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NÚMEROS REALES
U.D. 1 * 1º BCT
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
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LOGARÍTMOS
U.D. 1.7 * 1º BCT
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
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Raíces y logaritmos
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La potenciación tiene dos operaciones inversas:
n
a= √b
Raíz n-sima.
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an = b
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n = log b
a
Logaritmo
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IMPORTANTE:
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En toda expresión o ecuación algebraica donde la incógnita esté en el
exponente, para resolverla, en general hay que aplicar logaritmos.
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Ejemplo:
@ Angel Prieto Benito
2x = 5
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LOGARITMOS
• DEFINICIÓN
• Si a > o y a <> 1, se llama logaritmo en base a de P, y se designa
loga P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
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• loga P = x ↔ ax = P
• Ejemplos:
• log3 9 = 2 ↔ 32 = 9
• log5 125 = 3 ↔ 53 = 125
• log10 10000 = 4 ↔ 104 = 10000
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Logaritmos decimales
• Sea la expresión:
• loga P = x ↔ ax = P
• Cuando el logaritmo es de base 10 se suele omitir el subíndice que
indica la base.
• log P = x ↔ 10x = P
• Cuando presenta dicha base (a=10) se llama LOGARITMO
DECIMAL. En la calculadora la tecla log
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log
log
log
log
2 = 0,301030
20 = 1,301030
200 = 2,301030
2000 = 3,301030
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Logaritmos neperianos
• Cuando el logaritmo es de base e también se omite el subíndice
que indica la base, pero modificando la notación de la siguiente
manera:
• ln P = x ↔ ex = P
• Cuando presentan dicha base se llaman LOGARITMOS
NEPERIANOS, en honor a su creador, Neper, hacia 1614 .
• En la calculadora la tecla ln
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ln 2 = 0,693147
ln 20 = 2,995732
ln 200 = 5,298317
ln 2000 = 7,600902
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Curiosidad
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¿CÓMO SE CONSTRUYE LA TABLA DE LOGARITMOS?
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Esencialmente lo que hay que resolver es la tabla de logaritmos naturales o
neperianos o en base el número e, labor realizada por Neper hace más
de 4 siglos.
Una vez que tienes una tabla de logaritmos en base e, obtener su
correspondiente tabla en base 10 es fácil mediante la identidad:
log x = Lx / L10 , que veremos más adelante.
Donde "log" es el logaritmo en base 10, y "L" es el logaritmo neperiano.
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Ahora bien cómo construyó Neper las tablas de logaritmos en base e, eso
es más complejo y profundo...
Al buscar los logaritmos dio con el número e.
La idea de Neper fue buscar una manera de multiplicar/dividir más
"rápidamente“
L(a.b) = La + Lb y L(a/b) = La – Lb
@ Angel Prieto Benito
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Y puesto que la función logaritmo transforma productos en sumas, también
transforma progresiones geométricas en progresiones aritméticas...
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Sea, por ejemplo, la progresión aritmética: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,... y su
correspondiente geométrica en base 2: 2⁰,2¹,2²,2³,2⁴,2⁵,2⁶,2⁷,2⁸,2⁹,... es
decir: 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,...
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De manera que si quiero calcular el producto: 8.64=512, que equivale a:
2³.2⁶=2⁹, no tengo más que calcular la suma de los exponentes: 3+6=9, y
elegir el número 512 que es el que ocupa la posición indixada 9 en la
progresión geométrica...
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Así que multiplicar 8.64 se "reduce" a sumar 3+6, en base 2, y esta es la
idea. El problema es calcular el producto de 2 números que no estén en
esa progresión geométrica.
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Esa progresión tiene muchos "huecos" . Sería preferible una progresión
geométrica cuya razón fuese infinitamente próxima a 1, para que recorriera
todos los números... Y así podríamos hallar el producto de 2 números
cualesquiera.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
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Nepper escogió entonces la base 1.0001 y construyó la progresión
geométrica: 1.0001ⁿ con n=0,1,2,3,...
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Así que por ejemplo: 1.0001⁶⁹³¹ = 1.99983634 y 1.0001⁶⁹³² = 2.000036324,
por tanto, la media aritmética de los exponentes 6931 y 6932 será
aproximadamente el exponente al que hay que elevar la base 1.0001 para
obtener 2 (2 es prácticamente la media geométrica de 1.0001⁶⁹³¹ y
1.0001⁶⁹³²), esto es 6931.5
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Nepper observó que trabajar en base 1.0001 generaba logaritmos muy
grandes. Era mejor trabajar en base 1.0001¹⁰⁰⁰⁰ cuya tabla es también
muy fácil de construir a partir de la anterior. O trabajar en base 1.00001¹⁰⁰⁰⁰
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Y mejor aún si usáramos por base el número que es el límite...
lím ( 1 + 1/n )ⁿ . Dicho límite es finito y es el número e=2.71828
n→∞
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Por tanto la mejor base para generar tablas de logaritmos es el número e.
Y por eso los logaritmos neperianos son los logaritmos naturales que tienen
por base el número e que de forma natural mejor nos construye la tabla de
logaritmos.
@ Angel Prieto Benito
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