Download Metodos computacionales para el analisis de - Zaloamati

~M
<1005
;,43
UNIVERSIDAD ~
AUTONOMA
METROPOLITANA
c." .b;""., ",,"po Azcapotzalco
F ERNANDO TOLEDO TOLEDO realizó estudios de
ingeniería industria l en electricidad en el Tecnológico d e O axaca y de maestría en ingeniería
eléctrica en la ESIME. Desd e 1981 es profesorinvestigad or de la UAM-A, en d onde imparte clases en el área d e sistemas d e potencia. Ha trabajado como aseso r e instructor para el Instituto
Mexicano d el Petróleo y Pem ex. Actualmente
se d edica al desarrollo d e software para aplicaciones en sistem as indus triales y de p otencia.
MÉTODOS COMPUTACIONALES PARA EL ANÁLISI
DE SISTEMAS DE POTENCIA
COLECCION
Libros de Texto y Manuales de Práctica
Fernand0/;3-ledo Toledo
~
¡¡~,
AZCAPOT1ALCO
COSEI IIIBUOTECA
2893050
UNIVERSIDIID
IIUTONOMII
METROPOlITIINII
e" • ••"'" '''","po
CX\
Azrapotzalco
Secretario
Mtro. Jo rdy Micheli Thirión
Coordinador de Extensión Universitaria
Lic. Alberto Dogart Murrieta
Jefe de la Sección Editorial
Lic. Valentín Almaraz Moreno
Portada
Virginia Flores/Sans Serif Editores
Composición tipográfica, diseño, producción y cuidado editorial
Sans Serif Editores, telfax 674 60 91
Primera ed ¡ción 1997
ISBN: 970-654-072-5
©
Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Azcapotzalco
Av. San Pablo núm. 180
México, 02200, D.F.
Impreso en México
Printed in Mexico
Con lodo amor al orgullo de mi vida:
Xhivani
Antes, en todas estas cosas somos más que vencedores por medio
aquel que nos amó.
Por lo cual estoy seguro de que ni la muerte, ni la vida, ni ángeles,
principados, ni p otestad es, ni lo presente, ni lo por ve nir, ni lo al
ni lo profundo, ni ning una otra COSd creada nos podrá separar del am
de Dios, que es en Cristo Jesús Señor Nues tro.
Romanos 8.37-
1 sistema eléctrico de potencia (sEr) es un
conjunto de elementos para convertir,
_ _• transformar y transmitir ene rgía; su análisis ha sufrido -a raíz d el advenimiento de las
computadoras digitales- una evolución en sus
conceptos, su formulación y su resolución matemática. El ingeniero de sistemas de potencia
deberá conocer los métodos para estudiar el SEr
operando normalmente (régimen permanente
equilibrado) y en condiciones de falla (régimen
desequilibrado).
Métodos compu taciol1ales para el al1lílisis de sistemas de potel1cia es un texto que presenta las técnicas computacionales m ás usuales para el modelado y análisis de sistemas de potencia en
régimen p ermanente equilibrad o y desequilibrado. El material puede ser cubierto en un curso de
aproximadamente 50 h oras.
Es deseable que los estudiantes y lectores estén
familiarizados con temas tales como:
• Análisis fasorial de sistemas trifásicos.
• Modelos de representación de componentes de la red.
• Álgebra m atricia l y compleja.
• Técnicas básicas de programación.
El presente libro surge de la necesidad de tener
un texto accesible en español sobre el tema, puesto que la bibliografía de apoyo es ca ra y difícil de
conseguir. Presenta los aspectos fundamentales
de los estudios m ás comunes asociados a red es de potencia, com o el mod elado de redes de
potencia, los fluj os de carga y cortocircuito, etc.,
con un enfoque de solución computacional. Los
conceptos son accesibles tanto para el estudiante
como para el ingeniero exper
tema se presentan ejemplos
blemas de carácter real.
En la sección de estudios
incluye la metodología, así
principales gráficas y tablas
norma IEEE 141-1986 (R93),
fundido en instalaciones eléc
com o base fundamental para
tección y coordinación de pro
corriente.
En esta versión se incluye
dos de ca rácter introductorio
de potencia, un tercero don
metodología de estimación
y el último donde se muest
para cada uno de los temas c
• Normalización en p.lI.
• Componentes sin1étrica
• Estimación de las corri
ca y de línea a tierra en
• Problemario.
La producción de un libro
cooperac ión y el esfuerzo d
Deseo agradecer los coment
bid os de mis alumnos y com
del área de investigación a
docencia. También quiero
miento especia l al alumno K
guro Yuno, por su entusia
en este proyecto.
Todas las críticas construc
sente libro seguirán siendo r
cimiento.
1. 1. EL SISTEMA DE POTENCIA EN ESTADO
ESTABLE. MODELADO DEL SISTEMA
a principal función de un sistema eléctrico de potencia es suministrar energía
_ _.. eléctrica con una adecuada calidad de servicio, cuyos elementos básicos son:
Control de la frecuencia.
Regulación del voltaje.
e) Continuidad del servicio.
a)
b)
Para poder cumplir adecuadamente con estos
requisitos es indispensable realizar estudios
sobre el sistema que nos permitan predecir su
comportamiento bajo distintos estados de operación. Esto permitirá que, cuando se presente una
contingencia, se tengan definidas estrategias y
alternativas de operación que garanticen un número mínimo de usuarios afectados. En términos
generales una contingencia es un desequilibrio
de potencia (activa, reactiva o ambas).
Un sistema que opera en régimen permanente
equilibrado es aquel que cumple con las siguientes
restricciones de igualdad:
• Suma fasorial de corrientes y voltajes igual
a cero:
• Impedancias por fase iguales:
Un sistema que cumpla c
puede ser modelado y re
representación monofásica
sitiva).
En caso de no cumplir
restricciones se considerará
operando en régimen perm
y consecuentemente no se
diante el modelo monofás
tendrán que utilizar técnica
la más común la de compol/
Por otro lado, existen tam
das restriccio11es de desigualda
con operación del equipo:
ción, temperatura operativ
tación matemática, como su
desigualdades.
1.2.
E STADOS DE OPERACI
DE POTENC
Un sistema de potencia pu
estados diferentes, como se
ra 1.1.
Durante más de 99% del
encuentra operando en est
condición, la frecuencia y e
se mantienen en valores pr
el concepto de calidad de ser
debe variar más de 1%, mi
ciones de voltaje en punt
deben ser mayores a 10 por
Como veremos posterio
ción de frecuencia y voltaje
tado de un cuidadoso equil
cias activa y reactiva deman
Control
de
emergencia
Resincronización
Em
Extremo
-1,-0
I Restricción de igualdad
D Restricción de desigualdad
- Negación
Figura 1.1 . Diagrama de transición de estado .
y las sumin istradas por las fuentes de potencia .
La problemática de la operación de una red de
potencia consiste en tratar de mantener un equilibrio entre la potencia suministrada (tanto P
como Q) y la demandada por las cargas junto con
las pérdidas y requerimientos reactivos de todos
los elementos de transmisión.
Este concepto de igualdad entre la generación
y la demanda es un prerrequisito fundamental
para la normalidad del sistema, como se indica por
el símbolo 1 (igualdad) en la figura 1.1. El segundo símbolo (D, desigualdad) indica que ciertas
condiciones -representadas matemáticamente
por desigualdades - deben también cumplirse
en el estado normal.
Las restricciones de d esigualdad O en el sistema se caracterizan por el cumplimiento d e ciertas condiciones de operación representadas matemáticamente por d esigualdades. Por ejemplo,
las cargas a transformadores y generadores no
deben exced er las capacidades nominales; las
14
líneas de transmisión no d
más a llá de sus límites térmi
en estado estable, las caídas
voltajes no deben sobrepasa
regulación, etcétera.
El estado normal también
nivel de seguridad, el cual re
l1/nrgen de generación en form
(unidades incorporadas al si
entregando toda su potencia
ca común mantener una capa
va lente a la capacidad de la
que se tenga operando en el s
dad rodante será la suma de
reserva de cada una d e las un
que estén operando en el sis
Cuando el margen de gen
bido a la presencia de un di
severo, reduce el nivel de se
entra en un estndo de alerta. Ha
las igualdades 1 y desigual
tamente hacia el estado normal o de alerta mediante el control de emergencia. En el estado de
emergencia la generación no es capaz de sostener
la carga pero el sistema aún permanece en sincronismo (el símbolo 1 no ha cambiado pero una
o varias componentes del sistema están ahora
sobrecargadas) (observe la negación del símbolo
D); conforme algunas de esas componentes falle,
el sistema perderá coherencia a l empezar a desintegrarse. Es urgente que sea regresado a su
estado normal O de alerta por medio de acciones
de control emergen te, como por ejemplo: d esconexión de la sección fallada, reorientación d e
flujos de carga, o si estos últimos fallan, la desconexión de cargas (tiro de carga).
Si las acciones de control de emergencia fallan,
el sistema entrará al estado extremo; por ejemplo,
la desintegración del sistema en secciones o islas,
algunas de las cuales tendrán suficiente generación para alimentar la carga, y en otras en donde
los generadores serán esforzados más allá de sus
capacidades. Note que tanto 1 como D están negados en este estado. Como nunca se debe tolerar
un estado de sobrecarga a los gt!neradores por la
posibilidad de que sufran un daño severo, este
1.3. SoWCION DE PR
EN INGENIER
A causa de la complejidad d
tricos de potencia (SEP) -co
día los sistemas más grand
pretende tener bajo control
ble el empleo de metodologí
y ordenadores de gran cap
para realizar el aná lisis del c
estos sistemas. Para la solu
problemas de ingeniería y
ingeniería eléctrica de poten
el conocimiento adecuado
compu tacionales como: alg
de programación, manejo d
vos, sistemas de adquisició
de datos en tiempo real, etcé
Los modernos sistemas de
manera sistemá tica todas
para cumplir adecuadament
so de la calidad de servicio
energía eléctrica .
n.l. TorOLOcfA DE REDES
a formación de un modelo matemático
confiable es el primer paso en el análisis
_ _.. de un sistema de potencia. El modelo
debe describir las características de cada uno de
sus componentes así como las relaciones que
gobiernan la conectividad de esos elementos
(topología de la red). Una ecuación matricial del
sistema provee un conveniente modelo matemático para una solución digital por computadora.
Los elementos de esta matriz del sistema
dependen de la selección de las variables independientes, las cuales pueden ser corrientes o
voltajes, que serán, respectivamente, impedancias o admitancias.
Las características eléctricas de cada uno de los
elementos son presentadas convenientemente
en la forma de una matriz primitiva. Esta matriz
describe adecuadamente las características de
admitancia o impedancia propIa y mutua para
cada componente, p ero no provee información
relacionada con la conectividad de éstos en el
sistema.
Existen dos tipos de matrices primitivas:
• Matriz de impedancias primitivas [z]
• Matriz de admitancias primitivas [y]
La construcción d e la matriz [z] se realiza mediante el vaciado directo de valores de impedancia primitiva de los elementos: en la diagonal
principal valores de impedancia propia, y fuera
de la diagonal principal impedancias mutuas. Es
así como esta matriz es cuadrada, simétrica, C0111pleja y no singula r de orden e x e (donde e representa el número de elementos de la red). Por
inversión de esta matriz se
admitancias nodales [yj, la cu
características matemáticas
Partiendo de estas matric
cesario transformarlas en m
matrices de red, las cuales de
miento del sistema consid
mente aspectos d e impedanc
conectividad. Estas matrices
por simple inspección de la red
existan elementos acoplados en
Por ejemplo, para la matri
siguientes ecuaciones:
Elementos de la diagonal
Elementos fuera de la dia
La representación de la
depende del modelo de refer
dal, de malla o de rama) . D
el modelo de referencia no
utilizado en la actualidad; e
bles son los voltajes y corri
teándose en forma de admit
se en impedancia. La forma
matriz del sistema es una
programa digital de compu
ción de problemas relaciona
de sistemas eléctricos de po
a) Diagrama unifilar
6
2
_.J...._ BR Barra de referencia (neutro)
b) Diagrama de secuencia positiva
Figura 11.1 . Representación de un sistema de potencia.
11.2. GRÁFICOS DE UNA RED
Cuando la red analizada contiene elementos
acoplados en forma de impedancia, para obtener las matrices de red se utiliza una cOJ11binación
lineal de matrices priJ11itivas y de incidencia. Estas
últimas parten de un modelo gráfico que describe la conectividad d e todos sus elementos. Para
definir la estructura geométrica de una red eléctrica basta reemplaza r los componentes d e l
sistema por simples segmentos de líneas, independientemente de sus características (transformadores, líneas, generadores, etc.). Estos segmentos d e líneas son llamados elelllentos y sus
terminales nodos. Los segmentos de líneas se
orientan mediante flechas, siendo esta orientación arbitraria; sin embargo, es conveniente que,
estando conectado el elemento a los nodos p y q,
se cump la para simplificación algorítmica que:
q > p. Se dice entonces que el elemento saledep
yentraaq.
Un nodo y un elemento son incid entes si el
nodo es una terminal del elemento. Los nodos
18
pueden ser incidentes a uno o
grafoo gráfico muestra la in
trica (topológica) de una red e
es cualquier subconjunto de
grafo. Una trayectoria es un s
tos conectados con no más d
nectados a cualquier nodo.
Un grafo es conectado si
menos una trayectoria entr
nodos. Si a cada elemento d
se le asigna una dirección, e
el grafo es orientado y conecta
Una representación de un
en la figura 1I.1 y e l correspo
tado y conectado en la figura
Un s ubgrafo conectado, qu
nodos del grafo y no contien
das es un árbol. Los elemen
llaman ralllas y forman un
elementos del grafo. El núm
querido para formar un árbo
b=,,-1
Figura 11.3. Mallas
Figura 11.2. Árbol y coárbol del grafo orientado.
Donde n es el número de nodos del grafo.
Aquellos elementos del grafo conectado que no
están incluidos en el árbol se denominan enlaces
y forman un subgrafo, no necesariamente interconectado, llamado coárbol. El número de enlaces
1de un grafo conectado con e elementos es:
l =e -b
(1l.2.2)
De la ecuación 11.2.1 se deduce que:
l=e-11+1
(11.2.3)
Un árbol y su correspondiente coárbol del
grafo se muestra en la figura 11.2. Aquí se observa
que la numeración de elementos corresponde en
orden primero a las ramas y después a los enlaces.
Los números de las ramas se eligieron de tal
manera que al ir añadiendo al grafo rama a rama
se genera un nuevo nodo (también en orden
creciente), mientras que al adicionar enlaces no
se crea ningún nuevo nodo. D" esto se deduce
que antes de numerar los elementos es conveniente
seleccionar el árbol del sistema, puesto que éste no
es único.
Si un enlace se añade al árbol, el grafo resultante contiene una trayectoria cerrada llamada
malla. La adición de subsecuentes enlaces forma
una o más mallas adiciona les. Lns mallas que CO /l tienen un solo enlace son independie/ltes y se denominan mallas básicas. Consecuentemente, el número
de mallas básicas es igual al número d e enlaces
dado por la ecuación (11.2.3). La orientación de
una malla básica se elige de acuerdo con la orientación de su enlace. Las mallas básicas del grafo
(figura 11.2) se muestran en la figura 11.3.
Un conjunto cortado es un
mentos que, si son eliminado
conectado en dos subgrafos c
po de subconjuntos cortado
diente puede ser selecciona
cortado contiene sólo una rama
tados que contienen una so
conjuntos cortados básicos. El n
cortados básicos es igual al n
orientación de un conjunto
elige de acuerdo con la única
Los conjuntos cortados bási
figura 11.2 se muestran en la
11.3.
MATRICES DE IN
Cuando los elementos que c
ma no están acoplados en fo
las matrices d e red se genera
inspección. En caso contrario
lización de otras metodolo
que destacan las transformaci
método parte de la obtenció
Figura IIA. Conjuntos co
obtengan las matrices A, B o e respectivamente,
de tal manera que para obtener la matriz de red
sólo será necesario obtener una matriz de incidencia.
Il.3.1. Matriz de incidencia elemento-nodo A
La incidencia de los elementos hacia los nodos
en un grafo conectado se muestra en la matriz
de incidencia elemento-nodo A. Los elementos de
esta matriz a,; se determinan como sigue:
a,; = 1, si el i-ésimo elemento está conectado al
nodo j y sale de él.
a,; = - 1, si el i-ésimo elemento es incidente
al nodo j y llega a él.
a,; = O, si el i-ésimo elemento no es incidente al
nodoj.
La dimensión de la matriz A es de (e x n),
donde e es el número de elementos y n el número
de nodos del grafo; la matriz de incidencia elemento-nodo para el grafo de la figura 11.2 es:
n
e
A=
O
1
2
3
4
1
1
-1
O
O
O
2
1
O
O
O
3
1
O
O
O
-1
4
O
O
O
-1
1
5
O
O
1
-1
O
6
O
1
-1
O
O
7
O
O
1
O
-1
-1
Puesto que:
j ::;;: 1, 2, 3 ... , e
20
cia positiva o negativa, y la
red de secuencia cero. Enton
los otros nodos, referidos c
ses", pueden ser medidas co
erencia asignada. La matriz o
nando la columna correspo
referencia, es la matriz de in
barra A (elemento-bus), la
matriz de incidencia nadal.
La dimensión de esta matr
su rango n - 1 = b, donde b es
en el grafo. Seleccionando al
referencia para el gráfico de
n
e
1
2
3
4
1 -1
O
O
O
-1
O
O
O
-1
2
O
3
O
O
A= 4
O
O
-1
1
5
O
1
-1
O
6
1
-1
O
O
7
O
1
O
-1
Si las filas de A se acomo
en particular, la matriz puede
submatrices A. de dimensión
dimensión 1x (n -l),dondela
ponden. a ramas y las filas
matriz particionada para el g
figura 11.2 es la siguiente:
Por lo tanto:
6
1 -1
7
O
1
O
O
O -1
A, es una m atriz cuadrada no singular con
rango (n - 1).
1I.3.3. Matriz de incidencia rama-trayectoria K
La incidencia de ramas a trayectorias en un árbol
se muestra mediante la matriz de incidencia ramatrayectoria, donde una trayectoria es un camino
-a través del árb ol- de cualquier nodo hacia
el nodo de referencia.
Los elementos de esta matriz son:
k'1. = 1, si la i-ésima rama está en la trayectoria
desde el BUS j-ésimo y está orientada en la misma
dirección.
k .. = - 1, si la i-ésima rama está en la trayectoria
'1
desde el j-ésimo BUS hacia el de referencia, pero
está orientada en la dirección o::,u esta.
k'1. = 0, si la i-ésima rama no está en la trayectoria del j-ésimo BUS hacia el de referencia .
Con el nodo como referencia, la matriz de
incidencia rama-trayectoria asociada al árbol
de la figura 11.2 es:
°
trayectorias
1
2
3
4
1 -1
O
O
O
K= 2
O
-1
O
O
3
O
O
-1
-1
4
O
O
-1
ramas
O
1I.3.4. Matriz de incidencia
básico B
Los elementos de esta matriz
b.. = 1, si el i-ésimo element
'1
orientado en la misma direc
conjunto cortado básico.
b'1.. = - 1, si el i-ésimo elem
está orientado en la dirección
conjunto cortado básico.
b'1 = 0, si el i-ésimo elemen
j-ésimo conjunto cortado bás
La matriz de incidencia co
sico, de dimensión e x b, para
ra 11.4 es:
b
conjuntos co
A
B
elementos 1
1
O
2
3
O
O
O
B= 4
O
O
e
e
1
5 O -1
6 -1
1
7 O -1
La matriz B puede ser part
trices U, y B" donde las filas
a ramas y las filas de B, a enl
La matriz particionada es:
5
6
La matriz de incidencia U. muestra la correspondencia uno a uno entre ramas y conjuntos
cortados básicos.
La submatriz B, puede obtenerse de la matriz
de incidencia de barra A. La incidencia de ramas
a buses está mostrada por la submatriz A" puesto
que hay correspondencia uno a uno entre ramas
y conjuntos cortados básicos. El producto B, A .
muestra la incidencia de enlaces a buses, esto es:
7
1
o o
o 1 o
o o 1
,
,
E
F
2 1
3 -1
4 -1
5 1
-1
1
c-
6
7
Por lo que:
En suma, en relación con la ecuación (IT.3.2):
renglon
G
1
1
-1
1
1
La matriz identidad U, mu
dencia uno a uno de enlaces h
11.4. MATRICES PRI
DE RED
B, =A,K'
(11.3.3)
Il.3.5. Matriz de incidencia a malla básica e
La incidencia de elementos a mallas básicas de
un grafo conectado se muestra en la matriz de
incidencia de malla básica C. Los elementos de esta
matriz son:
e,; = 1, si el i-ésimo elemento incide y está
orientado en la misma dirección que la j-ésima
malla básica.
e,; = - 1, si el i-ésimo elemento incide y está
orientado en la dirección opuesta a la j-ésima
malla básica.
e,; = 0, si el i-ésimo elemento no incide en la
j-ésima malla básica .
22
Las representaciones alterna
nente de la red se muestran e
relaciones tensión-corriente
sadas en función de equiva
Norton; las variables utilizad
V,"
Voltaje a través del element
epq Fuente de voltaje en serie co
ipt¡ Corriente a través del eleme
1"" Fuente de corriente paralelo
z", Impedancia propia del elem
y", Admitancia propia del elem
Cada elemento tiene dos v
estado estable, estas variable
de los elementos ZM y Y", son n
J"
Ep
•
®
I
~
'"
4
Y"
i
~
ipq + pq
vpq=Ep-Eq
b)
Figura 11.5. Representaciones de un componente
de red. 8) Modelo de impedancia.
b) Modelo de admltancla.
circuitos en corriente directa, y números complejos para circuitos en corriente alterna. La ecuación de comportamiento para el elemento en
forma de impedancia es:
(11.4.1)
tiva [y] puede ser obtenida
matriz de impedallcias primitiv
Estas mai-rices [z] y [y] so
si no existe acoplamiento mutuo
este caso las impedancias pr
los recíprocos de las corresp
cias propias.
La matriz de impedancias
nera por vaciado directo de l
dancia propia y mutua de los
red; es, como se mencionó
matriz cuadrada, simétrica y
den e x e, donde e represent
mentos de la red. Al invertir e
se obtiene la matriz de admit
cuyo grado de dispersidad
fuera de la diagonal principa
te corresponde al de la matri
yen forma de admitancia:
(11.4.2)
11.5.
FORMACIÓN DE MA
POR TRANSFORMACIONE
Las fuentes de corriente y voltaje empleados
en cada representación se relacionan mediante:
Una red primitiva se define como un conjunto
de elementos NO conectados. Las ecuaciones de
comportamiento de una red primitiva pueden
ser derivadas de las ecuaciones (11.4.1) o (11.4.2),
expresando las variables como fasores y los parámetros como matrices. La ecuación de comportamiento en forma de impedancia es:
v+e= [zJi
y en forma de admi tancia:
J/.5.1. Ecuaciones
Un sistema está constituido
elementos interconectados. E
erencia nodal, el comporta
interconectada se describ
ecuaciones independientes, d
ro de nodos. En notación m
en modelo de impedancia es
o en modelo de admitancia:
transferencia.
