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Movimientos Cinemáticos
Cinemática
La cinemática estudia la geometría del movimiento y se utiliza para relacionar el
desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin tomar en cuenta el
movimiento que lo produce.
En cinemática del movimiento por describir y especificar la posición, la velocidad y la
aceleración del cuerpo u objeto (partícula).
 Posición.-Es el lugar que ocupa un objeto ó cuerpo en el espacio (vector
posición).
 Desplazamiento.- Es el cambio de posición de un cuerpo u objeto a través del
espacio.
 Velocidad.-Es el cambio de posición de un cuerpo respecto al tiempo.
 Velocidad instantánea.- Cambio del desplazamiento de un cuerpo respecto al
tiempo , es decir es considerado como:
 Aceleración.- Cambio de velocidad con respecto al tiempo.
 Aceleración instantánea.- Cambio del desplazamiento de un cuerpo respecto al
tiempo , es decir es considerado como:
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
Un movimiento rectilíneo uniforme sucede cuando un móvil sigue una trayectoria recta
en la cual realiza desplazamientos iguales en tiempos iguales.
El movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta que se
encuentra con frecuencia en las aplicaciones prácticas. Tomando en cuenta que en este
movimiento, la aceleración ( a ) de la partícula es cero en relación al valor del tiempo
( t ). Como consecuencia, la velocidad ( v ) es constante, y la ecuación se transforma:
Obtendremos la coordenada de posición ( x ) al integrar esta ecuación. Al integrar
definiremos a la integral mediante ( x0 ) el valor inicial de ( x ) , de la siguiente manera:
Esta ecuación se utilizara sólo si sabe que la velocidad de la partícula u objeto es
constante.
Ejemplo No.1:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de
La velocidad
La aceleración del móvil en función del tiempo.
Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento
Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del
móvil entre los instantes ( t0 )y ( t ), mediante la integral definida.
El producto (v) dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes ( t ) y
( t + d ) , o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos
desplazamientos infinitesimales entre los instantes ( t0 )y ( t ).
En la figura, se muestra una grafica de la velocidad en función del tiempo, el área en
color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes ( t0 )y ( t ),el
segmento en color azul marcado en la trayectoria recta
Hallamos La posición ( x ) del móvil en el instante ( t ), sumando la posición inicial
( x0 ) al desplazamiento, calculando mediante la medida del área bajo curva ( v – t ) o
mediante el calculo de la integral de definida en la formula anterior.
Video
Movimiento rectilíneo uniforme
http://www.youtube.com/watch?v=ywQRN29OL38
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
Héctor Pérez Montiel (2002) (Tomo esta definición por que es una forma describir e
Imaginar el MRUA).
“Se tiene un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado cuando la velocidad
experimenta cambios iguales en cada unidad de tiempo”.
Se puede considerar un movimiento uniformemente acelerado cuando la aceleración es
constante. En este, la aceleración ( a ) de un objeto es constante, y la ecuación se
convierte en:
(1)
La velocidad ( v ) de la partícula se obtiene al integrar esta ecuación
v = v + at
donde v0 es la velocidad inicial. Al sustituir por v en (1), se escribe
Al denotar mediante ( x0 ) el valor inicial de ( x ) e integrarse se tiene
Esta ecuación es útil entre la coordenada de posición, la velocidad y el tiempo en el caso
del movimiento uniformemente acelerado, al sustituir los valores de ( a ),( v0 ) , y ( x).
Ejemplo No.1:
Un corredor que parte del reposo acelera en línea recta a una aceleración de 5.5 durante
6s. ¿Cuál es la velocidad del corredor al final de este tiempo? Si un paracaídas se abre
en este momento hace que el corredor desacelere uniformemente con una aceleración de
2.4 m/s2 ¿Cuánto tardará en detenerse?, ¿Qué tanto avanzó?, Si una pared se encuentra a
220m de distancia se estrello o no?
Vf = ?
Vf = V0 + a.t
Vf = 0+5.5 ( 6s ) Vf = 33m/s
V0 = 0
a=5.5m/s 2
t = Vf - V0/a
d = V0 t +1/2at2
t = 0m/s-33m/s/-2.4=13.75s
t =13.75s
d = 0+1/2(-2.4m/s)(13.75)(13.75) d = 226.875m
La respuesta a esto es desafortunadamente si se estrello.
Video
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
http://www.youtube.com/watch?v=d66NOZdufPE
Movimiento Parabólico
Sucede cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación respecto a la horizontal y
bajo la acción de la fuerza de gravitacional, y la trayectoria se mantiene en el plano
vertical y es parabólico.
