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LABORATORIO 8 - LABORATORIO INFORMÁTICO
Caso 1. Interesa estudiar el efecto del tamaño de broca (factor A) y de la velocidad (factor B)
sobre la vibración de la ranuradora (respuesta Y). Para ello se decide utilizar un diseño factorial
22 con cuatro réplicas.
A: Broca
B: velocidad
A
B
AB
Vibración
Totales
1/16
40
-
-
+
18,2
18,9
12,9
14,4
64,4 = (1)
1/8
40
+
-
-
27,2
24,0
22,4
22,5
96,1 = a
1/16
90
-
+
-
15,9
14,5
15,1
14,2
59,7 = b
1/8
90
+
+
+
41,0
43,9
36,3
39,9
161,1 = ab
Las preguntas fundamentales que se quieren responder con el experimento son: ¿la velocidad
y el tamaño de la broca afectan la vibración de la ranuradora?, si la afecta, ¿cómo es tal efecto
y cuál combinación de velocidad y tamaño de broca minimizan la vibración?, cuál es la
vibración esperada en las condiciones óptimas?, ¿se cumplen los supuestos del modelo?
Los efectos estimados se podrían calcular directamente (los términos entre corchetes se
denominan “contrastes”):
Empecemos a crear el diseño factorial y a analizarlo con MINITAB.
Estadísticas > Crear diseño factorial > Tipo de diseño: Factorial de 2 niveles (generadores
predeterminados) > Diseños: Factorial completo; Número de puntos centrales por bloque: 0;
Número de réplicas para puntos factoriales: 4; Número de bloques: 1
Diseño factorial completo
Factores:
Corridas:
Bloques:
2
16
1
Diseño de la base:
Réplicas:
Puntos centrales (total):
2; 4
4
0
Todos los términos están libres de estructuras alias.
Podríamos predecir directamente el tratamiento (los valores x están codificados):
Estadísticas > DOE > Factorial > Analizar diseño factorial > Gráficas
Ajuste factorial: Vibración vs. Broca; Velocidad
Efectos y coeficientes estimados para Vibración (unidades codificadas)
Término
Constante
Broca
Velocidad
Broca*Velocidad
S = 2,44476
R-cuad. = 95,81%
Efecto
16,637
7,537
8,713
Coef
23,831
8,319
3,769
4,356
SE Coef
0,6112
0,6112
0,6112
0,6112
PRESS = 127,507
R-cuad.(pred.) = 92,54%
T
38,99
13,61
6,17
7,13
P
0,000
0,000
0,000
0,000
R-cuad.(ajustado) = 94,76%
En general, para fines de predicción se recomienda un coeficiente de determinación ajustado
de al menos 70%. Cuando hay muchos factores se prefiere el R2aj que el R2 sin ajustar, puesto
que este último es engañoso al incrementarse de manera artificial con cada término que se
agrega al modelo, aunque sea un término que no contribuya en nada a la explicación de la
respuesta. En cambio, el R2aj incluso baja de valor cuando el término que se agrega no aporta
nada.
De esta manera, de acuerdo con R2aj el modelo ajustado explica el 94,75% de la variabilidad de
la vibración observada en el experimento.
Vemos a continuación como existen diferencias significativas en la broca, la velocidad y su
interacción (p-valor < 0,05). Se llaman efectos o interacciones “activas”.
Análisis de varianza para Vibración (unidades codificadas)
Fuente
Efectos principales
Broca
Velocidad
2º orden (interacciones)
Broca*Velocidad
Error residual
Error puro
Total
GL
2
1
1
1
1
12
12
15
SC Sec.
1334,48
1107,23
227,26
303,63
303,63
71,72
71,72
1709,83
SC Ajust.
1334,48
1107,23
227,26
303,63
303,63
71,72
71,72
MC Ajust.
667,24
1107,23
227,26
303,63
303,63
5,98
5,98
F
111,64
185,25
38,02
50,80
50,80
P
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
Gráfico de efectos en papel normal o gráfico de Daniel. Los efectos no significativos deben
seguir una distribución normal con media igual a cero y varianza constante. Esto implica que si
los efectos se representan en papel probabilístico normal, los que no son significativos
tenderán a formar una línea recta en esa gráfica.
