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Material de trabajo autónomo
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Unidad de aprendizaje 1
Material de trabajo autónomo
Semana 1 Sesión 2
Movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Caída Libre
Índice
Instrucciones____________________________________________________ 4
I. Matemáticas preliminares ______________________________________ 5
Antiderivación_______________________________________________________________5
II. Movimiento con aceleración constante ____________________________ 5
Velocidad instantánea ___________________________________________ 5
Aceleración media y aceleración instantánea _________________________ 6
II. Movimiento rectilíneo uniformemente variado _____________________ 8
III. Aplicación del MRUV: Caída libre ________________________________ 11
Balotario para la práctica calificada ________________________________ 13
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Material de trabajo autónomo Semana 1 Sesión 2
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Material de trabajo autónomo Semana 1 sesión 2
Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Caída libre
Material producido por Yuri Milachay, Jorge de la Flor y Soledad Tinoco
Física 1. Área de Ciencias
Edición: TICE, UPC
Copyright © UPC, 2011
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Material de trabajo autónomo Semana 1 Sesión 2
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Instrucciones
A continuación, encontrarás una guía de estudios especialmente diseñada para
trabajar el libro de texto de Física para la Ciencia y la Tecnología de los Autores
Tipler y Mosca, Tomo I, 6° edición, Ed. Reverté.
En este material encontrarás enfoques conceptuales alternativos, así como
ejercicios desarrollados y sugeridos que completarán tu preparación para los
temas abordados en la semana.
Es importante que intentes resolverlos por ti mismo. De esta
manera, podrás reconocer cuánto has aprendido sobre el tema.
Para resolver cada uno de los problemas, puedes apoyarte en el
Libro de texto, el material de clase y tus apuntes de la semana.
Ingresa al foro de la semana para plantear tus dudas sobre los
puntos que no hayan quedado claros. El foro te permite
interactuar con tus compañeros, tu profesor y el asistente del
curso, intercambiando opiniones y profundizando algunos temas.
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I. Matemáticas preliminares
La derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta
tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que
forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese
punto. La derivada provee la noción del coeficiente de cambio. Es decir, nos dice
lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto respecto del eje de un
plano cartesiano de dos dimensiones.
Fig. 1 Variación derivada de la función f(x) (pendientes de la recta)
En la figura se observa el cambio de la función f(x) respecto a x. Se puede apreciar
que la función crece cuando la derivada es positiva y decrece cuando la derivada
es negativa.
Antiderivación
Algunas operaciones de antiderivación:
t2
Adt
=
At
+
C
;
tdt
=
+C ;
∫
∫
2
∫ ( at + b )dt =
at 2
+ bt + C
2
II. Movimiento con aceleración constante
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea se define como la derivada de la posición con respecto
al tiempo. Indica la razón de cambio de la posición del móvil por unidad de
tiempo.
∆x dx
v = lim
=
∆t →0 ∆t
dt
Tipler Vol. I Pág. 22-24
Ejercicio 12 Pág. 41
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Las gráficas posición-tiempo de cinco vehículos vienen dadas por el gráfico que
se muestra. A partir de la información del gráfico y del significado de la velocidad
como derivada de la posición respecto del tiempo, diga lo siguiente:
a) ¿Qué vehículos tienen velocidad positiva todo el tiempo?
b) ¿Qué vehículos tienen velocidad negativa todo el tiempo?
c) ¿Qué vehículos están en reposo?
d) ¿Qué vehículos se mueven con velocidad constante?
Solución
Los vehículos que tienen velocidad positiva todo el tiempo son (b), (c) y (d)
El vehículo que tiene velocidad negativa todo el tiempo es (a)
El vehículo que está en reposo es (e)
El vehículo que se mueve con velocidad constante es (b)
Aceleración media y aceleración instantánea
La aceleración media es una magnitud vectorial que se define como el cambio de
la velocidad por unidad de tiempo.
am =
∆v
∆t
m/s m
= 2.
s
s
2
¿Qué significado tiene una aceleración media de + 5,00 m/s ?
Este valor significa que la velocidad se está incrementando (+) a razón de 5,00
m/s por cada segundo transcurrido. Si la velocidad inicial del móvil es +3,0 m/s, su
evolución en el tiempo sería la que se muestra en la figura.
La aceleración tiene dimensiones de velocidad entre tiempo;
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Fig. 2 La velocidad se incrementa a razón de 5,00 m/s por cada segundo
La aceleración instantánea se define como el límite de la velocidad media cuando
el intervalo de tiempo considerado tiende a cero.
∆v dv
a = lim
=
∆t →0 ∆t
dt
Que a su vez se interpreta como la pendiente de la curva velocidad-tiempo.
Ejercicio 13 Pág. 41
Las gráficas velocidad-tiempo de cinco vehículos vienen dadas por el gráfico que
se muestra. A partir de la información del gráfico y del significado de la
aceleración como derivada de la velocidad respecto del tiempo, diga lo siguiente:
I.
¿Qué vehículos tienen aceleración positiva todo el tiempo?
¿Qué vehículos tienen aceleración negativa todo el tiempo?
II.
III.
¿Qué vehículos se mueven con MRU?
IV.
¿Qué vehículos se mueven con aceleración constante?
Solución
I.
II.
III.
IV.
Los vehículos que tienen aceleración positiva todo el tiempo son (b),
(c) y (d)
El vehículo que tiene aceleración negativa todo el tiempo es (a)
El vehículo que se mueve con MRU es (e)
El vehículo que se mueve con aceleración constante es (b)
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II. Movimiento rectilíneo uniformemente variado
Es aquel movimiento que tiene lugar a aceleración constante se cumple que la
aceleración media es igual a la aceleración instantánea, por lo que la expresión
a=
v f − vi
t
es válida en todo momento. Así, despejando la velocidad final (vf) se tiene la
primera ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV).
v f = v i + at
La segunda ecuación de movimiento se obtiene antiderivando la velocidad
at 2
dx 

