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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
0102) Movimiento Rectilíneo Horizontal
•
1) Conceptos basicos
• Definir distancia recorrida, posición y cambio de posición.
• Definir vectores posicion, velocidad y aceleración en movimientos en 1 dimensión.
• Diferenciar velocidad media y aceleración media de velocidad y aceleración
instantánea.
•
•
Distancia Recorrida y Cambio de Posición
•
Considere la situación ilustrada en la figura 1.Un
automovilista debe pasar por una cuesta para llegar a
su destino. Parte en la hostería. Su acompañante
toma nota de su recorrido, anotando la hora y la
distancia recorrida, leída directamente del
“cuentakilómetros” del auto.
•
A partir de estos datos se pueden construir los gráficos de “distancia recorrida v/s tiempo” (figura 2a)
y su correspondiente “rapidez media en función del tiempo” (figura 2b).
Figura 1) Ilustración del problema
Hora
10:05
10:23
10:31
10:38
10:51
11:00
11:43
Referencia
Salida de la Hostería
Paso frente al servicentro
Frente al cedro, regreso por escasez de bencina.
Llegada al servicentro
Partida hacia la cuesta
Nuevamente frente al cedro
Llegada a la cima
Kilometraje
44080,3
44106,8
44115,1
44123,4
44123,4
44131,7
44165,5
t[min]
10:05
0
10:23
18
∆t[min]
A continuación, describiremos la misma situación anterior, consideraremos la posición del auto con
respecto a la hostería a lo largo del camino. Para ello considere la siguiente tabla, obtenida con los
mismos datos anteriores.
Kilometraje
d [km]
44080,3
0
44106,8
26,5
18
8
10:31
26
10:38
33
10:51
46
11:00
55
11:43
98
Se observa que la distancia recorrida siempre es positiva y creciente, y su rapidez media de cambio
entre dos instantes es siempre positiva. La rapidez instantánea de cambio de distancia recorrida es
lo que marca el velocímetro del automóvil.
Mirando sólo estos gráficos, ¿Se podría decir en que instantes el móvil se devolvió a la hostería? La
respuesta es no. El cuentakilómetros del auto aumenta su cuenta siempre, independientemente de
si el auto va de Santiago a Valparaíso o viceversa. Similarmente, el velocímetro del auto siempre
marcará un valor positivo independiente de la trayectoria seguida. Luego, la información que
proporciona la distancia recorrida respecto del movimiento es incompleta.
A partir de esos datos construyen la siguiente tabla
Hora
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t: tiempo medido a partir del
(a)
(b)
instante de salida de la hostería.
∆t: intervalo de tiempo
transcurrido
entre
dos
referencias sucesivas.
d: distancia recorrida por el
automóvil desde que salió de la
hostería.
∆d: distancia recorrida entre
dos referencias sucesivas.
Figura 2) (a) Gráfico de distancia recorrida v/s tiempo; (b)
vmedia= ∆d / ∆t: rapidez media Gráfico de rapidez media de cambio de distancia recorrida
entre dos referencias sucesivas. en función del tiempo
44115,1
34,8
44123,4
43,1
44123,4
43,1
44131,7
51,4
44165,5
85,2
7
∆d[Km]
t[min]
26,5
88,3
8,3
62,3
33
43
46
33,8
55
98
62,3
-8,3
-71,1
0
0,0
8,3
55,3
33,8
47,2
34,8
43
Donde
8,3
26,5
9
47,2
88,3
26,5
13
55,3
26,5
34,8
7
0,0
vmedia_s
[Km/h]
26,5
8
71,1
∆s[Km]
0
26
8,3
s [km]
18
18
0
9
∆t[min]
0
8,3
13
vmedia[Km/h]
68,6
3
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Donde
• s: distancia del auto a la hostería (a lo largo del camino).
• ∆s: Cambio de posición entre dos referencias sucesivas.
• Vmedia_s= ∆s / ∆t: rapidez media correspondiente.
En la tabla, se observa que los
cambios de signo indican cambios en
el sentido del movimiento.
(a)
•
•
•
•
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A(t): aceleración del móvil en función de t.
X0: posición del móvil en t=0.
V0: velocidad del móvil en t=0.
a0: aceleración del móvil en.