En el modelo de referencia de ramas, el comportamiento de la red interconectada está descrita por b ecuaciones de rama independientes,
donde b es el número de ramas (brnllciles, en
inglés). En notación matricial, las ecuaciones de
comportamiento son:
-E
= 2 BR lBR
-I
YBR EBR
BR
BR ::;
-
modelo impedancia
-
modelo admitancia
donde:
ESR
Vector de voltajes a través de las ramas .
~R Vector de corrientes a través de las ramas.
ZBR Matriz de impedancias de rama, cuyos elementos son impedancias de circuito abierto y de
transferencia de las ramas de la red.
YnR. Matriz de admitancia de rama, cuyos elementos
son admitancias de cortocircuito y de transferencia de las ramas de la red.
En el modelo de referencia de mallas, el comportamiento de la red interconectada está descrita por I ecuaciones independientes de malla,
donde I es el número de enlaces (uniones) o
mallas básicas. Las relaciones tensión-corriente
son:
-
-
Em~lI~ = 2m~lIa lm~lI~
modelo impedancia
¡m~lI~ = y milllil Emilll~ modelo admitancia
donde:
Vector de voltajes de malla básica.
Imilnil Vector de corrientes de malla básica.
tmilllil
24
para relacionar las variables
red primitiva a cantidades d
la red interconectada. La ecu
miento de la red primitiva:
i+ J= [y] v
al premultiplicar por A' (tr
obtiene:
A'
i+A' J=A'
Puesto que la matriz A m
de los elementos a los buses,
el que cada elemento es la su
corrientes de los elementos d
nan en un bus. De acuerdo co
de corrientes, la suma algebra
en una barra es cero, esto es:
Similarmente, A' j nos da
de las corrientes hacia las bar
al vector de corrientes repre
barra.
Sustituyendo las ecuacion
en la ecuación (11.5.1) se obtie
!,US
= A' [y]
_ La p!?tencia compleja en la
(I,us*)' EBus Y la de potencias
es (F)' v. Estas potencias de
decir, la transformación de v
debe respetar el equilibrio e
por lo que:
(11.5.6)
Sustituyendo la ecuación (II.5.6) e n la (11.5.5):
Puesto que ~s ta ecuación es válid a para todos
los valores de j se deduce que:
A EBUS=v
algebraica d e las corrientes
mentos incidentes a un det
cortado básico.
Si removemos los e lemen
co rtado básico di vidimos a
des co!:,ectadas. Asimismo, u
tor B' i es la suma algebraica
trando a una de las sub red
Kirchhoff de corrientes es ig
(11.5.7)
Sustituyendo la ecuación (II.5.7) en la (11.5.4):
I,us = A' [y] A E,us
(11.5.8)
Sabemos que la ecuación de comportamiento
de la red:
Similarmente, B' j es un v
elemento es la suma a lgebra
los elementos incidentes al c
sico y es la corriente total e
ra ma, por lo tanto:
(11.5.9)
1BR = B,/7
Por analogía en (U.5.8) y (Il.5.9):
Sustituyendo las ecuacion
en (11.5.10) obtenemos:
La matriz de incidencia nodal A es singular,
por lo tantoA' [y) A es una tran sformación sil/gil lar
de [y).
La matriz de impedancia nodal (2,us) puede
ser obtenida m ediante:
1,, = B'[y ]
_ La e.0tencia total de la red
(lIJ")' E,,:
Obteniendo
(l.,')' de la ec
Il.5.3. Matrices de admitancia e impedancia
de rama
La matriz de admitancia de rama YD, se obtiene
utilizando la matriz de incidencia conjunto cortado básico B que refiere las variables y paráme-
Como la matriz B es rea l,
rama está dada por:
-lB, ;
-
YBR EB•
Puesto que la potencia es
(11.5.16)
Por analogía de las ecuaciones (1I.5.1s) y
(I1.5.16) se establece que:
Sustituimos Em'lI' (1I.5.19) e
ción:
(Tm.lIl1 o)' C' e; (
La matriz de incidencia conjunto cortado básico B es singular, por lo que B' [y] B es una
tra nsfo rm ació IlSing" la ni e[y ].
La matriz de impedancia de rama Z'R se obtiene por inversión de YB.:
Como esta ecuación es vá
valores de e; se deduce que:
Por lo tanto:
ZB' ; Y¡;~; (B' [y ] Bt l
Pero siendo e una matriz
Il.5.4. Matrices de admitancia e impedancia
de malla
La matriz de impedancia de malla (loop) Zm.lI. se
obtiene utilizando la matriz de incidencia elemento-malla básica C, que refiere las variables y
parámetros d e la red primitiva a cantidades de
malla de la red interconectada. La ecuación
de comportamiento de la red primitiva:
Sustituyendo las ecuacion
Y (11.5.20) en la ecuación (1I.5
Emalla -c'
[z] c
-
La ecuación de comportam
el modelo de referencia de m
Se premultiplica por C' para obtener:
(11.5.17)
Por analogía (I1.5.21) y (11
Como la matriz e describe la incidencia de los
elementos a las mallas básicas de la red, C' ií es la
suma algebraica de los voltajes a lrededor de cada
una de las mallas básicas.
Puesto que e es una matr
es una transfor/nación singula
C' v+ C' e; C' [z] i
26
b) Forme las matrices Y,
transformaciones singu lares.
Matrices de red
Primitiva
I
N
[z ]
V
E
R
S
I
o
N
I
IC' [z] e
C'"
Malla
Zm"lla
Rama
Bus
2 BUS
Propia
Número Código
de barra Impedallcia
de
(BUS)
elemento
Zpq. pq
Y BUS
B' [y] B
II.3. Datos de impe
Z"
Ym"l1a
[y]
CUADRO
Y'R
Las relaciones tensión-corriente entre redes
primitivas e interconectadas se resumen en el
cuadro 11.2.
II.2. Relaciones tensión-corriente
entre redes interconectadas y primitivas
CUADRO
1-2 (1)
0.6
2
1-3
0.5
3
4
5
3-4
1-2 (2)
0.5
0.4
2-4
0.2
1
La red contiene cuatro no
tos, esto es:
Modelo de referellcia
Mal/a
Corriente
Voltaje
Bus
i = e Imalla I,u,=A'j
Em"II,, -c,e v=A Eaus
Rama
IBR = B' ¡
El número de ramas es: b =
ro de mallas básicas es: I = e
3
0 - - ---
v= B E[lR
2
II.6. EJEMPLO DE FORMACIÓN DE MATRICES
DE INCIDENCIA Y DE RED
é----- - - - -
'- ~ ~ ~ ~ . --- - - - - - ... - - - 4
Las matrices de incidencia para un sistema dado
no son únicas y dependen de la selección del
grafo. Así, las matrices de red obtenidas variarán en función de la asignación de l número de
nodo, el número de elemento, la orientación, etc.
Como ejemplo, considérese el sistema:
Figura 11 .8. Árbol y coárbol par
del sistema .
Las ramas y enlaces del
conectado para la red son las
la figura II.8. La matriz de i
nodo A es:
4
d e bus (incidencia nodal) es:
e
A=
4
-1
O
O
2
O -1
3
O
4
Figura 11.9. Conjuntos cortados
orientado cone ctado del ejemp
bus
2 3
3
o ¡t------.
O
-1
-1
O
2
O
O -1
5
Observe que la primera columna de esta matriz corresponde a l nodo número 2, lo que se
reflejará posteriormente en la matriz d e admitancias nodales Z,us.
La matriz d e incidencia tra yectoria- ram a es:
e
trayectoria
2 3 4
-1
K=
O
2
O -1
3
O
'
·
e
~ - - - - - - - - - - - - - ., - - -
4
Figura 11. 1O. Mallas básicas par
del ejemplo.
La matriz de incidencia m
referencia a la figura 11.10 es:
O
-1
enJace
D E
e
0-1
-1
Los conjuntos cortados básicos se muestran en
la figura 11.9.
La matriz de incidencia conjunto cortado básico Bes:
c=
O
2
O -1
3
O -1
4
O
5
O
,ama
e
A
2
O
B= 3
O
C
O
O
O
O
2
(zl =
2
3
4
5
0.6 0.1
O 0.2
O
0.1 0.5
O
O
O
O 0.5
O
O
O
3
O
4
0.2
O
O 0.4
5
O
O
O
-1
• En un g rafosesugiere, en todos loscasos,seleccionarel neutro
o la tierra física (según sea el caso) como nodo de referencin, y
asignarle el número cero n esta referencia para que las matrices de
red YBUS Y YSR tengan relación uno a uno entre ensillas y nodos.
28
e
e
O
O
4
5
B
O 0.2
M
p
Y,u, ~ A' [y]A
3
4
5
2
3
O
- 1.042
O
-1
O
2
YBUS
=
2
3
4
2
-1
O
O -1
3
O -1
O
4
O
O -1
2.083 -0.41 7
5
-0.41 7 2.083
2
O
3
O -1
4
O
O
2
3
- 1.041 0.209
O
4
4
O
O
2
O
O
3
O
O
3.021
O
4
-1
O
O
5.000
5
5
- 1.979 5.000
-2.000
O
0.208
O
0.41 7 - 2.083 2.000 -0.208
3
O
2.000
- 1.042 0.208
5
2
O
O
-5.000
O
2
3
4
-1
O
O
2
O -1
3
O
4
-1
O
O
O
O
O
4
3
8.020 -0.209 - 5.000
2
3 -0.209 4.083 -2.000
4 -5.000 - 2.000
La matriz de impedancias de malla 2
0
"",
7.000
por transformaciones singulares es:
2 m.". ~ C' [z] e
5
o
0.6 0. 1 O 0.2 O
-1
2
Zm&lL& =
o
2
3
4
5
O
O 1
O
1- 1
E
1 -1 -1
0.1 0.5
2
3
O
O
4
2
3
O
4
O
O
2
O -1
O
O
3
O -1
O
5
0.5 -0.4-0.5 0.2 0.2
E
O
0 1-0.4-0.1 O 0.2 O 1
E
4
O 0.5
0.2 O
5
3
O 0.4 O
4
O 0.2
5
O
o
E
-1
O
2
O -1
3
O -1
4
O
5
O
O
O
-1
5
2
O -1
O
O
4
5
2.083 -0.417
o o
B o 1 o o
e o o
o
2
3
-1
-0.417 2.083
A
YSR
=
2
o
3
4
o
o
o
-1.042
2.000
o
o
o
3.021
o
o
o
o
o
5.000
- 1.042 0.208
o
5
o
0.208
B e
o o
o
o
o
o o
A
2
A
1.041-0.209
B -0.417 2.083
e
o
o
3
4
o
o
1.979 - 5.000
2
0.208
5.000
3
2.000
o
5.000
5
4
5
A
A
B
e
8.020 - 5.209 - 5.000
B - 5.209 7.083 5.000
e
30
-5.000 5.000 7.000
-1
2
3
4
5
III.1 . I NTRODUCCIÓN
I m é todo de transformaciones singulares
presentado en el capít ulo II requiere la
__.. transformación e inversión d e ma trices
complejas para obtener la matriz d e red. Puede
emplearse un m étodo alternativo p a ra formar la
matriz ZBUS directamente a partir de las impedancias primitivas d e los elementos del sistema
y de su conectividad a los nodos, considerando
ante todo que los elementos de la diagonal principal son impedancias equivalentes de Thevenin
y los elementos fuera de ella son impedancias de
transferencia .
El principio básico es la form ación de ma triz
Zsus por pasos, simulando la construcción de la
red y añadiendo los elementos uno a uno (algoritmo desarrollado por Brown, Person, Kirchmayer y Stagg en 1960).
I1I.2. ALGORITMO PARA LA r ::>RMAC IÓN
DE LA MATRIZ DE IMPEDANCIA
NODALZous
IlI.2.1. Ecuaciól1 de compor/mlliell/o
de IIl1a red parcial
Asuma que la m a triz de impedancia nodal Z,us
se conoce para una red parcial de 111 buses y un
nodo d e referencia O. La ecuación de comportamiento para esta red es:
®
f---:
Red
Parcial
----=
: e
f----'="-
r",
®
t----_=_"
Refer
Figura 111.1 . Representació
d onde:
Esus Matriz (/11 x 1) de vo ltaje
al nodo de referencia, 111 n
red parcial.
Matriz (111 x 1) d e corrient
(o de inyección nodal ).
Matriz (m x /JI) de impe
red .
Cuando un elemento co
p-q se añade a la red parcial,
o un enlace, como se muest
Si el elemento p-q es una
añadir un nuevo nodo o bus
dancia nodal 2 sus crecerá
(111 + 1) X (m + 1).
Las nuevas matrices (vec
voltajes será n de orden (m +
@
Referencia
a)
Re
b)
Figura 111.2. Representación de una red parcial co n la adición de un elemento. a) Ra
nar la nueva Z.us se requiere sólo d el cálculo de
los elementos d e la nueva fila y columna.
Si el elem ento p-q es un mlace, no hay adición
de bus a la red, y p ermanece el orden anterior de
la matriz Z.us' pero todos los elementos deben ser
recalculados para incluir el efecto de/nuevo elemento
añadido.
IlI.2.2. Adición de tilla mma
cia) pueden determinarse i
rriente en el i-ésimo bus y c
en el q-ésimo bus con respec
encia, como se muestra en la
NOTA: Para las representaci
omitirá el símbolo - para rep
y el símbolo - se añadirá a la
senten a un vec tor (conjunto
cadas), con la finalid ad de fa
de las expresiones.
La ecuación de comportamiento de la red parcial con la inclusión de una rama p-q es:
2
E,
E,
p
q
... 2'"1m : 2"
r.
2 11 2 12
2,p
2 22
22p
Ep =p 2 p' 2 p'
2pp
Em '"
2., 2.,
2.p
Zm", : 2""1
1,,,
q 2 q, 2 q,
2qp
· ·Z~,;,· :· Z~ ·
r.
Eq
2 2 21
...
2 2m : 2",
1í
Z""
r,
2p1/1 :
•••
•
(lIl.2.1)
Red
Parcial
Se asume ahora (como es el caso común) que
la red está constituida por elementos pasivos
bilaterales. Como consecuencia, para la red parcial se cumple que Z" = Z" (i = 1, 111) siend o m el
número de nodos de la red parcial (sin incluir
el de referencia). La rama añadida p-q se asume
que está acoplada mutuamente co n otros elem entos de la red parcia l.
Los elementos Z" (impedancias d e transferen32
CD
®
••
0
CD
••
•
J¡ = 1.0 p.u
:
•
@
Refe
Figura 111.3. Co rriente inyectada
para determinar ZQi.
Como las corrientes en lo
cero, d e acuerdo con la ecua
ti ene:
donde E, Y Ea son los voltaje
red parcial. De las ecuacione
Sustituyendo Ii = 1.0 p .u . en las ecuaciones
(1I1.2.2), Z'i puede obtenerse por cálculo directo
de Eq. Los voltajes asociados al elemento añadido (voltaje a través del elemento) están definidos
por:
Eq = EP -vPI!
=
¿po
.... ,.
"po ,pq
" jXI',po
l""']
vpa
(IlI.2.4)
En la ecuación (lII.2.4) pq es un índice compuesto
y se refiere al elemento añadido y po se refiere a
todos los elementos restantes (de la red parcial),
entonces:
¿pq
l,.
Y ~pq Corriente y voltaje a través del e le mentoaña-
Y",.
'fp""oq
Sustituyendo "pO de la ecu
(111.2.3)
Las corrientes en los elementos de la red de la
figura lIl.3 están expresados en términos de las
admitancias primitivas y de los voltajes a través
de los elementos mediante:
[ ~",] [~"'.... ~
Por lo tanto:
dido.
Corriente y voltaje (vectores) de los elementos de la red parcial.
PO
Sustituyendo " PO en la ecua
-
E =E +'
q
'po,
PIJ
I!',..,.] Matriz de admitancias primitiva de la red
parcial.
(E
' pq
Finalmente, sustituyendo
ecuación (III.2.2) con Ii = 1.0:
-
(2 -2 )
2 qi = 2 ,,¡ +
" '4fX'
,
pi
PI/,pq
(Ji
•
l=
i*
El elemento Z., se calcula
rriente en el q-ésimo bus y c
en ese bus. Como todas las
son iguales a cero, de la ecua
duce·que:
Admitancia primitiva propia del elemento
Vector de admitancias mutuas entre el elemento añadido p-q y los elementos p- a de la
red parcial.
Traspuesta del vector ~" q, po'
plJ,po
P
añadido.
'fpq.po
~.. ,. (E,
" =
2893050
¿""
= -1, =- 1.0
(111.2.10)
Los voltajes a través de los elementos de la red
parcial están dados por la ecuación (1II.2.6) y su
correspondiente corriente por la ecuación (111.2.4).
De las ecuaciones (II1.2.4) y (1II.2.1O):
Y
i::=1,
También Z", = 0.0 y consec
2 qq -.
'pq, PIJ
¿pq =u
,,+;;
¡¡ =-10
T pq,pq pq
T pq,po po:
.
y por lo tanto:
m.2.3. Adición de
" P'I
Sustituyendo ¡¡pO de la ecuación (IlI.2.6):
"
pq
1 + ~".pe (E, - Ea)
= - ----"-'7-----''-----'~pt¡.pq
(1II.2.11)
Sustituyendo "" en la ecuación (I1I.2.3):
E =E + 1+~,.",, (E,-Ea)
q
p
Si el elemento añadido p-q e
cedimiento para recalcular
matriz de impedancia noda
tar en serie con el elemento
de voltaje e, (figura lIlA).
ficticio 1, el cual deberá ser e
mente.
~'''H'q
Finalmente, sustituyendo E" E", E, Y Ea de la
ecuación (I1I.2.9) con 1, = 1.0:
2 = 2 + 1 + ~P'I. pe (2", - 2 a, )
qq
I'q
lfptJ,pq
s
0
•
(111.2.12)
Si no existen acoplamientos mutuos entre la rama
añadida y otros elementos de la red parcial, entonces los elementos de ~"'.pa son cero y:
De la ecuación (II1.2.8) se deduce que:
®
:
Red
•
Parcial
v""
®
r
CD
"
:
•
@
i::= 1, 2, ... ,111
Referencia
Figura 111.4. Fuente de voltaje y
en serie con el enlace añadido
nodales para el calculo de ZI/.
34
...
E, -p
2"
Em
Zml Zm2
Z" Zo
Z"
entonces:
Z",
z,,"
Z"
lp
2m,
Z"
2111/,, : 2m)
1m
'2;';1':' 2,; "
11
(I1I.2.J3)
C#.,,¡
'1
'"
Sustituyendo en orden
(I1I.2.16), (111.2.6) Y(lII.2.14) co
ción (I1I.2.15) se encuentra:
Puesto que e, = E, - E" el elemento 2" puede ser
determinado inyectando una corriente en el i-ésimo y calculando el voltaje en ell-ésimo nodo, con
respecto al bus q, y como la corriente en todas las
barras restantes es igual a cero, se d educe de la
ecuación (I1I.2.13) que:
E. = Z.Ji
e, = Z" li
Para todo k = 1, 2, ... , III
(1JI.2.J4)
Fijando l i = 1.0 en las ecuaciones (111.2.14), Z"
se obtiene directamente mediante la d eterminación de e,.
La fuente de voltaje en serie vale:
(111.2.15)
Puesto que la corriente a través del enlace
añadido es cero:
2 .=2 .- 2 .+
Ir
T pq, PO'
ql
1"
i = 1, 2, ...,
i" 1
El elemento 2" se calcula
rriente en el l-ésimo bus co
referencia y calculando el v
bus con respecto al bus q. Co
las otras barras son cero, se de
(111.2.13) que:
E. = Z., J,
k
Asignando 1, = 1.0 p.u. en l
2 " se obtiene directamente p
La corriente en el element
i ,,¡
El elemento p-l puede ser tratado como una rama.
La corriente en este elemento en términos d e las
admitancias primitivas y de los voltajes a través
de los elementos es:
;;
= - 1, = - 1
Esta corriente en términos
primitivas y de los voltajes
mentus es:
¿,JI = '{Id. pI "',,1 + 'i"¡,PCf "
De nuevo, puesto que:
y
flpq, pq
Si no existe acoplamiento mutuo entre el elemento añadido y otros elementos de la red parcial, los elementos de ~",.po SON CERO y:
Se sigue de la ecuación (111.2.17) que:
j
= 1, 2,
""
glones y columnas correspo
ticio.
El nodo ficticio (l-ésimo re
ZBUS) se elimina cortocircuitan
taje en serie e" de la ecuación
y
m
i,j = 1, 2, ... ,
i" I
y de la ecuación (111.2.20)
Resolviendo para I, de la e
sustituyendo en la (IlI.2.21):
Adicionalmente, si no existe acoplamiento mutuo
y p es el nodo de referencia:
i = 1, 2, .. " m
-Eaus = (Zaus -ZI
-
Z
la cual es la ecuación de com
red incluyendo el enlace p-q.
que la ZBUS requerida es:
_
2 aus (modificada)
y
i=1 , 2, ... ,m
-
Zaus (aTltes de la
donde cualquier elemento d
_
Z jj (modificad a) -
Zij {aTltes de la
~l
también:
Zp' =0.0
y consecuentemente:
Z /1 = - Z ql
36
+,.
pq, l'I/
Este procedimiento, conoc
de reducción de Kron, se encue
cuadro III.1.
Para las fórmulas anterior
Z (mayúscula) corresponden
matriz ZBU5' y los términos
valores de impedancias prim
7 1''',1'1
i = 1, 2, ... , 111 i i= q
i = 1, 2, ... , 111 j
E/ Ilace
i = 1, 2, ... , III i i= I
i = 1, 2, ... , "' i
b) Sin acoplalll;cllfo mI/tI/o
Rama
2",=0.0
;= 1, 2, ... ,111 ii=q
i = 1, 2, ... ,
111
i"
Elllace
2,¡ = Z"i - 2,,;
;= 1,2, ... ,111
i-:t:l
i = 1, 2,
oo.,
ModificaciólI de los eJelllclltos pnrn ClillliJlaciólI del lIodo I
1/1
i
I
(1)
2
o
r
I
I
3
1
zl2
ZII
5
l
(2) 4
®
z
=
Z =_Z
/22/
"-1 2 (2)
22+
Da/os de impedancia
Propia
Número
de
elemellto
+J
4
+2
+3
5
Mutua
Código
Código
Impedancia
Im pedancia
de
de
BUS p-q Jpq, pq
barra r-s
1 pq, 15
<V-@(1)
<V-@(2)
<V-@
@-®
@-®
0.6
0.4
0.5
0.5
0.2
<V-@(1)
<V-@(1)
0.2
0.1
Recordemos que l" = III =
Ahora, para obtener la ma
primitivas se invierte la m
cias primitiva (sólo de la red
al nuevo elemento):
1-2
1 - 2(1) [ 0.
