Download CUANDO DOS MIRAN LO MISMO Y LO VEN DIFERENTE

CUANDO DOS MIRAN LO MISMO Y LO VEN
DIFERENTE
EL MOVIMIENTO RELATIVO: La Relatividad Clásica
Miguel Balbás
Julio 2012
MOVIMIENTO RELATIVO
2
M. Balbás
CUANDO DOS MIRAN LO MISMO Y LO VEN DIFERENTE
EL MOVIMIENTO RELATIVO: La Relatividad Clásica
Miguel Balbás
1.
¿DESDE DÓNDE OBSERVO?
Puede parecer esta pregunta un poco rara. Pero tiene su justificación. A todos nos ha sucedido que
estamos sentados en un tren, al arrancar, mirando por la ventanilla al tren estacionado al lado del
nuestro, le hemos visto moverse en el sentido contrario al de nuestro movimiento. Sin embargo
sabemos que está en reposo en la estación, de modo que si estuviéramos de pie en el andén, le
veríamos quieto. La percepción del estado de movimiento de ese tren va a depender desde donde lo
veamos. Nos podemos preguntar, ¿es esta una experiencia general o ha sido una percepción
extraña la que hemos sentido?
Vamos a contestar a través de un primer ejemplo sencillo. Nos situamos en cubierta de un barco pirata
que avanza con una velocidad constante, cuyo módulo llamaremos vb (velocidad del barco).
Presenciamos escondidos la escena siguiente: el capitán está de pie, quieto apoyado en la parte
inferior del palo mayor. No hay nadie más en cubierta. Pero al mirar hacia arriba descubrimos en
lo alto del palo mayor un pirata traidor apostado en la cola. Su intención es la de soltar un cuchillo
que atraviese la cabeza del capitán. Sabe que si falla en su intento no va a tener más oportunidades
de volverlo a repetir. Por eso tiene que asegurar el golpe. Al principio piensa que el capitán está
quieto debajo de él; que bastará con dejar caer el cuchillo verticalmente. Si éste sigue una
trayectoria vertical, paralela al palo mayor, llegará sin fallar a la cabeza del capitán. Pero de
repente le surge una duda angustiosa. Él ha visto moverse los barcos toda su vida. Sabe que el
barco está moviéndose hacia delante, con la proa surcando el mar. Todo el barco se mueve, se
mueve el palo mayor y se mueve el capitán recostado en él. En el tiempo que tarde el cuchillo en
bajar desde la cofa hasta la cubierta, por pequeño que pueda parecer este tiempo, es lo suficiente
para que el capitán se haya movido debido al movimiento del barco. Por tanto también el cuchillo
deberá avanzar horizontalmente si quiere no fallar su intento de liquidar al capitán. ¿Qué debe
hacer? ¿Deberá lanzar hacia delante el cuchillo, lo suficiente para que realice un descenso
curvilíneo y llegue al sitio exacto al que la cabeza del capitán haya avanzado? Y en este caso,
¿Cómo debe ser la velocidad que debe imprimir en horizontal al cuchillo?. Claro, tiene que ser
igual a la velocidad vb del barco, pero ¿cómo conseguirla? (Fig. 1)
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
3
No consta en nuestros anales el final de la historia, no sabemos qué hizo el pirata. Cada cual puede
imaginarse el final que más le guste. Pero sí podemos entrar en la discusión sobre cuál debería
haber sido la decisión a tomar, en otras palabras, qué le hubiéramos dicho al pirata si nos
hubiéramos situado también en la cofa con él y nos hubiéramos convertido en cómplices del
intento de rebelión.
La pregunta fundamental es la siguiente. ¿Qué trayectoria debe seguir el cuchillo? ¿Una trayectoria
vertical, siguiendo el palo mayor en su descenso o, por el contrario, una trayectoria curvilínea que
empezando en la cofa, termine más adelante, allá donde se sitúe un poquito después la cabeza del
capitán?
La respuesta exacta es un poco desconcertante: el cuchillo seguirá ambas trayectorias a la vez. El
pirata deberá dejar caer hacia abajo el cuchillo, sin impulsarlo hacia delante. El verá que el
cuchillo deberá seguir paralelo al palo mayor hasta llegar a su base, puesto que el capitán siempre
está debajo de él y esta situación no se modifica en ningún instante. Diremos que visto el
movimiento del cuchillo desde el punto de vista del barco, es decir, observando desde el propio
barco, su trayectoria ha de ser rectilínea y vertical. Si se lanzara hacia adelante caería más allá de
donde está el capitán. Pero también es cierto que si el movimiento se observa desde tierra se va a
ver que el cuchillo sí que avanza en horizontal, tanto como avanza la cofa, el palo y el capitán, es
decir lo que ha avanzado en ese tiempo el barco. ¿Cómo es posible que se mueva el cuchillo hacia
delante, sin haberlo lanzado? La respuesta es sencilla: cuando lo tenía el pirata en sus manos
avanzaba lo mismo que él, es decir ya llevaba una velocidad vb horizontal. Si en todo el proceso no
sufre una aceleración horizontal (suponemos que no hay resistencia del aire ni viento que lo
empuje) su velocidad vb horizontal se mantiene constantemente y así avanza lo mismo que el
capitán. Observando desde tierra, fuera del barco, el cuchillo realiza una trayectoria curvilínea,
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
4
concretamente parabólica porque tiene velocidad constante en horizontal y con aceleración g de la
gravedad, constante, en dirección vertical, (Fig. 2).
La conclusión a la que se llega es que no tiene sentido hablar de la trayectoria de un móvil si no se
especifica quién es el observador y qué movimiento tiene éste. En el ejemplo que hemos descrito
hemos utilizado dos puntos de vista, el del observador en tierra, sin participar del movimiento del
barco, y el del observador subido en el barco, arrastrado por él en su movimiento. Siempre
tendremos trayectorias relativas a uno o a otro y velocidades relativas, con las que se describen
estas trayectorias, relativas a uno u otro observador. En este ejemplo la velocidad relativa al
observador en el barco, es la vertical de caída siguiendo la trayectoria rectilínea. Si a esta
velocidad vertical vb se le añade la velocidad horizontal vb del barco (o “velocidad de arrastre”),
Fig. 2, se tiene la velocidad del movimiento parabólico respecto al observador en tierra.
Si pensáramos en aceleraciones, en vez de pensar en velocidades, nos daríamos cuenta de que el
movimiento de arrastre del observador en el barco respecto al observador en tierra, no tiene
aceleración, ya que se mueve con velocidad constante vb. Diremos que la aceleración de arrastre es
nula. Y así la aceración que ven los dos observadores en este caso es la misma, la aceleración de la
gravedad en dirección vertical.
2. COMPONIENDO VELOCIDADES Y ACELERACIONES
Podemos intentar generalizar nuestro razonamiento. ¿Será suficiente con sumar la velocidad relativa
que observa el segundo observador (en movimiento respecto a nosotros), con la velocidad de
arrastre que nosotros vemos que tiene ese observador al moverse, para así componer la velocidad
del móvil que nosotros vemos?
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
5
Esto se haría para relacionar las velocidades vistas por nosotros (punto de observación 1) y por el otro
observador móvil respecto a nosotros (punto de observación 2). Pero para relacionar las
aceleraciones vistas por ambos observadores, ¿será suficiente con sumar la relativa y la de
arrastre?
Pensemos en otro ejemplo sencillo. Imaginemos un tío-vivo de una feria. Lo podemos representar por
un círculo horizontal que gira en torno a un eje vertical que pasa por su centro O’ y supongamos
que lo hace con velocidad angular 1 constante. Pero en el borde de la plataforma del tío-vivo hay
un niño que corre siguiendo el borde y al que seguro que todos chillan diciéndole que se esté
quieto, que se va a caer. Podemos pintar en el suelo de la plataforma unos ejes O’X’ y O’Y’ con
pintura roja, con centro en el propio centro O’ del disco. El tercer eje sería el eje vertical de giro.
Imaginemos que en O’ está situado el encargado del tío-vivo, que gira con la plataforma. Digamos
que él representa el observador móvil, en movimiento respecto a nosotros que estamos quietos en
tierra con nuestro ejes OX, OY y OZ de centro en un punto quieto O. El móvil a estudiar es el
niño.
El encargado del tío-vivo ve que el niño va dando vueltas por el borde. Supongamos que realiza esta
trayectoria circular con una velocidad angular con 2 constante, vista desde el propio tío-vivo, y en
el mismo sentido de la 1 del disco. Si nos fijamos en una cierta posición con el niño en P en ese
instante (Fig. 3), la velocidad relativa del niño respecto a la plataforma es tangente a su trayectoria
circular y de módulo 2R, si es R el radio de esta trayectoria circular. Pero el movimiento de
arrastre, al contrario de lo que pasaba en el ejemplo del barco, en el que era una traslación