Si a0 = 0, se habla de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), o movimiento con velocidad
constante. Si a0 ≠ 0, se habla de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA), o
movimiento con aceleración constante.
(b)
A partir de estos datos se pueden
construir los gráficos de “posición v/s
tiempo” y su correspondiente “rapidez
media en función del tiempo”.
La posición, velocidad y aceleración de un móvil son cantidades físicas vectoriales. Como el
movimiento es unidimensional, la dirección de éste es siempre la misma, dada por el vector unitario
x̂ , por lo que los vectores pueden tener dos orientaciones posibles: + x̂ y - xˆ . Para simplificar la
notación, se suelen omitir los vectores unitarios, trabajando solamente con las magnitudes.
Estos gráficos nos proporcionan una
información más completa respecto
del movimiento del auto, pues a partir
de él podemos conocer cuando el auto
se aleja de la hostería o se acerca a
ella.
Velocidades media e instantánea, aceleraciones media e instantánea.
Figura 3) (a) Gráfico de posición v/s tiempo; (b) Gráfico de
rapidez media de cambio de posición en función del tiempo
Usualmente, el movimiento será descrito en términos de su posición con respecto a un punto
de referencia convenientemente establecido.
t=0
Modelo General para el
movimiento rectilíneo con
acelearción constante en una
dimensión
En la figura 4 se muestra un
móvil en el instante t = 0. El
sentido del eje indica los
valores positivos.
a0
V0
O
X0
X
Figura 4) Sistema de referencia general para el movimiento rectilíneo en
una dimensión
Tal como a cualquier cantidad física, se pueden aplicar los conceptos de rapidez media y rapidez
instantánea de cambio a la posición y velocidad de un móvil.
En referencia a la
V(t1) = V1
V(t2) = V2
a0
figura 5, podemos
decir que X1 y X2
t = t1
t = t2
son las posiciones
del móvil, y que V1 y
x
V2 corresponden a
X(t1) = X1
X(t2) = X2
0
la
“rapidez
instantánea
de
Figura 5) Posición, velocidad y aceleración de un móvil en t = t1 y t = t2
cambio de posición
del móvil” en los instantes t1 y t2, respectivamente. Asimismo, a0 es la “aceleración instantánea de
cambio de posición del móvil” o “rapidez instantantánea de cambio de velocidad del móvil” en los
instante referidos. Para a0 constante, esta aceleración es la misma en t1 y t2.
La rapidez media de cambio de posición del móvil entre t1 y t2 se define como:
El modelo general para el movimiento rectilíneo en una dimensión está dado por:
1
a0 t 2 [1]
2
V (t ) = V0 + a0 t [2]
A(t ) = a0 [3]
X (t ) = X 0 + V0 t +
Donde
• X(t): posición del móvil en función de t.
• V(t): velocidad del móvil en función de t.
V1→2 =
X 2 − X1
[4]
t 2 − t1
La aceleración media de cambio de posición del móvil (o “rapidez media de cambio de la velocidad
del móvil”) entre t1 y t2 se define como:
A1→2 =
V2 − V1
[5]
t 2 − t1
5
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En la siguiente tabla se resumen las diferencias entre rapideces y aceleraciones medias e
instantáneas
Rapidez
Aceleración
Media (entre t1 y t2)
X 2 − X1
t 2 − t1
Instantánea (en t)
V0 + a0 t
V2 − V1
t 2 − t1
a0
Inicio
t=0
Retrasado en T
Adelantado en T
Muchas veces se suele hablar de “velocidad” y “rapidez” de un móvil. Para efectos de este curso, el
término velocidad se referirá al vector velocidad completo (incluyendo magnitud y orientación
+ x̂ ó - xˆ ), mientras que el término rapidez es un escalar que se referirá solamente a la magnitud
del vector velocidad, que a su vez es igual a la rapidez instantánea de cambio de la distancia
recorrida.
Retardo y adelanto de movimientos.
En más de una ocasión hay
problemas en los cuales el
movimiento de uno de los
móviles implicados parte con
un retardo o adelanto
respecto a la referencia t = 0.
Tales
situaciones
se
enfrentan de la siguiente
manera (ver figura 6).