1,.,.". = 1 - 2(2)
0.
1
(+) Ram as
n)
Solución (considerando acopIos)
será construida añadiendo elementos en el
orden indicado por la primera columna del cuadro y
seleccionando el nodo 1 como referencia.
Paso 1. Se empieza con el elemento 1, una rama
d e p = 1 a q = 2. Los elementos de lBU' para la red
parcial que contienen la rama simple son:
lBU'
1 - 2(1 )[
_1
1".. ". = ' "..,., = 1 _ 2(2)
Sustituyendo estos valores
2" =2" =- 0.6 +
Z =_Z
11
2/
+
(-1)(
3
1 + ~1 2(2). 12
IL
T I2(
1 2
2 BU' =
H~
006 ]
Puesto que el nodo 1 es la referencia, los elementos de la primera fila (renglón) y columna
son cero (impedancias de transferencia yequivalente de Thevenin) y NO necesitan escribirse. En
estos términos:
38
2 11 = O•4 + 1 - 13(0.
y la correspondiente matriz
2
1
2 [ 0.6 -D.4
1 -D.4 0.6
Paso 3. Se añade el elemento 2, el cual es una rama desde p = 1 (referencia) h
mutuam ente con el elemento l . Esto adiciona un nuevo bus y la matriz 2 BUS es:
2
2sus =
3
2 [0.3333 2" ]
3
2"
2"
donde:
[~13, ~13,
12(1)
[~12 =~22]
12(2) )
12
22
2" = 2" = -------,,----=-------=
~ 13, 13
[2n-2,,]
1 + [~13, 12(1) ~13, 12(2)] Z _ Z
13
23
2" = - - - - - - ¡ ; - - - - - ~13. 13
Recordando que 2" = 2" = O, se invierte la matriz de impedancias primitiva pa
de admitancias primitiva:
1-2(1)
1-2(2)
1-3
1- 2(1) [2.0833 - 1.0417 -0.4167]
' ;:'.1'0=,,.,.,.,= 1- 2(2) -1.0417 3.0208 0.2083
1-3
-0.4167 0.2083 2.0833
Entonces:
-0.3333]
[- 0.4167 0.2083] [ -0.3333
2.0833
0.0333
-0.0333]
1 + [- 0.4167 0.2083] [ -0.0333
2"
y se obtiene:
2.0833
0.4833
Z,. = Z" = Z" = 0.4833
Z.. = Z" + ! J.>." = 0.4833 + 0.5 = 0.9833
quedando la matriz:
2
3
4
2 [0.3333 0.0333 0.0333]
ZB"S= 3 0.0333 0.4833 0.4833
4 0.0333 0.4833 0.9833
Paso 5. Se añade el elem ento 5 (enlace) desde p = 2 a q = 4 sin acoplamiento mu
del renglón y la columna [de la matriz aumentada son:
Z" = Z" = Z" - Z" = 0.3333 - 0.0333 = 0.300
Z" = Z" = Z" - Z" = 0.0333 - 0.4833 = - 0.450
Z" = Z"
= Z" -
Z .. = 0.3333 - 0.9833
=- 0.950
Z" = Z" - Z" + ' ' .24 = 0.30 + 0.95 + 0.2 = 1.45
La matriz aumentada es:
2
3
4
2 [0.3333 0.0333 0.0333 0.3000
3 0.0333 0.4833 0.4833 -{J.4500
4 0.0333 0.4833 0.9833 -{J.9500
1 0.3000 -{J.4500 -0.9500 1.4500
1
Note que la matriz contiene términos negativos.
Ahora se eliminan las [-ésima columna y renglón:
Z' = Z _ Z" Z" = O3333 _ (0.30)(0.30)
22
Zl1·
22
1.45
0.2712
Z' = Z = Z _ Z" ZI) = O0333 _ (0.30)(- 0.45)
23
40
32
23
Z II
·
1.45
0.1263
z'
-14
= Z _ Z" Z, . = O9833 _ (- 0.95)(- 0.95) = O3609
44
ZII·
] .45
.
Finalmente:
2
ZBUS
4
3
2l0.2712 0.1263 0.2298]
0.1263 0.3436 0.1885
4 0.2298 0.1885 0.3069
= 3
(Observe que ya no hay términos n eg"tivos.)
b) Mismo sistema sin acop lamientos
Elemellt o
C6digo p-q
l/IIpeda ll cia primitiva
1
1-2(1)
0.6
4
1-2(2)
0.4
2
1-3
3-4
2-4
0.5
0.5
0.2
3
5
Paso 1. Elemento 1, p = 1 q = 2:
1
2
2
1[ O O ]
2 O 0.6 = 2 [0.6J
Paso 2. Elemento 4 (el1lace), p = 1 q = 2, P es nod o de referencia :
2¡¡ = - Zr¡i i = 1, 2, ... ,
2
ZBUS =
2 [ 0.6
I
Z
"
1/1
i *" 1
I -0.6
1.0
Eliminando las l-ésimas fila-columna:
Un cálculo i =2
j
=2:
,
2 2 ,2'2-
Z" = Z" - - Z-
(-0.6) (-0.6)
1.0
= 0.6
11
0.24
2
ZBUS = 2 [ 0.24 1
Paso 3. Elemento 2 (rama ), p =1 referencia, q =3:
,.
Z .= 0
2
3
2 [ 0. 24
ZBUS = 3 Z
Z" ]
" Z"
Un solo cálculo i = 2 q = 3
Z,i =Z" =Z"
=0.0
2
Z" =Z"
=! IJ. IJ =0.5
3
2 [ 0.24 0.0 ]
3 0.0 0.5
Paso 4. Elemento 3 (rama), p = 3, q = 4, !",.,., = 0.5, P no es el nod o d e
i = 1, 2, ..., nI
42
Z.. = 0.5 + 0.5 = 1.0
2
Z BUS
Paso 5. Elemento 5 (enlace), p = 2,
2 ,¡ = Zpi -
Zq¡
3
2 [0.24
0.00
4 0.00
0.0
0.5
0.5
= 3
q= 4 ,
4
~,.," =
0.0 ]
0.5
1.0
0.2, P no es nodo de refere
i = 1, 2, ... , 111
Z" = Z" - Z" =0.24 - 0.0
=0.24
i=2
p = 2 q=4
i=3
p=2
q=4
Z" = Z" = Z" - Z., = 0.0 - 0.5 = - 0.5
i=4
p=2
q=4
Z,. = Z" - Z.. =0.0 - 1.0 = - 1.0
Z" = Z" - Z., + 1".,. =0.24 - (- 1.0) + 0.2 = 1.44
3
0.0
3 0.00 0.5
2 BUS =
4 0.00 0.5
1 0.24 -D.5
2
T"
4
1
0.0
0.5 -D.50
1.0 - 1.00
-1.0 1.44
"" 1
Red ucción del nodo 1:
i,j = 2,3, 4
Z,., Z"
Z'=Z
'1
I/ -~
j:3
j:3
2',,: 0.3263
j :3
j:4
2',,: 2 ',,: 0.1527
j: 4
j:4
2'" :0.3055
Finalmente:
4
3
0.0830
2 [ 0.2000
0.1600 ]
2"us: 3 0.0830 0.3264 0.1528
4 0.1600 0.1528 0.3056
2
44
IV.1. INTRODUCCI6N
n sistema d e potencia interconectado
representa una red eléctrica con una
multitud de ramas, enlaces y nodos d ond e típicamente las líneas de transmisión cons tituyen las ramas. En lenguaje técnico, los nodos
de la red se denominan buses. Estas redes eléctricas pueden contener cientos d e buses y miles
de ramas.
Así como algunos buses inyectan p otencia a la
red, existen áreas en las cuales la potencia es
absorbida por las cargas del sistema. En conjunto la potencia fluirá a través de las mallas del
sistema.
Un conjunto dado d e cargas pued e ser alimentado a través de un conjunto dado de generadores, en un número muy grande d e posibilidades, trayectorias o configuraciones d e flujos de
potencia.
El análisis de flujos de potencia no sólo consiste en el estudio del mecanismc que controla el
flujo de potencia a través de las mallas, sino que
también incluye la forma de seleccionar la óptima configuración de flujo del gran número de
posibilidades.
Los aspectos mlÍs importantes del anlÍlisis de flujos
de potencia son:
1. La contribución total de potencia real en la
red emana de las estaciones generadoras, cuya
localización y tamaño es variable. La generación
debe ser igual a la demanda en cada m omento y
como esta potencia debe ser dividid a entre los
generadores en un promedio único a fin de mantener una o peració n económica, se concluye entonces que la aportación de generación de cad a
unidad debe ser mantenida en
dos. Es importante recorda r
sistema presenta camb ios pe
de las 24 horas del día, de
generación del sistema debe
mente prediciendo a corto p
la carga, cambiando consec
fig uración de los fluj os de p
la red.
2. Los enlaces de transm
límites de cargabilidad en cu
de potencia transmitida y d
teza de no operar a estos
cercanas a sus límites técnic
3. Es necesario man tener
de algunas barras del sis tem
muy reducidos. Esto se con
adecuada localización de fu
la red.
4. Si el sistema bajo análi
d e un gran sistema intercon
área), es necesario supervi
los elementos que sirven co
tores d el g ran sistema inte
controlar los niveles de inte
entre las áreas.
5. Los disturbios posterio
una falla severa en la red pu
d as de sectores importantes
sistema. Este efecto puede m
adecuada estra tegia de fll/jos
de límites de estab ilidad).
6. Los anál isis de flujos de
en la determinación de esta
la planeación de nuevos sist
miento y fort alecimiento de
voltaje que deben ser aplicadas a los nodos del
sistema.
c) Cálculo numérico de las ecuaciones de voltaje
sujetas a restricciones establecidas. Estos cálculos deben proporcionar, con suficiente exactitud,
los valores de voltaje en todos los nodos.
d) Una vez que todos los voltajes han sido determinados, finalmente se deben calcular los flujos
de potencia en todos los elementos de la red.
IV.2. ECUACIONES DE FLUJOS
DE POTENCIA (EFP)
El estudio de flujos de carga determina los voltajes nodales y los flujos de potencia para un
sistema de potencia sujeto a la capacidad de
regulación de generadores, capacitares y transformadores con cambio de derivaciones bajo
carga, de conformidad con los intercambios de
una representación monofásica,
diciones operativas normale
Existen cuatro cantidade
bus.
+ POTENCIA ACTIVA
+M
+ POTENCIA REACTIVA
+Á
Tres tipos de barras (buses
estudio de flujos, donde se es
cantidades mencionadas. Es
nar un bus llamado compensa
veer las potencias real y reac
las pérdidas y balance reactivo d
to que son desconocidas has
solución final. En esta barr
magnitud de voltaje y el ángu
restantes se especifican como
buses de carga.
En un nodo de voltaje controlado se especifican magnitud de voltaje
mientras que en las barras de carga se especifican las potencias activa y
Las conexiones en la red se d escriben mediante números de código pq asignados a cada barra.
Estos números especifican las terminales de líneas de transmisión y transformadores. Códigos
numéricos son usados también para identificar
los tipos de barras, la localización de compensadores estáticos, reactores en derivación y aquellos elementos que se utilizan para especificar a
los transformadores fuera de su tap nominal.
La formulación matemática del problema de
flujos resulta en un sistema de ecuaciones no lineales; éstas pueden ser establecidas en los modelos
46
de referencia nodal o d e ma
ha mostrado las ventajas del e
lación nodal, ya sea con ZBUS
de estas ecuaciones se obtien
nica iterativa debido a su no li
ción d ebe cumplir con las
usándose en otras etapas co
vergencia en el método com
restricciones incluidas en la s
• Límites d e cargabilidad
tencia reactiva.
Modelo de referencia
Barra
Impedancia
EBUS = 2 Bus
¡BUS
Admitancia
IBus = YBUS EBUS
Malla
Cuando el nodo de tierra se incluye y además se elige como nodo de
voltajes de las ecuaciones (IV.2.1) son medidos con respecto a tierra.
Si el nodo de tierra NO se incluye en la red, los
elementos de las matrices de impedancia yadmitancia no incluirán los efectos de los elementos en
derivación, y los voltajes de la ecuación (!V.2.1)
se miden con respecto al nodo seleccionado
como referencia. Adicionalmente, los efectos de los
elementos en derivación se incluirán mediante fuentes
de corriente conectadas a las barras de la red.
Cuando se construyen las matrices de impedancia y admitancia para la red sin incluir los
elementos en derivación, la dimensión de las matrices es de / x /, donde / es el número de enlaces
(links) o mallas básicas, calculadas mediante la
expresión:
1=.-n+1
En este caso (excluyendo los elementos en
derivación), los efectos de estos elementos son
tratados como fuentes de corriente en los nodos
de la red. Si los elementos en derivación (shun/)
'5se incluyen en la construcción de las matrices
de malla, el número de elementos de la red se
incrementa con ' 5' El total de elementos es entonces. +'5 Y el número de nodos se incrementa a
n + 1. Consecuentemente, el número de mallas
y la dimensión de las matrices se incrementa por
'5-1.
IV.2.l . Ecuaciones d
El conjugado de la potencia
cualquier nodo está dada po
sp• = Pp -J'Qp =
Esta potencia se obtiene re
de generación la potencia de
la corriente:
1= P,,-/'Q
E*
JI
p
donde lp representa la corr
nodo y se considera positiva cua
tema (nodo de generación),
caso de un nodo de carga. En
la ecuación de red, si los el
ción fueron incluidos en lo
matriz, entonces la ecuación
te total en el bus. De otro modo
[ J' -
P,, - /'QJ'
E*
"
"
donde !', es la admitancia tota
el bus p, y el término !'" E
derivación fluyendo del bus p
. po¡
.~
Admitancia serie de la línea.
Admitancia total capacitiva de la línea.
,. , Contribución de corriente en el bus p debida a
Ep
la capacitancia de la línea.
T
El flujo de potencia a través de la línea (p-q) es:
P" -
jQ". = E: (Ep-
:
E,)"P'I + E: E,
f
,
P -jQ
p
E'
p
p = 1, 2, ... ,
p;t s
donde n es el número de b
comportamiento de la red p
de la ecuación:
ppo¡ -,'Qpq =E*
t
ppo¡
o utilizando el valor de t"
[ =
(lV.2.4)
[sus = y BUS E
Seleccionando la tierra co
encia, un conjunto de n - 1 ec
escrito de la forma :
donde:
P" Potencia real fluyendo del bus p al bus q.
Q", Potencia reactiva fluyendo del bus p al bus q.
Similarmente, para la potencia del bus q al p
obtenemos:
P" - jQ" = E: (E, - Ep)" " + E: E.
f
(lV.2.5)
Las pérdidas y balance reactivo de potencia en la
línea p-q son la suma algebraica de los flujos de
potencia determinados por las ecuaciones (IV.2.4)
y (N.2.5).
IV.3. TtCNICAS DE SOLUC IÓN
Las técnicas de solución del problema de flujos
se diferencian -y le dan nombre al métodoúnicamente por la forma en que son calculados
los voltajes, ya que una vez obtenidos éstos invariablemente se utilizan las ecuaciones (IV.2.4)
y (IV.2.5) para calcular los flujos.
48
Ep=1 [ I,Ypp
,
q
Las condiciones de bus ca
ción (IV.3.1), el voltaje en el
y los voltajes estimados, se su
ción (IV.3.3) para obtener u
voltajes de barra. Estos nuevos
en la ecuación (IV.3.1) para re
tes de nodos para una subse
la ecuación (IV.3.3). El proc
que el cambio en los voltajes
ciable (es to implica la utilizac
convergencia y/o tolerancia).
Una vez que se obtiene la
es posible calcular las po tenc
pensador y en las líneas. La
(IV.3.3) y la ecuación del bu
pueden ser combinadas para
tiempo de cálculo para una solución se realizan
previamente algunos cálculos como son:
Y"
O
Y3J
4
Y"
Y"
O
O
5
O
Y"
Y53
6
O
Y"
O
3
Y8US ::::
1
L, =y pp
Con este valor la ecuación (IV.3.4) puede reescribirse:
E = [p,- jQp JL - ~ y LE
p
E,
p
•
L
pqpq
q=1
q"
(
Las correspondientes fórm
ción por el método iterativo
IV.3.5)
p=1.2 •...• n
p" s
E2 =: valor especifi cado
Haciendo (P, - jQp) L, = KL, Y Y", L, = YL,"
La ecuación (IV.3.5) se simplifica a:
KL
Ep =
q"l
q'P
KL
_,_3
_YL 31 E; - YL 35 E
(E,)*
u
E.' - L YL", E,
P
E~+l =
(IV.3.6)
p=l,2, ... ,n
p" s
El procedimiento normal para un estudio de
flujos es asumir que el sistema está balanceado y usar
una representación monofásica en p.u. (red de
secuencia positiva). Como no existe acoplamiento
mutuo, la matriz Yaus puede ser formada por inspección y muchos de sus elementos serán cero.
Por ejemplo, considérese el sistema siguiente:
o
SI.ck -l--+'--~
KL
E:+ 1 =~- YL 62 E2 - YL M E
(E,)*
donde el superíndice k repres
la iteración. Para el caso de
método de Ga uss-Seidel, úni
rio sustituir los voltajes k +
d espués de ser calculados,
siguiente expresión:
KL
,,_1
f(t+ 1)::; _ _
1' _ '"
l'
¿.
E(k)*
Seleccionando el nodo 2
como compensador
®
l'
"
YL
E(k+l ) _ ~
pr¡
L
q
q'" 1
"" "
p = 1, 2, ...,
p"s
\1I11~'"1I\1I'\\
\'\\
2893050
p=l. 2, ... ,"
p~s
Cálculo de parámetros au)(iliares
para las ecuac)ones de voltaje
KLp
YL¡,.
... ,"
p=1. 2, .... "
Seleccionar tolerancia máxima
de desviación de voltaje
de = 0
y contador de nodo p = 1
¿p
es el nodo
compensador?
si
p=s
no
ResoNer la ecuación de voltaje para
el bus p
KI
E:+\ = -(
"
7) -L YLp;¡E:
Ep • '\""\
"p
Calcular el c8mbio de voltaje
para el bus p
ó,E! = E!+l _E!
Prueba para
maximo en el voltaje
IM;I
= máx ó,E
i
mayor
Ajusta
máx AE '" IAE
k
Avanza el contador de nodo
p+l ~ P
igual
o menor
Prueba para
el fin de rteración
p : 1I
mayor
Avanza el contador
de rteraciones
k+ l-1o- k
mayor
Reemplazar
E; por E;+ I
p "' 1,2, .... n pC#-s
Prueba para
convergencia
máx AEk :e
igual
o menor
Figura IV. 1 . Solución del problema de flujos por e l método Gauss-Yeus.
Calcular f
de poten
cuales expresan las potencias real y reactiva en
términos de los voltajes de barra (Van Ness y
Griffin, 1961).
El conjugado de la potencia compleja en el bus
pes:
sP• = PP -¡.QP = E ·1P
(IV.3.B)
p
Sustituyendo Ip de la ecuación de comportamiento de la red:
[BUS = y BUS EBUS
Pp- ¡.QP-
E·"
P "-
,-,
jacobiano y el bus n-ésimo e
como se muestra a continuac
ap'
M',
A
dO,
A
A
óQ,
A
~Q~_l
A
a~_ ,
~_l
=
A
ilO,
aQ,
as,
A
A
A
aQ,,-1
ao,
A
ap'
~~-I
A
ap'
alE.l
A
ap._,
a~_,
dS,,_,
alE.
dQ,
al) ~ _ I
A
dQ,,-1
al),,_l
aQ,
aiE,1
A
aQ"_
aiE,1
(IV.3.9)
YPI/ E1/
Como Ep = I Epl~, Y Ypq = I Y" Ij-a", , la
ecuación (IV.3.9) puede escribirse como:
En forma simplificada la e
representa como sigue:
IM'I = IJ,J,
llQ
J'll
J,
"
Pp- jQp =
L IEp E, Y"II- (6" + o, - 0,)
,-,
Separando las partes real e imaginaria:
Las ecuaciones para la de
elementos del jacobiano se ob
ciones de potencia para el bu
la potencia real (1V.3.10) es:
N
P, =
P p = IE!Y",lcoS6 '" + I.!E,EqY
L IE, E, Y"Icos(6" + 0, - 0,)
q='
,-,
q'p
p = 1, 2, .. ., n
Q, =
L IEp E, Y"Isen(6" + o, - 0,)
,-,
(IV.3.1O)
De esta formulación resulta un conjunto de
ecuaciones no lineales, dos para cada barra del
sistema. Las potencias real y reactiva (Pp' Qp) son
conocidas, mientras que la magnitud y el ángulo
del voltaje ( I Ep 1, 15p) son desconocidos para todos los nodos, excepto para el compensador,
52
Diferenciando, los elemen
gonal principal de J, son:
ar:,
ilP,
=
IE" E, Y", Isen (
y los elementos de la dia
son:
elementos fuera de la diagon
función de las admitancias
y los elementos de la diagonal principal (J,) existe conexión directa entre
son:
correspondientes serán cero. E
ap
"
mún en los SEP, llegando a te
= 21 E" Y,.,I c05B"" + I lE, Y"I c05(B" , + o" - o,) ces limás de 90% d e elemento
l'
q_ l
esta característica se denomi
(IV.3.16) sns y existen técnicas numéri
esta propiedad, lo cual facilit
La potencia reactiva de la ecuación (IV.3. l 0) es: computadora.
En un conjunto inicial de v
potencias real y reactiva son
Q" = lE: Yp, I 5enB" + I I E" E, Y", Isen(B" , + o" - 0,) de las ecuaciones (IV.3.10).
-,
potencias son las diferencia
q "1'
calculados y los especificado
p = 1, 2, ... , n - 1
(lV .3.17)
art.T
,
Diferenciando, los elementos fue ra de la diagonal principal de J, son:
do, = - IEl' E, Y", I c05(B," + 0" - o,)
dQ"
q*p
(IV.3.18)
y los correspondientes a la dia¡;onal principal:
dQ
"
do "= I I E" E, Y," I c05(B,,,, +o,,- o,)
(IV.3 .19)
". 1
q
"",.
