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Análisis Dinámico
Introducción
La dinámica se ocupa de la relación entre las fuerzas que actúan sobre un
cuerpo y el movimiento que en el se origina. Por lo tanto, el modelo dinámico
de un robot tiene por objetivo conocer la relación entre el movimiento del
robot y las fuerzas aplicada en el mismo.
Esta relación se obtiene mediante el denominado modelo dinámico, que
relaciona matemáticamente:
1.
2.
3.
La localización del robot definida por sus variables articulares o por las
coordenadas de localización de su extremo, y sus derivadas: velocidad y
aceleración.
Las fuerzas y pares aplicados en las articulaciones (o en el extremo del
robot).
Los parámetros dimensionales del robot, como longitud, masas e inercias
de sus elementos.
M.C. Cynthia Guerrero
Análisis Dinámico
Simulación
del
movimiento
del robot
Introducción
El modelo dinámico es
imprescindible para
conseguir los siguientes
fines:
Diseño y
evaluación
de la
estructura
mecánica del
robot
Modelo
dinámico
Dimensiona
miento de los
actuadores
M.C. Cynthia Guerrero
Diseño y
evaluación
del control
dinámico del
robot
Análisis Dinámico
Introducción
W  F x Cos( )
F
Trabajo (W) es el producto escalar de la
fuerza (F) por el desplazamiento que
origina (x), siendo igual al producto de los
módulos de ambos vectores por el coseno
del ángulo que forman.
x
F
θ=45⁰
x
Energía cinética (K) lineal es la energía
que posee un cuerpo por el hecho de
moverse. La energía cinética de un cuerpo
depende de su masa (m) y de su velocidad
(v) según la relación:
M.C. Cynthia Guerrero
θ=0⁰
2
1
K  mV
2
m
V
Análisis Dinámico
Energía cinética (K) rotacional
Supongamos un anillo rotado con respecto a un eje perpendicular a su plano,
que pasa por el centro de masa. La velocidad tangencial de una partícula en el
borde es V  wr donde r es el vector que apunta a dicha partícula (radio) y w
la velocidad angular del anillo.
w
Entonces la energía cinética rotacional es:
m
r
2
1
1 2 2 1 2
K  mV  mr w  Iw
2
2
2
Donde m es la masa de la partícula, y V=rw, su velocidad tangencial. También
se puede expresar en términos de la inercia I .
M.C. Cynthia Guerrero
Análisis Dinámico
La energía potencial (P) es aquella que tiene un cuerpo debido a su posición en
un determinado momento. Por ejemplo un cuerpo que se encuentra a una cierta
altura puede caer y provocar un trabajo o un resorte comprimido o estirado
puede mover un cuerpo también produciendo trabajo.
La energía potencial la consideramos como la suma de las energías potencial
gravitatoria ( PG ) y potencial elástica ( PE ) , por lo tanto:
P  PG  PE
M.C. Cynthia Guerrero
Análisis Dinámico
Energía potencial gravitatoria ( PG )
Es la que tienen los cuerpos debido a la gravedad (g)
de la tierra. Se calcula multiplicando el peso (p) por
la altura (h). Se suele considerar que a una altura
cero la PG es cero, por lo tanto se calcula como:
PG  ph  mgh
M.C. Cynthia Guerrero
Análisis Dinámico
Energía potencial elástica ( PE )
Es la energía acumulada en un cuerpo elástico (K) tal como un resorte. Se calcula
como:
PE 
1 2
kx
2
La energía potencial elástica es la que almacena un
objeto por el hecho de estar deformado.
M.C. Cynthia Guerrero
Análisis Dinámico
Torque
El torque y la potencia son dos indicadores del funcionamiento del motor, nos
dicen qué tanta fuerza puede producir y con qué rapidez puede trabajar.
El torque es la fuerza que producen los cuerpos en rotación, recordemos que
el motor produce fuerza en un eje que se encuentra girando.
Torque: medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o
alterar la rotación de un cuerpo, o la magnitud que viene dada por el producto
vectorial de una fuerza por un vector director
M.C. Cynthia Guerrero
Análisis Dinámico
El péndulo simple
Un péndulo simple se define como una
partícula de masa m suspendida del
punto O por un hilo inextensible de
longitud l y de masa despreciable.
Si la partícula se desplaza a una posición
θ (ángulo que hace el hilo con la vertical)
y luego se suelta, el péndulo comienza a
oscilar. El péndulo describe una
trayectoria circular, un arco de una
circunferencia de radio l.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula
de masa m son dos
• el peso mg
• la tensión T del hilo
M.C. Cynthia Guerrero
O
l
θ
T
mgSenθ
mgCosθ
mg
Análisis Dinámico
Descomponemos el peso en la acción
simultánea de dos componentes: una
primera componente en la dirección
radial la cual se equilibra con la
tensión T del hilo:
O
T  mg cos
θ
l
La segunda componente
perpendicular a la anterior, es la que
origina el movimiento oscilante:
T
F  mgsen
mgSenθ
mgCosθ
mg
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Análisis Dinámico
La energia cinetica rotacional se puede
escribir en terminos de la inercia I y la
velocidad angular w:
2
1
1
1
K  mV  ml 2 w2  Iw2
2
2
2
lCosθ
O
La energia potencial del centro de
masa del solido es:
l
θ
l
lSenθ
P  mgh
h
h  l  l cos  l (1  cos )
P  mgh  mgl (1  cos )
M.C. Cynthia Guerrero
Análisis Dinámico
Mecánica Lagrangiana
Para encontrar las ecuaciones dinámicas de los robots se suelen utilizar
técnicas como la mecánica Newtoniana y la mecánica Lagrangiana. En este
curso veremos la mecánica Lagrangiana.
La mecánica Lagrangiana se basa en la diferenciación de los termino de
energía con respecto de las variables del sistema y el tiempo. Esta basada en
las siguientes dos ecuaciones, una para movimientos lineales y otra para
rotacionales. Primeramente, definiremos al Lagrangiano como:
L K P
Donde L es el Lagrangiano, K es la energía cinética del sistema, y P es la
energía potencial del sistema.
M.C. Cynthia Guerrero
Análisis Dinámico
Mecánica Lagrangiana
Entonces:
  L  L
Fi  