•
•
Estos criterios se especifican en la siguiente tabla:
X
X(t)
X(t-T)
X(t+T)
Si el movimiento
parte con un retardo
t
-T
0
T
de T, las ecuaciones
Figura 6) Intepretación de movimientos con retardo y adelanto
de
posición
y
velocidad se evalúan
en t –T
Si el movimiento parte con un adelanto de T, las ecuaciones de posición y velocidad se
evalúan en t +T
Ecuación de posición
1
X (t ) = X 0 + V0 t + a0 t 2
2
1
2
X (t - T ) = X 0 + V0 ⋅ (t - T ) + a0 ⋅ (t - T )
2
1
2
X (t + T ) = X 0 + V0 ⋅ (t + T ) + a0 ⋅ (t + T )
2
Ecuación de Velocidad
V (t ) = V0 + a0 t
V (t - T ) = V0 + a0 ⋅ (t - T )
V (t + T ) = V0 + a0 ⋅ (t + T )
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2) Movimiento con velocidad constante o Rectilíneo Uniforme (MRU)
• Conocer y aplicar las ecuaciones de posición y velocidad en el MRU
• Construir, interpretar y analizar gráficos de posición y velocidad en función del tiempo para
el MRU.
• Calcular e interpretar el área bajo la curva del gráfico velocidad v/s tiempo en el MRU
V0
t = t1
0
X(t2) = X 2
X(t) = X 0 + V0 t [9]
La ecuación [9] corresponde a la ecuación de
una recta, cuyo gráfico se aprecia en la figura
9. En este gráfico:
•
t = t2
X(t1) = X1
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Se llega a la ecuación de posición para un
X(t)
móvil en MRU
x
•
La posición inicial X0 corresponde al
intersecto de la recta con el eje de las
ordenadas.
La velocidad V0 es la pendiente del
gráfico.
V0 =
x 2 − x1
[6]
t 2 − t1
De [6] se puede despejar la diferencia de
posiciones X2 – X1:
x 2 − x1 = V0 ⋅ (t 2 − t1 ) [7]
En la figura 8 se muestra el gráfico de velocidad
v/s tiempo para un MRU. El área bajo la curva
achurada A entre t1 y t2 es igual a:
A = V0 ⋅ (t 2 − t1 ) [8]
Figura 10) Gráfico de velocidad v/s tiempo para
un MRU
Comparando las ecuaciones [7] y [8] se llega
fácilmente a la conclusión de que A = X2 – X1,
por lo que el área bajo la curva del gráfico velocidad v/s tiempo entre los instantes t1 y t2 es igual al
cambio de posición del móvil entre tales instantes.
Si en la ecuación [7] hacemos los siguientes reemplazos:
• t1 = 0 ⇒ X1 = X0 (posición inicial)
• t2 = t ⇒ X2 = X(t)
X0
t
Figura 9) Gráfico de posición v/s tiempo para
un móvil con MRU
Figura 9) Movimiento con velocidad constante
En el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), la aceleración del móvil es nula (a0 = 0), por lo que
tambien se denomina movimiento con velocidad constante. Con referencia a la figura 9, se puede
determinar que la velocidad V0 del cuerpo está dada por:
V0
Retardo y adelanto en MRU
Considere tres móviles moviéndose a la
misma velocidad V0 y partiendo desde la
misma posición inicial X0. Uno de ellos
parte en t = 0 y su ecuación de posición
es X (t ) = X 0 + V0 ⋅ t ; el segundo parte
con un retardo de T respecto del
primero, y su ecuación de posición es
X R (t ) = X 0R + V0 ⋅ t ; el tercer móvil,
en tanto, parte con un adelanto de T
respecto del primero, y su ecuación de
posición es
X A (t ) = X 0A + V0 ⋅ t .
Estas posiciones se muestran en el
gráfico de la figura 7.