Gráfica normal de efectos estandarizados
(la respuesta es Vibración, Alfa = 0,05)
Tipo de efecto
No significativ o
Significativ o
1,0E+02
99,9999
F actor
A
B
Porcentaje
99,99
N ombre
Broca
V elocidad
99
95
80
A
50
AB
20
B
5
1
0
4
8
Efecto estandarizado
12
16
Gráfica de efectos normales (absolutos) estandarizados
(la respuesta es Vibración, Alfa = 0,05)
Tipo de efecto
No significativ o
Significativ o
1,0E+02
F actor
A
B
Porcentaje
1,0E+02
99,98
98
95
85
80
A
50
AB
20
0
B
0
2
4
6
8
10
Efecto estandarizado absoluto
12
14
N ombre
Broca
V elocidad
El diagrama de Pareto para los efectos representa una manera práctica de ver cuáles efectos
son los más grandes en cuanto a su magnitud. Aquí se ven mejor los efectos activos.
Diagrama de Pareto de efectos estandarizados
(la respuesta es Vibración, Alfa = 0,05)
2,18
F actor
A
B
N ombre
Broca
V elocidad
Término
A
AB
B
0
2
4
6
8
10
Efecto estandarizado
12
14
Cuando hay efectos o interacciones no significativas, el nivel de operación debería elegirse o
bien en aquel que de mayor economía o productividad al proceso, o bien aquel que produzca
menor variabilidad en la respuesta.
El supuesto de varianza constante se puede verificar representando los residuos contra los
predichos, y los puntos deben caer aleatoriamente en el sentido vertical dentro de una banda
horizontal.
vs. ajustes
(la respuesta es Vibración)
4
3
2
Residuo
1
0
-1
-2
-3
-4
15
20
25
30
Valor ajustado
35
40
Gráfica de probabilidad normal
(la respuesta es Vibración)
99
95
90
Porcentaje
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-5,0
-2,5
0,0
Residuo
2,5
5,0
Puesto que sólo se estudian dos factores, toda la información relevante del experimento se
encuentra en la gráfica de la interacción. Cuando hay interacciones activas, es decir,
significativas, lo primero y prioritario es estudiar la interacción. Los efectos principales, en este
caso, nos podrían llevar a engaño. ¡Sólo deberemos interpretar los efectos principales si no
interactúan con ningún otro!
Gráfica de interacción para Vibración
Medias de datos
-1
1
40
Broca
-1
1
30
Broca
20
40
Velocidad
-1
1
30
Velocidad
20
-1
1
Se puede afirmar que cuando la broca se encuentra en su nivel bajo la velocidad no afecta de
manera significativa la vibración, por el contrario, cuando la broca se encuentra en su nivel
alto, la velocidad tiene un efecto considerable sobre la vibración. En otras palabras, al estar la
broca en su nivel bajo, la vibración será baja sin importar la velocidad.
Gráfica de efectos principales para Vibración
Medias de datos
Broca
Velocidad
32,5
30,0
Media
27,5
25,0
22,5
20,0
17,5
15,0
-1
1
-1
1
Gráfica de cubos (medias de los datos) para Vibración
14,925
40,275
1
Velocidad
16,100
24,025
-1
-1
1
Broca
Respuesta pronosticada para los nuevos puntos del diseño utilizando el modelo
para Vibración
Punto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Ajuste
16,1000
24,0250
14,9250
40,2750
16,1000
24,0250
14,9250
40,2750
16,1000
24,0250
14,9250
40,2750
16,1000
24,0250
14,9250
40,2750
EE de
ajuste
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
1,2224
IC de 95%
(13,4367; 18,7633)
(21,3617; 26,6883)
(12,2617; 17,5883)
(37,6117; 42,9383)
(13,4367; 18,7633)
(21,3617; 26,6883)
(12,2617; 17,5883)
(37,6117; 42,9383)
(13,4367; 18,7633)
(21,3617; 26,6883)
(12,2617; 17,5883)
(37,6117; 42,9383)
(13,4367; 18,7633)
(21,3617; 26,6883)
(12,2617; 17,5883)
(37,6117; 42,9383)
IP de 95%
(10,1446; 22,0554)
(18,0696; 29,9804)
( 8,9696; 20,8804)
(34,3196; 46,2304)
(10,1446; 22,0554)
(18,0696; 29,9804)
( 8,9696; 20,8804)
(34,3196; 46,2304)
(10,1446; 22,0554)
(18,0696; 29,9804)
( 8,9696; 20,8804)
(34,3196; 46,2304)
(10,1446; 22,0554)
(18,0696; 29,9804)
( 8,9696; 20,8804)
(34,3196; 46,2304)
Vamos a representar en MATLAB la superficie de respuesta.