rectilínea horizontal, es ahora el movimiento de rotación del tío-vivo. El punto P de la plataforma
lleva una velocidad de módulo 1R, debido a la velocidad 1 con la que gira el disco. La suma de
estas dos velocidades nos dará un resultado 1R + 2R = (1 + 2)R. ¿Es ésta la velocidad con la
que vemos moverse al niño desde fuera? Podemos razonar desde tierra diciendo que el ángulo
que gira su radio de posición por causa del movimiento del tío-vivo en un cierto intervalo de
tiempo t, tendrá el valor 1 = 1 t. Esto es lo único que veríamos si el niño estuviera sentado en
su sitio y sólo se moviera por causa del tío-vivo.
Pero además su radio de posición gira un ángulo 2 = 2t, porque él, en el tiempo t, corre por el
borde. Este ángulo será el único que veríamos si el tío-vivo estuviera parado y solamente corriera
el niño por su borde.
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
6
Así que para nosotros su posición ha girado en torno a O’ un ángulo total 1 + 2 = 1t + 2t =
= (1 + 2) t. Esta última expresión nos dice que en un cierto t se ha movido con velocidad
angular (1 + 2).
Su velocidad lineal, también tangente a su trayectoria tiene por valor (1 + 2)R. Este resultado
coincide con la suma de la velocidad relativa, vista desde O’, de valor 2R y de la de arrastre 1R
del punto donde él está situado. Es decir, que vamos bien con nuestra composición.
Veamos si podemos repetir el razonamiento con las respectivas aceleraciones. En primer lugar, en el
movimiento relativo el niño describe circunferencias de radio R y velocidad angular 2. Por haber
supuesto que 2 sea constante, no existirá aceleración sobre la tangente (no hay aceleración
angular), tan sólo queda el término de aceleración normal, dirigido hacia O’ y de módulo 22 R
(Fig. 4)
Pero si el niño no se moviera sobre la plataforma y sólo le afectara el movimiento de arrastre de ésta,
razonando de igual manera, tendríamos sólo el término de aceleración normal 12 R , ya que
también hemos supuesto que 1 es constante.
MOVIMIENTO RELATIVO
7
M. Balbás
¿Nos bastará con sumar estas dos aceleraciones, relativa y de arrastre, para obtener la aceleración que
se ve desde tierra? Hemos dicho que el movimiento que vemos desde nuestro punto de vista O
quieto en el suelo es un movimiento circular de velocidad angular (1 + 2), constante por
supuesto, luego la aceleración que se observa es la normal, dirigida hacia O’, pero de valor
(1 + 2)2 R. Descubrimos que este valor no coincide con la suma hecha anteriormente. Si
desarrollamos su expresión, tendremos:
a  1  2  R  12 R  22 R  212 R
2
Nos faltaba añadirle a la suma de relativa 22 R y arrastre 12 R , el término complementario de valor
212 R. Este término puede escribirse también, recordando que la velocidad relativa es
vr  2 R , como 21 vr , doble del producto de la velocidad relativa respecto al observador móvil
por la velocidad de rotación de éste.
3.
PLANTEAMIENTO CINEMÁTICO GENERAL
3.1
¿QUÉ VE EL OBSERVADOR QUE SE MUEVE?
Cuando se ha estudiado en Cinemática el movimiento de un punto móvil, se ha visto que su velocidad
v es un vector que se obtiene derivando su vector r de posición v 
dr
.
dt
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
8
El primer problema con el que nos encontramos es que cada observador debe trazar su vector de
posición del punto P móvil y que estos vectores no coinciden.
En la Fig. 5 se han considerado dos sistemas de referencia S y S’, de tal modo que S’ se está moviendo
respecto de S. En S estamos situados nosotros y vemos cómo se mueve S’. Cada sistema tiene su
origen y sus ejes. En cada uno de ellos se ha dibujado un vector de posición del punto móvil P , en
el primero S lo hemos denominado r  OP y en el segundo S’, r '  O ' P . Convengamos en que
lo mismo que escribimos en S lo podemos escribir en S’, con tal de que lo hagamos poniendo el
signo de prima (’) en cada letra. Nosotros desde S vemos la posición del origen O’ del triedro
móvil mediante el vector OO '  ro ' . Estos vectores r , r ' y ro ' están dibujados en la posición
inicial de P y ahora debemos estudiar cómo cambian durante un tiempo muy pequeño, dt . Habrá
que unir la nueva posición de P con los orígenes de los triedros, pero, sabiendo que el triedro S’ se
ha movido también durante ese pequeño intervalo dt. ¿Cómo lo ha hecho?
Para describir el movimiento que vemos hacer a S’ lo descompondremos en una traslación, llevando
O’ a su nueva posición O’1 , seguida de una rotación en la que los ejes pasan a su posición final.
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
9
En la Fig. 6 hemos representado la posición de S’ después de la traslación en la que todo se mueve
paralelamente y siguiendo lo que cambia ro ' , es decir d ro ' . Los ejes se han dibujado de trazos a
partir de la nueva posición de O ' , que es O1' . Pero después hay que efectuar una rotación de
manera que el eje de giro pase por O1' para que este punto ya no se mueva, mientras que los ejes
del triedro pasan a su posición dibujada con línea continua. La rotación se hará con una cierta
velocidad angular que representamos en el eje de giro y que llamamos e (el subíndice “e” es para
que nos recuerde que corresponde a la rotación de los ejes).
Pero al mover S’ se lleva con él todas sus referencias. En concreto el vector de posición r ' de P en el
instante primero se mueve con el sistema. Pensemos por ejemplo que se han anotado para poder
reconstruir r ' , sus componentes rx' ' , ry' ' y rz' ' sobre los ejes móviles. Al mover éstos y reconstruir
r ' nos sale una nueva posición de r ' visto desde nuestra posición en S. O en lugar de tener
anotadas las componentes de r ' , pensemos que materializamos r ' con un alambre en forma de
flecha. Al mover S’ , esta flecha, unida a S1' se mueve también.
Para reconstruir la nueva posición de r ' sometámosla en primer lugar a la traslación de S’.
Tendremos un vector r ' con origen en O1' pero equipolente del inicial, es decir con su mismo
módulo y de la misma dirección. La traslación no altera las direcciones. En la Fig. 7 siguiente
hemos dibujado la posición inicial de r ' como el vector O ' P . Después de la traslación el vector
es el O1' P1 .
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
10
Pero ahora nos queda efectuar la rotación e . El origen O1' de r ' no se mueve, pero el extremo P1 sí
que lo hace. Llamemos P2 a la posición nueva de este extremo. En la Fig. 8 se ha dibujado la
posición final O1' P2 de r ' tras sufrir el arrastre de los ejes móviles.
Así como PP1 coincide con dro ' del movimiento del origen, el desplazamiento elemental PP
1 2 en el
giro se puede expresar como el producto de la velocidad que adquiere P1 multiplicada por el
tiempo: PP
1 2  e  r ' dt .
Debemos tener claro que mientras que para el observador S’ el vector r ' no ha cambiado (es el que
marca la posición inicial de P antes de transcurrir el intervalo dt), para nosotros en S sí que ha
habido un cambio de r ' , ha cambiado su dirección en el espacio por causa de la rotación del
MOVIMIENTO RELATIVO
11
M. Balbás
sistema. Por eso hemos escrito (r ')i como valor inicial en la Fig. 8 y (r ') f como valor final.
Seguimos viendo que en la traslación no hay cambio porque se mantiene tanto el módulo como la
dirección de r ' .
Durante el transcurso del intervalo dt, el punto móvil pasará de su posición inicial a una nueva
posición Q según sea su movimiento.
Pero ahora ya estamos en condiciones de explicar su movimiento; en S sería su desplazamiento desde
P hasta Q (véase Fig. 9). Sin embargo desde S’ se dirá que ha pasado de P2 hasta Q, debido a que
la posición desde donde arranca el móvil es el extremo de r ' , que para ellos, necesariamente es
P2, puesto que se han movido. Podríamos decir que las posiciones de partida del móvil son
distintas para ambos observadores puesto que en S’, una vez pasado el dt al echar la vista atrás
para comparar la posición nueva Q con la inicial antes del dt, se toma P2 como referencia por causa
del movimiento de S’.
3.2
DOS VELOCIDADES DIFERENTES PARA UN MISMO MÓVIL
Vistos (Fig. 9) los desplazamientos dr  PQ y (dr ') S '  P2Q podemos dar forma a las velocidades.
Hemos denominado (dr ') S ' al desplazamiento que el observador móvil ve hacer al punto P, es
decir, cómo varía su vector de posición r ' pero vista esta variación desde S’, por tanto desde P2
hasta Q. Le hemos añadido como subíndice S’ para dejar constancia de que está visto en el sistema
de referencia móvil.
Las velocidades respectivas son v 
dr
 dr '
y v'

