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Examen Parcial de Sistemas de Potencia II 2007
Flujo de Potencia
Problema 1. [5 pts] Se tiene un sistema de potencia que consta de dos generadores, un sistema de transmisión
y carga, como se muestra en la siguiente Figura.
1
3
2
G1
G2
Z = 0.0102 + 0.0315 j
Z = 0.0360 + 0.1200 j
23
13
V1 = 1.05∠0° p.u
S load 3 = 1.1 + 1.0 j
Pgen 2 = 0.6
Qgen 2 = 0.8
X c = −0.3250 j
Emplear el método de Gauss-Seidel, para calcular la magnitud y ángulo de voltaje de cada barra en dos (02)
iteraciones. Los datos del sistema están en el sistema por unidad sobre las mismas bases. NOTA: Emplee cuatro
decimales.
Problema 2. El siguiente sistema de potencia tiene todos los parámetros en las mismas bases.
2
1
Z12 = 0.04 + 0.300 j
S gen1 = 0.5 + 0.4 j
Z13
S gen 2
Z 23 = 0.06 + 0.250 j
3
S13
= 0.7 + 0.2 j
= 0.05 + 0.350 j
V3 = 1.1∠0° p.u
Z c = −1.50 j
S gen3
2.1. [6 Pts] Calcular los flujos de potencia que entran en cada barra.
2.2. [2 Pts] Calcular las perdidas de potencia en el sistema de transmisión. Slosses = SgenTotal - SloadTotal
NOTA: Emplee cuatro decimales.
Problema 3. [5 pts] Considere el siguiente sistema de ecuaciones.
⎧− x1 + 2 x2 + 10 x3 = 11
⎪
⎨11x1 − x2 + 2 x3 = 12
⎪x + 5x + 2 x = 8
2
3
⎩ 1
Emplear el método de Gauss-Seidel para resolver las tres (03) primeras iteraciones de este problema,
empleando como condicione iniciales: x10 = 1.0001 , x20 = 1.0001 , x30 = 1.0001 . NOTA: emplee 4 decimales.
Iteración
0
1
2
3
x1
x2
x3
Problema 1. [5 pts] Se tiene un sistema de potencia que consta de dos generadores, un sistema de transmisión
y carga, como se muestra en la siguiente Figura.
2
1
G1
G2
Z = 0.0102 + 0.0315 j
Z = 0.0360 + 0.1200 j
23
13
V1 = 1.05∠0° p.u
S load 3 = 1.1 + 1.0 j
Pgen 2 = 0.6
Qgen 2 = 0.8
X c = −0.3250 j
Emplear el método de Gauss-Seidel, para calcular la magnitud y ángulo de voltaje de cada barra en dos (02)
iteraciones. Los datos del sistema están en el sistema por unidad sobre las mismas bases. NOTA: Emplee cuatro
decimales.
Resolución
Se procede a calcular la matriz admitancia de barra del sistema:
1
1
y13 =
=
= 2.2936 − 7.6453 j
z13 0.0360 + 0.1200 j
y23 =
1
1
=
= 9.3041 − 28.7333 j
z 23 0.0102 + 0.0315 j
y20 =
1
1
=
= 3.0769 j
X c − 0.3250 j
La matriz admitancia de barra del sistema incluyendo la admitancia del capacitor resulta:
0+0j
− 2.2936 + 7.6453 j ⎤
⎡ 2.2936 − 7.6453 j
Ybus = ⎢⎢
0+0j
9.3041 − 25.6365 j − 9.3041 + 28.7333 j ⎥⎥
⎢⎣− 2.2936 + 7.6453 j − 9.3041 + 28.7333 j 11.5977 − 36.3786 ⎥⎦
Las ecuaciones iterativas a resolver son:
V2( k +1) =
V3( k +1) =
1
Y22
1
Y33
⎤
⎡ P − jQ
(k )
2
⎥
⎢ 2
Y
V
Y
V
−
−
21
1
23
3
⎥
⎢ V *( k )
⎦
⎣ 2
⎡ P − jQ
3
⎢ 3
− Y32V2( k +1) − Y31V1
⎢ V *( k )
⎣ 3
⎤
⎥
⎥
⎦
Se emplea un arranque plano: V1 = 1.05∠0° , V20 = 1.0∠0° . Sustituyendo resulta:
Iteración
V2
V3
1.1410-0.0278j
1.0884+0.0412j
1
1.1414∠-1.3937°
1.0892∠-2.1655°
1.2331-0.0788j
1.1635-0.0784j
2
1.2356∠-3.6563°
1.1662∠-3.8542°
Problema 2. El siguiente sistema de potencia tiene todos los parámetros en las mismas bases.