X
X0A
X0
XA(t)
X(t)
XR(t)
X0R
-T
T
t
Figura 10) Retardo y adelanto en el MRU
Del gráfico se puede deducir que:
• X 0R = X 0 − V0 ⋅ T , de donde X R (t ) = X 0 − V0 ⋅ T + V0 ⋅ t = X 0 + V0 ⋅ (t - T )
• X 0A = X 0 + V0 ⋅ T , de donde X A (t ) = X 0 + V0 ⋅ T + V0 ⋅ t = X 0 + V0 ⋅ (t + T )
Ejemplo
Considere los móviles A y B de la
figura 8, donde D = 60 [km], VA =
5 [m/s] y VB = 7 [m/s]. Determine
el instante y posición de
encuentro si:
VA
0
VB
D
Figura 11) Ejemplo de MRU
x
9
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a) A y B parten simultáneamente en t = 0
b) B parte 3 [s] después que A
c) B parte 3 [s] antes que A
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X B (t ) = D − VB ⋅ (t + 3 ) = 60 - 7 ⋅ (t + 3 ) = 60 - 7 ⋅ t − 21 = 39 − 7 ⋅ t
En el instante en que A y B se encuentran, XA(t) = XB(t). Luego:
5 ⋅ t = 39 - 7 ⋅ t ⇒ 12 ⋅ t = 39 ⇒ t = 3.25 [s ]
Desarrollo:
Evaluando el tiempo obtenido en cada una de las ecuaciones de posición:
Pregunta a) Las ecuaciones de posición de A y B están dadas por:
X A (t ) = VA ⋅ t = 5 ⋅ t
X B (t ) = D − VB ⋅ t = 60 - 7 ⋅ t
En el instante en que A y B se encuentran, XA(t) = XB(t). Luego:
5 ⋅ t = 60 - 7 ⋅ t ⇒ 12 ⋅ t = 60 ⇒ t = 5 [s ]
Evaluando el tiempo obtenido en cada una de las ecuaciones de posición:
X A (5 ) = 5 ⋅ 5 = 25 [m ]
X B (5 ) = 60 - 7 ⋅ 5 = 60 - 35 = 25 [m ]
Pregunta b) Las ecuaciones de posición de A y B están dadas por:
X A (t ) = VA ⋅ t = 5 ⋅ t
X B (t ) = D − VB ⋅ (t - 3 ) = 60 - 7 ⋅ (t - 3 ) = 60 − 7 ⋅ t + 21 = 81 − 7 ⋅ t
En el instante en que A y B se encuentran, XA(t) = XB(t). Luego:
5 ⋅ t = 81 - 7 ⋅ t ⇒ 12 ⋅ t = 81 ⇒ t = 6.75 [s ]
Evaluando el tiempo obtenido en cada una de las ecuaciones de posición:
X A (6.75 ) = 5 ⋅ 6.75 = 33.75 [m ]
X B (6.75 ) = 81 - 7 ⋅ 6.75 = 81 - 47.25 = 33.75 [m ]
Pregunta c) Las ecuaciones de posición de A y B están dadas por:
X A (t ) = VA ⋅ t = 5 ⋅ t
X A (3.25 ) = 5 ⋅ 3.25 = 16.25 [m ]
X B (3.25 ) = 39 - 7 ⋅ 3.25 = 39 - 22.75 = 16.25 [m ]
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3) Movimiento con aceleracion constante o Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
• Conocer y aplicar las ecuaciones de posición, velocidad y aceeración en el MRUA
• Construir, interpretar y analizar gráficos de posición, velocidad y aceleración en función del
tiempo para el MRUA.
• Calcular e interpretar el área bajo la curva de los gráficos velocidad v/s tiempo y aceleración
v/s tiempo en el MRUA
• Conocer y aplicar la expresión v 22 − v 12 = 2 ⋅ a0 ⋅ ∆D
• Relacionar los conceptos de “móvil acelerando” y “móvil frenando” con los sentidos de
aceleración y velocidad
• Resolver gráfica y analíticamente problemas de encuentro entre dos móviles con MRU y/o
MRUA
V(t1) = V1
a0
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Si en la ecuación [11] hacemos los siguientes
reemplazos:
• t1 = 0 ⇒ V1 = V0 (velocidad inicial)
• t2 = t ⇒ V2 = V(t)
Se llega a la ecuación de velocidad para un móvil en
MRUA
La ecuación [13] corresponde a la ecuación de una recta,
cuyo gráfico se aprecia en la figura 14. En este gráfico:
•
0
x
X(t2) = X2
Figura 12) Movimiento con aceleración constante
En el movimiento rectilíneo uniforme (MRUA), la aceleración del móvil es una constante no nula (a0
≠ 0), por lo que tambien se denomina movimiento con aceleración constante. Con referencia a la
figura 12, se puede determinar que la aceleración a0 del cuerpo está dada por:
a0 =
V0
V(t2) = V2
t = t2
X(t1) = X1
a0
V(t) = V0 + a0 t [13]
•
t = t1
V(t)
La velocidad inicial V0 corresponde al intersecto
de la recta con el eje de las ordenadas.