>> [X,Y]=meshgrid(-1:.1:1);
>> Z=23.83+8.32.*X+3.77.*Y+4.35.*X.*Y;
>> surfc(X,Y,Z)
40
45
35
40
Vibración
35
30
30
25
25
20
15
1
10
-1
-0.5
20
0
0
0.5
1
-1
15
Velocidad (unidades codfiicadas)
Broca (unidades codificadas)
En MINITAB también se puede realizar el dibujo de la superficie de respuesta. Como tenemos
la matriz de diseño y la respuesta ya introducida en la hoja de datos, no usamos Crear diseño
de superficie de respuesta, sino Definir diseño de superficie de respuesta.
Estadísticas > DOE > Superficie de respuesta > Definir diseño de superficie de respuesta >
Factores: Broca, Velocidad
Estadísticas > DOE > Superficie de respuesta > Analizar el diseño de superficie de respuesta
Coeficientes de regresión estimados de Vibración utilizando datos en unidades
no codificadas
Término
Constante
Broca
Velocidad
Broca*Velocidad
Coef
23,8313
8,31875
3,76875
4,35625
Estadísticas > DOE > Superficie de respuesta > Gráficas de contorno/superficie
Gráfica de superficie de Vibración vs. Velocidad; Broca
40
Vibración
30
1
20
0
Velocidad
-1
0
-1
1
Broca
Gráfica de contorno de Vibración vs. Velocidad; Broca
1,0
Vibración
< 15
15 – 20
20 – 25
25 – 30
30 – 35
35 – 40
> 40
Velocidad
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,0
-0,5
0,0
Broca
0,5
1,0
Podemos pasar al análisis con SPSS.
Analizar > Modelo lineal general > Univariante > Variable dependiente: Vibración; Factores
fijos: Velocidad, Broca
Factores inter-sujetos
Etiqueta del
N
valor
1
-
8
2
+
8
1
-
8
2
+
8
Broca
Velocidad
Estadísticos descriptivos
Variable dependiente: Vibración
Broca
Velocidad
Media
Desviación
N
típica
-
+
Total
-
16,100
2,9086
4
+
14,925
,7500
4
Total
15,513
2,0643
8
-
24,025
2,2396
4
+
40,275
3,1415
4
Total
32,150
9,0458
8
-
20,063
4,8703
8
+
27,600
13,7141
8
Total
23,831
10,6766
16
Se puede comprobar también que no se puede rechazar la hipótesis nula de homogeneidad de
varianzas de la variable duración, validando así una de las hipótesis estructurales del modelo
propuesto. En efecto, la prueba de Levene da lo siguiente:
Contraste de Levene sobre la igualdad de las
a
varianzas error
Variable dependiente: Vibración
F
gl1
gl2
Sig.
1,902
3
12
,183
Contrasta la hipótesis nula de que la varianza
error de la variable dependiente es igual a lo
largo de todos los grupos.
a. Diseño: Intersección + Broca + Velocidad +
Broca * Velocidad
Pruebas de los efectos inter-sujetos
Variable dependiente: Vibración
Origen
Suma de
gl
Media
cuadrados
F
Sig.
cuadrática
Eta al
Parámetro
Potencia
cuadrado
de no
observada
parcial
centralidad
tipo III
b
Parámetro
a
3
Intersección
9086,856
Broca
Modelo
1638,112
546,037
91,358
,000
,958
274,075
1,000
1
9086,856 1520,336
,000
,992
1520,336
1,000
1107,226
1
1107,226
185,252
,000
,939
185,252
1,000
Velocidad
227,256
1
227,256
38,022
,000
,760
38,022
1,000
Broca *
303,631
1
303,631
50,801
,000
,809
50,801
1,000
Error
71,723
12
5,977
Total
10796,690
16
Total
1709,834
15
corregido
Velocidad
corregida
a. R cuadrado = ,958 (R cuadrado corregida = ,948)
b. Calculado con alfa = ,05
Estimaciones de los parámetros
Variable dependiente: Vibración
Parámetro
B
Error
t
Sig.
típ.
