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8. Sistemas de partículas
8. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
En este Capítulo tratamos la dinámica de sistemas constituidos por varias partículas puntiformes.
Para ello generalizaremos los conceptos que introdujimos al tratar la dinámica de un único punto
material (cantidad de movimiento, energía cinética, energía potencial, energía mecánica y
momento angular) para sistemas de dos o más puntos materiales. La novedad principal es que
ahora al tratar la fuerza que actúa sobre cada partícula hay que tener presente que la misma es la
resultante de las fuerzas de origen externo al sistema y de las fuerzas que provienen de la interacción de la partícula con las demás partículas del sistema. Las reacciones de las fuerzas de
origen externo se ejercen sobre objetos que están fuera del sistema, mientras que las reacciones
de las fuerzas de interacción con otras partículas del sistema se ejercen sobre objetos del sistema.
Por lo tanto la Tercera Ley de Newton, que en la dinámica de una única partícula no juega
ningún rol, interviene explícitamente al tratar sistemas de varias partículas. El resultado fundamental es que la dinámica del sistema se divide de manera natural en dos partes. La primera consiste en el movimiento del sistema en su conjunto y depende de las fuerzas de origen externo. La
segunda trata el movimiento interno del sistema y depende de las interacciones entre las partículas del mismo. Esta simplificación se consigue gracias al concepto de centro de masa del sistema y por lo tanto comenzaremos nuestro estudio definiendo el mismo.
Centro de masa
Sea un sistema de n partículas de masas m1 , m2 , ..., mn . Supondremos que sobre ellas actúan las
fuerzas F1 , F2 , ..., Fn (Fig. 8.1).
m2
mi
m1
Fi
Ri
ri
mj
mn
CM
R
O
Fig. 8.1. Sistema de masas puntiformes. CM es el centro de masa.
Se llama centro de masa o baricentro del sistema al punto CM cuya posición R está dada por
R=
∑ mi ri = ∑ mi ri
M
∑ mi
(8.1)
donde Σ indica que sumamos sobre todo el conjunto de partículas, i = 1, 2,…, n y M es la masa
total. Claramente
MR = ∑ mi r i
215
(8.2)
8. Sistemas de partículas
El baricentro es la posición media pesada del sistema y debe quedar claro que no es un objeto
material y que puede o no coincidir con alguno de los puntos del sistema.
Derivando respecto del tiempo la (8.2) resulta
MV = ∑ mivi
, MA = ∑ mi ai
(8.3)
donde V y A son la velocidad y la aceleración del baricentro.
A veces tomaremos como origen de coordenadas al centro de masa. Sea Ri la posición de la iésima partícula referida al centro de masa, entonces
ri = R + Ri
Por definición del centro de masa
(8.4)
∑ mi Ri = 0 y por lo tanto
∑ miVi = ∑ Pi = 0
∑ mi Ai = 0
,
(8.5)
donde Vi = vi − V , Pi = miVi y Ai = ai − A son, respectivamente, la velocidad, la cantidad de
movimiento y la aceleración de la i-ésima partícula respecto del baricentro.
Cantidad de movimiento del sistema
Cada partícula tiene una cantidad de movimiento pi = mivi y la cantidad de movimiento total es
P = ∑ pi = ∑ mivi = MV
(8.6)
Luego la cantidad de movimiento del sistema es la que corresponde a una única partícula cuya
masa es la masa total y cuya velocidad es la velocidad del centro de masa. Derivando (8.6):
dP
= MA = ∑ mi a i
dt
(8.7)
pero la ecuación de Newton para la i-ésima partícula es
mi a i = Fi
(8.8)
Fi = Fie + Σ Fij
(8.9)
donde Fi es, en general
j ≠i
Aquí Fie es la fuerza externa sobre la partícula i y Fij es la fuerza sobre esa partícula debida a su
interacción con la partícula j. Pero entonces
∑ mi ai = ∑ Fie + ∑ ∑ Fij
i
(8.10)
i j ≠i
Ahora bien, por la III Ley de Newton Fij = − F ji , luego
∑ ∑ Fij = 0
i j ≠i
216
(8.11)
8. Sistemas de partículas
y obtenemos el siguiente resultado importante:
dP
= MA = ∑ Fie = Fe
dt
(8.12)
donde Fe es la resultante de las fuerzas externas. Las fuerzas de interacción entre partículas del
sistema no influyen sobre el movimiento del baricentro, cuya ecuación de movimiento es
MA = Fe
(8.13)
Conservación de la cantidad de movimiento de un sistema aislado
Si sobre un sistema no actúan fuerzas exteriores dP / dt = MA = 0 , luego
P = MV = cte.
(8.14)
Esto significa que se conserva la cantidad de movimiento total de un sistema aislado, y en consecuencia su baricentro se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme.
Energía cinética del sistema
La energía cinética de un sistema de masas puntiformes es la suma de las energías cinéticas de
las masas que lo componen, esto es
T = ∑ Ti = ∑ 12 mi vi2
(8.15)
Recordando que vi = V + Vi podemos escribir T en la forma
T = 12 MV 2 + ∑ 12 miVi2 = TCM + Tint
(8.16)
Aquí TCM es la energía cinética debida al movimiento del centro de masa y Tint es la energía
cinética interna, debida al movimiento de las masas del sistema respecto del baricentro.
Las (8.15) y (8.16) se pueden escribir en términos de las cantidades de movimiento como
T=∑
pi2
2 mi
(8.17)
y
TCM =
P2
2M
, Tint = ∑
Pi2
2 mi
(8.18)
Aquí Pi = miVi = pi − miV . Es fácil verificar que la variación de la energía cinética asociada con
el movimiento del baricentro, dTCM = V ⋅ Fe dt , se debe al trabajo de las fuerzas externas.
Energía potencial del sistema
En general la fuerza Fi sobre la i-ésima partícula es
Fi = Fie + Σ Fij
j ≠i
217
(8.19)
8. Sistemas de partículas
donde Fie es la fuerza de origen externo y Fij es la fuerza debida a su interacción con la partícula j. Si la fuerza de origen externo es conservativa se puede definir una energía potencial
Ve ( r ) de modo que la energía potencial de la i-ésima partícula es Ve ( ri ) y entonces
Fie,c = −∇iVe ( ri )
(8.20)
donde ∇i ≡ ( xˆ∂/ ∂xi, yˆ ∂/ ∂yi, zˆ∂/ ∂zi) . La energía potencial de todo el sistema debida a las fuerzas externas (energía potencial externa) es entonces
Ve = ∑ Ve ( ri )
(8.21)
Si la fuerza Fij sobre la partícula i debida a su interacción con la partícula j es conservativa se
puede definir una energía potencial de interacción Vij = V ( rij ) donde rij ≡ rj − ri , de modo que
Fij ,c = −∇iV ( rij ) , Fji,c = −∇ j V ( rij ) = − Fij ,c
(8.22)
Si todas las interacciones entre pares de partículas del sistema son conservativas, la energía potencial del sistema debida a las interacciones entre partículas (energía potencial interna) es
Vint = ∑ ∑ Vij = ∑ ∑ V ( rij )
i j <i
(8.23)
i j <i
donde sumamos para j < i para contar una sola vez cada par de partículas.
Energía mecánica del sistema
Por lo que se acaba de ver la energía mecánica del sistema se puede escribir como
E = ECM + Eint
(8.24)
donde
ECM =
P2
+ Ve , Eint = Tint + Vint
2M
(8.25)
son respectivamente la energía mecánica asociada con el movimiento del baricentro y la energía
mecánica interna. Examinaremos ahora las variaciones de ECM , Eint y E.