t  xi  xi
Ti 
  L

t  i
 L

 i
Donde F es la suma de todas las fuerzas externas para un movimiento lineal,
T es la suma de todos los torques en un movimiento rotacional, y θ y x son las
variables del sistema.
M.C. Cynthia Guerrero
Análisis Dinámico
Ejemplo 1: Obtenga la relacion fuerza-aceleracion para el sistema mostrado
en la figura, el cual tiene un grado de libertad, utilizando mecanica
Lagrangiana.
K
m
F
x
Solucion: El eje ‘x’ denota el movimiento del carrito y es usado como variable
en este sistema. Como el movimiento es lineal, solo usamos la ecuacion de
fuerza F.
  L  L
Fi  

t  xi  xi
M.C. Cynthia Guerrero
Análisis Dinámico
K
m
F
  L  L
Fi  

t  xi  xi
x
Calculamos la energía cinética y la potencial
1
1
K  mV 2  mx 2
2
2
PE 
1 2
kx
2
De donde obtenemos el Lagrangiano L
1 2 1 2
L  K  P  mx  kx
2
2
L
 mx
x

 mx   mx
t
L
 kx
x
F  mx  kx
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Análisis Dinámico
Ejemplo 2: Calcule la ecuacion de movimiento para el sistema de 2GD.
K
F
m1
θ
x
l
m2
Solucion: En este problema hay dos grados de libertad, 2 coordenadas x y θ, por
lo cual habra dos ecuaciones de movimiento: una por el movimiento lineal del
sistema y otra por la rotacion del pendulo.
  L  L
Fi  

t  xi  xi
  L
Ti  
t  i
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 L

 i
Análisis Dinámico
La energia cinetica del sistema esta
compuesta por la energia cinetica del carrito y
la del pendulo. Note que la velocidad del
pendulo es la suma de las velocidades del
carrito y del pendulo con respecto al carrito:
V p  V c  V p/c
d
V c  xiˆ  xiˆ
dt
K
velocidad del carrito y del péndulo con
respecto al carrito
F
m1
θ
x
l
m2
Velocidad del carrito es el diferencial de la
distancia x con respecto del tiempo, en el eje i
Siendo la velocidad del péndulo con
respecto al carrito:
l cos  ˆj
d
V p / c  lsen iˆ  l cos  ˆj 
dt
V p / c  l cos iˆ  l sen ˆj (no hay velocidades negativas)