dt
 dt  S '
MOVIMIENTO RELATIVO
12
M. Balbás
En la Fig. 9 vemos que las direcciones de d r y de ( d r ') S ' son distintas; pero éstas son las
direcciones de las velocidades v y v ' vistas por ambos observadores. La relación entre ambas
velocidades es muy fácil de obtener, puesto que:
PQ  PP1  PP
1 2  P2Q
Es decir, vectorialmente podemos pasar de P a Q o bien directamente o bien yendo de P a P1, luego a
P2 y terminando en Q. Poniendo los valores respectivos en la última igualdad, se tiene:
d r  d ro '  e  r ' dt  (d r ') S '
Y de aquí:
v
d r d ro '
 dr '

 e  r '  

dt
dt
 dt  S '
Cuando el punto móvil no se mueve respecto a S’, es decir cuando la velocidad relativa a S’
 dr '
v'
  0 , el valor de v es:
 dt  S '
v
d ro '
 e  r '  vo '  e  r '  va
dt
MOVIMIENTO RELATIVO
13
M. Balbás
Hemos denominado velocidad de arrastre va a la velocidad que toma v cuando no hay movimiento
relativo respecto al segundo observador, solo se mueve P unido al sistema S’ y su velocidad es la
suma en primer lugar de la de la traslación de S’ (velocidad igual para todos sus puntos: nos
fijamos en la velocidad vo ' de su origen O’) y en segundo lugar de la velocidad lineal de P al rotar
S ' : e  r ' .
Por tanto de forma sintética, la expresión general de v queda:
v  va  v '
“la velocidad de P respecto a nuestro sistema es igual a la suma de la velocidad con la que el
sistema móvil arrastra a P más la velocidad relativa que se observa desde este sistema (móvil para
nosotros)”.
El hecho de habernos constituido nosotros como observadores en el sistema S es totalmente arbitrario.
Podíamos habernos subido en el S’ y desde él ver moverse al S. Le veríamos hacer lo contrario,
trasladarse con velocidad vo ' y girar con velocidad angular e . Es decir va'  va la ecuación
que relaciona las velocidades vistas desde ambos sistemas seguiría siendo la misma:
v '  v  va'  v  va .
3.3
Y POR TANTO DOS DERIVADAS DISTINTAS
Para obtener la expresión de la velocidad relativa v ’ respecto al sistema S’ en movimiento, hemos
obtenido la derivada de su vector de posición r ' , pero lo hemos hecho añadiendo el subíndice S’.
Queremos decir con esto que el vector de posición es el relativo r ' , es decir el que refiere el punto
móvil al sistema S’, pero además que la derivada de r ' se obtiene trabajando en S’.
En la Fig. 9 vemos que el valor inicial de r '  O ' P no cambia en la traslación de S’, así O ' P  O1' P1
Pero la rotación de S’ sí da un nuevo valor a r ' , el dado por O1' P2 . Después vendrá el comparar
este r ' con el final O1'Q cuando el móvil se ha desplazado a Q durante el intervalo temporal
elemental dt. Así que a r ' se le ve cambiar desde S’ de forma distinta a lo que se ve desde S. P2Q
es el desplazamiento visto desde S’ , puesto que se ha de tomar como valor inicial de r ' el valor
MOVIMIENTO RELATIVO
14
M. Balbás
P2Q , mientras que la variación de r ' vista desde S es PQ
, puesto que en la traslación no cambia
1
r ' , pero sí en la rotación PP
1 2 , más el cambio P2Q , por moverse el móvil hasta Q.
Llamando dr ' a la variación elemental de r ' , vista desde S, podemos escribir:
PQ
 PP
1
1 2  P2Q
es decir:
d r  e  r ' dt   d r '  s '
de donde:
dr '
 dr '
 e  r '  

dt
 dt s '
Vemos así como se relacionan las derivadas del vector relativo r ' efectuadas dichas derivadas en
S y en S’.
Como la velocidad siempre se puede obtener como diferencia de las derivadas de dos vectores de
posición, esta ley se puede generalizar a las derivadas de la velocidad relativa v ' , así:
dv '
 dv ' 
 e  v '  

dt
 dt  s '
En general cualquier vector de posición y sus derivadas temporales pueden expresarse en ambos
sistemas de observación, siendo su relación la generalización de estas anteriores.
Pero esto que hemos escrito no deja de ser más que una expresión matemática útil, pero que no tiene
sentido físico. Porque para poder medir experimentalmente una de estas derivadas o se está en S, o
se está en S’. Para ver y medir r ' hay que estar en S’, porque r ' es lo que se ve desde S’. Por
tanto no es medible su derivada en S, porque no estamos en S. No podemos ser observadores
físicos situados en ambos sistemas a la vez.
Debe notarse que si no existiera rotación del triedro S’, es decir si e  0 , ambas derivadas
coincidirían. Esto sucede cuando S’ solo se traslada. Es algo que se intuye con solo ver la Fig.9.
MOVIMIENTO RELATIVO
3.4
15
M. Balbás
VOLVAMOS A COMPONER VELOCIDADES EN LOS EJEMPLOS
INICIALES
En primer lugar al ejemplo del barco pirata (Fig. 1). En este caso el triedro móvil S’, fijo en el
barco, se mueve con la velocidad de traslación vB horizontal del barco. Sólo es movimiento
de traslación de los ejes móviles, no giran e  0  . Para obtener la velocidad v respecto a
tierra, veremos primero que la velocidad de arrastre va es solamente vB , puesto que en la
traslación del barco todos los puntos, incluido el origen O’ de los ejes móviles, tienen la
misma velocidad. Así vo '  vB .
La expresión que obtenemos para v es v  vB  v ' . Cómo vB es horizontal y v ' (lo que se ve
desde dentro del barco) es vertical y descendente, se obtiene el diagrama que ya hemos
dibujado en la Fig. 2. Es decir, una velocidad v inclinada, con proyección horizontal
constante (vB) y proyección vertical creciente
 v '  vr  ,
lo que da lugar a la trayectoria
parabólica vista desde tierra.
En el otro ejemplo del niño en el tío-vivo (Fig. 3), para obtener la velocidad v respecto al
suelo, deberemos combinar la va de la plataforma giratoria con la v ' , vista desde ella.
Ambos vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido, son tangentes a la trayectoria
circular como se ve en la figura. Porque para determinar la velocidad de arrastre, debemos
dejar mentalmente al niño quieto sobre la plataforma. La velocidad del punto en que él se
apoya se calcula mediante:
va  vo '  e  r '
Pero en nuestro caso la velocidad del origen O’ de los ejes móviles es nula, porque O’ es el
centro de giro de la plataforma y no se mueve.
Por otro lado la velocidad angular de los ejes e es en este caso 1 . Por tanto
va  1  O ' P  de módulo va  1 R .
MOVIMIENTO RELATIVO
16
M. Balbás
Desde la plataforma se ve al niño correr por la periferia describiendo la trayectoria circular del
borde con una velocidad angular que hemos llamado 2 . Por tanto v '  2  O ' P  ,
módulo  R .
Y el resultado final :


v '  va  v '  1  O ' P   2  O ' P    1   2  O ' P 


Y módulo 1  2  R , como se dibujó en la Fig. 3.
3.5
¿Y LA ACELERACIÓN CÓMO SE OBTIENE?
No es difícil obtener la expresión de la aceleración a respecto a nuestro sistema S, ya que tenemos la
expresión de la velocidad v . Nos basta con derivar v respecto al tiempo t. Pero, cuidado, que
esta derivada la construiremos desde S.
Así:
v  va  v '  vo '  e  r '  v '
Derivando:
a
d v d vo '  d e
d r ' dv '
 


 r '  e 

dt
dt  dt
dt  dt
 
En esta expresión hay dos derivadas de vectores relativos  r ' y v ' efectuadas en S. Para expresarlo
con términos que tengan sentido físico, sustituyamos sus valores según vimos en el epígrafe 3.3.
Así nos queda
a

d vo '  d e
 
 d r '   
 dv '  

 r '  e   (e  r ')  
    e  v '   
 
dt  dt
 
 dt  s '   
 dt  s ' 