El tiro parabólico es un ejemplo del movimiento realizado por un cuerpo en dos
dimensiones o sobre un plano.
Además el tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial de un movimiento
horizontal uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente acelerado:
El tiro parabólico es de dos tipos:
 Tiro parabólico de horizontal:
Se caracteriza por la trayectoria o camino curvo que sigue un cuerpo al ser
lanzado horizontalmente al vacio.
Aquí el resultado que obtendremos de los dos movimientos
independientes: un movimiento horizontal con velocidad constante
vertical, iniciando con una velocidad cero he ira aumentado en la
proporción de otro cuerpo que se dejara caer del mismo punto en el
instante.
serán
y otro
misma
mismo
 Tiro parabólico oblicuo
Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado
con una velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal.
El tiro parabólico se puede estudiar como la composición de dos movimientos:
 Un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en la dirección de ( x ).
 Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) en dirección de
( y ).
Las ecuaciones del tiro parabólico son las siguientes:
Aceleración
a=-gj
Velocidad
,
,
Espacio recorrido
r =x i + y j ,
,
Para estudiar el movimiento parabólico se tienen que tener en cuenta los siguientes
datos:
La trayectoria que sigue el cuerpo
Alcance máximo
Altura máxima
Para un tiempo determinado, los valores de posición y velocidad.
Ejemplo No.1:
Desde un campanario de 15m de altura, lanzamos hacia arriba un petardo en la
noche de San Juan con una velocidad inicial de 30m/s y con un ángulo con la horizontal
de 60º. Calcularemos 1) el alcance, 2) la velocidad a la que cae el petardo y 3) la altura
máxima a la que llega al suelo.
Datos:
Para separar el problema en los dos ejes, se descompone la velocidad inicial:
Según el eje y: el movimiento es MRUA:
El signo de la gravedad, es negativo porque siempre hay que considerar la
dirección del movimiento positiva, entonces inicialmente el movimiento del petardo es
para arriba, por lo tanto se asocia el signo positivo a todo movimiento que sea para
arriba, como consecuencia se asigna hacia abajo el signo negativo, como el caso de la
gravedad.
La ecuación de movimiento que le corresponde:
Eje x:
, por lo tanto la ecuación del movimiento será
:
.
1) Para calcular el alcance la condición a imponer es y = 0. Sustituyendo en la
ecuación correspondiente:
Si se tiene el tiempo en que el petardo llega al suelo, se encuentra el alcance
sustituyendo este tiempo en la otra ecuación:
2) Para encontrar la velocidad a la que llega el petardo en el suelo se sabe que la
componente x no ha variado, por lo tanto solo hay que calcular la componente y :
Donde el signo negativo indica que la velocidad es hacia abajo, como era de
esperar.
Entonces, la velocidad que lleva el petardo es:
,
pero esto no es suficiente, se debe indicar el módulo y la dirección así que:
3) Para hallar la altura máxima, la condición a imponer será: vy = 0, si se
sustituye este valor en la ecuación correspondiente se podrá hallar el tiempo:
Entonces para conocer la altura máxima, solo se deberá sustituir este tiempo en
la ecuación de movimiento:
Videos
Movimiento Parabólico
http://www.youtube.com/watch?v=VmzwqhxgIXI
Tiro Parabólico
http://www.youtube.com/watch?v=dKovgwKYaj4
Movimiento Circular
Héctor Pérez Montiel (2002) (Tomo esta otra definición por que es una forma descriptiva
de lo que el Movimiento Circular)
“Un cuerpo describe un movimiento circular cuando gira alrededor de un punto fijo
llamado eje de rotación”.
Ejemplos claros son: las ruedas de un auto, los engranes de un reloj, poleas que nos
permite levantar algún objeto pesado por medio de cuerdas, discos compactos (cd/rom,
DVD), y también las hélices de un helicóptero.
El movimiento circular se efectúa en un mismo plano y es el movimiento más simple en
dos dimensiones.
En el movimiento circular el origen del sistema de referencia se encuentra en el centro
de la trayectoria circular. Aquí los factores intervienen son: el desplazamiento, el
tiempo, la velocidad y la aceleración. Aclarando que las trayectorias de éstas son
circunferencias concéntricas de longitud de diferente y de radio igual a la distancia entre
el objeto o la partícula considerado(a) y el eje de rotación.
Debido a esto introduciré los conceptos de ángulo y radián:


Ángulo.- Es la abertura comprendida entre dos radios, que limitan un arco de
circunferencia.
Radián.- Es el ángulo central al que corresponde un arco de longitud igual al
radio.