2
1
Z12 = 0.04 + 0.300 j
S gen1 = 0.5 + 0.4 j
Z13
S gen 2
Z 23 = 0.06 + 0.250 j
3
S13
= 0 .7 + 0 .2 j
= 0.05 + 0.350 j
V3 = 1.1∠0° p.u
Z c = −1.50 j
S gen3
2.1. [6 Pts] Calcular los flujos de potencia que entran en cada barra.
2.2. [2 Pts] Calcular las perdidas de potencia en el sistema de transmisión. Slosses = SgenTotal - SloadTotal
Resolución
De la barra 3 resulta directamente, se calcula la corriente que llega por la línea 1-3:
*
⎛ S 3 ⎞ ⎛ 0.7 + 0.2 j ⎞*
I13 = ⎜ 13 ⎟ = ⎜
= 0.6364 − 0.1818 j = 0.6618∠ − 15.9456
⎜ V ⎟ ⎝ 1.1∠0 ⎟⎠
⎝ 3 ⎠
Es fácil efectuar un recorrido de malla entre la barra 3 y la barra 1, resultando:
V1 = Z13 I13 + V3
Sustituyendo valores resulta: V1 = 1.2144∠10.1322
Se calcula la potencia que se envía desde la barra 1 por la línea 1-3:
1
*
S13
= V1I13
1
S13
= 0.8037∠26.0778 = 0.7219 + 0.35533 j
Una vez hecho esto se procede a plantear unos balances de potencia en la barra 1:
1
1
S gen1 = S13
+ S12
1
1
S gen1 − S13
= S12
1
S12
= −0.2219 + 0.0467 j = 0.2268∠168.1152°
Con esta potencia de envío se determina la corriente que circula por la línea 1-2:
*
⎛ S1 ⎞
I12 = ⎜⎜ 12 ⎟⎟ = 0.1868∠ − 157.9830 = −0.1731 − 0.0700 j
⎝ V1 ⎠
Efectuando un simple recorrido de malla se tiene:
V2 = V1 − Z12 I12
V2 = 1.1814 + 0.2683 j = 1.2115∠12.7963
Se determina la potencia que llega a la barra 2 por la línea 1-2:
2
*
S12
= V2 I12
2
S12
= −0.2234 + 0.0363 j = 0.2263∠170.7793
Se determina la corriente que circula por la línea 1-3, empleando los voltajes 2 y 3 conocidos:
V2 − V3
I 23 = 1.0886 − 0.0643 j = 1.0905∠ − 3.3816°
Z 23
Se calcula la potencia que la línea 2-3 lleva a la barra 3:
I 23 =
2
*
S 23
= V2 I 23
2
S 23
= 1.2688 + 0.3681 j = 1.3211∠16.1779
De tal modo que la potencia en cada barra resulta:
S gen1 = 0.5 + 0.4 j
2
2
S gen 2 = S 23
+ S12
= 1.4922 + 0.3318 j = 1.5287∠12.5358
2
2
S gen3 = − S 23
− S12
= −1.8975 − 1.0775 j = 2.1821∠ − 150.4106
Una vez conocidas las potencia generadas, el cálculo de las perdidas de potencia producidas es simple:
S perdidas = S gen1 + S gen 2 + S gen3 +
V3
2
− jX c
S perdidas = 0.0947 + 0.4610 j
Otro modo de cálculo, es por el uso de las perdidas de potencias en las líneas.
2
2
2
Plosses = R12 I12 + R23 I 23 + R13 I13 = 0.0947
2
2
2
Qlosses = X 12 I12 + X 23 I 23 + X 13 I13 = 0.46120
Problema 3. [5 pts] Considere el siguiente sistema de ecuaciones.
⎧− x1 + 2 x2 + 10 x3 = 11
⎪
⎨11x1 − x2 + 2 x3 = 12
⎪x + 5x + 2 x = 8
2
3
⎩ 1
Emplear el método de Gauss-Seidel para resolver las tres (03) primeras iteraciones de este problema, empleando
como condicione iniciales: x10 = 1.0001 , x20 = 1.0001 , x30 = 1.0001 . NOTA: emplee 4 decimales.
Resolución
Se despeja de la i-ésima ecuación, la i-ésima variable:
x1 = −11 + 2 x2 + 10 x3
x2 = −12 + 11x1 + 2 x3
x3 =
8 − x1 − 5 x2
2
Siendo las ecuaciones iterativas:
x1( k +1) = −11 + 2 x2( k ) + 10 x3( k )
x2( k +1) = −12 + 11x1( k +1) + 2 x3( k )
x3( k +1) =
8 − x1( k +1) − 5 x2( k +1)
2
Sustituyendo valores se tiene:
Iteración
0
1
2
3
x1
1.0001
1.0012
0.6858
83.6322
x2
1.0001
1.0134
-2.5244
927.8904
x3
1.0001
0.9659
9.9681
-2.3575e+003