MOVIMIENTO RELATIVO
17
M. Balbás
Podemos simplificar la expresión obtenida ya que
O’ desde O, puede por tanto llamarse ao ' ; la
dv o '
dt
es la aceleración con la que se ve moverse a
de
no es más que  e aceleración angular con la
dt
 dr '
 dv '
 es v ' y , por último 
 es la aceleración relativa a '
 dt  s '
 dt  s '
que rotan los ejes móviles; 
del móvil P visto desde S’, puesto que en la deriva realizada en S’ de la velocidad v ' vista desde
allí. Así:
a  ao '   e  r '  e  e  r '  e  v '  e  v '  a '
o bien:
a   ao '   e  r '  e  e  r '  a ' 2 e  v '
Interpretemos estos términos. En primer lugar, a y a ' son las aceleraciones de P vistas desde S y
desde S’ respectivamente. Por otro lado, en aquellos casos en los que P no se mueva para S’, es
decir, aquellos en los que P se mueve arrastrado por el sistema móvil, con un r ' constante para el
observador S’, a la aceleración que tenga P le daremos el nombre de aceleración de arrastre aa .
Por tanto aa será el valor que toma a cuando no existe movimiento relativo respecto a S’, es
decir, cuando tanto v ' como a ' sean nulas. Podemos poner, particularizando la expresión
anterior:
aa  ao '    r '  e  e  r '
Estos sumandos son fácilmente interpretables. El punto P se mueve debido tan sólo al movimiento del
triedro S’. En primer lugar veamos qué aceleración tiene P por la traslación de S’. Como en la
traslación todos los puntos tienen la misma aceleración, tomemos la aceleración ao ' del origen del
triedro. Veamos después el giro en la rotación del sistema S’. P describe un pequeño arco de
circunferencia y su aceleración se puede descomponer en su componente aT tangencial y su
componente aN normal.
MOVIMIENTO RELATIVO
18
M. Balbás
El término tangencial es  e  r ' , es decir el producto de la aceleración angular por el vector de
posición, de módulo  e R , siendo  e el módulo de  e y R el radio con que gira P, es decir su
distancia al eje de rotación que contiene e .
El término normal es e  e  r ' , de módulo e2 R y dirigido desde P hacia el eje de e .
Así la expresión general nos queda:
a  a ' aa  2 e  v '
Vemos que no basta, para obtener el valor de
a , con sumar la aceleración relativa y la de arrastre, tal
como hacíamos en la composición de velocidades. Para establecer la correcta relación entre a y
a’
hay que añadir el término 2 e  v ' . A este término se le da el nombre de aceleración
complementaria o aceleración de Coriolis, en honor del científico francés que expresó
adecuadamente la relación entre
a y a ’. Así pondremos
ac  2 e  v '
Y en la expresión general, en forma resumida:
a  a ' aa  ac
3.6
VOLVAMOS A LOS EJEMPLOS INICIALES, PERO AHORA CON
ACELERACIONES
En el primer ejemplo que expusimos, Fig. 1, el del barco pirata, los ejes móviles S’ están
situados en el barco, moviéndose como se mueve el barco, por tanto, con un movimiento de
traslación de velocidad constante vB . Estos ejes sólo se trasladan, no sufren rotación, es
decir e  0 , y claro  e  0 .
Además su origen O’ (posición del capitán pirata) no tiene aceleración  ao '  0  .
MOVIMIENTO RELATIVO
19
M. Balbás
La expresión de la aceleración de arrastre es, por consiguiente:
aa  ao '  e  r '  e  e  r '  0
El sistema móvil S’ arrastra al cuchillo al móvil, con velocidad constante vB , sin aceleración.
Como no existe rotación y e  0 , el término complementario de Coriolis es también nulo:
ac  2 e  v '  0
Por tanto:
a  a ' aa  ac  a '
Desde ambos sistemas se observa la misma aceleración, que es la de la gravedad, vertical y
descendente. Es lo que también se ha representado en el diagrama de la Fig. 2.
En el segundo ejemplo, en el caso del niño corriendo en el tío-vivo (Fig. 3), los ejes móviles S’
los hemos situado fijos en la plataforma circular, con su centro O’ en el centro de ésta,
siendo por tanto O’ un punto que no se mueve.
El movimiento de arrastre no tiene traslación  vo '  0  , solamente la rotación e . Como hemos
considerado e constante, es nula la aceleración angular  e . Por tanto de los términos del
arrastre solo existe el de la aceleración normal, dirigida desde el niño hacia el centro O’ de
valor:
aa  e  e  r '
Y cuyo módulo es e2 R . Recordemos que hemos llamado 1 a la velocidad angular de la
plataforma e , con lo que:
aa  1  1  r '
MOVIMIENTO RELATIVO
20
M. Balbás
Para escribir el valor de la aceleración relativa a ' respecto a S’, consideremos mentalmente la
plataforma quieta (es como si nos subiéramos en ella) y el niño corriendo, describiendo la
trayectoria circular del borde con 2 constante. En este movimiento observado desde S’, al
ser 2 constante,  2 es nula y no existe componente tangencial de la aceleración a ' , tan
solo la componente normal:
aa  2  2  r '
Y de sentido de P a O’ y módulo 22 R .
Por último en el término de Coriolis interviene la velocidad angular de los ejes e  1 y la
velocidad relativa v ' , tangente a la trayectoria circular.
Así:
ac  2 1  v '
El vector ac es perpendicular tanto a 1 como a
v ' , por tanto lleva la dirección del radio y
sentido de P a O1' , hacia el centro. Para estudiar su módulo veamos primero que:
v '  2  r '
Y su módulo:
v '  2 R
Por tanto:
ac  2 1  (2  r ')
Con módulo ac  212 R y sentido hacia el centro.
Al aplicar la expresión general de a se tiene:
a  a ' aa  ac  2  2  r '  1  1  r '  2 1  (2  r ')
que es un vector dirigido desde P a O’ porque los tres sumandos tienen la misma dirección y el
mismo sentido. Su módulo es:
MOVIMIENTO RELATIVO
21
M. Balbás
a  12 R  22 R  212 R  1  2  R
2
resultado que ya habíamos comentado al decir que desde tierra, desde S, el movimiento circular
del niño se ve con la velocidad angular suma de 1 y 2 .
3.7
EL TÉRMINO DE CORIOLIS NO ES CONTRARIO A LA INTUICIÓN
La diferencia esencial en la composición que hemos hecho en velocidades y en aceleraciones, ha
consistido en que en aceleraciones hemos tenido que añadir el término complementario de Coriolis
a la suma de los términos de arrastre y relativo. No es trivial encontrarle sentido a este término
complementario. Intentémoslo analizando un ejemplo.
Supongamos una plataforma circular, como la del tío-vivo (Fig. 10) y en ella una bola que avanza
desde el centro O’ hacia la periferia siguiendo un radio de la plataforma. Igual que el ejemplo del
tío-vivo, los ejes móviles están dibujados sobre la plataforma, moviéndose con ella, es decir con
una velocidad angular e que vamos a suponer constante para mayor sencillez  e  0  .
Tomemos el movimiento relativo a la plataforma, que será rectilíneo, haciendo que el radio que
recorre la bola sea el que está sobre el eje O’X. Supongamos también que la velocidad relativa v '
sea constante para el observador móvil.
La aceleración a debe recoger la variación completa que tenga
v . Pero como ésta es la suma de va y
v ' , cualquier variación en el tiempo de la velocidad de arrastre y de la velocidad relativa deben
estar contenidas en a . Comencemos por preguntarnos si esto es así con la velocidad de arrastre
va .
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
22
Digamos, en primer lugar, que la velocidad de arrastre es fácil de determinar, Fig. 10 .Dejemos la bola
en reposo sobre la plataforma (es decir, hagamos por un momento que la bola no avance por el
radio, v '  0 ) y que por tanto sea arrastrada por la plataforma al moverse ésta. El sistema de ejes
móviles no se traslada, es decir su origen O’ es el centro de la plataforma y no se mueve (vo '  0) .
Los ejes sólo giran, con e constante, por tanto de la expresión general va  vo '  e  r ' sólo
queda el segundo sumando, la velocidad lineal debido al giro, es decir la velocidad con la que
recorrería la trayectoria circular de radio O’P. En la figura se ha representado en P1 este valor de
va . Si sólo existiera este movimiento de arrastre, va iría variando. En la figura hemos representado
otra posición, en la que
va
ha cambiado de dirección, que siempre ha de ser tangente a la
circunferencia de radio O’P = O’B. Esto significa que la plataforma, en ese tiempo, ha girado y el
radio O’A (eje O’X) tiene ahora la dirección O’B. Este cambio que sufre va por causa del
movimiento de arrastre es lo que hemos llamado aceleración de arrastre. En nuestro ejemplo de
va
solo existe el último sumando ya que ao '  0 , por no moverse O’, y  e  0 por la hipótesis
inicial; es la aceleración normal que hace cambiar la dirección del vector va y cuyo módulo es
e2 R . Sin embargo el punto móvil, la bola, tiene también el movimiento relativo que le hace
avanzar por el radio de la plataforma. En la Fig. 11 representamos dos posiciones sucesivas de la
bola sobre el radio, la primera en P1 y la segunda en P2. La diferencia entre una y otra es que en la
primera posición el radio coincide en valor con coordenada x’, mientras que en la segunda se
habrá desplazado un dx’ hacia la derecha y su radio de giro será (x’ + dx’), un poco mayor que en
la primera posición.
MOVIMIENTO RELATIVO
23
M. Balbás
Se han dibujado en la figura los valores de la velocidad de arrastre. Ambas tienen en el mismo
instante la misma dirección y sentido; la diferencia de módulos es e  x ' dx '  e x '  e dx ' .
Al formar la derivada tendremos e
dx '
 e v ' . En forma vectorial esta aceleración, que
dt
representa la variación de la velocidad de arrastre va , pero no por causa del movimiento de arrastre
sino del relativo, puede escribirse como ac1  e  v ' de dirección y sentido los de
va y con el
módulo e v ' .