Intervalo de
Eta al
Parámetro
Potencia
confianza 95%
cuadrado
de no
observada
parcial
centralidad
Límite
Límite
Parámetro
inferior superior
Intersección
[Broca=1]
[Broca=2]
[Velocidad=1]
[Velocidad=2]
[Broca=1] *
40,275 1,222 32,948 ,000
-25,350 1,729
- ,000
14,664
a
0
.
-16,250 1,729
.
b
37,612
42,938
,989
32,948
1,000
-
-21,583
,947
14,664
1,000
29,117
.
.
.
.
.
.
-9,400 ,000
-
-12,483
,880
9,400
1,000
.
.
.
.
.
7,127 ,000 12,098
22,752
,809
7,127
1,000
20,017
a
0
.
17,425 2,445
.
.
[Velocidad=1]
[Broca=1] *
0a
.
.
.
.
.
.
.
.
0a
.
.
.
.
.
.
.
.
0a
.
.
.
.
.
.
.
.
[Velocidad=2]
[Broca=2] *
[Velocidad=1]
[Broca=2] *
[Velocidad=2]
a. Al parámetro se le ha asignado el valor cero porque es redundante.
b. Calculado con alfa = ,05
En el gráfico matricial de puntos tenemos una idea de si se verifican los supuestos de
independencia, homogeneidad de varianzas falta de ajuste.
En efecto, se observa en la casilla Residuos-Observados que los puntos están dispersos, lo que
redunda en su aleatoriedad y por tanto en corroborar la hipótesis de independencia. La nube
Residuos-Pronosticados muestra una dispersión semejante para cada valor pronosticado, lo
cual corrobora la homoscedasticidad (homogeneidad de varianzas). Por último, en la nueve
Pronosticados-Observados se ajusta a una relación lineal, probando así el nivel de ajuste del
modelo estimado.
Caso 2: En una línea de fabricación de tubos de escape para la industria del automóvil se desea
optimizar el proceso de soldadura que se realiza en un componente de acero inoxidable. Para
ello se lleva a cabo un diseño factorial 23 considerando los factores que figuran en el cuadro.
A. Caudal de gas (l/m)
B. Intensidad (A)
C. Velocidad cadena (m/min)
Caudal de gas (l/m)
Intensidad (A)
8
12
8
12
8
12
8
12
230
230
240
240
230
230
240
240
Nivel 8
230
0,6
Velocidad cadena
(m/min)
0,6
0,6
0,6
0,6
1
1
1
1
Nivel +
12
240
1
Respuesta Y
10
26,5
15
17,5
11,5
26
17,5
20
Usaremos MINITAB para diseñar la matriz de experimentos.
Estadísticas > DOE > Factorial > Crear diseño factorial > Tipo de diseño: Factorial de 2 niveles
(generadores predeterminados); Número de factores: 3 > Diseños: Factorial completo;
Número de puntos centrales por bloque: 0; Número de réplicas para puntos factoriales: 1;
Número de bloques: 1
Diseño factorial completo
Factores:
Corridas:
Bloques:
3
8
1
Diseño de la base:
Réplicas:
Puntos centrales (total):
3; 8
1
0
Todos los términos están libres de estructuras alias.
