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Física del movimiento.
Semestre 01-2013
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En todo momento la velocidad de una
partícula es tangente a la trayectoria
seguida por dicha partícula aunque, su
aceleración en general no lo es. En
algunos casos resulta conveniente
descomponer la aceleración en dos
componentes, una en la dirección de la
tangente y otra en la normal –
perpendicular- a la trayectoria seguida
por la partícula en un determinado
punto P (vea la figura).
Matemáticamente se puede demostrar que:
Donde,
se llama la componente tangencial de la aceleración, y
normal de la misma. La el término
trayectoria en ese punto.
, es la
, es llamado el radio de curvatura de la
Componentes radial y transversa:
1
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En algunos problemas resulta conveniente utilizar las coordenadas polares
, en lugar de las
componentes rectangulares o cartesianas
por tal razón es necesario escribir la velocidad y la
aceleración en esas coordenadas. Se puede demostrar que:
En las anteriores ecuaciones tienen la siguiente notación: ̇
Es decir, la velocidad en coordenadas polares es: ⃗
̂
La aceleración en coordenadas polares es: ⃗
( ) ]̂
[
, ̈
, ̇
,y ̈
.
̂
( )( ) ̂
O sea que, sus componentes escalares son:
Cuando la trayectoria seguida por la partícula sea una circunferencia, hablamos del movimiento
circular (vea la figura siguiente), y en tal caso las componentes de la velocidad y la aceleración
son:
𝑣⃗
𝑎⃗
𝑟
𝜃
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Donde:
es el radio de la circunferencia, el cual es constante.
̇
̈
Es llamada la velocidad angular de la partícula y sus unidades son
Se llama la aceleración angular y se expresa en
⁄
.
⁄ .
Además, cuando la aceleración angular sea igual a cero entonces, la velocidad angular es
una constante y se dice que el movimiento es circular uniforme – M.C.U.PROBLEMA 1-13: Proyectiles – Tiro parabólico
Una partícula es lanzada con una velocidad inicial
hacia un objetivo B, ubicado a
pies por
encima de cañón A y a una distancia horizontal de
pies del mismo. Despreciando la resistencia
del aire, calcule el ángulo de tiro
para poder dar en dicho blanco. Resuelva el problema cuando
.1
SOLUCIÓN.
El tiro parabólico es un movimiento curvilíneo en el cual, cuando la gravedad es constante y se
desprecia la resistencia del aire entonces, dicho movimiento ocurre en un sólo plano, es decir, en
dos dimensiones. Por esta razón es más sencillo trabajar en coordenadas rectangulares (x, y) -o
cartesianas-.
Como se trata pues, de un movimiento parabólico, en el cual la gravedad permanece constante y
despreciamos la resistencia del aire, dicho movimiento ocurre en un solo plano. Ese plano lo
hacemos coincidir con el plano cartesiano –vea la figura siguiente-.
1
1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas = 0.9144 m, 1 pulgada= 0.0254 m., 1 pie = 12 pulgadas = 0.3048 m,
1 milla = 1760 yardas = 5280 pies = 63360 pulgadas = 1609.344 m.
3
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Estos hechos nos permiten descomponer el movimiento del proyectil en dos movimientos
independientes. Un M.R.U. horizontal lo largo del eje X, y un M.R.U.A. en la dirección vertical a lo
largo del eje Y.
𝑌
𝑔⃗
B
𝑣⃗
𝛼
𝑋
Es decir, el movimiento del proyectil sigue una trayectoria parabólica que resuresulta de la
superposición de dos movimientos rectilíneos simultaneos y mutuamente perpendiculares, un
M.R.U en el eje X, y un M.R.U.A. el eje Y.
Consideremos pues, los movimiento horizontal y vertical separadamente:
MOVIMIENTO HORIZONTAL (M.R.U.)
Descomponemos el vector velocidad inicial ⃗ en sus componentes rectangulares:
(
)
.
Como el movimiento es rectilíneo y uniforme se tiene:
……………(1).
MOVIMIENTO VETICAL (M.R.U.A.)
En este caso las ecuaciones del movmiento son:
(
(
)
)
…………….(2).
4
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Reemplazando la ecuación (1) en la (2), se obtiene:
(
De la trigonometría sabemos que:
)
,
Reemplazando y simplificando:
(
)
=
……….(3)
La ecuación (3) corresponde efectivamente a una parábola.
Cuando el proyectil alcance el punto B(X,Y), se tiene:
.