Pasemos ahora a fijarnos en la variación de la velocidad relativa v ' ; estudiaremos primero el valor de
a ' , aceleración relativa, que es la que percibe el observador móvil. En nuestro ejemplo al haber
supuesto que v ' es constante, es decir, que para el observador S’ tiene dirección y sentido fijos
(los del radio) y módulo constante, el valor de a ' es nulo. Si el módulo de v ' hubiera sido
variable, esta variación sería lo que recogería la aceleración relativa a ' .
Pero además de la variación de la velocidad relativa por causa del movimiento relativo, puede existir
una variación de v ' por causa del movimiento de arrastre y que no entra en a ' . En la Fig. 12.a se
MOVIMIENTO RELATIVO
24
M. Balbás
han dibujado sucesivos valores de v ' en diferentes instantes. La bola se va alejando del centro O’
pero debido a la rotación de la plataforma el radio por el que avanza la bola va girando también.
En el esquema 12.b se han representado dos valores de v ' en instantes muy próximos y llevados a un
punto A fijo como origen de ambos. Cuando el intervalo transcurrido tienda a cero el v ' se
convierte en dv ' , el ángulo girado es también un diferencial d , la dirección de dv ' es la
perpendicular a v ' y el módulo de dv ' toma el valor dv '  d R (arco igual al producto del
ángulo por el radio).
Al obtener la derivada respecto al tiempo tenemos ac 2 
d
R  e R ; pero el radio R de giro del
dt
extremo B respecto a A es el módulo v ' de la velocidad relativa. Por tanto ac 2  e v ' .
En forma vectorial este segundo término complementario, variación de la velocidad relativa no por
causa del movimiento relativo, sino del movimiento de arrastre, puede también escribirse como
ac 2  e  v ' .
La suma de los términos ac1 y ac 2 nos da el valor de la aceleración de Coriolis:
ac  2 e  v '
Si echamos la vista atrás, vimos en el comienzo del epígrafe 3.5 como en la primera expresión de a
nos aparecía el término e 
dr '
dr '
al derivar la velocidad de arrastre y que al sustituir
en
dt
dt
 dr ' 
 , daba lugar a a  e  v ' , término no contenido en aa . Por otro lado al
 dt  S 
función de 
derivar v ' aparecía
e  v '
dr '
 dv ' 
, que al ser sustituida en función de 
 , dejaba un sumando
dt
 dt s '
no contenido en la aceleración relativa a ' . Es decir el primero nace de la derivación de
va y el segundo de la v ' . Ambos sumandos dan la aceleración complementaria o de Coriolis.
Este término ac es nulo cuando no hay movimiento relativo respecto a S’  v '  0  , cuando los ejes
no rotan e  0  , o bien cuando los dos vectores e y v '  son paralelos y su producto vectorial
es nulo.
MOVIMIENTO RELATIVO
25
M. Balbás
Con el análisis que hemos hecho este resultado resulta coherente.
Si v ' es nula, ésta no cambia por el movimiento de arrastre ni va cambia porque el móvil pasa a otra
posición con diferente va (no tiene movimiento relativo).
Si e  0 al no haber rotación de los ejes la velocidad relativa v ' no cambia de dirección por el
arrastre ni la de arrastre va tiene la variación que el giro de los ejes le produce al moverse S’. Y si
son paralelos e y v ' , el móvil ni se acerca ni se aleja del eje de la rotación del triedro móvil.
Pongamos un ejemplo para entender mejor este último caso.
Sea un cilindro vertical que gira en torno a su eje de revolución con una e constante. El
cilindro tiene una generatriz vertical (imaginemos que es un alambre recto) por la cual
avanza, insertada en él, una bola con velocidad relativa vertical respecto al cilindro y de
valor v ' también constante (Fig. 13).
En el esquema representado en 13.a se ha dibujado una cierta posición del alambre e insertada
en él la bola que asciende con v ' .
La dirección de v ' es la del alambre, es decir, vertical. Por otro lado como los ejes móviles,
dibujados en el cilindro, solo giran, su origen O’ está quieto
 vo '  0 ,
la velocidad de
arrastre va es tangente a la trayectoria de arrastre (sería la que describiría la bola si no
tuviera la v ' ) y de módulo e R .
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
26
En el esquema 13.b se han representado dos instantes del movimiento, el instante 1 y el instante
3, pasado un cierto intervalo de tiempo. En este intervalo el cilindro ha girado. Hemos
dibujado el alambre en su posición inicial y en su posición final. Y también la bola ha
recorrido parte del alambre, en 3 está más arriba que en la posición anterior. Podemos
descomponer el movimiento mentalmente como si primero hubiera girado el cilindro (sin
avanzar la bola por el alambre) y entonces pasaría la bola de la posición 1 a la 2, posición
intermedia. Posteriormente, sin que se mueva el cilindro, la bola asciende por el alambre
desde 2 hasta 3.
En el primer recorrido la velocidad de arrastre cambia vectorialmente.
Sí que existe variación de va por causa del movimiento de arrastre. No tienen la misma dirección
va1 y va 2 , ambas tangentes a la misma circunferencia; sus módulos son iguales a e R al
haber considerado que e es constante. Pero esta variación está descrita por la aceleración
de arrastre, es su tercer sumando: aa  ao '   e  r '  e  e  r ' , siendo los dos
primeros sumandos nulos en este caso  ao '  0 ;  e  0  ; su dirección es hacia el eje de giro
y de módulo e2 R .
En el segundo trayecto, de 2 a 3, ya no existe movimiento de arrastre, solo tenemos el
movimiento relativo sobre el alambre. Pero va 2 y va 3 son vectores equipolentes, misma
dirección y mismo módulo. Al no acercarse ni alejarse del eje de giro, no hay variación en la
MOVIMIENTO RELATIVO
27
M. Balbás
velocidad de arrastre por causa del movimiento relativo; no hay que añadir este término
complementario.
Por otra parte v1 ' y v2 ' son también equipolentes, no hay variación de uno a otro, gracias a
que v ' es paralela al eje de e . No hay, por tanto, variación de la velocidad relativa por
causa del movimiento de arrastre. Tampoco hay que añadir este término complementario. La
aceleración de Coriolis es nula.
4.- CUANDO LO QUE SE OBSERVA ES UN CONJUNTO DE PUNTOS A LA VEZ
Todo lo que hemos ido desarrollando hasta ahora se ha referido al movimiento de un punto móvil único
P, visto desde dos sitios diferentes, dos sistemas de referencia en movimiento mutuo
La pregunta que podemos hacernos ahora es: ¿servirá todo lo que hemos contado para relacionar el
movimiento de un sistema de puntos móviles, visto desde dos observadores?
Si el sistema de puntos móviles es un conjunto rígido, esto es, que cada pareja de puntos mantiene su
distancia mutua invariable, el problema es sencillo de resolver porque para describir el movimiento
de un sistema de esta naturaleza, un sólido indeformable en movimiento plano, por ejemplo, es
suficiente con conocer la velocidad de uno de sus puntos y la velocidad angular del sistema. Así,
trasladando con la velocidad del punto conocido y girando con la  en torno a un eje que pasa por
él, se obtiene la velocidad de cualquier otro punto. A veces no se conoce la velocidad angular  del
conjunto. Pero ésta se puede calcular conociendo simultáneamente la velocidad de dos o tres puntos
del sistema (basta con dos si el movimiento es plano, es decir todos los puntos se mueven en
trayectorias contenidas en planos paralelos; si no es así hacen falta tres puntos).
La Cinemática de los Sistemas nos enseña que la velocidad de un segundo punto B del sistema de
puntos se puede escribir en función de la velocidad que tenga un primer punto A, en el mismo
instante, mediante la expresión:
vB  vA    AB 
A nosotros no nos puede sorprender esta expresión, al revés, nos tiene que resultar familiar.
Supongamos que en tierra tenemos nuestro sistema S de ejes y que en el punto A ponemos los ejes S’
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
28
móviles, que desplazan su origen con la velocidad de A y giran con la  con que gira el sistema de
puntos móviles, o sea, que acompaña a los puntos en su movimiento.
El punto B será otro de los puntos móviles, cuya velocidad vB respecto de S queremos conocer.
Hemos de tener en cuenta que B se mueve sólo con el arrastre que le produce el triedro móvil S’, es
decir que por la rigidez no hay movimiento relativo de B respecto a A. Así la velocidad de B es tan
solo la velocidad va de arrastre. Es decir, la suma de la velocidad va del origen de S’, más la
velocidad debida al giro de velocidad  y radio AB , de B respecto de A.
Si no conociéramos la velocidad angular  , de la ecuación anterior, pero se conocieran va y vB por
separado, podríamos despejar  , aprovechándonos, si el movimiento es plano, de que toda  es
perpendicular al plano del movimiento. Si el movimiento no fuera plano, tendríamos que conocer la
velocidad de tres puntos A, B y C, y utilizar la relación entre va y vB y entre va y vC . Para
describir el movimiento del sólido respecto a un sistema móvil cualquiera S’ nos basta con analizar
la velocidad va ’ y vB ’ relativas de A y B respecto a un triedro S’ móvil. Y con ellas podremos
obtener  ' . Así el movimiento quedará descrito conociendo va ’ y  ' .
Todo lo que acabamos de contar es sencillo, pero también es cierto que cuando se acerca uno a estas
cuestiones por primera vez, pueden parecer muy complicadas. La mejor manera de entrar en ellas es
comentando un ejemplo. Vamos a verlo.
Supongamos un disco horizontal, de radio R, que gira en torno a su eje, que pasa por O1, con una
velocidad angular 1 constante y de sentido antihorario. Una varilla de longitud 4R, gira