Sea un intervalo dt en el que las partículas del sistema sufren desplazamientos dri = vi dt
( i = 1, 2,…, n ). El trabajo dWe de las fuerzas externas debido a esos desplazamientos es
dWe = ∑ dri ⋅ Fie = ∑ dri ⋅ ( Fie,c + Fie, nc )
(8.26)
aquí Fie.c = −∇iVe ( ri ) es la parte conservativa y Fie, nc la parte no conservativa de Fie . Como
dri ⋅ ∇iVe ( ri ) = dVe ( ri ) resulta que
dWe = − ∑ dVe ( ri ) + ∑ dri ⋅ Fie, nc = − dVe + dWe, nc
(8.27)
dWe, nc = ∑ dri ⋅ Fie, nc
(8.28)
donde
218
8. Sistemas de partículas
es el trabajo de las fuerzas externas no conservativas. Del mismo modo el trabajo de las fuerzas
de interacción en esos mismos desplazamientos es
dWint = ∑ ∑ dri ⋅ Fij = ∑ ∑ dri ⋅ ( Fij ,c + Fij , nc )
i j ≠i
(8.29)
i j ≠i
donde Fij ,c = −∇iV ( rij ) es la parte conservativa y Fij , nc la parte no conservativa de Fij . Aquí
dri ⋅ ∇iV ( rij ) = diV ( rij ) es la variación de V ( rij ) debida al desplazamiento de la partícula i. Por
otra parte en la sumatoria doble sobre i y j aparece también el término drj ⋅ ∇ j V ( rij ) = d j V ( rij ) ,
que es la variación de V ( rij ) debida al desplazamiento de la partícula j. La suma de diV ( rij ) más
d j V ( rij ) es, la variación de V ( rij ) debida a los desplazamientos de ambas partículas. Por lo tanto
∑ ∑ diV (rij ) = ∑ ∑ dV (rij ) = d ∑ ∑ V (rij )
(8.30)
dWint = − dVint + dWint,nc , dWint,nc = ∑ ∑ dri ⋅ Fij , nc
(8.31)
i j ≠i
i j <i
i j <i
y obtenemos
i j ≠i
Relacionemos ahora el trabajo con la variación de la energía cinética
dW = ∑ dri ⋅ Fi = ∑ mivi ⋅ dvi =
1
2
∑ mi dvi2
(8.32)
Recordando que vi = V + Vi resulta
dW =
1
2
∑ mi d (V + Vi )2 = d ( 12 MV 2 ) + d ( 12 ∑ miVi2 ) = dTCM + dTint
(8.33)
Finalmente de (8.27), (8.31) y (8.33) obtenemos
dTCM + dVe + dTint + dVint = dWe, nc + dWint, nc
(8.34)
dECM = dTCM + dVe = dWe, nc
(8.35)
de donde resulta que
pues el trabajo de las fuerzas de interacción (sean o no conservativas) no afecta a ECM . Luego
dEint = dTint + dVint = dWint, nc
(8.36)
En conclusión, ECM se conserva si las fuerzas externas son conservativas, mientras que la energía mecánica interna se conserva si las interacciones son conservativas.
Momento angular del sistema
Si referimos el movimiento a un origen O podemos definir el momento angular de la partícula i
como Li = ri × pi = mi ri × vi . El momento angular total es:
L = ∑ Li = ∑ ri × pi = ∑ mi ri × vi
219
(8.37)
8. Sistemas de partículas
De
ri = R + Ri
, vi = V + Vi
(8.38)
resulta
L = ∑ mi ( R + Ri ) × (V + Vi ) = R × P + ∑ mi Ri × Vi = LCM + Lint
(8.39)
Aquí LCM = R × P es el momento angular debido al movimiento del centro de masa y
Lint = ∑ mi Ri × Vi = ∑ Ri × Pi
(8.40)
es el momento angular debido al movimiento de las partículas respecto del centro de masa.
mi
pi
Ri
ri
CM
R
O
Fig. 8.2. Diagrama auxiliar para definir el momento angular de una partícula del sistema.
Variación del momento angular del sistema
Calculemos la variación del momento angular del sistema:
dL d
= ∑ mi ri × vi = ∑ ri × Fi
dt dt
(8.41)
Fi = Fie + Σ Fij
(8.42)
dL
= ∑ r i × Fie + ∑ ri × ∑ Fij
dt
i
j ≠i
(8.43)
Recordando que
j ≠i
obtenemos
Veamos el segundo término del miembro de la derecha. Será
∑ ri × ∑ Fij =
i
j ≠i
r1 × F12 + r1 × F13 + K
+ r2 × F21 + r2 × F23 + K
+ r3 × F31 + r3 × F32 + K
220
(8.44)
8. Sistemas de partículas
Ahora, por la III Ley de Newton
Fij = − F ji
(8.45)
Los términos se agrupan entonces de a pares y para cada par
( ri − rj ) × Fij = 0
(8.46)
porque Fij está en la dirección de ri − rj , luego la sumatoria doble es nula. Queda entonces
dL
= ∑ r i × Fie = ∑ M ie = Me
dt
(8.47)
Por lo tanto sólo las fuerzas externas contribuyen a la variación del momento angular.
mi
Fij
ri–rj
mj
Fji= –Fij
ri
rj
O
Fig. 8.3. La interacción de un par de partículas del sistema.
Recordando que L = LCM + Lint y puesto que
Me = R × Fe + ∑ Ri × Fie
(8.48)
resulta que la variación de LCM proviene de R × Fe , el momento de la resultante de las fuerzas
externas
d LCM
= R × Fe
dt
(8.49)
d Lint
= ∑ Ri × Fie
dt
(8.50)
mientras que
de debe a la suma de los momentos de las fuerzas externas, tomados respecto del centro de masa.
Conservación del momento angular del sistema
Como se acaba de ver
dL
= Me
dt
221
(8.51)
8. Sistemas de partículas
Si el momento de las fuerzas externas es nulo, el momento angular del sistema se conserva. Si el
sistema está aislado no hay fuerzas externas y por consiguiente Me = 0 . Luego el momento angular de un sistema aislado se conserva.
Reducción del problema de dos cuerpos
El sistema más simple es el que está formado por dos masas puntiformes m y M que interactúan
(Fig. 8.4). Por la III Ley la interacción es una fuerza F = F(r )rˆ (aquí F puede ser positiva o negativa). En este caso especial se puede simplificar el tratamiento
M
–F
F
r
m
R
rM
rm
O
Fig. 8.4. Sistema de dos cuerpos.
Si no hay fuerzas externas las ecuaciones del movimiento son
m am = F , M aM = − F
(8.52)
y en este sistema aislado se conservan tanto la cantidad de movimiento
P = pm + pM
(8.53)
L = LCM + Lint
(8.54)
como el momento angular
Sabemos entonces que el baricentro se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. Conviene
entonces separar el movimiento del baricentro del movimiento de las partículas respecto del baricentro, para lo cual introducimos
R=
MrM + m rm
M+m
, r = rm − rM
(8.55)
donde r es la posición relativa. Claramente
rm = R +
M
m
r , rM = R −
r
m+M
m+M
(8.56)
Luego conocidos R y r podemos obtener rm y rM . La ecuación de movimiento para R es:
˙Ṙ = MaM + mam = 0
M+m
222
(8.57)
8. Sistemas de partículas
y expresa la conservación de la cantidad de movimiento del sistema. Si R0 y V0 son la posición
y la velocidad iniciales del CM la solución de (8.57) es R = R0 + V0t .
La ecuación de movimiento de r es
r˙˙ =
F
µ
, µ=
mM
m+M
(8.58)
La ecuación (8.58) describe el movimiento relativo y representa el movimiento de una única
partícula ficticia de masa µ (que se llama masa reducida) que se mueve bajo la acción de la
fuerza F. Claramente si M >> m , µ ≈ m . Como F es central, el movimiento relativo es el de una
partícula de masa µ en un campo de fuerzas centrales con centro en el origen que ya estudiamos
en el Capítulo 7.
Vemos así que la conservación de la cantidad de movimiento permite separar el problema de dos
cuerpos en dos problemas más sencillos.