La aceleración a0 es la pendiente del gráfico.
En la figura 15 se observa el mismo gráfico anterior,
pero con el área A bajo la curva entre t = t1 y t = t2
achurada. Del análisis anterior, sabemos que el área
bajo la curva del gráfico velocidad v/s tiempo entre los
instantes t1 y t2 es igual al cambio de posición del móvil
entre tales instantes. Así:
A = x 2 - x1 =
(v 1 + v 2 )
2
x 2 - x1 =
De [10] se puede despejar la diferencia de velocidades V2
– V1:
2
2
Figura 13) Gráfico de aceleración v/s
tiempo para un MRUA
A = a0 ⋅ (t 2 − t1 ) [12]
Comparando las ecuaciones [11] y [12] se llega fácilmente a la conclusión de que A = V2 – V1, por lo
que el área bajo la curva del gráfico aceleración v/s tiempo entre los instantes t1 y t2 es igual al
cambio de velocidad del móvil entre tales instantes.
V(t)
a0
V2
V0
t1
- t1 ) [15]
Desarrollando convenientemente la expresión anterior,
se llega a:
V2 − V1 = a0 ⋅ (t 2 − t1 ) [11]
En la figura 13 se muestra el gráfico de velocidad v/s
tiempo para un MRUA. El área bajo la curva achurada A
entre t1 y t2 es igual a:
[v 1 + v 1 + a0 (t 2 - t1 )] (t
Figura 14) Gráfico de velocidad v/s tiempo
para un MRUA
V1
(t 2 - t1 ) [14]
Reemplazando v2 de v2 = v1 + a0 (t2 − t1 ) se llega a:
V2 − V1
[10]
t 2 − t1
t
x 2 - x1 = v 1 (t 2 - t1 ) +
t
Figura 15) Área bajo la curva del gráfico de
velocidad v/s tiempo para un MRUA
1
2
a0 (t 2 - t1 ) [16]
2
Si en la ecuación [16] hacemos los siguientes reemplazos:
• t1 = 0 ⇒ X1 = X0 (posición inicial) y V1 =V0 (velocidad inicial)
• t2 = t ⇒ X2 = X(t)
Se llega a la ecuación de posición para un móvil en MRUA
t2
13
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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
1
X(t) = X 0 + V0 t + a0 t 2 [17]
X
2
La ecuación [17] corresponde a la
ecuación de una parábola, cuyo
gráfico se aprecia en la figura 16. En
este gráfico:
•
•
•
a0 > 0
Todo esto se resume en la siguiente tabla:
Situación
V0
La posición inicial X0
X0
corresponde al intersecto de
la recta con el eje de las
ordenadas, que corresponde
a0 < 0
al instante t = 0.
La velocidad V0 es la
t
pendiente de la recta
tangente al gráfico en el
Figura 16) Gráfico de posición v/s tiempo para un móvil con
instante t = 0.
MRUA
La aceleración a0 está
relacionada con la abertura de la parábola.
o Para a0 > 0 la parábola se abre hacia el eje positivo de las ordenadas, mientras que
para a0 < 0 la parábola se abre hacia el eje negativo de las ordenadas.
o Mientras mayor sea la magnitud de a0, más “cerrada” es la parábola.
De la ecuación [10] se puede despejar la diferencia entre los instantes como:
t 2 − t1 =
V2 − V1
[18]
a0
Reemplazando [18] en [14]:
(v 1 + v 2 ) (V2 − V1 )
2
r
A(t )
r
A(t )
r
V (t )
r
V (t )
r
V (t )
r
V (t )
r
A(t )
r
A(t )
r
V (t )
Móvil…..