V p  xiˆ  l cos  iˆ  l sen ˆj  x  l cos iˆ  l sen ˆj
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θ
l
lsen iˆ
Análisis Dinámico


V p  xiˆ  l cos  iˆ  l sen ˆj  x  l cos iˆ  l sen ˆj
Y

V  x  l cos 
2
p
Ya que :
 
2
 l sen ˆj

2
ˆi ˆj
V  V1 ,V2 
V 2  V V  V1 ,V2   V1 ,V2  V1 V1   V2 V2 
Entonces:
K  Kcarrito  K pendulo
1
Kcarrito  m1 x 2
2

1
K pendulo  m2 x  l cos 
2
M.C. Cynthia Guerrero

2

1
 m2 l sen
2

2
Análisis Dinámico
K  Kcarrito  K pendulo




2
2
1
1
1
K  m1 x 2  m2 x  l cos   m2 l sen
2
2
2
1
1
1
K  m1 x 2  m2 x 2  2 xl cos   l 2 2 cos2   m2 l 2 2 sen2
2
2
2
1
1
Ya que cos2   sin 2   1
K   m1  m2  x 2  m2 l 2 2  2lx cos 
2
2






La energia potencial es la suma de la energia en el resorte y en el
pendulo:
P  Pcarrito  Ppendulo
1
P  kx 2  m2 gl (1  cos  )
2
Recordando
que:
P  mgh
h  l  l cos  l (1  cos )
M.C. Cynthia Guerrero
Análisis Dinámico

1
1
2
m

m
x

m2 l 2 2  2lx cos 
 1 2
2
2
1
P  kx 2  m2 gl (1  cos  )
2
K

El Lagrangiano queda:
L K P


1
1
1 2
2
2 2
m

m
x

m
l


2
lx

cos


kx  m2 gl (1  cos  )
 1 2
2
2
2
2
La suma de las fuerzas F para el movimiento lineal es:
Fi 
  L  L


t  xi  xi
L
  m1  m2  x  m2l cos 
x
d  L 
2

m

m
x

m
l

cos


m
l

sen


1
2
2
2
 
dt  x 
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L
 kx
x
Análisis Dinámico
L
 kx
x
  L 
2
    m1  m2  x  m2l cos   m2l sen
t  x 
F
  L  L
  m1  m2  x  m2l cos   m2l 2 sen  kx
 
t  x  x
La suma de torques T para un movimiento rotacional es:
  L
Ti  
t  i
L K P
 L

 i


1
1
1
 m1  m2  x2  m2 l 2 2  2lx cos  kx2  m2 gl (1  cos )
2
2
2
L
 m2l 2  m2lx cos 

d  L 
2

m
l
2   m2lx cos   m2lx sen


dt   
M.C. Cynthia Guerrero
L
 m2lx sen  m2 glsen

Análisis Dinámico
d  L 
2

  m2l   m2lx cos   m2lx sen
dt   
T
L
 m2lx sen  m2 glsen

  L  L
2


m
l
2   m2lx cos   m2lx sen  m2lx sen  m2 glsen


t    
T  m2l 2  m2lx cos  m2 glsen
Si escribimos las dos ecueciones de movimiento en forma matricial
obtenemos:
F   m1  m2  x  m2l cos  m2l 2 sen  kx
T  m2l 2  m2lx cos  m2 glsen
 F   m1  m2
 T    m l cos 
   2
m2l   x  0 m2lsen   x 2   kx 

 2 


2 
m2l    0
m
glsen

0

   2

M.C. Cynthia Guerrero