Aplicación al movimiento planetario
Podemos aplicar estos resultados para analizar el movimiento de un planeta (m) alrededor del
Sol (M) que estudiamos en el Capítulo 7 suponiendo al Sol inmóvil. Es evidente que todos los
resultados obtenidos en ese Capítulo siguen valiendo con tal de sustituir en lugar de m la masa
reducida
µ=
mM
m+M
(8.59)
En particular la expresión de la III Ley de Kepler es ahora
T2 =
4π 2
µ a3 , C = GmM
C
(8.60)
4π 2
1
a3
MG 1 + m / M
(8.61)
o sea
T2 =
de aquí se ve que la proporcionalidad
T 2 ~ a3
(8.62)
que obtuvimos en el Capítulo 7 es sólo aproximada por la presencia en la (8.61) del factor
1
m
≈1−
1+ m/ M
M
(8.63)
En el caso de los planetas m << M y por lo tanto la aproximación (8.62) es buena.
Colisiones
Las colisiones son fenómenos que ocurren en todas las escalas del Universo. Se dan desde la
escala subnuclear cuando involucran las partículas fundamentales que mencionamos en la Introducción, hasta la escala cósmica como en los choques entre galaxias que estudian los astró223
8. Sistemas de partículas
nomos. En la escala humana comprenden los choques entre automotores que todo el mundo tuvo
ocasión de observar, acciones cotidianas como la de patear una pelota y son parte esencial de
juegos como las bochas, el billar, los bolos y juegos infantiles como las bolitas o canicas.
No es sencillo caracterizar de una manera única y general una gama tan vasta de fenómenos,
pero sin pretensión de rigor podemos decir que una colisión es un proceso que involucra dos o
más objetos que inicialmente estaban separados (estado inicial) y que de repente se encuentran
todos juntos en una pequeña región del espacio donde interactúan durante un intervalo breve de
tiempo (Fig. 8.5). De resultas de la interacción pueden ocurrir muchas cosas distintas. Puede
ocurrir que los objetos salgan de la región de interacción tal como entraron a la misma, eventualmente habiendo cambiado su velocidad (y su cantidad de movimiento) como sucede cuando
chocan dos bolas de billar. Pero también puede ocurrir que sufran transformaciones que cambian
su forma, su estructura interna e incluso su naturaleza, que se combinen entre sí o que se rompan
en pedazos, etc. Según sean las características de los objetos que salen de la región de
interacción en relación con las características de los que entraron en la misma las colisiones se
clasifican en diversos tipos. Pero en todos los casos los objetos que quedan después de la colisión (estado final) están separados y ya no interactúan (Fig. 8.5).
Antes de la colisión
Colisión (δt)
Después de la colisión
Fig. 8.5. Representación esquemática de una colisión.
Salta a la vista que el estudio de las colisiones es muy complejo y que la forma de encararlo depende del tipo de colisión. Pero todos los casos tienen una característica común que es que el
objetivo del estudio es encontrar la relación entre el estado final y el estado inicial. Para ello se
requiere conocer los procesos que ocurren en la región de interacción, es decir conocer las fuerzas que actúan. Sin embargo hay resultados de carácter general que no dependen de los detalles
de lo que ocurre en la región de interacción, porque provienen de la conservación de la cantidad
de movimiento y de la conservación de la energía (en todas sus formas, no solamente la energía
mecánica!) que se cumplen porque el sistema se puede considerar aislado durante el proceso que
lleva del estado inicial al estado final.
En este Capítulo consideraremos solamente colisiones binarias, es decir colisiones en que intervienen dos cuerpos y en condiciones en que se puede aplicar la Mecánica Newtoniana (esto excluye las colisiones entre partículas subatómicas, entre otras). También nos limitaremos a considerar colisiones en que los objetos que chocan no cambian su naturaleza, no se combinan entre
sí ni se rompen en pedazos. Oportunamente haremos otras hipótesis.
224
8. Sistemas de partículas
Choque elástico de masas puntiformes
Sea una masa m1 que inicialmente se mueve con la velocidad v0 hasta que choca con una masa
m2 inicialmente en reposo (para fijar ideas el lector puede imaginar que se trata de dos bochas).
La interacción entre m1 y m2 ocurre durante un intervalo δt muy corto durante el cual se ejercen entre ellas fuerzas muy intensas cuyos detalles por el momento no conocemos. Luego de la
interacción las velocidades de las masas son v1 y v2 (Fig. 8.6).
En estas condiciones el sistema ( m1 , m2 ) se puede considerar aislado porque durante el breve
intervalo δt se puede despreciar el impulso de las fuerzas externas que pudieran estar actuando.
Por lo tanto se conserva la cantidad de movimiento P del sistema y podemos escribir
P = p0 = p1 + p2 = cte.
(8.64)
donde p10 = m1v10 = p0 , p20 = m2v20 = 0 y p1 = m1v1 , p2 = m2v2 son las cantidades de movimiento de m1 y m2 antes y después de la colisión, respectivamente.
m1
v1
m1
θ1
m2
v10=v0
v20=0
θ2
v2
m2
Antes de la colisión
Colisión (δt)
Después de la colisión
Fig. 8.6. Choque de dos masas puntiformes.
Por el momento no haremos hipótesis acerca de las fuerzas de interacción, salvo suponer que son
conservativas de modo que se conserva la energía mecánica del sistema, esto es
E=
1 2
1 2
1 2
p0 =
p1 +
p2 = cte.
2 m1
2 m1
2 m2
(8.65)
que multiplicando por 2 m1 podemos escribir como
p02 = p12 + α p22 = cte ′ . , α ≡ m1 / m2
(8.66)
También se conserva la energía mecánica asociada con el movimiento del CM ( ECM = P 2 / 2 M
y P se conserva por estar aislado el sistema) así como la energía mecánica interna (porque las
fuerzas de interacción son conservativas). Los choques que cumplen las leyes de conservación
(8.64) y (8.66) se llaman elásticos. Veremos ahora las consecuencias de esas leyes.
225
8. Sistemas de partículas
Consideremos lo que se ve desde el referencial del baricentro, cuya velocidad es
V=
α
v0
α +1
(8.67)
de acuerdo con la primera de las (8.3). Antes del choque tendremos que
1
α
v0 , V20 = −V = −
v0
α +1
α +1
(8.68)
1
1
p0 , P20 = m2V10 = −
p0
α +1
α +1
(8.69)
1
α
(v1 − v2 ) , V2 = v2 − V = −
(v1 − v2 )
α +1
α +1
(8.70)
V10 = v0 − V =
de modo que
P10 = m1V10 =
Después del choque tendremos que
V1 = v1 − V =
que podemos escribir de la forma
P1 =
1
1
( p1 − α p2 ) , P2 = −
( p1 − α p2 )
α +1
α +1
(8.71)
Se ve que
P20 = − P10 , P2 = − P1
(8.72)
como debe ser en virtud de la segunda de las (8.5).
B
P1
C
A'
ψ
A
v0
P10
P20
P2
p0
α +1
B'
Fig. 8.7. Choque elástico de dos partículas visto desde el referencial del baricentro.
Por otra parte la conservación de la energía cinética interna requiere que
2 = P 2 + αP 2
P102 + αP20
1
2
226
(8.73)
8. Sistemas de partículas
que usando las (8.72) muestra que
P2 = P20 = P1 = P10 =
1
p0
α +1
(8.74)
Los resultados (8.72) y (8.74) se muestran en la Fig. 8.7, donde los vectores P10 , P20 , P1 , P2 se
dibujaron a partir del mismo punto C de modo que sus extremos están sobre una circunferencia
de radio p0 /(α + 1) , en puntos diametralmente opuestos los del par ( P10 , P20 ) y el par ( P1 , P2 ).
