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"2016 - Año del Bicentenario de la Declaración de la Independencia Nacional”
Cálculo 2 – TP N°10
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Funciones Vectoriales de Variable Real
1.
a)
Representar gráficamente las siguientes curvas:
r(t )  3ti  (t  1) j
2.
b)
r(t )  4 cos ti  sentj
c)
r(t )  2 cos ti  2sentj  tk c)
Representar las siguientes curvas planas mediante alguna función vectorial:
a) x
2
 4 y 2  16
b)
y  1  x 2 c) 4 y 2  x  2 x 2
3. Una partícula se mueve por la recta que pasa por los puntos (1,1,2) y (0,3,-3):
a) Hallar la función vectorial que define su trayectoria y representarla gráficamente.
b) Calcular la rapidez y la aceleración de la partícula en el instante t=2.
4. Un objeto se mueve según la trayectoria r(t )  ti  t j  3tk
a) Hallar los vectores velocidad y aceleración v(t) y a(t). b) Calcular la rapidez y la aceleración del móvil al
cabo de 5 seg
5. Una pelota es golpeada a 1m sobre el suelo, con una velocidad de 30m/seg y un ángulo de elevación
de 45º.
a) Hallar las expresiones de r(t), v(t) y a(t) suponiendo que la única fuerza que actúa es la gravedad.
b) Determinar la altura máxima y el alcance de la pelota.
c)Podrá la pelota pasar sobre un cerco de 5 m situada a 90 m del lugar del lanzamiento?.
d) Encontrar la expresión cartesiana de la parábola que describe el movimiento de la pelota y representarla
gráficamente.
3
6. La trayectoria de una bala viene dada por la ecuación y  x  0,005x
a) Encontrar la función de posición r(t).
b) Hallar la rapidez y la dirección del proyectil en el punto en el que ha recorrido 60m horizontalmente.
7. Hallar los versores tangente, normal y binormal para las siguientes curvas en los instantes indicados y
las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante.
2
a) r (t )
 e t cos ti  e t sentj
t

b) r(t )  ti  2tj
2
Sea la hélice r(t )  2 cos ti  2sentj  tk
 3tk
t 1
8.
a) Parametrizar la curva en función de la longitud de arco “s”.
b) Calcular las coordenadas de los puntos de la curva correspondientes a s=1, y s=4.
c) Verificar que el vector r`(s) es un versor.
9. Hallar la curvatura de flexión “” de las siguientes curvas:
a)
r(t )  a cos wti  asenwtj
b)
t2
r (t )  ti  t 2 j  ( )k
2
c) r(t )  4ti  3 cos tj  3sentk
Integrales de línea

10. Evaluar la siguiente integral curvilínea: (3x  3 y )ds sobre:
2
2
C
a) La trayectoria y=x desde (0,0) hasta (1,1).
b) La trayectoria y=-x desde (-1,1) hasta (1,-1).
c) Sobre el eje y desde (0,0) hasta (0,1) y a continuación paralelo al eje x desde (0,1) hasta (1,1).
d) Sobre el eje x desde (0,0) hasta (1,0) y a continuación paralelo al eje y desde (1,0) hasta (1,1).
e) En el sentido del movimiento de las agujas del reloj a lo largo del círculo
(1,0).
1
x 2  y 2  1 desde (0,1) hasta
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2
f) En el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj a lo largo del círculo x  y  1 desde (1,0)
hasta (0,1).
11.
Utilizando una integral de línea calcular el área de la superficie que se extiende verticalmente desde el
x 2  y 2  9 del plano xy hasta el cilindro parabólico z  4  x 2
12. Sea F ( x, y, z )  xi  yj  zk . Evaluar la integral de F a lo largo de cada una de las siguientes
círculo
trayectorias:
a) c(t )  (t , t , t )
0  t 1
b) c(t )  (sent ,0, cos t )
0  t  2
 
13. Calcular  F  dr a lo largo de la curva mostrada en la figura siendo el campo
C

F ( x, y, z )  ( x 2 z, yx 2 ,3)
a)
b)
z
z
1
1
1
1
y
y
1
1
x
x
14. Sea el siguiente campo vectorial y la región R limitada por la curva C:
 
 
 
 
F

d
r

F

d
r

F

d
r

F



  dr
2
1.75
1.5
C
1.25
C3
1
C2
0.75
0.5
0.25
0.5
1
1.5
C1
C2
C3
¿El resultado de la integral curvilínea
de F sobre C será positivo o
negativo? Justifique su respuesta.
2
C1
15. Hallar
el
trabajo
realizado
F  3x i  (2 xz  y ) j  zk
2
al
desplazar
una
partícula
en
el
campo
de
fuerzas
a lo largo de
 x  2t 2
a) La recta que une los puntos A (0,0,0) y B (2,1,3).
b) La curva  y  t
0  t 1

 z  4t 2  t

16. Una partícula de peso p desciende desde el punto (0,2,0) hasta (4,0,0) a lo largo de la parábola 8y=(x2
4) z=0. Sobre ella actúa la fuerza de la gravedad y una fuerza horizontal de magnitud (y,0,0). Hallar el
trabajo total ejercido por estas fuerzas.
17. Un alambre delgado se dobla en forma de semicírculo x  y  9 . Si la densidad lineal es constante
de 3,5 gramos por unidad de longitud. Calcular la masa total y el centro de masas del alambre.
18. Calcule la masa de un alambre fino cuya forma viene dada por la curva de ecuación
2
x  e t cos t ,
y  e t sent
2
(0  t  1) si la función de densidad está dada por  ( x, y)  x y
2