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TEMA 3
TRABAJO Y ENERGÍA
PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CASA Y ENTREGAR
2. - Una varilla circular delgada se mantiene
inmóvil en un plano vertical merced a un soporte A.
Unido a éste y arrollado holgadamente alrededor de la
varilla, hay un muelle de constante k=44 N/m y longitud
natural igual a la del arco AB. Un cursor C de 225 g, no
unido al muelle, puede deslizar sin rozamiento por la
varilla. Sabiendo que el cursor se suelta desde el reposo
cuando θ=30º , hallar: a) la velocidad cuando pasa por el
punto B; b) la fuerza que ejerce la varilla sobre el
cursor al pasar por B.
a) Aplicamos el teorema del trabajo-energía cinética entre las posiciones C y B y
nos queda:
WCB=∆EC
A lo largo del movimiento las fuerzas que aparecen sobre el cursor son el peso, la
reacción del resorte y la normal ejercida por la varilla:
WCB=∆EC ⇒ Wmg+Wk∆l+WN=∆EC
La normal es perpendicular en todo momento al desplazamiento, luego no realiza
trabajo:
Wmg+Wk∆l+WN=∆EC ⇒ Wmg+Wk∆l=∆EC ⇒ -∆UG-∆UE=∆EC ⇒ UGC-UGB+UEC-UEB=ECB-ECC
El cursor parte del reposo luego la energía cinética en C es nula, y en cuanto al
resorte, en la posición B tiene su longitud natural luego ahí la energía potencial elástica
también es nula:
1
1
UGC-UGB+UEC-UEB=ECB-ECC ⇒ UGC-UGB+UEC=ECB ⇒ mghC − mghB + k∆lC2 = mvB2
2
2
Para determinar la compresión del resorte en la posición C tendremos en cuenta que
el arco es igual al radio por el ángulo:
∆lC = l0 − lC = AB − AC = CB = rθ
Y la diferencia de alturas entre las posiciones B y C es:
∆h=hC-hB=r-rcosθ=r(1-cosθ)
Sustituyendo todo:
1
1
1
1
1
1
mghC − mghB + k∆lC2 = mvB2 ⇒ mg(hC − hB ) + k∆lC2 = mvB2 ⇒ mg∆h + k∆lC2 = mvB2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
mgr(1 − cos θ) + k (rθ) = mvB
2
2
0,225 ⋅ 9,8 ⋅ 0,3(1 − cos 30º ) +
2
1
1
π

44 0,3  = 0,225vB2 ⇒ vB = 2,37 m / s
2 
6
2
vB=2,37 m/s
b) Ahora hacemos el diagrama de sólido libre del cursor al pasar
por B. Sobre él sólo están aplicadas el peso y la reacción del cursor, ya
que el resorte en esa posición tiene su longitud natural. Las dos fuerzas
son verticales, luego sólo puede haber componente vertical de
aceleración, es decir, la componente normal. A la vista de esto, la reacción
normal de la varilla tiene que ser vertical, hacia arriba y mayor que el
peso, de modo que la resultante de las fuerzas sea vertical y hacia arriba (segunda ley de
Newton).
Nótese que es lógico que en el punto B la componente tangencial de la aceleración
sea nula, ya que en este punto la energía potencial es mínima (no hay elástica y la altura es
la menor del recorrido), lo cual implica que la energía cinética, y por tanto la velocidad, es
máxima, y la condición de máximo es que la derivada sea nula, luego la aceleración
tangencial, que es la derivada del módulo de la velocidad respecto del tiempo tiene que ser
nula.
Aplicando la segunda ley de Newton tendremos:

v2
v2
v2 
ΣFn=man ⇒ NB-mg=manB ⇒ NB − mg = m B ⇒ NB = mg + m B = m g + B  =

r
r
r 


2,37 2 
= 0,225 9,8 +
= 6,41 N

0,3 

NB=6,41 N