Volviendo ahora al referencial del laboratorio, de v10 = V10 + V tenemos que
p10 = p0 = P10 +
α
p0
α +1
(8.75)
de manera que en el mismo diagrama podemos representar p0 como un vector que va desde el
punto O situado a la distancia α p0 /(α + 1) a la izquierda de C hasta el punto A, y que tiene la
misma dirección y sentido que P10 (Fig.8.8).
B
θ'1 θ
2
p1
O
P1
θ1
C
α p
α +1 0
ψ
B
θ2
θ'1
p1
p2
A
O
θ1
P1
C
α p
α +1 0
1 p
α +1 0
(a)
θ2
ψ
p2
θ2
A
1 p
α +1 0
(b)
Fig. 8.8. Choque elástico de dos partículas visto desde el referencial del laboratorio. (a)
α < 1; (b) α > 1.
Si α < 1 ( m1 < m2 ) O está dentro del círculo (Fig. 8.8a) y si α > 1 ( m1 > m2 ) O está fuera del
círculo (Fig. 8.8b). De v1 = V1 + V resulta
p1 = P1 +
α
p0
α +1
(8.76)
y por lo tanto p1 se representa en la Fig. 8.8 como el vector que va de O a B y forma un ángulo
θ1 con p0 . En cuanto a p2 , de v2 = V2 + V se obtiene
p2 = P2 +
1
p0
α +1
(8.77)
Si imaginamos desplazar P 2 de modo que su origen sea B vemos que p2 es el vector de B a A.
Se debe observar que cuando α > 1 (O fuera del círculo) se debe cumplir que θ1 ≤ θ * donde
θ * = arcsen(1 / α ) = arcsen(m2 / m1 )
227
(8.78)
8. Sistemas de partículas
Con la ayuda de la Fig. 8.8 es fácil resolver los triángulos OBA, OBC y CBA para expresar todas
las cantidades en términos de p0 y θ1 . De OBC obtenemos sen θ1′ = α sen θ1 de modo que
θ1′ = arcsen(α sen θ1 )
(8.79)
y además
p1 = p0
1
(α cosθ1 ± cosθ1′ )
α +1
(8.80)
donde se usa el signo – si α > 1 y θ1′ > π / 2 , y el signo + en los demás casos. De OBA resulta
θ 2 = (π − θ1 − θ1′ ) / 2
(8.81)
ψ = π − 2θ 2 = θ1 = θ1′
(8.82)
Finalmente de CBA de obtiene
y
p2 = p0
2
cosθ 2
α +1
(8.83)
Hasta aquí se llega a partir de la conservación de la cantidad de movimiento y la energía mecánica.
B
π/2
p1
O
θ1
P1
C
ψ
p2
θ2
p0
2
p0
2
A
Fig. 8.9. Choque elástico de dos partículas de igual masa visto desde el referencial del laboratorio.
El caso α = 1 ( m2 = m1) es el más sencillo y figura en muchos textos. De la Fig. 8.9 se ve que
θ1′ = θ1 , θ 2 = π / 2 − θ1 , θ = π / 2 ψ = 2θ1
p1 = p0 cosθ1 ,
p2 = p0 cosθ 2 = p0 sen θ1
de donde resulta que el ángulo entre p1 y p2 es siempre de 90˚.
228
(8.84)
8. Sistemas de partículas
Choque elástico de esferas rígidas
Se debe observar que la conservación de la cantidad de movimiento y de la energía mecánica por
sí solas no permiten alcanzar la solución del problema porque no nos dicen que relación hay
entre θ1 y las condiciones iniciales. En efecto, cualquier posición del punto B sobre la circunferencia de la Fig. 8.8 nos da una solución compatible con las condiciones (8.64) y (8.66). Para
saber algo más es necesario hacer alguna hipótesis acerca de lo que sucede en la región de interacción, para lo cual hay que proponer un modelo. Hay muchas maneras de hacerlo, dependiendo de cuál es el choque elástico que nos interesa investigar.
Si nos interesa describir el choque elástico de dos bochas el modelo que mejor se aproxima a la
realidad es suponer que las mismas se comportan como esferas rígidas. Sean entonces m1 y m2
dos esferas rígidas de radios r1 y r2 . De la Fig. 8.10 resulta evidente que lo que ocurra dependerá
de si el choque es frontal (Fig. 8.10a) u oblicuo (Fig. 8.10b). Esto depende de q, que se llama
parámetro de impacto y es la distancia mínima entre el centro de m1 y el centro de m2 que se
alcanzaría si no hubiera interacción entre las partículas.
p0
r1
r2
m1
m2
q
p0f
β
p0t
p0
(a)
(b)
Fig. 8.10. Choque frontal (a) y choque oblicuo (b) de dos esferas rígidas.
Choque frontal
El choque frontal ocurre si q = 0 y en este caso (Fig. 8.10a) es evidente que θ 2 = 0 y que θ1 = 0
si α > 1 (en cuyo caso m1 se sigue moviendo hacia adelante) o bien θ1 = π si α < 1 (en cuyo
caso m1 rebota hacia atrás). Si α = 1 ( m2 = m1) el ángulo θ1 queda indeterminado pues en este
caso p1 = 0 y p2 = p0 o sea que después del choque m1 queda en reposo pues cedió toda su
cantidad de movimiento a m2 . En general la cantidad de movimiento inicial se reparte entre m1
y m2 y se tiene que
p1 =
α −1
p0 ,
α +1
p2 =
2
p0
α +1
(8.85)
fórmulas que valen para cualquier valor de α.
Choque oblicuo
Para tratar este caso recordemos que el movimiento tiene lugar en el plano Σ definido por p0 y
el centro de m2 (plano de la Fig. 8.10b). Sea Π el plano tangente a las esferas en el punto de
ˆ√ versor de Σ paralelo a Π y nˆ el
√ˆ ˆversor de Σ ortogonal a Π y que apunta hacia el
contacto, tˆ el
centro de m2 . El ángulo β entre p0 y n̂ se llama ángulo de oblicuidad y está determinado por el
parámetro de impacto por medio de
sen β = q / d , d ≡ r1 + r2
229
(8.86)
8. Sistemas de partículas
Podemos entonces poner
p0 = p0,n + p0,t
,
p0,n = nˆ p0 cos β ,
p0,t = tˆp0 sen β
(8.87)
Si no hay rozamiento entre las esferas toda transferencia de cantidad de movimiento entre ellas
es en la dirección normal. Luego después del choque la cantidad de movimiento de m1 es
p1 = p1,n + p1,t
,
p1,t = p0,t
(8.88)
y la de m2 es
p2 = p2,n
(8.89)
Además en la dirección normal podemos considerar que el choque es frontal y usar los
resultados (8.85) para escribir
p1,n =
α −1
α −1
2
2
p0,n =
nˆ p0 cos β , p2,n =
p0,n =
nˆ p0 cos β
α +1
α +1
α +1
α +1
(8.90)
y sustituyendo las (8.90) en (8.88) y (8.89) resulta
p2 =
2
nˆ p0 cos β
α +1
(8.91)
Comparando este resultado con (8.83) obtenemos
θ2 = β
(8.92)
luego el ángulo con el que sale despedida la masa blanco es igual al ángulo de oblicuidad.
También obtenemos
p1 =
2
α −1
2
cos β 
nˆ p0 cos β + tˆp0 sen β , p1 = p0 1 − α 
α +1

α +1
(8.93)
Finalmente de cosθ1 = p0 ⋅ p1 / p0 p1 resulta
2
cos2 β
+
1
α
cosθ1 =
2
2


1−α
cos β
α +1

1−
(8.94)
fórmula que nos permite calcular θ1 en función del parámetro de impacto, con lo cual queda
resuelto el problema.
Si α = 1 la (8.94) se simplifica y queda
cosθ1 = sen β =
en concordancia con (8.84) y (8.92).
230
q
d
(8.95)
8. Sistemas de partículas
En la Fig. 8.11 se muestra θ1 (q ) para el choque elástico de dos esferas rígidas (ec. (8.94)).