De la ecuación (4.3.17), los elementos fuera de
la diagonal principal de l. son:
~~", I = I E" Y,"I 5en(9" + 0" - 0,,)
d
q *P
(IV.3.20)
/lQ'-Q
Q'l'
J' l' (('5p«¡fl("~d .. ) -
Los va lores de voltaje esti
cias calculadas son utilizad
elementos del jacobiano. El c
nes lineales (IV.3.11) puede
!l 1 E" l Y !lO" P = 1, 2, ... , n tod o directo o iterati vo. Con
nuevos valores estimados de
son:
lEl' 1«' = lE I' 1'+
El p roceso se repite hasta
!lF;. y !le!,. para todos los b
den tro de una to lerancia espe
cia d e pasos (d iagrama de
método se presenta en la figu
"
P# = ~)pEq YI'IICOS(91'1+Sp-Sq)
q=1
"
Q~ = ~)p Eq YI'II scn (91'1 -tl)p -Sq)
q=1
p= 1,2, ... ,
1I
p"
t
Cálculo de la diferencia entre la potencia
calckulada y la especifica~a
dPp :: Pp(Hpecificada) - Pp
k
k
AQp = Qp(especificada) -Qp
p = l , 2• ... ,n p"
+
Determina el máximo cambio en las
potencias . máx 6Pk y máx flC'f
I
Prueba
para convergencia
I
menor
o ig ual
Imáx AP'I :t
Imáx óQ'1 :t
Calc
d
Y la pot
co
meyor
I
Avanza el contador
d e iteraciones
k+l--+ k
Cálculo de los elementos del jacobiano
+
I
Calcul
vo ltajes
Resolver para corregir los voltajes
[óP]
[" h][ óS 1
óQ = iJ }, "iE!
r-
IEl+!
S~+l
p= 1,
Reemplaza, IE,lk por IE,Ik+l y ~ por S ~+ 1
P""' 1,2, ..., 11 p ;t. s
Figura IV.2 . Soluc ión del proble m a de nujos por Newton-Raphson con Y
se representan en forma matricial por la siguiente ecuación:
IV.3.3. Aproximaciones al método
de Newton-Raphson
En general, para un cambio pequeño en la magnitud del voltaje en una barra la potencia real en
el mismo no cambia apreciablemente. En forma
similar, cuando hay un cambio pequeño en el
ángulo del voltaje la potencia reactiva permanece casi constante. Por lo tanto, utilizando coordenadas polares, una solución alternativa al
problema de flujos es asumir que los elementos
de las submatrices J, y J, son cero (Carpentier,
1963). La ecuación matricial simplificada es:
t.P] = [JIO
[t.Q
O] [M]
t.IEI
J.
Mecliante estas simplificaciones se reduce notablemente el número de iteraciones requeridas
para encontrar una solución.
IV.3.4. Método iterativo de Causs
utilizando ZBUS
Seleccionando un conjunto inicial de valores de
voltaje, las corrientes en cada barra se calculan de la expresión:
en donde E, es el vector cu
todos iguales al voltaje del n
y la matriz de impedancias
zando el neutro como nodo d
dimensión (n -1) x (/1 -1). L
estimados de voltaje son uti
ción (IV.3.22) para recalcula
dales. El proceso se repite has
en los valores de voltaje se ac
especificaciones de tolerancia
Este algoritmo de solución
iterativo de Gauss debido a
rrientes nodales son recalcul
nar una iteración completa.
IV.3.S. Método iterativo d
utilizando Zs
El método iterativo de Gauss
utiliza para la solución del pro
formación con ZBUS (EI-Abiad
1961). Las ecuaciones de volta
son resueltas una a una en un
do por el código de bus. Inmed
al cálculo del nuevo estimado
la correspondiente corriente de
de pasos para la solución de fl
dología se muestra en la figura
IV.4.
NODOS DE VOLTAJE
En la operación real de sistem
nodos que contienen genera
de mantener las condiciones
-1
I
•
p~s
es
no
Calcular el voltaje para el bus p
1'- 1
p "" s
~
¿p
1
Ajuste del máximo cambio de voltaje
ÓEk = O Y contador nodal p :: 1
t
Ajuste del contador
de iteraciones k = O
+
P'" 1, 2, ..., 11 p'#s
¡(al = PI' - jQp _ E(OI
"
(Ej.0l) _ ~P l'
Cálculo de las corrientes nooeles
+
p=1,2, ..., II
Asignación de voltajes
nodales E~f1¡
+
Formación de la matriz de impedancias
nodales Zsus
si
Avanza el (;ontador
de iteraciones
k" + ]-.... k
menor o igual
E;"
.
por
Ep+l
11
/;+1
mayor
Reemplazar /;" por
k= 1,2,"".,11 I'~"
1':
Prueba
para fin de iteración
Avanza el contador de nodo
}'+1 --+ "
Reemplazar
P
/k+l _ Pp + jQp _ Eh l
l' - (Ehl). ifp P
Calcular las nuevas corrientes
para el bus p
menor o igual
I/lE;I: mlÍx /lE l"
Prueba
para máximo cambio
en el voltaje
~
mayor
usar Y,us la potencia reactiva en el nodo de vol-
Qp =
e; B,.,.+t; Bp,. + L
,,.p-,
[fp (eqGpq + fqBpq) -ep (jqGpq - eqBpq»)
donde epy fp son las componentes de voltaje del
nodo p. Estos valores deben satisfacer la ecuación:
(lV.4.2)
a fin de calcular la potencia reactiva del nodo
requerida para mantener el voltaje asignado al
nodo.
Los valores estimados de
y J; deben ser
ajustados de tal manera que satisfagan la ecuación (IV.4.2). El ángulo del voltaje calculado es el
siguiente:
e:
0::: are tan C/ie~)
e: f:
f:
(nuevo)::
IEp I(npecificado )eos~
(nuevo)::
I Ep I (especificado )seno~
e;
t;
=!
Pp
{cp(c, G", + f,B",) +
.,=1
Sustituyendo (nuevo) y (nuevo) en la ecuación
y,
(IV.4.l), se determina la potencia reactiva
en combinación con Ep (nuevo) se utiliza para la
estimación del nuevo voltaje E;".
En los SEP, los generadores y otras fuentes de
reactivos tales corno los Compensadores Estáticos de Vars (CEV) y los condensadores síncronos,
58
basan su función regulador
inyección o absorción de rea
esta razón hay que tener muy
cidad o límites de potencia re
nodo de voltaje controlado ba
la potencia reactiva calculada
cidad de suministro del nodo
cidad corno la potencia reac
manera similar se utiliza es
potencia reactiva minima. B
(los límites de reactivos han
imposible obtener una soluc
especificado y consecuenteme
de ser usado en el cálculo de
flujo complementario para no
trolado se muestra en la figur
Cuando se emplea el mé
Raphson, las ecuaciones para
taje controlado son:
E
Asumiendo que los ángulos de los voltajes
especificados y calculados son iguales, los estimados de y son:
e;
la potencia reactiva en el bus
<4
y
1E l' = e' +f
p
p
donde la ecuación (IV.4.3) r
ción para la potencia reactiva
La ecuación matricial (figur
na los cambios entre las pote
Cálculo del ángulo de fase del nodo p
l
o~ = arc tan -f
"
Ajuste de las componentes de voltaje
et( nuevo)
=IE,I (d ad o) cos s t
f~( nuevo)
=IE,I
(d ado)
senó ~
Cálculo de le potencia reacti va del nodo p
k(k
Q p = Cp(nuevo)
)' B,IP + ('
fp(nuevo) )' 8 pp +
"
"')
k
('
k )-Cp(n
' ue vo) ('
')l
~ lfp(nuevo)
cqG pq + /qBpq
JqC M -cqBpq
q::1
'"
no
r - - ----- ----------- - - -- - ------------- - - - --.
KL
p- l
/+1 = __' __ '"" YL Ek+l
, (Ek) . L. /XJ q
,
p
1/::1
11
_ '"" YL
L.
Ek
/XJ'
q=p+l
1- _ _ __ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ ___ •
__________ . '
Figura lV.4 . Cálc ulo d e la potenc ia reac tiva en nodos d e v o ltaje co ntro la d o,
para el método de Gau s s-Seide l, u s and o YBlJS.
-++-....., 0
G
Figura IV .5a. Sistema base para el estudio de flujos de potencia.
cuadrado d e las magnitudes de voltaje con respecto a los ca mbios en las componentes rea l e
imng inaria de voltaje es:
[ ~~ ,];[j1:, j:][~í]
/
6 1EI
6
Los elementos de las submatrices J" 1" 1, y l. se
calculnn conforme él lo descrito en In sección
IV.3.2, para las rcstnlltes J, y 1,·
L ~)s elementos fu era de la diago nnl principal
(1) '" 11) de 1; son:
al El '
- - -" -; 0
dC
de
¡ "A H\.
a
al,
'
;
o
y los elementos de la diagonal principal de J,
son :
() 1
El'
- -'-' - = 2c
de
l'
l'
y de Ji> SlH1:
60
"
El ca mbio en el cuadrado
d e voltaje del nodo pes:
61 E'l' 1' ; (1 El
..
J' csro-'C, hc..
En los casos en los que se
dad reactiva del nodo, la pote
jada en el límite, siendo este
un nodo de ca rga con la poten
IV .5. EJEMPLO DE CÁ LCU
DE POTENCI
"
1 El
..--J'_
a l E"I'
alJ,-; 2f
Seleccionando el nodo 1 d e l
compensador, utilice el méto
para obtener la solución de f
Utilice fa ctores de acelera
• En "lgu nos Cil SOS el promed io de c
iterativo se inCrl'ml'nt.l medi.1nll' la
(lcl'll'l'nóó" " 1.1 soluc ión .1prox im.ld" ob
.lsignn n fa ctores (a y p) de .1CclcraciÓn
i lll ilg¡n~ri" de los volt,'il's rl'Spcctiv.1 men
óCm di.' voltil jL'S nOI.:l.,\cs l1tilizilndo única
4-5
0.08 + jO.24
0.0
tolerancias de 0.0001 y 0.0001 en p .u. para las
componentes real e imaginaria de los voltajes del
cuadro IV.2.
Solución
Las impedancias serie y admitancias paralelo de
las líneas en p.u. a una base de 100 MVA se
muestran en cuadro IV.l.
Los valores d e generación y carga, así como
también los voltajes asignados se muestran en el
cuadro IV.2.
Las ecuaciones para la solución iterativa de
Gauss-Seide, utilizando los números código de
bus de la figura IV.4, son:
E, ; 1.0 + jO.O
E'·'
; KL 2I (E')*
- YL 21 E1 - YL 23 E'J - YL 2" E'4 - y "-'25
I E's
2
2
Para calcular los parámetr
nes es necesario d eterminar p
mentos d e la matriz de adm
partir de las impedancias se
línea. Como para los estudios
cia es usual despreciar los efec
tos mutuos, ]a matriz, en este
inspección. Tomando e l ne
d e referencia, las admitancia
obtenidas a partir d e la inve
impedancia se muestran en e
to que no existe acoplamient
ma, el elemento de la diago
admitancia propia del nodo 1
E'.'
;KL I (E')* - YL E - YL 3E'·'YL E'
3 3 3 31 1
22344
donde y, (figura lV.5b) repres
admitancias paralelo inciden
CUADRO lV .2
Gelleracióll
Código de bus p
Voltaje asumido
del bus
Megawalls
Megavars
Megawalls
O
1
1.0 + jO.O
O
O
2
1.0 + jO.O
40
30
20
3
1.0 + jO.O
O
O
45
4
1.0 + jO.O
O
O
40
5
1.0 + jO.O
O
O
60
este caso, los valores de admitancia capacitiva
(y;;2) de las líneas 1-2 y 1-3).
Sustituyendo valores (cuadro IV.3), Y¡¡ vale:
2-5
3-4
4-5
Y"
Y"
Y¡¡
Y,
= (5.00 - j15.0) + (1.25 - j3.75) + jO.055
Y¡¡
Código de bus p
Ad
1
= 6.25000 - j18.69500
2
Los elementos fuera de la diagonal principal
asociados al bus 1:
3
4
Y¡2
=
Y 2¡
=
-Y¡2
= -5 .0000+ j15.000
5
Y13 = Y'l = -Y¡3 = - 1.2500+ j3.7500
Realizando este procedimiento para los demás elementos se obtiene la matriz d
YBUS del sistema:
1
2
1
6.25 - j18.695
- 5.000 + j15.000
- 1.250 + j3.75
0.000 + jO.OO
2
- 5.00 + j15.000
10.833 - j32.415
-1.666 + j5.00
- 1.666 + jS.OO
3
- 1.25 + j3.750
- 1.666 + j5.0000
4
0.00 + jO .OOO
- 1.666 + j5.000
- 10.000 + j30.00
5
0.00 + jO.OOO
- 2.500 + j7.S00
0.00 + jO.OOO
12.916 -j38.695
Ahora se procede al cálculo de los coeficientes
KL,. de acuerdo con la ecuación:
KLp = (PI' - jQr) Lr = (P,. - jQ,,lIY,.p
p;:: 1, 11
L,,;:: l /Y""
donde p,. - jQ,. es el conjugado de la potencia
compleja neta en el p-ésimo bus.
Esta ecuación para el bus 2 es:
62
4
3
-10.00 + j30.00
12.916 - j38.695
-1.25
+ j3.75
KL, = (P 2 - jQ,
Del cuadro IV.2:
Carga en el bus 2: 20 + j1
en el bus 2: 40 + 30 MV A
En por unidad: MV ABASE =
Carga:
(20 + j10) (MVA)/100 (MVA)
-D
KL,
= (0.2 - jO.2)/ (1O.833 -
j32.415) = 0.0074 + j O.0037
Los parámetros KLppara todos los buses son:
CUADRO
IV.4
Código de bl/s p
KLp
1
0.00000 + jO. OOOOO
2
0.00740 + jO.00370
3
-D.OO698 - jO.00930
4
-D.00427 - j O.00891
5
-D.02413 - jO.04545
. ,Los coeficientes YL," se obtienen de la ecua-
3-1
-0
3-2
-D
3-4
-0
4-2
-D
4-3
-D
4-5
-0
5-2
-0
5-4
-0
do los resultados obtenidos
mente almacenados en bases
El primer paso en la soluci
cular una nueva estimación d e
2, utilizando la ecuación:
ClOn:
E(l)
= KL 2/(EIO'),
- YL 21 EI - YL 23
2
2
Para el elemento 1-2:
YL12 =
(-5.000 + j15.000)/(6.2500 - j18 .695)
YL 12 = -D.80212 + jO.00071
Sustituyendo valores:
E~" = (0.00740 + jO.00370 )/ (1.0 -
-(-DA6263 + jO.00036)
-(-D.15421 + j O.00012)
Con el mismo procedimiento se obtienen los
demás elementos (cuadro IV.5.)
No es necesario calcular los parámetros asociados al nodo compensador para la solución del
problema de flujos. Para los estudios d e planeación y operación, el nodo compensador comlÍnmente se cambia de ubicación (en todos los nodos
que contengan generación) para determinar las
opciones más convenientes de fluj os d e potencia.
Este tipo de cambios es accesible siempre y cuan-
-(-D.15421 + jO.00012)
-(-D.23131 + jO.00018)
q')= 1.00976 + j O.00292
El cambio en el voltaje es:
Q ue s ustituyendo valores nos d a:
E~I~",,,",,"= 1.0 + jO.O + 1.4 (0.00976 + jO.OO292)
E~I) = 1.01366 + jO.00409
Éste reemplaza al valor inicia l estimado del
voltaje del bus 2 y se empleará en los subsecuentes cálculos de voltaje p ara los buses restantes.
Pa ra el bus 3 el nuevo valor d e voltaje se
obtiene d e la ecuación:
E'I)
3
= KL3/ (E'''»
J
- Y L31 EI - Y L32 E'I2 I - YL 34 E'"
..
Q ue sustituyendo valores nos d a:
E~' ) = (-0.00698 - jO. 00930)/ (1.0 - jO.O)
- (-0.09690 + jO. 00004) (1.0 + jO. O)
- (- 0. 12920 + j O.00006) (1.01366 + jO.00409)
- (- 0.77518 + jO.00033) (1.0 + jO .O)
E~I) =
determinar la convergencia, l
se realiza COI1 valores de voltaje
Los fluj os d e p otencia en l
a partir de los voltajes final
número 10) y utilizando las
mitancias) serie y paralelo d e
d o con la ecuación :
Para la línea p = 1, q = 2 su
P12 - jQI2 = (1 .0 - jO.O) [(1.0 +
- (0.98318 - jO.0538
+ (1.0 - jO.O) (1.0 +
PI' - jQI2 = 0.892 + jO.047 (po
Este valor expresado en MV
lo p or la poten cia base) MV A
0.99607 - jO.00920
El cambio en el voltaje es:
"'E~I )
= - 0.00393 - jO.00920
El va lor acelerado del voltaje en el bus se
obtiene d e:
PI' - jQI2 = 89.2 + j 4
(P12 = 89. 2 MW
Q, = -
Los fluj os de p otencia del n
P'I - j Q' 1= (0.98318 + jO.0538
[(0.98318 - j O.053
Su stituyendo valores:
E~I~"I",do = 1.0 + jO.O
+ 1.4 (-0.00393 - j O.00920)
= 0.99449 - jO .01288
64
(5.0 - j I 5.0) + (0.9
(0.98318 - jO.0538
P'I - jQ' 1= -0 .876- jO.036
3
0.99466 - jO.03696
0.97410 - jO.07238
0.96883 - jO.08504
0
4
0.99032 - jO.04829
0.96556 - jO.08520
5
0.98681 - jO.05197
0.96094 - jO.09014
6
0.98523 - jO.05273
0.95799 - jO.09261
7
0.98425 - jO.05363
0.95627 - j O.09326
8
0.98366 - jO.05373
0.95542 - jO.09357
0.95378 - jO.09984
0
9
0.98340 - ¡0.05380
0.95496 - ¡0.09374
0.95342 - ¡0.09994
0
10
0.98325 - ¡0.05388
0.95472 - ¡0.09380
0.95325 - ¡0.1 0000
0
11
0.98318 - ¡0.05389
0.95461 - ¡0.09384
0.95316 - ¡0.10004
0
C UADRO
IV.7 Cambios en los voltajes nodales
Cambios en los voltajes de bus
Contador de
iteraciones k
Bus 2
O
0.0 + ¡O.O
0.0 + ¡O.O
1
0.00976 + ¡0.00292
-0.00394 - ¡0.00920
-0.00549 - ¡0.01879
-
2
-0.01072 - ¡0.02426
-0.00650 - ¡0.02107
-0.00903 - ¡0.02681
-
9
-0.00019 - ¡0.00005
-0.00033 - ¡0.00012
-0.00026 - ¡0.00007
10
-0.00010 - ¡0.00006
-0.00017 - ¡0.00004
-0.00013 - ¡0.00004
11
-0.00006 - ¡0.0000l
-0.00008 - ¡0.00003
-0.00006 - ¡O.OOOO3
Blls 3
Bu s 4
0.0 + ¡O.O
3
4
5
6
7
8
2-5
3-1
3-2
3-4
4-2
4-3
4-5
5-2
5-4
54.9
-39.5
-24.3
18.9
- 27.5
-18.9
6.3
-53.7
-6.3
8.5
- 3.5
-6.8
-4.6
-6.0
2.8
- 1.9
-7.5
-2.6
89.2
•
89.2
Q'I =3.6 MV AR)
Todos los flujos del sistema se resumen en el
cuadro IV .8.
La potencia del nodo compensador se obtiene
sumando los flujos de las líneas que salen de ese
bus 1:
Potencia real:
89.2 + 40.9
=130.1 MW
Potencia reactiva:
-4.7 + 2.8
= -1.9 MVAR
Suministra 130.1 MW y absorbe 1.9 MVAR.
IV .6. INTERPRETACIÓN DE RESUL T AOOS
Una vez obtenida la solución analítica del problema de flujos es usual representar gráficamente estos resultados mediante la llamada carta o
diagrama de flujos. Partiendo de los nodos 1 y 2
se tienen los siguientes resultados:
Elemento
Flujo de potencia
Flujo de potencia
activa
reactiva
1-2
PI' = 89.2 MW
Q12 = -4.7 MV AR
2-1
P'I = -87.6 MW
Q'I = 3.6 MV AR
66
_ _
__
De manera similar se vacían los
a los flujos de los buses 2 a 1:
•
CD ••~-------•
(P'1 =-87.6 MW
1
4.7
Expresado en MVA:
P'I - jQ'1 = -87.6 - j3.6 (MV A)
•
CD ••~-------
1
4.7
Figura IV.6 . Flujos de potencia
al enlace de los nodos 1 y 2.
Analizando el comportam
observa que del bus 1 se envía
el bus 2 se reciben 87.6 MW
existen PI' + P'I = 89.2 + (-87.
didas en este elemento. En el
reactiva Q12 + Q'I = (-4.7) + (3
balance reactivo, el signo nega
línea tiene exceso de reactivos,
damentalmente a que está op
por debajo de su potencia nat
los mismos principios para lo
tos se obtiene el diagrama de
la figura IV .6. Como un cas
entre los nodos 4 y 5 muestr
en ambos casos; gráficamen
potencia reactiva fluye hacia
línea, operativamente signifi
perávit muy grande de reacti
nivel muy bajo de carga.
87.6
!
63!
--
t
26
--.--+- 0
53.7
~:O
+ ¡lO
60 + ¡lO
~
40 + ¡30
8.5
7.5
Figura IV.7. Diagrama de flujos de potencia para el sistema analizado.
V.1. I NTRODUCCIÓN
un en los sistemas eléctricos mejor diseñados, ocasionalmente llegan a experimentarse fallas de cortocircuito, lo que
ocasion a corrientes anormalmente grandes. Los
dispositivos d e p rotección, tales como interruptores, fusibles y demás, deben aislar la falla con
un mínimo d e daño a los circui tos y con un
reducido tiempo de salida de operación del sistema.
Otras partes del sistema tales como cables,
buses e interruptores, deben ser capaces de soportar los esfuerzos mecánicos y térmicos que
resultan del flujo máximo de corriente d e fall a a
través de ellos. Las magnitudes de esta corriente
de falla se estiman usualmente mediante cálculos. El equipo se selecciona basándose en los
resultados d e estos cálculos.
El flujo d e corriente durante una falla en cua lquier punto d el sistema está limitado por la impedancia equivalente de Thever.in de los circuitos y el equipo vistos desde la fu ente h asta el
punto de falla, y no está directamente relacionado con las condiciones de carga del sistema. Por
otro lado, las modificaciones d el sistema tendientes a aumentar la capacidad d e suministro
de carga (inclusión de nuevas acometidas o generadores) no afectan a la carga ya existente y
pueden aumentar drásticamente la magnitud de
la corriente de falla. Consecuentemente, si un
sistema existente se amplía, o bien se instala
un nuevo sistelna, las corrientes de fa lla se recalculará n para una selección y aj uste correc to
de los dispositivos de protección contra sobrecorriente.
V.2. FUENTES DE LA COR
La magnitud y frecuencia d
fluyen durante una falla dep
nas eléctricas rotatorias (gen
y d e los sistemas de sumi
Los capacitares de potenc
producir corrientes transito
te grand es, pero por lo gene
duración y de frecuencia
yor que la frecuencia de la
para el estudio de cortocircu
desprecia.