Ejemplo:
Si observamos el movimiento de un objeto que es colocado encima de un disco y lo
hacemos girar, al momento de que este girando podemos ser precisos con la
posición, si tomamos el sistema de referencia al centro de la trayectoria circular.
De esta manera el vector nos indicará su posición para cada intervalo de tiempo
encontrándose determinado por el radio de la circunferencia, mismo que
permanece constante. Por lo tanto, el vector de posición tendrá una magnitud
constante y su dirección será la misma que tenga el radio de la circunferencia.
Al momento de que se desplace el objeto colocado sobre el disco, su cambio de
posición se podrá conocer mediante desplazamientos del vector posición, dando
como resultado a los desplazamientos angulares.
Donde:
r = vector de posición
= desplazamiento angular
= posición inicial del objeto
= posición final del objeto, después de un intervalo de tiempo

Periodo.- Es el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa o en
completar un ciclo.

Frecuencia.- Es el número de vueltas, revoluciones o ciclos que efectúa un móvil
en un ciclo.
Formación de una onda sinusoidal (senoidal)
Ejemplo No.1:
El péndulo cónico
Un pequeño cuerpo de masa m esta suspendido de una cuerda de longitud L, el cuerpo
gira en un círculo horizontal de radio r con rapidez constante v, como se muestra en la
figura (puesto que la cuerda barre la superficie de un cono, el sistema se conoce como
un péndulo cónico).
Encuentre la velocidad del cuerpo y el periodo de revolución, TP definido como el
tiempo necesario para completar una revolución.
Solución:
En la figura se muestra el diagrama de un cuerpo libre para la masa m, donde la fuerza
ejercida por la cuerda, T se ha descompuesto en una componente vertical, T cos (u) y
una componente T sen (u) que actúa hacia el centro de rotación. Puesto que el cuerpo
no acelera en la dirección vertical, la componente vertical de T debe equilibrar el peso.
Por lo tanto:
Tx = T sen u
Ty = T cos u
Ty- mg = 0
Ty = mg
T cos u = mg
Ecuación 1
Puesto que, en este ejemplo, la fuerza central es proporcionado por la componente
T sen u de la segunda ley de Newton obtenemos:
pero Tx = T sen u
Tx = T sen u = ma
Ecuación 2
Al dividir la ecuación 2 con la ecuación 1, se elimina T y la masa m.
pero r = L sen u
En vista de que la bola recorre una distancia de 2 π r, (la circunferencia de la trayectoria
circular) en un tiempo igual al periodo de revolución TP (que no debe ser confundida
con la fuerza T), encontramos:
Si tomamos L = 1 metro u = 200
Si tomamos L = 1 metro u = 200
Tp = 1.945 segundos
Videos
Movimiento circular
http://www.youtube.com/watch?v=HcHkl2j0dfk
Movimiento Circular uniforme
http://www.youtube.com/watch?v=BJdO9EpoG4Q
GLOSARIO
Vector posición.- Es el vector OP que une al origen de coordenadas 0 inicia con el
punto P.
Concéntricas.- objeto o figura que tiene el mismo centro que otro objeto o figura.
REFERENCIAS
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
http://www.vitutor.com/geo/vec/a_3.html
http://rsta.pucmm.edu.do/tutoriales/fisica/Leccion6/6.1.htm
http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://platea.pntic.mec.es/curso20//77_ne
wton/html7/index_archivos/tiro.JPG&imgrefurl=http://platea.pntic.mec.es/curso20//77_
newton/html7/tiro_parabolico.htm&usg=__K8xon_4jDzYwefzyt1_dieBC99g=&h=390
&w=714&sz=20&hl=es&start=16&itbs=1&tbnid=zwCgmu3EvS0cM:&tbnh=76&tbnw=140&prev=/images%3Fq%3Dmovimiento%2Bparabolico%26hl
%3Des%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htm
BIBLOGRAFIAS
 Física General, Héctor Pérez Montiel, Publicaciones Cultural, 2ª edición, 2002.
 Mecanice para Ingenieros; Dinámica, R.C. Hibbeler, CECSA, 2ª edición, 1987.
 Mecánica Vectorial para Ingenieros; Dinámica, Ferdinand P.Beer, E. Russell
Johnston,
Jr., William E. Clausen, McGraw Hill, 7ª edición, 2004.
 Ingeniería Mecánica; Dinámica, Robert W. Soutas-Little, Daniel J. Inman,
Daniel S.
Balint, CENGAGE, 2009.
 URL:http://books.google.com.mx/books?id=JGcui5Z4QT0C&pg=PT1&dq=Ing
enieria+mecanica++LITTLE&cd=1#