Como en este problema se nos pregunta por el ángulo de tiro
escribir así:
, esta última ecuación se pueden
………..(4)
La ecuación (4) es una ecuación de segundo grado, en la cual:
√
Su solución es:
.
En particular, si
Luego:
, tendremos:
√
{
.
Vea
la
figura
siguiente.
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EL USO DE LAS TIC EN EL APRENDIZAJE DE LA FÍSICA
Actividad: Simulaciones + hoja de cálculo –Excel-.
1. Resuelva el problema anterior utilizando la hoja de cálculo.
2. Consulte las páginas PhET de la universidad de Colorado y, Física con ordenador de la
Universidad del País Vasco, utilice estas simulaciones para verificar que dicho problema está
bien resuelto.


http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_es.html
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm
PROBLEMA 1-14
Un carro viaja a
a lo largo de una
sección curva cuyo radio es de
. Se
aplican los frenos y el carro disminuye su
velocidad a razón constante, sabiendo
que
.más tarde la velocidad es de
, determine la aceleración del
carro justo en el momento en el cual se
aplicaron los frenos.
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La dirección de la aceleración se calcula así:
. Vea la figura .
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PROBLEMA 1-15
Se lanza un proyectil desde el borde de un acantilado de 150 metros de profundidad con una
velocidad inicial de 180 m/s, formando un ángulo de
con la horizontal, despreciando la
resistencia del aire calcule: (a) el alcanca, (b) la altura máxima alcanzada por el proyectil.
Como se ilustra en la figura siguiente, en este
tipo de problemas consideraremos los
movimiento horizonta (eje X) y vertical (eje
Y) por separado.
MOVIMIENTO VERTICAL
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MOVIMIENTO HORIZONTAL
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Demostrar que la altura máxima se calcula así:
.
PROBLEMA 1-16
Cuando la jugadora hace el lanzamiento se
encuentra a 16 ft del t
blero. Sabiendo que el balón sale con una
velocidad inicial , formando un ángulo de
como se muestra en la figura, calcule la
rapidez inicial del balón cuando: (a)
,
.
SOLUCIÓN
No olvide la estrategia con los problemas de movimiento parabólico:
Nuevamente estudiamos por separado las
movimientos horizontal y vertical.
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𝐶𝑜𝑠
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PROBLEMA 1-17
Determine la velocidad máxima de los
carros de la montaña rusa al pasar por el
tramo circular AB de la pista, sabiendo
que la aceleración normal no puede ser
mayor que tres veces la gravedad.
SOLUCIÓN
Sabemos que: ……………………
.
Para el arco de circunferencia AB se tiene que:
(
)
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PROBLEMA 1-18
Una pista de atletismo tiene un diámetro de 420 ft. Un corredor aumenta su velocidad a ritmo constante
desde los
hasta los
recorriendo una distancia de 95 ft. Hallar (a) la aceleración del corredor 2
seg. después de haber comenzado a aumentar su velocidad, (b) aceleración angular, velocidad angular y
posición angular 2 seg después de haber comenzado a aumentar su velocidad.
SOLUCIÓN.
(a) La aceleración del corredor es:
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(b) Aceleración angular, velocidad angular y posición angular:
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U.2 Dinámica de la partícula: Las leyes del movimiento de
Newton.
Sir
Issac
Newton
(Woolsthorpe,
Lincolnshire, 1642 - Londres, 1727). Físico
inglés, hijo póstumo y prematuro, su
madre preparó para él un destino de
granjero; pero finalmente se convenció del
talento del muchacho y le envió a la
Universidad de Cambridge, en donde hubo
de trabajar para pagarse los estudios. Allí
Newton no destacó especialmente, pero
asimiló los conocimientos y los principios
científicos de mediados del siglo XVII, con
las
innovaciones
introducidas
por
Galileo,
Bacon,
Descartes, Kepler y otros.
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PROBLEMAS RESUELTOS.
PROBLEM 2.1
Para el sistema mostrado en la figura, utilice la
segunda ley del movimiento para determinar:
(a) la aceleración de los bloques, (b) la tensión
en la cuerda. Considere que la polea y la cuerda
son ideales. (c) Resuelva el problema
suponiendo que,
y
SOLUCIÓN
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Marzo de 2013
SEMANA 7.
CLASE 14.
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PROBLEM 2.2
Los bloques mostrados en la figura parten del
reposo. La superficie horizontal es muy pulida
y, tanto la cuerda como polea son ideales.
Determinar: (a) la aceleración de los bloques,
(b) la tensión en la cuerda.