La magnitud de la corrie
máquina rotatoria está limit
cia de la propia máquina y
la máquina y la falla (circ
Thevenin). La impedancia d
toria no es un valor simple,
ble en el tiempo.
V.2 .J . CortocirCllito trifásic
de W1 generador
Los generadores síncronos u
generadoras d e un sistema
un ro tor, que contiene una
ca mpo o inductor), recorrid
con tinua, la cua l produce un
gira con el rotor, y un esta
acero laminado con tres e
que se inducen tres fu erzas
ternas de ig ual magni tud
eléctricos.
Al conectar una carga tri
el flujo producido por el campo para dar el flujo
resultante en el entrehierro.
Los generadores movidos por turbinas de vapor o de gas giran a gran velocidad, su rotor es
una pieza cilíndrica de acero con polos lisos y
tienen generalmente un par de polos. Por su
velocidad de rotación son más estables en cuanto
a su frecuencia y características de sincronismo
con respecto a otros tipos de generadores de la
red . Por su bajo momento de inercia (con respecto a las unidades hidráulicas) son empleados
para compensar las desviaciones de frecuencia
causadas por la natural desviación de la demanda de potencia activa del sistema.
Los generadores impulsados por turbinas hidráulicas giran más lentamente y tienen un número elevado de pares de polos. En este caso el
rotor se construye con polos salientes de acero
laminado; además de las bobinas que constituyen el
campo, existen bobinas conectadas en cortocircuito,
llamadas amortiguadores y que tienen por objeto
principal amortiguar las oscilaciones del rotor y facilitar la sincronización de la máquina.
V.2.l.l. Corrientes de cortocircuito
trifásico
Figura V .1. Corriente de faUa
a) Una corriente continua
magnitud en función del t
sentada por la línea MM'.
b) Una corriente alterna si
cia fundamental que se obti
corriente i(l) la componente
tinua.
V.2.l .2. Componente
continua
Para explicar la presencia d
de corriente continua en la co
cuito considérese el circuito
figura V.2, el cual represen
generador síncrono trifásico
tivamente, la resistencia y
fase del generador.
Inicialmente, si el generad
en vacío (sin carga conectada
motriz inducida < es una fu
tiempo con un valor de crest
R
Si se establece súbitamente un cortocircuito trifásico en las terminales de un generador que está
operando en vacío y se registran los oscilogramas de las corrientes en las fases se obtendrán,
por fase, curvas similares a la que se muestra
para una fase en la figura V.l.
Las líneas AA' y BB' son las envolventes de la
corriente alterna y MM' es la línea mediana elttre
las envolventes.
La corriente asimétrica i(t) de la figura V.l
tiene dos componentes:
70
'=Esen(~
S
Figura V .2. Circuito Inductivo e
electromotriz senoldal.
En el instante I = Ose prod
trifásico en las terminales d
que e = 0°, o sea cuando la fuer
por cero, se tendrá
i
--J
E
R' + (roL)'
[sen (rot + e - tan- I roRL)
sen (O' - 90' )
(V.2.2)
y la componen te de corriente c
valor inicial máximo, que es:
E
La ecuación anterior muestra que la expresión
..JR' + (roL)'
de la corriente t consta de dos términos:
1) El término
-
E
( e - tan- I -roL) e- ·RC
~R' -(roL)'
R
(V.2.3)
que es una corriente amortiguada que decae con
.
L
la constante de hempo R
2) El término
. J R' +E(roL)'
(
sen rot + e - tan
_1
roL)
R
(V.2.4)
Tener una respuesta en co
el tiempo implica que la im
también es un parámetro depen
mo puede observarse. Al pri
máquina presenta una imped
transcurriendo el transitorio
cia hasla llegar al valoren eslado
síncrona). Para simplificar e
rrientes de falla esta imped
conslante por intervalos.
Los estándares industrial
tres nombres específicos pa
reactancia variable:
1) Reaclancia subtrnnsitoria
2) Reaclancia Iransiloria
3) Reactancia síncrona
que es una corriente alterna simétrica d e frecuencia
f=~
27t
ciclos por segundo.
Para t = O los dos términos son d e igual magnitud pero de signo contrario, de manera que el
valor correspondiente de la corriente total i es
igual a cero.
En un generador síncrono la reactancia inductiva roL es mucho mayor que la resistencia R y
por lo tanto puede considerarse que:
(V.2.5)
Xd
Reactancia subtransitoria . D
durante el primer ciclo despu
En 0.1 segundos la reactancia
Xd
Reactancia transitoria. Se as
la corriente después de va r
1/ 2 a 2 segundos la reactan
Xd
Reactancia síncrona . Éste es
na el flujo de corrien te des
ción de es tado estable se ha
Los motores síncronos suministran corriente a
una fa lla en la misma forma que un generador.
Cu ando una falla causa una caída de voltaje en
el sistema, el motor síncrono recibe menos energía para mover su ca rga.
Al mismo tiempo, el voltaje interno causa una
corriente que fluye d el sistema a la falla. La inercia d el motor y su ca rga actúan como un primo
motor, y con una excitación de campo sosten ida
el motor actúa como un generador para alimentar la corriente d e fa lla. Esta corriente de falla
disminuye con el d eca imiento d el campo magnético de la máquina.
El circu ito equ ivalente del generador se usa
para máquinas síncronas; nuevamente, una
fuente de voltaje y las mismas tres reactancias
y
se usan para establecer valores de
corriente para tres p untos en el tiem po.
x;, x; x,
V. 2.3. Motores de inducci6n
Un motor de inducción jaula de ardilla aporta
corriente de falla cuando existe una falla en el
sistema. Ésta se genera por la inercia del motor
en presencia de un fluj o d e campo, producido
p or ind ucción d el estator, más que por la corriente directa del d evanad o de campo d e los
motores síncronos. Ya que este flujo decae por
la pérd ida de la fuente d e voltaje provocad a
por la falla en las terminales d el motor, la contrib ución de un motor d e ind ucción a la corriente de fa lla se reduce y d esaparece por com p leto
después de pocos ciclos. Debido a que la excitación del campo no se ma ntiene, no hay un va lor
d e corri ente d e falla en estad o estable, como en
las máquinas síncronas. De nuevo se utili za el
72
resistencia externa en los circ
den tener lo suficientemente
de tiempo de cortocircuito, a
la falla no es significante y pu
que la capacidad del moto
fund amental, deberá hacers
específica para determinar
contribución de un motor d
la corriente d e cortocircuito.
V.2.4. Sis temas de serv
Los generadores distantes d
de distribución son una fue
cortocircuito, frecuentemen
vés de un transformador. El c
del generad or pued e usarse
sistema de distribución (co
constante) .
Casi siemp re, los generad
tán lejos de las plantas indus
ción d e corriente a la falla en
parece ser únicamente un p
en la corriente d e carga par
generadora, y esta contribuci
de a permanecer constante.
sistema eléctrico es represen
un solo valor de imped ancia
te referida al punto de conex
V.3. T IPOS DEFALLAS A
En un sistema industria l las
trifásica y de línea a tierra
consideran, ya que d e éstas
ciones de fa lla más severas y
larse utilizando un circuito monofásico, el cual
tendrá sólo un voltaje de línea a n eutro y una
impedancia monofásica.
Para el cálculo de la corriente máxima se considera una impedancia nula sin efecto limitador
de corriente, es decir, se considera una faUa franca.
No obstante debe tomarse en cuenta que la
presencia de arqueo en las fallas reduce considerablemente la magnitud de la corriente de falla.
En sistemas de baja tensión, los valores mínimos
d e la corriente de falla algunas veces se ca lculan
incluyendo los efectos conocidos d el arqueo.
Estudios analíticos indican que las corrientes
de falla con arqueo en por unidad, de valores de
falla franca, se reducen a valores tan bajos como:
1) 0.89 a 480 Y Y 0.12 a 208 Y, para arqueo
trifásico.
2) 0.74 a 480 Y Y0.02 a 208 Y, para arqueo entre
líneas.
3) 0.38 a 277 Y Y 0.01 a 120 Y, para arqueo
línea-neutro.
Como hemos visto, el énfasi
la importancia de resp eta r l
puestas por el procedimient
tener resultados vá lidos. Se
de numerosas circunstancia
cortocircuito, por ejemplo, d
ducirse artificialmente las c
das cuando se han violado la
líticas. O tra área asociada
cortocircuito es la qu e impli
impedancia s va riables en el
Cuando un arco se convier
te en serie de la impeda ncia d
lo representa no es constante
1 amper es probable que sea
para una corriente de 1 000
de 0.1 ohms. Durante cada m
de corriente la resistencia de
sar este rango.
Es difícil de terminar un va
resistencia d e arco para intro
ma de 60 Hz. La va riac ión
Y .4. TRA NSITORIOS PO R SW ITCHEO MÚLTIPL E
Es práctica común que e l analista considere que
el transitorio por switcheo ocurra una sola vez
durante un flujo de corriente d e cortocircuito.
Una inspección de los oscilogramas rep resentativos de la corriente d e cortocircuito mostrará frecuentemente casos de interrupciones
momentáneas de corriente. En la maniobra de
un interruptor, en especial cuand o és te se en-
cuentra en el circuito de un capacitor, pueden
observarse dos o tres recierres antes de que la
interrupción sea total. El recierre se da cuando
la diferencia de potencial a través d e los contac-
magnitud d e la impedancia p
d e corri ente, lo cual resulta en
mucho m ás agud a que una
corri ente contiene ahora térm
Ya que es to resultó de un a v
tricciones analíticas, no apar
tados calcul ados, consecuen
tud y ctl ra ctc rí sti cas deb
mediante o tros procedimien
final deberá modifictl rse pa
correcto de co rri cnte de falla
Un tipo simil tlr d e no linc<
en elementos l'lec trom<lg nét
compo rt amiento del ace ro in
L. Si lils parte s ferrosíls es tá
una línea de transmisión.
Este caso es el único que n
desequilibrio en las relacion
del sistema trifásico y por lo
rrientes ni voltajes de secuen
independientemente de que
conectada a tierra o no. Toda
intervienen en el cálculo son d
En el punto de la faUa se v
Existen cuatro tipos de fallas de cortocircuito:
1) Cortocircuito trifásico
2) Cortocircuito de dos fases a tierra
3) Cortocircuito de dos fases
4) Cortocircuito de fase a tierra
(CC3F)
(CC2Ff)
(CC2F)
(CClFf)
Mayor
grado
de
incidencia
Mayor
severidad
Como se observa, la falla más severa es la
trifásica, aunque es la menos frecuen te, mientras
que la monofásica es la menos severa pero de
mayor probabilidad de incidencia. Para un estudio de cortocircuito, basta con estudiar la faUa
trifásica y la de línea a tierra, pues con base en eUas
se realizan las acciones de selección y ajuste de las
protecciones (fundamentalmente las de sobrecorriente), asegurándose así que el sistema está bien
protegido. De las fallas consideradas, la trifásica es
la única que mantiene la simetría de las relaciones
r--1
r--1
H
l.
E.
1
E.
1
Las ecuaciones que define
to del circuito trifásico en fun
nentes simétricas se reducen
V>
E: Zn
- V;=::Z2
- V :;Zoo
•
1
l.
•
1
1,
E,
•
1
•
-
t,,,
=
O
'---
Figura V.3 .a. Falla triféslca .
74
Como en este caso sólo existen cantidades de
secuencia positiva, en el punto d e la falla se tienen las siguientes relaciones entre las cantidades
de fase y sus componentes simétricas:
.
¡ ,' = ¡
Las condiciones impuestas p or la falla trifásica
se satisfacen conectando el circuito de secuencia
positiva como se muestra en la figura V.3.b
En el circuito de la figura V.3.b se verifica que:
E'
] 1; _ '
2 11
a
(V.6.l)
Como:
¡ ,' = O
¡' = O
•
se tiene:
¡ = ¡'
•
.
] ;a 2
•
,
]1
¡, = n ¡',
.
V=a 'V ,' = O
V=aV'=Ú
,
,
(V.6.2)
cálculos.
2) Establecer el modelo m á
eléctrico d el sis tema estudiad
mizará la complejidad de la
3) Reconocer la presencia
del sistema que vio lan las re
tas por e l método analítico u
4) Insertar artificia lmente
los resultados calculados, si
lo suficien temente significativa
das.
En la sección V.2. Fuente
falla , se asumió una falla tri
se d escribió un circuito equ
corriente calculada E/Z con e
te de Thevenin es una cor
simétrica, puesto que E es u
corriente simétrica puede c
mente con las caracterís tica
equipo que se expresan co
simétricas.
Ahora bien, el análisis ant
por switcheos en un circuito
indica que los procedimiento
ben reconocer la asimetría c
del sistema y considerarla
onda d e corriente de cortocir
dos componentes:
• La componente simétric
na EI Z .
• La componente de co
aparecerá inicialment
máxima posible, y será
componente inicial sim
alterna .
V
J
"
V
'l
(2)
fYYY\
X[>T=16 n
hornos
T
25 MVAde
X,
Xj' = 0.20
= 0.30
Dos molores síncronos
c/u de 6 000 HP, 0.8 PF
720 r.p.m. y 4 .16 kV
G
Tres subestaciones de bajo voltaje,
con motores de inducción
como sigue (0.48 kV):
1.12 MVA de mol ores de menos de 50 HP,
1.67 X:¡ = 0.28
0 .4 MVA de molores enlre 50 y 150 HP,
G
I¡ I¡ I I 1
M,
X
X
r
XI
4.16 kV, 60 H
'1
T.
'1
\
XIR =21
1SMVA
= 0.09
XIR = 4S
xj =0.12
X;;
L
I
'1
G
G
L
(2)
'..'l
XPT=16í1
T,,20MVA
fYYY\ X, = 0.07
I
L
'fí
XjR
Sistema de 69 kV
1 000 MVA disponibles
= 22 (véase la NOTA)
o
la razón de X/R obtenida a través de la impedancia equivalente de Thevenin del punto de falla.
Conforme la componente de corriente directa
decae, la corriente total pasa a ser simétrica.
Para procedimientos de cálculo simplificados,
la asimetría de la falla puede ser tomada en
cuenta aplicando factores de multiplicación de la
corriente alterna simétrica. El resultado estimado
de la corriente RMS asimétrica es utilizado para
la comparación de especificaciones, capacidades
interruptivas o características de comportamiento de equipo, que son expresadas en función de
corrientes RMS totales (asimétricas).
V.8.
PROCEDIMIENTO DETALLADO
El procedimiento para el cálculo de corrientes de
cortocircuito en sistemas industriales consiste
en los siguiente pasos:
1) Preparar los diagramas del sistema.
2) Reunir y convertir los datos de impedancia.
3) Combinar impedancias.
4) Calcular la corriente de cortvcircuito.
Primer paso. Pro/arar los diagramas del sistema.
El primer paso es desarrollar el diagrama unifilar. Este diagrama deberá mostrar todas las fuentes a la corriente de cortocircuito y todos los
elementos significativos del sistema.
La información de las impedancias puede vaciarse en el diagrama unifilar después de la recopilación inicial de los datos y de las conversiones
pertinentes.
Algunas veces, es conveniente preparar un
diagrama separado, mostrando únicamente
las impedancias después de la conversión. Hay
que considerar que el circuito original puede ser
complejo y que se requerirán varios pasos de
utiliza en el estudio tanto la Z
pleja) como la relación X/R.
Segundo paso. Recopilar y
impedancia de aquellos elemen
ran relevantes. Estos datos d
en por unidad sobre las bases
el estudio.
Tercer paso. Obtener el ci
Thevenin en forma de impedan
resistencia para aplicarse al p
un solo equivalente de la red.
d e las ramas que forman una
o estrella pueden reducirse c
las apropiadas.
Cuarto paso. Calcular la cor
to. Las impedancias de las m
usadas en el circuito para calc
cortocircuito dependen del o
Se examinarán tres redes b
do las impedancias utilizada
resultados deseados:
1) La primera red sirve para
de cortocircuito que se utiliza
fusibles e interruptores (est
baja tensión), la cual se pre
primer ciclo después de que
2) La corriente de cortocirc
tir de la segunda red se aplica
ción de esfuerzos de apertur
rruptores en mediana y alta t
3) La corriente de corto
con la tercera red se utilizará
dispositivos relevad ores con
Las tres redes contienen lo
tos, a excepción de los valor
para las máquinas rotatorias.
diferentes impedancias en la
en guías normalizadas para
equipo interruptivo.
tatorias de la red en el circuito equivalente. Esta
consideración está hecha de acuerdo con las siguientes normas:
• ANSI C37.41 1969 (R-1974). Design Test for
Distribution Cutouts and Fuse Link, Secundary
Fuse. Distribution Enclosed Single Pole Air
Switches, Power Fuses, Fuses, Disconnecting
Switches and Accesories.
• IEEE STO. 20-1973. Low Voltage AC Power
Circuit Breakers used in Enclosures (ANSI
C37.13-1980).
• NEMA AB 1-1975. Molded-Case Circuit Break-
ers.
• NEMA se 3-1975, Low Voltage PowerCircuit
Breakers.
Las normas para equipo interruptivo de bajo
voltaje permiten modificar la reactancia subtransitoria para un grupo de motores de inducción o
síncronos, siempre que estén alimentados desde
una subestación de baja tensión. Si la capacidad
total de los motores en caballos de fuerza (HP) es
aproximadamente igual a la capacidad del transformador de la subestación con autoenfriamiento en kV A, puede usarse una reactancia (o impedancia) de 0.25 p.u. referida a la capacidad del
transformador para representar al grupo de motores.
Ahora bien, la corriente de cortocircuito en
alta tensión calculada utilizando estas impedancias se aplicará en la selección de fusibles en alta
tensión y para especificar potencias de cortocircuito en sistemas de alta tensión, para usarse
como especificación de la acometida o suministro en subsecuentes cálculos en baja tensión.
Para el cálculo de esfuerzos debidos a la corriente de cortocircuito, para ser comparados
78
Para los motores, esta consi
decaimiento de la compone
recta en la corriente de corto
el motor.
En las normas ANSI/IEE
ANSI/IEEE C37.5-1979 se d
miento para la aplicación de í
voltaje. Este procedimiento
pos de capacidades en moto
recomienda despreciar los m
dad sea menor de 50 HP Y
factor multiplicativo de 1.2 o
cias subtransitorias de moto
cidad.
La norma ANSI/IEEE C3
rruptores en bajo voltaje reco
actancias subtransitorias en l
nos dice que la contribució
cortocircuito que aportan lo
tensión conectados a una sub
veces la corriente nominal, lo
lente a considerar al grupo de
sola impedancia de 0.25 en p
ción se fundamenta en el h
sistemas industriales los grup
res conectados están forma
motores de inducción, cuya
corriente de cortocircuito es d
te 3.6 veces la corriente nom
y en un 25% de motores sín
bución a la corriente de cortoc
madamente 4.8 veces la corri
que al estimar un valor de cua
te nominal del grupo de m
promedio aproximado de los
conectados.
En la actualidad se acostu
res de inducción de grande
que este tipo de motores apo
ción d e los que no se tienen d atos no minales.
Como se mencionó anteriormente, el cálculo promedio, 1/0.2 = 5 veces su
de la corriente d e cortocircuito en esta primera
Las dos últimas fil as d el cu
red pued e ser utilizado para seleccio nar la capa- en el cuad ro V.2.
cid ad interruptiva de dis positivos in terru p tores
Al utilizar el cuad ro V.2 p
(fusibles) en alta tensión, o bien pa ra ser compa- análisis pa ra la solución d e la
rada con el dimensiona miento de interruptores y bajo voltaje se obtiene una
en baja tensión. Este hecho implica que se tengan circu ito de un valor más ob
d os análisis de esta primera red: uno en baja calculada para esta p rimera r
tensión y otro en alta tensión. Si se sigue correc- lista puesto que se están cons
tamente el procedimiento recomendad o por las buciones de tod os los motor
normas en cuanto a la contribución d e los moto- baja capacidad en baja tensió
res a la corriente de cortocircuito, el análisis por los motores de inducción d e
separado de la primera red pued e simplificarse trabajan en baja tensión.
a un solo análisis. Esto se d ebe a que la contribuUna vez establecid a la pri
ción inicial a la corriente RMS simé trica de cor- a una imped ancia equivalent
tocircuito de un motor típico es d e seis veces su punto de la falla que se va a e
corriente nominal, y la contribución d e un motor de cortocircuito se obtiene al
de índucción grande (50 HP Y mayores) a la pre-fa lla en el pun to de falla
corriente de cortocircuito en el primer ciclo es d ancia equivalente Zp.". mult
de 4.8 veces su corriente nomínal, que resulta rriente base l OASE:
aproximadamente lo mismo que afectar su imped ancia subtransitoria por un factor d e 1.2, por
E
1
p,u. 1
lo que el procedimiento en baja y alta tensión
CCs;m :;:; Z
p.u.
para este grupo de motores resulta similar. Para
motores d e inducción más pequeños, según las
normas, considerar una contribución d e 3.6 ve- do nde:
ces la corriente nominal es un p oco conservativo ICCs,m es el va lor RMS de la corr
y similar a considerar su imped ancia subtransitocircui to simétrica del pr
toria multiplicada por 1.67.
do una falla fra nca.
Teniendo en cuenta estas consid eraciones en
Cua ndo se considere una f
el tratamiento de los motores de índucción pa ra el
baja
tensión, la corriente IC
análisis d e la primera red , se puede resumir:
aplica rse d irectamente para
a) Se d eben incluir tod os los motores de ind ucción d e menos de 50 HP, afectando s u reactancia capacidades interru p tivas
sub transitoria por un faclor multip lica tivo de mensionamiento de interru
1.67 si se disponen de los datos d el motor; o bien sión, fusibles o algún otro di
utilizar una impedancia de 0.28 p .u. para una cificación se exprese como
estimación d e la primera red . Esto implica que s imétrica.
x;
1.2 x;
Arriba de 250 HP a 3 600 rpm.
Restantes, 50 HP Y mayores.
Todos los menores de 50 HP.
CUADRO V.2.
1.0
ninguno
Factores multiplicativos de reactancia (o impedancia) para máqu
(cambios del cuadro V.l para cálculos en sistemas multivoltaje)
la. red
Tipo de máquina
Motores de inducción:
1.2 x~*
Restantes, 50 HP Y mayores.
Todos los menores de 50 HP.
1.67 x;***
... O un estimado para la primera red de Z ::o 0.20 p.u. a la base del motor .
.... O un estimado para la segunda red de Z = 0.50 p.u. a la base del motor .
..... O un estimado de primera red de Z::o 0.28 p.u. a la base del motor.