180
150
120
α = 0.8
θ1
90
α = 1.0
60
30
α = 1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
q/d
Fig. 8.11. La desviación del proyectil en función del parámetro de impacto para el choque
elástico de dos esferas rígidas.
Colisiones inelásticas
Hay una enorme variedad de colisiones inelásticas. Desde luego en todos los casos se cumple la
conservación de la cantidad de movimiento pero no hay conservación de la energía mecánica.
Aquí consideraremos tres casos sencillos al solo objeto de mostrar como se pueden analizar.
Captura
Esta es una colisión en que el proyectil ( m1 ) y el blanco ( m2 ) se combinan para formar una
única partícula compuesta cuya masa M es la suma de m1 y m2 y cuya cantidad de movimiento
es p f . Si el blanco está inicialmente en reposo y p0 = m1v0 es la cantidad de movimiento del
proyectil, la conservación de la cantidad de movimiento impone que
p f = p0
(8.96)
Después de la colisión la velocidad de la partícula compuesta es
vf = V =
α
v0
α +1
(8.97)
donde V es la velocidad del baricentro y α ≡ m1 / m2 . Luego la partícula compuesta se mueve en
la dirección de v0 . La energía mecánica interna antes del choque es puramente cinética y vale
Tint,0 =
p02
p2
1
1
− 0 = T0
= µv02
2 m1 2 M
α +1 2
231
(8.98)
8. Sistemas de partículas
donde T0 = p02 / 2 m1 es la energía mecánica inicial y µ es la masa reducida del sistema. Después
del choque la energía mecánica interna de traslación es nula. Por lo tanto en el proceso se pierde
la fracción 1 /(α + 1) de la energía mecánica inicial. Esta energía perdida se transforma en otra
clase de energía pero los detalles de tal transformación no se pueden deducir de la conservación
de la cantidad de movimiento. Para ello hay que ir más allá del modelo de partículas puntiformes
y refinar la descripción del proyectil, el blanco y su interacción. Veamos un ejemplo para concretar: supongamos que un balín de plomo se incrusta en una bocha esférica de madera de radio
R (Fig. 8.12). Trataremos el proyectil como puntiforme. Antes de la colisión el momento angular
interno del sistema proviene del movimiento de traslación de m1 y m2 respecto del centro de
masa y su módulo vale
Lint, tras =
1
qp0 = qµv0
α +1
(8.99)
Después de la colisión no hay movimiento de traslación de m1 y m2 respecto del centro de
masa, pero la conservación del momento angular implica que la partícula compuesta debe tener
un momento angular que no puede provenir de otra cosa que de su rotación. En efecto si el impacto es oblicuo ( q ≠ 0 ) el cuerpo compuesto (la bocha con el balín incrustado) gira con una
velocidad angular ω y posee una energía cinética (interna) de rotación, que proviene de la energía cinética interna de traslación que se perdió en el proceso (parte de la misma, no toda).
ω
m1
m1
p0
CM p0
q
CM r p0
R
R
m2
m2
(a)
(b)
Fig. 8.12. Balín que se incrusta en una esfera.
Podemos calcular la energía cinética de rotación del cuerpo compuesto usando los resultados que
se deducen en el Capítulo 10. Supongamos que el balín queda incrustado a una distancia r del
centro de la bocha. El momento de inercia de una esfera que rota alrededor de su centro es
2 m2 R2 / 5 y el centro está a la distancia m1r / M del centro de masa. Por lo tanto en virtud del
Teorema de Steiner el momento de inercia de la bocha respecto del centro de masa del sistema
compuesto vale 2 m2 R2 / 5 + m2 ( m1 / M )2 r 2 . Por otra parte el balín está a la distancia m2 r / M
del centro de masa y su momento de inercia respecto de ese punto es m1 ( m2 / M )2 r 2 . Luego el
momento de inercia del sistema compuesto respecto del centro de masa es
ICM =
m 2
m 2
2
2
m2 R2 + m2  1  r 2 + m1  2  r 2 = m2 R2 + µr 2
 M
 M
5
5
232
(8.100)
8. Sistemas de partículas
El momento angular de rotación del sistema compuesto es Lrot = ICMω y por conservación del
momento angular se debe cumplir que Lrot = Lint, tras . De esta igualdad podemos obtener
ω=
qµv0
ICM
(8.101)
La energía cinética de rotación del sistema compuesto es entonces
Trot = 12 ICMω 2 =
q 2 µ 2 v02
1
2 2
2
2
5 m2 R + µr
(8.102)
Es interesante comparar Trot con Tint,0 . De (8.98) y (8.102) obtenemos
q2
Trot
=
Tint,0
2
5
M 2
R + r2
m1
(8.103)
Ahora bien, seguramente r ≥ q según la profundidad a la que queda incrustado el balín, y desde
luego R ≥ q . Por lo tanto
Trot
5α
5
≤
<
Tint,0 2 + 7α 7
(8.104)
Este resultado muestra que sólo una fracción (en general pequeña) de Tint,0 se convierte en energía cinética de rotación. El resto se gasta en el trabajo requerido para que el balín penetre en la
bocha.
Reacción
Consideremos el choque de una molécula A (de masa m A y velocidad v A ) con una molécula B
(de masa mB y velocidad v B ) en el que ocurre una reacción química de resultas de la cual se
producen las moléculas C (de masa mC y velocidad vC ) y D (de masa mD y velocidad v D ):
A+ B→C+ D+Q
(8.105)
Aquí A y B se denominan reactivos, C y D productos y Q indica la energía química liberada (si
Q > 0 ) o absorbida (si Q < 0 ) en el proceso, que se dice exotérmico en el primer caso y endotérmico en el segundo. En una reacción exotérmica los reactivos pierden energía química, la que
se convierte en energía cinética de los productos. Viceversa en una reacción endotérmica los
productos ganan energía química a expensas de la energía cinética de los reactivos. Trataremos
la moléculas como puntiformes, por lo tanto en la reacción se cumplen las siguientes leyes de
conservación:
(a) conservación de la masa:
m A + mB = mC + mD = M
(8.106)
(b) conservación de la cantidad de movimiento:
p A + pB = pC + pD = P
233
(8.107)
8. Sistemas de partículas
donde P = MV es la cantidad de movimiento del sistema. Si PA , PB , PC , PD son las cantidades
de movimiento de las partículas en el sistema del centro de masa, se cumple
PB = − PA , PD = − PC
(8.108)
en virtud de la (8.5).
(c) conservación de la energía (mecánica + química):
PC2
P2
P2
P2
+ D = A + B +Q
2 mC 2 mD 2 m A 2 mB
(8.109)
Veamos ahora que consecuencias se pueden deducir de las (8.106-8.109). De (8.108) y (8.109)
resulta
PC2
P2
m A mB
= A + 2Q , µ AB =
m A + mB
µCD µ AB
, µCD =
mC mD
mC + mD
(8.110)
donde µ AB , µCD son las masas reducidas de los sistemas (A, B) y (C, D), respectivamente. De
aquí obtenemos
 P2

PC = µCD  A + 2Q
 µ AB

(8.111)
C
C
pC
PC
CM
B
ψ
A
vA
O
θC
θ'C
CM
pD
θD
A
pA
PA
PB
θ'D
ψ
PD
mC
P
M
D
(a)
mD
P
M
(b)
Fig. 8.13. Una reacción química: (a) vista desde el centro de masa; (b) vista desde el
referencial del laboratorio, en el cual la molécula B está en reposo.