x
v
at
dt
v
t
:
=
(
+
)
=
+
+C
v
=


i
∫ i
2
dt 

Si en t = 0 s, la posición inicial es xi, se tiene:
x = xi + vit +
1 2
at
2
Despejando el tiempo de la ecuación, se obtiene la tercera ecuación de
movimiento
v 2 = v 2i + 2a ∆x
Ejercicio
Un coche se acelera desde el reposo con aceleración constante de 8,00 m/s2. (a)
¿Con qué velocidad marchará a los 10,0 s? (b) ¿Cuál es su desplazamiento a los
10,0 s? (c) ¿Cuál es su velocidad media en el intervalo 0 ≤ t ≤ 10,0 s.
Solución
Datos: v0 = 0 m/s; a = 8,00 m/s2
(a) v = (0 + 8 ,00 × 10 ,0 )
m
m
= +80 ,0
s
s
1


(b) El desplazamiento es ∆x =  0 × 10 ,0 + × 8 ,00 × 10 ,0 2  m = +400 m
2


(c) La velocidad media se calcula con el desplazamiento y el tiempo:
v=
∆x 400 m
m
=
= +40 ,0
∆t 10 ,0 s
s
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La gráfica velocidad-tiempo de la velocidad en el MRUV es una recta cuya
pendiente es la aceleración. El “área” de la gráfica respecto al eje del tiempo
tiene significado de desplazamiento.
Por ejemplo, en la figura se tiene la gráfica velocidad-tiempo de un móvil que se
mueve con MRUV, ¿qué información podemos obtener de la figura?
De la figura, se concluye que>
a) la velocidad inicial es +50 m/s y que la aceleración es negativa e igual a
(−50) − (50) m / s
m
a=
= −10 2 ,
10
s
s
b) el desplazamiento es positivo en los primeros 5 segundos (“área”
positiva) e igual a 50 x 5/2 = +125 m,
c) el desplazamiento es negativo entre los segundos 5 y 10 (“área”
negativa) e igual a -50 x 5/2 = -125 m,
d) el desplazamiento total es cero; 125 m – 125 m = 0 m, y
e) la distancia recorrida es 250 metros.
Prob. 64 Pág. 44
Un auto acelera con la tercera marcha de +43,0 km/h a +80,5 km/h en 3,7 s.
¿Cuál será su aceleración media?
Solución
Las velocidades en m/s son:
v i = 43 ,0
km 1 000 m
m
×
= +11 ,9 ;
h 3 600 s
s
v i = 80 ,5
km 1 000 m
m
×
= +22 ,4
h 3 600 s
s
La aceleración media es: am =
(22,4 − 11,9) m
m
= +2,8 2
3,7 s
s
s
Prob. 67 Pág. 45
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m
m

Una partícula se mueve con velocidad v =  8,0 2  t − 7,0 , en donde v se
s 
s

expresa en metros por segundos y t en segundos. (a) Determine la aceleración
media en el intervalo de t = 3,0 s y t = 4,0 s . (b) Represente v en función de t.
¿Cuál es la aceleración instantánea en cualquier momento?
Solución
(a) v( 3 ,0 ) = ( 8 ,0 × 3 ,0 − 7 ,0 )
v( 4 ,0 ) = ( 8 ,0 × 4 ,0 − 7 ,0 )
m
m
= +17 ;
s
s
m
m
= +25
s
s
m
 25 − 17  m
vm = 
 2 = +8 ,0 2
s
 1 ,0  s
(b) La gráfica v-t es:
v (m/s)
t (s)
-7,0
(c) La aceleración instantánea es: a =
dv
m
= 8,0 2
dt
s
Prob. 71 Pág. 44
Un coche parado en la posición x = 50 m acelera con aceleración constante de
+8,0 m/s2. (a) Transcurridos 10,0 s, ¿cuál es su velocidad? (b) ¿Qué
desplazamiento ha recorrido? (c) ¿Cuál es su velocidad media en el intervalo 0 ≤
t ≤ 10,0 s?
Solución
xi = 50 m ; a = 8,0 m/s2 ; t = 10,0 s ; vi= 0 m/s
Incógnitas vf = ¿? ; Δx = ¿?; vm = ¿?
(a) v = v i + at ⇒ v = (0 + 8 ,00 × 10 ,0 )
m
m
= +80 ,0
s
s
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1
1