En el caso de que la calibración de algún dispositivo se exprese como una corriente RMS total, la Icc.im deberá ser afectada por un factor
multiplicativo proporcionado por las normas
ANSI/IEEE C37.01O-1979 y ANSI/IEEE C37.51979, y de esta manera obtener la corriente RMS
total o asimétrica del primer ciclo. Este factor
multiplicativo será, según las normas, de aproximadamente 1.6 para sistemas industriales, por lo
que para la corriente total asimétrica de falla
franca
l eCto!'
se tiene:
(')
.. Valores de F1R :
1.55 para baja tensión
1.60 para alta tensión
2.70 para va lores de cresta
80
V.S.2. Segund
La corriente de cortocircuit
red se emplea en la determin
zos interruptivos para interr
sión (por arriba de 1KV in
tensión).
Las impedancias d e las m
que se utilizarán en esta segu
por factores multiplicativos q
los cuadro V .1 y V.2 en sus c
esta red se requerirá el valo
de los componentes de la red
máquinas rotatorias, su resis
tada por el mismo valor por el
fancia .
Una vez determinados los
redes (reactancias y resisten
impedancia equivalente de
componentes son Xp.u. y Rp.u
• La especificación de corriente interruptiva
del dispositivo. Si su especificación de capacidad interruptiva es anterior al año 1964
se utilizarán las gráficas de la figura V.5; en
caso contrario se utilizarán las curvas de las
figuras V.6 y V.7.
• La razón Xp.U.IR p.u. del nodo de falla bajo
análisis.
• La caracterización local o remota de la falla.
La generación se considera remota cuando
ésta alimenta la falla a través de dos o m ás
etapas de transformación, o bien cuando
presenta una reactancia externa en serie de
un valor igualo mayor a 1.5 veces la reactancia sub transitoria del generador. Se considera una generación local cuando los generadores alimentan la falla a través de no
más de una etapa de transformación, o bien
cuando el punto de falla presente una reactancia en serie menor de 1.5 veces el valor
de la reactancia subtransitoria del generador. Estas consideraciones se basan en la
norma ANSI/IEEE C37.5-1979.
• Los tiempos mínimos de aF~r tura de contactos de cada interruptor en al ta tensión.
-Si se trata con interruptores con especificación anterior a 1964 este tiempo se determina a partir de su velocidad nominal de operación en combinación con e l cuadro V.3.
- Para interrup tores d e especificación posterior se utiliza com o tiempo mínimo de
apertura de contactos el representado por
la curva m arcada con un cu adro para
ca d a velocidad nomina l (figuras V.6 y
V.7), o en su defecto e l especificado por el
fabricante.
5
3
2
Una vez obtenidos estos fac
Ep u
[cc = X · x factor multipl
p....
Este producto representa
rms, que se utiliza para comp
cidad interruptiva de interru
sión. Es importante mencion
lcc es simétrica únicamente cu
el que se afecta el cociente Er
Como por lo general este fac
representará la corriente asim
to es muy importante pues l
capacidad interruptiva de lo
a lto voltaje se expresa tanto
como en asimétricos.
Para interruptores antiguo
interruptiva se expresa como
capacidad interruptiva en kA
pacidad dada en MV A entre
por el voltaje operativo en kV
este voltaje se encuentre entre
mo operativo del equipo:
Capacidad intcrruptiva a
Capacidad interrup
-J3 x Voltaje opera
70
80
/
50
40
30
/
70
7 í7
20
80
j
/
40
30
17
1/
1/
[7Tiem pode apertura de los
c?nta;tos; en c iclos
10
O
1.0
'/
50
7
20
10
11
1/
/ 1/
/ / /
1/
V
'/ V
/'
/- ~
/Tiemp
;ont1ac
1
O
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
NOTA: Para falla s alimen tadas predominantemente por generadores a través de no más de una eti'lpa de transformación o en los
casos en qllC la reac tancia en scrie es menor a 1.5 veces la reactancia
subtransitoria del generador (fall., local) (ANSI/IEEE C37.5-1979).
NOTA: Pa ra fallClS alimentadas pred omi
res a través de dos o más etapas d e tra
en que la reactancia en serie es may
reactancia sub transitoria del generador
C37.5-1979).
Fig u ra V.S. Factor es de mu ltiplicación par a fallas tri fásicas y de línea a tierra (dispo
con especificación an terior a 1964).
Relación X/R
1 30~~~~~
8
120 ¡'::¡'7J..j-+-++~
6
11 O ~m.ll--I-l-----j
100
4
'l-J4J--J.,I!4!w-----j
80 ~r.-j-J+j'-+--1
70
60
50
171T
J
r7
4°h
30
f,L
2
3
9O~~t-I-H
~
1,28
1/
/
@I Ti~~po
mlnlmo
de apertura
de contactos
Velocidad del
1O ~ - interruptor -
O L-__~.~':;=":O:'__~
1.0 1.1 1.21.31.4
77
1/
1/
J
1/
v. toctdad del
1/
'/
1/
5 ciclos
Velocidad dell
Interruptor
3 ciclos
Velocidad del
interruptor
2 ciclos
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
1.0 1.1 1.2 1.3
1.0 1.1 1.2 1.3
f-I nterruptor --
NOTA: Para fallas alimentadas p redomin.ln temente po r generadores a través de no más de una etapa de tra
en que la reactancia en serie es menor de 1.5 veces la reactancia sub transitoria del generador (fa lla local) (AN
Figura V.6. Facto res de mUltip licación par a corrientes tr ifásicas. Falla local (bases pos
82
50
40
30
20
10
'/ / / / /
/ 'Ii L W Tiempo
'/jl
mínimo
~/
do """lacios
'-
V /
1// / /
Velocidad
--
Velocidad
f--
I
/
I
V
de apertura
del lnlerruplor _ _
L-- _
// /
-
del lnt8fru plOr -
8 ciclos
5 ciclos
O
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
V
I
Velocidad
r- del interruptor3 ciclos
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
NOTA: Para fallas alimentadas p redom inantemente por generadores a través de dos o más e tapas de trans fo
que la reaclancia en serie es mayar o igual a 1.5 veces la reactancia sublransiloria del gene rador (fa lla re mol,l ) (
Figura V .7 . Facto re s de multiplicación para corrie ntes trifásicas (fa lla remota) y de línea a tie rr
El valor de la cap acidad interrupti va requerid a del disp ositivo bajo análisis se calcula mediante la exp resión:
= lec x
I
ce Jil1tt',;(II
Embimo
E
o perMión
d onde:
Embimo es el voltaje máximo de operación del dispositivo (no rmalmente el nom inal), y
E operación es el voltaje en e l punto de utili zación del
interruptor.
V.B.3. Tercera red
En esta red se calcu la la corriente d e cortocircuito para ajustar disp ositivos relevadores con retard o de tiempo_ Una aplicación con reta rdo d e
tiempo opera d espués de 6 ciclos de que ocurre
la condición de anormalidad en el s istem a. Hay
relevadores que operan instantáneamente; pnra su
ajuste se utilizará la corriente de cortocircllito cnlCIIlada en In primera red_
Los componentes de esta
camente los generad ores y lo
que componen e l sistema es
transformadores, cables y lo
entre elemen tos activos y el
generadores se representará
pedancia transitoria, o bien
yor, que puede ser la reactan
diendo d el tiempo que se co
Tod os los motores se omit
se considerará la contribución
a la corriente de cortocircui
el que este análisis es válid o
la componente de corriente
caído a un valor cercano a cer
por lo que la corriente de cor
será:
E
1SI ~l = Xp.,
1
X
p'
d onde nuevamente Er.,. es la
y Xp ., es la reactancia equiv
a l punto de fa lla, a mbas en p
12 polos o menos
14 polos o más
0.16
0.21
0.33
0.33
0.15
0.20
0.28
0.24
0.23
0.30
0.40
0.37
0.5
2
5
10
20
Capacidad (DA) del trans
Motores síncronos
6 polos
8-14 polos
16 polos o más
Condensadores síncronos'
Convertidores síncronos'
600 V de alimentación en C.D.
250 V de alimentación en C.D.
Motores de ind ucci6n grandes,
usualmente arriba de 600 V
Motores pequeños, usualmente
menores de 600 V
Figu ra v .e . Relació n X/R de tra
(basado en ANSI/ IEEE C37.01
Las ecuaciones que de fine
to del circuito trifásico, en fu
nentes simétricas, son:
0.20
0.33
0.17
(véanse
Z¡¡. 2 22 r Zoo
los cuad ros
V.I y V.2)
de Thevenin
NOTAS:
1)
La x~ no es usada normalmente en estudios de cortocircuito.
positiva , ne
2) Pa ra los motores síncronos, los kV A oASE pueden obtene rse de los HP de la máquina : Co n Lp .= 0.8 ; kVAoA SE= HP.
En el punto d onde ocurre
el punto de falla, se pueden e
relaciones entre las cantidad
ponentes simétricas:
Con f.p. = 1.0, kVA aASE = 0.8. HP
V .9.
FALLAS OESBALANCEADAS
El método d e las componentes simétricas es especialmente útil para el cálculo de los sistemas
desequilibrados debidos a cortocircuito entre
fa ses o de fases a tierra.
V.9.l. Falla monofásica a tierra (CClFT)
1,,+n l,, +
3
12 ::
,
1 + a' l, +
"
3
La asimetría debida a la fall a de la fase a a tierra
queda definida por las ecuacio nes:
/-,,0
V.=O
y como lb=O e 1, =O:
1, = O V b " O
1, = O V, " O
84
(V.9.1)
:---
O
§
~
'"
§ § §
§
"'
O
fil
8
§
kVAde placa
H.P. de plac
Figura V. 1O. Rel ación X/R para
de inducción trifá sicos
(basado e n ANSII/ IEEE C37 .0 1
Figura V .g. Relación XlR para generado res
pequet'ios y motores srncronos
(rotor liso o con los polos salientes)
(basado en ANSII/ IEEE C37.0 10- 1979).
El problema consiste en determinar el valor de
las componentes simétricas de las corrientes y
de los voltajes 1!r 1;, 1 ~r V ~r V;, V~, que constituyen las seis incógnitas. Pueden obtenerse resolviendo el siguiente sistema de seis ecuaciones
independientes:
-v'=z
[,
•
22 a
En lugar d e resolver algeb
ma de seis ecuaciones simu
cógnitas, pued e establecerse
lente en el que se verifiquen e
se logra conectando en serie l
lentes de secuencia positiva
como se muestra en la figura
De esta figura se deducen
ciones:
[
Il=1 2 = ~
•
•
3
(V.9.3)
z"
¡ loo
Figura V .11 . Falla monofásica a tierra.
Fig ura V. 12. Conexión de los ci
positiva, negativa y cero para e
m onofásica a tierra.
•
Figura V .13. Falla bifásica a tierra.
Conocidas las componentes simétricas de la
corriente de falla de la fase a y del voltaje al neutro de la fase a, en el punto de falla, pueden
calcularse las corrientes: l ., 1, e 1, y los voltajes al
neutro en el punto de la falla : V.' V, Y V, de
la siguiente forma:
V =
, (
(a - a')
2" +
(a
21 1+ 222+
V.9.2. Fal/a bifásic
La asimetría debida a la falla
b y e queda definida por las
nes:
Ib=a 2 I~ +a 1;+ I ~ =I! (a 2 +a + 1) = 0
l. = O
V.;
Las ecuaciones que defin
to del circuito trifásico en fu
nentes simétricas son:
_ V 11' = 2
.00
_V O =2
En el punto de la falla p
siguientes relaciones entre l
y sus componentes simétrica
ta que l. = O Y V, = V, = O:
86
ciones anteriores se satisfacen conectando los
circuitos de secuencia positiva, negativa y cero
de acuerdo con la figura V.14.
De esta figura se deducen las siguientes expresiones:
Zoo
I
Figura V.14. Conexión de los c
positiva, neg a tiva y cero para
bifásica a tierra.
Vb = a2 V n1 +aV 2 +
Q
V.9.3 . Falla bif
De dicho circuito se deduce también que:
La asimetría debida a la f
entre las fases b y c queda
guientes ecuaciones:
/, = O
Conocidas las componentes simétricas de la
corriente de fana d e la fa se a y del voltaje al
neutro de la fase a en el punto de la fa lla, pueden
calcularse las corrientes l" lb e l , y los voltajes al
neutro V" V b y V, en la siguiente forma:
Las ecuaciones que define
to d el circuito trifásico en fun
nen tes simétricas son:
- V '=
22
n
_ V O=
20
,
1 =a I I +a 2 ¡2+ I o =
,
a
R
Q
(a -1) 2, + (a - a' ) 200
El
2 11 2 22 + 2 11 2 00 + 2 22 Zoo "
En el punto de la fall a pu
siguientes relaciones en tre la
1",
=
O
Figura V.15. Falla bifásica.
y SUS componentes simétricas. Puesto que no hay
conexión a tierra en el punto de falla:
V ,1 =V ,2
1:
Puesto que = 0, no pue
voltaje de secuencia cero y e
l °, = O
Se tiene también que:
V ~= O
Las condiciones impuesta
anteriores se satisfacen cone
y por lo tanto, de las ecuaciones anteriores:
_1 ,1 = 1,2
equivalentes de secuencia p
como se indica en la figura V
Del circuito de la figura V
El
Los voltajes de secuencia positiva y negativa
tienen los siguientes valores:
11 =
l ,'
1
Vl= - (V +aV +a'V)
" 3
a
1
" 3"
b
"
" 2 11 + Z2
,
V'= - (V +a'V +aV)
b
,
I
y como V, = V,:
V~
="31 (V, + (a + a' ) V,)
I
y por lo tanto:
88
Z11
Z"
Figura V .16. Conexión de los
positiva y negativa para el cas
constante.
V.10.
CALCULO DE LAS CORR
EN UN CORTOCIR
USANDO UNA COMPUTAD
Si se considera para esta última ecuación que
ZIl == Z221 situación que se presenta comúnmente
en sistemas industriales, el valor de la corriente
de falla bifásica se expresa como:
De esta expresión, el término (E ;/2 11 ) corresponde al valor de la corriente de cortocircuito trifásico, y el término (a - a')l2, tiene en magnitud un
valor de 0.866, lo que comprueba que "la corriente de cortocircuito bifásica (Icm) es de aproximadamente 87% del valor de la falla trifásica (Icor)"
(sección V.3).
(V.9.8)
Las expresiones para el cálculo de los correspondientes voltajes por fase son:
V
Ir
= a2 Vi + a V 2 + V O = (a 2 + a)
~
n
n
2"
Z]] + Z22
E]
a
Si el sistema bajo análisis c
interconectada de cierta mag
nodos) la solución numérica
sada en la obtención de impe
te de Thevenin para todos l
utilizar métodos sistemático
empleo de computadoras di
El método más utilizado a
la matriz de impedancias
construcción se vio en el ca
mente, la forma fasorial de l
será la relación básica que s
se estudiará su aplicación a
trifásicas equilibradas y desp
para cualquier tipo de falla d
V.JO.l. Fallas tri
Para estudiar en forma com
mien to d e un sistema bajo c
es necesario anali zar la ocur
distintos puntos del sistema
considera en cada caso una
probabilidad de que Ocurran
neamente es muy baja .
Una vez ca \culada la corrie
punto considerado es necesa
voltajes resultantes en los dif
corrientes que circularán por
de la red.
(V.10.1)
donde:
lE Corriente de falla en p.u.
Vo Voltaje al neutro en el punto de falla antes de que
ocurra la falla.
2 T Impedancia equivalente de Thevenin de la red
vista desde el punto de la falla .
ZF Impedancia de la falla (se asume igual a cero para
Utilizando notación matri
una falla franca).
Debe recordarse que para el cálculo de las
corrientes de cortocircuito los generadores y los
motores se representan por una fuente de voltaje
de magnitud igual a la fuerza electromotriz inducida que existía inmediatamente antes de producirse el cortocircuito, conectada en serie con la
reactancia sub transitoria si se trata de calcular
la corriente de cortocircuito para primera o segunda red, o con la reactancia sub transitoria de
los generadores eliminando todos los motores si
se trata d e determinar los valores de falla para un
estudio de coordinación de dispositivos relevadores con retardo de tiempo.
Por lo tanto, los cambios en los voltajes y
corrientes que se deban a un cortocircuito trifásico en uno de los nodos o de los buses de un
sistema interconectado pueden determinarse
mediante el cálculo de la red pasiva -formada
por las impedancias de secuencia positiva de las
líneas y transformadores, las reactancias subtransitorias de los generadores y las reactancias
subtransitorias o transitorias de los motores- ,
alimentada por una fuente de corriente igual a la
corriente de falla trifásica en ese punto del sistema, como se muestra en la figura V.17.
90
donde:
[V] Es la matriz columna d
nodos.
[2 BUS ] Es la matriz de impedan
por las impedancias pun
Thevenin y las impedan
[lE] Es la matriz columna de
de corriente.
Las ecuaciones (V.I0.2) pe
cambios de los voltajes en todo
que se deben a la presencia d
conocen las impedancias pun
y de transferencia y las fuente
Si únicamente existe una
conectada al nodo p, las ecu
reducen a las siguientes:
v1 = 2 1"
lF"
v" =2 p,' lF"
tes antes de la falla los cambios de voltaje producidos por la falla, que están dados por las ecuaciones (V.lO.4).
V =V _
n
20
Z
2,
Z +
1'1'
V =V _
Fp
,10
Z,.,.
Z +Z
1'1'
v Fp =V,10 - V" =VpO -Z,'p IFp
(V.lO.5)
V =
110
F
Z
v =v- Z +. "
FII
110
1'1'
Si la falla está sólidament
si la impedancia Z, = O, las e
se reducen a:
VFn =V11011
-V =VrrO - Z npFp
I
El signo menos (-) asignado en las expresiones
anteriores a los cambios de voltaje producidos por
la falla se debe al sentido de la corriente de falla I".
señalado en la figura V.17, que está saliendo del
nodop.
Z,p
VFl = V¡O-z
,.
(V.lO.6)
donde Z, es la impedancia de la falla .
Sustituyendo esta expresión en la ecuación
(V.1O.4) correspondiente a V" .:
Z I =V-Z I
F
Fp
,10
""
VpO
1,,= Z +Z
,'p
F"
(V.lO.7)
F
La expresión (V.1O.7) permite calcular la corriente en el punto d e la falla. Una vez conocida
esta corriente pueden calcularse los voltajes V,
en los distintos nodos durante la fa lla mediante
las ecuaciones (V.lO.5).
Una vez calculados los vo
los distintos nodos de la re
falla en uno de sus nodos se
tes que circ ulan por las disti
durante el cortocircuito me
expresión:
versión de la matriz Ysus o por la construcción
paso a paso (capítulos II y I1I).
(V.I0.12)
A su vez, la matriz IYsus] se obtiene por inspección o a partir de la matriz primitiva de admitancias y la matriz de incidencia nodal A (método de
transformaciones singulares):
[Ysus]; [A' ] [y] [A]
(V.I0.13)
Los voltajes en los distintos puntos de unión
antes de la falla se calculan mediante un estudio
de flujos de potencia.
V.1O.2. Simplificaciones en el cálculo
computacional de fallas
Aunque, como se dijo antes, el método que se
acaba de describir es un método exacto, es frecuente que en el cálculo de fallas se realicen
las siguientes simplificaciones que no afectan en
forma apreciable los resultados:
1) No se toman en cuenta las cargas conectadas al sistema que no sean motores, ni otras
conexiones de fase a neutro, como las que representan la capacitancia de las líneas de transmisión o la excitación de los transformadores. Esto
equivale a considerar que antes de la falla no
circula ninguna corriente por la red. El algoritmo
permite simular ambas condiciones, es decir,
pueden incluirse en el cálculo de impedancias equivalentes de Thevenin, cualquier impedancia conectada
en derivación y así poder comparar los efectos sobre el
valor final del cortocircuito.
92
la falla puede considerarse q
do en por unidad es igual a
3) En las redes de potenc
capacidad de los equipos la r
posible despreciar la resiste
tos de la red, que en el caso
los transformadores y las lín
es mucho menor que la reac
los mismos.
4) La impedancia de falla
cero ya que para esta condic
máximo de la corriente de fa
Las simplificaciones 1 y
una representación monofás
una red trifásica afectada p
trifásico. Como se han des
elementos pasivos conectad
tro, incluso las cargas, antes
el cortocircuito el sistema p
como se indica en la figura Y
En la figura Y.18 los gen
están representados por un
constante en serie con una
queda incluida en la red pas
tes de voltaje tienen un valor
y están en fase, por lo que pu
una sola fuente de voltaje. A
impedancias de la red pas
sentarse por la matriz de im
(como la falla es equilibrad
corriente de cortocircuito se
únicamente la red de secue
estas condiciones se obtiene
lente de la figura Y.19.
Si en la figura Y.19 se prod
en el nodo p, la corriente de
Ne
Figura V.18. Representación monofásica de la red trifásica simplificad
1
I =-
"
(V.10.14)
Z
"
La expresión (V.1O.14) es igual que la (V.10.7)
para V pO = 1 Y Z, = O.
Los voltajes en los otros nodos durante la falla
en el nodo p están dados por las siguientes expresiones:
Z,
Vn = l- Z 2p IFP=r
interconectarlos de acuerdo
como se vio en la sección V.9
En este caso se puede sis
generalizando el método de
dancias de bus de secuencia
cero. Algorítmicamente y en
mas, se consideran iguales las im
cia positiva y 11egativa. (Recue
cias de la diagonal principal
equivalentes de Theveni,t en ese
resto son las impedancias de tr
[':
(V.10.15)
"
Z:2
Z' Zl22
[ Z~us] = ..~1
ZI,,1 ZI
,,'
Las ecuaciones (V.1O.l5) son iguales a las
(V.lO.lO) para VIO = 1:
V 20 = 1,
V pO = 1,
[ ZiusJ =
Z',,' Z',,'
V,,0 =1
[ Z~usJ =
V.lO.3. Fallas desequilibradas
Para el cálculo de fallas desequilibradas por el
método de las componentes simétricas es necesario establecer los circuitos equivalentes de secuencia positiva, negativa y cero del sistema e
Z~l Z~2
Z~1 Z~2
Z~1 Z~2
Z~1 Z~2
~l ZO,,'
Haciendo las simplificacio
das en la sección anterior,
impedancia de bus pueden
circuitos equ ivalentes, como
Figu ra V. 19. Represe ntación esquemática d e una red trifá sica a fecta d a
por un cortocircuito en e l nodo p .
en la fig ura V.20. En d icha figura se h an interconectado los tres circuitos equivalentes para representar una falla m onofásica en el nod o p.
En el circui to d e la figura V.20 se verifica que:
1
ZI +Z2 +Z o
1 1= 1 '= 1 0=~~~~~,
l'
P
l'
pp
1'1'
1'1'
Los tres circuitos equivalentes p od rían haberse interconectado para representar una falla bifásica a tierra en el nod o p, en cu yo caso las
componentes simétricas d e la corriente d e falla
serían:
I pl
1
=-"..-
= ___ z z Zo
ZI+
1'1'
PV
PI'
Z2 +Z o
PI'
12 =
l'
10 =
P
Z2
PI'
ZO
I'v
11
+ ZO p
rp
PI'
Z'
PI'
",,+ Z Op,.