La relación (8.111) depende de 4 parámetros independientes, que podemos tomar como
ε ≡ Q / M (la energía química específica liberada en la reacción), PA / M , η ≡ m A / M y
ζ ≡ mC / M . Se debe notar que una reacción endotérmica ( Q < 0 ) no se puede producir si
PA2 < −2 µ ABQ
234
(8.112)
8. Sistemas de partículas
esto es, si la energía mecánica interna del sistema (A, B) no alcanza para proveer la energía química necesaria para la reacción. Claramente si µ AB = µCD se tiene que PC > PA para reacciones
exotérmicas y PC < PA para reacciones endotérmicas. Pero cuando µ AB ≠ µCD no resulta obvio
de la (8.111) si PC es mayor o menor que PA . Así puede ocurrir que en una reacción endotérmica se tenga que PC > PA y también que en una reacción exotérmica PC < PA .
En cualquier caso, una vez determinada la relación entre PC y PA se puede usar una construccion geométrica semejante a la que empleamos antes para estudiar colisiones elásticas. Por
ejemplo en la Fig. 8.13 se muestra un caso particular de reacción química vista desde el
referencial del centro de masa y desde el referencial en que la molécula B está en reposo.
Procediendo de manera análoga a como hicimos para la colisión elástica podemos entonces
calcular pC , pD y los ángulos θ C′ , θ D , θ D
′ y ψ en función de pA y θ C .
No seguiremos profundizando este tema aquí, ni consideraremos reacciones que dan lugar a tres
o más productos.
Choque de esferas no rígidas
Volvamos por un momento al choque frontal elástico de dos esferas rígidas considerado antes.
La velocidad relativa antes del choque es v10 − v20 = v10 (porque hemos supuesto que inicialmente m2 está en reposo). Es fácil verificar que después del choque v1 − v2 = −v0 . Por lo tanto
en un choque frontal elástico la velocidad relativa cambia de signo. Esto es una consecuencia de
la conservación de la energía cinética interna de traslación. Sin embargo la experiencia muestra
que esto no ocurre en la práctica. Todo el mundo ha visto que cuando una pelota cae y rebota en
el piso no vuelve a subir a la misma altura debido a que en el choque contra el piso se pierde una
parte de la energía cinética interna de traslación (del sistema pelota + piso). Cosa semejante ocurre en mayor o menor medida para todas las colisiones entre cuerpos extensos, fundamentalmente porque en toda colisión real los cuerpos sufren deformaciones. A veces estas deformaciones son plásticas (o sea deformaciones permanentes), que son procesos en los que no se conserva la energía mecánica. En otros casos (como el de la pelota que rebota contra el piso) los
cuerpos sufren deformaciones elásticas que conservan la energía mecánica, pero no la energía
cinética de traslación pues de resultas del choque parte de ella se gasta en excitar vibraciones de
los cuerpos, que son movimientos que poseen energía mecánica, por eso la energía cinética de
traslación del sistema después del choque es menor que la que tenía inicialmente. A la larga las
vibraciones se amortiguan y su energía se disipa pero los cuerpos recuperan su forma inicial.
Para tratar estos casos, tanto si las deformaciones son plásticas como si son elásticas, se suele
introducir un coeficiente de restitución e ≤ 1 y se escribe
v1 − v2 = −e(v10 − v20 )
(8.113)
Si e = 1 se recuperan los resultados del choque elástico de dos esferas rígidas (es decir que no se
deforman ni elásticamente ni plásticamente). Si e < 1 se suele hablar de “choque plástico” aunque esta denominación puede llevar a confusión pues como acabamos de ver muchos choques
con e < 1 no son plásticos, porque los cuerpos que chocan no sufren deformaciones permanentes.
Por eso aquí preferimos hablar de choques de cuerpos no rígidos para subrayar el hecho que un
cuerpo rígido se puede imaginar como el límite de un cuerpo elástico, cuando los módulos elásticos del mismo (ver el Capítulo 12) tienden al infinito de modo que las deformaciones que sufre
235
8. Sistemas de partículas
al chocar son nulas, entonces la amplitud de las vibraciones es nula y la energía mecánica de
traslación se conserva.
Al usar la (8.113) se suele suponer que e es una constante cuyo valor depende solamente de la
naturaleza de los cuerpos involucrados y no del módulo | v10 − v20 | de la velocidad relativa. Así
haremos, pero poniendo en guardia al lector que se trata de una aproximación que no siempre se
cumple bien. Hecha esta salvedad es fácil extender el análisis del choque de esferas rígidas al
caso de esferas no rígidas. Usamos la misma notación que empleamos en esa ocasión e igual que
antes suponemos que inicialmente el blanco m2 está en reposo y que no hay rozamiento de
modo que toda transferencia de cantidad de movimiento entre m1 y m2 es en la dirección
normal. La cantidad de movimiento P del sistema se conserva y podemos escribir como antes
p1 + p2 = p0 = P = cte.
(8.114)
Todo el tratamiento que hicimos entonces para las componentes tangenciales de las cantidades
de movimiento sigue valiendo ahora y no hace falta repetirlo. La única novedad aparece al tratar
las componentes normales. De
p1,n + p2,n = p0,n
(8.115)
v2,n = α (v0,n − v1,n )
(8.116)
obtenemos
Por otra parte aplicando la (8.113) a la componente normal de la velocidad relativa resulta
v1,n − v2,n = −ev0,n
(8.117)
Resolviendo el sistema (8.117)-(8.117) encontramos
v1,n =
α −e
1+ e
v0,n , v2,n = α
v0,n
α +1
α +1
(8.118)
Recordando que la velocidad del baricentro (V) está dada por la (8.67), que V1,n = v1,n − Vn y que
V2,n = v2,n − Vn podemos obtener
P1,n = −
e
e
p0 cos β , P2,n =
p0 cos β = − P1,n
α +1
α +1
(8.119)
ya que p0,n = p0 cos β ; aquí β es el ángulo de oblicuidad, que se relaciona con el parámetro de
impacto q por medio de la (8.86). En cuanto a las componentes tangenciales siguen valiendo los
resultados anteriores:
P1,t =
1
1
p0 sen β , P2,t = −
p0 sen β = − P1,t
α +1
α +1
(8.120)
De (8.119) y (8.120) se obtiene que
2
2
2
2
 P1,n 
 P1,t 
 P2,n 
 P2,t 

 +
 =1 , 
 +
 =1
 ρ 
 eρ 
 ρ 
 eρ 
236
(8.121)
8. Sistemas de partículas
donde hemos introducido la notación
ρ=
1
p0
α +1
(8.122)
Estos resultados se representan gráficamente en la Fig. 8.14a y muestran que P2 = − P1 y que los
extremos de esos vectores están sobre una elipse cuyo semieje mayor es ρ y está en la dirección
tangencial y cuyo semieje menor es eρ y está en la dirección normal. Si e = 1 la elipse es un
círculo y se recuperan los resultados del choque de esferas rígidas.
`
t
`
t
P1
P10,t
A'
B
ρ
ψ
P20
β
C
θ'1
P10,n
P10
A p0
P1
θ'2
ψ
θ1
O
p0
eρ
α p
α +1 0
n`
β
C
P2
θ2
A p0
1 p
α +1 0 n`
P2
(a)
(b)
Fig. 8.14. Colisión de esferas no rígidas: (a) vista desde el referencial del centro de masa;
(b) vista desde el laboratorio donde inicialmente m2 está en reposo.
Es sencillo calcular la variación de la energía cinética interna ∆Tint = Tint, final − Tint,inicial debida
a la colisión. El resultado es
∆Tint
Tint,inicial
= (e2 − 1)cos2 β ≤ 0
(8.123)
Luego la pérdida de energía depende del coeficiente de restitución y es nula solamente si e = 1.
Además si e < 1 la pérdida depende del ángulo de oblicuidad y es máxima para el choque frontal
( β = 0 ) como es lógico porque proviene de la componente normal de la velocidad relativa.
Conociendo P1 y P2 es fácil encontrar que
p1 =
α
p0 + P1 ,
α +1
p1 =
1
p0 + P2
α +1
(8.124)
En la Fig. 8.14b se muestra la construcción geométrica correspondiente, de la que se ve que
θ2 = β
(8.125)
como debe ser dado que en el referencial del laboratorio p2 es puramente normal cualquiera sea
el valor del coeficiente de restitución. Con la ayuda de la Fig. 8.14b es fácil resolver los triángulos OBA, OBC y CBA para expresar cualquier cantidad de interés en términos de p0 y del
parámetro de impacto.