dentro del plano horizontal, en torno al eje perpendicular al plano del dibujo y que pasa por su
centro O2, con una velocidad angular 2 constante y de sentido horario. Entre los centros O1 y
O2 de ambos sólidos hay una distancia 4R. Véase la Fig. 14. Queremos describir cómo ve
moverse la varilla un observador subido en el disco, en el instante dibujado.
Las velocidades vo1  0 y 1 definen el movimiento de rotación del disco, y las velocidades
vo 2  0 y 2 el de la varilla. Ambos movimientos vistos desde un sistema de referencia S,
quieto en tierra, con centro en O.
MOVIMIENTO RELATIVO
29
M. Balbás
Coloquemos un sistema de referencia S’ móvil, que acompañe al disco en su movimiento, es decir,
que esté fijo en él. Pongamos su centro O’ en O1 y hagámosle girar con la 1 del disco.
Desde este sistema calculemos la velocidad relativa con la que vemos moverse a dos puntos de la
varilla. Fijémonos en el centro O2 y su extremo A, por ejemplo.
Para calcular la velocidad relativa vA' del extremo A respecto a S’, debemos restar a la velocidad
de A vistas desde S la de arrastre, ya que:
vA  vA'  vaA
es decir:
vA'  vA  vaA
La velocidad vA de A es la debida al giro en torno a O2. Por tanto
i
v A  2  O2 A  0
j k
0  2  2 R2 j
2 R 0
0
es decir, perpendicular a la varilla, paralela a OY y de sentido positivo, coincidiendo con lo que
es intuitivo nada más ver cómo gira la varilla. (Fijémonos al operar que 1 es un vector
vertical, de solo componente en el eje OZ y de sentido saliente, por tanto positivo según el eje
MOVIMIENTO RELATIVO
30
M. Balbás
coordenado. En cambio 2 es un vector vertical entrante en el papel, es decir de componente
sobre OZ negativa).
Para calcular la velocidad de arrastre de A debido al movimiento del disco, olvidémosnos de que
A pertenece a la varilla. Supongamos que el radio del disco fuera mucho más grande y que A
fuera uno de sus puntos. Al girar con 1 en torno a O1 , A tendría la velocidad:
i j k
vaA  1  O1 A  0 0 1  2 R1 j
2R 0 0
Recuérdese que en toda velocidad de arrastre hay que considerar la traslación con la velocidad
del origen del triedro S’ (pero en este caso O1 está quieto: vo '  0 ) y sumarle la que adquiere
el punto al girar en torno al eje de su  de rotación (esto es lo que hemos escrito).
La diferencia de estas velocidades nos da el valor de vA' :
vA'  2R2 j  2R1 j  2R(2  1 ) j
Busquemos ahora la velocidad relativa del otro punto vo' 2 . Hay que tener en cuenta que desde
tierra, el centro O2 está quieto, luego vo' 2  0 . Basta con calcular la de arrastre de O2 por el
movimiento del disco. Igual que antes sólo queda el término de rotación :
vao 2
i jk
 1  O1O2  0 0 1  4 R1 j
4R 0 0
Por consiguiente :
vo' 2  0  1  O1O2  4 R1 j
Ahora ya conocemos el valor de las velocidades de A y O2 en el movimiento visto desde S’. Ambos
están ligados a través de la velocidad angular de este movimiento 2' (el subíndice 2 se lo
ponemos por ser una  de la varilla y la coma ‘ por ser del movimiento relativo visto desde
S’):
MOVIMIENTO RELATIVO
31
M. Balbás
i
jk
v  v    AO2  2 R 2  1  j  0 0 2'  2 R 2  1  j  2 R2' j
'
o2
'
A
1
2
2R 0 0
En esta expresión desconocemos 2' pero antes hemos calculado el valor de vo' 2 . Sustituyendo se
tiene
4R1 j  2R 2  1  j  2R2' j
de donde operando
2'   1  2 
es decir como vector
2'   1  2  k
Conociendo vA' y 2' queda descrito el movimiento relativo que buscábamos. Puede conocerse la
velocidad, en este instante, de cualquier otro punto de la varilla, vista desde S’. Por ejemplo
para el otro extremo B bastaría con desarrollar la expresión:
vB'  v A'  2'  A ' B '
De manera idéntica a lo razonado con velocidades, podríamos hacerlo con aceleraciones, en el
caso de que sea necesario conocerlas.
Empezaríamos con aA respecto a S, de valor (recuérdese que 1 y 2 son constantes luego no
hay aceleraciones 1 y  2 ):
aA  2  2  O2 A  2R22 i
(dejamos que el lector desarrolle más despacio las expresiones vectoriales, aunque ya sabemos
que es la normal dirigida hacia O2). Para aA' se tiene, siendo aaA  2R12 i , al llevarse el
disco arrastrado a A, aceleración normal hacia O1 y v'A  2 R(2  1 ) j :
MOVIMIENTO RELATIVO
32
M. Balbás
i
a  a A  aaA  acA  2 R i  2 R i  2 0
'
A
2
2
j
0
2
1
0
k
1 
2 R(2  1 )
0
  2 R12  2 R22  4 R12  i
Análogamente para O2 se tiene:
aO2  0 (está en reposo en S)
a  0  aaO2  acO2
'
O2
i
 4 R i  2 0
j
0
2
1
0
 4 R1
k
1  4 R12 i
0
Relacionando entre sí A y O2 se llega a:
aO' 2  aA'  2'  AO2  2'  2'  AO2
Sustituyendo valores y separando componentes en OX por un lado y componentes en OY por otro
se llega a una identidad en el eje OX mientras que al escribir los componentes en OY se tiene :
 2'  0 .
Con esto podemos tener la aceleración de cualquier punto de la varilla en su movimiento relativo
a S’, en el instante considerado.
Por ejemplo para el punto B se tendría la expresión.
aB'  aA'  2'  2'  AB
Cuyo desarrollo nos daría la expresión cartesiana de aB' .
5.- LA EXPLICACIÓN DINÁMICA DE LOS MOVIMIENTOS
Hemos visto cómo las aceleraciones de un móvil observadas desde dos sistemas de referencia diferentes
pueden ser distintas. Pero sabemos que dinámicamente las aceleraciones son el resultado de la
aplicación de unas determinadas fuerzas. De modo que si las aceleraciones obtenidas son diferentes
MOVIMIENTO RELATIVO
33
M. Balbás
para un observador y para otro, lo mismo le debe pasar a las fuerzas cuyo resultado son
precisamente aquellas aceleraciones.
Meditemos por un momento sobre estas consecuencias.
5.1
LOS SISTEMAS INERCIALES
De todos los ejemplos que hemos ido comentando, el más sencillo ha sido el primero, el del barco
pirata. Allí los ejes móviles para nosotros estaban unidos al barco, dibujados sobre él, de forma
que los veíamos moverse sin girar, sólo trasladándose con velocidad constante vB , la del barco. Al
comparar las aceleraciones vistas desde la costa, a , y desde el barco a ' , nos encontrábamos con
lo siguiente: la aceleración de arrastre salía nula porque, en primer lugar los ejes no giran y
desaparecen los términos de la aceleración tangencial  e  r ' , de la normal e  e  r ' . Pero
por otro, la traslación de los ejes se hace con velocidad constante vB , con lo que la aceleración del
origen O’ también es nula  ao '  0  . Por tanto aa  0 . Y en cuanto al término de Coriolis es nulo
igualmente porque al no haber rotación de los ejes e  0 . Si aa  0 y ac  0 , la relación entre
a y a ' es la más sencilla posible:
a a'
Ambos observadores ven la misma aceleración del cuchillo.
Esto ocurre siempre que un sistema de observación se mueve respecto al otro con un simple
movimiento de traslación de velocidad constante.
La familia de todos los sistemas que se mueven unos respecto a otros con movimientos de traslación
de velocidad constante se denomina conjunto de los sistemas inerciales. En todos ellos se mide la
misma aceleración para cualquier punto móvil respecto a ellos, a  a '  a ''.....
La característica esencial de los sistemas inerciales es que en ellos se cumple la ecuación fundamental
de Newton
F  ma
donde a es la aceleración observada por cualquiera de ellos.
MOVIMIENTO RELATIVO
34
M. Balbás
Los demás sistemas que no son inerciales los denominamos sistemas acelerados o no inerciales y
representan la mayoría de los casos que podemos estudiar. En los demás ejemplos que hemos
comentado, tío-vivo con el niño, disco con móvil sobre el radio, cilindro con el alambre, el sistema
S’ es un sistema acelerado, no inercial.
5.2
¿SE VEN AFECTADAS LAS FUERZAS?
Si nos situamos en el sistema inercial S de observación escribiremos la ecuación dinámica para una
partícula de masa m:
F  ma
donde con F representamos la fuerza resultante que actúa sobre m (peso, reacciones en los apoyos,
tensiones de hilos, rozamientos, etc.). Naturalmente a es la aceleración que se observa desde S.
Si ahora nos situamos en S’ (sistema móvil acelerado respecto a S) la aceleración observada será a ' ,
distinta de a . Si intentáramos volver a escribir la ecuación dinámica nos encontraríamos con :
F  ma '
Es decir, la fuerza resultante F no explica la existencia de una aceleración a ' . La primera
consecuencia es que hemos perdido la expresión del segundo postulado de Newton, que es la pieza
maestra de la dinámica. ¿Cómo resolver esta dificultad?
Expresemos a en función de a ' , aa y ac . Tenemos:
F  ma  ma ' maa  mac
Al observador dinámico relativo le hace falta una ecuación en la que el segundo miembro sea ma ' , ya
que a ' es la única aceleración que él ve. Hagamos la siguiente transformación:
F  maa  mac  ma '
MOVIMIENTO RELATIVO
35
M. Balbás
Los términos debidos a las aceleraciones de arrastre y de Coriolis deben añadirse a la expresión de F
para explicar el resultado ma ' . En este sentido son términos de fuerzas (causas) que explican el
resultado (aceleraciones). Llamemos fuerza de inercia de arrastre Fia a:
Fia  maa
y fuerza de inercia de Coriolis a :
Fia  mac
Así la expresión anterior de ma ' queda:
F  Fia  Fic  ma '
expresión del postulado de Newton en un sistema acelerado. Desde este punto de vista las fuerzas de
inercia están bien denominadas como fuerzas porque son causas que sumar a F para explicar la
aceleración resultante. El apellido de inercia delata que dependen del estado de movimiento del
observador y las distingue de las fuerzas F que son siempre acciones que otros sistemas físicos
reales ejercen sobre nuestra masa m.
La expresión completa de las fuerzas de inercia de arrastre es:
 d