Z2
11
l'
La conexión correspondiente a l caso d e una
falla entre d os fases en el nod o p resulta ría en las
siguientes componentes simétricas d e la corriente d e falla:
1
+z'.'/'
1'"
Zl
,
1° = O
94
Estas ecuaciones se simp
análoga a las expresiones de
Un a vez ca lculadas las co
cas de la corriente de falla, la
corresp ond ientes en el nod o
transfo rmació n:
Las componentes de secu
ga tiva y cero d e los vo lt
1, 2, ... 11, durante una falla
restan do de los voltajes d e pr
voltajes de secuencia, los cua
vez m ediante las imped anci
correspondientes. Por ejemp
v:,]
[z:, O
V' = O z'
[v' O O Z
"
"1'
!I
Una vez calculad as las co
cas del voltaje en un nodo, lo
calculan mediante la transfo
[ ~]=[;' ! ~
v'"
aa' l
Vi
•
zh
1
z,U
2
--
Z,
""
l'
p
P
Z;",
m
V'
•
Z~l
1
ZOU
2
--
ZO
1°
p
""
P
Z~m
m
VO
•
Figura V.20. Interconexión de los circuitos equivalentes de secuencia positiva, n
para representar las condiciones debidas a una falla monofásica a tierra en el pu
Una vez calculados los voltajes de secuencia
positiva, negativa y cero en cada nodo de la red,
se calculan las corrientes de secuencia positiva
negativa y cero que circulan por cada rama de la
red durante el cortocircuito mediante la siguiente expresión:
O
O]
Yj,
donde:
Una vez conocidas las componentes simétricas de las corrientes en la rama jk, las corrientes
de fase se calculan mediante la siguiente transformación:
[
/~]
[1 11] [/:,]
1~=a2a lf¡k
/'jk
69 kV
Zn
13.8
(0
Zn
4.16 kV
aa'lI"jk
Este método es particularmente útil cuando se
desea conocer el comportamiento de voltajes nodales y corrientes circulantes de falla en cada elemento
de la red, ya que la metodología descrita en las
secciones anteriores limita el análisis a la determinación de las corrientes llamadas "puntuales", y no se
obtienen los voltajes en los nodos no fallados.
ZMS
8R
Figura V.21. Diagrama de
Nomenclatura (adicional):
BR Barra de referencia (tierra f
XPT Reactancia de puesta a tierr
V.U . EJEMPLO DE CÁLCU LO PARA EL ESTUDIO
DE CORTOCIRCUITO
Se calcularán las corrientes trifásicas (la, 2a, y
3a. red) y de línea a tierra para el bus 1 del sistema industrial de la figura V.4. Para una estimación de valores se sugiere consultar el apéndice 3.
Primer paso. Preparación de los diagramas
del sistema
Nomenclatura:
UR Barra de referencia (neutro).
ZRED
Impedancia equivalente de Thevenin del sis-
Segundo paso. Reunir y co
impedancia.
Normalización en por uni
dice 1).
S6ASE
6000 HP.
96
V BASE
Sistema de alimel1taciól1.
Para obtener la impedan
dividir los MV A base entre lo
del sistema, cuyo ángulo es
relación X/R:
tema de alimentación (69 kV).
2c Impedancia del generador.
Zn, Zn Impedancias de los transformadores 2 1 y Z2'
Znl Zn Impedancias de los transformadores T) y T4·
ZMS Impeda ncia de los motores síncronos de
= 10 MV A
2,,,, = ( 1 ~~O ) a
I
=0.01
187.39° = 4.540 x 10
0
ZMS
Z,.
Z..".
ZMl 7S0
Figura V .22. Diagrama de secuencia cero.
Elementos pasivos.
De la relación X/R y de la reactancia X se
obtienen las componentes de la impedancia mediante la expresión:
Z=(~+jX)
X/R
por lo que los valores de las impedancias normalizadas en p.u. son:
(Todos estos valores perm
estudio de las tres redes.)
Máquil1as rotatorias .
• Generador
Primera red:
0.09 JO.09
.
) (l0)
ZG= ""45+
15
(
+ jO.06 = 0.06001 1
0.07 + JO.07
.
) (10)
Z n = 2I
20
[
= 1.66 X 10-3 + jO.35 = 0.03504 187.273'
Zn=(0.~~5 +jO.055)(~0)
Este valor es el mismo p
(véase cuadro V.l).
Tercera red:
)(10)
0.12 .
ZG= ""45+JO.12
15
(
+ jO.08 = 0.080021
= 6.88 x 10-3 + jO.l1 = 0.11021186.424 0
• Motor síncrono de 6 000
0.055.
) (10)
Zn= 14"+JO.05~
7.5 =5.24x 10-3'0
+¡. 073
(
= 0.7352185.9w
ZT4
=(0.~g5 + jO.055 )U.~)= 3666
= 0.3685 184.289 0
5= (6 000 HP) x (0.746 kW
0.8
Primera red:
X
3
10- + j0366
ZM, =(03~0 +j020)
= 0.012 + jO.357 = 0.3
2" = (0:0 + jO.20
)(~.~)= 0.555 + j5.0 = 5.03183.66°
adicionalmente los valores
puesta a tierra (16 n del gene
formadores TI y T y Y limitac
a 500 amp en T,.
Segunda red: (véase el cuadro V.2)
3
2" = (1 2 )<0.555 + j5.0) = 1.388 + j12.5
• Generador y transform
T¡(VBASE = 13.8 kV)
(13.8 kV)'
10 MV A
= 12.575183.W
Para la tercera red no se consideran.
• Motores de menos de 50 HP (1.12 MVA
totales).
Primera red: (véase el cuadro V.2)
• Transformador T,
(VBA
(4.16 kV)'
lOMVA
0.28.JO 28 )( 10 )
2 M"'= 6+
.
1.12
(
= 0.416 + j2.5 = 2.534180.53°
3
Para la segunda y tercera red no se consideran.
• Motor de inducción de 1 750 HP (HP = k V A).
S (6000 HP) x (0.746 kW)
5.595 MVA
• Transformador T, (VB
Se tiene que X PT limita a 5
que:
0.8
Primera red:
Normalizado a p.u.:
2 M17" = (1.2)
(O;~ + jO.17 )V~5 )= 0.0388 + j1.165
= 1.166188 088°
Segunda red: (véase el cuadro V.1)
98
2 BASE = 1.73
x
PT
= 4.803 =277
1.73
.
Tercer paso. Circuito equ
dancias.
ZE
Zc = 8.62 X 10-' + j.0215 =
Yc = 4.64741- 87.704° = 0
BR
Figura V.23. Diagrama simplificado de elementos
activos.
donde:
Zo = 0.0945 + jO.67782 = 0
Yo = 1.461171- 87.0626° = 0
ZE
ZA Suma de las impedancias ZRED y Zn·
=0.0263 + jO.69285 = 0
Z. Impedancia del generador (ya calculada).
Ze Impedancia equivalente de las dos subestaciones
T'JI cada una con la suma de Zn y ZMS:
YE = 1.44221- 87.826° =0
Admitancia equivalente d
1 Y TH ,:
Zo Impedancia equivalente para las subestaciones
con transformadores T" con el paralelo de las
impedancias Zso y ZMSOt en serie con ZT4' Tres
subestaciones:
=
ZTH'
ZE
Impedancia equivalente de la subestación que
contiene al transformador T2 con dos motores de
inducción de 1 750 HP:
Realizando las correspondientes operaciones
se obtienen los siguientes resultados:
ZA
=(4.54 x 10-' + j9.989 x 10--') + 1.66 x 10-3 + jO.035)
1.85548-/46.374028 = 46
=0.021546187-708° = 8.61
Segunda red:
• Se eliminan los motores
• Se modifican las impe
de 50 HP y mayores.
Partiendo de la figura V.2
incluir motores) las impedan
Sustituyendo valores:
Ze = 0.5(5.24
X
10-' + jO.073
; [(1.66 x lo-' +
[(1.33 x ta-3 +
Yo; 0.2317561- 83.6814° ; 0.025506-jO.230348
donde:
ZT,..
+ (0.0485 + j1.455)
Impedancia equivalente d
cia cero para el nodo l .
; 0.05538 + j1.565; 1.566187.97°
YE ; 0.6385691- 87 97° ; 0.022619-jO.638168
Admitancia equivalente de Thevenin del
nodo 1:
Cuarto paso_ Cálculo de la
circuito.
Primera red:
El valor de cortocircuito t
red corresponde a:
; 1.587-j42.766 ; 42.81- 87.87°
Z THI ;
0.02336187.87°; 8.6838 x 10-' + jO.023348
Tercera red:
• Se eliminan todos los motores.
• Cambia la impedancia del generador.
• Se desprecian todas las resistencias.
Con referencia a la figura V.23, las ramas correspondientes a lc' lo Y lE para la falla en el
nodo 1 no se consideran.
Enamperes:
I
_
BASE (13.' kV) -
lOMVA
'13"13.8 kV
l con . red ; (46.4111-87.70
(418.37 amp); 19.4169 1- 87.7
El valor asimétrico es:
Icm ; 1.6(19.41691- 8
; 31 .067 1- 87.708° kA
Segunda red:
Z. ; jO.044989
ZTHI ;
8.6838 x 10-4
X TH1
100
;
0.0233
De la figura V.6 (falla local) se obtiene para la
gráfica del interruptor de 5 ciclos, la curva de 3
(tiempo mínimo de apertura) y con X/R = 27, un
factor multiplicativo de 1.04, por lo que el valor
asimétrico de falla es:
E
Ise = Xp,u. x factor multiplicativo x IBASE
p.U.
= (42.829) (1.04) (418.37)
= 18.635 kA asimétricos.
La corriente simétrica se obtiene eliminando
del producto el factor multiplicativo:
ISC 'imétri<'1I. = 17.918 kA simétricos
Tercera red:
Para el cálculo de la corrie
a tierra simétrica se emplea e
tivo que se obtiene en las grá
las figuras V.5 y V.7. Debido a
corriente de cortocircuito trif
magnitud, el empleo de la I W
ción de interruptores en med
no es frecuente. El cálculo de
tivo se realiza empleando la r
da en la segunda red.
Considerando que los inte
nivel de tensión (13.8 kV) tie
nominal de 5 ciclos con una
terior a 1964, de la figura V.7
gráfica del interruptor de 5
(tiempo mínimo de apertura)
factor multiplicativo de 1.22,
asimétrico de falla es:
ICCIF,,;m
= (1.22) (945.82) = 11
Falla de línea a tierra:
3.0ETH
I CCIFTp.u.
2 Z~H+Z~H
Como puede observarse, e
al de la falla trifásica (18.635 k
lo que no tiene aplicación en
ficación de la capacidad inte
sitivo.
1.1.
INTRODUCCIÓN
n sistema eléctrico está formado por diversos elementos: generadores, motores,
transformadores, conductores, etc. Para
el análisis de su comportamiento bajo diferentes
condiciones de operación, la representación de
estos equipos debe hacerse de una manera consistente. Por lo general, los fabricantes expresan
las impedancias, reactancias o resistencias, según sea el caso, en por ciento, por unidad o en
ohms, referidos a las bases nominales del equipo
(tensión, potencia). Por la diferencia de unidades, el manejo de esta información tal cual resultaría complicado para llevarlo a cabo de una
manera eficiente.
Debido a esto se ha generalizado el empleo de
las cantidades en p.u. (por unidad) en el análisis
de los sistemas eléctricos. De esta manera todos
los datos están referidos a las mismas bases, lo
que da por resultado un tratamiento consistente
de la información y más simpHficado.
En este apéndice se presentan los lineamientos
básicos para la transformación o normalización
de cantidades a por unidad, las ventajas que se
obtienen al utilizar este método y un ejemplo del
manejo de las ecuaciones.
1.2. MODELOS POR CIENTO Y POR UNIDAD
En el estudio de redes eléctricas de potencia,
donde intervienen distintos tipos de equipo
como generadores, transformadores, líneas de
transmisión, capacitares, motores, etc., los datos
pueden ser proporcionados en ohms, por ciento,
por unidad, o bien de la
mismo sistema, por lo qu
expresen los datos del equi
criterio.
Ahora bien, para los cálc
cas la representación de los
cia de los elementos en p
ventajas sobre los otros c
estas ventajas son:
• Los fabricantes de eq
malmente especifican
pedancias en por cien
para referirse a las bas
taje y potencia nomina
• Las impedancias en p
quinas eléctricas de u
de un rango amplio
caen en un rango rel
tanto que las impedan
tener un rango muy a
momento dado puede
los.
• En los circuitos en do
madores, como ocurre
sistemas eléctricos, al c
cias de los dispositivo
referir aliado correspo
mador (primario o sec
culta el manejo de info
con la representación e
unidad (p.u.) se evita
• La forma en que se en
los transformadores tr
impedancias cuando
por unidad (p.u.).
dades ad imensionales.
En cuanto a la representación d e valores de
tensión, corriente y potencia, el uso del criterio
en por unidad o por ciento facilita su manejo.
En genera l, una cantidad en por unidad se
puede rep resentar como una relación entre dos
cantidades de la misma unidad; y a una de ellas
se le den omina cantidad base:
Sbase = potencia base
I base = corriente base
Zbase = impedancia base
por lo que:
1
cantidad en por unidad (p.u.) =
cantidad dada
'd d b
(1.1)
ca nh a
ase
S
V
bAH'
but'
De la ley de Ohm:
y se d efine una cantidad en por ciento como
100 veces una cantidad en por unidad:
.
cantidad dada
cantidad en por cIento ('Yo) =
'd d b
x 100
canh a
=
¡",~
1= VIZ
entonces:
V
ase
Sbase = vbaS<" xZ
(1.2)
Es decir que existe una relación entre cantidades por unidad y cantidades por ciento:
por lo que:
cantidad por ciento % = ca ntidad por unidad x 100
(1.3)
por tanto:
I
1.3. D ETERMINACIÓN DE VALORES BASE
La magnitud de las cantidades bases d ebe elegirse d e tal manera que las cantidades en p.u.
cumplan las leyes eléctricas.
Como las características topológicas de la red
no se alteran en este tipo de transformación, se
deben considerar como invariantes la ley de
Ohm y la ley de Joule, y por consiguiente las leyes
de Kirchhoff de voltajes y corrientes.
Para la selección de las cantidades base normalmente se fijan las bases de potencia aparente
104
= V base
..~ Zb. w
Una vez que se ha especif
obtener las magnitudes base,
mencionar que en cada nive
tema tendremos una base d
relacionada con la tensión ba
relación de transformación
que las separa. Al cambiar
corriente base y la impedanc
biar. La potencia base se mantiel
del sistema.
líneas (nominal) y la "potencia" se entiende
como la potencia aparente trifásica . Pero como
el comportamiento de los circuitos trifásicos balanceados se estudia con el uso de una sola fase
y el neutro de retorno, las bases para el cálculo
monofásico d eben estar dadas como potencia
monofásica o la potencia por fase, y la tensión
debe darse en kV de línea a neutro. Este hecho
puede crear confusión. Un valor de voltaje, por
ejemplo, si se especifica en por unidad, no importa si está dado entre líneas o entre línea y
neutro. A saber, una tensión base entre líneas es
1.732 veces mayor que una tensión base de línea
a neutro; este hecho permite que el valor de
tensión en por unidad no varíe, ya sea que el
valor sea monofásico o trifásico.
Ejemplo:
Considere un sistema cuya tensión base sea de
23 kV entre líneas. Entonces su tensión base de
línea a neutro será de:
además para kW y kV AR.
En cuanto al valor de la c
demos calcular utilizando la
sica y la tensión base ente lín
cia base monofásica y la ten
neutro; de manera análoga s
pedancia base.
Consid ere:
=
=
Shase =
Sb"seM =
Vh"se L
Vh~S('F
voltaje base entre líne
voltaje base de línea a
potencia base trifásica
potencia base monofá
Shax
= -{3 X VbaseL
O bien:
=
1
hase
Sbase
...J3 X
V
h
De manera similar:
Si queremos pasar un valor de 20 k V entre
líneas a por unidad, tenemos dos opciones:
20 kV
1) V,o = 23 kV = 0.869 p.u.
con
Vb.~ =
1
= SbaseM
base
V
hase
Para la impedancia :
23 kV entre líneas
2) Una tensión de 20 kV entre líneas implica
una tensión de 11.547 kV de línea a neutro, por
lo que:
De mane ra similar:
v
p.u.
con
Vh ;¡sto
11.547 kV
0.869 pu.
13.280 kV
= 13.28 kV de línea a neutro
(V base
SbaSC
Supongamos que:
Recordando las ecuacione
cribir las ecuaciones (1.11) as
Z = impedancia en ohms
V"~I =
voltajebasedado
Sbase 1 =
potencia base dada
impedancia b ase dada
impedancia en p.u. dada
voltaje base nuevo
potencia base nueva
impedancia base nueva
impedancia en p.u. nueva
Zb.lse l
=
Zp.U.l
=
Sbase 2
=
=
Zt-ase 2
=
Zp.U. 2
=
Vb.lse2
Considerando valores trifásicos de potencia y
tensión entre líneas tendremos:
z
base 2
=
(Vb.~ ,)' (1.10)
S
base 2
Para pasar un valor en p.u. a una nueva base
requerimos, primero, pasarlo a ohms y luego
pasarlo a por unidad con las nuevas bases.
z
zp.u.l =Z--
base 1
106
z
zp.u. 2 = Z b~ se 2
Acomodando esta ecuació
Z p.u.2 -- Zp.u.l
X
(
Vb'~
-
-
V
b.. se
que nos da el mismo resulta
(1.11), pero estando ésta en f
de la potencia base y la tens
2.1.
INTRODUCCIÓN
I trabajo realizado por C. L. Fortescue en
el año de 1918 nos dice que un sistema
desequilibrado de n vectores puede descomponerse en n sistemas de vectores equilibrados denominados "componentes simétricas" de
los vectores originales.
Los n vectores de cada conjunto de componentes son de igual magnitud, siendo también iguales
los ángulos formados por vectores adyacentes.
Normalmente, en cualquier estudio de sistemas
eléctricos se enfoca su aplicación a sistemas trifásicos de corriente alterna, aunque este método es
aplicable a cualquier sistema polifásico.
Ahora bien, según el teorema de Fortescue,
tres vectores desequilibrados de un sistema trifásico pueden descomponerse en tres sistemas
equilibrados de fasores. Los conjuntos equilibrados de componentes son:
al Sistema directo o de secuencia positiva
Éste es un sistema trifásico que puede representarse por tres fasores de igual módulo, que
e
A
forman un ángulo entre d
vos de 120° y que tienen u
igual a la del sistema original
bl Sistema inverso o de secue
Éste es un sistema trifásic
sentarse por tres fasores d
forman un ángulo de 120
consecutivos y que tienen u
inversa a la del sistema origin
e
Figura 2.2. Fasores de s
cl Sistema homopolar o de sec
Éste es un sistema trifásico q
tres fasores de igual módulo
-------+
---------+
B
Figura 2.2. Sistema de tasores de secuencia positiva.
---------+
Figura 2.3. Fasores de
V~, V i y V ~, son los voltajes de secuencia
positiva.
V~, Vi y V~, son los voltajes de secuencia
negativa.
V~, V~ y vg, son los voltajes de secuencia cero.
Por lo que podemos expresar los voltajes VA' V.
Y Ve utilizando sus componentes simétricas:
(2.1)
V¡"........- _ . . . J
Vi
Figura 2.4 . Representación de
desbalanceado en sus compo
Ahora, si aplicamos a un v
dos veces, hará que el vector
ra análoga, si aplicamos a un
a tres veces sucesivamente e
Es decir que:
a' = -D.5 - jO.
a'=l+jO
Estas ecuaciones se pueden plantear de manera similar para las corrientes. Sean l A' l. Y le las
corrientes de un sistema trifásico desbalanceado.
Se pueden escribir:
(2.2)
lo que observamos gráficamente en la figura 2.4.
2.2. Uso DEL OPERADOR a
Se define el operador a como un número complejo de magnitud 1 y d e argumento 120°;,10 cual
implica que al aplicar el operador a a un vector,
éste girará 120° en sentido contrario a las manecillas del reloj sin alterarse el módulo del vector:
. a = -D.5 + jO.866
108
A continuación se dan di
nes del operador a:
a = - 0.5 + jO.866
= 11120°
a' = - 0.5-jO.866
= 11240°
a'=l+jO
= 11360°
a' =- 0.5 + jO.866
= 11120°
1 + a = 0.5 + jO.866
1 - a = 1.5 - jO.866
1 + a' = 0.5 - jO.866
a+a'=-l+jO
a _a' = O+ j 1.732
1 + a + a' = O + jO
De manera similar, las corrientes:
(2.4)
o escrita de otra forma:
Estas ecuaciones se pueden escribir en forma
de matriz:
VA]
V =
[Ve
B
[1 1l][V~]
a2 a 1
a a' 1
V~
(2.5)
VOA
Si comparamos las ecuaciones (2.1) y (2.2) con
las ecuaciones (2.3) y (2.4) observamos que el
número de incógnitas se ha reducido en las ecuaciones 2.3 y 2.4, ya que se han expresado V. y Ve
como el producto de una función del operador a
y una de las componentes de VA o de lA' Recordemos que esto es posible debido a que todos los
componentes de secuencia positiva son de igual
magnitud y están defasados 120", al igual que los
de secuencia negativa, por lo que cada componente puede ser expresado en función de otra
componente y una función adecuada del operador a. En cuanto a las componentes de secuencia
cero, las tres componentes son de igual magnitud
y están en fase, por lo que cualquiera de las tres
puede sustituir a la otra. Véanse las figuras 2.1,
2.2 Y2.3.
Se define:
Ahora bien, conocidos V~,
conocer V~, Vi y Vi, Y V~, V~
siguientes ecuaciones:
Vi =a V~
V ~ = v~
En las ecuaciones (2.6) se o
sante: la componente de secu
caso V~, será igual a cero si la
res desequilibrados es igual a
la suma de voltajes entre lín
trifásico es siempre cero, no h
secuencia cero para voltajes entr
tar el desequilibrio que exista
o bien:
(2.9)
En un sistema trifásico la suma de las corrientes en las líneas es igual a la corriente en el neutro
[ N' por tanto:
(2.10)
Por lo que:
Ahora bien, si consideramos un sistema sin
neutro, la corriente INserá igual a cero, por lo que
las corrientes de las líneas no tmdrán componentes
de secuellcia cero. Éste sería el caso de una carga
conectada en delta.
110
no se consideran interaccion
distintas.