+ x̂ + x̂
+ x̂
Aumenta
Acelerando
+ x̂ - xˆ
- xˆ + x̂
- xˆ - xˆ
+ x̂
- xˆ
- xˆ
Disminuye
Frenando
Disminuye
Frenando
Aumenta
Acelerando
Orientación Orientación
r
r
V (t )
A(t )
Orientación
del
movimiento
Análisis de Discriminante
Relación independiente del tiempo.
∆D = x 2 - x1 =
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Por el contrario, diremos que un móvil con MRUA está frenando cuando su rapidez disminuye con el
tiempo. Ello se produce cuando su vector velocidad y su vector aceleración tienen orientaciones
opuestas entre sí.
a0
=
V22 − V12
⇒ V22 − V12 = 2 ⋅ a0 ⋅ ∆D [19]
2 ⋅ a0
La ecuación [19] resulta extremadamente útil para analizar MRUA sin saber nada acerca del tiempo.
Móvil “acelerando” y móvil “frenando”
Diremos que un móvil con MRUA está acelerando cuando su rapidez (magnitud del vector
velocidad) aumenta con el tiempo. Ello se produce cuando su vector velocidad y su vector
aceleración tienen la misma orientación ( + x̂ ó - xˆ ).
Considere el siguiente problema,
V0
ilustrado en la figura 17: Dos autos
A y B se mueven en la siguiente
aB
aA
forma: en cierto instante el auto A
parte del reposo y se mueve con
aceleración aA = 2,5 [m/s2]
constante; en ese mismo instante el
auto B pasa por un punto situado a
X
80 [m]
distancia D = 80 [m] detrás de la
largada de A con una rapidez V0 y
Figura 17) Ilustración del problema
se mueve con aceleración aB = 0,70 [m/s2] constante. Calcule el
valor mínimo de V0 para que B pueda alcanzar a A. Para tal valor de V0 calcule el tiempo
empleado por B para alcanzar a A y las velocidades de A y B en el instante del encuentro.
B
A
A partir de la figura 14, considerando como referencia (X = 0) la posición inicial de B, se pueden
plantear las siguientes ecuaciones de posición y velocidad para ambos vehículos:
1
⋅ 2.5t 2 [20a]
2
VA (t) = 2.5t [20b]
X A (t ) = 80 +
15
16
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
1
X B (t ) = V0 t − ⋅ 0.7t 2 [21a]
2
VB (t) = V0 − 0.7t [21b]
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
Reemplazando [24] en [23], se puede calcular el instante en que B alcanza a A
t=
V0 + 0
= 7,071[s ] [25]
3.2
Cuando los móviles se encuentran, las posiciones de ambos se igualan. Esto es:
1
1
X A (t ) = X B (t ) ⇒ 80 + ⋅ 2.5t 2 = V0 t − ⋅ 0.7t 2 [22]
2
2
Finalmente, reemplazando [24] y [25] en [20b] y [21b], se encuentran las velocidades de los móviles
en el instante del encuentro
[ s ] [26a]
V (7.071) = 17.678 [m ] [26b]
s
VA (7.071) = 17.678 m
Desarrollando [22], se llega a la ecuación de segundo grado 1.6t 2 − V0 t + 80 = 0 , que al
resolverla da la siguiente solución:
2
t=
V0 ± V0 − 4 ⋅1.6 ⋅ 80
2·1.6
=
V0 ± ∆
[23]
3.2
Se observa que las velocidades de ambos móviles son iguales en el instante del encuentro.
(a)
:
2
Donde ∆ = V0 − 512 es el discriminante de la
ecuación de segundo grado. A partir de su análisis se
puede relacionar su valor con lo que sucede con los
móviles A y B.
•
•
•
Si ∆ < 0 (figura 18a), la raíz del discriminante es
compleja y la ecuación [23] no tiene solución
real. En términos de los móviles, esto significa
que B no alcanza a cruzarse con A. Llega a
una distancia mínima de A, pero no lo alcanza.