237
8. Sistemas de partículas
Sección eficaz
Muchas veces en los experimentos que involucran colisiones no se estudia un único choque sino
que se lleva a cabo una estadística sobre un número muy grande de ellos. Típicamente en estos
experimentos se hace incidir un haz uniforme de partículas de tipo 1 (de masa m1 ) sobre un
blanco que consiste de una distribución también uniforme de partículas de tipo 2 (de masa m2 )
en reposo. Si el haz incide desde la izquierda (Fig. 8.15), suficientemente lejos de la región de
interacción se tienen partículas de los tipos 1 y 2 (de los tipos 1′ y 2 ′ si las colisiones involucran
cambios de la naturaleza de las partículas como ocurre en reacciones químicas) que han chocado
y han sido dispersadas en varias direcciones por las interacciones que han sufrido. La cantidad
dn1 (θ1, ϕ1 ) de partículas del tipo 1 dispersadas en las direcciones comprendidas entre θ1 y
θ1 + dθ1 y ϕ1 y ϕ1 + dϕ1 se determina contando las que son recogidas por un detector ubicado
lejos de la región de interacción en la dirección (θ , ϕ ) y que subtiende el ángulo sólido
dΩ = dθ dϕ sen θ . Análogamente se procede para las partículas dispersadas del tipo 2.
dϕ senθ
detector
dΩ = dθ dϕ senθ
dθ
ϕ
θ
p0
haz
blanco
Fig. 8.15. Experimento para estudiar colisiones: un haz uniforme de partículas tipo 1 incide sobre un blanco que consiste de una distribución uniforme de partículas tipo 2 en reposo. La cantidad dn1 (θ1, ϕ1 ) de partículas tipo 1 dispersadas en las direcciones comprendidas entre θ1 y θ1 + dθ1 y ϕ1 y ϕ1 + dϕ1 se determina por medio de un detector ubicado
lejos de la región de interacción en la dirección (θ, ϕ ) y que subtiende el ángulo sólido
dΩ = dθ dϕ sen θ .
La interpretación de los resultados experimentales se basa en el concepto de sección eficaz, que
permite relacionar los datos obtenidos en el laboratorio con lo que ocurre en cada colisión.
El número de partículas que en la unidad de tiempo incide sobre el blanco, por unidad de área
del blanco (la intensidad del haz incidente), es I1 = n1v0 , donde v0 es la velocidad de las partículas del haz y n1 es su densidad (número de partículas por unidad de volumen). El número de
238
8. Sistemas de partículas
partículas tipo 2 por unidad de área del blanco es N2 = n2 l , donde n2 es la densidad del blanco
y l su espesor. Vamos a suponer que n1 y n2 son pequeños para que se puedan despreciar las
interacciones entre partículas del mismo tipo y al mismo tiempo que l es también pequeño de
modo que cada partícula tipo 1 interactúa cuanto mucho una sola vez con una partícula tipo 2 (es
decir que no sufre colisiones múltiples). En estas condiciones el número dnΩ de partículas tipo 1
(omitimos los suscriptos 1 y 2 porque no puede haber confusión) que recoge el detector ubicado
en la dirección (θ, ϕ) en un intervalo de tiempo dt es proporcional a dt , a la sección transversal
S del haz y a I, N y al ángulo sólido dΩ subtendido por el detector. Podemos escribir entonces
que
dnΩ (θ , ϕ ) = dt S I N σ Ω (θ , ϕ ) dΩ
(8.126)
En esta expresión el factor de proporcionalidad σ Ω (θ , ϕ ) tiene las dimensiones de área y depende de las características de la colisión. Se llama sección eficaz diferencial de dispersión por
unidad de ángulo sólido y es la magnitud que se mide en experimentos como el que se representa
en la Fig. 8.15. Para colisiones entre esferas y entre cuerpos de forma cualquiera, pero orientados
al azar tanto los del haz como los del blanco, es evidente que dnΩ y σ Ω no dependen de ϕ. Pero
dnΩ y σ Ω dependen de ϕ si las colisiones involucran cuerpos de forma no esférica que no están
orientados al azar (como ocurre en el juego de bolos).
A veces interesa contar todas las partículas dispersadas entre θ y θ + dθ , cualquiera sea el acimut ϕ, es decir las partículas dispersadas en el ángulo sólido dΩ = 2π dθ sen θ , para lo cual hay
que emplear un detector que recoja las partículas que pasan por el anillo punteado de la Fig.
8.15. El número dnθ de partículas que recoge tal detector en el intervalo dt es
dnθ (θ ) = dt S I N σ θ (θ ) dθ
(8.127)
Aquí σ θ (θ ) es la sección eficaz diferencial por unidad de ángulo de desviación. Puesto que
dnθ (θ ) = ∫
2π
0
dnΩ (θ , ϕ ) dϕ
(8.128)
se tiene en general que
2π
σ θ (θ ) = sen θ ∫ σ Ω (θ , ϕ ) dϕ
(8.129)
0
Cuando σ Ω no depende de ϕ la integral se calcula de inmediato y se obtiene que
σ θ (θ ) = 2π sen θ σ Ω (θ )
(8.130)
El número dn de partículas que chocaron en dt y fueron dispersadas en cualquier dirección es
π
π
0
0
dn = dt S I N σ = ∫ dnθ (θ ) dθ = ∫ sen θ dθ
2π
∫0
dnΩ (θ , ϕ ) dϕ
(8.131)
de donde obtenemos la sección eficaz total de colisión:
π
π
0
0
σ = ∫ σ θ (θ ) dθ = ∫ sen θ dθ
239
2π
∫0
σ Ω (θ , ϕ ) dϕ
(8.132)
8. Sistemas de partículas
dϕ senθ
dΩ = dθ dϕ senθ
p0
haz
dθ
q+dq
ϕ
θ
q
partícula blanco
Fig. 8.16. La desviación del proyectil en función del parámetro de impacto en un choque.