4) Los elementos activos d
rarán voltaje de secuencia p
es obvio, puesto que para qu
nere tensiones de secuencia n
girar en sentido normal y c
tiempo. Sería asimismo impo
Ve fueran iguales en magnit
fase, característica de las cant
cero.
5) Se considera que los vo
negativa y cero se generan en
que disminuyen en magnitud
jamos del punto de falla.
6) El voltaje de secuencia p
punto de falla y máximo en e
ción.
7) Como las corrientes de s
en fase y son de la misma mag
cuarto conductor (neutro) pa
8) La existencia de compon
negativa y cero en un sistema
a la presencia de un desequilib
te, para la secuencia cero este
ir acompañado de una circu
por la tierra física (suelo).
ebido a que en el cálculo manual de corEstadísticamente está de
tocircuito frecuentemente se cometen planta industrial la mayoría
errores por la gran cantidad de operacio- su equipo de relevo, por
nes con números complejos, es conveniente te- máxima no excede de 60%
ner un valor estimado de las corrientes de falla Adicionalmente, con base e
como referencia. Para ello se d escribe a conti- ante la presencia de una fal
nuación un método simplificado de estimación contrib ución más grande ll
de valores de falla trifásica y de línea a tierra, cundario del transformad
proporcionarán más d e 30%
aplicable a sistemas industriales.
Los valores deberán ser considerados exclusi- de cortocircuito, es decir, la
vamente como referencia a los valores calculados; predominantemente por los
estos últimos deberán apegarse a las normas · planta y la acometida a trav
existentes (se recomienda utilizar el método desBasándonos en estos fa
partirá de los siguientes cas
crito en IEEE-141).
1) El nodo de falla es alim
por la acometida.
3.1. F ALLA TRIFÁSICA
2) El nodo de falla es alim
por algún generador.
3) El nodo de falla se ubic
En una planta industrial es muy frecuente ende transformación de las p
contrar el circuito simplificado de la figura 3.1.
En él, 2 0ED representa la impedancia equiva- falla (acometida y generado
Para el caso 1 se conside
lente de Thevenin de alimentadores, transformadores y generadores que se encuentran en el lado tribución a la falla la propo
por lo que cualquier genera
primario del transformador.
de transformación se despre
tado directamente un gene
de cortocircuito e
corriente
ZRED
@ --..,
@ ---t----1!---i
.
"
J
@ -- - !
®
Figura 3 .1.
donde:
-
_=,5,-,,,,
J3xV
donde:
o
la Contribución a la corriente de cortocircuito del
generador.
lnom Corriente nominal del generador.
Zc Magnitud de la impedancia nominal subtransi-
toria del generador en p.u. (puede ser usada
también la reactancia subtransitoria, puesto que
ZG= x"d) .
Para el caso 3 el análisis se referirá a la figura
3.1. En los sistemas industriales casi 90% de los
nodos están alimentados por el secundario de un
transformador, por lo que este caso es el más
común de los tres.
Si existe una sola ruta de alimentación hacia la
falla, como en la figura 3.1, la corriente de falla
en el nodo s es de aproximadamente:
(3.3)
donde:
lu Estimado de la corriente de cortocircuito trifási-
co del nodo.
Inom
Corriente nominal del transformador.
ZT Impedancia nominal del transformador en p.u.
El transformador que se indica en la fórmula
anterior corresponde al transformador de la fi"
gura 3.1, que es el último transformador que se
encuentra en la ruta de alimentación hacia la
falla. Lo anterior se sustenta en que si normaliza"
mos la ZREO y la impedancia equivalente de los
motores (ZM) a las bases del transformador, se
obtiene que: Z"'O « Zp mientras que ZM » ZT'
112
o
Considerar un bus infin
rio del transformador (Z
camente, esta simplifica
corriente de falla un 20%
te.
Despreciar la contribuc
Como se mencionó ante
tores aportan a la corri
máximo 30 por ciento.
Este incremento y reducc
logrando con ello que este
exceda una desviación de 20
la corriente.
En los sistemas industriale
encontrar circuitos similares a
Debido a los requerimientos
conductores son de calibre
distancias que deben cubrir
menores a los 1 000 metros, se
general una impedancia relat
que ocasiona que la corriente
q sea muy parecida a la del
que el valor estimado de la co
nodo q es igual a la del nodo
Otro caso común es el de
de una contribución importa
falla, por eso la corriente est
tocircuito de este nodo será ig
corrientes de contribución
Carga .
I@
Figura 3 .2
tida a través del transformador (figura 3.3).
3.2.
FALLA DE LíNEA A TIERRA
Por lo general, los sistemas industriales utilizan
tres tipos de aterrizamiento:
• Sólidamente aterrizado.
• Aterrizado a través de una impedancia
(R, Xu XC' o combinados).
• Aislado de tierra.
Los valores estimados de falla a tierra dependerán del tipo de aterrizamiento.
En los sistemas industriales se manejan niveles de voltaje en mediana tensión (esto es, desde
1 kV hasta 15 kV) Y en baja tensión (menores a
1 kV).
Antes de continuar con el análisis es conveniente recordar bajo qué circunstancias se emplea cada tipo de aterriza miento.
En mediana tensión el sistema se aterriza a
través de una impedancia para disminuir los
esfuerzos dinámicos y térmicos en ellos, estableciendo la norma que dicha limitación oscila entre
los 100 y 500 amperes.
En baja tensión se tienen estadísticamente los
valores de falla a tierra más grandes, puesto que
no se acostumbra aterrizar el sistema por medio
de impedancias; es decir, el sistema está sólidamente aterrizado. Esto se debe principalmente a la
presencia de cargas monofásicas o bifásicas, lo
que implica un desbalanceo en las fases y, por
tanto, una corriente circulante a través del neutro, la cual produciría en la impedancia de puesta
punteadas.
Cuando el sector del sistem
la falla está aterrizado sólida
impedancia equivalente de
prácticamente igual a la de
por lo que la corriente de cor
tierra estimada será igual a la
de falla trifásica. Para el cas
mentados sólo por transform
ecuación (3.3).
Cuando el equipo está ate
una impedancia (zona B), en
estimada de falla será igua
corrientes (limitadas) de cad
ese sector del sistema.
Basándonos en la figura 3.3
la corriente a la que limita
generador es de 500 amperes
dor a 300 A, la corrient
de falla de línea a tierra d
500 + 300 = 800 A. Para el cas
de está conectada la acometi
mada de cortocircuito mon
trifásico.
,
r-------~
~
G
zonaB
z
1- - ,
:--~
---------: :- ~
--,
,,
,
II
I
,
I
'---~ :E----~ :¿S;
Figura 3.4
fYYYI
XPT= ú;n
= 0.20
X¡ = 0.30
X:;
Dos motores síncronos
elu de 6 000 HP. 0.8 PF
720 r.p.m. y 4 .16 kV
o
Tres subestaciones de bajo voltaje.
con motores de inducción
como sigue (0.48 kV):
1.12 MVA de motores de menos de 50 HP,
1.67 X,' = 0.28
0.4 MVA de motores entre 50 y 150 HP,
0
T ,'---,I¡ It ~ ~ ~ o
25 MVAde
hornos
M,
X
X
T
Xt
4.16 kV. 60 H
11
T.
11
V
15MVA
X;¡ = 0.09
X/R = 45
xj = 0.12
6
11
G
G
6
(0
XPT=16n
T" 20 MVA
fYYY'I x, = 0.07
.~
I
X/ R = 21
I
'yí
6
X/R = 22 (véase la NOTA)
Sistema de 69 kV
1 000 MVA disponibles
o
= 19.4169 1- 870708 0 k
20MVA
15MVA
-J3 x 13.8 kV -J3 x 13.8 kV
+
0.09
(0.07)
(estimado = 19 kA s
Falla trifásica del nodo 2 (
1"" =
10MVA
.J3 x 4.16kV x 9.26
= 12.85851 - 86.9060 k
La corriente estimada de cortocircuito trifásico
del nodo 2 es
(estimado = 12.62 kA
Corriente de falla d e línea
5MVA
1
"
= l,n = {3 x4.16 kV
Zn
(0.055)
1" = 12.62 kA sim
La corriente que circula a través de la impedancia de aterrizamiento del transformador TI es de:
1
13.8 kV
" T3 x 16Q
497.96 A = 500 A
Puesto que el generador está al mismo voltaje,
su impedancia también limita aproximadamente
a 500 A la corriente de falla monofásica. Por eso,
la magnitud estimada de la corriente d e cortocir-
1"I FT =
lOMVA
.J3 x 13.8kV x 2.
= 945.s21 - 89.88 0 A
(estimado = 1 000 A
Corriente de falla de línea
10MVA
k x 0.
v3 x 4.16 V
1" IFT = '"
= 481.031- 89.88 0 A
(estimado = 500 A s
4.1.
INTRODUCCIÓN
.1. ¿Cuáles son los elementos de la calidad
de servicio eléctrico?
1.2. Describa las características de un
sistema eléctrico en estado normal.
1.3. ¿Cuál es el significado de disturbio? Dé
algunos ejemplos.
1.4. ¿Son aplicables los estados de operación
para un sistema industrial sin generación propia? Explique por qué.
1.5. ¿Es equivalente el estado normal al régimen permanente equilibrado? En caso negativo
explique las diferencias.
1.6. Describa las diferencias entre los estados
normal y alerta.
4.2.
punto es válido despreciar la
tuas?
2.2. Para el mismo sistem
árboles con configuración d
manteniendo fijos el número
ne nuevamente las matrices
describiendo la diferencia en
tenidas originalmente. ¿Cuá
necen sin cambios?
2.3. Para el mismo sistem
renumere los nodos, asignan
el número cero. ¿Qué cambio
trices de red?, ¿cuáles son la
asignación de números de e
de nodo para una red interco
Este sistema presenta las c
observan en la figura 4.1.
G I = G, : XIR
MATRICES DE INCIDENCIA Y DE RED
2.1. Para el sistema descrito en la sección 11.6
construya las matrices Yaus Y 2MAllA por inspección; compare con los valores obtenidos en el
ejemplo y determine las diferencias. ¿Hasta qué
el
TR
e,
Figura 4.1.
50 MVA, 13.8 kV, x
LI = L, = L
G,: 120 MVA, 115 kV,
o
o
o
x;' = 12%, X / R = 40
Seleccione bases convenientes y construya
la red de secuencia positiva en p,u,
Asigne números a los elementos y nodos de
acuerdo con el árbol seleccionado,
Dibuje el grafo conectado y orientado d el
sistema,
se obtuvo en la misma pregu
35. Obtenga para el mis
matriz Z 'US' ahora considera
Obtenga la correspondiente
compárela con la obtenida p
singulares,
3,6, Para el siguiente siste
datos del problema 1\.4, con
cambios:
3
TR
TR2
Figura 4 .2
Desprecie las impedancias mu tuas y obtenga Y,"" Y RAM A Y ZMALLA por inspección,
o Determine las matrices de red Y,"" Y RAMA Y
Y MALLA por transformaciones singulares,
o
25. ¿Por qué se dice que el grado de dispersidad de las matrices primitivas de impedancia y
admitancia no necesariamente coinciden?
4.3, ALGORITMOS PARA LA FORMACIÓN
OE MATRICES DE RED
3,1, Describa el significado físico de los componentes de la m atriz Z,us'
118
G, : 13.8 kV
TRI = TR
Z = 6.2%, X / R = 45, 13,8/ 11
o Normalice a p,u, y bas
ma de secuencia positi
nodos 1, 2 Y 3,
o Obtenga la matriz Z,u
pIos mutuos,
o Construya ZBUS sin con
3,7, Para el ejemplo de la s
los resultados obtenidos con
pIos; explique las causas de l
ricas.
derivación (tap) fuera del nominal.
4.4. Si en un sistema de potencia se emplean
cambiadores de derivación bajo carga, ¿cómo se
modelarían para el estudio de flujos?
4.5. Calcule los valores faltantes para los cuadros IV.6 y IV.7 del ejemplo de la sección IV .4.
4.6. Considere el siguiente sistema:
Los datos de las líneas de transmisión se muestran a continuación (observe que no se considera
el efecto capacitivo):
Código de bus p-q
1-2
1-3
2-3
2-4
2-5
3-4
4-5
Impedancia
5
1.0 + ¡O.O
O
• Desprecie la resistencia
res y realice un estimad
potencia activa.
• Explique por qué el pro
puede ser resuelto al des
das.
• Utilice una tolerancia d
0.01 y resuelva el proble
• Varíe los factores de acel
(por ejemplo: 1.0 y 6.0)
influye con el número d
• Demuestre numéricame
tar el voltaje del nodo co
de los límites de regula
disminuyen.
• Explique qué es lo que su
reactivo de la red ante las
voltaje.
• Realice un balanceo de g
unidades (que ambas t
potencias).
Zpq
0.02 + ¡0.06
0.08 + ¡0.24
0.06 + ¡0.18
0.06 + ¡0.18
0.04 + ¡0.12
0.01 + ¡0.03
0.08 + ¡0.24
Los valores de generación y carga, así como
también los voltajes asignados se muestran en el
siguiente cuadro:
4.5.
ESTUDIO DE CORT
5.1. Explique por qué para u
circuito no se toman en cue
capacitores y los motores de
5.2. Describa el procedimie
de cortocircuito en un siste
propia cuando se desconoce
circuito de la acometida.
XPT
= 160
"fí
'.2.
X, - 0.065
XJR ='}J)
13.8 kV, 60 Hz
T,
Xrr= 160
o -+-Dos motores
de inducción,
1000 HP 4 .16 kV
XJR = 30
Transformador TI
7.5 MVA
x, = 0.055, XJR
= 14
CCM con motores
de inducción
como sigue (0.48 kV) :
3x15Hp,5x30HP
4 x 50 HP, 3 x 100 HP, 1 x 250 HP
Transformador Tol
Dos mo
de 1 750
1.5 MVA
X,
~
0.055, XJR
Xrr
~
lO
=O
• Para los buses 1 y 2 calcule los valores de
cortocircuito trifásico de primera y tercera red.
• Para el bus 2 determine los valores de falla
de dos líneas y de línea a tierra.
• Determine la variación de la potencia de
120
4.16 kV
cortocircuito de la acom
del nuevo sistema.
• Calcule las capacidade
13.8 k V requeridas para
5 ciclos.
Anderson, Paul M., Analysis ofFaulted POloer Systems,
Iowa Sta te Press, Ames, 1995.
Arrillaga, J. y C. P. Amold, Computer A,wlysis of PolOer
Systems, Wiley & Sons, 1990.
Brown, Homer E., Solution ofLarge NetlOorks by Matrix
Methods, Nueva York, Wiley, 1975.
EI-Abiad, A. H ., Ruth Guidone y G. W. Stagg, "Calculation 01 Short Circuits Using a Highspeed Digital
Computer", Tran s. AIEEE, 1985, vol. 80, part III,
pp. 702-707.
EIgerd, OUe l., Electric Energy Systems Tileory: An In troduction, Nueva York, McGraw-Hill, 1985.
Fortescue, C. L., "Method 01 Symetrical Coordina tes
Applied to the Solution 01 Polyphase Networks",
Tran s. AIEEE 37, 1918, pp. 1027-1140.
Gonen, Turan, Electric Power Dislribution Sys tem Ellgineering, McGraw-Hill, 1987.
Gross, Charles A., PolOer System Analysis, 2a. ed ., Nueva York, JOM Wiley & Sons, 1986.
Heydt, G. T., Computer Analysis Methods fo r POloer
Systems, Macmillan, 1986.
Hayt, WiUiam H., Jr. y Jack E. K
Cirwit Analysis, Nueva York
IEEE Standard Dictionary of El
Terms, IEEE Std. 100-1992.
IEEE Red Book, IEEE Recomme
frie Power Distribution, N uev
science, 1993.
IEEE Brown Book, IEEE Recomm
er Syslem A l1alysis, Nueva Yo r
1990.
Neuenswander, John R., Modern
ton, PA" International Textbo
Stagg, Glenn y Ahmed H. EI-A
ods in Power System s Ana
McG raw-HiU, 1968.
Stevenson, WiUiam D., Jr., Elem
Analysis, 4a . ed., Nueva York
Sto tt, B. y O. AIsac, "Fast Dec
IEEE Trans. PA S-93, 859-869,
Van Ness, J. E. YJ. H. Griffin, "El
Load Flow Studies", AlEE Tra
Prefacio . . . . . . . . .
Capítulo l. Introducción . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 . El sistema de potencia en estad o estable. Modelado del sistema
1.2. Estados de operación de un sistema de potencia
1.3. Solución de problemas en ingeniería . . . . . . .
Capítulo Il. Matrices de incidencia y de red
11.1. Topología de redes . .
11.2. Gráficos de una red . . . . . . . .
11.3. Matrices de incidencia . . .. . .
11.3.1. Matriz de incidencia elemento-nodo Á
11.3.2. Matriz de incidencia nodal (o de bus) A
11.3.3. Matriz de incidencia rama-trayectoria K .
11.3.4. Matriz de incidencia conjunto cortad o básico B .
11.3.5. Matriz de incidencia a malla básica C . . . . . .
11.4. Matrices primitivas de red . . . . . . . . . . . . . . .
11.5. Formación de matrices de red por transformaciones singulares
11.5.1. Ecuaciones de la red . . . . . . . . . . ... .. . . . . . . .
11.5.2. Matrices de admita:lcia e impedancia nodal (de bus o de barra)
11.5.3. Matrices de admitancia e impedancia de rama . . ..
n.5.4. Matrices de admitancia e impedancia de malla . . . .
11.6. Ejemplo de formación de matrices de incidencia y de red
Capítulo IlI. Algoritmos para la form ación de matrices de red . . . . . . . . . . . .
1II.1.lntroducción . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1II.2. Algoritmo para la formación de la matriz de impedancia nodal Z,us .
1II.2.1. Ecuación de comportamiento de una red parcial
1II.2.2. Adición de una rama
1II.2.3. Adición de un enlace . . .
111.2.4. Reducción de Kron ... .
111.3. Ejemplo de formación de Z,us .
IV.3.4. Método iterativo de Gauss utilizando ZBUS • . . .
IV.3.5. Método iterativo de Gauss-Seidel utilizando ZBUS
IV.4. Nodos de voltaje contrulado . . . . . . .
IV.5. Ejemplo d e cálculo de flujos de potencia
IV.6. Interpretación de resultados . . . . . . .
Capítulo V. Estudio de cortocircuito ..
V.l. Introducción . . . . . . . . . .
V.2. Fuentes de la corriente de falla.
V.2.l. Cortocircuito trifásico en las terminales de un generador síncrono
V.2.l.l. Corrientes de cortocircuito trifásico
V.2.1.2. Componente de corriente continua
V.2.2. Motores y condensadores síncronos
V.2.3. Motores d e ind ucción . . . .
V.2.4. Sistemas de servicio eléctrico .
V.3. Tipos de fallas a considerar
V.4. Transitorios por switcheo múltiple
V.5. Aplicación de las condiciones impuestas .
V.6. Falla trifásica . . . . . . .
V.7. Conclusiones . . . . . . .
V.8. Procedimiento detallado
V.B.l. Primera red .
V.8.2. Segunda red ... .
V.8.3. Tercera red ... .
V.9. Fallas desbalanceadas .
V.9.1 . Falla monofásica a tierra (cclFr)
V.9.2. Falla bifásica a tierra . . . . . . .
V.9.3. Falla bifásica . . . . . . . . . . .
V.I0. Cálculo de las corrientes y voltajes en un cortocircuito
usando una computadora digital ... . . . . . . . .. .
V.lO.l. Fallas trifásicas . . . . . . . . . .. .. . .. . .. .
V.lO.2. Simplificaciones en el cálculo computacional de fallas
V.lO.3. Fallas desequilibradas . . . . . . . . . . . . . .
v.n . Ejemplo de cálculo para el estudio de cortocircuito
Apéndice 1. Va/ores en por unidad (p.u.)
Apéndice 2. Componentes simétricas
124
Métodos computacionales para el análisis
de sis temas de potencia
se te rminó de imprimir en junio de 1997
e n los talleres de Editorial Ducere,
S.A. de C.V., Rosa Esme ralda 3 bis,
coL Molino de Rosas, 01470 México, D.F.
El tiro consta d e 1 000 ejemplares más sobra ntes
para reposición.
La composición tipográ fica , la formación y el cuidado
editorial es tuvieron a ca rgo de Sa ns Serif Editores,
S.A. d e C.V., telfa x 674 60 91.
• Ordenar las fechas de venclmioolo de manera vertical.
- Cancelar con el sello de "DEVUELTO· la fecha de vencimie
entrega del libro
UAM
TK1005
T6.43
2893050
Toledo Toledo, Fernando
Metados computacionales P
'7
de la producción
José Vega Luna y Gerardo Salgado Guzmán,
Prácticas de laboratorio de sistemas digitales
Ana Lilia Laureano, Programación orientada
a objetos: un enfoque con tipos abstractos
Juan González Márquez, Introducción al derecho
bancario mexicano
Violeta Múgica y José de Jesús Figueroa,
Contaminación ambiental, causas y control
Textos de próxima aparición
Tomás David Navarrete González y José Ángel
Rocha Martínez, Colección de problemas
resueltos para el curso de energías mecánica
y eléctrica
Rafael López Bracho, María Paula Ortuño
Sánchez, Felipe Carrillo Romero y María
Teresa Rodríguez Martínez, Paquete
computacional "Optimización en redes
(versión 2.0) para Windows"
Raymundo López Callejas, Juan Ramón
Morales Gómez, Mabel Vaca Mier, Araceli
Lara Valdivia y David Sandoval Cardoso,
Problemario de mecánica de fluidos
María Berenice Guadalupe Quintana Díaz,
Margarita Beltrán ViIlavicencio y María
de Lourdes Delgado Núñez, Introducción
a la ingeniería química
José Ignacio Vega Luna, Gerardo Salgado
Guzmán y Roberto Sánchez González,
Organizació/1 de máquinas digitales
Fabricio Vanden-Brreck, El diseño
de la naturaleza o la naturaleza del diseño
Jorge Rodríguez Martínez, Visión general
del tema de la calidad y el diseño industrial
Los modernos sistemas de potencia están constituidos por miles de nod
tos. Los va lores d e ca rga globa l están en el ord en de gigavolts-amperes,
de voltaje de transmisión en cientos de kilovolts. La única manera
describir un circ uito eléctri co tan complejo es a través del almacenami
tacional de vectores y matrices. Sin exageraciones, puede afirmarse que l
sistem as de p otencia constituyen los sistemas más grandes y comp
hombre pretende tener bajo su control.
Esta obra se centra principalmente en los métodos vecto-ma triciales
de s istemas industriales y d e potencia, particularmente en aquellas té
las cuales la solución puede hallarse mediante el emp leo de la comp
tem as fund a mentales que trata son el m odelado, los fluj os d e potenc
circuito. El libro puede ser utilizado como texto en cursos de análisis
de potencia y servir como referencia básica a ingenieros encargados
ción de sistemas.