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"2016 - Año del Bicentenario de la Declaración de la Independencia Nacional” Cálculo 2 – TP N°10 UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Funciones Vectoriales de Variable Real 1. a) Representar gráficamente las siguientes curvas: r(t ) 3ti (t 1) j 2. b) r(t ) 4 cos ti sentj c) r(t ) 2 cos ti 2sentj tk c) Representar las siguientes curvas planas mediante alguna función vectorial: a) x 2 4 y 2 16 b) y 1 x 2 c) 4 y 2 x 2 x 2 3. Una partícula se mueve por la recta que pasa por los puntos (1,1,2) y (0,3,-3): a) Hallar la función vectorial que define su trayectoria y representarla gráficamente. b) Calcular la rapidez y la aceleración de la partícula en el instante t=2. 4. Un objeto se mueve según la trayectoria r(t ) ti t j 3tk a) Hallar los vectores velocidad y aceleración v(t) y a(t). b) Calcular la rapidez y la aceleración del móvil al cabo de 5 seg 5. Una pelota es golpeada a 1m sobre el suelo, con una velocidad de 30m/seg y un ángulo de elevación de 45º. a) Hallar las expresiones de r(t), v(t) y a(t) suponiendo que la única fuerza que actúa es la gravedad. b) Determinar la altura máxima y el alcance de la pelota. c)Podrá la pelota pasar sobre un cerco de 5 m situada a 90 m del lugar del lanzamiento?. d) Encontrar la expresión cartesiana de la parábola que describe el movimiento de la pelota y representarla gráficamente. 3 6. La trayectoria de una bala viene dada por la ecuación y x 0,005x a) Encontrar la función de posición r(t). b) Hallar la rapidez y la dirección del proyectil en el punto en el que ha recorrido 60m horizontalmente. 7. Hallar los versores tangente, normal y binormal para las siguientes curvas en los instantes indicados y las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante. 2 a) r (t ) e t cos ti e t sentj t b) r(t ) ti 2tj 2 Sea la hélice r(t ) 2 cos ti 2sentj tk 3tk t 1 8. a) Parametrizar la curva en función de la longitud de arco “s”. b) Calcular las coordenadas de los puntos de la curva correspondientes a s=1, y s=4. c) Verificar que el vector r`(s) es un versor. 9. Hallar la curvatura de flexión “” de las siguientes curvas: a) r(t ) a cos wti asenwtj b) t2 r (t ) ti t 2 j ( )k 2 c) r(t ) 4ti 3 cos tj 3sentk Integrales de línea 10. Evaluar la siguiente integral curvilínea: (3x 3 y )ds sobre: 2 2 C a) La trayectoria y=x desde (0,0) hasta (1,1). b) La trayectoria y=-x desde (-1,1) hasta (1,-1). c) Sobre el eje y desde (0,0) hasta (0,1) y a continuación paralelo al eje x desde (0,1) hasta (1,1). d) Sobre el eje x desde (0,0) hasta (1,0) y a continuación paralelo al eje y desde (1,0) hasta (1,1). e) En el sentido del movimiento de las agujas del reloj a lo largo del círculo (1,0). 1 x 2 y 2 1 desde (0,1) hasta "2016 - Año del Bicentenario de la Declaración de la Independencia Nacional” Cálculo 2 – TP N°10 UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 f) En el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj a lo largo del círculo x y 1 desde (1,0) hasta (0,1). 11. Utilizando una integral de línea calcular el área de la superficie que se extiende verticalmente desde el x 2 y 2 9 del plano xy hasta el cilindro parabólico z 4 x 2 12. Sea F ( x, y, z ) xi yj zk . Evaluar la integral de F a lo largo de cada una de las siguientes círculo trayectorias: a) c(t ) (t , t , t ) 0 t 1 b) c(t ) (sent ,0, cos t ) 0 t 2 13. Calcular F dr a lo largo de la curva mostrada en la figura siendo el campo C F ( x, y, z ) ( x 2 z, yx 2 ,3) a) b) z z 1 1 1 1 y y 1 1 x x 14. Sea el siguiente campo vectorial y la región R limitada por la curva C: F d r F d r F d r F dr 2 1.75 1.5 C 1.25 C3 1 C2 0.75 0.5 0.25 0.5 1 1.5 C1 C2 C3 ¿El resultado de la integral curvilínea de F sobre C será positivo o negativo? Justifique su respuesta. 2 C1 15. Hallar el trabajo realizado F 3x i (2 xz y ) j zk 2 al desplazar una partícula en el campo de fuerzas a lo largo de x 2t 2 a) La recta que une los puntos A (0,0,0) y B (2,1,3). b) La curva y t 0 t 1 z 4t 2 t 16. Una partícula de peso p desciende desde el punto (0,2,0) hasta (4,0,0) a lo largo de la parábola 8y=(x2 4) z=0. Sobre ella actúa la fuerza de la gravedad y una fuerza horizontal de magnitud (y,0,0). Hallar el trabajo total ejercido por estas fuerzas. 17. Un alambre delgado se dobla en forma de semicírculo x y 9 . Si la densidad lineal es constante de 3,5 gramos por unidad de longitud. Calcular la masa total y el centro de masas del alambre. 18. Calcule la masa de un alambre fino cuya forma viene dada por la curva de ecuación 2 x e t cos t , y e t sent 2 (0 t 1) si la función de densidad está dada por ( x, y) x y 2