝑝2 )
=0
𝑑𝑡
⟹
𝑑𝑝1
𝑑𝑝2
=−
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑝1 +𝑝2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
El momento lineal total de un sistema aislado permanece constante en el
tiempo.
Ejemplo: colisión de dos partículas no sometidas a otras interacciones
𝑝1 +𝑝2 = 𝑝1′ + 𝑝2′
⟹
∆𝑝1 = −∆𝑝2
El momento lineal que pierde una partícula lo gana la otra, de modo que el
momento en su conjunto no habrá variado.
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B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica)
6 El impulso mecánico
Se denomina impulso mecánico a la magnitud que combina la fuerza
aplicada y el tiempo que dura su aplicación.
𝐼 = 𝐹 · ∆𝑡
𝐼=
Δ𝑝
· ∆𝑡 = ∆𝑝
Δ𝑡
El impulso mecánico produce una variación del momento lineal de un
cuerpo.
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B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica)
7 Fuerzas elásticas o restauradoras
La fuerza restauradora que un muelle o resorte ejerce sobre un cuerpo es
proporcional a la deformación producida, y actúa oponiéndose a dicha
deformación (ley de Hooke)
𝐹𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = −𝑘∆𝑥
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B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica)
8 Resolución de problemas
𝑁
Procedimiento:
𝑁′
1. Identificación de los cuerpos que
m’
𝐹′
𝐹
intervienen en el problema.
𝐹′
2. Identificación de las fuerzas que
𝐹𝑅
𝐹′𝑅
actúan sobre cada uno de ellos,
dibujándolas en un diagrama.
3. Descomponer todas las fuerzas
𝑃′
𝑃
posibles en sus componentes
cartesianas.
4. Hallar la resultante de las componentes de las fuerzas en la dirección del
movimiento y aplicamos la 2ª ley de Newton a cada uno de los cuerpos
(tantas ecuaciones como cuerpos se tengan):
m
𝑛
𝐹𝑖 = 𝑚𝑎
𝑖=1
5. Calcular la aceleración:
𝐹𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 −
𝐹𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑚𝑎
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B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica)
8 Resolución de problemas
EJERCICIO 5
Un cuerpo de 0,5 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado, que forma 30º
con la horizontal, con una velocidad inicial de 5 m·s–1. El coeficiente de
rozamiento es 0,2.
a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, cuando sube
y cuando baja por el plano, y calcule la altura máxima alcanzada por el
cuerpo.
b) Determine la velocidad con la que el cuerpo vuelve al punto de partida.
g = 10 m·s–2
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B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
9 Trabajo mecánico
9.1. Trabajo de una fuerza constante
𝐹

∆𝑟
El trabajo de una fuerza constante que actúa sobre un cuerpo que realiza
un desplazamiento es igual al producto escalar entre la fuerza y el
desplazamiento.
𝑊 = 𝐹 · ∆𝑟 = 𝐹 · ∆𝑟 · 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐹𝑇 · ∆𝑟
 Si F e r son perpendiculares, W = 0.
 Si F e r son de la misma dirección y sentido, W = F· r (valor máximo)
 Si F e r son de la misma dirección pero sentido contrario, W = - F· r (negativo)
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B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
9 Trabajo mecánico
9.1. Trabajo de una fuerza constante
La unidad de trabajo mecánico en el SI es el julio (J), que se define como
el trabajo realizado por una fuerza de 1 N que actúa en la dirección del
movimiento y produce un desplazamiento de 1 m.
1𝐽 =1𝑁·1𝑚
𝐹𝑇
Para una fuerza constante, el área
encerrada bajo la gráfica de F
entre x0 y x1 representa el trabajo
realizado.
𝑊
𝑥0
∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0
𝑥1
𝑥
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B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
9 Trabajo mecánico
9.2. Trabajo de una fuerza variable
𝐹
𝐹𝑇
𝑥0
𝑥’
𝑥’’ 𝑥’’’ 𝑥’’’’ 𝑥1
𝑥
𝑑𝑊 = 𝐹 · 𝑑𝑟
𝑟0
𝑟
𝑊=
𝑟
𝑟
𝑟
𝑑𝑊 =
𝑟0
𝑑𝑟
𝐹 · 𝑑𝑟
𝑟0
29
B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
9 Trabajo mecánico
9.3. Trabajo de varias fuerzas
𝐹1
𝐹2
∆𝑟
∆𝑟
𝐹3
𝐹4
𝑛
𝑊𝑇 =
𝑟
𝑊𝑖 =
𝑖=1
𝑟
𝐹1 · 𝑑𝑟 +
𝑟0
𝑟
𝐹2 · 𝑑𝑟 + ⋯ +
𝑟0
𝑟
=
𝑟0
𝑟
𝐹1 + 𝐹2 + ⋯ + 𝐹𝑛 · 𝑑𝑟 =
𝑟0
𝐹𝑛 · 𝑑𝑟 =
𝐹𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 · 𝑑 𝑟
𝑟0
30
B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
9 Trabajo mecánico
9.4. Potencia
Se define como potencia a la rapidez con que se realiza un trabajo
𝑃=
𝑑𝑊 𝐹 · 𝑑𝑟
=
=𝐹·𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑡
La unidad de potencia es el Vatio (W).
1𝑊 =
1𝐽
1𝑠
Otras unidades:
1 𝑘𝑊 = 103 𝑊
1 𝐶𝑉 = 735 𝑊
31
B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
10 Energía mecánica
La energía mecánica es la capacidad que tienen los cuerpos de realizar un
trabajo en virtud de su movimiento y/o de estar en una posición distinta de la
de equilibrio.
Energía Mecánica
Energía cinética
Energía potencial
(asociada al movimiento)
(asociada a la posición)
La unidad de energía en el SI es el julio (J).