Fia  maa  mao '  m  e  r '  m e  e  r '
 dt

Como vemos pueden existir hasta tres fuerzas de inercia de arrastre, la primera debida a la traslación, si
es acelerada, del triedro S’ y las otras dos debidas a la rotación de S’ , un término tangencial y otro
normal.
Este último término, m e  e  r '  , se conoce con el nombre de fuerza centrífuga, su sentido


siempre es saliente, debido al signo menos, del eje en torno al cual gira S’ con e .
Para la otra fuerza, la de Coriolis, la expresión es única:
MOVIMIENTO RELATIVO
36
M. Balbás
Fic  mac  2m e  v '
dependiendo de la e de giro de los ejes móviles, y de la velocidad relativa de m respecto a S’.
Con estas expresiones podemos explicar ciertos fenómenos que pertenecen a la experiencia que todos
tenemos.
Supongamos en primer lugar que nos subimos en un autobús urbano en una cierta parada. Cuando el
vehículo arranca sufrimos una especie de empujón que nos hace ir hacia atrás, si no nos agarramos
debidamente. O a la inversa, si circulando, de repente frena bruscamente, no sentimos impelidos
hacia delante, como si nos fuéramos a estrellar con el parabrisas delantero. Si en esos instantes no
hemos sufrido ningún término de F (por más que miremos nadie nos ha empujado) hay que
explicar quién produce la aceleración a ' respecto al autobús, en el primer caso hacia atrás y en el
segundo hacia delante.
La explicación nos la proporciona el movimiento de arrastre del sistema de ejes S’ situado en el
autobús. El vehículo no gira (e  0) y de los términos del arrastre solo queda el debido a la
aceleración de la traslación del autobús. En el momento del arranque, la aceleración del autobús es
positiva, hacia delante, para tomar velocidad. La fuerza de inercia es mao ' , por tanto dirigida
hacia atrás y ello explica nuestro empujón en sentido negativo. En el frenazo los signos son los
contrarios, la aceleración ao ' es negativa, con lo que la fuerza de inercia mao ' resulta positiva y
nosotros impulsados hacia delante.
Si en lugar de estar en el autobús, nos situamos en un automóvil, cuando éste toma una curva hacia la
izquierda, nosotros sufrimos una fuerza que nos empuja sobre el lateral derecho del vehículo. Y al
contrario si la curva fuese hacia la derecha. En este caso lo que existe visto desde el coche, es una
fuerza de inercia de arrastre debida a la aceleración normal. Como esta aceleración va dirigida, en
dirección radial, hacia el centro de curvatura de la trayectoria, la fuerza de inercia es la fuerza
centrífuga, saliendo del centro por causa del signo negativo que lleva la expresión de la fuerza.
Comentemos, siguiendo con la fuerza centrífuga, un ejemplo muy simple. Supongamos una
pequeña bola, situada sobre el plano horizontal de una mesa lisa, describe una trayectoria
circular mediante un hilo de longitud L, que la une a un punto fijo O de la mesa (Fig. 15)
MOVIMIENTO RELATIVO
37
M. Balbás
Se quiere conocer el valor del módulo de la tensión T con la que el hilo sujeta a la bola en su
movimiento. Se puede contestar a esta pregunta desde un sistema de ejes de referencia quietos
sobre el plano. La única fuerza horizontal es T (es verdad que existen el peso P y una normal
N hacia arriba, que se anulan entre sí y que no hemos dibujado). Admitiendo que la velocidad
angular  de la bola es constante, la única aceleración en este movimiento es la aceleración
normal aN , dirigida desde P hacia O y de módulo  2 L .
Por tanto la ecuación del segundo postulado de Newton, proyectada sobre la dirección del radio
en cada instante y tomando como sentido positivo el dirigido hacia el centro O, queda:
T  maN  m 2 L
donde queda conocido el valor de T en función de m,  y L.
Pero también se puede contestar constituyéndonos en observadores móviles, acompañando a la
bola en su movimiento. En la Fig. 16 hemos dibujado unos ejes, tomando como tales la
dirección del radio, su normal en el plano horizontal y la vertical que pasa por O. Estos ejes S’
son móviles, giran en torno a su eje vertical con la velocidad e   para acompañar al hilo
en su movimiento.
MOVIMIENTO RELATIVO
38
M. Balbás
Para este observador móvil existe además de T , otra fuerza horizontal. Las fuerzas de inercia de
arrastre no tienen el término debido al movimiento de traslación de los ejes, porque O está en
reposo. Tampoco el término debido a la aceleración tangencial en el giro de los ejes, porque
 d

 0  . Solo queda el término de la centrífuga, debido a la aceleración
 es constante 
 dt

normal del giro, siendo el módulo de Fia de valor m 2 L y sentido saliente de O. La otra
posible fuerza de inercia, la de Coriolis, es nula porque el punto P está quieto en los ejes
móviles, sus coordenadas son (L, 0, 0) continuamente, es decir su velocidad relativa es nula y
si v '  0 la aceleración de Coriolis, ac  2 e  v ' también lo es.
El punto P, como se ha dicho, está en reposo en los ejes S’ y su aceleración relativa a ' es por
tanto nula. Luego la ecuación de fuerzas, teniendo en cuenta que el sentido positivo de Ox’ es
hacia fuera, se escribe como:
Fc  T  0
es decir:
m 2 L  T  0
de donde se despeja el valor de T, igual al obtenido en la forma anterior.
Es frecuente encontrar alumnos que cuando abordan estos análisis por vez primera, se quedan
desconcertados por esta libertad de enfoque. Suelen preguntar: “Entonces, ¿cuándo existen fuerzas
de inercia y cuándo no?” A esta pregunta sólo se puede dar una respuesta. Sólo existen fuerzas de
inercia cuando el sistema de ejes de referencia no es inercial sino acelerado. Y ser observadores
inerciales o no depende exclusivamente de quién resuelve el problema. Es una libertad que hay que
ejercer conscientemente: elegir un punto de vista u otro.
MOVIMIENTO RELATIVO
5.3
M. Balbás
39
EJES PUESTOS EN TIERRA
En muchísimos casos resolvemos los problemas situando el sistema de observación S fijo en tierra, en
el suelo. Y planteamos nuestras soluciones admitiendo implícitamente, sin necesidad de decirlo, que
este triedro en tierra es inercial.
Situamos las fuerzas F de acción real sobre nuestro cuerpo móvil, y calculamos directamente la
aceleración a . ¿Es correcto esto que hacemos? En realidad la Tierra se mueve aceleradamente. Su
centro realiza un movimiento elíptico respecto al Sol, trayectoria curvilínea por tanto. Además rota
en torno a su eje con una velocidad de giro T . Además existen los movimientos del sistema solar,
de la galaxia, etc. Rigurosamente no podemos afirmar que su movimiento sea de traslación rectilínea
y sin aceleración. Sin embargo se pueda hacer una aproximación, que en la práctica resulta
suficiente en la mayoría de los casos, y admitir que S sí es inercial, ya que el arco de la trayectoria
que describe su centro en torno al Sol es tan pequeño en el intervalo de tiempo que transcurre
mientras se desarrolla el movimiento que analizamos, que puede considerarse como rectilíneo; por
otra parte la velocidad de rotación de la Tierra es tan pequeña (es una vuelta por día) que los
términos en T son despreciables. Por tanto admitimos que S es inercial. Recuérdese que hemos
empezado a estudiar la dinámica de la partícula mediante las fuerzas F y no hemos hablado
entonces de la necesidad de las fuerzas de inercia. Y que lo aplicábamos al cálculo de la aceleración
a respecto a un sistema inercial. Con alguna frecuencia se denomina a a como aceleración
absoluta. Es un error que puede disculparse, porque aunque es cierto que no conocemos un sistema
de ejes en reposo absoluto (incluso el admitir su propia existencia puede ser incoherente) también es
verdad que la aceleración respecto a un sistema inercial toma el mismo valor respecto a cualquier
otro sistema inercial y por tanto también respecto al sistema absoluto, suponiendo que se pudiera
admitir su existencia. También ocurre que a la velocidad v respecto al sistema en tierra se la
denomina velocidad absoluta. Ahora el error es menos justificable ya que la velocidad respecto a un
sistema inercial depende del sistema inercial escogido. Sin embargo un buen conocimiento del tema
relativo hace que no presente dificultades de interpretación.
5.4
EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS FUERZAS DE INERCIA
Para comprender bien el concepto de fuerzas de inercia es interesante que analicemos algunos
ejemplos de aplicación de estas fuerzas en la resolución de problemas dinámicos concretos.
MOVIMIENTO RELATIVO
5.4.1
40
M. Balbás
Ejemplo del ascensor
Supongamos un ascensor que se traslada verticalmente con una aceleración hacia arriba ao . Del
techo cuelga una pequeña masa m unida al techo del ascensor mediante un hilo de longitud L. La
masa está describiendo una trayectoria horizontal circular con radio R y velocidad angular 
constante. Se quiere determinar la tensión T del hilo, Fig. 17.
Supongamos unos ejes móviles que tengan su origen en el punto O’, que se mueve con la aceleración
aa del ascensor hacia arriba. Además suponemos que los ejes giran en torno al eje O’Z’ vertical
con la velocidad angular e   , de manera que la masa m siempre está sobre el eje O’X’ y a la
distancia R de O’. Esto significa que la masa m está en reposo en estos ejes, siendo sus
coordenadas (R, 0, 0).
Al realizar el diagrama de fuerzas, Fig. 18, comenzamos por dibujar la fuerza F . En este caso sólo
existen dos: el peso vertical y descendente, y de módulo mg y la tensión del hilo, en su dirección y
de módulo T. Pero el sistema de observación es acelerado y hay que hacer intervenir a las fuerzas
de inercia. La aceleración de Coriolis es nula porque la velocidad relativa v ' es cero