(b) ∆x = vit + at2 ⇒ ∆x =  0 + × 8 ,00 × 10 ,0 2  m = +400 m
2
2


(c) v m =
∆x 400 m
m
=
= +40 ,0
∆t 10 ,0 s
s
III. Aplicación del MRUV: Caída libre
La ley de que los cuerpos caen en el vacío con una aceleración que es la misma
para todos ellos e independiente de sus pesos respectivos fue establecida por
Galileo Galilei. Él dedujo que, en ausencia de un medio resistente como el aire,
es decir en el vacío, el movimiento de caída es de aceleración constante, siendo
dicha aceleración la misma para todos los cuerpos, independientemente de su
forma y su peso.
La aceleración conocida como aceleración de la gravedad, se representa por la
letra g y toma un valor aproximado de 9,81 m/s2. Así, cuando el eje positivo está
dirigido hacia arriba el vector aceleración de la gravedad se escribe de la
siguiente manera:
→
g = −9,81
m∧
j
s2
Como el movimiento de caída libre es un MRUV, las ecuaciones que la gobiernan
son las mismas, con la diferencia de que la aceleración es constante y el
movimiento se realiza en la dirección vertical. En ese sentido, se puede
establecer una correspondencia entre las ecuaciones del MRUV y la caída libre
de la manera como se muestra:
x − x0 = v0 t +
1
a t2
2
y − y 0 = v0 t −
1
9, 81 t 2
2
v = v0 + a t
v = v0 − 9,81 t
v 2 = v0 2 + 2 a ( x − x0 )
v 2 = v0 2 − 2 ( 9,81) ( y − y0 )
Problema
Una pelota de baloncesto se deja caer desde una altura de 3,00 m . (a) ¿Cuál es
la velocidad de la pelota justo antes de alcanzar el suelo? (b) ¿Cuánto tiempo ha
permanecido en el aire?
Solución
(a) Utilizando la tercera ecuación de movimiento, v2 = −2 × 9,81 × ( −3,00 ) ,
obtenemos una solución que tiene dos valores: uno positivo (+7,67 m/s) y otro
negativo (-7,67 m/s). La respuesta que nos interesa es la negativa, puesto que el
cuerpo está cayendo.
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(b) El tiempo de caída se puede calcular con la segunda ecuación de
movimiento, −7,67 = −9,81 × t ; de donde se obtiene t = 0,782 segundos.
Problema
Una grúa sostiene una carga a 6,00 m del suelo cuando se desprende la carga.
(a) Describir el movimiento de la carga haciendo un esquema v(t) (b) ¿Cuánto
tiempo tarda en llegar la suelo? (c) ¿Cuál es su velocidad al momento de chocar
con el suelo?
Solución
(a)
v (m/s)
Eje y
t (s)
yi=6,0 m vi=0 m/s
yf=0 m
vf=¿?
1
1
(b) ∆y = vit − 9,81t2 ⇒ −6,0 = − 9,81t2 ⇒ t = 1,1 s
2
2
(c) v f = (0 − 9 ,81 × 1 ,10 )
m
m
= −11 ,0
s
s
Prob. 77 Pág. 45
Una grúa levanta una carga de ladrillos a la velocidad constante de 5,00 m/s,
cuando está a 6,00 m del suelo se desprende un ladrillo de la carga. (a) Describir
el movimiento del ladrillo desprendido haciendo un esquema v(t) (b) ¿Cuál es la
altura máxima respecto al suelo que alcanza el ladrillo? (c) ¿Cuál es su velocidad
al momento de chocar con el suelo?
Solución
(a)
v (m/s)
vi=5,0 m/s
5,0
Eje y
t (s)
yi=6,0 m
yf=0 m
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vf=¿?
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(b) La altura máxima que alcanzará mientras se eleva. Este desplazamiento se
calcula tomando en cuenta que la velocidad final en dicho tramo es cero.
0 = 5,02 − 2 × 9,81 ( y − 6,00 ) ; y = 7,3m
(c) De v2 = v2i + 2a∆x , se obtiene v 2 = 5,0 2 + 2 × (−9,81)(−6,00) → v = −12
m
s
Balotario para la práctica calificada
MRUV
Revisar los temas de las páginas 35-42.
Resolver, de la página 57, los ejercicios
58-63, 65, 67, 77, 83, 90.
Caída libre
Revisar los temas de las páginas 43-44.
Resolver, de las páginas 58-59, los ejercicios
69, 71, 73, 75, 80, 87.
Integración y ecuación de movimiento
Resolver, de las páginas 60-61, los ejercicios
103 -112.
Foro de dudas
No olvides que si tienes dudas sobre la solución de los ejercicios,
puedes plantear tus preguntas en el foro de discusión del Aula Virtual.
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