Estadísticas > DOE > Factorial > Analizar diseño factorial > Gráficas > Gráficas de efectos:
Normal, Normales (absolutos), Pareto; Residuos para las gráficas: Regular; Gráficas de
residuos: Cuatro en uno
Ajuste factorial: Y vs. Caudal; Intensidad; Velocidad
Efectos y coeficientes estimados para Y (unidades codificadas)
Término
Constante
Caudal
Intensidad
Velocidad
Caudal*Intensidad
Caudal*Velocidad
Intensidad*Velocidad
Caudal*Intensidad*Velocidad
S = *
Efecto
9,000
-1,000
1,500
-6,500
-0,500
1,000
0,500
Coef
18,000
4,500
-0,500
0,750
-3,250
-0,250
0,500
0,250
PRESS = *
Análisis de varianza para Y (unidades codificadas)
Fuente
Efectos principales
Caudal
Intensidad
Velocidad
2º orden (interacciones)
Caudal*Intensidad
Caudal*Velocidad
Intensidad*Velocidad
3º orden (interacciones)
Caudal*Intensidad*Velocidad
Error residual
Total
GL
3
1
1
1
3
1
1
1
1
1
0
7
SC Sec.
168,500
162,000
2,000
4,500
87,000
84,500
0,500
2,000
0,500
0,500
*
256,000
SC Ajust.
168,500
162,000
2,000
4,500
87,000
84,500
0,500
2,000
0,500
0,500
*
MC Ajust.
56,167
162,000
2,000
4,500
29,000
84,500
0,500
2,000
0,500
0,500
*
F
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
P
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Coeficientes estimados para Y utilizando datos en unidades no codificadas
Término
Constante
Caudal
Intensidad
Velocidad
Caudal*Intensidad
Caudal*Velocidad
Intensidad*Velocidad
Caudal*Intensidad*Velocidad
Coef
-893,750
102,625
3,75000
186,250
-0,425000
-30,0000
-0,750000
0,125000
Gráfica normal de los efectos
(la respuesta es Y, Alfa = 0,05)
99
Tipo de efecto
No significativ o
Significativ o
95
A
90
F actor
A
B
C
Porcentaje
80
70
60
50
40
30
N ombre
C audal
Intensidad
V elocidad
20
10
AB
5
1
-5,0
-2,5
0,0
2,5
Efecto
5,0
7,5
10,0
PSE de Lenth = 1,5
Gráfica de efectos normales (absolutos)
(la respuesta es Y, Alfa = 0,05)
Tipo de efecto
No significativ o
Significativ o
98
Porcentaje
95
A
90
85
80
AB
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1
PSE de Lenth = 1,5
2
3
4
5
6
Efecto absoluto
7
8
9
F actor
A
B
C
N ombre
C audal
Intensidad
V elocidad
Diagrama de Pareto de los efectos
(la respuesta es Y, Alfa = 0,05)
5,646
F actor
A
B
C
A
Término
AB
N ombre
C audal
Intensidad
V elocidad
C
BC
B
ABC
AC
0
1
2
3
4
5
Efecto
6
7
8
9
PSE de Lenth = 1,5
Estadísticas > DOE > Factorial > Gráficas factoriales > Gráfica de interacción > Configuración
Gráfica de interacción para Y
Medias de datos
28
Caudal
8
12
26
24
Media
22
20
18
16
14
12
10
230
240
Intensidad
Estadísticas > DOE > Factorial > Gráficas factoriales > Gráfica de cubos
Gráfica de cubos (medias de los datos) para Y
16,25
18,75
240
Intensidad
10,75
26,25
230
8
12
Caudal
El mejor resultado se obtiene con un caudal de 12 l/min y una intensidad de 230 A. Nótese que
si un día, por las razones que sean, el caudal debe fijarse a 8 l/min, lo mejor es una intensidad
de 240 A. La experimentación podría seguirse con valore más altos de caudal y más bajos de
intensidad (si técnicamente es posible).
Podemos dibujar la superficie de contorno, también con MINITAB.
Gráfica de superficie de Y vs. Intensidad; Caudal
Valores fijos
Velocidad 0,8
25
Y
20
15
240
10
235
Intensidad
8
10
C audal
230
12
Gráfica de contorno de Y vs. Intensidad; Caudal
240,0
12
15
18
21
238,5
Intensidad
237,0
Y
<
–
–
–
–
>
12
15
18
21
24
24
Valores fijos
Velocidad 0,8
235,5
234,0
232,5
231,0
8
9
10
Caudal
11
12