(b)
aA
aB
VA0
VB0
D
0
Figura 19) Ejemplo de MRUA
a) A y B parten simultáneamente
en t = 0
b) B parte 1 [s] después que A
Desarrollo:
Pregunta a) las ecuaciones de posición de A y B son
X A (t ) = V A0 ⋅ t +
X B (t ) = D + VB0 ⋅ t +
(c)
1
1
⋅ aA ⋅ t 2 = 5 ⋅ t + ⋅ 6 ⋅ t 2 = 5 ⋅ t + 3 ⋅ t 2
2
2
1
1
⋅ aB ⋅ t 2 = 25 + 3 ⋅ t + ⋅ 1 ⋅ t 2 = 25 + 3 ⋅ t + t 2
2
2
En el instante en que A y B se encuentran, XA(t) = XB(t). Luego:
5 ⋅ t + 3 ⋅ t 2 = 25 + 3 ⋅ t + t 2 ⇒ 2 ⋅ t 2 + 2 ⋅ t - 25 = 0
El V0 mínimo necesario para que B alcance a A se da
para el caso ∆ = 0. Luego:
2
Ejemplo
Considere los móviles A y B mostrados
en la figura 19. Considere que D = 25
[m], VA0 = 5 [m/s], aA = 6 [m/s2], VB0 = 3
[m/s] y aB = 2 [m/s2]. Determine el
instante y posición de encuentro si:
Si ∆ > 0 (figura 18b), la raíz del discriminante
es real y la ecuación [23] tiene dos soluciones
reales distintas. En términos de los móviles,
esto significa que B sobrepasa a A, y
posteriormente A sobrepasa a B.
Si ∆ = 0 (figura 18c), la raíz del discriminante es
nula y la ecuación [23] tiene una única solución
real. En términos de los móviles, esto significa
que B alcanza justo a cruzarse con A antes
de que éste último se escape.
B
Resolviendo la ecuación de 2º grado:
[ ]
∆ = 0 ⇒ V0 = 512 ⇒ V0 = 512 = 22.63 m [24]
s
t=
Figura 18) Análisis de discriminante. a) ∆ <
0; b) ∆ > 0; c) ∆ = 0.
− 2 ± 2 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 25 − 2 ± 204
=
⇒ t1 = 3.07 [s ] y t 2 = -4.07 [s ]
2 ⋅2
4
x
17
18
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
Aunque desde un punto de vista matemático ambas soluciones son correctas, desde un punto de
vista físico sólo tiene sentido el valor positivo, correspondiente a t1 = 3.07 [s]. Luego:
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
4) Movimiento con aceleración variable
• Relacionar expresiones de x(t), v(t) y a(t) para el caso de acaleración variable.
• Interpretar gráficos.
2
X A (3.07 ) = 5 ⋅ 3.07 + 3 ⋅ (3.07 ) = 43.64 [m ]
2
X B (3.07 ) = 25 + 3 ⋅ 3.07 + (3.07 ) = 43.64 [m ]
Pregunta b) las ecuaciones de posición de A y B son
X A (t ) = V A0 ⋅ t +
1
1
⋅ aA ⋅ t 2 = 5 ⋅ t + ⋅ 6 ⋅ t 2 = 5 ⋅ t + 3 ⋅ t 2
2
2
X B (t ) = D + VB0 ⋅ (t - 1) +
= 25 + 3 ⋅ (t - 1) + (t - 1)
2
1
1
2
2
⋅ a B ⋅ (t - 1) = 25 + 3 ⋅ (t - 1) + ⋅ 1 ⋅ (t - 1)
2
2
= 25 + 3 ⋅ t − 3 + t 2 − 2 ⋅ t + 1 = t 2 + t + 23 = 0
En el instante en que A y B se encuentran, XA(t) = XB(t). Luego:
5 ⋅ t + 3 ⋅ t 2 = 23 + t + t 2 ⇒ 2 ⋅ t 2 + 4 ⋅ t - 23 = 0
Considere la situación de la figura 20. La velocidad media del móvil entre t1 y t2 está dada por:
X − X1
V1→2 = 2
[27]
t 2 − t1
Considere que t1 = t y t2 = t + ∆t. Luego, X1 = X(t) y X2 = X(t + ∆t). Reemplazando en [27]
Resolviendo la ecuación de 2º grado:
t=
Hasta aquí, se ha
V(t1) = V1
V(t2) = V2
a0
analizado
el caso
simplificado
de
t = t1
t = t2
moviminto
rectilíneo
horizontal
con
aceleración constante.