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PROBLEMA 2.3
El péndulo de la figura tiene una longitud de
y describe un arco de circunferencia en un
plano vertical. Si la tensión en la cuerda es
veces el peso del cuerpo, para la posición
mostrada en la figura encuentre la velocidad y
la aceleración.
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SOLUCIÓN.
21
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PROBLEMA 2.4
Determine la velocidad máxima a la que puede
viajar un carro a lo largo de una curva
peraltada a
, sabiendo que el radio de
curvatura es
.
Nota: la velocidad máxima en una curva
peraltada es aquella velocidad a la cual el carro
puede circular sin que se presente fricción
lateral entre la vía y los neumáticos.
SOLUCIÓN
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NOTA: El valor de ángulo
diseñada es:
para tener un peralte óptimo en un vía bien
.
PROBLEM 2.5
Un bloque de 200 lbs se encuentra en reposo
sobre un plano horizontal. Encuentre la
magnitud de la fuerza ⃗ necesaria para
imprimirle una aceleración de
sabiendo
que el coeficiente de fricción cinético entre el
bloque y el plano es de
.
SOLUCIÓN
OJO CON LAS UNIDADES
SI (M-K-S)
Long: 0.3048 m
Masa: 14.59 kg
US (ft-lb-s)
1ft
Fuerza: 4.448 N
1 lb
La masa del bloque es:
La fuerza de fricción o de rozamiento se define como: ⃗
plano y el bloque.
.
⃗, donde ⃗ es la fuerza normal entre el
El diagrama de cuerpo libre para el bloque es:
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Las ecuaciones del movimiento -aplicamos la segunda ley de Newton en coordenadas cartesianas- son:
+
∑
:
.
O sea:
∑
(1)
.
(2)
Remplazando (2) en (1) :
Despejando se obtiene que:
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PROBLEMA 2.6
Los bloques mostrados en la figura se
encuentran inicialmente en reposo. Suponiendo
que no hay fricción y que la cuerda y las poleas
son ideales, calcule: (a) las aceleraciones de los
bloques, (b) la tensión en la cuerda.
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PROBLEMA 2.7 Resuelva el problema anterior suponiendo que hay fricción entre el bloque A y el plano,
y que sus coeficientes son:
.
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PROBLEMA 2.8
El bloque de la figura tiene 20 Kg y se encuentra
en reposo sobre un plano inclinado, cuando se le
aplica una fuerza ⃗ . Determine la magnitud de
dicha fuerza si se requieren 10 seg para que
avance 5 m hacia arriba y, los coeficientes de
fricción estático y cinético son ambos iguales a
0.3
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Marzo de 2013
PROBLEMA 2-9
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MARZO DE 2013-SEMANA 8-CLASE 16 ¡
!
PROBLEMA 2-10 (Marzo-2013).
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PROBLEM 2-11 (Sept. 27-2012)
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PROBLEMA 2-12 (Sept. 27 – 2012)
Usted está bajando dos cajas, una encima de la
otra, por la rampa que se muestra en la figura,
tirando de una cuerda paralela a la superficie de la
rampa. Ambas cajas se mueven juntas a rapidez
constante de 15.0 cm/s. El coeficiente de fricción
cinético entre la rampa y la caja inferior es 0.444,
en tanto que el coeficiente de fricción estático entre
ambas cajas es de 0.800. a) ¿Qué fuerza deberá
ejercer para lograr esto? b) ¿Cuáles son la
magnitud y la dirección de la fuerza de fricción
sobre la caja superior?
SOLUCIÓN
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PROBLEMA 2-12 (Sept. 27-2012)
Los bloques A, B y C se colocan como en la
figura y se conectan con cuerdas ideales.
Tanto A como B pesan 25.0 N cada uno, y
el coeficiente de fricción cinética entre cada
bloque y la superficie es de 0.35. El bloque
C desciende con velocidad constante. a)
Dibuje un diagrama de cuerpo libre que
muestre las fuerzas que actúan sobre A, y
otro para B. b) Calcule la tensión en la
cuerda que une los bloques A y B. c)
¿Cuánto pesa el bloque C? d) Si se cortara
la cuerda que une A y B, ¿qué aceleración
tendría C?
OJO…..Vea la parte A en la página 37, para la parte B regrese a la página 36.
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Despejando la aceleración de esta última ecuación se obtiene:
.
Remplazando los valores se obtiene:
Les agradezco las sugerencias y correcciones.
[email protected]
1.
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