Para calcular σ Ω precisamos conocer dnΩ . Consideraremos el caso en que σ Ω no depende de
ϕ, entonces basta calcular dnθ en vista de la (8.130). Claramente las partículas tipo 1 se desvían
entre θ y θ + dθ si pasan a la distancia correcta de una partícula del tipo 2, esto es, si su
parámetro de impacto está comprendido entre q y q + dq (Fig. 8.16). Luego dnθ es el número de
partículas incidentes que en dt atraviesan un anillo de radio interior q y radio exterior q + dq , o
sea de área 2π q dq alrededor de una partícula del blanco, luego
dnθ (θ ) = dt S I N 2π q dq = dt S I N 2π q
dq
dθ
dθ
(8.133)
donde tomamos el módulo de dq / dθ porque dnθ es positivo por definición. Comparando esta
expresión con la (8.127) obtenemos el resultado buscado:
dq
dθ
(8.134)
q dq
sen θ dθ
(8.135)
σ θ (θ ) = 2π q
De aquí y recordando la (8.130) obtenemos
σ Ω (θ ) =
Si se cuenta con un modelo que describe los detalles de la colisión se puede calcular la
desviación del proyectil en función del parámetro de impacto q = d sen β y usando la (8.134) o
la (8.135) se puede obtener la sección eficaz correspondiente. En general para toda colisión se
tiene pues que θ = f (q ) , donde la función f depende de las características de la interacción entre
el proyectil y el blanco. A modo de ejemplo calcularemos la sección eficaz de colisión elástica
240
8. Sistemas de partículas
de esferas rígidas. Para eso usamos la (8.94) que junto con la (8.86) nos da q en función del
parámetro de impacto. Con un poco de álgebra se obtiene
q 2 = 12 d 2 [1 + cos(θ + θ ′)] y q 2 = 12 d 2 [1 − cos(θ − θ ′)]
(8.136)
donde θ ′ = arcsen(α sen θ ) por la (8.79) y hemos omitido los suscriptos 1. Si α < 1 se debe usar
la primera de las (8.136), pero cuando α > 1 se necesitan ambas expresiones porque para cada θ
hay dos valores posibles de q, como se ve de la Fig. 8.11. El valor de q que corresponde al
ángulo de desviación máxima θ * es
q* = q(θ * ) =
α −1
2α
(8.137)
y la primera de las (8.136) da q > q* mientras que la segunda da q < q* . Cuando hay un ángulo
de desviación máxima hay siempre dos valores de q para cada θ. Cada uno de ellos contribuye a
la sección eficaz y por lo tanto las fórmulas (8.134), (8.135) se deben modificar y escribir
σ θ = ∑ 2πqi
i
dqi
dθ
, σΩ = ∑
qi dqi
i sen θ dθ
(8.138)
donde el subíndice i designa los valores de q que dan lugar al mismo θ . Derivando (8.136)
resulta
dq d 2 sen 2 (θ ± θ ′)
=
dθ 4 q sen θ cosθ ′
(8.139)
donde el signo + corresponde a la primera de las (8.136) y el – a la segunda. Sustituyendo en
(8.138) obtenemos finalmente
π d 2 sen 2 (θ + θ ′)
2 sen θ cosθ ′
π d 2  sen 2 (θ + θ ′) sen 2 (θ − θ ′) 
σθ =
+
2  sen θ cosθ ′
sen θ cosθ ′ 
σθ =
para α < 1
(8.140)
para α > 1
En la Fig. 8.17 mostramos σ θ para diferentes valores de a. Se puede observar que cuando α > 1
la sección eficaz diferencial se hace infinita para el ángulo de desviación máxima θ * y luego cae
abruptamente a cero. Esto se debe a que para ese ángulo dθ / dq = 0 como se puede apreciar de
la Fig. 8.11. Obviamente para θ > θ * la sección eficaz diferencial es nula porque no hay
desviaciones mayores a θ * . En estos casos el grueso de las partículas sufre desviaciones
próximas a θ * . Este fenómeno se llama dispersión en arco iris porque es análogo al que produce
el conocido fenómeno atmosférico. La dispersión en arco iris se da toda vez que θ (q ) es una
función multivaluada, sea que se trate de una colisión elástica o no. En particular se puede
presentar en las colisiones de esferas no rígidas y en las reacciones químicas ya estudiadas.
Si α = 1 de la (8.95) se obtiene
dq
= d sen θ , 0 ≤ θ ≤ π / 2
dθ
241
(8.141)
8. Sistemas de partículas
y entonces
σ θ = π d 2 sen 2θ
(8.142)
2.0
α = 1.1
α = 1.4
1.5
α = 1.0
σ(θ1)/πd2 1.0
α = 0.8
α = 0.5
0.5
α = 0.1
30˚
60˚
90˚
120˚
150˚
180˚
θ1
Fig. 8.17. Sección eficaz diferencial σ θ para la colisión elástica de esferas rígidas.
La sección eficaz total para la colisión de esferas rígidas es
σ θ = π d 2 , d = r1 + r2
(8.143)
Este resultado es evidente si se observa la Fig. 8.10 y por supuesto vale para todo α y también
para el choque de esferas no rígidas.
Se debe observar que la sección eficaz, tanto total como diferencial, si bien tiene dimensiones de
área, no es el área de la sección transversal de un objeto material sino que es una propiedad de la
colisión que depende de las características de las partículas involucradas y de su interacción.
Dispersión de Rutherford
El concepto de sección eficaz se aplica también a la colisión de partículas puntiformes que interactúan por medio de una fuerza central. En general en toda colisión entre dos partículas
Lint = qµv0
(8.144)
donde Lint es el momento angular respecto del centro de masa, µ es la masa reducida del sistema
y v0 es la velocidad del proyectil muy lejos del blanco y en el referencial del blanco. Podemos
entonces aplicar los resultados del Capítulo 7 para calcular la órbita del proyectil y obtener la
desviación en función de Lint y por lo tanto de q. A partir de eso se puede obtener la sección
eficaz de colisión. A modo de ejemplo trataremos la colisión de dos partículas que interactúan
242
8. Sistemas de partículas
debido a la atracción gravitatoria, es decir por medio de la fuerza dada por la (7.30), un problema que ya tratamos en el Capitulo 7. Supongamos que el proyectil (de masa m) viene del infinito (donde su velocidad es v0 ) en una órbita hiperbólica (Fig. 8.18) cuyo foco ocupa el blanco
(masa M). La desviación θ depende del ángulo ψ entre las asíntotas y el eje de la hipérbola
ψ=
π θ
+
2 2
(8.145)
como se ve de la figura. De la ecuación polar de las cónicas (7.45) resulta cosψ = −1 / e donde e
es la excentricidad ( e >1 para una órbita hiperbólica). De (8.145) se obtiene entonces
sen
θ 1
=
2 e
(8.146)
asíntota
O
q
f
θ
P
C
ψ
asíntota
ψ
Fig. 8.18. Colisión de dos partículas que interactúan debido a la atracción gravitatoria.
Por otra parte de la (7.45) se tiene que
e = 1+ 2
L2 E
µC C
, C = GmM
(8.147)
donde µ es la masa reducida del sistema (m, M). Sustituyendo E = 12 µv02 > 0 y L = Lint = qµv0
en (8.147) obtenemos
e = 1 + q2 / d 2
, d = C / µv02 = GmM / µv02
(8.148)
Introduciendo esta expresión de e en (8.146) podemos despejar q:
q = d cot
θ
2
(8.149)
Esta relación nos permite calcular la sección eficaz. De la (8.135) resulta de inmediato
σΩ = d2
1
4 sen 4
243
θ
2
(8.150)
8. Sistemas de partículas
La (8.150) es la célebre fórmula de Rutherford de la sección eficaz diferencial para la dispersión
debida a una fuerza que depende de la inversa del cuadrado de la distancia, que fue obtenida
originalmente para la interaccion Coulombiana entre dos cargas eléctricas q1 y q2 , en cuyo caso
d = q1q2 / µv02 (en unidades Gaussianas). Se puede ver fácilmente de la (8.150) que la sección
eficaz total σ diverge debido al polo de σ Ω en θ = 0 . Esto no debe sorprender porque la
atracción gravitatoria (igual que la fuerza de Coulomb) tiene alcance infinito y por lo tanto toda
partícula incidente es desviada, por grande que sea el parámetro de impacto.
Sección eficaz de impacto de un bólido
Consideremos un bólido (masa m) que se acerca a la Tierra (masa M). Como m << M podemos
poner µ = m . Puesto que su velocidad es seguramente mayor que la velocidad de escape
ve = (2GM / rT )1 / 2 ( rT es el radio de la Tierra) la órbita es hiperbólica y de acuerdo con la Tabla
7.1 el perigeo es
f =
L2 / mC q 2 µv02 / C
q2 / d
=
=
1+ e
1+ e
1 + 1 + q2 / d 2
(8.151)
como resulta de la (7.45), la (8.144) y la (8.148). El bólido impacta en la superficie del planeta si
f ≤ rT . De la (8.151) se obtiene entonces que todo bólido cuyo parámetro de impacto satisface la
condición

 2d 
v2 
2
q 2 ≤ qimpacto
= rT2 1 +  = rT2 1 + e2 
rT 
v0 


(8.152)
choca con el planeta. De aquí resulta que la sección eficaz de impacto es

v2 
2
σ impacto ≤ πqimpacto
= π rT2 1 + e2 
v0 

(8.153)
De esta fórmula se ve que σ impacto es siempre mayor que la sección geométrica del planeta π rT2
y tiende a ella para v0 → ∞ .
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