x
X(t1) = X1
X(t2) = X2
Para
analizar
0
movimientos
más
Figura 20) Posición, velocidad y aceleración de un móvil en t = t1 y t = t2
complejos,
en los
cuales la acelearción también es una funció del tiempo, se ha necesario usar herramientas
matemáticas más avanzadas, como cálculo diferencial (también se puede hacer usando cálculo
integral, pero en este curso no se usará pues van a aprender a integrar en Matemática II)
− 4 ± 4 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 23 − 4 ± 200
=
⇒ t1 = 2.54 [s ] y t 2 = -4.54 [s ]
2⋅2
4
Aunque desde un punto de vista matemático ambas soluciones son correctas, desde un punto de
vista físico sólo tiene sentido el valor positivo, correspondiente a t1 = 2.54 [s]. Luego:
V1 → 2 =
X (t + ∆ t ) − X (t )
[27a]
∆t
Al aplicar el límite de [27a] cuando ∆t→0, se obtiene la velocidad instantánea del móvil, es decir,
lim V1→2 = V (t ) . Aplicando la definición de derivada:
∆t →0
2
X A (2.54 ) = 5 ⋅ 2.54 + 3 ⋅ (2.54 ) = 31.96 [m ]
lim V1→2 = V (t ) = lim
∆t →0
∆t →0
X (t + ∆t ) − X (t )
dX
= X' (t ) =
[27b]
∆t
dt
2
X B (2.54 ) = 23 + 2.54 + (2.54 ) = 31.96 [m ]
En otras palabras, la primera derivada de la función de posición del móvil corresponde a su función
de velocidad instantánea.
Por otra parte, respecto a la figura 20, la aceleración media de cambio de posición del móvil (o
“rapidez media de cambio de la velocidad instantánea del móvil”) entre t1 y t2 se define como:
V2 − V1
[28]
t 2 − t1
Considere que t1 = t y t2 = t + ∆t. Luego, V1 = V(t) y V2 = V(t + ∆t). Reemplazando en [28]
A1→2 =
A1→2 =
V(t + ∆t ) −V(t )
[28a]
∆t
19
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
Al aplicar el límite de [28a] cuando ∆t→0, se obtiene la aceleración instantánea del móvil, es decir,
lim A1→2 = A(t ) . Aplicando la definición de derivada:
∆t →0
lim A1→2 = A(t ) = lim
∆t →0
∆t →0
V (t + ∆t ) − V (t )
dV
= V' (t ) =
[28b]
∆t
dt
En otras palabras, la primera derivada de la función de velocidad instantánea del móvil corresponde
a su función de aceleración instantánea.
dV d
d  dX  d 2V
= V (t ) = 
, es decir,
=
dt
dt
dt  dt  dt 2
que la segunda derivada de la ecuación de posición del móvil es igual a su ecuación de aceleración
instantánea.
A partir de [27b] y [28b] se puede deducir que A(t ) =
Por otra parte, la idea de “área bajo la curva” (analizada para el caso de aceleración constante) se
puede extender para el movimiento con aceleración variable. En general:
• El área bajo la curva A(t) v/s t entre los instantes t1 y t2 es igual al cambio de velocidad
instantánea del móvil entre tales instantes V(t2) – V(t1)
• El área bajo la curva V(t) v/s t entre los instantes t1 y t2 es igual al cambio de posición del
móvil entre tales instantes X(t2) – X(t1)
A partir de la idea de área bajo la curva se
define el concepto de integral. Se puede
demostrar (no lo haremos, pues para ello
primero tienen que estudiar cálculo
integral) que:
• Al integrar A(t) se obtiene V(t)
• Al integrar V(t) se obtiene X(t)
x (t ) = ∫ v (t ) ⋅ dt
Area bajo
la curva
x
v (t ) = ∫ a(t ) ⋅ dt
Area bajo
la curva
v
a
Todo lo anterior se resume en la figura 21
t
Pendiente
d
v (t ) = [x (t )]
dt
t
Pendiente
d
a(t ) = [v (t )]
dt
Figura 21) Relación entre x(t), v(t) y a(t)
t