constantemente Fic  mac  2m c  v '  0 .
La aceleración de arrastre tiene dos términos; en primer lugar el origen se mueve con aceleración
ao de traslación de los ejes. Por tanto hay una fuerza de inercia de arrastre de valor mao ,
MOVIMIENTO RELATIVO
41
M. Balbás
vertical y descendente al cambiar el signo. Pero los ejes también giran con e   . La velocidad
angular es constante, por tanto d / dt  0 . Sólo queda el término de la centrífuga, dirigida
según O’X’, de sentido hacia fuera y módulo m 2 R
F
ia
 maa  mao  m     r ' .
Como el movimiento relativo es nulo, la aceleración relativa a ' es también nula. Por tanto al
proyectar las fuerzas sobre los ejes, su suma es nula. Solo hay componentes sobre O’X’ y sobre
O’Z’:
m 2 R  Tx  0
Tz  mg  mao  0
Con Tx y Tz se obtiene el módulo T:
T  Tx2  Tz2 
 m R 
2
2
 m2  g  ao 
2
Pero este análisis puede realizarse también, si lo preferimos, con unos ejes móviles con movimiento
más simple. Supongamos que no giran y que sólo se trasladan con el ascensor; por tanto que están
en reposo respecto al ascensor. Las fuerzas F siguen siendo las mismas. Pero en cuanto a las
fuerzas de inercia solo existe el término debido a la traslación del ascensor, que es el único que
hacen los ejes. En la Fig. 19 se dibujan las fuerzas y la trayectoria que realiza la masa m, vista
desde estos ejes.
MOVIMIENTO RELATIVO
42
M. Balbás
La masa m tiene una aceleración relativa a ' en su movimiento circular, de componente tangencial
nula y de componente normal dirigida según el radio O’P, de sentido hacia el centro de giro O’ y
de valor  2 R . Por tanto al proyectar sobre la dirección del radio y sobre la vertical, se tiene:
Tx  m 2 R
Tz  mg  mao  0
Lo que nos da los mismos valores de las componentes Tx y Tz que en el anterior análisis relativo.
5.4.2
Ejemplo del plano inclinado
Supongamos que una cuña (Fig. 20) se traslada sobre un plano horizontal con aceleración ao . Sobre
la cara inclinada de la cuña, de ángulo  con la horizontal, se sitúa, inicialmente en reposo, una
pequeña masa m, que no tiene rozamiento con la cuña. Se quiere analizar el movimiento relativo
de la masa m respecto a la cuña.
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
43
Tomemos unos ejes móviles situados sobre la cuña, con origen en el extremo O’ de la cuña, O’X’
sobre la cara inclinada y O’Y’ sobre su perpendicular. El sistema y su movimiento son planos, nos
basta por tanto con estos dos ejes.
Las fuerzas F vienen dadas por el peso, vertical descendente y de módulo mg y la reacción normal
N de la cuña sobre m (recuérdese que el enunciado dice que no hay rozamiento). Como estamos
trabajando en un sistema de observación acelerado, puesto que participa de la aceleración ao de
la cuña, tenemos que considerar las posibles fuerzas de inercia Fi . En primer lugar, aunque m
tenga una velocidad relativa v ' respecto a la cuña, subiendo o bajando por el plano inclinado,
los ejes móviles no giran, sólo se trasladan.
Por ello e  0 y la fuerza de inercia de Coriolis es nula: Fic  mac  2m(e  v ')  0 . Por otro
lado de los términos del arrastre, al no girar los ejes, sólo queda el término debido a la traslación
de los ejes:
d


Fia  maa  m  ao  a  r ' c  e  r '  mao
dt


Supongamos que la aceleración ao de la cuña tiene sentido hacia la izquierda. Entonces Fia  mao
tiene sentido hacia la derecha. En la Fig. 21.a hemos dibujado el peso, la normal y la fuerza de
inercia de arrastre.
MOVIMIENTO RELATIVO
44
M. Balbás
Esta última con sentido contrario al de ao . Se han indicado en la figura los módulos de las fuerzas.
Si proyectamos sobre los ejes O’X’ y O’Y’ se tiene:
mao cos   mg sen  ma '
N  mao sen  mg cos   0
La segunda ecuación permite calcular el módulo N de la reacción de apoyo.
La primera ecuación nos permite obtener la aceleración relativa a’. Si es positiva, es decir si la
componente sobre el plano inclinado de la fuerza de inercia es mayor que la del peso, la masa m
asciende por el plano inclinado. Si fueran iguales:
mao cos   mg sen  0
no existiría aceleración relativa y como hemos dejado m en reposo en el instante inicial, no se
moverá, no habrá movimiento relativo, la masa permanecerá en la misma posición relativa
(Fig.21.b).
Si suponemos ahora que el sentido dado a ao es hacia la derecha, la fuerza de inercia de arrastre va
dirigida hacia la izquierda, sentido contrario al de ao (Fig. 21.c). En este caso las proyecciones
sobre el plano del peso y de la fuerza de inercia son ambas descendentes, con lo que:
mg sen  mao cos   ma '
N  mao sen  mg cos   0
MOVIMIENTO RELATIVO
M. Balbás
45
La masa se mueve hacia abajo, en este caso, y a ' es de sentido contrario al positivo del eje O’X’.
5.4.3
Ejemplo de la puerta que gira
Una puerta está girando con velocidad de giro  constante. La puerta empuja al girar a una
pequeña bola, de masa m, que se ha lanzado horizontalmente con velocidad vo desde el punto Po
situado en el eje de giro.
Se quiere calcular la reacción R de empuje de la puerta sobre la bola (Fig. 22).
Tomemos unos ejes móviles, con origen en Po y que acompañen a la puerta en su movimiento.
Fijemos el O’X’ trazando desde Po una horizontal sobre la puerta. O’Y’ será la perpendicular al
plano de la puerta y O’Z’ el eje vertical de giro. Los ejes no se trasladan, solamente giran con una
  k '.
En la figura se han dibujado las fuerzas F y Fi . Las primeras son el peso, de dirección vertical y
módulo mg y la reacción de empuje de la puerta sobre la bola, de dirección O’Y’. De las fuerzas
de inercia de arrastre solo tenemos la fuerza centrífuga, ya que el origen O’ = Po no tiene
aceleración (no hay traslación de los ejes) y no hay término tangencial puesto que  es
constante. Así:
Fia  maa  m     r '  m 2 x ' i '
MOVIMIENTO RELATIVO
46
M. Balbás
Por otro lado la velocidad relativa v ' de la bola al plano de la puerta tiene dirección tangente a su
trayectoria relativa (dibujada de trazos en la figura).
Tendrá dos componentes vx' y vz' . Así:
i'
Fic  mac  2m   v '  2m 0
vx'
j' k'
0   2m  vx' j '
0
vz'
La fuerza de inercia de Coriolis tiene la dirección perpendicular al plano de la puerta y sentido
negativo, contrario al de la reacción de módulo R.
Las ecuaciones dinámicas de este movimiento plano, teniendo en cuenta que la aceleración relativa
a ' solo tendrá componentes ax' y az' , quedan:
m  2 x '  max'
R  2m  vx'  0
mg  maz'
De la 2ª obtenemos R  2m vx' . Nos es necesario obtener la componente vx' de la velocidad relativa
v ' integrando la 1ª ecuación:
ax' 
d 2x '
 2 x '
2
dt
d 2x '
  2 x '  0 es una ecuación diferencial de coeficientes constantes que se integra obteniendo su
2
dt
ecuación característica:
r2  2  0
de soluciones r   . Así:
x '  C1e t  C2e t
MOVIMIENTO RELATIVO
47
M. Balbás
(Es posible que el alumno no haya estudiado todavía la integración de esta simple ecuación
diferencial. En ese caso le basta con comprobar que la solución encontrada para x’ si se deriva
dos veces respecto a t, es solución de la ecuación diferencial).
Las constantes C1 y C2 se pueden determinar sabiendo que para t = 0, el valor de x’ = 0 (m está en
Po) y que en ese instante vx'  vo . Sustituyendo estos valores se tiene:
x '  0  C1  C2
t
x '  C1 (e  e
 t
 C2  C1
)
dx '
 C1 (e t  e  t )
dt
vo  C1 (1  1)  2C1
de donde: C1 = -C2 =
Por tanto: x ' 
vo
2
vo  t  t
dx ' vo  t  t
e  e  " vx' 
  e  e   voe t

2
dt
2
y el valor de R será:
R  2m vx'  2m voe t
de módulo variable en el tiempo (en el instante inicial Ro  2m vo ).