32
B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
10 Energía mecánica
10.1. Trabajo y energía cinética
𝐵
𝑊=
𝐵
𝐹 · 𝑑𝑟 =
𝐴
𝐹𝑇 · 𝑑𝑠 =
𝐴
𝐵
𝑊=
𝐵
𝐴
𝐵
𝑚 𝑣𝑑𝑣 = 𝑚
𝐴
𝐴
𝑑𝑣
𝑚
𝑑𝑠 =
𝑑𝑡
𝐵
𝐴
𝑑𝑠
𝑚 𝑑𝑣
𝑑𝑡
1
1
2
𝑣 𝑑𝑣 = 𝑚𝑣𝐵 − 𝑚𝑣𝐴 2
2
2
1
𝑚𝑣 2 se denomina energía cinética
2
Sea cual sea la naturaleza de la fuerza o fuerzas que actúen sobre un
cuerpo, el trabajo total realizado al trasladarlo entre dos puntos es igual a la
variación de la energía cinética.
𝑊 = ∆𝐸𝐶
33
B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
11 Colisiones entre cuerpos
En un sistema aislado, el momento lineal permanece constante. En una
colisión:
𝑃𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝑃𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠
Colisiones
Elástica
Inelástica
Plástica
(se conserva la e.
cinética)
(no se conserva la
e. cinética)
(totalmente
inelástica)
34
B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
11 Colisiones entre cuerpos
11.1. Colisiones elásticas
En las colisiones elásticas se conservan el momento lineal y la energía
cinética del sistema
Ejemplo:
𝑚1
𝑣1
𝑚2
𝑣2
(antes de la colisión)
𝑚1
𝑣1 ′
𝑚2
𝑣2 ′
(después de la colisión)
1. La conservación de la cantidad de movimiento:
𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = 𝑚1 𝑣1′ + 𝑚2 𝑣2 ′
2. La conservación de la energía cinética:
1
1
1
1
2
2
2
𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = 𝑚1 𝑣1 ′ + 𝑚2 𝑣2 ′2
2
2
2
2
35
B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
11 Colisiones entre cuerpos
11.2. Colisiones totalmente inelásticas (plásticas)
Las colisiones plásticas son aquellas en que los cuerpos quedan
adheridos.
Ejemplo:
𝑚1
𝑣1
𝑚2
𝑚1
𝑣2
(antes de la colisión)
𝑚2
𝑣
(después de la colisión)
Solo se conserva la cantidad de movimiento:
𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑣
36
B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
12 Trabajo y energía potencial. F. conservativas
𝑂(𝑥0 , 𝑦0 )
(𝑦 − 𝑦0 )
∆𝑟
 Sobre un cuerpo lanzado desde una cierta
altura solo actúa la fuerza peso.
 El trabajo que realiza la fuerza peso:
−𝑚𝑔𝑗
𝑃
𝑊=
(𝑥 − 𝑥0 )
𝑃
𝐹 · 𝑑𝑟 =
𝑂
𝑃(𝑥, 𝑦)
(−𝑚𝑔𝑗) · 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 =
𝑂
𝑃
𝑊 = −𝑚𝑔
𝑑𝑦 = −𝑚𝑔 𝑦 − 𝑦𝑂 = −(𝑚𝑔𝑦 − 𝑚𝑔𝑦0 )
𝑂
Donde 𝒎𝒈𝒚 es la 𝐞𝐧𝐞𝐫𝐠í𝐚 𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚𝐥 𝐠𝐫𝐚𝐯𝐢𝐭𝐚𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚.
El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre los cuerpos es igual a la
variación negativa de su energía potencial gravitatoria:
𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 = −∆𝐸𝑃
37
B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
12 Trabajo y energía potencial. F. conservativas
Fuerzas conservativas
 Al mismo resultado habríamos llegado cualquiera que hubiera sido la
trayectoria seguida.
Fuerzas conservativas son aquellas en las que el trabajo realizado por ellas
solo depende de la posición inicial y final del cuerpo y es independiente de la
trayectoria seguida. Dicho trabajo equivale a la variación negativa de la
energía potencial:
𝑊𝐶 = −∆𝐸𝑃
Como consecuencia: el trabajo realizado una las fuerzas conservativas a lo
largo de una trayectoria cerrada es nulo:
𝑊𝐶 =
𝐹 · 𝑑𝑟 = 0
Son fuerzas conservativas: gravitatoria, elástica y electrostática.
38
B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
13 Conservación de la energía mecánica
Supongamos un sistemas sobre el que actúan varias fuerzas, el trabajo total:
𝑊 = ∆𝐸𝐶
𝑊𝐶 + 𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝐶
−∆𝐸𝑃 + 𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝐶
𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝑃 + ∆𝐸𝐶 = ∆ 𝐸𝑃 + 𝐸𝐶 = ∆𝐸𝑀
Si las únicas fuerzas que actúan son conservativas:
∆𝐸𝑀 = 0
⇒
𝐸𝑀 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Si existen fuerzas no conservativas:
𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝑀
La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa.
39
B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía)
13 Conservación de la energía mecánica
EJERCICIO 6
Sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal se
encuentra un bloque de 0,5 kg adosado al extremo superior de un resorte, de
constante elástica 200 N·m–1, paralelo al plano y comprimido 10 cm. Al liberar el
resorte, el bloque asciende por el plano hasta detenerse y, posteriormente,
desciende. El coeficiente de rozamiento es 0,1.
a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando
asciende por el plano y calcule la aceleración del bloque.
b) Determine la velocidad con la que el bloque es lanzado hacia arriba al
liberarse el resorte y la distancia que recorre el bloque por el plano hasta
detenerse.
Dato: g = 10 m·s–2
40