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Algebra Lineal
Tarea No 17: Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)
Funciones Requeridas
La que calcula la proyección ortogonal o perpendicular
de un vector sobre otro. Es importante el orden: el primer argumento corresponde al vector que se proyecta
sobre el segundo argumento.
En Mathematica:
La que calcula la componente ortogonal o perpendicular de un vector sobre otro.
1. Sea V es espacio generado por el conjunto de vectores




La que calcula la distancia entre dos vectores


5
1
 0 
 −3


v1 = 
 0  , v2 =  −1



−2
−1


1 




 , v3 =  −2 

 1 


5


Defina u1 = v1 . Indique las coordenadas de u2 , la componente ortogonal de v2 sobre U1 = Gen {u1 }.
Solución
Recuerde que la proyección ortogonal, o simplemente
proyección, de v sobre u se define como
proy(v, u) = proyu (v) =
v•u
u
u•u
mientras que la componente ortogonal de v sobre u se
define como
En Maple:
compu (v) = v − proyu (v)
Ma1019, Tarea No 17: Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
Por otro lado, la proyección ortogonal de v sobre el
espacio U generado por el conjunto de vectores ortogonales {u1 , . . . uk } no nulos se define como
proyU (v) = proyu1 (v) + proyu2 (v) + · · · + proyuk (v)
2
Si los cálculos se van a realizar en una calculadora, conviene definir la función que da la proyección de un vector sobre otro y la función que calcula la componente
ortogonal de un vector sobre otro. Las definiciones y los
cálculos se ilustran en la siguiente figura.
Y por último, la componente ortogonal de v sobre el
espacio U generado por el conjunto de vectores ortogonales {u1 , . . . uk } no nulos se define como
compU (v) = v − proyU (v)
Con esto en mente
v2 •u1 = (1)·(5)+(−3)·(0)+(−1)·(0)+(−1)·(−2) = 7
u1 • u1 = (5) · (5) + (0) · (0) + (0) · (0) + (−2) · (−2) = 29
y por tanto
proyu1 (v2 ) =
v2 • u1
35
14
u1 =<
, 0, 0, −
>
u1 • u1
29
29
y ası́
compU1 (v2 )
=
=
=
compu1 (v2 )
v2 − proyu1 (v2 )
6
< − 29
, −3, −1, − 15
29 >
3. Usando los datos del problema anterior, indique
las coordenadas de la proyección del vector b =
0
(0, −2, 3, 2) sobre U3 = Gen {u1 , u2 , u3 }.
Solución
Seguimos con el proceso de Gram-Schmidt y definimos
u3
= compU2 (v3 )
570
363 1425
= < 299
, − 406
299 , 299 , 299 >
y ası́ la proyección de b sobre U3 será
proyU3 (b)
= proyu1 (b) + proyu2 (b) + proyu3 (b)
4077 4843
259
, − 5762
= < 887
4435 , 8870 , 1774 >
2. Usando los datos del problema anterior, indique las
coordenadas de u3 , la componente ortogonal de v3 sobre U2 = Gen {u1 , u2 }.
Solución
Siguiendo el procedimiento de ortogonalización de
Gram-Schmidt, tenemos que
u2 = compu1 (v2 ) =< −
6
15
, −3, −1, −
>
29
29
y por tanto si U2 = Gen {u1 , u2 }, tenemos
compU2 (v3 )
= v3 − proyu1 (v3 ) − proyu2 (v3 )
406 363 1425
= < 570
299 , − 299 , 299 , 299 >
Ma1019, Tarea No 17: Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
3
4. Usando los datos del problema anterior, determine la
distancia de b a U3 .
Solución
La distancia de b a U3 es la distancia de b a su proyección sobre U3 :
d (b, U3 )
= kb −√proyU3 (b)k
8870
= 259 8870
≈ 2.75003
6. Determine la distancia de P (2, −2, 3) al espacio U que
generan los vectores:


5. Determine la distancia de P (−1, 5, 5) al espacio U que
generan los vectores:





5
0 
B = v1 =  −1  , v2 =  0 


3
−1






−2
−3
−8 
B = v1 =  5  , v2 =  0  , v3 =  5 


−1
−1
−3

Solución
Apliquemos el proceso de ortogonalización al conjunto
B:
Solución
u1
u2
Sabemos que la distancia de P a U es la distancia de
P a su proyección sobre U . Como
u3
=
=
=
=
=
v1
v2 − proyu1 (v2 )
38
< 15
, − 76 , − 23
30 >
v3 − proyu1 (v3 ) − proyu2 (v3 )
< 0, 0, 0 >
v2 • v1 = −3 6= 0
el conjunto B no es ortogonal y no podemos calcular
directamente la proyección sobre U , debemos aplicar el
proceso de Gram-Schmidt:
u1
u2
= v1
= v2 − proyu1 (v2 )
3
= < 37 , − 35
, − 26
35 >
U = Gen {v1 , v2 , v3 } = Gen {u1 , u2 }
y la proyección se calculará sólo usando los vectores u1
y u2 :
por tanto, la proyección de P sobre U será
z = proyU (P) = proyu1 (P)+proyu2 (P) =< −
Como el vector u3 es cero, lo debemos descartar de los
vectores u’s:
z = proyU (P) = proyu1 (P)+proyu2 (P) =<
25 5
, ,5 >
13 13
y por tanto
y ası́
d (P, U ) = d (P, z) ≈ 4.70679
d (P, U ) = d (P, z) ≈ 2.08294
667 535 258
,−
,
>
251 251 251
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7. Determine la distancia de P (1, 0, −3, 1) al espacio que
generan los vectores:


2
−3
 −1 
 1


B = v1 = 
 4  , v2 =  −1



−3
−1






0 




 , v3 =  3 

 −1 


4


Solución
Apliquemos el proceso de ortogonalización al conjunto
B:
a1
a2
a3
=
=
=
=
=
v1
v2 − proya1 (v2 )
17 1
9
< − 37
15 , 15 , 15 , − 5 >
v3 − proya1 (v3 ) − proya2 (v3 )
58 87
< 0, 203
74 , 37 , 74 >
la proyección se calculará usando los vectores a1 ,a2 y
a3 :
z=
proyU (P)
=
proya1 (P) + proya2 (P) + proya3 (P)
=
< 14 , − 34 , − 94 , 74 >
Otra manera de hacer estos problemas es utilizando la
factorización QR: este comando aplica el proceso de
Gram-Schmidt a las columnas de una matriz A y entrega una matriz Q cuyas columnas son una base ortonormal para el espacio columna de la matriz A y además
también entrega una matriz R que permite calcular los
coeficientes de una combinación lineal para las columnas de A usando los coeficientes de una combinación
lineal de las columnas de Q. La forma de usarlo en la
TI consiste en
primero formar una matriz cuyas columnas son los
vectores que generan el espacio, supongamos que
la matriz se asigna a la variable A
segundo invocar el proceso de Gram-Schmidt mediante la instrucción
qr A, q, r
a la variable q se le asignará la matriz Q y a la
variable r se le asignará la matriz R.
tercero, para calcular la proyección de P haremos
el cálculo
Q · QT · P
La lógica detrás de esta operación es la siguiente:
al hacer QT · P se obtiene un vector cuyas componentes ci son
ci = q i • P
(qi es la columna i-ésima de Q) y como los vectores qi son unitarios, ci será el coeficiente
y por tanto
d (P, U ) = d (P, z) = 1.5
ci =
P • qi
qi • qi
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es decir, que lo único que falta para tener la proyección de P sobre qi es multiplicar por qi . Ası́
proyC(A) (P)
=
Pk
i=1 ci
qi


c1


= [q1 · · · qk ] ·  ... 
c

 k
c1


= Q ·  ... 
z
ck
= Q·Q ·P
T
9. Determine la distancia de P (2, 0, 4) a

  
1
2 

U = Gen  1  ,  3 


−2
1
Solución
Aplicamos el proceso de Gram-Schmidt para ortogonalizar los vectores del conjunto generador y obtener una
base ortonormal para U , y posteriormente calculamos
la proyección z de P sobre U :
z = proyU (P) = Q · QT · P =<
8 6 94
, ,
>
25 5 25
y por tanto
8. Determine la distancia de P (4, −4, 4) a


U = Gen 

d (P, U ) = d(P, z) ≈ 2.07846
 

1
2 
1 ,  0 

−2
1
Solución
Aplicamos el proceso de Gram-Schmidt para ortogonalizar los vectores del conjunto generador y obtener una
base ortonormal para U , y posteriormente calculamos
la proyección z de P sobre U :
z = proyU (P) = Q · QT · P =<
52 4 76
,− ,
>
15 3 15
y por tanto
d (P, U ) = d(P, z) ≈ 2.92119
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10. Determine las coordenadas de la proyección ortogonal
0
de u = (3, 2) sobre la recta L que pasa por el punto
P (5, 5) y el origen.
Solución
La recta L es precisamente U = Gen {< 5, 5 >}. Aplicamos el proceso de Gram-Schmidt para ortogonalizar
< 5, 5 > y obtener una base ortonormal para U , y posteriormente calculamos la proyección z de P sobre U :
z = proyU (P) = Q · QT · P =<
5 5
, >
2 2